Hình 12 toán 12 hình học c i khoi da dien

 Các bài toán tìm khoảng cách: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng, trong nhiều trường hợp có thể qui về bài toán thể tích khối đa diện..  P[r]

KHỐI ĐA DIỆN

1

Chương

ÔN TẬP

1/ Các hệ thức lượng tam giác vuông

Cho

D

ABC

vuông A, AH đường cao, AM đường trung tuyến Ta có:

2/ Các hệ thức lượng tam giác thường a) Định lí hàm số cosin

b) Định lí hàm số sin

c) Cơng thức tính diện tích tam giác

d) Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến tam giác

2 2

2

2

4

AB

AC

BC

AM

+

*

=

-

2 2

2

2

4

BA

BC

AC

BN

+

*

=

-

A C B R

2

sin

sin

sin

a

b

c

R

A

=

B

=

C

=

(R bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC) b

c

a

HÌNH HỌC PHẲNG

A

B C

b c

a p – nửa chu vi

r – bán kính đường trịn nội tiếp



1

.

1

.

1

.

2

2

2

ABC a b c

S

D

=

a h

=

bh

=

c h



1

sin

1

sin

1

sin

2

2

2

ABC

S

D

=

ab

C

=

bc

A

=

ac

B



,

.

4

ABC ABC

abc

S

S

p r

R

D

=

D

=



(

)(

)(

)

,

2

ABC

a

b

c

S

D

=

p p

-

a p

-

b p

-

c

ỗ

ỗ

ỗ

ổ

p

=

+

+ ữ

ử

ữ

ữ

ố

ứ

A

B C

b c a

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

cos

cos

2

2

cos

cos

2

2

cos

cos

2

b

c

a

a

b

c

bc

A

A

bc

a

c

b

b

a

c

ac

B

B

ac

a

b

c

c

a

b

ab

C

C

ab

+

-*

=

+

-

Þ

=

+

-*

=

+

-

Þ

=

+

-*

=

+

-

Þ

=

A

B C

H M

 2

(

)

BC = AB + AC Pitago  AH BC = AB AC

 AB2= BH BC AC. , =CH CB.



2 2

1 1

, AH HB HC AH = AB + AC =



2 BC AM =

A

B C

N K

M

2 2

2

2

4

CA

CB

AB

CK

+

*

=

-

3/ Định lí Talet

4/ Diện tích đa giác

a/ Diện tích tam giác vng

 Diện tích tam giác vng ½ tích cạnh góc vng

b/ Diện tích tam giác

 Diện tích tam giác đều:

3

4

S

D

=

 Chiều cao tam giác đều:

3

2

h

D

=

c/ Diện tích hình vng hình chữ nhật  Diện tích hình vng cạnh bình phương  Đường chéo hình vng cạnh nhân

2

 Diện tích hình chữ nhật dài nhân rộng

d/ Diện tích hình thang  Diện tích hình thang:

SHình Thang

1

2

=

(đáy lớn +đáy bé) xchiều cao

e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc  Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc

nhau ½ tích hai đường chéo

 Hình thoi có hai đường chéo vng góc trung điểm đường

Lưu ý: Trong tính tốn diện tích, ta chia đa giác thành hình đơn giản dễ tính diện tích, sau cộng diện tích chia này, ta diện tích đa giác

2

/ /

AMN ABC

AM

AN

MN

MN

BC

k

AB

AC

BC

S

AM

k

S

AB

D D

*

Þ

=

=

=

ổ

ử

ữ

ỗ

ữ

*

=

ỗ

ỗ

ữ

=

ữ

ỗ

ố

ứ

(T din tớch bng t bình phương đồng dạng) A

B C

N M

A C

B

1

ABC

SD AB AC

Þ = A B C

a

h

3

4

3

2

ABC

a

S

a

h

D

ìï

ï

=

ïï

ù

ị ớ

ùù

=

ùù

ùợ

A B

C D

a

O

2

HV

S

a

AC

BD

a

ì

=

ïïï

Þ í

ï

=

=

ïïỵ

A

B H C

D

(

)

.

2

AD

BC AH

S

+

Þ

=

A

B

D

C

1

.

2

H T hoi

S

AC BD

Þ

=

(cạnh)2

đều

(cạnh)

1/ Chứng minh đường thẳng

d

//

mp a

( )

với

(

d

Ë

( )

a

)

 Chứng minh: d // 'd

d

'

Ì

( )

a

 Chứng minh:

d

Ì

( )

b

( )

b

// ( )

a

 Chứng minh

d

( )

a

vng góc với đường thẳng vng góc với mặt phẳng

2/ Chứng minh

mp

( )

a

//

mp

( )

b

 Chứng minh

mp a

( )

chứa hai đường thẳng cắt song song với

mp b

( )

 Chứng minh

mp a

( )

mp b

( )

cùng song song với mặt phẳng vng góc với đường thẳng

3/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng định lí sau

 Hai

mp a

( ),

( )

b

có điểm chung S chứa đường thẳng song song

a b

,

( )

// //

( )

a

Ç

b

=

Sx

a

b



( )

( )

//

// ( )

( )

a mp

b a

a mp

a

a b

b

ìï

ïï ị ầ =

ớ ù è ùùợ

 Hai mặt phẳng song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng  Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo giao tuyến song song

 Hai đường thẳng vng góc với mặt phẳng song song với  Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, … 4/ Chứng minh đường thẳng

d

^

mp a

( )

 Chứng minh

d

vng góc với hai đường thẳng cắt chứa

mp a

( )

 Chứng minh:

( )

// ' '

d d

d mp a

ìï

ïï ị

ớ ù ^

ùùợ

( )

d

^

mp a

 Chứng minh:

( )

( )

//

( )

d

mp

mp

mp

b

b

a

ìï ^

ùù

ị

ớ

ùù

ùợ

( )

d

^

mp a

 Hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ giao tuyến chúng vng góc với mặt

phẳng thứ 3:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

P

P

d

P

d

a

b

a

b

ìï

^

ïï

ïï

^

ị

^

ớ

ùù

ù

ầ

=

ïïỵ

 Có hai mặt phẳng vng góc, đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến, vng góc với mặt phẳng

5/ Chứng minh đường thẳng d ^ d'

 Chứng minh d ^

( )

a

( )

a Éd'  Sử dụng định lý ba đường vuông góc  Chứng tỏ góc d d' bằng900

 Sử dụng hình học phẳng

6/ Chứng minh

mp

( )

a

^

mp

( )

b

 Chứng minh

( )

( )

( )

( )

d

mp

mp

d

a

a

b

b

ìï

É

ïï

Þ

^

í

ï

^

ïïỵ

(chứng minh mp chứa đường thẳng vng góc với mp kia) CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC

1/ Góc hai đường thẳng

 Là góc tạo hai đường thẳng cắt vẽ phương với hai đường thẳng đó:

¶

·

//

//

'

( , )

( ', ')

'

a

a

a b

a b

b

b

f

ìï

ï

Þ

=

=

í

ïïỵ

2/ Góc đường thẳng

d

và mặt phẳng

mp a

( )

 Là góc tạo đường thẳng hình chiếu mặt phẳng

( )

·

,

( , ')

·

d

a

d d

f

é

ù

=

=

ê

ú

ê

ú

ë

û

(với

d

'

hình chiếu vng góc

d

lên

mp a

( )

)

3/ Góc hai

mp a

( )

mp b

( )

 Là góc có đỉnh nằm giao tuyến

u

, cạnh hai góc nằm

2 mặt phẳng vng góc với giao tuyến

( )

·

(

( );a b

)

= ( , )a b¶ = f

4/ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

 Là độ dài đoạn vng góc vẽ từ điểm đến đường thẳng

(

,

)

d M

D =

MH

5/ Khoảng cách hai đường thẳng song song:

 Là khoảng cách từ điểm đường thẳng (mặt phẳng) đến đường thẳng (mặt phẳng)

6/ Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song

 Là khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng 7/ Khoảng cách hai đường thẳng chéo

 Là độ dài đoạn vuông góc chung đường thẳng  Là khoảng cách MH từ điểm M d đến mp a

( )

chứa d' song song với d

 Là khoảng cách hai mặt phẳng song song

( ) ( )

a , b chứa dvà d'

GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

φ

a

b

'

a

'

b

φ

α

d

'

d

α β

φ

a

b

u

M d

' d M

M

D

H

M d

' d

S

A

B

C

H

O

A

B

C

D

S

O

H

1/ Định nghĩa

Một hình chóp gọi hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy

Nhận xét:

 Hình chóp có mặt bên tam giác cân Các mặt bên tạo với đáy góc  Các cạnh bên hình chóp tạo với mặt đáy góc

2/ Hai hình chóp thường gặp

a/ Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều

S ABC

.

Khi đó:

 Đáy

ABC

tam giác

 Các mặt bên tam giác cân tại

S

 Chiều cao:

SO

 Góc cạnh bên mặt đáy:

SAO

·

=

SBO

·

=

SCO

·

 Góc mặt bên mặt đáy:

SHO

·

 Tính chất:

2

,

1

,

3

3

3

2

AB

AO

=

AH OH

=

AH AH

=

 Lưu ý: Hình chóp tam giác khác với tứ diện + Tứ diện có mặt tam giác

+ Tứ diện hình chóp tam giác có cạnh bên cạnh đáy b/ Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều

S ABCD

.

 Đáy

ABCD

là hình vng

 Các mặt bên tam giác cân tại

S

 Chiều cao:

SO

 Góc cạnh bên mặt đáy:

SAO

·

=

SBO

·

=

SCO

·

=

SDO

·

 Góc mặt bên mặt đáy:

SHO

·

1/ Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy: Chiều cao hình chóp độ dài cạnh bên vng góc với đáy

Ví dụ: Hình chópS ABC có cạnh bên

(

)

SA ^ ABC chiều cao làSA

2/ Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp chiều cao tam giác chứa mặt bên vuông góc với đáy

Ví dụ: Hình chópS ABCD có mặt bên

(

SAB

)

vng góc với mặt đáy

(

ABCD

)

thì chiều

cao hình chóp chiều cao củaDSAB 3/ Hình chóp có hai mặt bên vng góc với đáy:

Chiều cao hình chóp giao tuyến hai mặt bên vng góc với đáy

Ví dụ: Hình chóp

S ABCD

.

có hai mặt bên

(

SAB

)

và

(

SAD

)

cùng vng góc với mặt

đáy

(

ABCD

)

thì chiều cao SA 4/ Hình chóp đều:

Chiều cao hình chóp đoạn thẳng nối đỉnh tâm đáy

Ví dụ: Hình chóp tứ giác đều

S ABCD

.

có tâm mặt phẳng đáy giao điểm hai đường chéo hình vngABCDthì có đường cao

HÌNH CHĨP ĐỀU

là

SO

A

B

1/ Thể tích khối chóp:

1

.

3

V

=

B h

:

B

Diện tích mặt đáy

:

h

Chiều cao khối chóp

2/ Thể tích khối lăng trụ:

V

=

B h

.

:

B

Diện tích mặt đáy

:

h

Chiều cao khối chóp

Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cạnh bên

3/ Thể tích hình hộp chữ nhật:

V

=

a bc

.

Þ

Thể tích khối lập phương:

V

=

a

3

4/ Tỉ số thể tích: ' ' '

' ' '

S A B C

S ABC

V SA SB SC

V = SA SB SC

5/ Hình chóp cụt A’B’C’.ABC

(

'

'

)

3

h

V

=

B

+

B

+

BB

Với B B h, ', diện tích hai đáy chiều cao

4 phương pháp thường dùng tính thể tích  Tính diện tích cơng thức

+ Tính yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao,… + Sử dụng cơng thức tính thể tích

 Tính thể tích cách chia nhỏ: Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà dễ dàng tính thể tích chúng Sau đó, ta cộng kết lại, ta có kết cần tìm

 Tính thể tích cách bổ sung: Ta ghép thêm vào khối đa diện khối đa diện khác, cho khối đa diện thêm vào khối đa diện dễ dàng tính thể tích

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

C D S

O

C A

B

B’

A’ C’

A

B

C

A’

B’

C’

a

b

c

a a a

S

A’ B’

C’

A B

 Tính thể tích tỉ số thể tích

Bài giải tham khảo Tính thể tích khối chóp

S ABC

.

* Ta có: .

1

.

.

( )

1

3

S ABC ABC

V

=

S

D

SA

* Trong đó:

SA

=

a

2

( )

* Tìm SDABC?

Trong

D

ABC

vng tại

B

, ta có:

0

0

sin 30

sin 30

2

3

cos30

cos30

2

a

BC

BC

AC

AC

AB

a

AB

AC

AC

ì

ì

ï

ï

ï

ï

=

ï

=

=

ï

ï

ïï

Û

ï

í

í

ï

ï

ï

=

ï

=

=

ï

ï

ï

ï

ïỵ

ïỵ

( )

1

1

3

3

.

.

3

2

2 2

2

8

ABC

a a

a

S

D

AB BC

Þ

=

=

=

* Thay

( ) ( )

2 , vào

( )

2

1

3

3

1

.

3

8

24

S ABC

a

a

V

a

ị

=

ì =

(vtt)

( )

4

Tớnh khong cách từAđếnmp SBC

(

)

* Ta có:

(

)

(

)

( )

3.

1

,

.

,

5

3

S ABC

S ABC SBC

SBC

V

V

d A SBC

S

d A SBC

S

D D

é

ù

é

ù

=

ê

ú

Þ

ê

ú

=

ë

û

ë

û

* Tìm

D

SBC

?

Ta có:

BC

AB

BC

mp SAB

(

)

BC

SB

SBC

BC

SA

ìï

^

ï

Þ

^

Þ

^

Þ D

í

ï

^

ïỵ

vng tạiB

2

2 2 2

1

1

1

3

3

.

.

.

.

.

2

2

2

2

2

SBC

a

a

S

D

BC BS

AC

AB

SA

AB

a

a

ổ

ử

ữ

ổ

ử

ữ

ỗ

ữ

ỗ

ữ

ỗ

ỗ

ị

=

=

-

+

=

-

ỗ

ữ

ữ

+

ỗ

ữ

ữ

ỗ

ữ

ỗ

ữ

ỗ

ỗ

ố

ø

è

ø

( )

1

7

7

6

2 2

2

8

a a

a

=

× ×

=

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ MỘT VÀI THÍ DỤ

Thí dụ Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy tam giác vng

B BAC

,

·

=

30 ,

0

SA

=

AC

=

a

và

SA

vng góc với

mp ABC

(

)

.Tính thể tích khối chóp

S ABC

.

khoảng cách từ

A

đến

mp SBC

(

)

S

A C

B

300

a Dạng Tính thể tích khối đa diện cách sử dụng trực tiếp công thức  Xác định chiều cao khối đa diện cần tính thể tích

Trong nhiều trường hợp, chiều cao xác định từ đầu bài, có trường hợp việc xác định phải dựa vào định lí quan hệ vng góc học lớp 11 (hay dùng định lí đường vng góc, định lí điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng,…) Việc tính chiều cao thơng thường nhờ vào việc sử dụng định lí Pitago, nhờ phép biến tính lượng giác,…  Tìm diện tích đáy cơng thức quen biết

Nhìn chung, dạng tốn loại bản, địi hỏi tính tốn cẩn thận xác

* Thế

( ) ( )

4 , 6

vào

( )

5

(

)

3

2

3

8

21

,

3

24

7

7

a

a

d A SBC

a

é

ự

ị

ờ

ỳ

=

ì

ì

=

ở

û

Bài giải tham khảo

 Ta có:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

SAB

ABCD

SAD

ABCD

SA

ABCD

SAB

SAD

SA

ìï

^

ïï

ï

^

Þ

^

ớ

ùù

ầ

=

ùùợ

Þ

Hình chiếu của

SC

lên

mp ABCD

(

)

là

AC

(

)

·

·

,

60

SC ABCD

SCA

é

ù

Þ

ê

ú

=

=

ê

ú

ë

û

 Mà: .

1

.

( )

1

3

S ABCD ACBD

V

=

SA S

 Tìm

SA

?

Trong

D

SAC

vng tại

A

:

·

·

t an

SCA

SA

SA

AC

t an

SCA

AC

=

Þ

=

= AB2+ BC2 t an 600 = a2+ (2 ) 3a = a 15

( )

2

 Ta lại có:

.

.2

2

( )

3

ABCD

S

=

AB BC

=

a a

=

a

 Thay

( ) ( )

2 , 3

vào

( )

3

1

2

15

1

15 2

3

3

ABCD

a

V

a

a

Þ

=

×

×

=

(đvtt)

Bài giải tham khảo a/ CM:

SI

^

mp ABC

(

)

 Do

D

SAB

vuông cân có

SI

trung tuyếnÞ

SI

đồng thời

là đường cao

Þ

SI

^

AB

 Ta có:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

SAB

ABC

AB

SAB

ABC

SI

mp ABC

AB

SI

SAB

ỡù

^

ùù

ù

=

ầ

ị

^

í

ïï

^

Ì

ïïỵ

(đpcm)

b/ Tính thể tích khối chóp

S ABC

.

 GọiK trung điểm đoạnAC

SK

Þ

vừa trung tuyến vừa đường cao

SAC SK AC

D Þ ^

 TrongDABCvng tạiC có K I đường trung bình

Thí dụ Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật có

AB

=

a BC

,

=

2

a

Hai

mp SAB

(

)

và

(

)

mp SAD

vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh

SC

hợp với đáy góc

60

0 Tính thể tích khối chóp

S ABCD

.

theo

a

S

A D

B C

600

Thí dụ Hình chóp

S ABC

.

có

BC

=

2

a

, đáy

ABC

là tam giác vuông tại

C SAB

,

tam giác vuông cân tại

S

và nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Gọi

I

trung điểm cạnh

AB

a/ Chứng minh rằng, đường thẳng

SI

^

mp ABC

(

)

b/ Biếtmp SAC

(

)

hợp vớimp ABC

(

)

một góc600 Tính thể tích khối chópS ABC

S

A B

C

I K

600

//

K I BC

K I

AC

BC

AC

ìï

ù

ị

ớ

ị

^

ù

^

ùợ

 Mặt khác: ·

(

)

(

)

·

( ) ( ) { }

( ) ; 60

( )

mp ABC mp SAC AC

K I AC mp ABC mp SAC mp ABC SK I

SK AC mp SAC

ìï ^ = ïï é ù ï Þ í ^ Ì Þ ê ú= = ï êë úû ï ^ Ì ïïỵ

 Mà: .

1

.

( )

1

3

S ABC ABC

V

=

S

D

SI

 Tìm

SI

?

Trong

D

SK I

vng tại

I

, ta có:

t an

·

t an

·

1

.

t an 60

0

3 2

( )

2

SI

SK I

SI

I K

SK I

BC

a

I K

=

Þ

=

=

=

 Tìm

ABC

SD ?

(

)

2

2 2

1

1

1

.

.

.

.

.

.

2

2

2

2

ABC

S

D

=

BC AC

=

BC

AB

-

BC

=

BC

SI

-

BC

(

)

( )

( )

2 2

2

1

.2

2

3

2

2

2 3

2

a

a

a

a

=

-

=

 Thế

( ) ( )

2 , 3

vào

( )

3

1

2

6

1

.2

2.

3

3

3

S ABC

a

V

a

a

Þ

=

=

(đvtt)

Bài giải tham khảo Tính thể tích khối chóp

S ABCD

.

 Gọi

O

là tâm mặt đáy thì

SO

^

mp ABCD

(

)

nên

SO

là đường cao hình chóp gọi

M

trung điểm đoạn

CD

 Ta có:

·

(

)

(

)

60

(

)

(

)

CD

SM

SCD

CD

OM

ABCD

SMO

CD

SCD

ABCD

ìï

^

Ì

ïï

ï

^

Ì

ị

=

ớ

ùù

=

ầ

ùùợ

(gúc gia mặt(SCD)và mặt đáy)

 Ta có: .

1

.

( )

1

3

S ABCD ABCD

V

=

S

SO

 TìmSO ?

Trong

D

SMO

vng tại

O

, ta có:

t an

SMO

·

SO

OM

=

·

( )

t an

t an 60

3

2

2

BC

SO

OM

SMO

a

Þ

=

=

=

 Mặt khác:

S

ABCD

=

BC

2

=

( )

2

a

=

4

a

2

( )

3

 Thế

( ) ( )

2 , vào

( )

3

1

4

3

1

.4

3

3

3

ABCD

a

V

a a

Þ

=

=

(đvtt)

Thí dụ Cho hình chóp đều

S ABCD

.

có cạnh đáy

2a

, góc mặt bên mặt đáy bằng

60

0 Tính thể tích hình chóp

S ABCD

.

S

A

B C

D

O

2a

M

600

Thí dụ Cho hình

lăng

trụABC A B C ' ' 'có đáyABC tam giác cạnh bằnga Hình chiếu vng góc

'

A

xuống

mp ABC

(

)

là trung điểm của

AB

Mặt bên

(

AA C C

'

'

)

tạo với đáy góc

45

o

Tính thể tích khối lăng trụ Page

Bài giải tham khảo  Gọi

H M I

,

,

trung điểm đoạn thẳng

,

,

AB AC AM



V

ABC A B C ' ' '

=

B h

.

=

S

DABC

'

A H

( )

1

 Do

D

ABC

nên:

( )

2

3

3

2

4

4

ABC

BC

a

S

D

=

=

 Tìm

A H

'

?

Do

I H

đường trung bình

D

AMB

, đồng

thời

BM

trung tuyến nên đường cao

Do đó:

I H

//

MB

I H

AC

MB

AC

ìï

ï

Þ

^

í

ï

^

ïỵ

(

)

'

'

'

AC

A H

AC

A HI

AC

A I

AC

I H

ìï

^

ï

Þ

^

Þ

^

í

ï

^

ïỵ

Mà:

(

·

) (

)

·

(

)

(

'

')

{

}

(

)

'

' ;

'

60

'

(

'

')

ABC

ACC A

AC

AC

I H

ABC

ACC A

ABC

A I H

AC

A I

ACC A

ìï

Ç

=

ïï

é

ù

ï

^

Ì

Þ

=

=

í

ê

ú

ï

ê

ë

ú

û

ï

^

Ì

ïïỵ

Trong

D

A HI

'

vng tại

H

, ta có:

t an 45

0

'

'

t an 45

o

1

3

( )

3

2

4

A H

a

A H

I H

I H

MB

HI

=

Þ

=

=

=

=

 Thay

( ) ( )

2 , 3

vào

( )

2

' ' '

3

3

3

1

.

4

4

16

ABC A B C

a

a

a

V

Þ

=

=

Bài giải tham khảo

 Do

BC

AB

BC

A B

BC

AA

ìï

^

ï

Þ

^

Â

ớ

Â

ù

^

ùợ

Và

·

(

)

(

)

'

(

)

( '

)

BC

AB

ABC

BC

AB

A BC

ABA

BC

ABC

A BC

ỡù

^

è

ùù

ù

^

è

Â

ị

ớ

ùù

=

ầ

ùùợ

l gúc gia(ABC)v(ABC)

 Ta có:

2

2.

1

2.

3

.

2

3

2

A BC A BC

S

a

S

A B BC

A B

a

BC

a

¢ D ¢

D

=

¢

Þ

¢

=

=

=

.

·

·

0

0

cos

2

3 cos30

3

sin

2

3 sin 30

3

AB

A B

ABA

a

a

AA

A B

ABA

a

a

¢

¢

=

=

=

¢

=

¢

¢

=

=

 Vậy: ' ' '

.

.

1

.

.

.

1

.3

3

3

3

2

2

2

ABC A B C ABC

a

V

=

B h

=

S

AA

¢

=

AB BC AA

¢

=

a a a

=

(đvtt)

A’ B’

C’

A B

C M

I

H

a

Thí dụ Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

tam giác vuông tại

B BC

,

=

a

,

mp A BC

(

'

)

tạo với đáy góc

30 DA BC' có diện tích bằng

a

2

3

Tính thể tích khối lăng trụ

B

A’ C’

B’

A C

30o

Bài giải tham khảo

 Ta có:

AB

AC

AB

(

ACC A

)

AB

AA

ỡù

^

ù

ị

^

 Â

ớ

Â

ù

^

ùợ

Do ú

AC ¢

là hình chiếu vng

góc

BC ¢

lên

(

ACC A

¢ ¢

)

Từ đó, góc giữa

BC ¢

và

(

ACC A

¢ ¢

)

là BC A· ¢ = 300

.

 Trong tam giác vuông

ABC

: AB = AC t an 600 = a 3

.

 Trong tam giác vng

ABC

'

: AC¢= AB cot 300 = a 3= 3a

.

 Trong tam giác vuông

ACC :

'

CC'= AC'2- AC2 = (3 )a2- a2 = 2a 2

.

 Vậy, thể tích lăng trụ là:

1

1

.

.

.

'

.

3 .2

2

6

2

2

V

=

B h

=

AB AC CC

=

a

a a

=

a

(đvdt)

Bài giải tham khảo Cách giải

 Ta có:

BC

AB

BC

(

SBA

)

BC

SB

BC

SA

ìï

^

ï

Þ

^

Þ

^

í

ï

^

ïỵ

(

) (

)

(

)

(

)

(

·

) (

)

·

;

30

SBC

ABC

BC

BC

SB

SBC

SBC

ABC

SBA

BC

AB

ABC

ìï

Ç

=

ïï

é

ù

ïï

Þ

í

^

Ì

Þ

ê

ú

=

=

ï

ê

ë

ú

û

ïï

^

Ì

ïïỵ

 KẻMN // BC DoBC ^

(

SBA

)

nên MN ^

(

SBA

)

và lúc đó,

MN

đường trung bình

D

SBC

1

( )

2

2

BC

a

MN

Þ

=

=

 Lúc đó: . .

1

.

.

( )

2

3

S ABM M SAB SAB

V

=

V

=

S

D

MN

 Tìm:

SAB

S

D ?

TrongDSABvng tạiA, ta có:

t an 30

0

t an 30

0

3

3

SA

a

SA

AB

AB

=

Þ

=

=

( )

2

1

1

3

3

.

.

.

.

3

2

2

3

6

SAB

a

a

S

D

SA AB

a

Þ

=

=

=

 Thế

( ) ( )

1 ; vào

( )

2

1

3

3

2

.

.

3

6

2

36

S ABM M SAB

a

a

a

V

V

Þ

=

=

=

(đvtt)

Cách giải

Thí dụ Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

là tam giác vng tại

A AC

,

=

a ACB

,

·

=

60

0 Đường chéo

BC

'

của mặt bên

(

BC C C

'

'

)

tạo với mặt phẳng

mp AA C C

(

'

'

)

góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ theo

a

B’

A C

B’

A’ C’

a 600

30o

Thí dụ (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B,D – 2011)

Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy

ABC

tam giác vng cân tại

B AB

,

=

a SA

,

^

(

ABC

)

, góc

(

)

mp SBC

và

mp ABC

(

)

bằng

30

0 Gọi

M

trung điểm cạnh

SC

Tính thể tích khối chóp

.

S ABM

theo

a

B A

S

M

C

30o

N



3

1

1 1

3

3

.

.

.

.

3

3 2

3

18

S ABC ABC

a

a

V

=

S

D

SA

=

a a

=

(đvtt)



2

3

.

.

2

2

36

S ABC S ABC

S ABM S ABM

V

SA SB SC

SM

V

a

V

V

=

SA SB SM

=

SM

=

Þ

=

=

(đvtt)

Bài giải tham khảo

 Ta có:

(

) (

) {

}

(

)

(

)

SBC ABC BC

AB SBC

BC AB ABC

ìï ^ = ïï Þ ^ í ï ^ Ì ïïỵ

 Thể tích khối chóp

S ABC

.

: . .

1

.

.

3

S ABC A SBC SBC

V

=

V

=

S

D

AB

·

1

1

.

.

sin

.4 2

3 sin 30

2

3

2

2

SBC

S

D

=

BC BS

SBC

=

a a

=

a

( )

2

1

.2

3.3

2

3

1

3

S ABC A SBC

V

V

a

a

a

Þ

=

=

=

(đvtt)

 Tìm khoảng cách từ

B

đến

mp SAC

(

)

?

 Ta có:

(

)

1

.

.

;

3

S ABC B SAC SAC

V

=

V

=

S

D

d B SAC

é

ê

ù

ú

ë

û

(

)

( )

; S ABC

SAC

V d B SAC

SD

é ù

Þ ê ú=

ë û

 Ta có:

(

)

2 2 2

9

12

21

AB

^

SBC

Þ

AB

^

SB

Þ

SA

=

AB

+

SB

=

a

+

a

=

a

 Mặt khác, áp dụng định lí hàm số cosin trong

D

SBC

: SC2 = BC2+ BS2- 2.BC BS cosSBC·

2 2

3

16

12

2.4 2

3.

4

2

SC

a

a

a a

a

Þ

=

+

-

=

 TrongDABCvng tạiB:

AC

2

=

AB

2

+

BC

2

=

9

a

2

+

16

a

2

=

25

a

2

 Nhận thấy: 2 2 2

21 25

SA + SC = a + a = a = AC Þ DSACvng tạiS  Do đó, diện tích tam giácSAClà:

1

.

.

1

.2

21

21

( )

3

2

2

SAC

S

D

=

SC SA

=

a a

=

a

 Thay

( ) ( )

1 , vào

( )

(

)

3

2

3.2

3

6

7

2

;

7

21

a

a

d B SAC

a

é

ù

Þ

ê

ú

=

=

ë

û

Thí dụ 10 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2009)

Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy hình thang vng tại

A

và

D AB

,

=

AD

=

2 ,

a CD

=

a

, góc hai

mp SBC

(

)

và

mp ABCD

(

)

bằng

60

0 Gọi

I

trung điểm của

AD

Biết rằng

mp SBI

(

)

và

(

)

mp SCI vuông góc vớimp ABCD

(

)

Tính thể tích khối chópS ABCD

Thí dụ (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2011)

Hình chóp

S ABC

.

có đáy

ABC

tam giác vng tại

B BA

,

=

3 ,

a BC

=

4

a

,

(

SBC

) (

^

ABC

)

Biết

·

2

3,

30

SB

=

a

SBC

=

Tính thể tích khối chóp

S ABC

.

khoảng cách từ

B

đến

mp SAC

(

)

S C B A

3a

4a

2

a

3

Bài giải tham khảo

 Vì

mp SBI

(

)

và

mp SCI

(

)

cùng vng góc với

mp ABCD

(

)

, nên giao tuyến

SI

^

(

ABCD

)

 Kẻ

I H

^

BC

Þ

SH

^

BC

(định lí đường vng góc)

 Ta có:

·

60

SHI =

góc hai

mp SBC

(

)

và

mp ABCD

(

)

 Thể tích khối chóp

S ABCD

.

: .

1

.

.

( )

1

3

S ABCD ABCD

V

=

S

SI

 Tìm

SI

?

Trong

D

SI H

vng tại

I

, ta có:

SI

=

I H

t an 60

0

=

I H

3

Gọi

M N

,

tương ứng trung điểm của

AB BC

,

Vì

I N

đường trung bình hình thang

ABCD

, nên ta có:

1

2

3

.

.

?

3

2

2

2

S ABCD ABCD

AB

CD

a

a

a

V

=

S

SI

I N

=

+

=

+

=

Mà:

I H

=

I N

cos

HI N

·

=

I N

cos

MCB

·

(do

HI N

·

và

MCB

·

góc có cạnh tương ứng vng góc)

·

cos

.

MC

I H

I N

MCB

I N

BC

Þ

=

=

2 2

3

2

3

5

.

.

2

4

5

AD

a

a

a

I N

MB

MC

a

a

=

=

=

+

+

( )

3

5

3

15

3

3

2

5

5

a

a

SI

I H

Þ

=

=

=

 Tìm

ABCD

S ?

(

)

(

)

( )

2

.2

3

3

2

2

ABCD

DC

AB AD

a

a

a

S

=

+

=

+

=

a

 Thay

( ) ( )

2 , vào

( )

3

1 3

15

3

15

1

.

.3

3

5

5

S ABCD

a

a

V

a

Þ

=

=

(đvtt)

Bài giải tham khảo  GọiH trung điểm củaADthìSH ^ AD

 Do

(

SAD

) (

^ ABCD

)

nênSH ^

(

ABCD

)

Và

D

SAD

đều

3

2

a

SH

Þ

=

 KẻMK // SH

(

K Ỵ HB

)

(

)

MK ABCD

Þ ^

3

2

4

SH

a

MK =

=

S

D

A M B

C

N H I

600

Thí dụ 11 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2007)

Cho hình chópS ABCD đáy hình vngABCDcạnha, mặt bênSADlà tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáyABCD GọiM N P, , trung điểm củaSB BC CD, , Tính thể

tích khối tứ diện

CMNP

S

H

A

D C

B M

N

P

K

 Vậy:

1

.

.

3

CMNP CNP

V

=

S

D

MK

2

1

3

3

.

.

3 8

4

96

a

a

a

=

=

(đvtt)

Bài giải tham khảo  Gọi

O

là tâm của đáy

ABCD

 Trong

D

SAC

, ta có

NO

là đường trung bình nên:

(

)

(

)

//

NO

SA

NO

ABCD

SA

ABCD

ìï

ïï

ị

^

ớ

ù

^

ùùợ

(

)

NO

ABI

Þ

^

hay

NO

là đường cao hình tứ

diện

ANI B

Và

1

( )

2

2

SA

a

NO =

=

 Ta có: .

1

.

.

( )

2

3

ANI B N AI B AI B

V

=

V

=

S

D

NO

 Tìm SDAI B = ?

Do

I

trọng tâm

D

ABD

nên:

2 2

2

2 2

2

2

3

.

3

3

2

3

3

3

3

2

2

2

6

.

.

.

3

3

3

2

3

AC

AC

AD

DC

AD

AB

a

AI

AO

AD

a

BI

BM

AB

AM

AB

ìï

+

+

ïï

=

=

=

=

=

=

ïï

ï

Þ ớ

ù

ổ

ử

ù

ỗ

ữ

ữ

ù

=

=

+

=

+

ỗ

ữ

=

ù

ỗ

ỗ

ữ

ù

è

ø

ïỵ

Nhận thấy: 2

2 2

3

a a

AB a AI BI AI B

ỉ ư÷ ổ ửữ

ỗ ữ ỗ ữ

ỗ ỗ

= = ỗ ữữ + ỗ ữữ = + ị D

ỗ ữ ỗ ữ

ỗ ỗ

è ø è ø

vuông tạiI

( )

2

1

1

3

6

2

.

.

.

.

3

2

2

3

3

6

AI B

a

a

a

S

D

AI BI

Þ

=

=

=

 Thay

( ) ( )

1 , 3

vào

( )

2

1

2

2

2

.

.

3

6

2

36

N AI B

a

a

a

V

Þ

=

=

(đvtt)

Thí dụ 12 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2006)

Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật với

AB

=

a AD

,

=

a

2,

SA

=

a

và

SA

vng góc với mặt phẳng đáy Gọi

M N

,

trung điểm của

AD SC

,

và

I

giao điểm

BM

và

AC

Tính thể tích khối tứ diện

ANI B

A B

C D M I S A

D C

B M

N

I O

Thí dụ 13 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2009)

Cho lăng trụ tam giác

ABC A B C

'

'

'

có

BB

'

=

a

, góc đường thẳng

BB

'

mp ABC

(

)

bằng

0

60

, tam giác

ABC

vuông tại

C

góc

BAC =

·

60

0 Hình chiếu vng góc điểm

B

'

lên

(

)

Bài giải tham khảo

• Gọi

M N

,

trung điểm của

AB AC

,

Khi đó,

G

là trọng tâm của

D

ABC

• Do hình chiếu điểm

B

'

lên

mp ABC

(

)

là

G

nên

B G

'

^

(

ABC

)

(

)

· ·

; ' 60

BB ABC B BG

é ù

Þ ê ú= =

ê ú

ë û

• Ta có: '

1

.

'

1

.

.

'

( )

1

3

6

A ABC ABC

V

=

S

D

B G

=

AC BC B G

• Tìm

B G

'

?

Trong

D

B BG

'

vng tại

G

và có

B BG =

·

'

60

0nên tam giác cạnh là

BB

'

=

a

( )

3

;

'

2

2

2

a

a

BG

B G

Þ

=

=

 Tìm

AB BC

,

?

Đặt

AB

=

2

x

Trong

D

ABC

vng tại

C

có

BAC =

·

60

0nên tam giác với đường cao là

BC

,

3

2

AB

AC

x BC

x

Þ

=

=

=

Do

G

là trọng tâm

D

ABC

3

3

2

4

a

BN

BG

Þ

=

=

Trong

D

BNC

vng tại

C

:

BN

2

=

NC

2

+

BC

2

( )

2 2

2

3

9 2 13

3

16 52 2 13 3

2 13

a AC

a x a a

x x x

a BC

ìï

ï =

ïï ïï

Û = + Û = Þ = Þ í

ïï = ïï ïïỵ

 Thế

( ) ( )

2 , 3

vào

( )

3

'

1

3

3

3

3

9

1

.

.

.

6

2 13 13

2

108

A ABC

a

a

a

a

V

Þ

=

=

(đvtt)

 Trong nhiều tốn, việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện dạng gặp khó khăn hai lí do: + Hoặc khó xác định tính chiều cao

+ Hoặc tính diện tích đáy khơng dễ dàng  Khi đó, ta làm theo phương pháp sau:

+ Phân chia khối cần tính thể tích thành tổng hiệu khối (hình chóp hình lăng trụ) mà khối dễ tính

+ Hoặc so sánh thể tích khối cần tính với đa diện khác biết trước dễ dàng tính thể tích  Trong dạng này, ta thường hay sử dụng kết tốn:

Cho hình chóp S.ABC Lấy A’, B’, C’ tương ứng cạnh SA, SB, SC Khi đó: ' ' '

'

'

'

.

.

S A B C

S ABC

V

SA

SB

SC

V

=

SA

SB

SC

Chứng minh:

Kẻ A’H’ AH vng góc với mặt phẳng (SBC) Khi đó: A’H // AH S, H’, H thẳng hàng

A’

B’

C’

A

B

C G

N

M

600

B

A N C

M

G

Dạng Tính thể tích khối đa diện cách lắp ghép khối so sánh khối (tỉ số)

S

A’ B’

C’

A B

C

H

H’

Ta có:

' ' ' ' ' ' ' '

1

'

'

3

1

.

3

SB C

S A B C A SB C

S ABC A SBC

SBC

S

A H

V

V

V

V

S

AH

D

D

=

=

(

)

1

'.

' sin '

'

'.

'.

'

2

1

.

.

.

sin

2

SB SC

A H

SB SC SA

Ðpcm

SB SC SA

SB SC

AH

a

a

=

=

Þ

Trong đó:

a =

B SC

·

'

'

=

BSC

·

Bài giải tham khảo a/ Tính thể tích khối chóp

S ABC

.

Ta có: .

1

.

.

3

S ABC ABC

V

=

S

D

SA

SA

=

a

Mặc khác:

D

ABC

vng cân

B

có:

AC

=

a

2

nên

D

ABC

hình vng có đường chéo

AC

=

a

2

Þ

cạnh

AB

=

BC

=

a

2

1

.

2

2

ABC

a

S

D

AB BC

Þ

=

=

Vậy: .

1

.

.

1

.

2

.

(

)

3

3 2

6

S ABC ABC

a

a

V

=

S

D

SA

=

a

=

Ðvtt

b/ Tính thể tích khối chóp

S AMN

.

Gọi I trung điểm của

BC

,

G

trọng tâm

D

SBC

Ta có:

2

3

SI

SG

=

Do

( )

//

//

2

3

SM

SN

SG

mp

BC

MN

BC

SB

SC

SI

a

Þ

Þ

=

=

=

(

)

3

4

4

4

2

.

.

.

9

9

9 6

27

S AMN

S AMN S ABC

S ABC

V

SM SN

a

a

V

V

Ðvtt

V

SB SC

Þ

=

=

Þ

=

=

=

Bài giải tham khảo

 Ta có:

V

A BCK H.

+

V

S AHK.

=

V

S ABC.

Þ

V

A BCK H.

=

V

S ABC.

-

V

S AHK.

( )

1

 Do

D

ABC

đều cạnh

a

và

SA

=

2

a

nên:

( )

2

1

1

3

3

.

.

.

.2

2

3

3

4

6

S ABC ABC

a

a

V

=

S

D

SA

=

a

=

 Ta lại có:

2

.

.

.

.

.

S AHK

S ABC

V

SA SH SK

SH SB SK SC

V

=

SA SB SC

=

SB

SC

2

2 2 2

16

16

.

25

5 5

SA

SA

a

SA

AB

SA

AC

a

a

=

=

=

+

+

( )

16

.

3

25

S AHK S ABC

V

V

Þ

=

Thí dụ 14 Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy

D

ABC

vng cân ở

B AC

,

=

a

2,

SA

^

mp ABC SA

(

)

,

=

a

a/ Tính thể tích khối chóp

S ABC

.

b/ Gọi

G

là trọng tâm

D

SBC

,

mp a

( )

đi qua

AG

và song song với

BC

cắt

SC SB

,

tại

M N

,

Tính thể tích khối chóp

S AMN

.

S

A

B

C M

N

G

I

Thí dụ 15 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2006)

Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy là

D

ABC

đều cạnh

a

và

SA

^

(

ABC

)

,

SA

=

2

a

Gọi

H K

,

hình chiếu vng góc điểmAlần lượt lên cạnhSB SC, Tính thể tích khối A BCK H theoa

S

A

B

C H

a K 2a

 Từ

( ) ( ) ( )

1 , , 3

. .

16

.

.

9

.

.

3

3

(

)

25

25

50

A BCK H S ABC S ABC S ABC

a

V

V

V

V

Ðvtt

Þ

=

-

=

=

Bài giải tham khảo

 Kẻ

MN

//

CD N

(

Ỵ

SD

)

thì hình thang

ABMN

thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng

(

ABM

)

 Ta có:

1

2

S ABN

S ABD

V

SN

V

=

SD

=

( )

1

1

1

2

4

S ABN S ABD S ABCD

V

V

V

Þ

=

=

 Mặt khác:

1 1

2

S BMN

S BCD

V SM SN

V = SC SD = =

( )

1

1

2

4

8

S BMN S BCD S ABCD

V

V

V

Þ

=

=

 Mà:

V

S ABMN.

=

V

S ABN.

+

V

S BMN.

( )

3

 Kết hợp:

( ) ( ) ( )

3

1 , , 3

8

S ABMN S ABCD

V

V

Þ

=

ABCDNM S ABCD S ABMN

V V V

Þ = -

3

5

8

8

ABCDNM S ABCD S ABCD S ABCD

V

V

V

V

Þ

=

-

=

3

5

S ABMN

ABCDNM

V

V

Þ

=

Bài giải tham khảo  Gọi I = SOÇAM Ta có:

(

AEMF

)

//

BD

Þ

EF

//

BD

 Ta có:

1

.

.

3

S ABCD ABCD

V

=

S

SO

với

S

ABCD

=

a

2

Trong

D

SOA

có:

t an 60

0

6

2

a

SO

=

AO

=

3

6

6

S ABCD

a

V

Þ

=

 Mặt khác:

2

S AEMF SAMF SAME SAMF

V

=

V

+

V

=

V

2

S ABCD SACD SABC

V = V = V

Xét khối S AMF khốiS ACD có:

1

2

SM

SC

=

Và trongDSAC có trọng tâmI ,

Thí dụ 16 Cho khối chóp tứ giác đều

S ABCD

.

Một mặt phẳng

( )

a

qua

A B

,

trung điểm

M

của

SC

Tính tỉ số

thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng

S

A

B C

M

N

D

Thí dụ 17 Cho hình chóp tứ giác

S ABCD

.

, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi

//

3

SAMF

SACD

V

SI SF SM SF

EF BD

SO SD V SC SD

Þ = = Þ = =

(

)

3 3

1

1

6

6

6

2.

3

6

36

36

18

SAMF SACD S ABCD S AEMF

a

a

a

V

V

V

V

Ðvtt

Þ

=

=

=

Þ

=

=

Bài giải tham khảo  Gọi

O H

,

tâm của

ABCD

và trung điểm

AB

 Do

MS

=

MA

Þ

d A MNP

ê

é

,

(

)

ù

ú

=

d S MNP

ë

é

ê

,

ú

ù

û

ë

û

( )

1

A MNP S MNP

V

V

Þ

=

 Mặt khác:

1

.

.

4

S MNP

S ABP

V

SM SN SP

V

=

SA SB SP

=

1

1 1

1 1

.

.

.

.

.

4

4 3

12 2

S MNP S ABP ABP

V

V

S

D

SO

AB HP SO

Þ

=

=

=

(

) ( )

2

1

6

.

2

24

2

48

S MNP

a

a

V

a a a

Ðvtt

Þ

=

-

=

 Từ

( ) ( )

(

)

6

1 , 2

48

A MNP

a

V

Ðvtt

Þ

=

Dạng toán Sử dụng phương pháp thể tích để tìm khoảng cách

 Các tốn tìm khoảng cách: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai đường thẳng, nhiều trường hợp qui tốn thể tích khối đa diện Việc tính khoảng cách dựa vào công thức hiển nhiên:

h

3V

B

=

, đây

V B h

, ,

thể tích, diện tích đáy

chiều cao hình chóp (hoặc

h

V

S

=

hình lăng trụ)

 Phương pháp áp dụng trường hợp sau: Giả sử qui tốn tìm khoảng cách tốn tìm chiều cao hình chóp (hoặc lăng trụ) Dĩ nhiên, chiều cao thường khơng tính trực tiếp cách sử dụng phương pháp thông thường định lí Pitago, cơng thức lượng giác,… Tuy nhiên, khối đa diện lại dễ dàng tính thể tích diện tích đáy Như vậy, chiều cao xác định cơng thức đơn giản

 Lược đồ thực hành:

 Sử dụng định lí hình học khơng gian sau đây:

o Nếu AB // mp P

( )

trong đómp P

( )

chứaCD thì

d AB CD

(

,

)

=

d AB P

é

ê

,

( )

ù

ú

ë

û

o Nếu

mp P

( )

//

mp Q

( )

trong đó

mp P mp Q

( )

,

( )

lần lượt chứa

AB

và

CD

thì:

(

,

)

( )

,

( )

d AB CD

=

d mp P mp Q

é

ê

ù

ú

ë

û

o Từ đó, qui tốn tìm khoảng cách theo u cầu tốn việc tìm chiều cao khối chóp (hoặc khối lăng trụ)

 Giả sử tốn qui tìm chiều cao kẻ từ đỉnh

S

của hình chóp (hoặc lăng trụ)

Ta tìm thể tích hình chóp (lăng trụ) theo đường khác mà không dựa vào đỉnh S này, chẳng hạn quan niệm hình chóp có đỉnhS'¹ S Sau đó, tính diện tích đáy đối diện với đỉnhS Như ta suy chiều cao kẻ từScần tìm

Thí dụ 18 (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A – 2008)

Cho hình chóp tứ giác đều

S ABCD

.

có cạnh đáy

AB

=

a

, cạnh bên

SA

=

a

2

Gọi

M N P

, ,

lần

lượt trung điểm của

SA SB CD

,

,

Tính thể tích tứ diện

AMNP

M

A

B N

C

D S

P O

H

Bài giải tham khảo

∗ Ta có:

DC

AD

DC

(

SAD

)

DC

SD

DC

SA

ìï

^

ï

ị

^

ị

^

ớ

ù

^

ùợ

(

) (

)

(

)

(

)

(

¼

) (

)

·

,

60

SCD

ABCD

DC

DC

SD

SCD

SCD

ABCD

SDA

DC

AD

ABCD

ìï

Ç

=

ïï

é

ù

ïï

^

Ì

Þ

ê

ú

=

=

í

ï

ê

ë

ú

û

ïï

^

Ì

ïïỵ

∗ Mặt khác: .

1

.

3

S ADC ADC

V

=

S

D

SA

2

1

.

2

2

ADC

a

S

D

=

AD DC

=

0

t an 60

SA

SA

AD

t an 60

a

3

AD

=

Þ

=

=

3

6

S ADC

a

V

Þ

=

∗ Vì

(

)

(

)

3

1

.

,

,

3

S ADC

S ADC A SDC SDC

SDC

V

V

V

S

d A SDC

d A SDC

S

D D

é

ù

é

ù

=

=

ê

ú

Þ

ê

ú

=

ë

û

ë

û

(

)

2

6

,

.

S ADC S ADC

V V a

d A SDC

DC SD DC SA AD

é ù

Þ ê ú= = =

ë û +

Bài giải tham khảo

∗ Ta có: 2 2 2

3

4

5

AB

+

AC

=

+

=

=

BC

Þ D

ABC

vng tại

A

(

2

)

1

1

.

.3.4

6

2

2

ABC

S

D

AB AC

cm

Þ

=

=

=

(

3

)

1

1

.

.6.4

8

3

3

ABCD ABC

V

S

D

DA

cm

Þ

=

=

=

∗ Mặt khác: 2 2

( )

3

BD = AB + AD = + = cm

( )

2 2

4 4

DC = AC + AD = + = cm

Nên

S

DDBC

=

p p

(

-

BC

)(

p

-

DC

)(

p

-

BD

)

Thí dụ 19 Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình vng cạnh

a

,

SA

^

(

ABCD

)

và mặt bên

(

SCD

)

hợp với mặt phẳng đáy

ABCD

một góc

60

0 Tính khoảng cách từ điểm

A

đến

mp SCD

(

)

Thí dụ 20 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2002)

Cho tứ diện

ABCD

có cạnh

AD

vng góc với

mp ABC

(

)

,

AC

=

AD

=

4

( )

cm AB

,

=

3

( )

cm

,

( )

5

BC

=

cm

Tính khoảng cách từ

A

đến

mp BCD

(

)

S

A D

B C

600

D

A

Với

5

5

4 2

5

2 2

2

2

BC

DC

DB

p

=

+

+

=

+

+

=

+

nửa chu vi

D

DBC

(

)(

)(

)(

)

(

2

)

5

2 5

2 2

5 5

2 2

4 5

2 2

5

2 34

DBC

S

D

cm

Þ

=

+

+

-

+

-

+

-

=

∗ Do đó,

(

)

(

)

( )

3

1

6 34

.

,

,

3

17

ABCD

ABCD A BCD DBC

DBC

V

V

V

S

d A DBC

d A DBC

cm

S

D D

é

ù

é

ù

=

=

ê

ú

Þ

ê

ú

=

=

ë

û

ë

û

Bài giải tham khảo

∗ Gọi

M

trung điểm cạnh

BC

Ta có

D

ABC

vng cân tại

A

nên:

(

)

BC

AM

BC

SM

do

SAB

SAC

SBC cân

ìï

^

ïï

í

ù

^

D

= D

ị D

ùùợ

∗ Ta có:

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

SAB

SAC

SA

SAB

ABC

SA

ABC

SAC

ABC

ỡù

ầ

=

ùù

ùù

^

ị

^

ớ

ïï

ï

^

ïïỵ

Và

(

) (

)

(

)

(

)

(

·

) (

)

·

,

60

SBC

ABC

BC

BC

AM

ABC

SBC

ABC

SMA

BC

SM

SBC

ìï

ầ

=

ùù

ùù

^

è

ị

=

=

ớ

ïï

ï

^

Ì

ïïỵ

∗ Ta có:

t an 60

0

t an 60

0

2

3

6

2

2

2

BC

a

a

SA

=

AM

=

=

=

Và:

2

1

1

.

.

.

2

2

2

2

ABC

BC

a

S

D

=

AM BC

=

=

(

)

2

1

1

6

6

.

.

.

.

3

3

2

2

12

S ABC ABC

a

a

a

V

S

D

SA

Ðvtt

Þ

=

=

=

∗ Mặt khác:

(

)

(

)

3

1

.

.

,

,

3

S ABC

S ABC A SBC SBC

SBC

V

V

V

S

d A SBC

d A SBC

S

D D

é

ù

é

ù

=

=

ê

ú

Þ

ê

ú

=

ë

û

ë

û

Mà:

2 2

1 1

2 2

SBC

BC

SD = SM BC = SA + AM BC = SA + ỗỗỗổ ữữửữ BC = a

ữ ỗ ố ứ

(

)

6

,

4

a

d A SBC

é

ù

Þ

ê

ú

=

ë

û

Bài giải tham khảo

∗ DoM trung điểm củaSC nênOM // SA Þ SA //

(

OMB

)

Thí dụ 21 Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy

ABC

tam giác vng cân tại

A

Hai mặt phẳng

(

SAB

)

và

(

SAC

)

cùng vng góc với mặt phẳng đáy

(

ABC

)

, cho

BC

=

a

2

, mặt bên

(

SBC

)

tạo với đáy

(

ABC

)

một

góc

60

0 Tính khoảng cách từ điểm

A

đến mặt phẳng

(

SBC

)

Thí dụ 22 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2004)

Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy hình thoi

ABCD

có

SO

vng góc với đáy với

O

là giao điểm

AC vàBD Giả sử

SO

=

2 2,

AC

=

4,

AB

=

5

vàM trung điểm củaSC Tính khoảng cách hai đường thẳng

SA

và

BM

S

A

C B

M (do

AM

vừa trung tuyến đồng thời đường cao DABCcân)

S

C

A B

D

O

M

H

(

,

)

,

(

)

,

(

)

d SA MB

d SA MOB

é

ù

d S MOB

é

ù

Þ

=

ê

ú

=

ê

ú

ë

û

ë

û

(

) ( ) (

)

,

1

d C MOB

é

ù

do MS

MC

=

ê

ú

=

ë

û

Kẻ

(

)

1

2

( )

2

2

MH

^

ABCD

Þ

MH

=

SO

=

∗ Mà

(

)

1

1

.

.

,

3

3

C MOB M OBC OBC MOB

V

=

V

=

S

D

MH

=

S

D

d C MOB

é

ê

ù

ú

ë

û

(

)

.

( )

,

OBC

3

MOB

S

MH

d C MOB

S

D D

é

ù

Þ

ê

ú

=

ë

û

∗ Từ

( ) ( )

1 ,

(

,

)

OBC

( )

4

MOB

S MH

d SA MB

S

D

D

Þ =

∗ Ta lại có:

( )

2 2

1

1

1

.

1

5

4

2

2

2

2

OBC

OB

AB

OA

OB

S

OB OC

AC

OC

OC

D

ìï

=

-

=

Þ

=

ïïï

Þ

=

=

í

ù

=

=

ị

=

ùùùợ

Mt khác: OB OC OB OM MOB

OB SO

ìï ^

ï Þ ^ Þ D

í

ï ^

ïỵ

vng đỉnh

B

( )

2

1

1

1

1

3

.

.

.

.1 8

4

6

2

2

2

4

4

2

MOB

SA

S

D

OB OM

OB

OB SO

AO

Þ

=

=

=

+

=

+

=

∗ Thay

( ) ( ) ( )

2 , , 6

vào

( )

4

(

,

)

2 6

3

d SA MB

Þ

=

Bài giải tham khảo ∗ Ta có:

MN

//

BC

Þ

MN

//

(

A BC

'

)

(

,

'

)

,

(

'

)

,

(

'

) ( )

1

d MN AC

d MN A BC

é

ù

d M A BC

é

ù

Þ

=

ê

ú

=

ê

ú

ë

û

ë

û

∗ Mà: '.

1

'

1 1

.1.1.1

1

( )

2

3

3 2

12

A MBC MBC

V

=

S

D

A A

=

=

∗ Mặt khác: CB ^

(

BAA B'

)

Þ CB ^ BA'

'

A BC

Þ D

vng tại

B

∗ Ta lại có: '. '

1

'

.

,

(

'

) ( )

3

3

A MBC M A BC A BC

V

=

V

=

S

D

d M A BC

é

ê

ù

ú

ë

û

∗ Từ

( ) ( )

2 , 3

1

1 1

.

'

.

,

(

'

)

2

.

,

(

'

)

,

(

'

)

2

( )

4

12

3 2

A B BC d M A BC

6

d M A BC

d M A BC

4

é

ù

é

ù

é

ù

Þ

=

ê

ú

=

ê

ú

Þ

ê

ú

=

ë

û

ë

û

ë

û

∗ Từ

( ) ( )

1 , 4

(

,

'

)

2

4

d MN AC

Þ

=

Thí dụ 23 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2006)

Cho hình lập phương

ABCD A B C D

'

'

'

'

có cạnh Gọi

M N

,

trung điểm của

AB

và

CD

Tính khoảng cách hai đường thẳng

A C

'

và

MN

B’

A’

C’

D’

A

B C

D M

Bài giải tham khảo

∗ Gọi

O

là tâm mặt phẳng đáy và

M N

,

trung điểm của

AD BC

,

Þ

SNM

·

=

a

∗ Ta có:

BC

MN

BC

(

MNS

) (

SBC

) (

MNS

)

BC

SO

ìï

^

ï

Þ

^

ị

^

ớ

ù

^

ùợ

∗ Kẻ MH ^ SN

(

H Ỵ SN

)

Do

BC

MN

BC

(

MNS

) (

SBC

) (

MNS

)

BC

SO

ìï

^

ï

Þ

^

Þ

^

í

ï

^

ïỵ

Nên

(

) (

)

(

)

(

)

SBC

MNS

SN

MH

SBC

SN

MH

MNS

ìï

^

=

ïï

Þ

^

í

ï

^

Ì

ïïỵ

Và DA // BC Þ AD // mp SBC

(

)

Þ

d A SBC

é

ê

,

(

)

ú

ù

=

d M SBC

ê

é

,

(

)

ú

ù

=

MH

=

2

a

ë

û

ë

û

∗ Trong tam giác vngMHN , ta có:

2

sin

sin

MH

a

MN

a

a

=

=

∗ Và tam giác vuông

:

t an

.

sin

sin

cos

cos

a

a

SON SO

ON

a

a

a

a

a

=

=

=

( )

2 3

2

1 1

3 3 sin cos 3sin cos

S ABCD ABCD

a a a

V S SO MN SO

a a a a

ổ ửữ

ỗ ữ

ị = = = ỗỗ ữ =

ữ ỗ

ố ứ

T

( )

1

, để VS ABCD. đạt giá trị nhỏ hàm

f a

( )

=

sin

2

a

cos

a

=

cos

a

-

cos

3

a

đạt giá trị lớn

Dạng toán Bài toán thể tích kết hợp với việc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ

 Đây xem tốn chưa lần xuất đề thi TNPT Đại học – Cao đẳng (cho dù tìm giá trị lớn giá trị nhỏ với hàm số năm có mặt đề thi)

 Nội dung tốn: Thể tích khối đa diện dạng tốn phụ thuộc tham số (tham số góc, độ dài cạnh) Bài tốn địi hỏi xác định giá trị tham số để thể tích đạt giá trị lớn nhỏ

 Phương pháp giải:

 Bước 1: Chọn tham số, thực chất chọn ẩn Ẩn góc α thích hợp khối đa diện, yếu tố

 Bước 2: Với ẩn số chọn bước 1, ta xem yếu tố cho để tính thể tích V khối đa diện theo phương pháp biết

 Bước 3: Đến đây, nhiệm vụ tốn hình học coi “kết thúc” Ta có hàm số

( )

,

f x

"

x

Ỵ

D

mà cần tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Dùng bất đẳng thức

cổ điển (Cauchy hay Bunhiacopski) sử dụng tính đơn điệu hàm để tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ

Thí dụ 24 Cho hình chóp tứ giác đều

S ABCD

.

mà khoảng cách từ điểm

A

đến

mp SBC

(

)

bằng

2a

Góc hợp

mặt phẳn bên mặt phẳng đáy hình chóp là

a

Với giá trị góc

a

thì thể tích hình chóp

đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ ?

α

A

D C

B S

N O

M

H

∗ Xét hàm số

y

=

x

-

x

xác định liên tục khoảng

( )

0,1

∗ Ta có:

3

'

1

3

'

0

3

y

=

-

x

Þ

y

=

Û

x

= ±

∗ Bảng biến thiên:

x

3

3

-

0

3

3

1

'

y

0

+

0

-y

2 3

9

∗ Dựa vào bảng biến thiên:

( )

0;1

2 3

max

9

y = x = hay

max

( )

2 3

cos

3

9

3

f a

=

a

=

∗ Vậy: thể tích khối

S ABCD

.

nhận giá trị nhỏ 3

4

2 3

2 3

3.

9

a

a

=

khi

cos

3

3

a =

Bài giải tham khảo

∗ Ta có:

BC

AC

BC

(

SAC

)

BC

SC

BC

SA

ìï

^

ù

ị

^

ị

^

ớ

ù

^

ùợ

∗ Mặt khác:

(

) (

)

(

)

(

)

(

·

) (

,

)

·

SBC

ABC

BC

BC

SC

SBC

SBC

ABC

SCA

BC

AC

ABC

a

ìï

Ç

=

ïï

é

ù

ïï

^

Ì

Þ

=

=

í

ê

ú

ï

ê

ë

ú

û

ïï

^

Ì

ïïỵ

∗ Do đó, trong

D

SAC

ta có:

sin

sin

cos

cos

SA

SC

a

AC

SC

a

a

a

a

a

ìï

=

=

ï

í

ï

=

=

ïỵ

(

)

2

2

1

1 1

1

.

.

.

.

cos

sin

cos

sin

3

3 2

6

6

S ABC ABC

a

V

S

D

SA

AC SA

a

a

a

a

a

a

Þ

=

=

=

=

∗ Để

V

S ABC. đạt giá trị lớn biểu thức

P

=

cos

2

a

sin

a

=

(

1

-

sin

2

a

)

sin

2

a

đạt giá trị lớn

∗ Vì

(

)

(

)(

)(

)

2 2

2

2

1

sin

1

sin

2sin

sin

0

1

sin

sin

2

P

a

a

a

a

>

Þ

=

-

a

a

=

-

-

∗ Mà:

(

)(

)(

)

(

) (

) (

)

3

2 2

2 2

1

sin

1

sin

2sin

8

1

sin

1

sin

2sin

3

27

Cauchy

a

a

a

a

a

a

é

-

+

-

+

ù

ê

ú

-

-

£

ê

ú

=

ê

ú

ê

ú

ë

û

2 2

max max

8

2 3

3

1

sin

2sin

sin

27

2

3

P

P

a

a

a

Þ

=

Û

=

-

=

Û

=

Thí dụ 25 Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy

D

ABC

vng cân đỉnh

C

và

SA

^

(

ABC

)

Giả sử

SC

=

a

Hãy tìm góc giữa

mp SBC

(

)

và

mp ABC

(

)

sao cho thể tích khối chóp

S ABC

.

lớn

S

A

C

B

∗ Vậy

V

S ABC. nhận giá trị lớn

3

27

a

khi

sin

3

3

a =

Hình chóp có cạnh vng góc với đáy

Bài Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy

ABC

là tam giác vuông tại

B SA

,

^

mp ABC

(

)

Biết rằng:

AB

=

a

,

2

AC

=

a

, góc hai mặt phẳng

(

SBC

)

và

(

ABC

)

bằng

60

0 Tính thể tích khối chóp

S ABC

.

theo

a

ĐS:

2

a

V =

Bài Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy

ABC

là tam giác vng cân tại

B SA

,

^

(

ABC

)

Cho

AC

=

a

2

,

3

SB

=

a

Tính thể tích khối chóp

S ABC

.

ĐS:

2

3

a

V =

Bài Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy

ABC

là tam giác vng tại

B SA

,

^

(

ABC

)

Cho

AB

=

a

,

BC

=

a

3

Cạnh

SC

tạo với

mp ABC

(

)

một góc

60

0 Tính thể tích khối chóp

S ABC

.

ĐS:

V

=

a

Bài Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy

ABC

là tam giác cân tại

A SA

,

^

(

ABC

)

Cho

BC

=

2 ,

a SB

=

a

3

Mặt phẳng

(

SBC

)

tạo với mặt phẳng

(

ABC

)

một góc

30

0 Tính thể tích khối chóp

S ABC

.

ĐS:

3

6

a

V =

Bài Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình vng, cạnh

a SA

,

^

(

ABCD

)

, góc

SD

và

(

)

mp SAB

bằng

30

0 Tính thể tích khối chóp

S ABCD

.

khoảng cách từ điểm

C

đến

mp SBD

(

)

Bài Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình vng cạnh

a SA

,

^

(

ABCD

)

,

SC

tạo với

mp ABCD

(

)

một góc

60

0 Tính thể tích khối chóp

S ABCD

.

và khoảng cách từ điểm

D

đến

mp SBC

(

)

ĐS:

42

7

a

V =

Bài

(

T N T HPT - 2010

)

Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình vng cạnh

a SA

,

^

(

ABCD

)

, góc

mp SBD

(

)

( )

mp ABCD bằng600 Tính thể tích khối chópS ABCD theo a

ĐS:

6

a

V =

Bài

(

T N T HPT -

.

2011

)

Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình thang vng tạiAvàDvớiAD = CD = a AB, = 3a Cạnh bên SA ^ mp ABCD( ) cạnh bênSCtạo với mặt phẳng đáy góc450 Tính thể tích khối

chópS ABCD theo a

ĐS:

2

6

9

a

V =

Bài

(

T N T HPT - 2009

)

THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHĨP

Cho hình chóp

S ABC

.

có mặt bên

SBC

tam giác cạnh

a SA

,

^

(

ABC

)

Biết

BAC =

·

120

o

Tính thể tích khối chóp

S ABC

.

theo

a

ĐS:

2

36

a

V =

Bài 10 Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy

ABC

tam giác vuông tại

B

với

AC

=

a SA

,

^

(

ABC

)

và

SB

hợp với

mặt phẳng chứa đáy

ABC

một góc

60

0 Tính thể tích khối chóp

ĐS:

6

24

a

V =

Bài 11 Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình vng cạnh

a

,

SA

^

(

ABCD

)

và mặt bên

(

SCD

)

hợp

với mặt phẳng chứa đáy

ABCD

một góc

60

0 a/ Tính thể tích khối chóp

S ABCD

.

b/ Tính khoảng cách từ điểm

A

đến

mp SCD

(

)

ĐS:

/

; /

(

)

3

3

3

,

3

2

a

a

a V

=

b d A mp SCD

é

ê

ù

ú

=

ë

û

Bài 12 Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy

ABC

tam giác vuông tại

B

với

BA

=

BC

=

a SA

,

^

(

ABC

)

và

SB

hợp với

mp SAB

(

)

một góc

30

0

ĐS:

2

6

a

V =

Bài 13 Cho hình chóp

S ABC

.

có

SA

^

(

ABC SA

)

,

=

h

Biết rằng

D

ABC

và

mp SBC

(

)

hợp với mặt

phẳng chứa đáy

ABC

góc

30

0 Tính thể tích khối chóp

ĐS:

3

3

h

V =

Bài 14 Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy là

D

ABC

vuông tại

A

và

SB

^

(

ABC

)

Biết

SB

=

a

,

SC

hợp với

(

)

mp SAB

góc300và

mp SAC

(

)

hợp với

mp SAB

(

)

một góc600 Chứng minh rằng:

2 2

SC = SB + AB + AC Tính thể tích khối chóp

S ABC

.

ĐS:

3

27

a

V =

Bài 15 Cho tứ diệnABCDcóAD ^

(

ABC AC

)

, = AD = 4

( )

cm AB, = 3

( )

cm BC, = 5

( )

cm Tính thể tích khối tứ diện

ABCD

và khoảng cách từ điểm

A

đến

mp BCD

(

)

ĐS:

/

8

(

3

)

;

/

,

(

)

6 34

( )

17

a V

=

cm

b d A mp BCD

é

ê

ù

ú

=

cm

ë

û

Bài 16 Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy là

D

ABC

cân A BC, = ,a BAC· = 120 ,0 SA ^

(

ABC

)

Biết

(

)

mp SBC hợp với mặt phẳng chứa đáy góc450 Tính thể tích khối chópS ABC

ĐS:

9

a

V =

Bài 17 Cho khối chópS ABCD có đáyABCDlà hình vng Biết rằngSA ^

(

ABCD SC

)

, = avàSChợp với mặt phẳng chứa đáy góc

ĐS:

3

48

a

V =

Bài 18 Cho khối chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật Biết rằng

SA

^

(

ABCD SC

)

,

hợp với mặt

phẳng chứa đáy

ABCD

một góc

45

0 và

AB

=

3 ,

a BC

=

4

a

Tính thể tích khối chóp

S ABCD

.

ĐS:

20

V

=

a

Bài 19 Cho khối chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình thoi cạnh

a

và góc nhọn

A

µ

=

60

0 Biết rằng:

(

)

SA

^

ABCD

khoảng cách từ điểm

A

đến cạnh

SC

bằng

a

Tính thể tích khối chóp

S ABCD

.

ĐS:

3

2

4

a

V =

Bài 20 Cho khối chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình thang vuông tại

A

và

B

Biết rằng:

(

)

,

2 ,

AB

=

BC

=

a AD

=

a SA

^

ABCD

mp SCD

(

)

hợp với

mp ABCD

(

)

một góc

60

0 Tính thể tích khối chóp

S ABCD

.

ĐS:

6

2

a

V =

Bài 21 Cho khối chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là nửa lục giác nội tiếp nửa đường trịn đường kính

2

AB = R Biết rằng

mp SBC

(

)

hợp với

mp ABCD

(

)

một góc

45

0 Tính thể tích khối chóp cho

ĐS:

3

4

R

V =

Bài 22 (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A – 2008)

Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình thang,

BAD

·

=

ABC

·

=

90

o,

AB

=

BC

=

a

,

AD

=

a

,

SA

^

(

ABCD SA

)

,

=

2

a

Gọi

M N

,

trung điểm của

SA SD

,

Chứng minh

BCNM

hình chữ nhật tính thể tích khối chóp

S BCNM

.

theo

a

ĐS:

3

a

V =

Bài 23 (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng kỹ thuật Cao Thắng – 2007)

Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy

D

ABC

tam giác vuông tại

B

SA

^

(

ABC

)

với

ACB =

·

60

0,

,

3

BC

=

a SA

=

a

Gọi

M

trung điểm cạnh

SB

a/ Chứng minh rằng: mp SAB

(

)

^ mp SBC

(

)

b/ Tính thể tích khối tứ diện

MABC

ĐS:

4

a

V =

Bài 24 (Trích đề thi Dự bị Đại học khối B – 2006)

Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

hình thoi cạnh

a

và góc nhọn

A

µ

=

60

0 Biết rằng:

(

)

,

SA

^

ABCD SA

=

a

Gọi

C

'

là trung điểm cạnh

SC

Mặt phẳng

( )

P

qua

AC

'

và song song vớiBD, cắt cạnhSB SD, tạiB'vàD' Tính thể tích khối chópS ABC D ' '

ĐS:

3

3

18

a

V =

Bài 25 Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình vng tâm

O SA

,

^

(

ABCD

)

,

AB

=

a SA

,

=

a

2

Gọi

H K

,

hình chiếu của

A

lên

SB SD

,

Chứng minh rằng:

SC

^

(

AHK

)

và tính thể tích khối chóp

O AHK

.

Bài 26 Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật tâm

O SA

,

=

SB

=

SC

=

SD

Biết

AB

=

3

a

,

BC

=

4

a

góc

SAO =

·

45

o Tính thể tích khối chóp

S ABCD

.

theo

a

Bài 27 Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy tam giác

ABC

vng tại

B

Biết

SA

^

(

ABC

)

Cho

AB

=

a

,

3

BC

=

a

,

SA

=

a

Một mặt phẳng qua

A

vng góc với

SC

tại

H

cắt

SB

tại

K

Tính thể tích khối

Bài 28

(

ÐH DB

.

-

A

.2006

)

Cho hình hộp đứng

ABCD A B C D

'

'

'

'

có

,

'

3

,

·

60

0

2

a

AB

=

AD

=

a AA

=

BAD

=

Gọi

M N

,

lần

lượt trung điểm cạnh

A D

'

'

và

A B

'

'

Chứng minh rằng:

AC

'

^

mp BDMN

(

)

tính thể tích

khối chóp

A BDMN

.

ĐS:

3

16

a

V =

Bài 29 Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình vng cạnh

a

,

SA

^

(

ABCD

)

,

SA

=

a

3

Một mặt

phẳng qua

A

và vng góc với

SC

cắt

SB SC SD

,

,

tại

M N P

, ,

a/ Tính diện tích tứ giác

AMNP

theo

a

b/ Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng

SC

và

BD

Bài 30

(

ÐH

-

D

.2010

)

Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình vng cạnh

a

, cạnh bên

SA

=

a

, hình chiếu vng góc

của đỉnh

S

lên

mp ABCD

(

)

là điểm

H

thuộc đoạn

,

4

AC

AC AH =

Gọi

CM

đường cao tam giác

SAC

Chứng minh

M

trung điểm của

SA

và tính thể tích khối tứ diện

SMBC

theo

a

ĐS:

14

48

a

V =

Bài 31

(

ÐH

-

A

.2010

)

Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình vng cạnh

a

Gọi

M

và

N

trung điểm

cạnh

AB

và

AD H

,

giao điểm của

CN

và

DM

Biết

SH

^

mp ABCD

(

)

và

SH

=

a

3

Tính thể tích khối chóp

SCDNM

.

khoảng cách hai đường thẳng

DM

và

SC

theo

a

ĐS:

5

3

,

2

3

24

19

a

a

V

=

h

=

Bài 32

(

ÐH

-

D

.2007

)

Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy hình thang có:

ABC

·

=

BAD

·

=

90

0

,

BA

=

BC

=

a AD

,

=

2

a

Cạnh bên

SA

vuông góc với đáy SA = a Gọi

H

hình chiếu vng góc của

A

trên

SB

Chứng

minh rằngDSCDvng tính

(

theo a

)

khoảng cách từH đếnmp SCD

(

)

ĐS:

(

,

(

)

)

3

a

d H SCD

=

Bài 33

(

ÐH

-

D

.2006

)

Cho hình chóp tam giácS ABC có đáyABClà tam giác cạnha SA, = 2avàSA ^ mp ABC

(

)

Gọi

M

và

N

hình chiếu vng góc của

A

trên đường thẳng

SB

và

SC

Tính thể tích khối

chópA BCNM

ĐS:

3 3

50

a

V =

Bài 34 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật vớiSA ^ mp ABCD G

(

)

, trọng tâmDSAC ,

(

)

mp ABG

cắt

SC

tại

M

, cắt

SD

tại

N

Tính thể tích khối đa diện

MNABCD

biết

SA

=

AB

=

a

và góc hợp đường thẳngAN và

(

ABCD

)

bằng900

Bài 35 Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình vng cạnh

a

,

SA

^

mp ABCD

(

)

, góc tạo

(

)

mp SCD

và

mp SBC

(

)

bằng

120

0 Tính thể tích khối chóp

S ABCD

.

khoảng cách hai

đường thẳng

SC

và

AD

Bài 36 Cho hình chữ nhật

ABCD

có

AD

=

6

AB

=

3 3

Lấy điểm

M

cạnh

AB

sao cho

MB

=

2

MA

và

N

trung điểm của

AD

Trên đường thẳng vng góc với

mp ABCD

(

)

tại

M

lấy điểm

S

sao cho

2 6

SM =

Chứng minh:

(

SBN

) (

^

SMC

)

và tính góc đường thẳng

SN

và

mp SMC

(

)

Hình chóp có mặt vng góc với đáy

Bài 37 Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy

ABC

tam giác vuông tại

A

, cho

AB

=

a AC

,

=

a

3

, mặt bên

SBC

tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp

S ABC

.

Bài 38 Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình vng cạnh

a

Mặt bên

SAB

tam giác nằm

mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy

(

ABCD

)

a/ Chứng minh chân đường cao khối chóp cho trùng với trung điểm cạnh

BC

b/ Tính thể tích khối chóp

S ABCD

.

ĐS:

3

6

a

V =

Bài 39 Cho tứ diện

ABCD

có

D

ABC

tam giác đều,

D

BCD

là tam giác vng cân tại

D

Mặt phẳng

(

ABC

)

vng góc với mặt phẳng

mp BCD

(

)

và

AD

hợp với

mp BCD

(

)

một góc

60

0 Tính thể tích khối tứ

diện

ABCD

biết

AD

=

a

ĐS:

3

9

a

V =

Bài 40 Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy

ABC

tam giác vng tại

B

, có

BC

=

a

Mặt bên

(

SAC

)

vng góc với

mặt phẳng đáy, mặt bên lại tạo với mặt phẳng đáy góc

45

Tính thể tích khối chóp cho

ĐS:

3

12

a

V =

Bài 41 Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy

ABC

tam giác cạnh

a

,

D

SBC

cân tại

S

và nằm mặt phẳng

vng góc với

mp ABC

(

)

Tính thể tích khối chóp

S ABC

.

ĐS:

3

24

a

V =

Bài 42 Cho hình chópS ABC có đáyABC tam giác vng cân tạiAvớiAB = AC = a Biết rằng: DSAB cân đỉnhSvà nằm mặt phẳng vng góc vớimp ABC

(

)

vàmp SAC

(

)

hợp vớimp ABC

(

)

một góc450 Tính thể tích khối chópS ABC

ĐS:

12

a

V =

Bài 43 Cho hình chóp

S ABC

.

có

BAC

·

=

90 ,

0

ABC

·

=

30 ,

0

D

SBC

là tam giác cạnh

a

và

(

)

(

)

mp SAB ^ mp ABC Tính thể tích khối chópS ABC

ĐS:

2

24

a

V =

vuông góc với

mp ABC

(

)

Biết rằng

SB

hợp với

mp ABC

(

)

một góc

30

0 Tính thể tích khối chóp

S ABC

.

ĐS:

4

3

9

h

V =

Bài 45 Cho tứ diện

ABCD

có

D

ABC

và

D

BCD

là tam giác nằm hai mặt phẳng vng

góc với Cho

AD

=

a

, tính thể tích khối tứ diện

ĐS:

6

36

a

V =

Bài 46 Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình vng Mặt bên

SAB

là tam giác có đường cao

SH

=

h

và đường cao nằm mặt phẳng vng góc với

mp ABCD

(

)

Tính thể tích khối chóp

ĐS:

4

9

h

V =

Bài 47 Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật Mặt bên

SAB

là tam giác cạnh là

a

và nằm

trong mặt phẳng vng góc với

mp ABCD

(

)

Biết

mp SAC

(

)

hợp với

mp ABCD

(

)

một góc bằng

30

0 Tính thể tích khối chóp

S ABCD

.

cho

ĐS:

3

4

a

V =

Bài 48 Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật với

AB

=

2 ,

a BC

=

4 ,

a SAB

(

) (

^

ABCD

)

Hai

mp SBC

(

)

và

mp SAD

(

)

cùng hợp với

mp ABCD

(

)

một góc bằng

30

0 Tính thể tích khối chóp

ĐS:

8

3

9

a

V =

Bài 49 Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình thoi với

AC

=

2

BD

=

2

a

và

D

SAD

vuông cân đỉnh

S

và nằm mặt phẳng vng góc với

mp ABCD

(

)

Tính thể tích khối chóp

S ABCD

.

ĐS:

15

12

a

V =

Bài 50 Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình thang vng tạiAvà D AB, = CD = a AB, = 2a Biết rằng

D

SAB

đều nằm mặt phẳng vng góc với

mp ABCD

(

)

Tính thể tích khối chóp

S ABCD

.

ĐS:

3

3

2

a

V =

Bài 51

(

CÐ A- 2010

)

Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình vng cạnha,mp SAB

(

)

^ mp ABCD

(

)

, SA= SB, góc đường thẳngSC mặt phẳng đáy bằng450 Tính theoathể tích khối chópS ABCD

ĐS:

5

6

a

V =

Bài 52

(

ÐH - B.2008

)

Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình vng cạnh

2 ,

a SA

=

a SB

,

=

a

3

(

)

(

)

mp SAB

^

mp ABCD

Gọi

M N

,

trung điểm cạnh

AB BC

,

Tính theo

a

thể tích

của khối chóp

S BMDN

.

tính cosin góc hai đường thẳng

SM DN

,

ĐS:

3

, cos

5

3

5

a

V

=

j

=

Hình chóp có hai mặt vng góc với đáy

Bài 53 Cho hình chóp

S ABC

.

có

SB

=

SC

=

BC

=

CA

=

a

Hai

mp ABC

(

)

và

mp SAC

(

)

cùng vng góc

với

mp SBC

(

)

Tính thể tích hình chóp

S ABC

.

ĐS:

3

3

12

a

V =

Bài 54 Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy

ABC

tam giác vuông cân tại

A

Hai mặt phẳng

(

SAB

)

và

(

SAC

)

cùng vng góc với mặt phẳng đáy

(

ABC

)

, cho

BC

=

a

2

, mặt bên

(

SBC

)

tạo với đáy

(

ABC

)

một góc

60

0 Tính thể tích khối chóp

S ABC

.

Bài 55 Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình vng cạnh

a

, hai mặt bên

(

SAB

)

và

(

SAD

)

cùng vng góc với

(

ABCD

)

Cho

SB

=

3

a

Gọi

M

trung điểm của

CD

Tính thể tích khối chóp

S ABCM

.

Bài 56 Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật, mặt bên

(

SAB

)

và

(

SAD

)

cùng vng góc

với mặt đáy

(

ABCD

)

, cho

AB

=

a AD

,

=

2 ,

a SC

tạo với mặt đáy

(

ABCD

)

một góc

45

0 Tính thể tích

của khối chóp

S ABCD

.

theo

a

Bài 57 Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình vng cạnh

a

, mặt

(

SAC

)

và

(

SBD

)

cùng vng góc với mặt đáy

(

ABCD

)

, mặt bên

(

SCD

)

tạo với đáy góc

60

0 Tính thể tích khối chóp

S ABCD

.

Bài 58 Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy

ABC

tam giác vng cân tại

A

Hai mặt phẳng

(

SAB

)

và

(

SAC

)

cùng

vng góc với mặt phẳng đáy

(

ABC

)

, cho

BC

=

a

2

, mặt bên

(

SBC

)

tại với đáy

(

ABC

)

một góc

60

0 Tính thể tích khối chóp

S ABC

.

khoảng cách từ điểm

A

đến mặt phẳng

(

SBC

)

Bài 59 Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình thang vng tại

A

và

D

,

AD

=

DC

=

a AB

,

=

2

a

Biết

rằng hai mặt phẳng

(

SAB

)

và

(

SAD

)

cùng vng góc với mặt đáy

(

ABCD SC

)

,

tạo với mặt phẳng đáy

(

ABCD

)

một góc600 GọiI trung điểm củaSB a/ Tính thể tích khối chópS ABCD theo a

b/ Chứng minh tam giác

SBC

vng tính độ dài đoạn thẳng

CI

c/ GọiM điểm thuộc cạnhSBsao choSB = 3SM Tính thể tích khối chópM ABCD

Bài 60 Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình thoi, hai đường chéo

AC

=

2 ,

a BD

=

2

a

cắt

O, hai mặt phẳng

(

SAC

)

và

(

SBD

)

cùng vng góc vớimp ABCD

(

)

Biết khoảng từ Ođếnmp SAB

(

)

bằng

3

4

a

Tính thể tích khối chópS ABCD theo a

Bài 61

(

ÐH

-

A

.2009

)

Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình thang vng tại

A

và

D AB

,

=

AD

=

2 ,

a CD

=

a

, góc haimp SBC

(

)

vàmp ABCD

(

)

bằng600 GọiI trung điểm cạnhAD Biết haimp SBI

(

)

và

(

SCI

)

cùng vng góc với

(

ABCD

)

Tính thể tích khối chópS ABCD theo a ĐS:

3

3 15

5

a

Bài 62 Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy

ABC

là tam giác vng cân tại

B AB

,

=

BC

=

2

a

, hai

mp SAB

(

)

và

(

)

mp SAC

vng góc với

mp ABC

(

)

Gọi

M

trung điểm

AB

, mặt phẳng qua

SM

song song với

BC

, cắt

AC

tại

N

Biết góc hai

mp SBC

(

)

và

mp ABC

(

)

bằng

60

0 Tính thể tích khối chóp

.

S BCNM

khoảng cách hai đường thẳng

AB

và

SN

theo

a

ĐS:

3,

2

39

13

a

V

=

a

d

=

Hình chóp

Bài 63 Tính thể tích khối chóp tam giác đều

S ABC

.

biết:

a/ Cạnh đáy

a

, cạnh bên

2a

ĐS:

3

11

2

a

V =

b/ Cạnh đáy

a

, cạnh bên hợp với đáy góc

60

0 ĐS:

3

3

16

a

V =

c/ Cạnh đáy

a

, cạnh bên hợp với đáy góc

45

0 ĐS:

3

6

a

V =

d/ Cạnh đáy

a

, mặt bên hợp với đáy góc

60

0 ĐS:

3

3

24

a

V =

Bài 64 Tính thể tích khối chóp tứ giác đều

S ABCD

.

, biết:

a/ Có tất cạnh có độ dài

a

ĐS:

3

2

6

a

V =

b/ Cạnh đáy

a

, cạnh bên

2a

c/ Cạnh đáy

a

, cạnh bên hợp với đáy góc

60

0 ĐS:

3

3

12

a

V =

d/ Cạnh đáy

2a

, mặt bên hợp với đáy góc

45

0

Bài 65 Cho khối tứ diện đều

ABCD

cạnh bằng

a

Gọi

M

trung điểm cạnh

DC

a/ Tính thể tích khối tứ diện đều

ABCD

ĐS:

3

2

12

ABCD

a

V

=

b/ Tính khoảng cách từ

M

đến

mp ABC

(

)

Suy thể tích hình chóp

M ABC

.

ĐS:

3

2

24

M ABC

a

V

=

Bài 66 Cho hình chóp tứ giác đều

S ABCD

.

có cạnh bên

5

2

a

, góc mặt bên mặt đáy

60

0 Tính thể tích khối chópS ABCD theo avà khoảng cách từ điểmAđếnmp SBC

(

)

Bài 67 Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD có cạnh đáy bằngavàBSA =· 600

a/ Tính tổng diện tích tổng mặt bên hình chóp ĐS:

2

3

3

a

S =

b/ Tính thể tích khối chóp

S ABCD

.

ĐS:

3

2

6

a

V =

Bài 68 Cho hình chóp đềuS ABC có cạnh đáy a, BSA =· 600,

I

Ỵ

BC

I B = 2I C Tính thể tích khối chópS ABC thể tích khối chópS ABI

Bài 69 Cho hình chóp đềuS ABC có chiều cao h, góc đỉnh mặt bên bằng600 Tính thể tích khối chóp

ĐS:

2

3

h

V =

Bài 70 Cho hình chóp tứ giác đều

S ABCD

.

có cạnh đáy

a

, cạnh bên

3a

a/ Tính thể tích khối chóp

S ABCD

.

Tính khoảng cách từ

A

đến

mp SBC

(

)

b/ Gọi α góc tạo cạnh bên

SA

và

mp SBC

(

)

Tìm

sin a

?

Bài 71

(

T N T HPT -

.

2008

)

Cho hình chóp đều

S ABC

.

có cạnh đáy

a

, cạnh bên

2a

Gọi

I

trung điểm cạnh

BC

a/ Chứng minh:

SA

^

BC

b/ Tính thể tích khối chóp

S ABI

.

theo

a

Bài 72 Cho hình chóp tứ giác đều

S ABCD

.

, có mặt bên hợp với mặt đáy góc

45

0và khoảng cách từ chân

đường cao khối chóp đến mặt bên bằng

a

Tính thể tích khối chóp

S ABCD

.

ĐS:

8

3

3

a

V =

Bài 73 (Trích đề thi tuyển sinh Cao Đẳng Kinh Tế Đối Ngoại A – 2007)

Cho hình chóp

S ABCD

.

có tất cạnh Chứng minh rằng

S ABCD

.

hình chóp

Tính độ dài cạnh hình chóp biết thể tích

9

2

2

a

ĐS:

AB

=

3

a

Bài 74

(

CÐ-

2009

)

Cho hình chóp tứ giác đều

S ABCD

.

có

AB

=

a SA

,

=

a

2

Gọi

M N P

, ,

trung điểm

cạnh

SA SB CD

,

,

Chứng minh đường thẳng

MN

vuông góc với đường thẳng

SP

Tính theo

a

thể tích khối tứ diện

AMNP

Bài 75

(

ÐH

-

B

.2007

)

Cho hình chóp tứ giác đều

S ABCD

.

có đáy hình vng cạnh

a

Gọi

E

là điểm đối xứng của

D

qua trung điểm của

SA M

,

trung điểm của

AE N

,

trung điểm của

BC

Chứng minh

MN

^

BD

tính theo

a

khoảng cách hai đường thẳng

MN

và

AC

ĐS:

(

,

)

2

4

a

d MN AC =

Bài 76 Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD Mặt phẳng

( )

P quaAvà vng góc vớiSCcắtSB SC SD, ,

tại

B C D

',

',

'

Biết

,

'

2

3

SB

AB

a

SB

=

=

a/ Tính tỉ số thể tích hai khối chópS AB C D ' ' 'vàS ABCD b/ Tính thể tích khối chóp

S AB C D

.

'

'

'

Bài 77

(

ÐH DB

.

1

-

D

.2006

)

Cho hình chóp tứ giác đều

S ABCD

.

có cạnh đáy bằng

a

Gọi

SH

đường cao hình chóp Khoảng

cách từ trung điểm

I

của

SH

đến mặt bên

(

SBC

)

bằng

b

Tính thể tích khối chóp

S ABCD

.

ĐS:

2

2

3 16

a b V

a b

=

-

Cho hình chóp tứ giác đều

S ABCD

.

có cạnh đáy bằng

a

, góc cạnh bên mặt phẳng đáy

(

0

)

, 0

90

j

<

j

<

Tính tang góc hai

mp SAB

(

)

và

mp ABCD

(

)

theo

j

Tính thể tích khối chóp

theo

a

và

j

ĐS:

t an ;

2 t an

6

a

V

j

j

=

Bài 88 Cho

D

ABC

cạnh

a

Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng tam giác tâm

O

lấy điểm

D

sao

cho

6

3

a

OD =

Gọi

M N

,

trung điểm cạnh

BD

và

DC

a/ Tính góc hai đường thẳng

AM

và

BC

b/ Tính tỉ số thể tích phần khối

ABCD

được phân chia thiết diện

AMN

c/ Tính thể tích khối

ABCMN

Khối chóp phương pháp tỉ số thể tích

Bài 89 Cho tứ diện

ABCD

Gọi

B C

',

'

lần lượt trung điểm của

AB

và

AC

Tính tỉ số thể tích khối tứ diện

'

'

AB C D

và khối tứ diện

ABCD

ĐS: ' '

1

4

AB C D

ABCD

V

V

=

Bài 90 Cho khối tứ diện

ABCD

có thể tích

9 m

( )

3

, trên

AB AC AD

,

,

lấy điểm

B C D

',

',

'

sao cho

2

', 2

3

',

3

'

AB

=

AB

AC

=

AC AD

=

AD

Tính thể tích khối tứ diện

AB C D

'

'

'

ĐS:

V

=

2

( )

m

3

Bài 91 Cho tứ diện đều

ABCD

có cạnh

a

Lấy điểm

B C

',

'

trên

AB

và

AC

cho

'

,

'

2

2

3

a

a

AB

=

AC

=

Tính thể tích khối tứ diện

AB C D

'

'

ĐS:

2

36

a

V =

Bài 92 Cho tứ diện

ABCD

có thể tích bằng

12 m

( )

3 Gọi

M P

,

trung điểm của

AB CD

,

lấy điểm

N

AD

cho

DA

=

3

NA

Tính thể tích khối tứ diện

BMNP

ĐS:

V

=

1

( )

m

3

Bài 93 Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy

ABC

tam giác cạnh

a

3

, đường cao

SA

=

a

Mặt phẳng qua điểm

A

và vuông góc với

SB

tại

H

cắt

SC

tại

K

Tính thể tích hình chóp

S AHK

.

ĐS:

3

40

a

V =

Bài 94 Cho hình chóp

S ABCD

.

tích bằng

27 m

( )

3 Lấy điểm

A

'

trên

SA

sao cho

SA

=

3

SA

'

Mặt phẳng

qua điểm

A

'

và song song với đáy hình chóp cắt

SB SC SD

,

,

điểm

B C D

',

',

'

Tính thể

tích khối chóp

S A B C D

'

'

'

'

ĐS:

( )

3

1

V

=

m

Bài 95 Cho hình chópS ABCD tích bằng

9 m

( )

3 đáyABCDlà hình bình hành Lấy điểmM trênSA cho

2

SA

=

3

SM

Mặt phẳng

(

MBC

)

cắt

SD

tại

N

Tính thể tích khối đa diện

ABCDMN

ĐS:

( )

3

4

V

=

m

Bài 96 Cho hình chópS ABCD có đáy hình vuông cạnh bằnga, chiều caoSA = h GọiN trung điểm SC Mặt phẳng chứaAN song song vớiBDlần lượt cắtSB SD, tạiM P, Tính thể tích khối chóp

.

S AMNP

theo

a h

,

ĐS:

2

9

a h

V =

Bài 97 Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình bình hành vàI trung điểm củaSC Mặt phẳng quaAI song song với

BD

chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

ĐS:

k =

0, 5

Bai 98 Cho hình chópS ABCD có đáy hình bình hành lấy điểmM trênSAsao cho

SM

x

SA

=

Tìm giá trị

ĐS:

5

1

2

x

=

-

Lăng trụ đứng biết chiều cao cạnh đáy

Bài 99 Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

là tam giác vng cân tại

A

có cạnh

BC

=

a

2

biết

A B

'

=

3

a

Tính thể tích khối lăng trụ

ĐS:

2

V

=

a

Bài 100 Cho hình lăng trụ đứng tứ giác đều

ABCD A B C D

'

'

'

'

có cạnh bên bằng

4a

và đường chéo bằng

5a

Tính thể tích khối lăng trụ

ĐS:

V

=

9

a

3

Bài 101 Cho lăng trụ đứng

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

tam giác vng tại

A

, góc

ACB =

·

30 ,

0

AA

'

=

3

a

,

2

AC

=

a

a/ Tính thể tích khối lăng trụ

ABC A B C

'

'

'

b/ Mặt phẳng

(

A BC

'

)

chia khối lăng trụ

ABC A B C

'

'

'

thành hai khối đa diện Tính thể tích

khối đa diện

Bài 102 Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

tam giác cạnh bằng

4 cm

( )

và biết diện tích

của tam giác

A BC

'

bằng

8 cm

( )

Tính thể tích khối lăng trụ

ĐS:

8 cm

(

3

)

Bài 103 Hình hộp – hình lập phương

a/ Một bìa hình vng có cạnh

44 cm

( )

, người ta cắt bỏ góc bìa hình vng cạnh

( )

12 cm

gấp lại thành hộp hình chữ nhật khơng có nắp Tính thể tích hộp

ĐS:

4800 cm

(

3

)

b/ Tính thể tích khối hộp chữ nhật có chiều rộng 1, chiều dài

3

đường chéo hình hộp hợp với đáy góc

30

c/ Ba kích thước hình hộp chữ nhật lập thành cấp số nhân với công bội Thể tích 64 Tìm kích thước

d/ Khi độ dài cạnh hình lập phương tăng thêm cm thể tích tăng thêm 98cm3 Khi tính độ dài cạnh hình lập phương

Bài 104 Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnhavà có góc nhọn bằng600 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Tính thể tích khối hộp

ĐS:

3

6

2

a

V =

Bài 105 Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác đều, biết tất cạnh lăng trụ bằnga Tính thể tích tổng diện tích mặt bên lăng trụ

ĐS:

3

2

3

;

3

4

a

V

=

S

=

a

Bài 106 Cho hình lăng trụ đứngABCD A B C D ' ' ' 'có đáy tứ giác cạnhavà biết rằng

BD

'

=

a

6

Tính thể tích lăng trụ

ĐS:

V

=

2

a

3

Bài 107 Cho hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy hình thoi mà đường chéo bằng

6 cm

( )

và

8 cm

( )

Biết chu vi đáy hai lần chiều cao lăng trụ Tính thể tích tổng diện tích mặt bên lăng trụ

ĐS:

V

=

240

(

cm

3

)

;

S

=

248

(

cm

3

)

Bài 108 Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài cạnh đáy

37

( ) ( )

cm

;13

cm

; 30

( )

cm

biết tổng

diện tích mặt bên là

480 cm

(

2

)

Tính thể tích lăng trụ ĐS:

V

=

1080

(

cm

3

)

Bài 109 Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

tam giác vuông cân tại

A

Biết chiều cao

của lăng trụ là

3a

và mặt bên

AA B B

'

'

có đường chéo là

5a

Tính thể tích lăng trụ

ĐS:

24

V

=

a

Bài 110 Cho lăng trụ đứng tứ giác có tất cạnh biết tổng diện tích mặt lăng trụ

(

2

)

96 cm

Tính thể tích lăng trụ

ĐS:

(

3

)

64

V

=

cm

Bài 111 Cho khối hộp chữ nhật

ABCD A B C D

'

'

'

'

có

AB

=

a

, diện tích của

ABCD

và

ABC D

'

'

lần lượt

2a

và

a

2

5

Tính thể tích khối hộp chữ nhật

Bài 112 Cho lăng trụ đứng tam giác có cạnh đáy

19

( )

cm

;20

( )

cm

; 37

( )

cm

chiều cao khối

lăng trụ trung bình cộng cạnh đáy Tính thể tích lăng trụ ĐS:

V

=

2888

(

cm

3

)

Bài 113 Cho khối lập phương có tổng diện tích mặt bên bằng

24m

2 Tính thể tích khối lập phương

ĐS:

V

=

8

m

3

Bài 114 Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

tam giác đều,

AA

'

=

a A B

,

'

^

BC

Tính thể

tích khối lăng trụ

ABC A B C

'

'

'

Bài 115 Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước tỉ lệ thuận với

3; 4; 5

Biết độ dài đường chéo hình

hộp

1 m

( )

Tính thể tích khối hộp chữ nhật

ĐS:

( )

3

0, 4

V

=

m

Bài 116 Cho hình hộp chữ nhật biết đường chéo mặt bên

5

( )

m

; 10

( )

m

; 13

( )

m

Tính thể tích khối hộp ĐS:

V

=

6

( )

m

3

Bài 117

(

ÐH - D.2008

)

Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABC tam giác vng, AB = BC = a, cạnh bên

'

AA = a Gọi

M

trung điểm cạnh

BC

Tính theo

a

thể tích khối lăng trụ

ABC A B C

'

'

'

và khoảng cách hai đường thẳng

AM B C

,

'

ĐS:

,

(

,

'

)

7

2

7

a

a

V

=

d AM B C

=

Bài 118 Cho hình lăng trụ tam giác đều

ABC A B C

'

'

'

có cạnh đáy bằng

a

Biết khoảng cách hai đường

thẳng ABvàA C'

15

5

a

Tính thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' '

ĐS:

3

4

a

V =

Bài 119 Cho hình lập phương

ABCD A B C D

'

'

'

'

có cạnh

a

Gọi

O

1là tâm hình vng

A B C D

1 1 1 1 Tính thể

tích khối lập phương thể tích khối tứ diện

A O BD

1 1 Chứng minh:

BD

1

^

(

ACB

1

)

Bài 120 Cho hình lăng trụ tam giác

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

tam giác cạnh

a

Tính thể tích khối lăng

trụ khoảng cách từ

A

'

đến

mp AB C

(

'

'

)

theo

a

, biết rằng:

'

'

'

2 3

3

AA

=

A B

=

A C

=

a

Bài 121 Cho hình lăng trụ

ABC A B C

'

'

'

có

AB

=

AC

=

4 ,

a BAC

·

=

120

0, hình chiếu vng góc của

A

'

lên

(

)

mp ABC

trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp

D

ABC

Góc cạnh bên với đáy

30

0 Tính theo

a

thể tích khối lăng trụ

ABC A B C

'

'

'

và khoảng cách giữa

AA

'

và

BC

Bài 122

(

ÐH

-

A

.2008

)

Cho hình lăng trụ

ABC A B C

'

'

'

có độ dài cạnh bên

2a

, đáy

ABC

tam giác vuông

,

A AB

=

a

,

AC

=

a

3

hình chiếu vng góc đỉnh

A

'

trên

mp ABC

(

)

là trung điểm cạnh

BC

Tính theo

a

thể tích khối chóp

A ABC

'

tính

cosin

của góc hai đường thẳng

AA

'

và

'

'

B C

ĐS: 3

, cos

1

2

4

a

V

=

j

=

Lăng trụ đứng biết góc đường thẳng mặt phẳng

Bài 123 Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

tam giác vuông tại

B

với

BA

=

BC

=

a

Biết

rằng

A B

'

hợp với đáy

ABC

một góc

60

0 Tính thể tích khối lăng trụ

ĐS:

3

2

a

V =

Bài 124 Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

tam giác vuông tại

A

với

AC

=

a ACB

,

·

=

60

0 Biết

BC

'

hợp với

mp AA C C

(

'

'

)

một góc

30

0

Tính

AC

'

và thể tích khối lăng trụ

ABC A B C

'

'

'

ĐS:

V

=

a

3

6

Bài 125 Cho hình lăng trụ đứng

ABCD A B C D

'

'

'

'

có đáy

ABCD

là hình vng cạnh

a

và đường chéo

BD

'

của

lăng trụ hợp với đáy

ABCD

một góc

30

0 Tính thể tích tổng diện tích mặt bên hình lăng trụ

ĐS:

6

;

4

6

3

3

a

a

V

=

S

=

Bài 126 Cho lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABC tam giác vuông cân tạiB ,AC = ,a A B' tạo với

đáy ABCmột góc 300

a/ Tính thể tích khối lăng trụ

ABC A B C

'

'

'

b/ Vẽ đường caoAH củaDA AB' Chứng minh: AH ^ A C'

Bài 127 Cho hình hộp đứngABCD A B C D ' ' ' 'có đáyABCDlà hình thoi cạnha BAD =;· 600 Biết đường

thẳng

AB

'

hợp với mặt phẳng đáy

(

ABCD

)

một góc

30

0 Tính thể tích khối hộp

ABCD A B C D

'

'

'

'

ĐS:

3

3

2

a

V =

Bài 128 Cho lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABC tam giác vuông cân tạiB Biết rằngA C' = avàA C'

hợp với mặt bên

(

AA B B' '

)

một góc300 Tính thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' '

ĐS:

2

16

a

Bài 129 Cho lăng trụ đứng

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

là tam giác vuông tại

B

Biết rằng

BB

'

=

AB

=

a

và đường thẳng

B C

'

hợp với

mp ABC

(

)

một góc

30

0 Tính thể tích khối lăng trụ

ABC A B C

'

'

'

ĐS:

3

2

a

V =

Bài 130 Cho lăng trụ đứng

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

là tam giác cạnh

a

Biết rằng

AB

'

hợp với mặt bên

(

BCC B

'

'

)

một góc

30

0 Tính độ dài đoạn thẳng

AB

'

và thể tích khối lăng trụ

ABC A B C

'

'

'

ĐS:

'

3;

3

2

a

AB

=

a

V

=

Bài 131 Cho lăng trụ đứng

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

là tam giác vng tại

A

Biết

AB

=

a ACB

;

·

=

60

0 đường thẳng

BC

'

hợp với mặt bên

(

AA C C

'

'

)

một góc

30

0 Thể tích khối lăng trụ

ABC A B C

'

'

'

diện tích tam giác

ABC

'

ĐS:

3

3

6;

2

a

V

=

a

S

=

Bài 132 Cho lăng trụ tam giác đều

ABC A B C

'

'

'

có khoảng cách từ điểm

A

đến

mp A BC

(

'

)

bằng

a

và đường

thẳng

AA

'

hợp với

mp A BC

(

'

)

một góc

30

0 Thể tích khối lăng trụ

ABC A B C

'

'

'

ĐS:

32

9

a

V =

Bài 133 Cho hình hộp chữ nhật

ABCD A B C D

'

'

'

'

có đường chéo

A C

'

=

a

Biết rằng

A C

'

hợp với

(

)

mp ABCD

góc

30

0 hợp với

mp ABB A

(

'

'

)

một góc

45

0 Tính thể tích khối hộp chữ nhật

ĐS:

2

8

a

V =

Bài 134 Cho hình hộp đứng

ABCD A B C D

'

'

'

'

có đáy

ABCD

là hình vng Gọi

O

là tâm của

ABCD

'

OA

=

a

Tính thể tích khối hộp khi:

a/

ABCD A B C D

'

'

'

'

là khối lập phương

b/ Đường thẳng

OA

'

hợp với

mp ABCD

(

)

một góc

60

0 c/ Đường thẳng A B' hợp vớimp AA CC

(

' '

)

một góc300

ĐS:

/

/

/

3 3

2

6

3

4

3

;

;

9

4

9

a

a

a

a V

=

b V

=

c V

=

Bài 135 Cho lăng trụ đứng

ABCD A B C D

'

'

'

'

có đáy

ABCD

là hình vng và

BD

'

=

a

Tính thể tích khối

lăng trụ trường hợp sau:

a/ Đường thẳngBD'hợp với mp ABCD

(

)

một góc600 b/ Đường thẳng BD'hợp vớimp AA D D

(

' '

)

một góc300

ĐS:

/

/

3

3

2

;

16

8

a

a

a V

=

b V

=

Bài 136 Chiều cao hình lăng trụ đứng tứ giác bằng

a

và góc đường chéo xuất phát từ đỉnh

hai mặt bên kề

60 Tính thể tích lăng trụ tổng diện tích xung quanh mặt bên lăng trụ

ĐS:

;

V = a S= a

Bài 137 Cho hình hộp

ABCD A B C D

'

'

'

'

có

AB

=

a AD

,

=

b AA

,

'

=

c

2

'

'

'

BD

=

AC

=

CA

=

a

+

b

+

c

a/ Chứng minh:

ABCD A B C D

'

'

'

'

là hình hộp chữ nhật

b/ Gọi

x y z

, ,

góc tạo đường chéo ba mặt qua đỉnh thuộc đường chéo Chứng

minh rằng: 2

sin

x

+

sin

y

+

sin

z

=

1

Bài 138

(

ÐH

-

D

.2009

)

Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

tam giác vuông tại

B AB

,

=

a AA

,

'

=

2

a

,

'

3

A C

=

a

Gọi

M

trung điểm đoạn thẳng

A C

'

'

và

I

giao điểm của

AM

và

A C

'

Tính thể tích

khối tứ diện

I ABC

khoảng cách từ

A

đến

mp I BC

(

)

theo

a

ĐS:

4

3

,

(

,

(

)

)

2

5

9

5

a

a

V

=

d A I BC

=

Lăng trụ đứng biết góc mặt phẳng

Bài 139 Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

là tam giác vuông cân tại

B

với

BA

=

BC

=

a

Biết

mp A BC

(

'

)

hớp với

mp ABC

(

)

một góc

60

0 Tính thể tích khối lăng trụ

ABC A B C

'

'

'

ĐS:

3

2

a

V =

Bài 140 Đáy lăng trụ đứng

ABC A B C

'

'

'

là tam giác Mặt

(

A BC

'

)

tạo với đáy góc

30

0 diện tích

tam giác

A BC

'

bằng

8 cm

( )

Tính thể tích khối lăng trụ

ABC A B C

'

'

'

ĐS:

(

3

)

8 3

V

=

cm

Bài 141 Cho lăng trụ đứng

ABCD A B C D

'

'

'

'

có đáy hình vng cạnh

a

và

mp BDC

(

'

)

hợp

với

mp ABCD

(

)

một góc

60

0 Tính thể tích khối hộp chữ nhật

ABCD A B C D

'

'

'

'

ĐS:

6

2

a

V =

Bài 142 Cho hình hộp chữ nhật

ABCD A B C D

'

'

'

'

có

AA

'

=

2

a

;

mp A BC

(

'

)

hợp với

mp ABCD

(

)

một góc

0

60 vàA C' hợp vớimp ABCD

(

)

một góc300 Tính thể tích khối hộp chữ nhật

ĐS:

16

2

3

a

V =

Bài 143 Cho hình hộp chữ nhậtABCD A B C D ' ' ' 'cóAA'= a, biết đường chéoA C' hợp với mặt phẳng đáy

(

ABCD

)

một góc300và mp A BC

(

'

)

hợp vớimp ABCD

(

)

một góc600 Tính thể tích khối hộp chữ

nhật

ABCD A B C D

'

'

'

'

ĐS:

2

2

3

a

V =

Bài 144 Cho lăng trụ đứngABCD A B C D ' ' ' 'có đáyABCDlà hình vng cạnh bên bằnga Biết rằng:

(

' '

)

mp ABC D hợp với mặt phẳng đáy góc300 Tính thể tích khối lăng trụABCD A B C D ' ' ' '

ĐS:

3

V = a

Bài 145 Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABClà tam giác vng cân tạiB;AC = 2a Biết

(

'

)

mp A BC hợp với mp ABC

(

)

một góc450 Tính thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' ' ĐS: V = a3 2

Bài 146 Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

tam giác vng cân tại

A

với

AB

=

AC

=

a

·

120

0

BAC =

Biết rằng

mp A BC

(

'

)

hợp với

mp ABC

(

)

một góc

45

0 Tính thể tích khối lăng trụ

ĐS:

3

3

8

a

V =

Bài 147 Cho lăng trụ đứng

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

là tam giác cạnh

a

,

AA B =

·

'

60

0 a/ Tính thể tích khối lăng trụ

ABC A B C

'

'

'

b/ Mặt phẳng

(

C AB

'

)

chia khối lăng trụ

ABC A B C

'

'

'

thành hai khối đa diện Tính thể tích

khối đa diện

Bài 148 Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

tam giác vng tại

B

và

BB

'

=

AB

=

h

Biết

rằng

mp B AC

(

'

)

hợp với mặt phẳng chứa đáy

ABC

góc

60

0 Tính thể tích khối lăng trụ

ĐS:

2

4

h

V =

Bài 149 Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

tam giác Biết cạnh bên

AA

'

=

a

Tính thể

tich khối lăng trụ trường hợp sau:

a/

mp A BC

(

'

)

hợp với đáy mặt phẳng chứa đáy

ABC

góc

60

0 b/ Đường thẳng

A B

'

hợp với

mp ABC

(

)

một góc

45

0

c/ Chiều cao kẻ từ

A

'

của

D

A BC

'

độ dài cạnh đáy lăng trụ

ĐS:

/

/

/

3

3

3

3;

;

3

4

a

a V

=

a

b V

=

c V

=

a

Bài 150 Cho hình lăng trụ đứng tứ giác đều

ABCD A B C D

'

'

'

'

có cạnh bên

AA

'

=

2

a

Tính thể tích lăng trụ

trong trường hợp sau đây:

a/

Mp ACD

(

'

)

hợp với mặt phẳng chứa đáy

ABCD

một góc

45

0 b/ Đường thẳng

BD

'

hợp với mặt phẳng chứa đáy

ABCD

một góc

60

0

c/ Khoảng cách từ điểm

D

đến

mp ACD

(

'

)

bằng

a

ĐS:

/

/

/

3

3

16

16 ;

12 ;

3

a

a V

=

a

b V

=

a

c V

=

Bài 151 Cho lăng trụ đứngABCD A B C D ' ' ' 'có đáyABCDlà hình vng cạnha Tính thể tích khối lăng trụ

'

'

'

'

ABCD A B C D

trường hợp sau:

a/

Mp BDC

(

'

)

hợp với mặt phẳng chứa đáy

ABCD

một góc

60

0 b/

D

BDC

'

là tam giác

c/ Đường thẳngAC 'hợp với mặt phẳng chứa đáyABCDmột góc450

ĐS:

/

/

/

3

3

6

;

;

2

2

a

a V

=

b V

=

a

c V

=

a

Bài 152 Cho lăng trụ đứng

ABCD A B C D

'

'

'

'

có đáy

ABCD

là hình thoi cạnh

a

và góc nhọn

A

µ

=

60

0 Tính thể

tích khối lăng trụABCD A B C D ' ' ' 'trong trường hợp sau:

a/ Mặt phẳng

(

BDC'

)

hợp với mặt phẳng chứa đáyABCDmột góc600 b/ Khoảng cách từ điểmC đếnmp BDC

(

'

)

bằng

2

a

c/ Đường thẳngAC 'hợp với mặt phẳng chứa đáyABCDmột góc450

ĐS:

/

/

/

3 3

3

3

3

2

3

;

;

4

8

2

a

a

a

a V

=

b V

=

c V

=

Bài 153 Cho hình hộp chữ nhật

ABCD A B C D

'

'

'

'

có

BD

'

=

5 ;

a BD

=

3

a

Tính thể tích khối hộp

trường hợp sau đây: a/ Đoạn thẳng

AB

=

a

b/ Đường thẳng

BD

'

hợp với

mp AA D D

(

'

'

)

một góc

30

0

c/ Mặt phẳng

(

ABD

'

)

hợp với mặt phẳng chứa đáy

ABCD

một góc

30

0 ĐS:

a V

/

=

8

a

3

2;

b V

/

=

5

a

3

11;

c V

/

=

16

a

3

Khối lăng trụ xiên

Bài 154 Cho hình lăng trụ tam giác

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

tam giác cạnh

a

và đỉnh

A

'

cách

đỉnh

A B C

, ,

Cạnh bên

AA

'

tạo với đáy góc

60

0 Tính thể tích khối lăng trụ cho

Bài 155 Cho hình lăng trụ tam giác

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

tam giác cạnh

a

Biết cạnh bên bằng

a

3

và hợp với mặt phẳng chứa đáy

ABC

góc

60

0 Tính thể tích khối lăng trụ

ABC A B C

'

'

'

đã cho

ĐS:

3

3

8

a

V =

Bài 156 Cho hình lăng trụ tam giác

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

tam giác cạnh

a

Hình chiếu điểm

A

'

xuống

mp ABC

(

)

trùng với tâm

O

của đường tròn ngoại tiếp

D

ABC

và biết đường thẳng

AA

'

tạo

với mặt phẳng chưa đáy

ABC

góc

60

0 a/ Chứng minh rằng:

BB C C

'

'

hình chữ nhật

b/ Tính thể tích khối lăng trụ

ABC A B C

'

'

'

đã cho

ĐS:

3

3

4

a

V =

Bài 157 Cho hình hộp

ABCD A B C D

'

'

'

'

có đáy hình chữ nhật với

AB

=

3

( )

cm AD

,

=

7

( )

cm

Hai mặt bên

(

ABB A

'

'

)

và

(

ADD A

'

'

)

lần lượt tạo với mặt phẳng chứa đáy

ABCD

những góc

45

0

và

60

0 Tính thể tích khối hộp

ABCD A B C D

'

'

'

'

nếu biết cạnh bên bằng

1 cm

( )

ĐS:

(

3

)

3

V

=

cm

Bài 158 Cho hình lăng trụ

ABCD A B C D

'

'

'

'

có đáy

ABCD

là hình vng cạnh

a

và biết cạnh bên bằng

8cm

, hợp với mặt phẳng chứa đáyABCDmột góc300 Tính thể tích khối lăng trụABCD A B C D ' ' ' '

ĐS:

(

3

)

336

V

=

cm

Bài 159 Cho hình hộpABCD A B C D ' ' ' 'cóAB = a AD, = b AA, ' = c BAD,· = 300và cạnh bên hợp với

đáy ABCDmột góc600 Tính thể tích khối hộpABCD A B C D ' ' ' '

Bài 160 Cho hình lăng trụ tam giác

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

tam giác cạnh

a

và đỉnh

A

'

cách

đỉnhA B C, , Biết

'

2

3

3

a

AA =

Tính thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' '

ĐS:

3

4

a

V =

Bài 161 Cho hình lăng trụ tam giácABC A B C ' ' 'có đáyABC tam giác cạnh avà đỉnhA'có hình chiếu

trênmp ABC

(

)

nằm đường caoAH củaDABC Biết mặt bên

(

BB C C' '

)

hợp với mặt phẳng chứa

đáyABCmột góc600

b/ Tính thể tích khối lăng trụ

ABC A B C

'

'

'

ĐS:

3

3

8

a

V =

Bài 162 Cho hình lăng trụ tam giác

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

là tam giác với tâm

O

Canh bên

CC

'

=

a

và hợp với mặt phẳng chứa đáy

ABC

góc

60

0 Hình chiếu điểm

C

'

lên

mp ABC

(

)

trùng với

O

a/ Chứng minh rằng:

AA B B

'

'

hình chữ nhật Tính diện tích hình chữ nhật

b/ Tính thể tích khối lăng trụ

ABC A B C

'

'

'

này

ĐS:

3

;

3

3

2

8

a

a

S

=

V

=

Bài 163 Cho hình lăng trụ tam giác

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

là tam giác cạnh

a

và chân đường vng góc

hạ từ đỉnh

A

'

lên

mp ABC

(

)

trùng với trung điểm

BC

của

D

ABC

biết

AA

'

=

a

a/ Tìm góc hợp cạnh bên với đáy lăng trụ

b/ Tính thể tích khối lăng trụ

ABC A B C

'

'

'

ĐS:

/

/

3

0

3

30 ;

8

a

a

b V =

Bài 164 Cho lăng trụ xiên

ABC A B C

'

'

'

có đáy

ABC

là tam giác Hình chiếu điểm

C

'

trên

(

)

mp ABC

trùng với tâm

O

của

D

ABC

Biết khoảng cách từ điểm

O

đền đường thẳng

CC

'

bằng

a

Hai mặt bên

(

AA C C

'

'

)

và

(

BB C C

'

'

)

hợp với góc

90

0 Tính thể tích khối

trụ

ABC A B C

'

'

'

đã cho

ĐS: 27

4

a

V =

Bài 165 Cho hình hộp

ABCD A B C D

'

'

'

'

có mặt hình thoi cạnh

a

Hình chiếu vng góc của

A

'

trên

(

)

mp ABCD

điểm

H

nằm hình thoi cạnh xuất phát từ điểm

A

của hình hộp đơi tạo với

nhau góc

60

a/ Chứng minh rằng: điểm

H

nằm đường chéo

AC

của

ABCD

b/ Tính diện tích mặt chéo

ACC A

'

'

và

BDD B

'

'

c/ Tính thể tích khối hộp

ĐS:

/

/

3

2

' ' ' '

2

2,

;

2

ACC A BDD B

a

a S

=

a

S

=

a

b V

=

Bài 166 Cho hình hộpABCD A B C D ' ' ' 'có đáyABCDlà hình thoi cạnh cạnhavà góc nhọn

A

µ

=

60

0 Chân đường vng góc hạ từ điểmB'xuốngABCDtrùng với giao điểm hai đường chéo đáy ChoBB'= a a/ Tính góc hợp cạnh bên mặt đáy hình hộp

b/ Tính thể tích tổng diện tích mặt bên hình hộp

ĐS:

/ /

3

0

3

60 ;

,

15

4

a

a

b V

=

S

=

a

Bài 167

(

ÐH - B.2010

)

Cho hình lăng trụ tam giác đềuABC A B C ' ' 'có AB = a, góc mp A BC

(

'

)

và

(

ABC

)

bằng

0

60 GọiGlà trọng tâmA BC' Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ

diệnGABCtheo a

ĐS:

3

3

3

7

,

8

12

a

a

V

=

R

=

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I

Bài 168 Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình vng cạnh

2a

,

SA

^

mp ABCD

(

)

Góc giữa

SC

và mặt phẳng chứa đáy bằng

60

0

và

M

trung điểm cạnh

SB

a/ Tính thể tích khối chóp

S ABCD

.

b/ Tính thể tích khối chóp

M BCD

.

ĐS:

/

/

3

8

6

1

2

6

;

3

4

3

S ABCD M BCD S ABCD

a

a

a V

=

b V

=

V

=

Bài 169 Cho hình chóp tam giác

S ABC

.

có

AB

=

5 ,

a BC

=

6 ,

a CA

=

7

a

Các mặt bên

(

SAB

) (

,

SBC

)

và

(

SCA

)

tạo với

mp ABC

(

)

một góc

60

0 Tính thể tích khối chóp

S ABC

.

ĐS:

8 3

S ABC

V

=

a

Bài 170 Cho hình hộp chữ nhật

ABCD A B C D

'

'

'

'

có

AB

=

a

3,

AD

=

a AA

,

'

=

a O

,

giao điểm

AC

và

BD

a/ Tính thể tích khối hộp chữ nhật

ABCD A B C D

'

'

'

'

và khối chóp

OA B C D

'

'

'

'

b/ Tính thể tích khối

OBB C

'

'

c/ Tính độ dài đường cao đỉnh

C

'

của tứ diện

OBB C

'

'

ĐS:

/

/

/

3

3

' ' ' ' ' '

1

3

3

3,

;

;

'

2

3

3

3

12

OA B C D O BB C

a

a

a V

=

a

V

=

V

=

b V

=

c C H

=

a

Bài 171 Cho hình lập phương

ABCD A B C D

'

'

'

'

có cạnh bằng

a

Tính thể tích khối tứ diện

ACB D

'

'

ĐS:

1

3

V

=

a

Bài 172 Cho hình lăng trụ đứng tam giác có cạnh bằng

a

Gọi

E

trung điểm cạnh

AC

, mặt phẳng

(

A B E

'

'

)

cắt

BC

tại

F

Tính thể tích khối tứ diện

A B BC

'

'

khối

CA B FE

'

'

ĐS: ' '

3

;

' '

3

12

16

A B BC CA B FE

a

a

V

=

V

=

Bài 173 Cho chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình thang với đay lớn

AB

=

2

cm ACB

,

·

=

90

0 Hai

D

SAC

và SBD

D tam giác có cạnh

3 cm

( )

Tính thể tích khối chópS ABCD

ĐS:

6

( )

4

V

=

cm

Bài 174 Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình vng cạnh

2 ,

a SA

=

a SB

,

=

a

3

và

(

)

mp SAB vng góc mặt phẳng đáy GọiM N, trung điểm cạnhAB BC, Tính theoathể tích khối chóp S BMDN

ĐS:

3

3

a

V =

Bài 175 Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy hình vng cạnh a,mặt bên SAD tam giác nằm mặt

phẳng vng góc với đáy Gọi

M N

,

trung điểm cạnh

SB BC CD

,

,

Chứng minh

AM

vng góc với

BP

và tính thể tích khối tứ diện

CMNP

ĐS:

3

96

a

V =

Bài 176 Chho hình chóp

S ABC

.

có đáy

D

ABC

vng tại

B

, cạnh bên

SA

^

mp ABC

(

)

Biết rằng:

a/ Tính thể tích khối chóp

S ABC

.

b/ Tính khoảng cách từ điểm

A

đến

mp SBC

(

)

c/ Gọi

H

trung điểm của

SB

Mặt phẳng

( )

a

qua

AH

song song với

BC

cắt

SC

tại

K

Tính thể

tích hình chóp

S AHK

.

Bài 177 Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy là

D

ABC

vng tại

A

và

AB

=

a AC

,

=

SA

=

a

3

Hai mặt bên

(

SAB

)

và

(

SAC

)

cùng vng góc với

mp ABC

(

)

a/ Tính thể tích khối chóp

S ABC

.

khoảng cách từ điểm

A

đến

mp SBC

(

)

b/ Tìm góc hợp hai

mp SBC

(

)

,

mp ABC

(

)

và góc đường thẳng

SB

,

mp SAC

(

)

c/ Gọi

M

trung điểm cạnh

SC

Tính thể tích hình chóp

S ABM

.

Bài 178 Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình vng tâm

O

Hai mặt bên

(

SAD

) (

,

SCD

)

cùng vng góc với

mp ABCD

(

)

và

SA

tạo với mặt phẳng đáy góc

45

0

a/ Tính thể tích khối chóp

S ABCD

.

b/ Tính thể tích khối

SOAB

.

khoảng cách từ

O

đến

mp SAB

(

)

Bài 179 Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình vng tâm

O

Hai mặt bên

(

SAD

) (

,

SCD

)

cùng vng góc với

mp ABCD

(

)

và

SD

=

2

a

Mặt bên

(

SAB

)

tạo với

mp ABCD

(

)

một góc

45

0

a/ Tính thể tích hình chóp

S ABCD

.

b/ Tính thể tích hình chóp

SOCD

.

c/ Tính góc hợp bởi

SC

(

SBD

)

d/ Tính khoảng cách từ

O

đến

mp SAD

(

)

e/ Gọi

G

trọng tâm

D

SAB

Mặt phẳng

( )

a

qua

OG

và song song với

AB

cắt

SA SB

,

H K

,

Tính thể tích khối chóp

SOHK

.

Bài 180 Cho hình chóp tam giác

S ABC

.

có cạnh đáy

a

, cạnh bên

a

2

a/ Tính thể tích hình chóp

S ABC

.

b/ Mặt phẳng

( )

P

qua

A B

,

trung điểm

K

của

SC

chia hình chóp làm phần Tính tỉ số thể phần

đó

Bài 181 Cho hình chóp

S ABC

.

có đáy

D

ABC

cạnh

2a

, hai mặt bên

(

SAB

)

và

(

SAC

)

cùng vng góc với

mặt đáy

(

ABC

)

, SA = a a/ Tính thể tích hình chóp

S ABC

.

b/ Gọi

E

điểm trên

SB

và

F

trên

SC

sao cho

SB

=

4

BE SC

,

=

2

SF

Mặt phẳng

( )

a

qua

A E F

, ,

chia hình chóp làm phần Tính tỉ số thể tích hai phần

Bài 182 Cho khối chóp tứ giác đều

S ABCD

.

mà trung đoạn bằng

6a

, cịn góc hai mặt bên đối diện

60

Qua

CD

dựng

mp a

( )

vng góc với

mp SAB

(

)

cắt

SA SB

,

H K

,

Tính thể tích khối

chóp

SCDHK

.

Bài 183 Cho khối chóp

S ABCD

.

có đáy hình vng cạnh

a SA

,

^

mp ABCD SA

(

)

,

=

2

a

Gọi

H K

,

lần

lượt hình chiếu A lên SB SD, Mặt phẳng

(

AHK

)

cắtSCtại I Tính thể tích khối chópS AHI K Bài 184 Cho khối chópS ABCD có đáy hình bình hành Gọi I J, trung điểm SBvàSD Mặt

phẳng

(

AI J

)

cắt

SC

L

Tìm tỉ số thể tích hai khối chóp

S AI JL

.

S ABCD

.

Bài 185 Cho khối chóp

S ABCD

.

có đáy hình bình hành Gọi

M N P

, ,

trung điểm của

AB AD SC

,

,

Chứng minh rằng:

mp MNP

(

)

chia khối chóp

S ABCD

.

thành phần tích

Bài 186 Cho khối chóp tứ giác

S ABCD

.

Một

mp a

( )

đi qua

A B

,

trung điểm

M

SC

Tính tỉ số thể

tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng

Bài 187 Cho khối chóp tam giác

S ABC

.

Gọi

M

cạnh

SA

, điểm

N

cạnh

SB

cho

MA

=

2

SM

và

SN

=

2

NB

Một

mp a

( )

qua

MN

song song với

SC

chia khối chóp thành phần Tìm tỉ số thể

tích phần

Bài 188 Cho hình chóp tam giác

S ABC

.

và

M

điểm thuộc miền

D

ABC

Các đường thẳng qua

M

song song với

SA SB SC

,

,

cắt mặt

(

SBC

) (

,

SAC

) (

,

SAB

)

tại

O P Q

, ,

Chứng minh rằng:

a/

M SBC

M ABC

V MO

V = SA

b/

MO

MP

MQ

SA

SB

SC

w

ỉ

ư

÷

ỗ

+

+

ữ

=

ỗ

ữ

ỗ

ữ

ỗ

ố

ứ

l mt s khụng đổi Tìm

w

?

Bài 189 Cho đường trịn đường kính

AB

=

2

a

nằm mặt phẳng

mp a

( )

và

M

nằm đường trịn

cho

MAB =

·

30

0 Trên đường thẳng vng góc với

mp a

( )

tại

A

, ta lấy điểm

S

cho

SA

=

SB

Gọi

H K

,

hình chiếu vng góc

A

SM SB

,

a/ Chứng minh rằng:

SB

^

mp AHK

(

)

b/ Gọi

I

giao điểm của

HK

với

mp a

( )

Chứng minh rằng:

AI

tiếp tuyến đường cho

c/ Tính thể tích khối chóp

S AHK

.

Bài 190 Cho khối chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật

SA

^

mp ABCD

(

)

Một

mp a

( )

đi qua

A

A, vng góc với cạnh

SC

cắt

SB SC SD

,

,

I J K

, ,

a/ Chứng minh rằng: Tứ giác

AI JK

có hai góc đối diện góc vng

b/ Chứng minh rằng: Nếu

S

di động đường thẳng

^

mp ABCD

(

)

tại

A

A

mp AI JK

(

)

luôn

qua đường thẳng cố định điểm

A B I C J D K

, , , , , ,

cách điểm cố định khoảng

không đổi

c/ Cho góc cạnh SC mp SAB

(

)

β

AB = BC Tính tỉ số thể tích :

S AI JK

S ABCD

V

V

Bài 191 Cho hình chóp

S ABCD

.

có

ABCD

hình thoi cạnh

a

,

BAD =

·

60

0 Các mặt bên tạo với đáy góc α

a/ Xác định chân đường cao H hình chóp

b/ Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình chópS ABCD

c/ Tính khoảng cách từ điểm Ađếnmp SBC

(

)

và khoảng cách hai đường thẳng SA BC,

Bài 192 Cho hình chópS ABCD cóABCDlà hình vng cạnh

a SA

,

^

(

ABCD SA

)

,

=

a

2

Trên SB SD,

lần lượt lấy E F, cho SE = SF, 3SE = 2SB a/ Tìm giao điểm

G

G

SC

và

mp AEF

(

)

b/ Chứng minh rằng: SC ^

(

AEGF

)

c/ Tính thể tích khối chóp S AEGF

a/

Mp MCD

(

)

cắt hình chóp theo thiết diện hình ? Tính diện tích thiết diện theo

a x

,

b/ Cho

2

a

x =

Thiết diện chia hình chóp làm hai khối đa diện, tính thể tích khối đa diện ?

Bài 194 Cho tứ diện

S ABC

.

có

D

ABC

vng cân

C AC

,

=

a

Các

D

SAC

,

D

SBC

là tam giác đều,

I

trung điểm

AB

a/ Chứng minh rằng:

(

SAB

) (

^

ABC

) (

,

SI C

) (

^

SAB

)

b/ Tính khoảng cách hai đường thẳng

SA BC

,

c/ Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp

S ABC

.

Bài 195 Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình thang vng, đường cao

AB

=

a

,

ADC =

·

60

0 Đỉnh

S

cách cạnh đáy khoảng

2a

Tính thể tích, diện tích xung quanh diện tích tồn phần

hình chóp

S ABCD

.

Bài 196 Cho hình chóp tứ giác

S ABCD

.

có cạnh đáy

=

2a

, cạnh bên

=

a

6

a/ Tính thể tích, diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình chóp

b/ Cắt hình chóp mặt phẳng song song với đáy tạo thành hình chóp cụt có đường chéo vng góc với cạnh bên Tính thể tích hình chóp cụt ?

Bài 197 Cho hình chóp cụt tam giác cạnh đáy lớn

a

, cạnh đáy nhỏ

b

Góc mặt bên đáy lớn

ϕ

Tìm thể tích hình chóp cụt ?

Bài 198 Cho hình chóp cụt tam giác cạnh đáy lớn

2a

,cạnh đáy nhỏ

a

, góc đường cao mặt bên

bằng

30

a/ Tính diện tích tồn phần diện tích hình chóp cụt b/ Tính thể tích hình chóp sinh hình chóp cụt

Bài 199 Trên cạnh

CD

của tứ diện

ABCD

lấy điểm

M

cho

1

3

CM

=

CD

Tính tỉ số thể tích hai khối tứ

diện

ABMD

và

ABMC

ĐS : ABDM

2

ABCM

V

V

=

Bài 200 Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C

'

'

'

Tính tỉ số thể tích khối chóp

A BB C C

.

'

'

khối lăng trụ

ĐS :

ABC.A'B C ' '

3

A BB C C

V

V ¢ ¢=

Bài 201 Cho khối tứ diệnABCDcó điểmM N P, , thuộcBC BD AC, , choBC = 4BM,

3

,

2

AC

=

AP BD

=

BN

và

mp MNP

(

)

cắt

AD

tại

Q

Tính tỉ số hai phần khối tứ diện

ABCD

được

phân chia bởimp MNP

(

)

ĐS :

7

13

V

V

=

Bài 202 Cho hình vng

ABCD

có cạnh bằng

a

Qua trung điểm

I

cạnh

AB

dựng đường thẳng

d

vng góc với mp ABCD

(

)

Trên đường thẳngdlấy điểmSsao cho

3

2

a

SI =

Tìm khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng

(

SAD

)

ĐS :

,

(

)

3

2

a

d C SAD

é

ê

ù=

ú

ë

û

Bài 203 Cho hình chópS ABC có DABC vng cân C SC, = 5

( )

cm Hãy tìm góc hai mặt phẳng

(

SCB

)

và

(

ABC

)

để khối chópS ABC tích lớn ? Tìm thể tích lúc ?

Bài 204 Cho hình hộp chữ nhật

ABCD A B C D

'

'

'

'

có đường chéo

AC

'

=

2

( )

cm

hợp với đáy

ABCD

một

góc

a

và hợp với mặt bên

(

BCC B

'

'

)

một góc

b

Tìm

a b

,

để thể tích hình hộp lớn

ĐS : max

2

( )

30

0

8