Cac ham phan phoi xac suat

Phân phối chuẩn hóa Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Ph[r]

Các phân phối xác suất thường gặp Hoàng Văn Hà hvha@hcmus.edu.vn Ngày 21 tháng 10 năm 2012 Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Các phân phối rời rạc Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối liên tục Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – Biến ngẫu nhiên Bernoulli Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối liên tục Định nghĩa (Biến ngẫu nhiên Bernoulli) Thực phép thử, ta quan tâm đến biến cố A Nếu biến cố A xảy (thành công) thì X nhận giá trị là (X = 1), ngược lại biến ngẫu nhiên X nhận giá trị Phép thử này gọi là phép thử Bernoulli Giả sử xác suất xảy biến cố A là p, < p < P (A) = P (X = 1) = p và
P Ā = P (X = 0) = − p = q Khi đó biến ngẫu nhiên X gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoulli với tham số p, ký hiệu X ∼ B(1; p) Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – Phân phối Bernoulli Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Ví dụ Các phép thử sau đây cho kết là biến ngẫu nhiên Bernoulli ✔ Tung ngẫu nhiên đồng xu: X = xuất mặt sấp, X = xuất mặt ngửa Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối liên tục Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – Phân phối Bernoulli Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Ví dụ Các phép thử sau đây cho kết là biến ngẫu nhiên Bernoulli ✔ Tung ngẫu nhiên đồng xu: X = xuất mặt sấp, X = xuất mặt ngửa ✔ Kiểm tra ngẫu nhiên sản phẩm lô hàng: X = gặp sản phẩm tốt, X = gặp sản phẩm kém Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối liên tục Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – Phân phối Bernoulli Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối liên tục Ví dụ Các phép thử sau đây cho kết là biến ngẫu nhiên Bernoulli ✔ Tung ngẫu nhiên đồng xu: X = xuất mặt sấp, X = xuất mặt ngửa ✔ Kiểm tra ngẫu nhiên sản phẩm lô hàng: X = gặp sản phẩm tốt, X = gặp sản phẩm kém ✔ Trả lời ngẫu nhiên câu trắc nghiệm: X = trả lời đúng, X = trả lời sai Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – Phân phối Bernoulli Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối liên tục Ví dụ Các phép thử sau đây cho kết là biến ngẫu nhiên Bernoulli ✔ Tung ngẫu nhiên đồng xu: X = xuất mặt sấp, X = xuất mặt ngửa ✔ Kiểm tra ngẫu nhiên sản phẩm lô hàng: X = gặp sản phẩm tốt, X = gặp sản phẩm kém ✔ Trả lời ngẫu nhiên câu trắc nghiệm: X = trả lời đúng, X = trả lời sai ✔ Khảo sát ca sinh: X = sinh trai, X = sinh gái Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – Phân phối Bernoulli Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X ∼ B(1, p) có dạng X P p q với q = − p Các phân phối liên tục Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – Phân phối Bernoulli Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối liên tục Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X ∼ B(1, p) có dạng X P p q với q = − p Dựa vào bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X ta dễ dàng tính E(X) = p Var(X) = pq Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – Phân phối nhị thức Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Định nghĩa (Binomial distribution) Thực n phép thử Bernoulli độc lập với xác suất thành công phép thử là p Gọi X là số lần thành công (biến cố A xảy ra) n phép thử thì X = X1 + · · · + Xn với Xi , (i = 1, , n), là biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoulli với cùng tham số p Khi đó X là biến ngẫu nhiên rời rạc với miền giá trị S = {0, , n} và xác suất Các phân phối liên tục P (X = k) = Cnk pk q n−k , k∈S (1) X gọi là có phân phối nhị thức với các tham số n, p ký hiệu X ∼ B (n; p) Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – Phân phối nhị thức - hàm xác suất Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối liên tục Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – Phân phối nhị thức - hàm phân phối Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối liên tục Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – Phân phối nhị thức Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Ví dụ Tại địa phương tỷ lệ sốt rét là 25% Chọn ngẫu nhiên người Tính xác suất (a) Có người bị sốt rét (b) Có ít người bị sốt rét Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối liên tục Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – Phân phối nhị thức Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Định lý (Các đặc trưng BNN có phân phối nhị thức) Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B (n, p) thì i) E (X) = np ii) Var (X) = npq iv) Với x, h là hai số nguyên nguyên dương thì P (x ≤ X ≤ x + h) =P (X = x) + P (X = x + 1) + · · · · · · + P (X = x + h) Các phân phối liên tục Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 10 Phân phối nhị thức Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Ví dụ Một học sinh làm bài thi trắc nghiệm có 60 câu hỏi, câu có đáp án và có đáp án đúng Biết học sinh không học bài và đánh ngẫu nhiên toàn bài thi Tính xác suất: (a) Học sinh làm đúng ít câu (b) Học sinh làm đúng 30 câu (b) Số câu trả lời đúng trung bình mà học sinh làm là bao nhiêu? Tính phương sai số câu trả lời đúng Các phân phối liên tục Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 11 Phân phối nhị thức Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Ví dụ Trong nhà máy, hàng đóng thành kiện, kiện 10 sản phẩm, đó có phế phẩm Khi kiện hàng giao cho khách hàng, khách hàng lấy ngẫu nhiên sản phẩm kiện để kiểm tra Nếu hai sản phẩm tốt, kiện hàng nhận, ngược lại kiện hàng bị trả lại Gọi X là số kiện hàng nhận số 50 kiện hàng giao cho khách hàng (a) Tính xác suất có 40 kiện hàng nhận (b) Tính E (X) và Var (X) Các phân phối liên tục Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 12 Phân phối nhị thức Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Ví dụ Trong các chuyến bay, có thể có hành khách bỏ chuyến bay mặc dù đã đặt vé trước Một hãng hàng không bán 125 vé cho chuyến bay có 120 ghế Xác suất hành khác vắng mặt là 0.10 và độc lập với các hành khách khác (a) Tính xác suất tất hành khác có mặt sân bay có thể thực chuyến bay (có đủ ghế) (b) Xác suất máy bay cất cánh mà còn dư ghế ngồi là bao nhiêu? Các phân phối liên tục Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 13 Phân phối Poisson Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Ví dụ Giả sử ta cần truyền n bit qua kênh truyền tín hiệu số Gọi X là số bit lỗi n bit truyền Khi xác suất bit bị lỗi là số và việc truyền tín hiệu độc lập, X có phân phối nhị thức Gọi p là xác suất bit truyền bị lỗi Đặt λ = np thì E(X) = np = λ và P (X = x) = Cnx px (1 − p)n−x  x  n−x λ x λ = Cn 1− n n Các phân phối liên tục Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 14 Phân phối Poisson Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối liên tục Ví dụ Giả sử ta cần truyền n bit qua kênh truyền tín hiệu số Gọi X là số bit lỗi n bit truyền Khi xác suất bit bị lỗi là số và việc truyền tín hiệu độc lập, X có phân phối nhị thức Gọi p là xác suất bit truyền bị lỗi Đặt λ = np thì E(X) = np = λ và P (X = x) = Cnx px (1 − p)n−x  x  n−x λ x λ = Cn 1− n n Giả sử số truyền tăng lên và xác suất bit lỗi giảm xuống cho np không đổi Nghĩa là, n và p đồng thời tăng và giảm cho E(X) = λ là số Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 14 Phân phối Poisson Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối liên tục Ví dụ Giả sử ta cần truyền n bit qua kênh truyền tín hiệu số Gọi X là số bit lỗi n bit truyền Khi xác suất bit bị lỗi là số và việc truyền tín hiệu độc lập, X có phân phối nhị thức Gọi p là xác suất bit truyền bị lỗi Đặt λ = np thì E(X) = np = λ và P (X = x) = Cnx px (1 − p)n−x  x  n−x λ x λ = Cn 1− n n Giả sử số truyền tăng lên và xác suất bit lỗi giảm xuống cho np không đổi Nghĩa là, n và p đồng thời tăng và giảm cho E(X) = λ là số Ta có thể e−λ λx , x = 0, 1, 2, lim P(X = x) = n→∞ x! Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 14 Định nghĩa Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Định nghĩa (Poissson distribution) Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị từ 0, 1, 2, gọi là có phân phối Poisson với tham số λ, ký hiệu X ∼ P (λ) e−λ λx , x = 0, 1, f (x) = P(X = x) = x! (2) Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối liên tục Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 15 Định nghĩa Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Định nghĩa (Poissson distribution) Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị từ 0, 1, 2, gọi là có phân phối Poisson với tham số λ, ký hiệu X ∼ P (λ) e−λ λx , x = 0, 1, f (x) = P(X = x) = x! (2) Kỳ vọng và phương sai X Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson E(X) = λ Các phân phối liên tục Var(X) = λ Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 15 Định nghĩa Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối liên tục Một số biến ngẫu nhiên mô tả các kiện sau thường xem là tuân theo phân phối Poisson i) Số lỗi in (hoặc số) trang sách ii) Số cặp trẻ sinh đôi năm bệnh viện iii) Số người đến bưu điện nào đó ngày iv) Số tai nạn cố giao thông xảy điểm giao thông ngày Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 16 Định nghĩa Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối liên tục Một số biến ngẫu nhiên mô tả các kiện sau thường xem là tuân theo phân phối Poisson i) Số lỗi in (hoặc số) trang sách ii) Số cặp trẻ sinh đôi năm bệnh viện iii) Số người đến bưu điện nào đó ngày iv) Số tai nạn cố giao thông xảy điểm giao thông ngày Các biến ngẫu nhiên sử dụng để mô tả, "đếm" số lần xảy biến cố, kiện nào đó xảy khoảng thời gian và thỏa số điều kiện (các điều kiện này thường thỏa mãn thực tế) thường mô tả phân phối Poisson Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 16 Hàm xác suất Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối liên tục Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 17 Hàm phân phối Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối liên tục Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 18 Ví dụ Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối liên tục Ví dụ Giả sử số lỗi in trang nào đó sách có phân phối Poisson với tham số λ = 21 Tính xác suất có ít lỗi in trang này Ví dụ Số điện thoại gọi đến tổng đài điện thoại có phân phối Poisson với λ = 10 Tính xác suất (a) Có điện thoại gọi đến (b) Có nhiều điện thoại gọi đến (c) Có 15 điện thoại gọi đến hai (d) Có điện thoại gọi đến 30 phút Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 19 Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Định lý Cho X ∼ B(n, p), n → ∞ và p → cho np → λ thì e−λ λx P(X = x) = x! Trong thực tế, phân phối Poisson xấp xỉ tốt cho phân phối nhị thức n ≥ 100 và np ≤ 10 Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối liên tục Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 20 Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối liên tục Định lý Cho X ∼ B(n, p), n → ∞ và p → cho np → λ thì e−λ λx P(X = x) = x! Trong thực tế, phân phối Poisson xấp xỉ tốt cho phân phối nhị thức n ≥ 100 và np ≤ 10 Ví dụ Trong đợt tiêm chủng cho trẻ em khu vực, biết xác suất trẻ bị phản ứng với thuốc sau tiêm là 0,001 Thực tiêm cho 2000 trẻ, tính xác suất có nhiều trẻ bị phản ứng với thuốc sau tiêm Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 20 Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức pp Poisson Các phân phối liên tục Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 21 Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Các phân phối liên tục Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 22 Phân phối Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Định nghĩa (Uniform distribution) Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi là có phân phối trên đoạn [a; b], ký hiệu X ∼ U ([a; b]), hàm mật độ xác suất X có dạng b−a f (x) =    Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn x ∈ [a, b] nơi khác Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 23 Phân phối Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Định nghĩa (Uniform distribution) Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi là có phân phối trên đoạn [a; b], ký hiệu X ∼ U ([a; b]), hàm mật độ xác suất X có dạng b−a f (x) =    Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm x ∈ [a, b] nơi khác Từ định nghĩa trên ta có hàm phân phối xác suất X ∼ U ([a; b]) Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp      x−a F (x) =  b−a    x < a x ∈ [a, b] x > b Ha Hoang V – 23 Phân phối - Hàm mật độ Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 24 Phân phối - Hàm phân phối Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 25 Kỳ vọng và phương sai pp Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Định lý (Các đặc trưng biến ngẫu nhiên có phân phối đều) Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối trên [a, b] (X ∼ U ([a; b])) thì i) Kỳ vọng E (X) = a+b (b − a)2 ii) Phương sai Var (X) = 12 Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 26 Phân phối Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Ví dụ 10 Lịch xuất bến trạm xe buýt sau: xe đầu tiên ngày khởi hành vào lúc 7h, sau 15 phút có xe khác đến trạm Giả sử hành khách đến trạm khoảng thời gian từ 7h - 7h30 Tìm xác suất để hành khách này chờ (a) ít phút (b) ít 12 phút Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 27 Phân phối mũ Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Định nghĩa (Exponential distribution) Biến ngẫu nhiên T (t > 0) gọi là có phân phối mũ, ký hiệu X ∼ Exp(λ), nó có hàm mật độ xác suất f (t) = λe−λt , t>0 (3) đó • λ: số biến cố trung bình xảy đơn vị thời gian • t: số đơn vị thời gian biến cố Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 28 Các đặc trưng phân phối mũ Các phân phối rời rạc Hàm phân phối T : Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ F (t) = P (T ≤ t) = − e−λt , t>0 (4) Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 29 Các đặc trưng phân phối mũ Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Hàm phân phối T : F (t) = P (T ≤ t) = − e−λt , t>0 (4) Định lý Nếu T ∼ Exp(λ) thì kỳ vọng và phương sai T lần lượng Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn λ Var(T ) = λ E(T ) = Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 29 Phân phối mũ - Hàm mật độ Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 30 Phân phối mũ - Hàm phân phối Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 31 Phân phối mũ Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Ví dụ 11 Trong mạng máy tính công ty, biết số người dùng đăng nhập vào mạng có phân phối Poisson với trung bình 25 (a) Tính xác suất không có người dùng nào đăng nhập khoảng thời gian phút (b) Tính xác suất lần đăng nhập cách lần đăng nhập đầu từ đến phút Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 32 Phân phối mũ Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Ví dụ 12 Số khách hàng đến làm thủ tục quầy dịch vụ ngân hàng với tỷ lệ là 15 người Hỏi xác suất thời gian khách hàng liên tiếp đến quầy dịch vụ ít phút là bao nhiêu? Ví dụ 13 Trong nhà máy sản xuất linh kiện điện tử, biết tuổi thọ mạch điện là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với tuổi thọ trung bình 6.25 năm Nếu thời gian bảo hành sản phẩm là năm Hỏi tỷ lệ sản phẩm bảo hành nhà máy là bao nhiêu? Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 33 Tính chất Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Định lý 10 (Tính trí nhớ - Lack of memory) Nếu T là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ thì, P (T < t1 + t2 |T > t1 ) = P (T < t2 ) (5) Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 34 Phân phối chuẩn Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Định nghĩa 11 (Normal distribution) Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị khoảng (−∞, +∞) gọi là có phân phối chuẩn tham số µ, σ hàm mật độ xác suất có dạng ! (x − µ) − ∞ < x < +∞ (6) f (x) = √ exp − 2σ σ 2π đó µ, σ
là số và σ > 0, −∞ < µ < +∞, ký hiệu X ∼ N µ; σ Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 35 Phân phối chuẩn Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Định nghĩa 11 (Normal distribution) Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị khoảng (−∞, +∞) gọi là có phân phối chuẩn tham số µ, σ hàm mật độ xác suất có dạng ! (x − µ) − ∞ < x < +∞ (6) f (x) = √ exp − 2σ σ 2π đó µ, σ
là số và σ > 0, −∞ < µ < +∞, ký hiệu X ∼ N µ; σ Nếu X ∼ N (µ, σ ) E(X) = µ Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Var(X) = σ Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 35 Phân phối chuẩn - Tính chất Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối ✔ Đồ thị có dạng cái chuông ✔ Phân phối đối xứng ✔ Trung bình = trung vị (median) = Yếu vị (mode) ✔ Vị trí phân phối xác định kỳ vọng µ ✔ Độ phân tán xác định độ lệch tiêu chuẩn σ ✔ Xác định trên R Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 36 Phân phối chuẩn - Hàm mật độ Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 37 Phân phối chuẩn - Hàm phân phối Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 38 Phân phối chuẩn Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Nhờ vào định lý sau, nên biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn thì biến đổi tuyến tính X có phân phối chuẩn Định lý 12 (Tính "tuyến tính" phân phối chuẩn) Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng µ, phương sai σ và Y = aX + b, (a, b là số và a 6= 0), thì Y có phân phối chuẩn với kỳ vọng aµ + b và phương sai a2 σ Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 39 Phân phối chuẩn Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Nhờ vào định lý sau, nên biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn thì biến đổi tuyến tính X có phân phối chuẩn Định lý 12 (Tính "tuyến tính" phân phối chuẩn) Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng µ, phương sai σ và Y = aX + b, (a, b là số và a 6= 0), thì Y có phân phối chuẩn với kỳ vọng aµ + b và phương sai a2 σ Định lý 13 Nếu các biến ngẫu nhiên X1 , , Xn là độc lập và Xi có phân phối chuẩn với kỳ vọng µi và phương sai σi2 , (i = 1, 2, , n), thì tổng X1 + · · · + Xn có phân phối chuẩn với kỳ vọng là µ1 + · · · + µn và phương sai là σ12 + · · · + σn2 Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 39 Phân phối chuẩn Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Mệnh đề Nếu các biến ngẫu nhiên X1 , , Xn là độc lập và Xi có phân phối chuẩn với kỳ vọng µi và phương sai σi2 , (i = 1, , n) , , an và b là các số cho có ít 6= 0, thì biến ngẫu nhiên a1 X1 + · · · + an Xn + b có phân phối chuẩn với kỳ vọng a1 µ1 + · · · + an µn và phương sai a21 σ12 + · · · + a2n σn2 Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 40 Phân phối chuẩn hóa Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Định nghĩa 14 (Standard normal distribution) Biến ngẫu nhiên Z gọi là có phân phối chuẩn hóa nó có phân phối chuẩn với tham số µ = và σ = 1, ký hiệu Z ∼ N (0; 1) Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 41 Phân phối chuẩn hóa Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Định nghĩa 14 (Standard normal distribution) Biến ngẫu nhiên Z gọi là có phân phối chuẩn hóa nó có phân phối chuẩn với tham số µ = và σ = 1, ký hiệu Z ∼ N (0; 1) Theo quy ước, hàm phân phối biến ngẫu nhiên chuẩn hóa ký hiệu là Φ(z), tức Z z − x2 dx Φ(z) = √ e 2π −∞ Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 41 Phân phối chuẩn hóa Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Theo định lý tính tuyến tính phân phối chuẩn,
X −µ có phân phối chuẩn hóa hay X ∼ N µ; σ thì σ X −µ ∼ N (0; 1) σ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 42 Phân phối chuẩn hóa Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Theo định lý tính tuyến tính phân phối chuẩn,
X −µ có phân phối chuẩn hóa hay X ∼ N µ; σ thì σ X −µ ∼ N (0; 1) σ Dựa vào tính chất này ta có thể tính xác suất biến ngẫu nhiên
X ∼ N µ; σ     b−µ b−µ X −µ ≤ =Φ P (X ≤ b) = P σ σ σ Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 42 Phân phối chuẩn hóa Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Theo định lý tính tuyến tính phân phối chuẩn,
X −µ có phân phối chuẩn hóa hay X ∼ N µ; σ thì σ X −µ ∼ N (0; 1) σ Dựa vào tính chất này ta có thể tính xác suất biến ngẫu nhiên
X ∼ N µ; σ     b−µ b−µ X −µ ≤ =Φ P (X ≤ b) = P σ σ σ Tương tự, với a ≤ b thì P (a < X ≤ b) = P (X ≤ b)−P (X ≤ a) = Φ Các ppxs thường gặp     a−µ b−µ −Φ σ σ Ha Hoang V – 42 Phân phối chuẩn hóa Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Nếu X ∼ N µ; σ
thì  X −µ ≤k P (|X − µ| ≤ kσ) = P −k ≤ σ = 2Φ(k) −  người ta hay gọi đẳng thức trên là "Quy tắc k-sigma (kσ)" Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 43 Phân phối chuẩn hóa Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Nếu X ∼ N µ; σ
thì  X −µ ≤k P (|X − µ| ≤ kσ) = P −k ≤ σ = 2Φ(k) −  người ta hay gọi đẳng thức trên là "Quy tắc k-sigma (kσ)" Với k = ta có quy tắc 3-sigma:   X −µ P (|X − µ| ≤ 3σ) = P −k ≤ ≤k σ = 2Φ(3) − ≈ 0.9973 "Sai số X và µ không quá σ là gần chắn (xác suất gần 1)." Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 43 Phân vị chuẩn hóa Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Định nghĩa 15 (Phân vị chuẩn hóa, normal quartile) Cho biến
ngẫu nhiên X ∼ N µ; σ , phân vị chuẩn hóa mức α, ký hiệu xα , là giá trị biến ngẫu nhiên X thỏa mãn điều kiện P (X ≤ xα ) = α Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm α O xα Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 44 Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Ví dụ 14 Đường kính chi tiết máy máy tiện sản xuất có phân phối chuẩn với kỳ vọng 20mm, phương sai (0.2mm)2 Tính xác suất lấy ngẫu nhiên chi tiết a) có đường kính khoảng 19.9mm đến 20.3mm b) có đường kính sai khác với kỳ vọng không quá 0.3mm Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 45 Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Ví dụ 15 Cho X ∼ N (10, 4), tính các xác suất sau (a) P(X < 13) (b) P(X > 9) (c) P(6 < X < 14) (d) P(2 < X < 4) (e) P(−2 < X < 8) Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 46 Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Ví dụ 16 Cho X ∼ N (10, 4), tìm x cho (a) P(X > x) = 0.5 (b) P(X > x) = 0.95 Phân phối mũ Hàm mật độ (c) P(x < X < 10) = 0.2 Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn (d) P(−x < X − 10 < x) = 0.95 Phân phối chuẩn Hàm phân phối (e) P(−x < X − 10 < x) = 0.99 Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 47 Định lý giới hạn trung tâm Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Định lý 16 (Central limit theorem) Nếu X1 , , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối với kỳ vọng µ và phương sai σ hữu hạn Ta đặt Sn = X1 + · · · + Xn Sn có kỳ vọng là E (Sn ) = nµ và phương sai Var (Sn ) = nσ Khi n → ∞ thì biến ngẫu nhiên
F Sn − → X, với X ∼ N nµ; nσ (7) Hay biến ngẫu nhiên Sn − nµ F √ − → Z, Zn = σ n Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn với Z ∼ N (0; 1) Nghĩa là n lớn thì với x ∈ R   Sn − nµ √ < x ≈ P (Z < x) , P σ n Các ppxs thường gặp (8) với Z ∼ N (0; 1) (9) Ha Hoang V – 48 Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn • Xét X ∼ B(n, p), ta có E(X) = np và Var(X) = npq (q = − p) Khi n lớn, theo định lý giới hạn trung tâm phân phối biến ngẫu nhiên X xấp xỉ phân phối chuẩn N (np, npq), ký hiệu approx X ∼ N (np; npq) Xác suất   X − np b − np a − np ≤ √ < √ P (a ≤ X < b) = P √ npq npq npq     b − np a − np ≈ Φ √ −Φ √ (10) npq npq • Điều kiện xấp xỉ: np > và n(1 − p) > Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 49 Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 50 Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối Phân phối mũ Các đặc trưng phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Ví dụ 17 Trong bầu cử thành phố, biết 40% người dân ủng hộ ứng cử viên A Chọn ngẫu nhiên 200 người, hỏi xác suất gặp từ 76 đến 120 người ủng hộ ứng cử viên A là bao nhiêu? Ví dụ 18 Một bệnh B chiếm 10% dân số Chọn ngẫu nhiên 100 người Tính xác suất: (a) Có người bị bệnh B (b) Có ít người bị bệnh B (c) Có từ đến 12 người bị bệnh B Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức pp chuẩn Các ppxs thường gặp Ha Hoang V – 51