Bài đọc 5.1. Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed., Chương 3: Xác suất và những phân phối: Xác suất rời rạc, Phần 3.6

Khi có thể viết ra các biến cố đơn gắn liền với một thí nghiệm và đánh giá các xác suất riêng của chúng, thì chúng ta có thể tìm xác suất của biến cố A bằng cách cộng các xác suất đối v[r]

(1)

William Mendenhall et al Biên dịch: Nguyễn Thị Xinh Xinh Hiệu đính: Cao Hào Thi

C H Ư Ơ N G

XÁC SUẤT VÀ NHỮNG PHÂN PHỐI

XÁC SUẤT RỜI RẠC

Về chương này:

Mục tiêu chương đặt tảng cho suy luận thống kê Chúng ta giới thiệu số khái niệm xác suất, sau trình bày số mơ hình để tính tốn xác suất kết mẫu

3

(2)

NGHIÊN CỨU TÌNH HUỐNG

NHỮNG NGƯỜI SINH TRONG THỜI KỲ BÙNG NỔ SINH ĐẺ SẼ TỪ BỎ CÁC CỬA HÀNG BÁCH HĨA?

Có phải hầu hết việc mua sắm anh/chị thực cửa hàng bách hóa, hay có phải anh/chị tiêu xài la mua sắm số cửa hàng đặc sản chọn lọc? Nghiên cứu cho thấy người trung niên khách hàng tốt cửa hàng bách hóa Các nhà quản lý cửa hàng bách hóa hy vọng doanh thu bán hàng chậm đẩy nhanh hệ bùng nổ sinh đẻ bước vào tuổi trung niên Trong báo nhan đề “Có phải người sinh thời kỳ bùng nổ sinh đẻ từ bỏ cửa hàng bách hóa?” (Schwartz, 1990), tác giả xem xét vấn đề ánh sáng nghiên cứu Marvin J Rothenberg, Inc., công ty tư vấn đặt trụ sở Fair Lawn, New Jersey Các nhà nghiên cứu công ty Rothenberg vấn 60.000 khách hàng thường xuyên cửa hàng bách hóa thân chủ họ giai đoạn từ 1988 đến 1990 Những cửa hàng xếp theo quy mô từ nhỏ đến lớn tọa lạc khắp bang “từ New York miền Đông sang California miền Tây, từ Wisconsin miền Bắc đến Louisiana Miền Nam.” Theo báo cáo Rothenberg, “các cửa hàng bách hóa chiếm lĩnh tỷ trọng lớn số đô la mua lẻ chi tiêu khách hàng già chúng, so với tỷ trọng chúng chiếm lĩnh từ khách hàng trẻ hơn.”

Tuy nhiên, hệ bùng nổ sinh đẻ bước vào trung niên, mối quan ngại số lượng họ khơng tự động chuyển thành doanh thu bán hàng tăng cho cửa hàng bách hóa Mặc dù người già chi tiêu tỷ lệ lớn số đô la mua lẻ cửa hàng bách hóa, họ chi tiêu người tương ứng trẻ họ Phân phối tỷ trọng chi tiêu mua lẻ phân theo khách hàng cửa hàng bách hóa (dựa 60.000 khách hàng lấy mẫu) tóm lược Bảng 3.1

Bảng 3.1

Chi tiêu Mua lẻ Độ tuổi Tỷ trọng Chi tiêu Mua lẻ

Tỷ trọng Doanh thu Bán hàng

Số tiền Chi tiêu Hàng tháng bình quân

mỗi Khách hàng

18−24 0,22 0,15 50$

25−34 0,24 0,27 108

35−44 0,26 0,25 126

45−54 0,28 0,16 116

55−64 0,28 0,12 89

65 già 0,39 0,05 53

Nguồn: Marvin J Rothenberg, Inc., Fair Lawn, N.J

(3)

thảo luận tỷ trọng cửa hàng bách hóa chi tiêu mua lẻ hệ bùng nổ sinh đẻ Mục 3.7 (trong nguyên tiếng Anh)

3.1 Vai trò Xác suất Thống kê

Xác suất thống kê liên quan với khía cạnh quan trọng Xác suất cơng cụ cho

phép nhà thống kê sử dụng thông tin mẫu để đưa suy luận về, hay để mơ tả, tổng thể mà từ mẫu lấy Chúng ta minh họa mối quan hệ

một thí dụ đơn giản sau

Hãy xét súc sắc cân bằng, với sáu mặt quen thuộc Khi súc sắc thảy ra, mặt sáu mặt có khả ngang trở thành mặt Nếu mà thảy súc sắc lặp lặp lại nhiều lần, tạo tổng thể số, đó mặt trên, x, 1, 2, 3, 4, 5, hay Tổng thể trông sao? Mặc dù lớn vơ hạn, nói gồm có số lượng mặt 1, 2, …, Bây giờ thảy súc sắc lần quan sát giá trị x Điều tương đương với việc lấy mẫu có cỡ n = từ tổng thể Xác suất để x = bao nhiêu? Do biết cấu trúc tổng thể, nên biết sáu giá trị x có khả xảy nhau, xác suất để x = 1/6 Đây ứng dụng đơn giản xác suất Khi tổng thể biết, tính xác suất việc quan sát mẫu

Bây giả sử tổng thể chưa biết Nghĩa là, liệu súc sắc có cân hay khơng Tổng thể gồm có mặt 1, 2, 3, …, 6, chúng xảy theo tỷ lệ nào! Để cố gắng tìm điều đó, thảy súc sắc n = 10 lần ghi nhận mặt trên, x, sau lần thảy Điều tương đương với việc lấy mẫu có cỡ n = 10 từ tổng thể Giả sử rằng, lần thảy, mặt hóa x =1 Anh/Chị suy luận tổng thể? Anh/Chị có cho súc sắc cân khơng? Có lẽ khơng, vì, súc sắc cân bằng, khả quan sát số “1” mười lần liên tiếp thấp Hoặc quan sát biến cố không xảy này, súc sắc khơng cân bằng Chúng ta nghiêng kết luận thứ hai (con súc sắc không cân bằng), có khả

năng xảy (probable) hai chọn lựa

Thí dụ cho thấy mối quan hệ xác suất thống kê Khi tổng thể biết, xác suất sử dụng để mơ tả khả xảy kết khác mẫu Khi tổng thể

chưa biết có mẫu, có tốn thống kê, cố gắng đưa

những suy luận tổng thể chưa biết Xác suất công cụ sử dụng để đưa suy luận Như xác suất suy luận từ tổng thể đến mẫu, thống kê hành động

ngược lại, từ mẫu đến tổng thể

Như giải thích ngôn ngữ xác suất, giả định tổng thể biết tính xác suất việc rút mẫu khác Khi làm thế, thật chọn mơ

hình (model) cho tình trạng vật thể, thành phần thật tổng thể

(4)

3.2 Xác suất Biến cố

Dữ liệu thu nhận cách quan sát biến cố khơng kiểm sốt thiên nhiên cách quan sát tình trạng kiểm sốt phịng thí nghiệm Chúng ta dùng thuật ngữ thí nghiệm (experiment) để mô tả hai phương pháp thu thập liệu nói

ĐỊNH NGHĨA  Một thí nghiệm quy trình qua quan sát (hay giá trị đo lường) thu nhận 

Lưu ý quan sát không thiết mang lại giá trị số Đây số thí dụ điển hình thí nghiệm

1 Ghi sản lượng hàng ngày nhà máy chế tạo 2 Ghi tỷ giá hối đối la Mỹ đồng bảng Anh

3 Phỏng vấn người tiêu dùng để xác định ưa thích sản phẩm số nhóm gồm

mười loại xe

4 Kiểm tra bóng đèn để xác định xem liệu sản phẩm có khuyết tật hay chấp nhận

được

5 Tung đồng xu quan sát mặt xuất

Các thí nghiệm dẫn đến kết hay nhiều gọi biến cố (events) ký hiệu chữ hoa

ĐỊNH NGHĨA  Một biến cố (event) kết thí nghiệm 

THÍ DỤ3.1 Thí nghiệm: Hãy thảy súc sắc quan sát số xuất mặt Một số biến cố

như sau:

biến cố A : quan sát số lẻ

biến cố B : quan sát số nhỏ biến cố E1 : quan sát số

biến cố E2 : quan sát số biến cố E3 : quan sát số biến cố E4 : quan sát số biến cố E5 : quan sát số biến cố E6 : quan sát số 

Trong thí dụ 3.1, có khác biệt rõ ràng biến cố A B với biến cố E1, E2, E3,

(5)

xem tập hợp biến cố nhỏ đơn giản Ngược lại, chia tách biến cố E1, E2, E3, …, E6 Những biến cố gọi biến cố đơn (simple event)

ĐỊNH NGHĨA  Một biến cố mà khơng thể chia tách gọi biến cố đơn Các biến cố đơn sẽ biểu thị ký hiệu E với số dòng 

Các biến cố E1, E2, …, E6 danh sách hoàn chỉnh tất biến cố đơn gắn liền với thí nghiệm Thí dụ 3.1 Một thí nghiệm dẫn đến biến cố

đơn Chẳng hạn như, thảy súc sắc, quan sát số 1, 2,

3, 4, 5, hay 6, mà hẳn nhiên quan sát biến cố đơn lúc Như thế, danh sách biến cố đơn cung cấp phân tích thống kê tất kết chia tách có thí nghiệm

ĐỊNH NGHĨA  Không gian mẫu S (sample space) tập hợp tất kết có thí nghiệm 

Cuối cùng, định nghĩa kết thí nghiệm theo biến cố đơn gắn liền với

ĐỊNH NGHĨA  Một biến cố tập hợp hay nhiều biến cố đơn 

Xác suất biến cố A thước đo tin tưởng thí

nghiệm dẫn đến biến cố A Để gắn ý nghĩa cho khái niệm này, lưu ý tổng thể quan sát tạo cách lặp lặp lại thí nghiệm nhiều lần Nếu số N lớn lần lặp lặp lại thí nghiệm mà biến cố A quan sát n lần, chúng ta xem xác suất biến cố A

N n A P( )

Thực ra, P(A) giá trị giới hạn phân số n/N N trở nên lớn vô hạn Cách diễn giải thực tế ý nghĩa xác suất − cách diễn giải hầu hết người không chuyên môn − gọi khái niệm tần suất tương đối xác suất (relative frequency concept of

probability)

Khơng cần phải nói việc lặp lặp lại thí nghiệm nhiều lần tốn thời gian Vì lý này, sử dụng phương pháp thay khác để tính toán xác suất mà phù hợp với khái niệm tần suất tương đối Thí dụ, định nghĩa xác suất dựa tần suất tương đối hàm ý P(A) phải phân số nằm khoảng từ đến 1, bao gồm 1, với P(A) = biến cố A không xảy P(A) = A ln xảy Vì thế, P(A) càng gần với số 1, A có khả xảy

Một số biến cố A B có đặc tính độc đáo biến cố xảy biến cố khơng thể xảy (và ngược lại) Các biến cố có đặc tính gọi loại trừ lẫn (mutually

exclusive) Thí dụ, giả sử thí nghiệm quan sát hành động tháng Hội

đồng Thống đốc Hệ thống Dự trữ Liên bang (Hoa Kỳ) lãi suất Định rõ biến cố sau đây:

(6)

Như thế, biến cố A B biến cố loại trừ lẫn nhau, thí nghiệm không thể dẫn đến A lẫn B Nếu việc cơng bố sách lãi suất dẫn đến

A, B đồng thời xảy Nếu lãi suất tăng lên, khơng

được hạ xuống đồng thời Các biến cố A, B, C gọi biến cố loại trừ lẫn Nếu biến cố nhóm quan sát, khơng biến cố hai biến cố cịn lại xảy

ĐỊNH NGHĨA  Hai biến cố A B gọi loại trừ lẫn A xảy B khơng thể xảy (và ngược lại) 

Các biến cố đơn có tính loại trừ lẫn nhau, xác suất gắn liền với biến cố đơn thỏa mãn điều kiện sau

Yêu cầu Xác suất Biến cố-Đơn

1 Mỗi xác suất phải nằm khoảng từ đến 1, bao gồm 2 Tổng số xác suất tất biến cố đơn S

Khi viết biến cố đơn gắn liền với thí nghiệm đánh giá xác suất riêng của chúng, tìm xác suất biến cố A cách cộng xác suất biến cố đơn chứa đựng biến cố A

ĐỊNH NGHĨA  Xác suất biến cố A tổng xác suất biến cố đơn chứa đựng A



THÍ DỤ 3.2 Sử dụng phương pháp biến cố đơn, tính xác suất việc quan sát xác mặt ngửa lần tung hai đồng xu

Lời giải Hãy xây dựng không gian mẫu cho H biểu thị mặt ngửa T biểu thị mặt sấp Các kết gắn liền với thí nghiệm trình bày cách dùng giản đồ hình (tree

diagram) Trong giản đồ hình cây, cấp phân nhánh tương ứng với bước

cần phải có để tạo kết có thí nghiệm Giản đồ hình trình bày Hình 3.1 Các biến cố đơn tạo trình bày cột cuối Hình 3.1 Bảng 3.2

BẢNG 3.2 Không gian mẫu Thí dụ 3.2

Biến cố Thứ Đồng xu Đồng xu Thứ hai P(Ei)

E1 H H 1/4

E2 H T 1/4

E3 T H 1/4

(7)

Không gian mẫu S thí nghiệm có chứa bốn biến cố đơn liệt kê Bảng 3.2 Bởi vì, giả định hợp lý là, biến cố đơn biến cố đơn có khả xảy biến cố đơn khác, nên ấn định xác suất 1/4 cho biến cố đơn Chúng ta quan tâm đến

biến cố A: quan sát xác mặt ngửa

Biến cố A xảy E2 E3 xảy Vì cho nên,

) ( ) ( ) (

P A P E2 P E3

 

 

4

THÍ DỤ 3.3 Căn vào quan sát hành động Hội đồng Thống đốc Hệ thống Dự trữ Liên bang lãi suất bản, định rõ biến cố A, B, C sau:

A : lãi suất tăng lên B : lãi suất giảm xuống C : lãi suất không thay đổi

Giả sử biết P(A) = 0,2 P(B) = 0,3 Hãy tìm P(C)

Mặt sấp

E1 = HH

E2 = HT

Mặt ngửa

Mặt sấp Mặt ngửa Đồng xu

Thứ

Đồng xu

Thứ hai Kết

E3 = TH

E4 = TT

Mặt ngửa

Mặt sấp HÌNH 3.1

(8)

Lời giải Bằng việc xem xét A, B, C, thấy thí nghiệm dẫn đến trong ba biến cố loại trừ lẫn Do đó, A, B, C biến cố đơn biểu khơng gian mẫu S cho thí nghiệm này,

1 ) ( ) ( )

(A P B PC  P

Thay giá trị P(A) P(B) vào phương trình cho

1 ) ( , ,

0  P C 

Giải để tìm P(C), có

5 , , , )

(C    

P 

Những Lời Gợi ý Giải Bài toán

Việc tính tốn xác suất biến cố: phương pháp biến cố đơn

 Hãy sử dụng bước sau để tính xác suất biến cố cách cộng xác suất biến cố đơn

1 Định rõ thí nghiệm

2 Nhận dạng biến cố đơn tiêu biểu Liệt kê biến cố đơn gắn liền với thí nghiệm,

và kiểm định biến cố đơn để nắm khơng thể chia tách Điều định rõ không gian mẫu S

3 Ấn định xác suất hợp lý cho biến cố đơn S, nắm xác suất

nằm khoảng từ đến (bao gồm 1) tổng số xác suất biến cố đơn

4 Định rõ biến cố quan tâm A tập hợp cụ thể biến cố đơn (Một

biến cố đơn A A xảy biến cố đơn xảy Hãy kiểm định tất biến cố đơn S để xác định biến cố đơn A)

5 Tìm P(A) cách cộng xác suất biến cố đơn A

 Khi biến cố đơn có khả xảy ngang nhau, lấy tổng số xác suất biến cố đơn A (bước 5) cách đếm điểm A nhân với xác suất biến cố đơn

 Việc tính tốn xác suất biến cố cách dùng thủ tục gồm năm bước mơ tả có hệ thống dẫn đến lời giải đúng, tất bước theo Những nguồn sai số bao gồm điều sau đây:

1 Việc khơng định rõ thí nghiệm (bước 1)

2 Việc không nêu rõ biến cố đơn (bước 2)

3 Việc không liệt kê tất biến cố đơn (bước 2)

(9)

Bài tập

Các kỹ thuật

3.1 Một thí nghiệm liên quan đến việc thảy súc sắc Hãy nêu rõ biến cố đơn

biến cố sau đây:

A : quan sát số B : quan sát số lẻ

C : quan sát số nhỏ D : quan sát A B

E : quan sát A B hai F : quan sát A C

Hãy tính xác suất biến cố từ A đến F cách cộng xác suất biến cố đơn thích hợp

3.2 Một thí nghiệm dẫn đến bốn biến cố đơn, với

1 , ) (E1 

P P(E2)0,15 P(E3)0,6 P(E4)0,15

Hãy giải thích việc ấn định xác suất cho biến cố đơn hợp lý khơng hợp lý

3.3 Một thí nghiệm dẫn đến năm biến cố,E1,E2,E3,E4,và E5 Nếu  E1 P(E2)P(E3)P(E4)0,15,

P tìm P(E5)

3.4 Một khơng gian mẫu có chứa năm biến cố đơn E1,E2,E3,E4, E5 Nếu P(E3) = 0,4, P(E4) = 2P(E5), P(E1) = P(E2) = 0,15, tìm xác suất E4 E5

3.5 Một không gian mẫu có chứa mười biến cố đơn, E1, E2, …, E10 Nếu P(E1) = 3P(E2) = 0,45, với

những biến cố đơn cịn lại có khả xảy ngang nhau, tìm xác suất biến cố đơn lại

3.6 Trò chơi ru-lét sử dụng vịng ru-lét có 38 ngăn Ba mươi sáu ngăn đánh số 1, 2, …, 36,

và hai ngăn lại đánh dấu 00 Vòng ru-lét quay tròn ngăn xác định “người thắng cuộc.” (Quả cầu nhỏ dừng lại ngăn người dự đốn ngăn thắng) Giả định việc quan sát ngăn có khả xảy ngăn khác

a Hãy xác định biến cố đơn lần quay vòng ru-lét b Hãy ấn định xác suất cho biến cố đơn

c Cho A biến cố anh/chị quan sát 00 Hãy liệt kê biến cố đơn biến cố

A , hày tìm P(A)

d Giả định anh/chị đánh cược vào số đến 18 Xác suất để số

anh/chị thành người thắng bao nhiêu?

Ứng dụng

3.7 Một cơng ty thăm dị dầu mỏ khoan trúng dầu khí 10% giếng khoan

(10)

William Mendenhall et al Biên dịch: Nguyễn Thị Xinh Xinh Hiệu đính: Cao Hào Thi 10

Biến cố Đơn

Kết Giếng khoan

Thứ

Kết Giếng khoan

Thứ hai Xác suất

1 Trúng (dầu hay khí) Trúng (dầu hay khí) 0,01

2 Trúng Khơng trúng ?

3 Không trúng Trúng 0,09 Không trúng Không trúng 0,81

a Hãy xây dựng giản đồ hình để biểu thị thí nghiệm

b Hãy tìm xác suất để cơng ty khoan trúng dầu hay khí giếng khoan thứ

không trúng giếng khoan thứ hai

c Hãy tìm xác suất để cơng ty khoan trúng dầu hay khí trong hai

giếng khoan

3.8 Một điều tra tiếp thị cho cửa hàng bách hóa lớn phân loại khách hàng cửa hàng

này dựa theo việc liệu họ nam hay nữ dựa theo nơi cư trú họ, vùng ngoại thành phố Các tỷ lệ khách hàng rơi vào bốn loại trình bày bảng xác suất sau Mỗi số liệu bảng thể kết có thí nghiệm (một biến cố đon)

Giới tính Nơi cư trú Nam Nữ

Vùng ngoại ô 0,17 0,67 Thành phố 0,04 0,12

Giả sử người trưởng thành đơn lẻ chọn từ nhóm khách hàng Hãy tìm xác suất sau

a xác suất để khách hàng cư trú vùng ngoại ô

b xác suất để khách hàng người nữ sống thành phố c xác suất để khách hàng người nam

3.9 Mỗi hai nhà phân tích thị trường cổ phiếu yêu cầu dự báo xem đến cuối 12 tháng

tới, liệu số trung bình cổ phiếu Dow-Jones tăng 100 điểm hay nhiều hơn, giảm 100 điểm hay nhiều hơn, thay đổi 100 điểm Như thí nghiệm gồm có việc quan sát cặp dự báo hai nhà phân tích thị trường đưa Giả sử nhà phân tích có khả chọn phương án ba phương án chọn lựa ngang khả chọn phương án lại

a Hãy liệt kê biến cố đơn không gian mẫu S Hãy sử dụng giản đồ hình

b Cho A biến cố hai nhà phân tích dự báo số trung bình Dow-Jones

tăng 100 điểm hay nhiều Hãy tìm biến cố đơn A

c Cho B biến cố hai nhà phân tích dự báo giống Hãy tìm biến cố đơn

B

d Hãy ấn định xác suất cho biến cố đơn S, tìm P(A) e Hãy tìm P(B)

3.10 Một cơng ty thực phẩm dự định tiến hành thí nghiệm để so sánh nhãn hiệu trà với

(11)

nhãn hiệu ba nhãn hiệu trà này, mà chúng khơng đánh dấu ngoại trừ ký hiệu nhận dạng A, B, C

a Hãy định rõ thí nghiệm

b Hãy liệt kê biến cố đơn S

c Nếu chun viên nếm trà khơng có lực phân biệt khác vị loại

trà, xác suất để chuyên viên nếm trà xếp loại trà A vào hạng ngon bao nhiêu? Vào hạng đáng mong muốn bao nhiêu?

3.11 Bốn người công đồn, hai người từ nhóm thiểu số, phân công bốn công

việc khác rõ ràng công việc dành cho người làm

a Hãy định rõ thí nghiệm

b Hãy liệt kê biến cố đơn S

c Nếu việc phân công làm công việc không thiên lệch―nghĩa

việc lệnh phân công có khả xảy việc lệnh khác―thì xác suất để hai người từ nhóm thiểu số phân cơng làm hai cơng việc đáng mong muốn bao nhiêu?

3.3 Sự Hợp thành Biến cố Quan hệ Biến cố

Thường quan tâm đến kết thí nghiệm tạo nên hợp thành (compotision) hai, hay nhiều hơn, biến cố Các biến cố thường tạo nên bởi hội (unions) hay giao (intersections) biến cố khác, hay kết hợp hai

ĐỊNH NGHĨA  Giao biến cố A B, ký hiệu AB, biến cố A B xảy ra.†



ĐỊNH NGHĨA  Hội biến cố A B, ký hiệu A  B, biến cố A B hai xảy 

THÍ DỤ 3.4 Căn vào thí nghiệm Thí dụ 3.2, hai đồng xu tung lên, định rõ

biến cố A : mặt ngửa biến cố B : mặt sấp

Định rõ biến cố A, B, AB, A  B tập hợp biến đơn, tìm xác suất chúng

Lời giải Hãy nhớ lại biến cố đơn thí nghiệm

(12)

E1 = HH (mặt ngửa đồng xu thứ nhất, mặt ngửa đồng xu thứ hai)

E2 = HT E3 = TH

E4 = TT

Sự xuất biến cố đơn E1, E2, hay E3 hàm ý có mặt ngửa định rõ

biến cố A,  

4 4

1   

 A

P Các biến cố khác định rõ cách tương tự

biến cố B: E2,E3,E4,

4 ) (B  P

biến cố AB: E2,E3,

2 ) (AB   P

biến cố AB: E1,E2,E3,E4, 4 ) (AB   P

Lưu ý A  B bao gồm tồn khơng gian mẫu chắn xảy Như thếP(AB)1 

Khi hai biến cố A B có tính loại trừ lẫn nhau, nghĩa A xảy B xảy ra, và ngược lại Các biến cố loại trừ lẫn gọi biến cố cách biệt (disjoint

events) Khi A B có tính loại trừ lẫn nhau, 1 P(AB)0

2 P(AB)P(A)P(B)

Cụ thể là, P(A) P(B) biết, không cần liệt kê biến đơn tạo thành A 

B cộng xác suất riêng chúng lại; mà đơn giản cộng P(A) P(B)

THÍ DỤ 3.5 Một tóm lược hoạt động (tổng số tiền tính la séc viết) tài khoản sử dụng séc cá nhân với số dư tối thiểu 1000$ ngân hàng trình bày bảng sau

Hoạt động Dưới 1000$ 1000−2999$ 3000−4999$ 5000−7999$ 8000$ cao

Tỷ lệ phần trăm 17% 43% 28% 9% 3%

Một tài khoản sử dụng séc với số dư tối thiểu 1000$ đơn lẻ chọn ngẫu nhiên từ tài khoản ngân hàng

a Hãy tìm xác suất biến cố sau đây:

A : hoạt động sử dụng séc 3.000$

B : hoạt động sử dụng séc từ 1000$ đến 4.999$ C : hoạt động sử dụng séc vượt 4.999$

b Hãy tìm P(B  C)

(13)

Lời giải Các biến cố đơn thí nghiệm cho bảng, với E1 = (dưới 1000$), E2 = (1000 − 2999$) v.v

a Như thế,

12 , 03 , 09 , ) ( ) ( ) ( 71 , 28 , 43 , ) ( ) ( ) ( 60 , 43 , 17 , ) ( ) ( ) ( 2                E P E P C P E P E P B P E P E P A P

b Biến cố B  C gồm có biến cố đơn E2, E3, E4, E5, 83 , 03 , 09 , 28 , 43 , )

(BC      P

c A C loại trừ lẫn nhau, B C Tuy nhiên, A B có chứa biến cố đơn chung E2 và không loại trừ lẫn Vì cho nên, A, B, C khơng loại trừ lẫn 

Sự bù (Complementation) mối quan hệ khác biến cố mà thường đơn giản hóa việc

tính tốn xác suất

ĐỊNH NGHĨA  Phần bù (complement) biến cố A, ký hiệu A , gồm có tất biến cố đơn không gian mẫu mà không A 

Phần bù A biến cố A không xảy Vì cho nên, A A loại trừ lẫn nhau, AAtạo

thành tồn khơng gian mẫu Tất yếu P(A)P(A)1và

) ( )

(A P A

P  

Thí dụ, biến cố A xuất mặt ngửa việc tung hai đồng xu khơng thiên lệch (xem Thí dụ 3.4), biến cố A xuất khơng có mặt ngửa việc tung đồng xu,

4 1 ) ( )

(A  P A    P

3.4 Xác suất có Điều kiện Biến cố Độc lập

(14)

trường Hoa Kỳ không giống với xác suất để B xảy sở anh/chị biết đô la Mỹ lên giá (biến cố A) thị trường Anh

Thí dụ, giả sử đô la Mỹ lên giá so với bảng Anh 60% tất ngày thị trường Anh, 50% tất ngày, lên giá hai thị trường Mỹ Anh (nghĩa P(A) = 0,6 P(AB) = 0,5) Như thế, anh/chị biết đô la Mỹ lên giá so với bảng Anh thị trường Anh, xác suất để lên giá thị trường Mỹ 5/6 Phân số này,

P(AB)/P(A), gọi xác suất có điều kiện (conditional probability) B sở biến

cố A xảy ra, biểu thị ký hiệu

P(B | A)

Gạch thẳng đứng biểu thức P(B | A) hiểu “cho trước” biến cố xuất bên phải gạch biến cố xảy

ĐỊNH NGHĨA  Xác suất có điều kiện B sở biến cố A xảy

, ) (

) ( ) | (

A P

AB P A B

P  với P(A)0

và xác suất có điều kiện A sở biến cố B xảy

, ) (

) ( ) | (

B P

AB P B A

P  với P(B)0 

THÍ DỤ 3.6 Hãy tính P(A | B) thí nghiệm thảy súc sắc mơ tả Hình 3.1,

A : quan sát số lẻ

B : quan sát số nhỏ

Lời giải Trên sở biến cố B (một số nhỏ 4) xảy ra, quan sát số 1, 2, hay 3, tất số xảy với tần suất Trong ba biến cố đơn này, xác hai biến cố (1 3) dẫn đến biến cố A (một số lẻ) Như thế,

3 ) | (A B  P

Hoặc có P(A | B) cách thay giá trị vào phương trình

3 2 /

3 / ) (

) ( ) |

(   

B P

AB P B A P

Lưu ý P(A | B) = 2/3 P(A) = 1/2, điều A B phụ thuộc lẫn 

ĐỊNH NGHĨA  Hai biến cố A B gọi độc lập (independent)

) ( ) |

(A B P A

P 

hoặc

) ( ) |

(B A P B

P 

(15)

Chuyển định nghĩa thành lời: Hai biến cố độc lập xuất hay không xuất hiện biến cố không làm thay đổi xác suất xuất biến cố Nếu P(A | B) =

P(A), P(B | A) P(B) Tương tự, P(A | B) P(A) khơng nhau, P(B | A) P(B) khơng

THÍ DỤ 3.7 Căn vào thí nghiệm thảy súc sắc Thí dụ 3.1,

A : quan sát số lẻ

B : quan sát số nhỏ

Hai biến cố A B có loại trừ lẫn khơng? Chúng có bù khơng? Chúng có độc lập không?

Lời giải Thể theo biến cố đơn, viết

biến cố A : E1, E3, E5 biến cố B : E1, E2, E3

Biến cố AB tập hợp biến cố đơn A B Bởi AB bao gồm biến cố E1 E3, nên A B không loại trừ lẫn Chúng khơng bù B khơng phải tập hợp tất cả kết S mà không A Kiểm định độc lập nằm định nghĩa về độc lập; nói rõ kiểm tra để xem liệu P(A | B) = P(A) hay khơng Từ Thí dụ 3.6, P(A | B) = 2/3 Như thế, P(A) = 1/2, nên P(A | B)  P(A) theo định nghĩa, biến cố A và B phụ thuộc 

Một phương pháp khác để giải toán xác suất dựa vào quan hệ biến cố hai quy tắc xác suất, mà trình bày khơng chứng minh Quy tắc thứ gọi là quy tắc cộng xác suất (additive rule of probability), đề cập đến hội biến cố

Quy tắc Cộng Xác suất

Cho trước hai biến cố A B, xác suất hội A  B chúng

) ( ) ( ) ( )

(A B P A P B P AB

P    

Nếu A B loại trừ lẫn nhau, P(AB) =

) ( ) ( )

(A B P A P B

P   

Hãy lưu ý tổng sốP(A)P(B)tính hai lần biến cố đơn nằm A lẫn B; việc trừ P(AB) cho kết

Quy tắc thứ hai xác suất gọi quy tắc nhân xác suất (multiplicative rule of

(16)

Xác suất để hai biến cố A B xảy

) | ( ) ( ) | ( ) ( )

(AB P A P B A P B P A B

P  

Nếu A B biến cố độc lập,

) ( ) ( )

(AB P A P B

P 

Tương tự, A, B, C biến cố độc lập với nhau, xác suất để A, B, C xảy

) ( ) ( ) ( )

(ABC P A P B P C

P 

THÍ DỤ 3.8 Giả sử anh/chị chọn lựa ngẫu nhiên ba cổ phiếu thường, A, B, C, từ số 500 cổ phiếu sử dụng để tính số trung bình Standard & Poor’s 500 cổ phiếu Xác suất để mức tăng năm ba cổ phiếu cao mức tăng số trung bình S&P bao nhiêu? Cho

A, B, C biểu thị biến cố cổ phiếu A, B, C có kết vượt trội số trung bình

S&P, giả địnhP(A)P(B)P(C)1/2

Lời giải Biến cố ba chọn lựa cổ phiếu vượt trội số trung bình S&P giao biến cố A, B, và C Chúng ta, khơng biết xác suất có điều kiện A, B, C, khơng thể dùng định nghĩa xác suất có điều kiện để kiểm định độc lập Mà ra, phải dựa vào trực giác Bởi chọn ba cổ phiếu theo cách thức không liên quan với nhau, nên dường khả việc chọn lựa cổ phiếu từ số 500 cổ phiếu nói ảnh hưởng nhiều đến việc chọn lựa cổ phiếu khác Vì lý này, tuyên bố biến cố độc lập tính

8 2 ) ( ) ( ) ( ) (                    

P A P B P C ABC

P

Như tính xác suất việc chọn lựa ba cổ phiếu mà vượt trội số trung bình S&P, 1/8 

Một bảng xác suất (probability table) biến cố A B bảng hai chiều, mà bốn số liệu bảng bốn xác suất giao P(AB), P(AB), P(AB), P(AB),và tổng số cột cuối bên phải hàng bảng tương ứng với xác suất không điều kiện P(A),P(A),P(B), vàP(B), Bảng 3.3 Có số điểm thú vị khá hiển nhiên từ bảng xác suất Một điểm là, biến cố A biểu gồm có hai phần―đó AB, biến cố đơn A mà B, A ,B biến cố

đơn A mà không B―do

) ( ) ( ) ( )

(A P AB AB P AB P AB

P    

(17)

suất thay đổi tỷ lệ (rescaled probability) không gian mẫu giảm tương đương với B

BẢNG 3.3

B B Tổng số

A P( AB) P(AB) P( A)

A P( BA ) P( AB) P( A)

Tổng số P(B) P(B)

THÍ DỤ 3.9 Một thương gia nhận đặt giao hàng may mặc qua đường bưu điện Thương gia bán hai dòng sản phẩm, dịng tương đối đắt, dịng khơng đắt Một điều tra đơn đặt hàng cho thấy tần suất tương đối đơn đặt hàng, phân theo dịng sản phẩm giới tính của khách hàng Trong Bảng 3.4, A biến cố khách hàng nữ B biến cố đơn đặt hàng từ dòng sản phẩm Giả sử khách hàng, người đặt đơn đặt hàng, chọn ngẫu nhiên

a Tìm xác suất để khách hàng nữ

b Tìm xác suất để đơn đặt hàng từ dòng sản phẩm

c Tìm xác suất để đơn đặt hàng từ dòng sản phẩm khách hàng nữ

d Tìm P(A  B), xác suất để khách hàng nữ đơn đặt hàng từ dòng sản phẩm 1, hai

e Tìm P(B | A)

f Hãy chứng tỏ A B phụ thuộc P(AB)P(A)P(B|A)

BẢNG 3.4

Dịng sản phẩm

Giới tính 1(B) 2 B ( ) Tổng số

Nữ (A) 0,516 0,205 0,721 Nam  A 0,132 0,147 0,279

Tổng 0,648 0,352 1,000

Lời giải A biến cố khách hàng nam, B biến cố đơn đặt hàng từ dòng sản phẩm

a P(A) = 0,721 tổng số hàng thứ b P(B) = 0,648 tổng số cột thứ

c P(AB), xác suất để khách hàng nữ đơn đặt hàng từ dòng sản phẩm 1,

0,516, số liệu hàng thứ cột thứ

(18)

William Mendenhall et al Biên dịch: Nguyễn Thị Xinh Xinh Hiệu đính: Cao Hào Thi 18 853 , 516 , 648 , 721 , ) ( ) ( ) ( ) (       

B P A P B P AB

A P

e Để tìm P(B | A), sử dụng mục ghi hàng thứ để tìm

716 , 721 , 516 , ) ( ) ( ) | (    A P AB P A B P

f Vì P(B|A) P(B)(xem phần (b) (e)), nên A B phụ thuộc Ngoài ra,

516 , ) (AB 

P thấy trực tiếp từ bảng

P(B|A)P(A)(0,716)(0,721)0,516

cho nênP(AB)P(A)P(B|A) 

THÍ DỤ 3.10 Một cơng ty phát 85% số người chọn cho chương trình thực tập cơng ty

hồn tất khóa học Trong số người này, 60% trở thành người bán hàng có hiệu quả, so với 10% số người thực tập mà khơng hồn tất chương trình thực tập

a Xác suất để người tham dự chương trình thực tập trở thành người bán hàng có hiệu

là bao nhiêu?

b Nếu người bán hàng, tham dự chương trình thực tập, cho có hiệu quả, xác

suất để người hồn tất chương trình thực tập

Lời giải Định rõ biến cố sau đây:

A : người thực tập hoàn tất chương trình thực tập

B : người thực tập trở thành người bán hàng có hiệu

Sử dụng giản đồ Hình 3.2 để biểu xác suất thích hợp Các xác suất bước thứ hai, trình bày ngoặc đơn, có điều kiện, cho trước bước thứ

a Một người tham dự chương trình thực tập sẽ khơng hồn tất chương trình Như

thế, P(B)P(AB)P(AB)0,51000,01500,5250

b Để tìm P(A | B), cần P(AB) = 0,5100 P(B) = 0,5250 từ phần (a) Như thế,

9714 , 5250 , 5100 , ) ( ) ( ) | (    B P AB P B A

(19)

Những Lời Gọi ý Giải Bài toán

Tính xác suất biến cố: phương pháp hợp thành-biến cố (event-composition approach)  Hãy sử dụng bước sau để tính xác suất biến cố cách sử dụng

phương pháp hợp thành-biến cố:

1 Định rõ thí nghiệm

2 Hãy hình dung rõ ràng chất biến cố đơn Hãy nhận dạng biến cố đơn

để làm rõ suy nghĩ anh/chị

3 Khi có thể, viết phương trình thể biến cố quan tâm (ví dụ, A)

một hợp thành hai hay hai biến cố, việc sử dụng hai, hai, dạng hợp thành (hội giao) Hãy lưu ý rằng, điều đánh đồng tập hợp điểm Hãy đảm bảo biến cố hàm ý hợp thành biến cố A thể tập hợp biến cố đơn

4 Hãy áp dụng Quy tắc Cộng Nhân Xác suất vào bước tìm P(A)

 Hãy cẩn thận với bước Anh/Chị thường cấu tạo nhiều hợp thành mà hợp thành tương đương với biến cố A Kỹ xảo cấu tạo hợp thành tất xác suất xuất bước biết Hãy hình dung kết bước hợp thành chọn hợp thành mà xác suất thành phần biết

 Hãy luôn viết chữ biểu biến cố mô tả tập Sau đó, viết xác suất cho, gắn chúng với biến cố Hãy xác định xác suất yêu cầu tập Điều giúp anh/chị đạt hợp thành biến cố thích hợp

) 15 , (

A

AB

B | A (0,60)

Bước Bước Kết

B A

) 40 , ( | A

B

) 10 , ( | A

B

) 90 , ( | A

B

Xác suất

P(AB)=0,5100

0150 , ) (AB  P

1350 , ) (AB  P A (0,85)

3400 , ) (AB  P

(20)

BÀI TẬP

Các Kỹ thuật Căn

3.12 Một thí nghiệm dẫn đến năm biến cố đơn có khả xảy ngang Các

biến cố A, B, C bao gồm biến cố đơn sau đây:

A: E1, E3 B: E1, E2, E4, E5 C: E3, E4

Hãy liệt kê biến cố đơn biến cố sau đây, tìm xác suất riêng chúng

a S b A c B

d C e A f B

g AB h AC i A | B

j AB k AB l A | C

3.13 Căn vào Bài tập 3.12 Có phải biến cố A B loại trừ lẫn nhau? Độc lập? Hãy giải thích

3.14 Một thí nghiệm tạo khơng gian mẫu có chứa tám biến cố đơn E1, E2, …,

E8, vớiP(E1)0,1,P(E2)P(E3)P(E4)0,05,P(E5)0,3,P(E6)0,2,P(E7)0,1,và

P(E8) = 0,15 Các biến cố A B

A: E1, E4, E6 B: E3, E4, E5, E6, E7

a Tìm P(A) b Tìm P(B) c Tìm P(AB) d Tìm P(A B)

e Có phải biến cố A bà B loại trừ lẫn nhau? Hãy giải thích f Tìm P(A | B)

g Tìm P(B | A)

h Có phải A B biến độc lập? Hãy giải thích

3.15 Một thí nghiệm dẫn đến biến cố A, với xác suất P(A) = 0,2, biến cố B, với xác suất P(B)

= 0,6 Xác suất giao A B P(AB) = 0,15

a Hãy lập bảng xác suất cho thí nghiệm

b Hãy sử dụng bảng xác suất phần (a) để tìm P AB , PA |B, P(A  B)

c Có phải A B biến độc lập? Hãy giải thích

Ứng dụng

3.16 Những đơn đặt hàng mới, sản phẩm công ty, biến đổi quy mô tính

đơ la dựa theo phân phối xác suất sau

Quy mô doanh số bán ($) 0−1000 1001−2000 2001−3000 3001−4000 4001−5000

Xác suất 0,10 0,35 0,25 0,20 0,10

(21)

b Tìm xác suất để đơn đặt hàng 2.000$ hay hơn, cho trước đơn đặt hàng

vượt 1.000$

c Tìm xác suất để đơn đặt hàng lớn 3.000$, cho trước doanh số bán vượt

2.000$

3.17 Các nhà nghiên cứu quảng cáo luôn quan tâm muốn biết liệu người tiêu dùng có nhận thấy

các mẫu quảng cáo họ tin hay không, đặc biệt mẫu quảng cáo chứa đựng ủng hộ người tiếng, vấn có máy quay phim ngầm, hay lời khẳng định sản phẩm “mới cải thiện” Dữ liệu bảng sau thể phần nhỏ điều tra Tổ chức Roper tiến hành Bảng cho thấy tỷ lệ người trưởng thành nhận thấy mẫu quảng cáo có ủng hộ người tiếng tin được, liệt kê dựa theo trình độ giáo dục người trưởng thành

Thấp Trung học

Tốt nghiệp Trung học

Phổ thông Một số năm Đại học Tốt nghiệp Đại học

Có thể tin 0,27 0,27 0,25 0,18

Nguồn: Tạp chí Nhân học Hoa Kỳ, tháng 12, 1990, trang 14

Giả sử người trưởng thành đơn lẻ chọn ngẫu nhiêu từ số người liệt kê điều tra

a Nếu tỷ lệ người tốt nghiệp đại học nhóm điều tra 0,24, xác suất để

người trưởng thành chọn người tốt nghiệp đại học không tin mẫu quảng cáo này, bao nhiêu?

b Nếu người trưởng thành chọn học xong số năm đại học, xác suất để người

không tin mẫu quảng cáo bao nhiêu?

c Nếu tỷ lệ người trưởng thành nhóm điều tra chưa vào đại học

0,4, xác suất để người trưởng thành chọn người chưa vào đại học tin mẫu quảng cáo bao nhiêu?

[Gợi ý: mục ghi bảng xác suất có điều kiện việc tin vào mẫu quảng cáo này, cho trước trình độ giáo dục người trưởng thành.]

3.18 Một điều tra gần doanh nghiệp Hoa Kỳ rằng, 27% doanh nghiệp

đều trì chương trình nghỉ phép sinh đẻ (vợ sinh chồng nghỉ) cho bậc cha mẹ đứa sinh Trong số doanh nghiệp này, phần ba cung cấp kiểu tiếp tục trả tiền lương suốt thời gian nghỉ phép, ba phần tư tiếp tục trợ cấp chăm sóc y tế (Tạp chí Nghề Kế tốn, tháng 11/1990, trang 23)

a Xác suất để doanh nghiệp chọn ngẫu nhiên cho nghỉ phép sinh đẻ, với hình

thức tiếp tục trả lương đó, bao nhiêu?

b Xác suất để doanh nghiệp chọn ngẫu nhiên cho nghỉ phép sinh đẻ, mà khơng tiếp

tục trợ cấp chi phí chăm sóc y tế, bao nhiêu?

3.19 Một điều tra bao gồm 100 xe hơi, xe phân loại dựa theo việc liệu có

phanh antilock (phanh giúp điều khiển xe ngừng xe thật nhanh) hay khơng liệu dính dáng đến tai nạn năm vừa qua hay không Giả sử xe chọn ngẫu nhiên để kiểm tra

(22)

b Xác suất để xe dính dáng đến tai nạn có phanh antilock bao

nhiêu?

c Cho trước xe dính dáng đến tai nạn năm vừa qua, xác suất để

nó có phanh antilock bao nhiêu?

Bảng cho Bài tập 3.19

Bộ phanh antilock Không có phanh antilock Tai nạn 0,03 0,12

Không tai nạn 0,40 0,45

Nguồn: Dữ liệu theo Tạp chí Nghiên cứu Người Tiêu dùng, tháng 3/1994

3.20 Một viết Tạp chí Nghiên cứu Người Tiêu dùng (“Antilock Brakes”, 1994) trình bày

43% tất xe kiểu 1993 có trang bị phanh antilock Giả sử ba xe kiểu 1993 chọn ngẫu nhiên để kiểm tra

a Cho trước xe thứ chọn có phanh antilock, xác suất để xe thứ

hai chọn có phanh antilock bao nhiêu?

b Có phải hai biến cố mơ tả phần (a) độc lập? Hãy giải thích c Xác suất để ba xe chọn có phân antilock bao nhiêu? d Xác suất để ba xe chọn có phanh antilock bao nhiêu?

3.21 Một điều tra tiến hành để đánh giá tác động siêu xa lộ thông tin

doanh nghiệp Hoa Kỳ Dựa điều tra nhà điều hành tiếp thị cao cấp này, 40% nói họ sử dụng siêu xa lộ thông tin để tương tác trực tiếp với khách hàng, 36% nói họ khơng, 24% trả lời

a Nếu nhà điều hành tiếp thị cao cấp chọn ngẫu nhiên, xác suất để nhà điều hành

này sử dụng siêu xa lộ thông tin để tương tác trực tiếp với khách hàng bao nhiêu?

b Nếu hai nhà điều hành tiếp thị cao cấp chọn ngẫu nhiêu, xác suất để nhà

điều hành sử dụng siêu xa lộ thông tin để tương tác trực tiếp với khách hàng bao nhiêu?

3.22 Một viết Báo cáo Người Tiêu dùng (“Xếp hạng: Sơn Nội thất Latex,” 1994) xếp

hạng 35 nhãn hiệu sơn nội thất latex cách sử dụng phân loại định tính trình bày

Thứ hạng Số lượng Nhãn hiệu

Tuyệt hảo Rất tốt 21

Tốt 11

Trung bình

Kém

Giả sử người tiêu dùng chọn 35 nhãn hiệu cách ngẫu nhiên

a Xác suất để người tiêu dùng chọn nhãn hiệu “tuyệt hảo” bao nhiêu?

b Xác suất để người tiêu dùng chọn nhãn hiệu xếp hạng “tốt” bao

nhiêu?

c Xác suất để người tiêu dùng chọn nhãn hiệu không xếp hạng “rất tốt”

“tuyệt hảo” bao nhiêu?

d Nếu người tiêu dùng chọn hai nhãn hiệu khác để so sánh, xác suất để hai nhãn

(23)

3.23 Một hệ thống vòi cứu hỏa sử dụng cao ốc thương mại thiết kế vịi cứu

hỏa kích hoạt thơng qua hai thiết bị độc lập Vòi cứu hỏa hoạt động hai thiết bị (hoặc hai) kích hoạt Độ tin cậy thiết bị thứ (xác suất để kích hoạt đạt đến nhiệt độ định) 0,91, độ tin cậy thiết bị thứ hai 0,95 Xác suất để vòi cứu hỏa hoạt động đạt đến nhiệt độ định bao nhiêu?

3.5 Quy tắc Bayes Xác suất có Điều kiện (Tùy chọn)

Các xác suất có điều kiện cho phép cập nhật xác suất cách dùng thông tin trở nên có sẵn Thí dụ, biết tiên nghiệm, hay trước thật xảy ra, tất đơn vị đầu vào sử dụng quy trình sản xuất ba nhà cung ứng khác cung cấp, nhà cung ứng S1 cung cấp 20% đơn vị đầu vào này, nhà cung ứng S2 cung cấp 30%, nhà cung ứng S3 cung cấp 50% lại Vì vậy, khơng có sẵn thơng tin khác đơn vị đầu vào chọn ngẫu nhiên từ quy trình sản xuất này, xác suất để đơn vị đầu vào đến từ nhà cung ứng S1 0,20, từ nhà cung ứng S2 0,30, từ nhà cung ứng S2 0,50

Từ kết thực khứ, tỷ lệ phần trăm đơn vị đầu vào có khuyết tật cung cấp ba nhà cung ứng S1 : 0,05, S2 : 0,02 S3 : 0,01 Nếu đơn vị đầu vào chọn ngẫu nhiên từ quy trình sản xuất phát có khuyết tật, xác suất để đơn vị đầu vào cung cấp S1 bao nhiêu? S2 bao nhiêu? S3 bao nhiêu? Nghĩa là, thông tin làm thay đổi xác suất tiên nghiệm (prior probabilities) để đơn vị đầu vào đến từ ba nhà cung ứng?

Nếu D biến cố đơn vị đầu vào có khuyết tật quan sát thấy, ba nhà cung ứng cung cấp đơn vị đầu vào Chúng ta mong muốn cập nhật xác suất tiên nghiệm, P(Si), cách sử dụng xác suất có điều kiện dạng P(Si|D)

Thơng tin liên quan cho giản đồ hình Hình 3.3 Các xác suất bước thứ hai có điều kiện, sở bước thứ Thí dụ, xác suất để đơn vị đầu vào có khuyết tật, cho trước nhà cung ứng S1, P(D | S1) = 0,05

Giả sử mong muốn tìm xác suất hậu suy/hậu nghiệm(posterior probabilities) được cập nhật với thông tin mẫu Thí dụ, để tìm P(S1 | D), có

     D P D S P D S P

1| 

Từ giản đồ hình Hình 3.3, P(D) tổng số ba kết dẫn đến D Như thế,

                    021 , 005 , 006 , 010 , | | |

1 1 2 2 3 3

3           S D P S P S D P S P S D P S P D S P D S P D S P D P

Vì P    S1D P S1 P D|S10,200,050,10, dođó

  0,476

021 , 010 , |

1 D  

S P

(24)

    0,238

021 , 005 | 286 021 , 006 , | 3

2 D   P S D  

S P

Bằng viêc sử dụng xác suất tiên nghiệm, đơn vị đầu vào nhiều khả cung ứng nhà cung ứng S3 Bằng việc sử dụng xác suất hậu suy, đơn vị đầu vào chọn làm mẫu nhiều khả đến từ nhà cung ứng S1

Phương pháp tính tốn xác suất hậu suy thường gọi Quy tắc Bayes, đặt theo tên nhà toán học Anh, Thomas Bayes

Quy tắc Bayes (Công thức Bayess)

Cho S1, S2, …, Sk biểu k trạng thái tự nhiên (states of nature) có loại

trừ lẫn nhau, với xác suất tiên nghiệm P(S1), P(S2), …, P(Sk) Nếu biến cố A xảy ra,

xác suất hậu suy Si sở A xảy xác suất có điều kiện

             k j j j i i i S A P S P S A P S P A S P | | |

với i = 1, 2, …, k

THÍ DỤ 3.11 Một cửa hàng bách hóa xem xét việc thực sách quản lý tín dụng mới,

nỗ lực nhằm cắt giảm số lượng khách hàng tín dụng khơng trả khoản tốn nợ họ Bà giám đốc tín dụng đề nghị tương lai, phải đình tín dụng khách hàng có hai lần trễ hạn tuần hay lâu hơn, việc trả góp nợ hàng tháng Bà hỗ trợ lời yêu cầu cách lưu ý rằng, hồ sơ tín dụng khứ cho thấy 90% tất

S2D

D S

3

S1 (0,20)

) 95 , ( | S D

D | S1 (0,05)

) 01 , ( | S D ) 99 , ( | S D

Bước Bước Kết Xác suất

0,006 ) 02 , ( | S D ) 98 , ( | S D

S2 (0,30)

S3 (0,50)

S1D

S3D

S1D

S2D

0,190 0,010

0,294

0,005

(25)

cả người khơng trả khoản tốn nợ họ trễ hạn hai khoản toán hàng tháng

Giả sử từ việc điều tra riêng mình, tìm có 2% tất khách hàng tín dụng thật khơng trả khoản tốn nợ 45% số người khơng quịt nợ có hai khoản toán hàng tháng trễ hạn Hãy tìm xác suất để khách hàng có hai hay nhiều khoản toán trễ hạn thật khơng trả khoản tốn mình, và, ánh sáng xác suất này, phê phán kế hoạch tín dụng giám đốc tín dụng

Lời giải Định rõ biến cố L D sau:

biến cố L : khách hàng tín dụng bị trễ hạn hai tuần hay nhiều với hai khoản toán hàng tháng

biến cố D : khách hàng tín dụng khơng trả khoản tốn nợ

và cho D biểu thị phần bù biến cố D Chúng ta tìm xác suất có điều kiện

               D P D L P D P D L P D P D L P L P DL P L D P | | | |   

Từ thông tin cho nội dung mô tả tốn, tìm

        0,0392

4410 , 0180 , 0180 , 98 , 45 , 02 , 90 , 02 , 90 , |      L D P

Vì thế, kế hoạch giám đốc tín dụng thực hiện, xác suất vào khoảng 0,04hay vào khoảng 25để khách hàng, mà bị đặc quyền tín dụng mình, lẽ thật khơng trả khoản tốn nợ Kế hoạch giám đốc tín dụng sách kinh doanh kém, trừ ban giám đốc cho đáng bỏ công phát khách hàng không trả nợ triển vọng dù phải chịu phí tổn 24 khách hàng tín dụng tốt 

BÀI TẬP

3.24 Giả sử ba trạng thái tự nhiên loại trừ lẫn nhau, S1, S2, S3, tồn với xác suất  S1 0,4

P P S2 0,5 P S3 0,1

và sở trạng trái tự nhiên này, biến cố I xảy với xác suất I|S10,1

P PI|S20,3 PI|S30,2

Cho trước biến cố I quan sát thấy, tìmPS1|I, PS2 |I, PS3|I

3.25 Giả sử bốn trạng thái tự nhiên loại trừ lẫn nhau, S1, S2, S3, S4 tồn với xác

suất

 S1 0,1

P P S2 0,4 P S3 0,3 P S4 0,2

(26)

I|S10,6

P PI|S20,2 PI|S30,2 PI |S40,5

Cho trước biến cố I quan sát thấy, tìm PS1|I, PS2 |I, PS3|I, PS4|I

Ứng dụng

3.26 Khi đơn vị sản phẩm đến tận cuối dây chuyền sản xuất, người kiểm tra chọn đơn vị

sản phẩm phải qua kiểm tra toàn diện Mười phần trăm tất đơn vị sản phẩm sản xuất có khuyết tật Sáu mươi phần trăm tất đơn vị sản phẩm có khuyết tật qua kiểm tra toàn diện, 20% tất đơn vị sản phẩm tốt qua kiểm tra toàn diện Cho trước đơn vị sản phẩm kiểm tra tồn diện, xác suất có khuyết tật bao nhiêu?

3.27 Với đe dọa gần chủ nghĩa khủng bố, sân bay ngày lo lắng việc phát

hiện vũ khí cổng đón hành khách lên máy bay Các tỷ lệ phát vũ khí mang người hay hành lý xách tay họ phải cao Ở thành phố cụ thể, sân bay A xử lý 50% toàn vận tải đường không, sân bay B C xử lý 30% 20% Các tỷ lệ phát sân bay A 0,99, sân bay B 0,95, sân bay C 0,80 Nếu hành khách sân bay bị phát mang theo vũ khí qua cổng lên máy bay, xác suất hành khách sử dụng sân bay A bao nhiêu? sân bay C bao nhiêu?

3.28 Giả sử 50% tất người điền vào mẫu khai thuế thu nhập dài cố tìm

những khoản khấu trừ mà họ biết bất hợp pháp 2% liệt kê không khoản khấu trừ, thiếu hiểu biết quy định thuế thu nhập Trong số 5% phạm tội gian lận, có 80% khơng chịu nhận biết rõ sai lầm bị đối chất nhà điều tra Nếu người điền mẫu khai thuế dài bị đối chất với khoản khấu trừ khơng đáng người khơng chịu nhận biết rõ sai lầm này, xác suất người phạm tội bao nhiêu?

3.6 Những Biến Ngẫu nhiên Rời rạc Phân phối Xác suất Chúng

Trong Chương 2, định nghĩa biến đặc trưng thay đổi hay biến đổi theo thời gian và/hoặc cá nhân hay đối tượng khác xem xét Các biến định

lượng dẫn đến giá trị đo lường số, biến định tính dẫn đến giá

trị đo lường phân loại Tuy nhiên, biến định tính dẫn đến giá trị đo lường số, đếm số lượng cá nhân hay phần tử loại định rõ

Nếu biểu thị biến đo lường x, giá trị mà x nhận thay đổi hay biến đổi, phụ thuộc vào kết cụ thể thí nghiệm Thí dụ, giả sử cho x biểu thị sản lượng hàng ngày nhà máy chế tạo công nghiệp Biến x nhận số giá trị khác nhau phụ thuộc vào ngày mà đo lường x Tương tự, doanh số bán khóa sổ ngày một người bán thực biến định lượng x, mà giá trị phụ thuộc vào ngày lấy giá trị đo lường Nếu giá trị biến x phụ thuộc vào kết ngẫu nhiên thí nghiệm, chúng ta gọi biến x biến ngẫu nhiên (random variable)

ĐỊNH NGHĨA  Biến x biến ngẫu nhiên giá trị nhận được, tương ứng với kết thí nghiệm, biến cố ngẫu nhiên 

(27)

(SAT) người, việc đo lường số lượng gọi điện thoại nhận đường dây nóng can thiệp vào lúc nguy kịch suốt thời kỳ chọn ngẫu nhiên, tất dẫn đến biến cố số ngẫu nhiên

Các biến ngẫu nhiên định lượng phân loại thành rời rạc liên tục dựa theo giá trị mà x nhận Sự phân biệt biến ngẫu nhiên rời rạc liên tục quan trọng, mơ hình xác suất khác cần sử dụng loại biến Chúng ta tập trung ý vào biến ngẫu nhiên rời rạc phần lại chương Biến ngẫu nhiên liên tục chủ đề Chương

ĐỊNH NGHĨA  Phân phối xác suất (probability distribution) biến ngẫu nhiên rời rạc công thức, bảng hay đồ thị mà cung cấp p(x), xác suất gắn với giá trị

x 

Các biến cố gắn với giá trị khác x khơng thể trùng lắp, giá trị x định cho biến cố đơn; giá trị x biểu thị biến cố bằng số loại trừ lẫn Tính tổng số p(x) tất giá trị x tổng số xác suất tất biến cố đơn,

Những Yêu cầu Phân phối Xác suất Rời rạc 1 0 p x 1

2  

x



p x

THÍ DỤ 3.12 Xét thí nghiệm bao gồm việc tung hai đồng xu, cho x số lượng mặt ngửa quan sát được Hãy tìm phân phối xác suất x

Lời giải Đối với thí nghiệm này, biến cố đơn với xác suất tương ứng chúng trình bày sau:

Biến cố

Đơn Đồng xu Đồng xu P(Ei) x

E1 H H 1/4

E2 H T 1/4

E3 T H 1/4

E4 T T 1/4

Vì E1 đơi với biến cố đơn “quan sát mặt ngửa đồng xu mặt ngửa đồng xu 2,” nên gán cho giá trị x = Tương tự, gán x = cho biến cố E2, v.v Chúng ta tính xác suất giá trị x cách cộng xác suất biến cố đơn biến cố số Biến cố số x = chứa đựng biến cố đơn, E4; biến cố x = 1 chứa đựng hai biến cố đơn, E2 E3; x = chứa đựng biến cố đơn, E1 Các giá trị x với xác suất tương ứng chúng trình bày Bảng 3.5

Nhận thấy





2

0

1 ) (

x

(28)

BẢNG 3.5 Phân phối xác suất x (x = số mặt ngửa)

Các Biến cố Đơn

x trong x p(x)

0 E4 ¼

1 E2, E3 ẵ

2 E1 ẳ



2

0

) (

x

p

Phân phối xác suất Bảng 3.5 trình bày đồ thị dạng biểu đồ tần suất tương đối (xem Mục 2.4 nguyên tiếng Anh)† Biểu đồ tần suất biến ngẫu nhiên x có ba lớp, tương ứng với x = 0, x = 1, x = Bởi p(0) = 1/4, nên tần suất tương đối lý thuyết x = 1/4; p(1) = 1/2, tần suất tương đối lý thuyết đối với x = 1/2 Hình 3.4 trình bày biểu đồ tần suất

Có lẽ anh/chị ý tương tự phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc biểu đồ tần suất tương đối thảo luận Chương (trong nguyên tiếng Anh) Sự khác biệt biểu đồ tần suất tương đối xây dựng cho mẫu gồm n giá trị đo lường rút từ tổng thể, biểu đồ xác suất xây dựng mơ hình cho tồn

tổng thể giá trị đo lường Giống tính số trung bình độ lệch chuẩn cho

mẫu gồm n giá trị đo lường để đo lường vị trí độ biến thiên phân phối tần suất tương đối, tính số trung bình độ lệch chuẩn để mơ tả phân phối xác suất cho một biến ngẫu nhiên Trung bình tổng thể, đo lường giá trị trung bình x tổng thể, được gọi giá trị kỳ vọng (expected value) biến ngẫu nhiên x

Phương pháp tính tốn trung bình tổng thể hay giá trị kỳ vọng biến ngẫu nhiên có thể dễ hiểu cách xem xét thí dụ Cho x số lượng mặt ngửa quan sát trong việc tung hai đồng xu Để cho thuận tiện, p(x) cho sau

x

p(x) 1/4 1/2 1/4

†

Phân phối xác suất Bảng 3.5 trình bày cách sử dụng cơng thức, cho Mục 4.2

HÌNH 3.4 Biểu đồ xác suất hình thanh p(x) cho

(29)

Giả sử thí nghiệm lặp lại số lượng lớn lần―chẳng hạn như, n = 4.000.000 lần Theo trực giác, kỳ vọng quan sát xấp xỉ triệu số 0, 2 triệu số 1, triệu số Như giá trị trung bình x

000 000 ) ( 000 000 ) ( 000 000 ) ( 000 000

1  

 000 000 ) ( 000 000 000 000 ) ( 000 000 000 000 ) ( 000 000   

        1/4  1/2  1/4



Lưu ý số hạng tổng (0)p(0), số hạng thứ hai (1)p(1), số hạng thứ ba (2)p(2) Như thế, giá trị trung bình x

     x x xp

Kết khơng phải tình cờ, mang lại biện minh theo trực giác cho định nghĩa về giá trị kỳ vọng biến ngẫu nhiên rời rạc x

ĐỊNH NGHĨA  Gọi x môt biến ngẫu nhiên rời rạc với phân phối xác suất p(x) Số trung bình hay giá trị

kỳ vọng x (expected value of x) cho sau:

   x x xp x

E( ) ( )



trong phần tử tính tổng số giá trị biến ngẫu nhiên x 

THÍ DỤ 3.13 Trong xổ số tiến hành để giúp quỹ từ thiện địa phương, 10.000 vé số bán với giá 5USD vé Giải thưởng xe ôtô trị giá 12.000USD Nếu anh/chị mua hai vé số, khoản lợi (gain) kỳ vọng anh/chị bao nhiêu?

Lời giải Khoản lợi x anh/chị nhận hai giá trị Anh/Chị 10USD (nghĩa khoản lợi −10USD) nhận 11.990USD, với xác suất 0,9998 0,0002 Phân phối xác suất khoản lợi x sau:

x p(x)

−10$ 0,9998 11.990$ 0,0002

Khoản lợi kỳ vọng

    x x xp x E       $ 60 , 0002 , $ 990 11 9998 , $ 10     

Hãy nhớ lại giá trị kỳ vọng x số trung bình tổng thể lý thuyết mà tạo xổ số lặp lại số lượng lớn vơ hạn lần Nếu thế, khoản lợi trung bình hay kỳ vọng lần xổ số khoản lợi âm (khoản lỗ) 7,6USD 

Tổng giá trị đo lường

(30)

THÍ DỤ 3.14 Hãy xác định phí bảo hiểm hàng năm cho hợp đồng bảo hiểm có giá trị 1000USD bảo hiểm biến cố xảy với tỷ lệ lần 100, suốt thời kỳ dài Gọi x khoản lợi tài hàng năm cơng ty bảo hiểm việc bán hợp đồng bảo hiểm này, gọi C bằng mức phí bảo hiểm hàng năm chưa biết Chúng ta tính giá trị C cho khoản lợi kỳ vọng, E(x), Như C mức phí bảo hiểm cần thiết để hịa vốn Cơng ty cộng thêm chi phí hành lợi nhuận vào số

Lời giải Bước thứ lời giải xác định giá trị mà khoản lợi x nhận sau xác định

p(x) Nếu biến cố không xảy suốt năm xét, cơng ty bảo hiểm nhận

phí bảo hiểm x = C la Nếu biến cố thực xảy ra, khoản lợi âm Cụ thể là, công ty sẽ 1000USD trừ phí bảo hiểm C đô la thu Như thế, x = −(1000 − C) đô la Các xác suất đôi với hai giá trị x 98/100 2/100 Phân phối xác suất khoản lợi sau:

x = khoản lợi (gain) p(x) C

100 98

−(1.000 − C)

100

Bởi muốn phí bảo hiểm C cho, dài hạn (đối với nhiều hợp đồng bảo hiểm tương tự), khoản lợi trung bình 0, nên ấn định giá trị kỳ vọng x giải phương trình để tìm C Như thế,

   

x

x xp x

E

 

 

100 000 100

98 

       

      

C C

hoặc

0 20 100

2 100

98  

     

 C

C

Giải phương trình để tìm C, có

C = 20$

(31)

Trong Chương 2, định nghĩa phương sai tổng thể 2

trung bình bình phương độ lệch giá trị đo lường so với trung bình chúng Bởi có kỳ vọng thì tương đương với “tính trung bình,” nên định nghĩa phương sai độ lệch chuẩn sau

ĐỊNH NGHĨA  Gọi x biến ngẫu nhiên rời rạc với phân phối xác suất p(x) giá trị kỳ vọng E(x) = 

Phương sai x (variance of x)

x  x   p x E

x

 

 

 2

2

]

[  



trong việc tính tổng số thực giá trị biến ngẫu nhiên x.†  ĐỊNH NGHĨA  Độ lệch chuẩn  biến ngẫu nhiên bậc hai phương sai 

THÍ DỤ 3.15 Gọi x biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất cho bảng sau đây:

x

p(x) 0,10 0,40 0,20 0,15 0,10 0,05

Hãy tìm , 2  Vẽ đồ thị p(x) xác định vị trí khoảng  2 đồ thị Xác suất để x nằm khoảng  2 bao nhiêu?

Lời giải                                   34 , 79 , 1,79 05 , , 40 , , 1 10 , , 90 , 05 , 10 , 40 , 10 , 0 2 2 2                                  x x x p x x E x xp x E

Khoảng ( 2) [1,90  (2) (1,34)], hay − 0,78 đến 4,58

Đồ thị p(x) khoảng   2 trình bày Hình 3.5 Anh/Chị thấy x = 0, 1, 2, 3, nằm khoảng Vì thế,

† Có thể cho thấy (bỏ qua việc chứng minh)

   2  

2  

  x p x x p x 

x x

Kết tương đồng với công thức tắt s2

(32)

p( − 2 < x <  + 2) = p(0) + p(1) +…+p(4)

= 0,10 + 0,40 + 0,20 + 0,15 + 0,10 = 0,95 

Những lời Gợi ý Giải Bài tốn

1 Để tìm giá trị kỳ vọng biến ngẫu nhiên rời rạc x, lập bảng có ba cột, cột thứ

nhất dành cho x cột thứ hai dành cho p(x) Sau đó, nhân giá trị x với xác suất tương ứng ghi kết vào cột thứ ba Tổng số cột thứ ba này, tức tổng số xp(x), cho anh/chị giá trị kỳ vọng x

2 Để tìm 2 cho biến ngẫu nhiên rời rạc x, bắt đầu bảng có bốn cột, cột thứ nhất dành cho x, cột thứ hai dành cho (x − )2, cột thứ ba dành cho p(x), cột thứ tư dành cho tích chéo (cross products), (x − )2 p(x) Trước hết, tính giá trị (x − )2 cho giá trị x ghi kết vào cột Kế đó, tính tích chéo (x − )2 p(x) cho giá trị x, ghi kết vào cột Tổng số cột cho anh/chị giá trị 2

Bài tập

3.29 Một biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất sau đây:

x

p(x) 0,1 0,3 0,4 0,1 ? 0,05

a Tìm p(4)

(33)

b Xây dựng biểu đồ xác suất để mô tả p(x) 3.30 Căn vào Bài tập 3.29

a Xác suất x = bao nhiêu? là bao nhiêu? b Xác suất để x không lớn bao nhiêu?

c Tìm  = E(x) 2

3.31 Phân phối phân phối sau phân phối xác suất Hãy giải

thích

a x p(x) b x p(x) c x p(x)

1,5 0,60 −1 0,2

2,0 0,25 2 0,4

6,5 0,15 3 0,2

3

3.32 Cho x biến ngẫu nhiên rời rạc với phân phối xác suất cho bảng sau đây:

x

p(x) 0,05 0,2 0,35 0,2 0,1 0,05 0,05

a Tìm , 2, 

b Xây dựng biểu đồ xác suất hình cho p(x)

c Xác định vị trí khoảng (  2) trục x biểu đồ Xác suất để x nằm khoảng bao nhiêu?

d Nếu mà anh/chị chọn số lớn giá trị x từ tổng thể này, có phải hầu hết nằm

trong khoảng ( 2)? Hãy giải thích

Ứng dụng

3.33 Một viên kim cương trị giá 50.000USD bảo hiểm cho toàn giá trị nó, cách trả

một mức phí bảo hiểm D la Nếu xác suất vụ trộm năm cho trước ước lượng 0,01, cơng ty bảo hiểm phái tính mức phí bảo hiểm cơng ty muốn khoản lợi (gain) kỳ vọng 1000USD?

3.34 Thời gian tồn tối đa sáng chế thuốc 17 năm Trừ khoảng thời

gian cần thiết cho việc thử nghiệm chấp thuận thuốc Cơ quan Quản lý Thực phẩm Dược phẩm, anh/chị có thời gian tồn thực tế sáng chế thuốc này―nghĩa là, khoảng thời gian mà công ty phải thu hồi chi phí nghiên cứu phát triển kiếm lợi nhuận Giả sử phân phối khoảng thời gian tồn sáng chế thuốc cho thấy bảng sau đây:

Năm, x 10 11 12 13

p(x) 0,03 0,05 0,07 0,10 0,14 0,20 0,18 0,12 0,07 0,03 0,01

a Tìm số năm kỳ vọng thời gian tồn sáng chế thuốc b Tìm độ lệch chuẩn x

(34)

3.35 Khi hỏi liệu có nên giới hạn thời gian giữ nhiệm vụ nghị sĩ Quốc hội 12 năm

hay không, 61% người Mỹ dược hỏi tán thành giới hạn nhiệm kỳ Quốc hội 12 năm (Galifianakis, 1994) Giả sử ba người chọn ngẫu nhiên hỏi liệu họ có tán thành giới hạn nhiệm kỳ Quốc hội 12 năm hay không Gọi x số người tán thành giới hạn nhiệm kỳ quốc hội 12 năm

a Tìm phân phối xác suất cho x

b Xây dựng biểu đồ xác suất hình cho x

c Xác suất để hai người tán thành giới hạn nhiệm kỳ quốc hội 12 năm

bao nhiêu?

d Tìm trung bình độ lệch chuẩn x

3.36 Một người đại diện nhà sản xuất xem xét phương án nhận hợp đồng bảo

hiểm, để bảo hiểm tổn thất có phát sinh việc tiếp thị sản phẩm Nếu sản phẩm thất bại hồn tồn, người đại diện cảm nhận phải chịu khoản lỗ 80.000USD; thành cơng vừa phải, phải chịu khoản lỗ 25.000USD Các chun viên tính tốn bảo hiểm xác định, dựa điều tra thị trường thơng tin có sẵn khác, xác suất để sản phẩm thất bại 0,01 xác suất để sản phẩm thành công vừa phải 0,05 Giả định người đại diện nhà sản xuất sẵn lòng bỏ qua tất tổn thất có khác, cơng ty bảo hiểm nên tính mức phí bảo hiểm hợp đồng bảo hiểm để hòa vốn?

3.37 Một công ty chế tạo vận chuyển sản phẩm xe mc theo xe tải với hai cỡ khác

Bài đọc 5.1. Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed., Chương 3: Xác suất và những phân phối: Xác suất rời rạc, Phần 3.6

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan