Đang tải... (xem toàn văn)
Các bài toán tìm khoảng cách: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng, trong nhiều trường hợp có thể qui về bài toán thể tích khối đa diện.. P[r]
(1)KHỐI ĐA DIỆN 1
Chương
ÔN TẬP
1/ Các hệ thức lượng tam giác vuông
Cho DABC vuông A, AH đường cao, AM đường trung tuyến Ta có:
2/ Các hệ thức lượng tam giác thường a) Định lí hàm số cosin
b) Định lí hàm số sin
c) Cơng thức tính diện tích tam giác
d) Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến tam giác
2 2
2
2 4
AB AC BC
AM +
* = -
2 2
2
2 4
BA BC AC
BN + * = - A C B R 2 sin sin sin
a b c
R
A = B = C =
(R bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC) b
c
a
HÌNH HỌC PHẲNG
A
B C
b c
a p – nửa chu vi
r – bán kính đường trịn nội tiếp
1 . 1 . 1 .
2 2 2
ABC a b c
SD = a h = bh = c h
1 sin 1 sin 1 sin
2 2 2
ABC
SD = ab C = bc A = ac B
, .
4
ABC ABC
abc
S S p r
R
D = D =
( )( )( ) ,
2
ABC
a b c
SD = p p- a p- b p- c ỗỗỗổp= + + ữửữữ
ố ứ
A
B C
b c a
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos cos
2
2 cos cos
2
2 cos cos
2
b c a
a b c bc A A
bc
a c b
b a c ac B B
ac
a b c
c a b ab C C
ab + -* = + - Þ = + -* = + - Þ = + -* = + - Þ = A
B C
H M
2 ( )
BC = AB + AC Pitago AH BC = AB AC
AB2= BH BC AC. , =CH CB.
2 2
1 1
, AH HB HC AH = AB + AC =
2 BC AM =
A
B C
N K
M
(2)
2 2
2
2 4
CA CB AB
CK +
* = -
3/ Định lí Talet
4/ Diện tích đa giác
a/ Diện tích tam giác vng
Diện tích tam giác vng ½ tích cạnh góc vng
b/ Diện tích tam giác
Diện tích tam giác đều: 3
4
SD =
Chiều cao tam giác đều: 3
2
hD =
c/ Diện tích hình vng hình chữ nhật Diện tích hình vng cạnh bình phương Đường chéo hình vng cạnh nhân 2 Diện tích hình chữ nhật dài nhân rộng
d/ Diện tích hình thang Diện tích hình thang:
SHình Thang 1 2
= (đáy lớn +đáy bé) xchiều cao
e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc
nhau ½ tích hai đường chéo
Hình thoi có hai đường chéo vng góc trung điểm đường
Lưu ý: Trong tính tốn diện tích, ta chia đa giác thành hình đơn giản dễ tính diện tích, sau cộng diện tích chia này, ta diện tích đa giác
2 / / AMN ABC
AM AN MN
MN BC k
AB AC BC
S AM k S AB D D * Þ = = = ổ ửữ ỗ ữ * = ỗỗ ữ = ữ ỗ ố ứ
(T din tớch bng t bình phương đồng dạng) A
B C
N M
A C
B
1
ABC
SD AB AC
Þ = A B C a h 3 4 3 2 ABC a S a h D ìï ï = ïï ù ị ớ ùù = ùù ùợ
A B
C D a O 2 HV S a
AC BD a
ì = ïïï Þ í ï = = ïïỵ A
B H C
D
( ).
2
AD BC AH
S +
Þ =
A
B
D
C
1 . 2
H T hoi
S AC BD
Þ =
(cạnh)2
đều
(cạnh)
(3)1/ Chứng minh đường thẳng d // mp a( ) với (dË ( )a )
Chứng minh: d // 'd d'Ì ( )a
Chứng minh: d Ì ( )b ( )b // ( )a
Chứng minh d ( )a vng góc với đường thẳng vng góc với mặt phẳng
2/ Chứng minh mp( )a // mp( )b
Chứng minh mp a( ) chứa hai đường thẳng cắt song song với mp b( )
Chứng minh mp a( ) mp b( )cùng song song với mặt phẳng vng góc với đường thẳng
3/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng định lí sau
Hai mp a( ),( )b có điểm chung S chứa đường thẳng song song a b,
( ) // // ( )a Ç b = Sx a b
( ) ( ) //
// ( )
( )
a mp
b a
a mp
a
a b
b
ìï
ïï ị ầ =
ớ ù è ùùợ
Hai mặt phẳng song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo giao tuyến song song
Hai đường thẳng vng góc với mặt phẳng song song với Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, … 4/ Chứng minh đường thẳng d ^ mp a( )
Chứng minh d vng góc với hai đường thẳng cắt chứa mp a( )
Chứng minh:
( ) // ' '
d d
d mp a
ìï
ïï ị
ớ ù ^
ùùợ ( )
d ^ mp a
Chứng minh: ( )
( ) // ( )
d mp
mp mp
b
b a
ìï ^
ùù ị
ớ ùù ùợ
( )
d ^ mp a
Hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ giao tuyến chúng vng góc với mặt
phẳng thứ 3:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
P
P d P
d a
b
a b
ìï ^ ïï
ïï ^ ị ^
ớ ùù
ù ầ =
ïïỵ
Có hai mặt phẳng vng góc, đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến, vng góc với mặt phẳng
5/ Chứng minh đường thẳng d ^ d'
Chứng minh d ^ ( )a ( )a Éd' Sử dụng định lý ba đường vuông góc Chứng tỏ góc d d' bằng900
Sử dụng hình học phẳng
6/ Chứng minh mp( )a ^ mp( )b
Chứng minh ( )
( ) ( ) ( )
d
mp mp
d a
a b
b
ìï É
ïï Þ ^
í ï ^ ïïỵ
(chứng minh mp chứa đường thẳng vng góc với mp kia) CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC
(4)(5)1/ Góc hai đường thẳng
Là góc tạo hai đường thẳng cắt vẽ phương với hai đường thẳng đó:
¶ ·
//
// '
( , ) ( ', ') '
a a
a b a b
b b f
ìï
ï Þ = =
í ïïỵ
2/ Góc đường thẳngdvà mặt phẳng mp a( )
Là góc tạo đường thẳng hình chiếu mặt phẳng
( )
·, ( , ')·
d a d d f
é ù
= =
ê ú
ê ú
ë û
(với d' hình chiếu vng góc d lên mp a( ))
3/ Góc hai mp a( ) mp b( )
Là góc có đỉnh nằm giao tuyến u, cạnh hai góc nằm
2 mặt phẳng vng góc với giao tuyến
( ) ·
(( );a b )= ( , )a b¶ = f
4/ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
Là độ dài đoạn vng góc vẽ từ điểm đến đường thẳng
( , )
d M D = MH
5/ Khoảng cách hai đường thẳng song song:
Là khoảng cách từ điểm đường thẳng (mặt phẳng) đến đường thẳng (mặt phẳng)
6/ Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song
Là khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng 7/ Khoảng cách hai đường thẳng chéo
Là độ dài đoạn vuông góc chung đường thẳng Là khoảng cách MH từ điểm M d đến mp a( )
chứa d' song song với d
Là khoảng cách hai mặt phẳng song song ( ) ( )a , b chứa dvà d'
GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
φ
a
b
'
a
'
b
φ
α
d
'
d
α β
φ
a b
u
M d
' d M
M
D H
M d
' d
(6)S
A
B
C
H O
A
B C
D S
O H
1/ Định nghĩa
Một hình chóp gọi hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy
Nhận xét:
Hình chóp có mặt bên tam giác cân Các mặt bên tạo với đáy góc Các cạnh bên hình chóp tạo với mặt đáy góc
2/ Hai hình chóp thường gặp
a/ Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đềuS ABC. Khi đó:
ĐáyABC tam giác
Các mặt bên tam giác cân tạiS Chiều cao: SO
Góc cạnh bên mặt đáy: SAO· = SBO· = SCO· Góc mặt bên mặt đáy: SHO·
Tính chất: 2 , 1 , 3
3 3 2
AB
AO= AH OH = AH AH =
Lưu ý: Hình chóp tam giác khác với tứ diện + Tứ diện có mặt tam giác
+ Tứ diện hình chóp tam giác có cạnh bên cạnh đáy b/ Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đềuS ABCD.
ĐáyABCDlà hình vng
Các mặt bên tam giác cân tạiS Chiều cao: SO
Góc cạnh bên mặt đáy:SAO· = SBO· = SCO· = SDO· Góc mặt bên mặt đáy: SHO·
1/ Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy: Chiều cao hình chóp độ dài cạnh bên vng góc với đáy
Ví dụ: Hình chópS ABC có cạnh bên ( )
SA ^ ABC chiều cao làSA
2/ Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp chiều cao tam giác chứa mặt bên vuông góc với đáy
Ví dụ: Hình chópS ABCD có mặt bên(SAB) vng góc với mặt đáy(ABCD)thì chiều
cao hình chóp chiều cao củaDSAB 3/ Hình chóp có hai mặt bên vng góc với đáy:
Chiều cao hình chóp giao tuyến hai mặt bên vng góc với đáy
Ví dụ: Hình chópS ABCD. có hai mặt bên
(SAB)và(SAD)cùng vng góc với mặt
đáy(ABCD)thì chiều cao SA 4/ Hình chóp đều:
Chiều cao hình chóp đoạn thẳng nối đỉnh tâm đáy
Ví dụ: Hình chóp tứ giác đềuS ABCD. có tâm mặt phẳng đáy giao điểm hai đường chéo hình vngABCDthì có đường cao
HÌNH CHĨP ĐỀU
(7)làSO
(8)A
B
1/ Thể tích khối chóp: 1 . 3
V = B h
:
B Diện tích mặt đáy
:
h Chiều cao khối chóp
2/ Thể tích khối lăng trụ: V = B h.
:
B Diện tích mặt đáy
:
h Chiều cao khối chóp
Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cạnh bên
3/ Thể tích hình hộp chữ nhật: V = a bc .
Þ Thể tích khối lập phương: V = a3
4/ Tỉ số thể tích: ' ' '
' ' '
S A B C
S ABC
V SA SB SC
V = SA SB SC
5/ Hình chóp cụt A’B’C’.ABC
( ' ')
3
h
V = B + B + BB
Với B B h, ', diện tích hai đáy chiều cao
4 phương pháp thường dùng tính thể tích Tính diện tích cơng thức
+ Tính yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao,… + Sử dụng cơng thức tính thể tích
Tính thể tích cách chia nhỏ: Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà dễ dàng tính thể tích chúng Sau đó, ta cộng kết lại, ta có kết cần tìm
Tính thể tích cách bổ sung: Ta ghép thêm vào khối đa diện khối đa diện khác, cho khối đa diện thêm vào khối đa diện dễ dàng tính thể tích
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
C D S
O
C A
B
B’
A’ C’
A
B
C
A’
B’
C’
a
b
c
a a a
S
A’ B’
C’
A B
(9) Tính thể tích tỉ số thể tích
Bài giải tham khảo Tính thể tích khối chópS ABC.
* Ta có: . 1. . ( )1 3
S ABC ABC
V = SD SA
* Trong đó: SA = a 2( )
* Tìm SDABC?
TrongDABCvng tạiB , ta có:
0
0
sin 30 sin 30
2 3
cos30 cos30
2
a
BC BC AC
AC AB a AB AC AC ì ì ï ï ï ï = ï = = ï ï ïï Û ï í í ï ï ï = ï = = ï ï ï ï ïỵ ïỵ ( )
1 1 3 3
. . 3
2 2 2 2 8
ABC
a a a
SD AB BC
Þ = = =
* Thay( ) ( )2 , vào( )
2
1 3 3
1 .
3 8 24
S ABC
a a
V a
ị = ì = (vtt) ( )4
Tớnh khong cách từAđếnmp SBC( )
* Ta có: ( ) ( ) ( )
3. 1
, . , 5
3
S ABC
S ABC SBC
SBC V
V d A SBC S d A SBC
S D D é ù é ù = ê ú Þ ê ú= ë û ë û
* Tìm DSBC ?
Ta có: BC AB BC mp SAB( ) BC SB SBC
BC SA
ìï ^
ï Þ ^ Þ ^ Þ D
í
ï ^
ïỵ
vng tạiB
2
2 2 2
1 1 1 3 3
. . . . .
2 2 2 2 2
SBC
a a
SD BC BS AC AB SA AB a a
ổ ửữ ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ị = = - + = - ỗ ữữ + ỗ ữữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ố ø è ø ( )
1 7 7
6
2 2 2 8
a a a
= × × =
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ MỘT VÀI THÍ DỤ
Thí dụ Cho hình chóp S ABC. có đáy tam giác vng B BAC,· = 30 ,0 SA = AC = a
và SAvng góc vớimp ABC( ).Tính thể tích khối chópS ABC. khoảng cách từAđếnmp SBC( )
S
A C
B
300
a Dạng Tính thể tích khối đa diện cách sử dụng trực tiếp công thức Xác định chiều cao khối đa diện cần tính thể tích
Trong nhiều trường hợp, chiều cao xác định từ đầu bài, có trường hợp việc xác định phải dựa vào định lí quan hệ vng góc học lớp 11 (hay dùng định lí đường vng góc, định lí điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng,…) Việc tính chiều cao thơng thường nhờ vào việc sử dụng định lí Pitago, nhờ phép biến tính lượng giác,… Tìm diện tích đáy cơng thức quen biết
Nhìn chung, dạng tốn loại bản, địi hỏi tính tốn cẩn thận xác
(10)* Thế( ) ( )4 , 6 vào( )5 ( )
3
2
3 8 21
, 3
24 7 7
a a
d A SBC
a
é ự
ị ờ ỳ= ì ì =
ở û
Bài giải tham khảo
Ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
SAB ABCD
SAD ABCD SA ABCD
SAB SAD SA
ìï ^
ïï
ï ^ Þ ^
ớ
ùù ầ =
ùùợ
Þ Hình chiếu củaSC lênmp ABCD( )làAC
( )
· ·
, 60
SC ABCD SCA
é ù
Þ ê ú= =
ê ú
ë û
Mà: . 1 . ( )1
3
S ABCD ACBD
V = SA S
TìmSA ?
TrongDSACvng tạiA:
· ·
t anSCA SA SA AC t anSCA AC
= Þ = = AB2+ BC2 t an 600 = a2+ (2 ) 3a = a 15 ( )2
Ta lại có: . .2 2 ( )3
ABCD
S = AB BC = a a = a
Thay( ) ( )2 , 3 vào( )
3
1 2 15
1 15 2
3 3
ABCD
a
V a a
Þ = × × = (đvtt)
Bài giải tham khảo a/ CM: SI ^ mp ABC( )
DoDSABvuông cân cóSI trung tuyếnÞ SI đồng thời
là đường caoÞ SI ^ AB
Ta có: ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
SAB ABC
AB SAB ABC SI mp ABC
AB SI SAB
ỡù ^
ùù
ù = ầ ị ^
í
ïï ^ Ì ïïỵ
(đpcm)
b/ Tính thể tích khối chópS ABC.
GọiK trung điểm đoạnAC
SK
Þ vừa trung tuyến vừa đường cao
SAC SK AC
D Þ ^
TrongDABCvng tạiC có K I đường trung bình
Thí dụ Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình chữ nhật cóAB = a BC, = 2a Haimp SAB( )và
( )
mp SAD vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnhSC hợp với đáy góc600 Tính thể tích khối chópS ABCD. theoa
S
A D
B C
600
Thí dụ Hình chópS ABC. cóBC = 2a, đáyABClà tam giác vuông tạiC SAB, tam giác vuông cân tạiSvà nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy GọiI trung điểm cạnhAB
a/ Chứng minh rằng, đường thẳngSI ^ mp ABC( )
b/ Biếtmp SAC( )hợp vớimp ABC( )một góc600 Tính thể tích khối chópS ABC
S
A B
C
I K
600
(11)//
K I BC
K I AC
BC AC ìï ù ị ớ ị ^ ù ^ ùợ
Mặt khác: ·( ) ( ) ·
( ) ( ) { }
( ) ; 60
( )
mp ABC mp SAC AC
K I AC mp ABC mp SAC mp ABC SK I
SK AC mp SAC
ìï ^ = ïï é ù ï Þ í ^ Ì Þ ê ú= = ï êë úû ï ^ Ì ïïỵ
Mà: . 1 . ( )1
3
S ABC ABC
V = SD SI
TìmSI ?
TrongDSK I vng tạiI , ta có: t an· t an· 1. t an 600 3 2( ) 2
SI
SK I SI I K SK I BC a
I K
= Þ = = =
Tìm
ABC
SD ?
( )2
2 2
1 1 1
. . . . . . 2
2 2 2
ABC
SD = BC AC = BC AB - BC = BC SI - BC
( ) ( ) ( )
2 2
2 1
.2 2 3 2 2 2 3
2 a a a a
= - =
Thế( ) ( )2 , 3 vào( )
3
1 2 6
1 .2 2. 3
3 3
S ABC
a
V a a
Þ = = (đvtt)
Bài giải tham khảo Tính thể tích khối chópS ABCD.
GọiOlà tâm mặt đáy thìSO ^ mp ABCD( )
nênSOlà đường cao hình chóp gọiM trung điểm đoạnCD
Ta có: ·
( )
( ) 60
( ) ( )
CD SM SCD
CD OM ABCD SMO
CD SCD ABCD
ìï ^ Ì ïï ï ^ Ì ị = ớ ùù = ầ ùùợ
(gúc gia mặt(SCD)và mặt đáy)
Ta có: . 1 . ( )1
3
S ABCD ABCD
V = S SO
TìmSO ?
TrongDSMOvng tạiO, ta có: t anSMO· SO OM
=
· ( )
t an t an 60 3 2 2
BC
SO OM SMO a
Þ = = =
Mặt khác: SABCD = BC2 = ( )2a = 4a2 ( )3
Thế( ) ( )2 , vào( )
3
1 4 3
1 .4 3
3 3
ABCD
a
V a a
Þ = = (đvtt)
Thí dụ Cho hình chóp đềuS ABCD. có cạnh đáy2a, góc mặt bên mặt đáy bằng600 Tính thể tích hình chópS ABCD.
S
A
B C
D
O
2a
M
600
Thí dụ Cho hình lăng trụABC A B C ' ' 'có đáyABC tam giác cạnh bằnga Hình chiếu vng góc
'
A xuốngmp ABC( )là trung điểm củaAB Mặt bên(AA C C' ' )tạo với đáy góc 45o
Tính thể tích khối lăng trụ Page
(12)Bài giải tham khảo GọiH M I, , trung điểm đoạn thẳng
, ,
AB AC AM
VABC A B C ' ' ' = B h. = SDABC 'A H ( )1
DoDABC nên: ( )
2 3 3 2
4 4
ABC
BC a
SD = =
TìmA H' ?
DoI H đường trung bình DAMB, đồng
thời BM trung tuyến nên đường cao
Do đó: I H // MB I H AC
MB AC ìï ï Þ ^ í ï ^ ïỵ ( ) ' ' '
AC A H
AC A HI AC A I
AC I H
ìï ^
ï Þ ^ Þ ^
í
ï ^
ïỵ
Mà: (· ) ( ) ·
( ) ( ' ') { }
( ) ' ' ; ' 60
' ( ' ')
ABC ACC A AC
AC I H ABC ACC A ABC A I H
AC A I ACC A
ìï Ç = ïï é ù ï ^ Ì Þ = = í ê ú ï êë úû ï ^ Ì ïïỵ
Trong DA HI' vng tạiH , ta có: t an 450 ' ' t an 45o 1 3 ( )3
2 4
A H a
A H I H I H MB
HI
= Þ = = = =
Thay( ) ( )2 , 3 vào( )
2
' ' '
3 3 3
1 .
4 4 16
ABC A B C
a a a
V
Þ = =
Bài giải tham khảo
Do BC AB BC A B
BC AA ìï ^ ï Þ ^ Â ớ Â ù ^ ùợ
Và ·
( )
( ) '
( ) ( ' )
BC AB ABC
BC AB A BC ABA
BC ABC A BC
ỡù ^ è ùù ù ^ è Â ị ớ ùù = ầ ùùợ
l gúc gia(ABC)v(ABC)
Ta có:
2
2.
1 2. 3
. 2 3
2
A BC A BC
S a
S A B BC A B a
BC a
¢ D ¢
D = ¢ Þ ¢ = = = .
·
·
0
0
cos 2 3 cos30 3
sin 2 3 sin 30 3
AB A B ABA a a
AA A B ABA a a
¢ ¢
= = =
¢= ¢ ¢= =
Vậy: ' ' ' . . 1. . . 1.3 3 3 3
2 2 2
ABC A B C ABC
a
V = B h = S AA¢= AB BC AA¢= a a a = (đvtt)
A’ B’
C’
A B
C M
I
H
a
Thí dụ Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABC tam giác vuông tạiB BC, = a,mp A BC( ' )
tạo với đáy góc
30 DA BC' có diện tích bằnga2 3 Tính thể tích khối lăng trụ
B
A’ C’
B’
A C
30o
(13)Bài giải tham khảo
Ta có: AB AC AB (ACC A )
AB AA
ỡù ^
ù ị ^ Â Â
ớ Â
ù ^
ùợ
Do úAC ¢là hình chiếu vng
góc BC ¢ lên (ACC A¢ ¢)
Từ đó, góc giữaBC ¢và (ACC A¢ ¢)là BC A· ¢ = 300.
Trong tam giác vuôngABC: AB = AC t an 600 = a 3.
Trong tam giác vngABC': AC¢= AB cot 300 = a 3= 3a.
Trong tam giác vuông ACC : ' CC'= AC'2- AC2 = (3 )a2- a2 = 2a 2.
Vậy, thể tích lăng trụ là: 1 1
. . . ' . 3 .2 2 6
2 2
V = B h = AB AC CC = a a a = a (đvdt)
Bài giải tham khảo Cách giải
Ta có: BC AB BC (SBA) BC SB
BC SA
ìï ^
ï Þ ^ Þ ^
í
ï ^
ïỵ
( ) ( ) ( )
( )
(·) ( ) ·
; 30
SBC ABC BC
BC SB SBC SBC ABC SBA
BC AB ABC
ìï Ç =
ïï é ù
ïï
Þ í ^ Ì Þ ê ú= =
ï êë úû
ïï ^ Ì
ïïỵ
KẻMN // BC DoBC ^ (SBA) nên MN ^ (SBA)và lúc đó,
MN đường trung bìnhDSBC 1( )
2 2
BC a
MN
Þ = =
Lúc đó: . . 1. . ( )2
3
S ABM M SAB SAB
V =V = SD MN
Tìm:
SAB
SD ?
TrongDSABvng tạiA, ta có: t an 300 t an 300 3 3
SA a
SA AB
AB
= Þ = =
( )
2
1 1 3 3
. . . . 3
2 2 3 6
SAB
a a
SD SA AB a
Þ = = =
Thế( ) ( )1 ; vào( )
2
1 3 3
2 . .
3 6 2 36
S ABM M SAB
a a a
V V
Þ = = = (đvtt)
Cách giải
Thí dụ Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABClà tam giác vng tạiA AC, = a ACB,· = 600 Đường chéoBC'của mặt bên (BC C C' ' ) tạo với mặt phẳng mp AA C C( ' ' ) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ theo a
B’
A C
B’
A’ C’
a 600
30o
Thí dụ (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B,D – 2011)
Cho hình chópS ABC. có đáyABC tam giác vng cân tạiB AB, = a SA, ^ (ABC), góc
( )
mp SBC vàmp ABC( )bằng300 GọiM trung điểm cạnhSC Tính thể tích khối chóp
.
S ABM theo a
B A
S
M
C
30o
N
(14)
3
1 1 1 3 3
. . . .
3 3 2 3 18
S ABC ABC
a a
V = SD SA = a a = (đvtt)
2 3
. . 2
2 36
S ABC S ABC
S ABM S ABM
V SA SB SC SM V a
V
V = SA SB SM = SM = Þ = = (đvtt)
Bài giải tham khảo
Ta có: ( ) ( ) { }
( ) ( )
SBC ABC BC
AB SBC
BC AB ABC
ìï ^ = ïï Þ ^ í ï ^ Ì ïïỵ
Thể tích khối chópS ABC. : . . 1. . 3
S ABC A SBC SBC
V =V = SD AB
·
1 1
. . sin .4 2 3 sin 30 2 3
2 2
SBC
SD = BC BS SBC = a a = a
( )
2
1
.2 3.3 2 3 1 3
S ABC A SBC
V V a a a
Þ = = = (đvtt)
Tìm khoảng cách từBđếnmp SAC( ) ?
Ta có: ( )
1
. . ;
3
S ABC B SAC SAC
V =V = SD d B SACéê ùú
ë û
( ) ( )
; S ABC
SAC
V d B SAC
SD
é ù
Þ ê ú=
ë û
Ta có: ( ) 2 2 2
9 12 21
AB ^ SBC Þ AB ^ SB Þ SA = AB + SB = a + a = a
Mặt khác, áp dụng định lí hàm số cosin trongDSBC: SC2 = BC2+ BS2- 2.BC BS cosSBC·
2 2 3
16 12 2.4 2 3. 4 2
SC a a a a a
Þ = + - =
TrongDABCvng tạiB: AC2 = AB2+ BC2 = 9a2+ 16a2 = 25a2
Nhận thấy: 2 2 2
21 25
SA + SC = a + a = a = AC Þ DSACvng tạiS Do đó, diện tích tam giácSAClà: 1. . 1.2 21 21 ( )3
2 2
SAC
SD = SC SA = a a = a
Thay( ) ( )1 , vào( ) ( )
3
2
3.2 3 6 7
2 ;
7 21
a a
d B SAC
a
é ù
Þ ê ú= =
ë û
Thí dụ 10 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2009)
Cho hình chópS ABCD. có đáy hình thang vng tạiAvàD AB, = AD = 2 ,a CD = a, góc haimp SBC( )vàmp ABCD( )bằng600 GọiI trung điểm củaAD Biết rằngmp SBI( )và
( )
mp SCI vuông góc vớimp ABCD( ) Tính thể tích khối chópS ABCD
Thí dụ (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2011)
Hình chópS ABC. có đáyABC tam giác vng tạiB BA, = 3 ,a BC = 4a,(SBC) (^ ABC)
Biết ·
2 3, 30
SB = a SBC = Tính thể tích khối chópS ABC. khoảng cách từB đếnmp SAC( )
S C B A 3a 4a
2a 3
(15)Bài giải tham khảo
Vìmp SBI( )vàmp SCI( )cùng vng góc vớimp ABCD( ), nên giao tuyến SI ^ (ABCD) KẻI H ^ BC Þ SH ^ BC (định lí đường vng góc)
Ta có: ·
60
SHI = góc haimp SBC( )vàmp ABCD( ) Thể tích khối chópS ABCD. : . 1. . ( )1
3
S ABCD ABCD
V = S SI
TìmSI ?
TrongDSI H vng tạiI , ta có: SI = I H t an 600 = I H 3 GọiM N, tương ứng trung điểm củaAB BC,
VìI N đường trung bình hình thangABCD, nên ta có:
1 2 3
. . ?
3 2 2 2
S ABCD ABCD
AB CD a a a
V = S SI I N = + = + =
Mà: I H = I N cosHI N· = I N cosMCB· (doHI N· vàMCB· góc có cạnh tương ứng vng góc)
·
cos .MC
I H I N MCB I N
BC
Þ = =
2 2
3 2 3 5
. .
2 4 5
AD a a a
I N
MB MC a a
= = =
+ +
( )
3 5 3 15
3 3 2
5 5
a a
SI I H
Þ = = =
Tìm
ABCD
S ?
( ) ( )
( )
2 .2
3 3
2 2
ABCD
DC AB AD a a a
S = + = + = a
Thay( ) ( )2 , vào( )
3
1 3 15 3 15
1 . .3
3 5 5
S ABCD
a a
V a
Þ = = (đvtt)
Bài giải tham khảo GọiH trung điểm củaADthìSH ^ AD
Do (SAD) (^ ABCD)nênSH ^ (ABCD)
Và DSADđều 3
2
a SH
Þ =
KẻMK // SH (K Ỵ HB)
( )
MK ABCD
Þ ^ 3
2 4
SH a
MK = =
S
D
A M B
C
N H I
600
Thí dụ 11 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2007)
Cho hình chópS ABCD đáy hình vngABCDcạnha, mặt bênSADlà tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáyABCD GọiM N P, , trung điểm củaSB BC CD, , Tính thể
tích khối tứ diệnCMNP
S
H
A
D C
B M
N
P
K
(16) Vậy: 1. . 3
CMNP CNP
V = SD MK
2
1 3 3
. .
3 8 4 96
a a a
= = (đvtt)
Bài giải tham khảo GọiOlà tâm của đáyABCD
TrongDSAC, ta cóNOlà đường trung bình nên:
( ) ( ) // NO SA NO ABCD SA ABCD ìï ïï ị ^ ớ ù ^ ùùợ ( ) NO ABI
Þ ^ hayNOlà đường cao hình tứ
diệnANI B
Và 1( )
2 2
SA a
NO = =
Ta có: . 1. . ( )2
3
ANI B N AI B AI B
V =V = SD NO
Tìm SDAI B = ?
DoI trọng tâmDABD nên:
2 2
2
2 2
2 2 3
.
3 3 2 3 3 3 3
2 2 2 6
. . .
3 3 3 2 3
AC AC AD DC AD AB a
AI AO
AD a
BI BM AB AM AB
ìï + + ïï = = = = = = ïï ï Þ ớ ù ổ ử ù ỗ ữữ ù = = + = + ỗ ữ = ù ỗỗ ữ ù è ø ïỵ Nhận thấy: 2
2 2
3
a a
AB a AI BI AI B
ỉ ư÷ ổ ửữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ỗ
= = ỗ ữữ + ỗ ữữ = + ị D
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ỗ
è ø è ø
vuông tạiI
( )
2
1 1 3 6 2
. . . . 3
2 2 3 3 6
AI B
a a a
SD AI BI
Þ = = =
Thay( ) ( )1 , 3 vào( )
2
1 2 2
2 . .
3 6 2 36
N AI B
a a a
V
Þ = = (đvtt)
Thí dụ 12 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2006)
Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình chữ nhật vớiAB = a AD, = a 2,SA = avà SA
vng góc với mặt phẳng đáy GọiM N, trung điểm củaAD SC, vàI giao điểm BM vàAC Tính thể tích khối tứ diệnANI B
A B
C D M I S A
D C
B M
N
I O
Thí dụ 13 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2009)
Cho lăng trụ tam giácABC A B C ' ' 'có BB'= a, góc đường thẳng BB' mp ABC( )bằng
0
60 , tam giácABC vuông tạiC góc BAC =· 600 Hình chiếu vng góc điểmB' lên
( )
(17)Bài giải tham khảo
• GọiM N, trung điểm củaAB AC, Khi đó,Glà trọng tâm củaDABC • Do hình chiếu điểmB' lên mp ABC( )làGnênB G' ^ (ABC)
( )
· ·
; ' 60
BB ABC B BG
é ù
Þ ê ú= =
ê ú
ë û
• Ta có: ' 1. ' 1. . ' ( )1
3 6
A ABC ABC
V = SD B G = AC BC B G
• TìmB G' ?
Trong DB BG' vng tạiGvà có B BG =·' 600nên tam giác cạnh làBB'= a
( )
3
; ' 2
2 2
a a
BG B G
Þ = =
TìmAB BC, ?
ĐặtAB = 2x TrongDABCvng tạiC cóBAC =· 600nên tam giác với đường cao làBC
, 3
2
AB
AC x BC x
Þ = = =
DoGlà trọng tâmDABC 3 3
2 4
a
BN BG
Þ = =
TrongDBNCvng tạiC : BN2 = NC2+ BC2
( )
2 2
2
3
9 2 13
3
16 52 2 13 3
2 13
a AC
a x a a
x x x
a BC
ìï
ï =
ïï ïï
Û = + Û = Þ = Þ í
ïï = ïï ïïỵ
Thế( ) ( )2 , 3 vào( )
3
'
1 3 3 3 3 9
1 . . .
6 2 13 13 2 108
A ABC
a a a a
V
Þ = = (đvtt)
Trong nhiều tốn, việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện dạng gặp khó khăn hai lí do: + Hoặc khó xác định tính chiều cao
+ Hoặc tính diện tích đáy khơng dễ dàng Khi đó, ta làm theo phương pháp sau:
+ Phân chia khối cần tính thể tích thành tổng hiệu khối (hình chóp hình lăng trụ) mà khối dễ tính
+ Hoặc so sánh thể tích khối cần tính với đa diện khác biết trước dễ dàng tính thể tích Trong dạng này, ta thường hay sử dụng kết tốn:
Cho hình chóp S.ABC Lấy A’, B’, C’ tương ứng cạnh SA, SB, SC Khi đó: ' ' '
' ' '
. .
S A B C
S ABC
V SA SB SC
V = SA SB SC
Chứng minh:
Kẻ A’H’ AH vng góc với mặt phẳng (SBC) Khi đó: A’H // AH S, H’, H thẳng hàng
A’
B’
C’
A
B
C G
N
M
600
B
A N C
M
G
Dạng Tính thể tích khối đa diện cách lắp ghép khối so sánh khối (tỉ số)
S
A’ B’
C’
A B
C
H
H’
(18)Ta có:
' ' ' ' ' ' ' '
1
' ' 3
1 . 3
SB C
S A B C A SB C
S ABC A SBC
SBC
S A H
V V
V V
S AH
D
D
= =
( )
1
'. ' sin ' '
'. '. ' 2
1 . .
. sin 2
SB SC A H
SB SC SA
Ðpcm SB SC SA
SB SC AH
a
a
= = Þ
Trong đó: a = B SC·' '= BSC·
(19)Bài giải tham khảo a/ Tính thể tích khối chópS ABC.
Ta có: . 1. .
3
S ABC ABC
V = SD SA SA = a
Mặc khác: DABCvng cân B có: AC = a 2nên DABC hình vng có đường chéoAC = a 2Þ cạnhAB = BC = a
2 1
.
2 2
ABC
a
SD AB BC
Þ = =
Vậy: . 1. . 1. 2. ( )
3 3 2 6
S ABC ABC
a a
V = SD SA = a = Ðvtt
b/ Tính thể tích khối chópS AMN.
Gọi I trung điểm củaBC,G trọng tâm DSBC
Ta có: 2
3
SI
SG =
Do ( ) // // 2
3
SM SN SG
mp BC MN BC
SB SC SI
a Þ Þ = = =
( )
3
4 4 4 2
. . .
9 9 9 6 27
S AMN
S AMN S ABC
S ABC
V SM SN a a
V V Ðvtt
V SB SC
Þ = = Þ = = =
Bài giải tham khảo
Ta có: VA BCK H. +VS AHK. =VS ABC. Þ VA BCK H. =VS ABC. - VS AHK. ( )1 DoDABCđều cạnhavà SA = 2a nên:
( )
2
1 1 3 3
. . . .2 2
3 3 4 6
S ABC ABC
a a
V = SD SA= a =
Ta lại có:
2
. .
. . .
S AHK
S ABC
V SA SH SK SH SB SK SC
V = SA SB SC = SB SC
2
2 2 2
16 16
.
25 5 5
SA SA a
SA AB SA AC a a
= = =
+ +
( )
16
. 3
25
S AHK S ABC
V V
Þ =
Thí dụ 14 Cho hình chópS ABC. có đáy DABCvng cân ởB AC, = a 2,SA ^ mp ABC SA( ), = a a/ Tính thể tích khối chópS ABC.
b/ Gọi Glà trọng tâm DSBC , mp a( )đi quaAGvà song song vớiBCcắtSC SB,
tạiM N, Tính thể tích khối chópS AMN.
S
A
B
C M
N
G
I
Thí dụ 15 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2006)
Cho hình chópS ABC. có đáy làDABCđều cạnhavàSA ^ (ABC),SA = 2a GọiH K,
hình chiếu vng góc điểmAlần lượt lên cạnhSB SC, Tính thể tích khối A BCK H theoa
S
A
B
C H
a K 2a
(20) Từ ( ) ( ) ( )1 , , 3 . . 16. . 9 . . 3 3 ( )
25 25 50
A BCK H S ABC S ABC S ABC
a
V V V V Ðvtt
Þ = - = =
Bài giải tham khảo
KẻMN // CD N( Ỵ SD)thì hình thangABMN thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng(ABM)
Ta có:
1 2
S ABN
S ABD
V SN
V = SD =
( )
1 1
1
2 4
S ABN S ABD S ABCD
V V V
Þ = =
Mặt khác:
1 1
2
S BMN
S BCD
V SM SN
V = SC SD = =
( )
1 1
2
4 8
S BMN S BCD S ABCD
V V V
Þ = =
Mà: VS ABMN. =VS ABN. +VS BMN. ( )3
Kết hợp: ( ) ( ) ( )
3 1 , , 3
8
S ABMN S ABCD
V V
Þ =
ABCDNM S ABCD S ABMN
V V V
Þ = -
3 5
8 8
ABCDNM S ABCD S ABCD S ABCD
V V V V
Þ = - =
3
5
S ABMN
ABCDNM V V
Þ =
Bài giải tham khảo Gọi I = SOÇAM Ta có: (AEMF) // BD Þ EF // BD
Ta có:
1
. .
3
S ABCD ABCD
V = S SO vớiSABCD = a2
TrongDSOAcó: t an 600 6 2
a
SO = AO =
3
6 6
S ABCD a V
Þ =
Mặt khác:
2
S AEMF SAMF SAME SAMF
V =V +V = V
2
S ABCD SACD SABC
V = V = V
Xét khối S AMF khốiS ACD có: 1
2
SM
SC =
Và trongDSAC có trọng tâmI ,
Thí dụ 16 Cho khối chóp tứ giác đềuS ABCD. Một mặt phẳng( )a quaA B, trung điểmM củaSC Tính tỉ số
thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng
S
A
B C
M
N
D
Thí dụ 17 Cho hình chóp tứ giác S ABCD. , đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi
(21)//
3
SAMF
SACD
V
SI SF SM SF
EF BD
SO SD V SC SD
Þ = = Þ = =
( )
3 3
1 1 6 6 6
2.
3 6 36 36 18
SAMF SACD S ABCD S AEMF
a a a
V V V V Ðvtt
Þ = = = Þ = =
Bài giải tham khảo GọiO H, tâm củaABCDvà trung điểmAB Do MS= MA Þ d A MNPêé,( )ùú= d S MNPëéê, úùû
ë û
( )
1
A MNP S MNP
V V
Þ =
Mặt khác:
1 . .
4
S MNP
S ABP
V SM SN SP
V = SA SB SP =
1 1 1 1 1
. . . . .
4 4 3 12 2
S MNP S ABP ABP
V V SD SO AB HP SO
Þ = = =
( ) ( )
2
1 6
. 2
24 2 48
S MNP
a a
V a a a Ðvtt
Þ = - =
Từ ( ) ( ) ( )
6 1 , 2
48
A MNP a
V Ðvtt
Þ =
Dạng toán Sử dụng phương pháp thể tích để tìm khoảng cách
Các tốn tìm khoảng cách: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai đường thẳng, nhiều trường hợp qui tốn thể tích khối đa diện Việc tính khoảng cách dựa vào công thức hiển nhiên: h 3V
B
= , đâyV B h, , thể tích, diện tích đáy
chiều cao hình chóp (hoặc h V S
= hình lăng trụ)
Phương pháp áp dụng trường hợp sau: Giả sử qui tốn tìm khoảng cách tốn tìm chiều cao hình chóp (hoặc lăng trụ) Dĩ nhiên, chiều cao thường khơng tính trực tiếp cách sử dụng phương pháp thông thường định lí Pitago, cơng thức lượng giác,… Tuy nhiên, khối đa diện lại dễ dàng tính thể tích diện tích đáy Như vậy, chiều cao xác định cơng thức đơn giản
Lược đồ thực hành:
Sử dụng định lí hình học khơng gian sau đây:
o Nếu AB // mp P( )trong đómp P( )chứaCD thìd AB CD( , )= d AB Péê ,( )ùú ë û
o Nếu mp P( ) // mp Q( )trong đómp P mp Q( ), ( )lần lượt chứaABvàCDthì:
( , ) ( ), ( )
d AB CD = d mp P mp Qéê ùú
ë û
o Từ đó, qui tốn tìm khoảng cách theo u cầu tốn việc tìm chiều cao khối chóp (hoặc khối lăng trụ)
Giả sử tốn qui tìm chiều cao kẻ từ đỉnhScủa hình chóp (hoặc lăng trụ)
Ta tìm thể tích hình chóp (lăng trụ) theo đường khác mà không dựa vào đỉnh S này, chẳng hạn quan niệm hình chóp có đỉnhS'¹ S Sau đó, tính diện tích đáy đối diện với đỉnhS Như ta suy chiều cao kẻ từScần tìm
Thí dụ 18 (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A – 2008)
Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD. có cạnh đáyAB = a, cạnh bênSA = a 2 GọiM N P, , lần
lượt trung điểm củaSA SB CD, , Tính thể tích tứ diệnAMNP
M
A
B N
C
D S
P O
H
(22)Bài giải tham khảo
∗ Ta có: DC AD DC (SAD) DC SD
DC SA ìï ^ ï ị ^ ị ^ ớ ù ^ ùợ ( ) ( ) ( ) ( )
(¼) ( ) ·
, 60
SCD ABCD DC
DC SD SCD SCD ABCD SDA
DC AD ABCD
ìï Ç = ïï é ù ïï ^ Ì Þ ê ú= = í ï êë úû ïï ^ Ì ïïỵ
∗ Mặt khác: . 1 .
3
S ADC ADC
V = SD SA
2 1 . 2 2 ADC a
SD = AD DC =
0
t an 60 SA SA AD t an 60 a 3
AD = Þ = = 3 6 S ADC a V Þ =
∗ Vì ( ) ( )
3 1 . , , 3 S ADC
S ADC A SDC SDC
SDC V
V V S d A SDC d A SDC
S D D é ù é ù = = ê úÞ ê ú= ë û ë û ( ) 2
6
,
.
S ADC S ADC
V V a
d A SDC
DC SD DC SA AD
é ù
Þ ê ú= = =
ë û +
Bài giải tham khảo
∗ Ta có: 2 2 2
3 4 5
AB + AC = + = = BC Þ DABCvng tạiA
( 2)
1 1
. .3.4 6
2 2
ABC
SD AB AC cm
Þ = = =
( 3)
1 1
. .6.4 8
3 3
ABCD ABC
V SD DA cm
Þ = = =
∗ Mặt khác: 2 2 ( )
3
BD = AB + AD = + = cm
( )
2 2
4 4
DC = AC + AD = + = cm
Nên SDDBC = p p( - BC)(p- DC)(p- BD)
Thí dụ 19 Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình vng cạnha, SA ^ (ABCD)và mặt bên(SCD)
hợp với mặt phẳng đáyABCDmột góc600 Tính khoảng cách từ điểmAđến mp SCD( )
Thí dụ 20 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2002)
Cho tứ diệnABCDcó cạnhADvng góc vớimp ABC( ), AC = AD = 4( )cm AB, = 3( )cm ,
( )
5
BC = cm Tính khoảng cách từAđếnmp BCD( )
S
A D
B C
600
D
A
(23)Với 5 5 4 2 5 2 2
2 2
BC DC DB
p= + + = + + = + nửa chu vi DDBC
( )( )( )( ) ( 2)
5 2 5 2 2 5 5 2 2 4 5 2 2 5 2 34
DBC
SD cm
Þ = + + - + - + - =
∗ Do đó, ( ) ( ) ( )
3
1 6 34
. , ,
3 17
ABCD
ABCD A BCD DBC
DBC V
V V S d A DBC d A DBC cm
S D D é ù é ù = = ê úÞ ê ú= = ë û ë û
Bài giải tham khảo
∗ GọiM trung điểm cạnhBC Ta có DABCvng cân tạiA nên:
( )
BC AM
BC SM do SAB SAC SBC cân
ìï ^ ïï í
ù ^ D = D ị D
ùùợ
∗ Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
SAB SAC SA
SAB ABC SA ABC
SAC ABC ỡù ầ = ùù ùù ^ ị ^ ớ ïï ï ^ ïïỵ Và ( ) ( ) ( ) ( )
(·) ( ) ·
, 60
SBC ABC BC
BC AM ABC SBC ABC SMA
BC SM SBC
ìï ầ = ùù ùù ^ è ị = = ớ ïï ï ^ Ì ïïỵ
∗ Ta có: t an 600 t an 600 2 3 6
2 2 2
BC a a
SA = AM = = =
Và:
2
1 1
. . .
2 2 2 2
ABC
BC a
SD = AM BC = = ( )
2
1 1 6 6
. . . .
3 3 2 2 12
S ABC ABC
a a a
V SD SA Ðvtt
Þ = = =
∗ Mặt khác: ( ) ( )
3 1 . . , , 3 S ABC
S ABC A SBC SBC
SBC V
V V S d A SBC d A SBC
S D D é ù é ù = = ê úÞ ê ú= ë û ë û Mà:
2 2
1 1
2 2
SBC
BC
SD = SM BC = SA + AM BC = SA + ỗỗỗổ ữữửữ BC = a
ữ ỗ ố ứ ( ) 6 , 4 a
d A SBCé ù
Þ ê ú=
ë û
Bài giải tham khảo
∗ DoM trung điểm củaSC nênOM // SA Þ SA // (OMB)
Thí dụ 21 Cho hình chópS ABC. có đáyABC tam giác vng cân tạiA Hai mặt phẳng(SAB) và(SAC)
cùng vng góc với mặt phẳng đáy(ABC), cho BC = a 2, mặt bên(SBC)tạo với đáy(ABC)một
góc600 Tính khoảng cách từ điểmAđến mặt phẳng(SBC)
Thí dụ 22 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2004)
Cho hình chóp S ABCD. có đáy hình thoiABCDcóSOvng góc với đáy vớiOlà giao điểm
AC vàBD Giả sửSO = 2 2,AC = 4,AB = 5vàM trung điểm củaSC Tính khoảng cách hai đường thẳngSAvàBM
S
A
C B
M (doAM vừa trung tuyến đồng thời đường cao DABCcân)
S
C
A B
D
O
M
H
(24)( , ) ,( ) ,( )
d SA MB d SA MOBé ù d S MOBé ù
Þ = ê ú= ê ú
ë û ë û
( ) ( ) ( )
, 1
d C MOBé ù do MS MC
= ê ú =
ë û
Kẻ ( ) 1 2 ( )2
2
MH ^ ABCD Þ MH = SO =
∗ Mà ( )
1 1
. . ,
3 3
C MOB M OBC OBC MOB
V =V = SD MH = SD d C MOBéê ùú
ë û
( ) . ( )
, OBC 3
MOB
S MH
d C MOB
S D D é ù Þ ê ú= ë û
∗ Từ ( ) ( )1 , ( , ) OBC ( )4
MOB
S MH
d SA MB
S
D
D
Þ =
∗ Ta lại có: ( )
2 2
1 1
1
. 1 5
4 2
2
2 2
OBC
OB AB OA OB
S OB OC
AC
OC OC D
ìï = - = Þ = ïïï Þ = = í ù = = ị = ùùùợ
Mt khác: OB OC OB OM MOB
OB SO
ìï ^
ï Þ ^ Þ D
í
ï ^
ïỵ
vng đỉnhB
( )
2
1 1 1 1 3
. . . .1 8 4 6
2 2 2 4 4 2
MOB
SA
SD OB OM OB OB SO AO
Þ = = = + = + =
∗ Thay( ) ( ) ( )2 , , 6 vào( )4 ( , ) 2 6 3
d SA MB
Þ =
Bài giải tham khảo ∗ Ta có: MN // BC Þ MN // (A BC' )
( , ') ,( ' ) ,( ' ) ( )1
d MN AC d MN A BCé ù d M A BCé ù
Þ = ê ú= ê ú
ë û ë û
∗ Mà: '. 1 ' 1 1 .1.1.1 1 ( )2
3 3 2 12
A MBC MBC
V = SD A A = =
∗ Mặt khác: CB ^ (BAA B' )Þ CB ^ BA'
'
A BC
Þ D vng tạiB
∗ Ta lại có: '. ' 1 ' . ,( ' ) ( ) 3 3
A MBC M A BC A BC
V =V = SD d M A BCéê ùú
ë û
∗ Từ ( ) ( )2 , 3 1 1 1. ' . ,( ' ) 2. ,( ' ) ,( ' ) 2 ( )4
12 3 2A B BC d M A BC 6 d M A BC d M A BC 4
é ù é ù é ù
Þ = ê ú= ê úÞ ê ú=
ë û ë û ë û
∗ Từ ( ) ( )1 , 4 ( , ') 2
4
d MN AC
Þ =
Thí dụ 23 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2006)
Cho hình lập phươngABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh GọiM N, trung điểm củaABvà
CD Tính khoảng cách hai đường thẳngA C' vàMN
B’
A’
C’
D’
A
B C
D M
(25)Bài giải tham khảo
∗ GọiOlà tâm mặt phẳng đáy vàM N, trung điểm củaAD BC, Þ SNM· = a
∗ Ta có: BC MN BC (MNS) (SBC) (MNS)
BC SO
ìï ^
ï Þ ^ ị ^
ớ
ù ^
ùợ
∗ Kẻ MH ^ SN (H Ỵ SN)
Do BC MN BC (MNS) (SBC) (MNS)
BC SO
ìï ^
ï Þ ^ Þ ^
í
ï ^
ïỵ
Nên ( ) ( )
( ) ( )
SBC MNS SN
MH SBC
SN MH MNS
ìï ^ =
ïï Þ ^
í
ï ^ Ì
ïïỵ
Và DA // BC Þ AD // mp SBC( )Þ d A SBCéê,( )úù= d M SBCêé ,( )úù= MH = 2a
ë û ë û
∗ Trong tam giác vngMHN , ta có: 2
sin sin
MH a
MN
a a
= =
∗ Và tam giác vuông : t an .sin
sin cos cos
a a
SON SO ON a a
a a a
= = =
( )
2 3
2
1 1
3 3 sin cos 3sin cos
S ABCD ABCD
a a a
V S SO MN SO
a a a a
ổ ửữ
ỗ ữ
ị = = = ỗỗ ữ =
ữ ỗ
ố ứ
T( )1 , để VS ABCD. đạt giá trị nhỏ hàmf a( )= sin2a cosa = cosa- cos3a đạt giá trị lớn
Dạng toán Bài toán thể tích kết hợp với việc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ
Đây xem tốn chưa lần xuất đề thi TNPT Đại học – Cao đẳng (cho dù tìm giá trị lớn giá trị nhỏ với hàm số năm có mặt đề thi)
Nội dung tốn: Thể tích khối đa diện dạng tốn phụ thuộc tham số (tham số góc, độ dài cạnh) Bài tốn địi hỏi xác định giá trị tham số để thể tích đạt giá trị lớn nhỏ
Phương pháp giải:
Bước 1: Chọn tham số, thực chất chọn ẩn Ẩn góc α thích hợp khối đa diện, yếu tố
Bước 2: Với ẩn số chọn bước 1, ta xem yếu tố cho để tính thể tích V khối đa diện theo phương pháp biết
Bước 3: Đến đây, nhiệm vụ tốn hình học coi “kết thúc” Ta có hàm số
( ),
f x "x Ỵ D mà cần tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Dùng bất đẳng thức
cổ điển (Cauchy hay Bunhiacopski) sử dụng tính đơn điệu hàm để tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ
Thí dụ 24 Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD. mà khoảng cách từ điểmAđếnmp SBC( )bằng2a Góc hợp
mặt phẳn bên mặt phẳng đáy hình chóp làa Với giá trị góc athì thể tích hình chóp
đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ ?
α
A
D C
B S
N O
M
H
(26)∗ Xét hàm số
y = x- x xác định liên tục khoảng( )0,1
∗ Ta có: 3
' 1 3 ' 0
3
y = - x Þ y = Û x = ±
∗ Bảng biến thiên:
x 3
3
- 0 3
3 1 '
y 0 + 0
-y
2 3 9
∗ Dựa vào bảng biến thiên:
( )
0;1
2 3
max
9
y = x = hay max ( ) 2 3 cos 3
9 3
f a = a =
∗ Vậy: thể tích khốiS ABCD. nhận giá trị nhỏ 3 4 2 3 2 3 3. 9 a a
= khicos 3
3
a =
Bài giải tham khảo
∗ Ta có: BC AC BC (SAC) BC SC
BC SA ìï ^ ù ị ^ ị ^ ớ ù ^ ùợ
∗ Mặt khác:
( ) ( ) ( )
( )
(·) (, ) ·
SBC ABC BC
BC SC SBC SBC ABC SCA
BC AC ABC
a ìï Ç = ïï é ù ïï ^ Ì Þ = = í ê ú ï êë úû ïï ^ Ì ïïỵ
∗ Do đó, trongDSAC ta có: sin sin
cos cos
SA SC a
AC SC a
a a a a ìï = = ï í ï = = ïỵ
( )2
2
1 1 1 1
. . . . cos sin cos sin
3 3 2 6 6
S ABC ABC
a
V SD SA AC SA a a a a a a
Þ = = = =
∗ Để VS ABC. đạt giá trị lớn biểu thứcP = cos2a sina = (1- sin2a) sin2ađạt giá trị lớn
∗ Vì ( ) ( )( )( )
2 2
2
2 1 sin 1 sin 2sin
sin 0 1 sin sin
2
P a a a
a > Þ = - a a = - -
∗ Mà: ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
3
2 2
2 2 1 sin 1 sin 2sin 8
1 sin 1 sin 2sin
3 27
Cauchy a a a
a a a
é - + - + ù ê ú - - £ ê ú = ê ú ê ú ë û
2 2
max max
8 2 3 3
1 sin 2sin sin
27 2 3
P P a a a
Þ = Û = - = Û =
Thí dụ 25 Cho hình chópS ABC. có đáy DABC vng cân đỉnhC vàSA ^ (ABC) Giả sửSC = a Hãy tìm góc giữamp SBC( )vàmp ABC( )sao cho thể tích khối chópS ABC. lớn
S
A
C
B
(27)∗ Vậy VS ABC. nhận giá trị lớn 3
27
a
khi sin 3 3
a =
Hình chóp có cạnh vng góc với đáy
Bài Cho hình chópS ABC. có đáyABClà tam giác vuông tạiB SA, ^ mp ABC( ) Biết rằng: AB = a, 2
AC = a, góc hai mặt phẳng(SBC)và(ABC)bằng600 Tính thể tích khối chópS ABC.
theoa
ĐS:
2
a
V =
Bài Cho hình chópS ABC. có đáyABClà tam giác vng cân tạiB SA, ^ (ABC) Cho AC = a 2,
3
SB = a Tính thể tích khối chóp S ABC.
ĐS: 2
3
a
V =
Bài Cho hình chópS ABC. có đáyABClà tam giác vng tạiB SA, ^ (ABC) ChoAB = a,BC = a 3 CạnhSCtạo vớimp ABC( )một góc600 Tính thể tích khối chóp S ABC.
ĐS:
V = a
Bài Cho hình chópS ABC. có đáyABClà tam giác cân tạiA SA, ^ (ABC) Cho BC = 2 ,a SB = a 3 Mặt phẳng(SBC)tạo với mặt phẳng(ABC)một góc300 Tính thể tích khối chóp S ABC.
ĐS: 3
6
a
V =
Bài Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình vng, cạnh a SA, ^ (ABCD), góc SDvà
( )
mp SAB bằng300 Tính thể tích khối chópS ABCD. khoảng cách từ điểmC đếnmp SBD( ) Bài Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình vng cạnha SA, ^ (ABCD), SC tạo vớimp ABCD( )
một góc600 Tính thể tích khối chópS ABCD. và khoảng cách từ điểmDđếnmp SBC( )
ĐS: 42
7
a
V =
Bài (T N T HPT - 2010)
Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình vng cạnh a SA, ^ (ABCD), góc mp SBD( )
( )
mp ABCD bằng600 Tính thể tích khối chópS ABCD theo a
ĐS:
6
a
V =
Bài (T N T HPT -. 2011)
Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình thang vng tạiAvàDvớiAD = CD = a AB, = 3a Cạnh bên SA ^ mp ABCD( ) cạnh bênSCtạo với mặt phẳng đáy góc450 Tính thể tích khối
chópS ABCD theo a
ĐS: 2 6
9
a
V =
Bài (T N T HPT - 2009)
THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHĨP
(28)Cho hình chópS ABC. có mặt bênSBC tam giác cạnha SA, ^ (ABC) Biết BAC =· 120o
Tính thể tích khối chóp S ABC. theo a
ĐS: 2
36
a
V =
Bài 10 Cho hình chópS ABC. có đáyABC tam giác vuông tạiB vớiAC = a SA, ^ (ABC)vàSBhợp với
mặt phẳng chứa đáyABCmột góc600 Tính thể tích khối chóp
ĐS: 6
24
a
V =
Bài 11 Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình vng cạnha, SA ^ (ABCD)và mặt bên(SCD)hợp
với mặt phẳng chứa đáyABCDmột góc600 a/ Tính thể tích khối chópS ABCD.
b/ Tính khoảng cách từ điểmAđến mp SCD( )
ĐS: / ; / ( )
3
3 3
,
3 2
a a
a V = b d A mp SCDéê ùú=
ë û
Bài 12 Cho hình chópS ABC. có đáyABC tam giác vuông tạiB vớiBA = BC = a SA, ^ (ABC) vàSB
hợp vớimp SAB( )một góc300
ĐS: 2
6
a
V =
Bài 13 Cho hình chópS ABC. có SA ^ (ABC SA), = h Biết rằngDABC vàmp SBC( )hợp với mặt
phẳng chứa đáyABC góc300 Tính thể tích khối chóp
ĐS: 3
3
h
V =
Bài 14 Cho hình chópS ABC. có đáy làDABCvuông tạiAvàSB ^ (ABC) BiếtSB = a,SChợp với
( )
mp SAB góc300vàmp SAC( )hợp vớimp SAB( )một góc600 Chứng minh rằng:
2 2
SC = SB + AB + AC Tính thể tích khối chópS ABC.
ĐS: 3
27
a
V =
Bài 15 Cho tứ diệnABCDcóAD ^ (ABC AC), = AD = 4( )cm AB, = 3( )cm BC, = 5( )cm Tính thể tích khối tứ diệnABCDvà khoảng cách từ điểmAđếnmp BCD( )
ĐS: / 8( 3); / , ( ) 6 34( )
17
a V = cm b d A mp BCDéê ùú= cm
ë û
Bài 16 Cho hình chópS ABC. có đáy làDABCcân A BC, = ,a BAC· = 120 ,0 SA ^ (ABC) Biết
( )
mp SBC hợp với mặt phẳng chứa đáy góc450 Tính thể tích khối chópS ABC
ĐS:
9
a
V =
Bài 17 Cho khối chópS ABCD có đáyABCDlà hình vng Biết rằngSA ^ (ABCD SC), = avàSChợp với mặt phẳng chứa đáy góc
(29)ĐS: 3
48
a
V =
Bài 18 Cho khối chópS ABCD. có đáyABCDlà hình chữ nhật Biết rằngSA ^ (ABCD SC), hợp với mặt
phẳng chứa đáyABCDmột góc450 vàAB = 3 ,a BC = 4a Tính thể tích khối chópS ABCD.
ĐS:
20
V = a
Bài 19 Cho khối chópS ABCD. có đáyABCDlà hình thoi cạnhavà góc nhọnAµ= 600 Biết rằng:
( )
SA ^ ABCD khoảng cách từ điểmAđến cạnhSCbằnga Tính thể tích khối chópS ABCD.
ĐS:
3 2 4
a
V =
Bài 20 Cho khối chópS ABCD. có đáyABCDlà hình thang vuông tạiAvàB Biết rằng:
( )
, 2 ,
AB = BC = a AD = a SA ^ ABCD mp SCD( )hợp vớimp ABCD( )một góc600 Tính thể tích khối chópS ABCD.
ĐS: 6
2
a
V =
Bài 21 Cho khối chópS ABCD. có đáyABCDlà nửa lục giác nội tiếp nửa đường trịn đường kính
2
AB = R Biết rằngmp SBC( )hợp vớimp ABCD( )một góc450 Tính thể tích khối chóp cho
ĐS: 3
4
R
V =
Bài 22 (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A – 2008)
Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình thang, BAD· = ABC· = 90o,AB = BC = a,
AD = a, SA ^ (ABCD SA), = 2a GọiM N, trung điểm củaSA SD, Chứng minh
BCNM hình chữ nhật tính thể tích khối chópS BCNM. theo a
ĐS:
3
a
V =
Bài 23 (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng kỹ thuật Cao Thắng – 2007)
Cho hình chópS ABC. có đáyDABC tam giác vuông tạiB SA ^ (ABC)với ACB =· 600,
, 3
BC = a SA = a GọiM trung điểm cạnhSB a/ Chứng minh rằng: mp SAB( )^ mp SBC( )
b/ Tính thể tích khối tứ diệnMABC
ĐS:
4
a
V =
Bài 24 (Trích đề thi Dự bị Đại học khối B – 2006)
Cho hình chópS ABCD. có đáyABCD hình thoi cạnhavà góc nhọnAµ= 600 Biết rằng:
( ),
SA ^ ABCD SA= a GọiC'là trung điểm cạnhSC Mặt phẳng( )P quaAC'và song song vớiBD, cắt cạnhSB SD, tạiB'vàD' Tính thể tích khối chópS ABC D ' '
ĐS:
3 3 18
a
V =
(30)Bài 25 Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình vng tâmO SA, ^ (ABCD), AB = a SA, = a 2 GọiH K, hình chiếu củaAlênSB SD, Chứng minh rằng: SC ^ (AHK)và tính thể tích khối chópO AHK.
Bài 26 Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình chữ nhật tâmO SA, = SB = SC = SD BiếtAB = 3a, BC = 4a góc SAO =· 45o Tính thể tích khối chópS ABCD. theo a Bài 27 Cho hình chópS ABC. có đáy tam giácABCvng tạiB BiếtSA ^ (ABC) ChoAB = a,
3
BC = a ,SA = a Một mặt phẳng quaAvng góc vớiSCtạiH cắtSBtại K Tính thể tích khối
(31)Bài 28 (ÐH DB. - A.2006)
Cho hình hộp đứngABCD A B C D ' ' ' ' có , ' 3,· 600 2
a
AB = AD = a AA = BAD = GọiM N, lần
lượt trung điểm cạnhA D' 'vàA B' ' Chứng minh rằng: AC' ^ mp BDMN( ) tính thể tích
khối chópA BDMN.
ĐS: 3
16
a
V =
Bài 29 Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình vng cạnh a,SA ^ (ABCD), SA= a 3 Một mặt
phẳng quaAvà vng góc vớiSCcắtSB SC SD, , tạiM N P, , a/ Tính diện tích tứ giácAMNP theoa
b/ Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳngSCvàBD Bài 30 (ÐH - D.2010)
Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình vng cạnha, cạnh bênSA = a, hình chiếu vng góc
của đỉnhSlênmp ABCD( )là điểmH thuộc đoạn ,
4
AC
AC AH = GọiCM đường cao tam giác
SAC Chứng minhM trung điểm củaSAvà tính thể tích khối tứ diệnSMBC theoa
ĐS: 14
48
a
V =
Bài 31 (ÐH - A.2010)
Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình vng cạnha GọiM vàN trung điểm
cạnhABvàAD H, giao điểm củaCN vàDM BiếtSH ^ mp ABCD( )và SH = a 3 Tính thể tích khối chópSCDNM. khoảng cách hai đường thẳngDM vàSC theo a
ĐS: 5 3, 2 3
24 19
a a
V = h =
Bài 32 (ÐH - D.2007)
Cho hình chópS ABCD. có đáy hình thang có: ABC· = BAD· = 900
,BA = BC = a AD, = 2a Cạnh bênSAvuông góc với đáy SA = a GọiH hình chiếu vng góc củaAtrênSB Chứng
minh rằngDSCDvng tính(theo a)khoảng cách từH đếnmp SCD( )
ĐS: ( ,( ))
3
a
d H SCD =
Bài 33 (ÐH - D.2006)
Cho hình chóp tam giácS ABC có đáyABClà tam giác cạnha SA, = 2avàSA ^ mp ABC( ) Gọi
M vàN hình chiếu vng góc củaAtrên đường thẳngSBvàSC Tính thể tích khối
chópA BCNM
ĐS: 3 3
50
a V =
Bài 34 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật vớiSA ^ mp ABCD G( ), trọng tâmDSAC ,
( )
mp ABG cắtSCtạiM , cắtSDtạiN Tính thể tích khối đa diệnMNABCDbiết SA = AB = a
và góc hợp đường thẳngAN và(ABCD)bằng900
(32)Bài 35 Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình vng cạnha,SA ^ mp ABCD( ), góc tạo
( )
mp SCD vàmp SBC( )bằng1200 Tính thể tích khối chópS ABCD. khoảng cách hai
đường thẳngSCvàAD
Bài 36 Cho hình chữ nhậtABCDcóAD = 6AB = 3 3 Lấy điểmM cạnhABsao choMB = 2MAvà
N trung điểm củaAD Trên đường thẳng vng góc vớimp ABCD( )tạiM lấy điểmSsao cho
2 6
SM = Chứng minh: (SBN) (^ SMC)và tính góc đường thẳngSN vàmp SMC( )
Hình chóp có mặt vng góc với đáy
Bài 37 Cho hình chópS ABC. có đáyABC tam giác vuông tạiA, choAB = a AC, = a 3, mặt bênSBC tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chópS ABC. Bài 38 Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình vng cạnha Mặt bên SAB tam giác nằm
mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy(ABCD)
a/ Chứng minh chân đường cao khối chóp cho trùng với trung điểm cạnhBC b/ Tính thể tích khối chópS ABCD.
ĐS: 3
6
a
V =
Bài 39 Cho tứ diệnABCDcóDABC tam giác đều, DBCDlà tam giác vng cân tạiD Mặt phẳng(ABC)
vng góc với mặt phẳngmp BCD( )vàADhợp vớimp BCD( )một góc600 Tính thể tích khối tứ
diện ABCDbiếtAD = a
ĐS: 3
9
a
V =
Bài 40 Cho hình chópS ABC. có đáyABC tam giác vng tạiB , cóBC = a Mặt bên(SAC)vng góc với
mặt phẳng đáy, mặt bên lại tạo với mặt phẳng đáy góc
45 Tính thể tích khối chóp cho
ĐS:
3
12
a
V =
Bài 41 Cho hình chópS ABC. có đáyABC tam giác cạnha, DSBCcân tạiSvà nằm mặt phẳng
vng góc vớimp ABC( ) Tính thể tích khối chópS ABC.
ĐS: 3
24
a
V =
Bài 42 Cho hình chópS ABC có đáyABC tam giác vng cân tạiAvớiAB = AC = a Biết rằng: DSAB cân đỉnhSvà nằm mặt phẳng vng góc vớimp ABC( )vàmp SAC( )hợp vớimp ABC( )một góc450 Tính thể tích khối chópS ABC
ĐS:
12
a
V =
Bài 43 Cho hình chópS ABC. cóBAC· = 90 ,0 ABC· = 30 ,0 DSBClà tam giác cạnhavà
( ) ( )
mp SAB ^ mp ABC Tính thể tích khối chópS ABC
ĐS: 2
24
a
V =
(33)vuông góc vớimp ABC( ) Biết rằngSBhợp vớimp ABC( )một góc300 Tính thể tích khối chópS ABC.
ĐS: 4 3
9
h
V =
Bài 45 Cho tứ diệnABCDcóDABCvàDBCDlà tam giác nằm hai mặt phẳng vng
góc với ChoAD = a, tính thể tích khối tứ diện
ĐS: 6
36
a
V =
Bài 46 Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình vng Mặt bênSABlà tam giác có đường cao SH = hvà đường cao nằm mặt phẳng vng góc vớimp ABCD( ) Tính thể tích khối chóp
ĐS: 4
9
h
V =
Bài 47 Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình chữ nhật Mặt bênSABlà tam giác cạnh làavà nằm
trong mặt phẳng vng góc vớimp ABCD( ) Biếtmp SAC( )hợp vớimp ABCD( )một góc bằng300 Tính thể tích khối chópS ABCD. cho
ĐS: 3
4
a
V =
Bài 48 Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình chữ nhật vớiAB = 2 ,a BC = 4 ,a SAB( ) (^ ABCD) Haimp SBC( )vàmp SAD( )cùng hợp vớimp ABCD( )một góc bằng300 Tính thể tích khối chóp
ĐS: 8 3
9
a
V =
Bài 49 Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình thoi vớiAC = 2BD = 2avàDSADvuông cân đỉnh Svà nằm mặt phẳng vng góc vớimp ABCD( ) Tính thể tích khối chópS ABCD.
ĐS: 15
12
a
V =
Bài 50 Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình thang vng tạiAvà D AB, = CD = a AB, = 2a Biết rằngDSABđều nằm mặt phẳng vng góc vớimp ABCD( ) Tính thể tích khối chópS ABCD.
ĐS:
3 3 2
a
V =
Bài 51 (CÐ A- 2010)
Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình vng cạnha,mp SAB( )^ mp ABCD( ), SA= SB, góc đường thẳngSC mặt phẳng đáy bằng450 Tính theoathể tích khối chópS ABCD
ĐS: 5
6
a
V =
Bài 52 (ÐH - B.2008)
Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình vng cạnh 2 ,a SA= a SB, = a 3
( ) ( )
mp SAB ^ mp ABCD GọiM N, trung điểm cạnhAB BC, Tính theoathể tích
của khối chópS BMDN. tính cosin góc hai đường thẳngSM DN,
(34)ĐS: 3, cos 5
3 5
a
V = j =
Hình chóp có hai mặt vng góc với đáy
Bài 53 Cho hình chópS ABC. cóSB = SC = BC = CA= a Haimp ABC( )vàmp SAC( )cùng vng góc
vớimp SBC( ) Tính thể tích hình chópS ABC. ĐS:
3 3
12
a V =
Bài 54 Cho hình chópS ABC. có đáyABC tam giác vuông cân tạiA Hai mặt phẳng(SAB)và(SAC)cùng vng góc với mặt phẳng đáy(ABC), choBC = a 2, mặt bên(SBC)tạo với đáy(ABC)một góc600 Tính thể tích khối chópS ABC.
Bài 55 Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình vng cạnha, hai mặt bên(SAB)và(SAD)cùng vng góc với(ABCD) Cho SB = 3a GọiM trung điểm củaCD Tính thể tích khối chóp S ABCM. Bài 56 Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình chữ nhật, mặt bên(SAB)và(SAD)cùng vng góc
với mặt đáy(ABCD), choAB = a AD, = 2 ,a SC tạo với mặt đáy(ABCD)một góc450 Tính thể tích
của khối chópS ABCD. theo a
Bài 57 Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình vng cạnh a, mặt(SAC)và(SBD)cùng vng góc với mặt đáy(ABCD), mặt bên(SCD)tạo với đáy góc600 Tính thể tích khối chópS ABCD. Bài 58 Cho hình chópS ABC. có đáyABC tam giác vng cân tạiA Hai mặt phẳng(SAB)và(SAC)cùng
vng góc với mặt phẳng đáy(ABC), cho BC = a 2, mặt bên(SBC)tại với đáy(ABC)một góc600 Tính thể tích khối chópS ABC. khoảng cách từ điểmAđến mặt phẳng(SBC)
Bài 59 Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình thang vng tạiAvàD,AD = DC = a AB, = 2a Biết
rằng hai mặt phẳng(SAB)và(SAD)cùng vng góc với mặt đáy(ABCD SC), tạo với mặt phẳng đáy
(ABCD)một góc600 GọiI trung điểm củaSB a/ Tính thể tích khối chópS ABCD theo a
b/ Chứng minh tam giácSBC vng tính độ dài đoạn thẳngCI
c/ GọiM điểm thuộc cạnhSBsao choSB = 3SM Tính thể tích khối chópM ABCD
Bài 60 Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình thoi, hai đường chéoAC = 2 ,a BD = 2acắt
O, hai mặt phẳng(SAC)và(SBD)cùng vng góc vớimp ABCD( ) Biết khoảng từ Ođếnmp SAB( )
bằng 3
4
a
Tính thể tích khối chópS ABCD theo a
Bài 61 (ÐH - A.2009)
Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình thang vng tạiAvàD AB, = AD = 2 ,a CD = a, góc haimp SBC( )vàmp ABCD( )bằng600 GọiI trung điểm cạnhAD Biết haimp SBI( )và
(SCI)cùng vng góc với(ABCD) Tính thể tích khối chópS ABCD theo a ĐS:
3 3 15
5
a
(35)Bài 62 Cho hình chópS ABC. có đáyABClà tam giác vng cân tạiB AB, = BC = 2a, haimp SAB( )và
( )
mp SAC vng góc vớimp ABC( ) GọiM trung điểmAB, mặt phẳng quaSM song song vớiBC, cắtAC tạiN Biết góc haimp SBC( )vàmp ABC( )bằng600 Tính thể tích khối chóp
.
S BCNM khoảng cách hai đường thẳngABvàSN theo a ĐS: 3, 2 39 13
a
V = a d =
Hình chóp
Bài 63 Tính thể tích khối chóp tam giác đềuS ABC. biết:
a/ Cạnh đáy a, cạnh bên 2a ĐS:
3 11 2
a
V =
b/ Cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 600 ĐS:
3 3
16
a
V =
c/ Cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc450 ĐS:
3
6
a
V =
d/ Cạnh đáy a, mặt bên hợp với đáy góc 600 ĐS:
3 3 24
a
V =
Bài 64 Tính thể tích khối chóp tứ giác đềuS ABCD. , biết:
a/ Có tất cạnh có độ dàia ĐS:
3 2 6
a
V =
b/ Cạnh đáy a, cạnh bên 2a
c/ Cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 600 ĐS:
3 3 12
a
V =
d/ Cạnh đáy 2a, mặt bên hợp với đáy góc 450
Bài 65 Cho khối tứ diện đềuABCDcạnh bằnga GọiM trung điểm cạnhDC
a/ Tính thể tích khối tứ diện đềuABCD ĐS:
3 2
12
ABCD a
V =
b/ Tính khoảng cách từM đếnmp ABC( ) Suy thể tích hình chópM ABC. ĐS:
3
2 24
M ABC a
V =
Bài 66 Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD. có cạnh bên 5 2
a
, góc mặt bên mặt đáy 600 Tính thể tích khối chópS ABCD theo avà khoảng cách từ điểmAđếnmp SBC( )
Bài 67 Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD có cạnh đáy bằngavàBSA =· 600
a/ Tính tổng diện tích tổng mặt bên hình chóp ĐS:
2 3
3
a
S =
b/ Tính thể tích khối chópS ABCD. ĐS:
3 2
6
a
V =
Bài 68 Cho hình chóp đềuS ABC có cạnh đáy a, BSA =· 600, I Ỵ BC I B = 2I C Tính thể tích khối chópS ABC thể tích khối chópS ABI
Bài 69 Cho hình chóp đềuS ABC có chiều cao h, góc đỉnh mặt bên bằng600 Tính thể tích khối chóp
(36)ĐS: 2
3
h
V =
Bài 70 Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD. có cạnh đáy a, cạnh bên 3a a/ Tính thể tích khối chópS ABCD. Tính khoảng cách từAđếnmp SBC( ) b/ Gọi α góc tạo cạnh bênSAvàmp SBC( ) Tìm sin a?
Bài 71 (T N T HPT -. 2008)
Cho hình chóp đềuS ABC. có cạnh đáy a, cạnh bên 2a GọiI trung điểm cạnhBC a/ Chứng minh: SA ^ BC
b/ Tính thể tích khối chópS ABI. theo a
Bài 72 Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD. , có mặt bên hợp với mặt đáy góc450và khoảng cách từ chân
đường cao khối chóp đến mặt bên bằnga Tính thể tích khối chópS ABCD.
ĐS: 8 3
3
a
V =
Bài 73 (Trích đề thi tuyển sinh Cao Đẳng Kinh Tế Đối Ngoại A – 2007)
Cho hình chópS ABCD. có tất cạnh Chứng minh rằngS ABCD. hình chóp
Tính độ dài cạnh hình chóp biết thể tích
9 2
2
a
ĐS: AB = 3a
Bài 74 (CÐ- 2009)
Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD. có AB = a SA, = a 2 GọiM N P, , trung điểm
cạnhSA SB CD, , Chứng minh đường thẳngMN vuông góc với đường thẳngSP Tính theo
athể tích khối tứ diệnAMNP Bài 75 (ÐH - B.2007)
Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD. có đáy hình vng cạnh a GọiElà điểm đối xứng củaD qua trung điểm củaSA M, trung điểm củaAE N, trung điểm củaBC Chứng minh MN ^ BD tính theo akhoảng cách hai đường thẳngMN vàAC
ĐS: ( , ) 2
4
a
d MN AC =
Bài 76 Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD Mặt phẳng( )P quaAvà vng góc vớiSCcắtSB SC SD, ,
tạiB C D', ', ' Biết , ' 2
3
SB
AB a
SB
= =
a/ Tính tỉ số thể tích hai khối chópS AB C D ' ' 'vàS ABCD b/ Tính thể tích khối chópS AB C D. ' ' '
Bài 77 (ÐH DB. 1- D.2006)
Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD. có cạnh đáy bằnga GọiSH đường cao hình chóp Khoảng
cách từ trung điểmI củaSH đến mặt bên(SBC)bằngb Tính thể tích khối chópS ABCD.
ĐS:
2
2
3 16
a b V
a b
=
-
(37)Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD. có cạnh đáy bằnga, góc cạnh bên mặt phẳng đáy
( 0)
, 0 90
j < j < Tính tang góc hai mp SAB( )vàmp ABCD( )theoj Tính thể tích khối chóp
theoavàj
ĐS: t an ; 2 t an 6
a
V j
j =
Bài 88 Cho DABC cạnha Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng tam giác tâmOlấy điểmDsao
cho 6
3
a
OD = Gọi M N, trung điểm cạnhBDvàDC a/ Tính góc hai đường thẳng AM vàBC
b/ Tính tỉ số thể tích phần khốiABCDđược phân chia thiết diệnAMN c/ Tính thể tích khốiABCMN
(38)Khối chóp phương pháp tỉ số thể tích
Bài 89 Cho tứ diệnABCD GọiB C', 'lần lượt trung điểm củaABvàAC Tính tỉ số thể tích khối tứ diện
' '
AB C Dvà khối tứ diệnABCD
ĐS: ' ' 1
4
AB C D
ABCD V
V =
Bài 90 Cho khối tứ diệnABCDcó thể tích 9 m( )3
, trênAB AC AD, , lấy điểmB C D', ', 'sao cho
2 ', 2 3 ', 3 '
AB = AB AC = AC AD = AD Tính thể tích khối tứ diệnAB C D' ' '
ĐS: V = 2( )m3
Bài 91 Cho tứ diện đềuABCDcó cạnha Lấy điểmB C', 'trênABvàAC cho ' , ' 2
2 3
a a
AB = AC =
Tính thể tích khối tứ diệnAB C D' '
ĐS: 2
36
a
V =
Bài 92 Cho tứ diệnABCDcó thể tích bằng12 m( )3 GọiM P, trung điểm củaAB CD, lấy điểm N
AD choDA= 3NA Tính thể tích khối tứ diệnBMNP ĐS: V = 1( )m3
Bài 93 Cho hình chópS ABC. có đáyABC tam giác cạnha 3, đường caoSA = a Mặt phẳng qua điểm Avà vuông góc vớiSBtạiH cắtSCtạiK Tính thể tích hình chópS AHK.
ĐS: 3
40
a
V =
Bài 94 Cho hình chópS ABCD. tích bằng27 m( )3 Lấy điểmA'trênSAsao choSA = 3SA' Mặt phẳng
qua điểmA'và song song với đáy hình chóp cắtSB SC SD, , điểmB C D', ', ' Tính thể
tích khối chópS A B C D ' ' ' '
ĐS: ( )3
1
V = m
Bài 95 Cho hình chópS ABCD tích bằng9 m( )3 đáyABCDlà hình bình hành Lấy điểmM trênSA cho2SA = 3SM Mặt phẳng(MBC)cắtSDtạiN Tính thể tích khối đa diệnABCDMN
ĐS: ( )3
4
V = m
Bài 96 Cho hình chópS ABCD có đáy hình vuông cạnh bằnga, chiều caoSA = h GọiN trung điểm SC Mặt phẳng chứaAN song song vớiBDlần lượt cắtSB SD, tạiM P, Tính thể tích khối chóp
.
S AMNP theoa h,
ĐS:
2
9
a h
V =
Bài 97 Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình bình hành vàI trung điểm củaSC Mặt phẳng quaAI song song vớiBDchia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần
ĐS: k = 0, 5
Bai 98 Cho hình chópS ABCD có đáy hình bình hành lấy điểmM trênSAsao choSM x
SA = Tìm giá trị
(39)ĐS: 5 1
2
x = -
(40)Lăng trụ đứng biết chiều cao cạnh đáy
Bài 99 Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' ' có đáyABClà tam giác vng cân tạiAcó cạnhBC = a 2 biếtA B' = 3a Tính thể tích khối lăng trụ
ĐS:
2
V = a
Bài 100 Cho hình lăng trụ đứng tứ giác đềuABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh bên bằng4avà đường chéo bằng5a Tính thể tích khối lăng trụ
ĐS: V = 9a3
Bài 101 Cho lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABC tam giác vng tạiA, góc ACB =· 30 ,0 AA' = 3a,
2
AC = a
a/ Tính thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' '
b/ Mặt phẳng(A BC' )chia khối lăng trụABC A B C ' ' 'thành hai khối đa diện Tính thể tích
khối đa diện
Bài 102 Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' ' có đáyABC tam giác cạnh bằng4 cm( )và biết diện tích
của tam giácA BC' bằng8 cm( ) Tính thể tích khối lăng trụ
ĐS: 8 cm( 3) Bài 103 Hình hộp – hình lập phương
a/ Một bìa hình vng có cạnh44 cm( ), người ta cắt bỏ góc bìa hình vng cạnh
( )
12 cm gấp lại thành hộp hình chữ nhật khơng có nắp Tính thể tích hộp
ĐS: 4800 cm( 3)
b/ Tính thể tích khối hộp chữ nhật có chiều rộng 1, chiều dài 3 đường chéo hình hộp hợp với đáy góc
30
c/ Ba kích thước hình hộp chữ nhật lập thành cấp số nhân với công bội Thể tích 64 Tìm kích thước
d/ Khi độ dài cạnh hình lập phương tăng thêm cm thể tích tăng thêm 98cm3 Khi tính độ dài cạnh hình lập phương
Bài 104 Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnhavà có góc nhọn bằng600 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Tính thể tích khối hộp
ĐS:
3 6 2
a
V =
Bài 105 Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác đều, biết tất cạnh lăng trụ bằnga Tính thể tích tổng diện tích mặt bên lăng trụ
ĐS:
3
2 3
; 3
4
a
V = S= a
Bài 106 Cho hình lăng trụ đứngABCD A B C D ' ' ' 'có đáy tứ giác cạnhavà biết rằngBD'= a 6 Tính thể tích lăng trụ
ĐS: V = 2a3
Bài 107 Cho hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy hình thoi mà đường chéo bằng6 cm( )và8 cm( ) Biết chu vi đáy hai lần chiều cao lăng trụ Tính thể tích tổng diện tích mặt bên lăng trụ
(41)ĐS: V = 240(cm3);S= 248(cm3)
Bài 108 Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài cạnh đáy 37( ) ( )cm ;13 cm ; 30( )cm biết tổng
diện tích mặt bên là480 cm( 2) Tính thể tích lăng trụ ĐS: V = 1080(cm3)
Bài 109 Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' ' có đáyABC tam giác vuông cân tạiA Biết chiều cao
của lăng trụ là3avà mặt bênAA B B' ' có đường chéo là5a Tính thể tích lăng trụ
ĐS:
24
V = a
Bài 110 Cho lăng trụ đứng tứ giác có tất cạnh biết tổng diện tích mặt lăng trụ ( 2)
96 cm Tính thể tích lăng trụ
ĐS: ( 3)
64
V = cm
Bài 111 Cho khối hộp chữ nhậtABCD A B C D ' ' ' 'cóAB = a, diện tích củaABCDvàABC D' 'lần lượt
2a vàa2 5 Tính thể tích khối hộp chữ nhật
Bài 112 Cho lăng trụ đứng tam giác có cạnh đáy 19( )cm ;20( )cm ; 37( )cm chiều cao khối
lăng trụ trung bình cộng cạnh đáy Tính thể tích lăng trụ ĐS: V = 2888(cm3)
Bài 113 Cho khối lập phương có tổng diện tích mặt bên bằng24m2 Tính thể tích khối lập phương
ĐS: V = 8m3
Bài 114 Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABC tam giác đều,AA'= a A B, ' ^ BC Tính thể
tích khối lăng trụABC A B C ' ' '
Bài 115 Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước tỉ lệ thuận với3; 4; 5 Biết độ dài đường chéo hình
hộp 1 m( ) Tính thể tích khối hộp chữ nhật
ĐS: ( )3
0, 4
V = m
Bài 116 Cho hình hộp chữ nhật biết đường chéo mặt bên 5( )m ; 10( )m ; 13( )m Tính thể tích khối hộp ĐS: V = 6( )m3
Bài 117 (ÐH - D.2008)
Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABC tam giác vng, AB = BC = a, cạnh bên
'
AA = a GọiM trung điểm cạnhBC Tính theo athể tích khối lăng trụABC A B C ' ' 'và khoảng cách hai đường thẳngAM B C, '
ĐS: , ( , ' ) 7
2 7
a a
V = d AM B C =
Bài 118 Cho hình lăng trụ tam giác đềuABC A B C ' ' 'có cạnh đáy bằnga Biết khoảng cách hai đường
thẳng ABvàA C' 15
5
a
Tính thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' '
ĐS: 3
4
a
V =
Bài 119 Cho hình lập phươngABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh a GọiO1là tâm hình vngA B C D1 1 1 1 Tính thể
tích khối lập phương thể tích khối tứ diệnA O BD1 1 Chứng minh: BD1 ^ (ACB1)
(42)Bài 120 Cho hình lăng trụ tam giácABC A B C ' ' 'có đáyABC tam giác cạnh a Tính thể tích khối lăng
trụ khoảng cách từA' đếnmp AB C( ' ') theo a, biết rằng: ' ' ' 2 3 3
AA = A B = A C = a
Bài 121 Cho hình lăng trụABC A B C ' ' 'có AB = AC = 4 ,a BAC· = 1200, hình chiếu vng góc củaA'lên
( )
mp ABC trùng với tâm đường tròn ngoại tiếpDABC Góc cạnh bên với đáy 300 Tính theo a
thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' 'và khoảng cách giữaAA'và BC Bài 122 (ÐH - A.2008)
Cho hình lăng trụABC A B C ' ' 'có độ dài cạnh bên 2a, đáyABC tam giác vuông
,
A AB = a,AC = a 3 hình chiếu vng góc đỉnhA'trênmp ABC( )là trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chópA ABC' tínhcosincủa góc hai đường thẳngAA'và
' '
B C
ĐS: 3, cos 1
2 4
a
V = j =
Lăng trụ đứng biết góc đường thẳng mặt phẳng
Bài 123 Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' ' có đáyABC tam giác vuông tạiBvớiBA= BC = a Biết
rằngA B' hợp với đáyABCmột góc600 Tính thể tích khối lăng trụ
ĐS: 3
2
a
V =
Bài 124 Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' ' có đáyABC tam giác vuông tạiAvớiAC = a ACB,· = 600 Biết BC'hợp vớimp AA C C( ' ' )một góc300
Tính AC 'và thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' ' ĐS: V = a3 6
Bài 125 Cho hình lăng trụ đứngABCD A B C D ' ' ' 'có đáyABCDlà hình vng cạnhavà đường chéoBD'của
lăng trụ hợp với đáyABCDmột góc300 Tính thể tích tổng diện tích mặt bên hình lăng trụ
ĐS: 6; 4 6
3 3
a a
V = S=
Bài 126 Cho lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABC tam giác vuông cân tạiB ,AC = ,a A B' tạo với
đáy ABCmột góc 300
a/ Tính thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' '
b/ Vẽ đường caoAH củaDA AB' Chứng minh: AH ^ A C'
Bài 127 Cho hình hộp đứngABCD A B C D ' ' ' 'có đáyABCDlà hình thoi cạnha BAD =;· 600 Biết đường
thẳngAB'hợp với mặt phẳng đáy(ABCD)một góc300 Tính thể tích khối hộpABCD A B C D ' ' ' ' ĐS:
3 3
2
a
V =
Bài 128 Cho lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABC tam giác vuông cân tạiB Biết rằngA C' = avàA C'
hợp với mặt bên(AA B B' ' )một góc300 Tính thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' '
ĐS:
2 16
a
(43)Bài 129 Cho lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABClà tam giác vuông tạiB Biết rằngBB'= AB = avà đường thẳngB C' hợp vớimp ABC( )một góc300 Tính thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' '
ĐS: 3
2
a
V =
Bài 130 Cho lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABClà tam giác cạnha Biết rằngAB'hợp với mặt bên
(BCC B' ')một góc300 Tính độ dài đoạn thẳngAB'và thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' '
ĐS: ' 3; 3
2
a
AB = a V =
Bài 131 Cho lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABClà tam giác vng tạiA Biết AB = a ACB;· = 600 đường thẳngBC'hợp với mặt bên(AA C C' ' )một góc300 Thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' ' diện tích tam giácABC'
ĐS: 3 3
6;
2
a
V = a S=
Bài 132 Cho lăng trụ tam giác đềuABC A B C ' ' 'có khoảng cách từ điểmAđếnmp A BC( ' )bằngavà đường
thẳngAA'hợp vớimp A BC( ' )một góc300 Thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' '
ĐS: 32
9
a
V =
Bài 133 Cho hình hộp chữ nhậtABCD A B C D ' ' ' 'có đường chéoA C' = a Biết rằngA C' hợp với
( )
mp ABCD góc300 hợp vớimp ABB A( ' ')một góc450 Tính thể tích khối hộp chữ nhật
ĐS: 2
8
a
V =
Bài 134 Cho hình hộp đứngABCD A B C D ' ' ' 'có đáyABCDlà hình vng GọiOlà tâm củaABCD
'
OA = a Tính thể tích khối hộp khi:
a/ ABCD A B C D ' ' ' 'là khối lập phương
b/ Đường thẳng OA'hợp với mp ABCD( )một góc600 c/ Đường thẳng A B' hợp vớimp AA CC( ' ')một góc300
ĐS: / / /
3 3
2 6 3 4 3
; ;
9 4 9
a a a
a V = b V = c V =
Bài 135 Cho lăng trụ đứngABCD A B C D ' ' ' 'có đáyABCDlà hình vng vàBD'= a Tính thể tích khối
lăng trụ trường hợp sau:
a/ Đường thẳngBD'hợp với mp ABCD( )một góc600 b/ Đường thẳng BD'hợp vớimp AA D D( ' ' )một góc300
ĐS: / /
3
3 2
;
16 8
a a
a V = b V =
Bài 136 Chiều cao hình lăng trụ đứng tứ giác bằngavà góc đường chéo xuất phát từ đỉnh
hai mặt bên kề
60 Tính thể tích lăng trụ tổng diện tích xung quanh mặt bên lăng trụ
ĐS:
;
V = a S= a
Bài 137 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' 'có AB = a AD, = b AA, '= c 2
' ' '
BD = AC = CA = a + b +c
a/ Chứng minh: ABCD A B C D ' ' ' 'là hình hộp chữ nhật
(44)b/ Gọix y z, , góc tạo đường chéo ba mặt qua đỉnh thuộc đường chéo Chứng
minh rằng: 2
sin x + sin y+ sin z= 1 Bài 138 (ÐH - D.2009)
Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABC tam giác vuông tạiB AB, = a AA, '= 2a,
' 3
A C = a GọiM trung điểm đoạn thẳngA C' 'vàI giao điểm củaAM vàA C' Tính thể tích
khối tứ diệnI ABC khoảng cách từAđếnmp I BC( )theo a
ĐS: 4 3, ( ,( )) 2 5
9 5
a a
V = d A I BC =
Lăng trụ đứng biết góc mặt phẳng
Bài 139 Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABClà tam giác vuông cân tạiBvớiBA= BC = a Biết mp A BC( ' )hớp vớimp ABC( )một góc600 Tính thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' '
ĐS: 3
2
a
V =
Bài 140 Đáy lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'là tam giác Mặt(A BC' )tạo với đáy góc300 diện tích
tam giácA BC' bằng8 cm( ) Tính thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' '
ĐS: ( 3)
8 3
V = cm
Bài 141 Cho lăng trụ đứngABCD A B C D ' ' ' 'có đáy hình vng cạnhavàmp BDC( ')hợp
vớimp ABCD( )một góc600 Tính thể tích khối hộp chữ nhậtABCD A B C D ' ' ' '
ĐS: 6
2
a
V =
Bài 142 Cho hình hộp chữ nhậtABCD A B C D ' ' ' 'cóAA'= 2a; mp A BC( ' )hợp vớimp ABCD( )một góc
0
60 vàA C' hợp vớimp ABCD( )một góc300 Tính thể tích khối hộp chữ nhật
ĐS: 16 2
3
a
V =
Bài 143 Cho hình hộp chữ nhậtABCD A B C D ' ' ' 'cóAA'= a, biết đường chéoA C' hợp với mặt phẳng đáy (ABCD)một góc300và mp A BC( ' )hợp vớimp ABCD( )một góc600 Tính thể tích khối hộp chữ
nhậtABCD A B C D ' ' ' '
ĐS: 2 2
3
a
V =
Bài 144 Cho lăng trụ đứngABCD A B C D ' ' ' 'có đáyABCDlà hình vng cạnh bên bằnga Biết rằng:
( ' ')
mp ABC D hợp với mặt phẳng đáy góc300 Tính thể tích khối lăng trụABCD A B C D ' ' ' '
ĐS:
3
V = a
Bài 145 Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABClà tam giác vng cân tạiB;AC = 2a Biết
( ' )
mp A BC hợp với mp ABC( )một góc450 Tính thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' ' ĐS: V = a3 2
(45)Bài 146 Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABC tam giác vng cân tạiAvớiAB = AC = a
· 1200
BAC = Biết rằngmp A BC( ' )hợp vớimp ABC( )một góc450 Tính thể tích khối lăng trụ
ĐS:
3 3 8
a
V =
Bài 147 Cho lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABClà tam giác cạnh a, AA B =· ' 600 a/ Tính thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' '
b/ Mặt phẳng(C AB' )chia khối lăng trụABC A B C ' ' 'thành hai khối đa diện Tính thể tích
khối đa diện
Bài 148 Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABC tam giác vng tạiB vàBB'= AB = h Biết
rằngmp B AC( ' )hợp với mặt phẳng chứa đáyABC góc600 Tính thể tích khối lăng trụ
ĐS: 2
4
h
V =
Bài 149 Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABC tam giác Biết cạnh bênAA'= a Tính thể
tich khối lăng trụ trường hợp sau:
a/ mp A BC( ' )hợp với đáy mặt phẳng chứa đáyABC góc600 b/ Đường thẳngA B' hợp vớimp ABC( )một góc450
c/ Chiều cao kẻ từA'củaDA BC' độ dài cạnh đáy lăng trụ
ĐS: / / /
3
3 3
3; ; 3
4
a
a V = a b V = c V = a
Bài 150 Cho hình lăng trụ đứng tứ giác đềuABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh bênAA'= 2a Tính thể tích lăng trụ
trong trường hợp sau đây:
a/ Mp ACD( ')hợp với mặt phẳng chứa đáyABCDmột góc450 b/ Đường thẳngBD' hợp với mặt phẳng chứa đáyABCDmột góc600
c/ Khoảng cách từ điểmDđếnmp ACD( ')bằnga
ĐS: / / /
3
3 16
16 ; 12 ;
3
a
a V = a b V = a c V =
Bài 151 Cho lăng trụ đứngABCD A B C D ' ' ' 'có đáyABCDlà hình vng cạnha Tính thể tích khối lăng trụ
' ' ' '
ABCD A B C D trường hợp sau:
a/ Mp BDC( ') hợp với mặt phẳng chứa đáyABCDmột góc600 b/ DBDC'là tam giác
c/ Đường thẳngAC 'hợp với mặt phẳng chứa đáyABCDmột góc450
ĐS: / / /
3
3
6
; ; 2
2
a
a V = b V = a c V = a
Bài 152 Cho lăng trụ đứngABCD A B C D ' ' ' 'có đáyABCDlà hình thoi cạnhavà góc nhọnAµ= 600 Tính thể
tích khối lăng trụABCD A B C D ' ' ' 'trong trường hợp sau:
a/ Mặt phẳng(BDC')hợp với mặt phẳng chứa đáyABCDmột góc600 b/ Khoảng cách từ điểmC đếnmp BDC( ')bằng
2
a
c/ Đường thẳngAC 'hợp với mặt phẳng chứa đáyABCDmột góc450
ĐS: / / /
3 3
3 3 3 2 3
; ;
4 8 2
a a a
a V = b V = c V =
(46)Bài 153 Cho hình hộp chữ nhậtABCD A B C D ' ' ' 'cóBD'= 5 ;a BD = 3a Tính thể tích khối hộp
trường hợp sau đây: a/ Đoạn thẳngAB = a
b/ Đường thẳngBD'hợp vớimp AA D D( ' ' )một góc300
c/ Mặt phẳng(ABD')hợp với mặt phẳng chứa đáyABCDmột góc300 ĐS: a V/ = 8a3 2; b V/ = 5a3 11; c V/ = 16a3
Khối lăng trụ xiên
Bài 154 Cho hình lăng trụ tam giácABC A B C ' ' 'có đáyABC tam giác cạnh avà đỉnhA'cách
đỉnhA B C, , Cạnh bênAA'tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho
Bài 155 Cho hình lăng trụ tam giácABC A B C ' ' 'có đáyABC tam giác cạnha Biết cạnh bên bằnga 3
và hợp với mặt phẳng chứa đáyABC góc600 Tính thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' 'đã cho
ĐS: 3 3
8
a
V =
Bài 156 Cho hình lăng trụ tam giácABC A B C ' ' 'có đáyABC tam giác cạnh a Hình chiếu điểmA'
xuốngmp ABC( )trùng với tâmOcủa đường tròn ngoại tiếpDABCvà biết đường thẳngAA'tạo
với mặt phẳng chưa đáyABC góc600 a/ Chứng minh rằng: BB C C' ' hình chữ nhật
b/ Tính thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' 'đã cho
ĐS:
3 3 4
a
V =
Bài 157 Cho hình hộpABCD A B C D ' ' ' 'có đáy hình chữ nhật vớiAB = 3( )cm AD, = 7( )cm Hai mặt bên (ABB A' ')và(ADD A' ')lần lượt tạo với mặt phẳng chứa đáyABCDnhững góc450
và600 Tính thể tích khối hộpABCD A B C D ' ' ' 'nếu biết cạnh bên bằng1 cm( )
ĐS: ( 3)
3
V = cm
Bài 158 Cho hình lăng trụABCD A B C D ' ' ' 'có đáyABCDlà hình vng cạnhavà biết cạnh bên bằng8cm, hợp với mặt phẳng chứa đáyABCDmột góc300 Tính thể tích khối lăng trụABCD A B C D ' ' ' '
ĐS: ( 3)
336
V = cm
Bài 159 Cho hình hộpABCD A B C D ' ' ' 'cóAB = a AD, = b AA, ' = c BAD,· = 300và cạnh bên hợp với
đáy ABCDmột góc600 Tính thể tích khối hộpABCD A B C D ' ' ' '
Bài 160 Cho hình lăng trụ tam giácABC A B C ' ' 'có đáyABC tam giác cạnh avà đỉnhA'cách
đỉnhA B C, , Biết ' 2 3 3
a
AA = Tính thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' '
ĐS: 3
4
a
V =
Bài 161 Cho hình lăng trụ tam giácABC A B C ' ' 'có đáyABC tam giác cạnh avà đỉnhA'có hình chiếu
trênmp ABC( )nằm đường caoAH củaDABC Biết mặt bên(BB C C' ' )hợp với mặt phẳng chứa
đáyABCmột góc600
(47)b/ Tính thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' '
ĐS: 3 3
8
a
V =
Bài 162 Cho hình lăng trụ tam giácABC A B C ' ' 'có đáyABClà tam giác với tâmO Canh bênCC' = a
và hợp với mặt phẳng chứa đáyABC góc600 Hình chiếu điểmC'lênmp ABC( )trùng vớiO a/ Chứng minh rằng: AA B B' ' hình chữ nhật Tính diện tích hình chữ nhật
b/ Tính thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' 'này
ĐS: 3; 3 3
2 8
a a
S = V =
Bài 163 Cho hình lăng trụ tam giácABC A B C ' ' 'có đáyABClà tam giác cạnh avà chân đường vng góc
hạ từ đỉnhA' lênmp ABC( )trùng với trung điểmBCcủaDABC biếtAA'= a a/ Tìm góc hợp cạnh bên với đáy lăng trụ
b/ Tính thể tích khối lăng trụABC A B C ' ' ' ĐS: / /
3
0 3
30 ;
8
a
a b V =
Bài 164 Cho lăng trụ xiên ABC A B C ' ' 'có đáyABClà tam giác Hình chiếu điểmC'trên
( )
mp ABC trùng với tâmOcủaDABC Biết khoảng cách từ điểmOđền đường thẳngCC'bằnga Hai mặt bên(AA C C' ' )và(BB C C' ' )hợp với góc900 Tính thể tích khối
trụABC A B C ' ' 'đã cho
ĐS: 27
4
a
V =
Bài 165 Cho hình hộpABCD A B C D ' ' ' 'có mặt hình thoi cạnha Hình chiếu vng góc củaA'trên
( )
mp ABCD điểmH nằm hình thoi cạnh xuất phát từ điểmAcủa hình hộp đơi tạo với
nhau góc 60
a/ Chứng minh rằng: điểmH nằm đường chéoAC củaABCD b/ Tính diện tích mặt chéoACC A' 'vàBDD B' '
c/ Tính thể tích khối hộp
ĐS: / /
3
2
' ' ' '
2
2, ;
2
ACC A BDD B
a
a S = a S = a b V =
Bài 166 Cho hình hộpABCD A B C D ' ' ' 'có đáyABCDlà hình thoi cạnh cạnhavà góc nhọnAµ= 600 Chân đường vng góc hạ từ điểmB'xuốngABCDtrùng với giao điểm hai đường chéo đáy ChoBB'= a a/ Tính góc hợp cạnh bên mặt đáy hình hộp
b/ Tính thể tích tổng diện tích mặt bên hình hộp
ĐS: / /
3
0 3
60 ; , 15
4
a
a b V = S= a
Bài 167 (ÐH - B.2010)
Cho hình lăng trụ tam giác đềuABC A B C ' ' 'có AB = a, góc mp A BC( ' )và(ABC)bằng
0
60 GọiGlà trọng tâmA BC' Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ
diệnGABCtheo a
ĐS:
3
3 3 7
,
8 12
a a
V = R =
(48)BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I
Bài 168 Cho hình chópS ABCD. có đáy ABCDlà hình vng cạnh2a, SA ^ mp ABCD( ) Góc giữaSCvà mặt phẳng chứa đáy bằng600
vàM trung điểm cạnhSB a/ Tính thể tích khối chópS ABCD.
b/ Tính thể tích khối chópM BCD.
ĐS: / /
3
8 6 1 2 6
;
3 4 3
S ABCD M BCD S ABCD
a a
a V = b V = V =
Bài 169 Cho hình chóp tam giácS ABC. cóAB = 5 ,a BC = 6 ,a CA = 7a Các mặt bên(SAB) (, SBC)và
(SCA)tạo với mp ABC( )một góc600 Tính thể tích khối chópS ABC.
ĐS:
8 3
S ABC
V = a
Bài 170 Cho hình hộp chữ nhậtABCD A B C D ' ' ' 'cóAB = a 3,AD = a AA, '= a O, giao điểm
AC vàBD
a/ Tính thể tích khối hộp chữ nhậtABCD A B C D ' ' ' 'và khối chópOA B C D' ' ' ' b/ Tính thể tích khốiOBB C' '
c/ Tính độ dài đường cao đỉnhC'của tứ diệnOBB C' '
ĐS: / / /
3
3
' ' ' ' ' '
1 3 3
3, ; ; ' 2 3
3 3 12
OA B C D O BB C
a a
a V = a V = V = b V = c C H = a
Bài 171 Cho hình lập phươngABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh bằnga Tính thể tích khối tứ diệnACB D' '
ĐS: 1
3
V = a
Bài 172 Cho hình lăng trụ đứng tam giác có cạnh bằnga GọiE trung điểm cạnhAC , mặt phẳng
(A B E' ' ) cắt BCtạiF Tính thể tích khối tứ diệnA B BC' ' khốiCA B FE' '
ĐS: ' ' 3; ' ' 3
12 16
A B BC CA B FE
a a
V = V =
Bài 173 Cho chópS ABCD. có đáyABCDlà hình thang với đay lớnAB = 2cm ACB,· = 900 Hai DSACvà SBD
D tam giác có cạnh 3 cm( ) Tính thể tích khối chópS ABCD
ĐS: 6( )
4
V = cm
Bài 174 Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình vng cạnh2 ,a SA= a SB, = a 3và
( )
mp SAB vng góc mặt phẳng đáy GọiM N, trung điểm cạnhAB BC, Tính theoathể tích khối chóp S BMDN
ĐS: 3
3
a
V =
Bài 175 Cho hình chópS ABCD. có đáy hình vng cạnh a,mặt bên SAD tam giác nằm mặt
phẳng vng góc với đáy GọiM N, trung điểm cạnhSB BC CD, , Chứng minhAM
vng góc vớiBPvà tính thể tích khối tứ diện CMNP
ĐS: 3
96
a
V =
Bài 176 Chho hình chópS ABC. có đáy DABC vng tạiB , cạnh bênSA ^ mp ABC( ) Biết rằng:
(49)a/ Tính thể tích khối chópS ABC.
b/ Tính khoảng cách từ điểmAđếnmp SBC( )
c/ GọiH trung điểm củaSB Mặt phẳng( )a quaAH song song vớiBC cắtSC tạiK Tính thể
tích hình chópS AHK.
Bài 177 Cho hình chópS ABC. có đáy làDABC vng tạiAvàAB = a AC, = SA = a 3 Hai mặt bên
(SAB)và(SAC)cùng vng góc vớimp ABC( )
a/ Tính thể tích khối chópS ABC. khoảng cách từ điểmAđếnmp SBC( )
b/ Tìm góc hợp haimp SBC( ),mp ABC( )và góc đường thẳngSB,mp SAC( ) c/ GọiM trung điểm cạnhSC Tính thể tích hình chópS ABM.
Bài 178 Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình vng tâmO Hai mặt bên(SAD) (, SCD)cùng vng góc với mp ABCD( )vàSAtạo với mặt phẳng đáy góc450
a/ Tính thể tích khối chópS ABCD.
b/ Tính thể tích khốiSOAB. khoảng cách từOđếnmp SAB( )
Bài 179 Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình vng tâmO Hai mặt bên(SAD) (, SCD)cùng vng góc với mp ABCD( )và SD = 2a Mặt bên (SAB)tạo vớimp ABCD( )một góc450
a/ Tính thể tích hình chóp S ABCD.
b/ Tính thể tích hình chóp SOCD. c/ Tính góc hợp bởiSC (SBD) d/ Tính khoảng cách từ Ođến mp SAD( )
e/ GọiG trọng tâmDSAB Mặt phẳng( )a quaOGvà song song với AB cắt SA SB, H K, Tính thể tích khối chóp SOHK.
Bài 180 Cho hình chóp tam giác S ABC. có cạnh đáy a, cạnh bên a 2 a/ Tính thể tích hình chóp S ABC.
b/ Mặt phẳng( )P quaA B, trung điểmK củaSC chia hình chóp làm phần Tính tỉ số thể phần
đó
Bài 181 Cho hình chópS ABC. có đáyDABC cạnh2a, hai mặt bên(SAB)và(SAC)cùng vng góc với
mặt đáy(ABC), SA = a a/ Tính thể tích hình chóp S ABC.
b/ GọiE điểm trênSBvàF trênSCsao cho SB = 4BE SC, = 2SF Mặt phẳng( )a quaA E F, ,
chia hình chóp làm phần Tính tỉ số thể tích hai phần
Bài 182 Cho khối chóp tứ giác đềuS ABCD. mà trung đoạn bằng6a, cịn góc hai mặt bên đối diện
60 Qua CD dựng mp a( )vng góc vớimp SAB( )cắtSA SB, H K, Tính thể tích khối
chóp SCDHK.
Bài 183 Cho khối chóp S ABCD. có đáy hình vng cạnh a SA, ^ mp ABCD SA( ), = 2a Gọi H K, lần
lượt hình chiếu A lên SB SD, Mặt phẳng(AHK)cắtSCtại I Tính thể tích khối chópS AHI K Bài 184 Cho khối chópS ABCD có đáy hình bình hành Gọi I J, trung điểm SBvàSD Mặt
phẳng(AI J)cắt SC L Tìm tỉ số thể tích hai khối chóp S AI JL. S ABCD.
(50)Bài 185 Cho khối chópS ABCD. có đáy hình bình hành GọiM N P, , trung điểm củaAB AD SC, , Chứng minh rằng: mp MNP( )chia khối chóp S ABCD. thành phần tích
Bài 186 Cho khối chóp tứ giác S ABCD. Một mp a( )đi quaA B, trung điểm M SC Tính tỉ số thể
tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng
Bài 187 Cho khối chóp tam giác S ABC. GọiM cạnh SA, điểm N cạnh SB cho MA = 2SM
và SN = 2NB Một mp a( )qua MN song song với SC chia khối chóp thành phần Tìm tỉ số thể
tích phần
Bài 188 Cho hình chóp tam giácS ABC. vàM điểm thuộc miền DABC Các đường thẳng quaM
song song với SA SB SC, , cắt mặt (SBC) (, SAC) (, SAB)tại O P Q, , Chứng minh rằng:
a/
M SBC
M ABC
V MO
V = SA
b/ MO MP MQ
SA SB SC w
ỉ ư÷
ỗ + + ữ=
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ
ố ứ l mt s khụng đổi Tìm w ?
Bài 189 Cho đường trịn đường kính AB = 2anằm mặt phẳng mp a( )vàM nằm đường trịn
cho MAB =· 300 Trên đường thẳng vng góc với mp a( )tại A, ta lấy điểm S cho SA = SB Gọi H K, hình chiếu vng góc A SM SB,
a/ Chứng minh rằng: SB ^ mp AHK( )
b/ GọiI giao điểm củaHK với mp a( ) Chứng minh rằng: AI tiếp tuyến đường cho
c/ Tính thể tích khối chóp S AHK.
Bài 190 Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCDlà hình chữ nhật SA ^ mp ABCD( ) Một mp a( )đi qua AA, vng góc với cạnhSCcắt SB SC SD, , I J K, ,
a/ Chứng minh rằng: Tứ giác AI JK có hai góc đối diện góc vng
b/ Chứng minh rằng: Nếu S di động đường thẳng ^ mp ABCD( )tại AA mp AI JK( )luôn
qua đường thẳng cố định điểm A B I C J D K, , , , , , cách điểm cố định khoảng
không đổi
c/ Cho góc cạnh SC mp SAB( ) β AB = BC Tính tỉ số thể tích :
S AI JK
S ABCD V
V
Bài 191 Cho hình chópS ABCD. có ABCD hình thoi cạnh a, BAD =· 600 Các mặt bên tạo với đáy góc α
a/ Xác định chân đường cao H hình chóp
b/ Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình chópS ABCD
c/ Tính khoảng cách từ điểm Ađếnmp SBC( )và khoảng cách hai đường thẳng SA BC,
Bài 192 Cho hình chópS ABCD cóABCDlà hình vng cạnh a SA, ^ (ABCD SA), = a 2 Trên SB SD,
lần lượt lấy E F, cho SE = SF, 3SE = 2SB a/ Tìm giao điểmG G SCvà mp AEF( ) b/ Chứng minh rằng: SC ^ (AEGF)
c/ Tính thể tích khối chóp S AEGF
(51)a/ Mp MCD( )cắt hình chóp theo thiết diện hình ? Tính diện tích thiết diện theo a x,
b/ Cho
2
a
x = Thiết diện chia hình chóp làm hai khối đa diện, tính thể tích khối đa diện ?
Bài 194 Cho tứ diện S ABC. có DABC vng cân C AC, = a Các DSAC,DSBClà tam giác đều, I trung điểm AB
a/ Chứng minh rằng: (SAB) (^ ABC) (, SI C) (^ SAB)
b/ Tính khoảng cách hai đường thẳngSA BC,
c/ Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp S ABC.
Bài 195 Cho hình chóp S ABCD. có đáyABCDlà hình thang vng, đường cao AB = a, ADC =· 600 Đỉnh
S cách cạnh đáy khoảng 2a Tính thể tích, diện tích xung quanh diện tích tồn phần
hình chóp S ABCD.
Bài 196 Cho hình chóp tứ giác S ABCD. có cạnh đáy= 2a, cạnh bên = a 6
a/ Tính thể tích, diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình chóp
b/ Cắt hình chóp mặt phẳng song song với đáy tạo thành hình chóp cụt có đường chéo vng góc với cạnh bên Tính thể tích hình chóp cụt ?
Bài 197 Cho hình chóp cụt tam giác cạnh đáy lớn a, cạnh đáy nhỏ b Góc mặt bên đáy lớn ϕ Tìm thể tích hình chóp cụt ?
Bài 198 Cho hình chóp cụt tam giác cạnh đáy lớn 2a,cạnh đáy nhỏ a, góc đường cao mặt bên
bằng 30
a/ Tính diện tích tồn phần diện tích hình chóp cụt b/ Tính thể tích hình chóp sinh hình chóp cụt
Bài 199 Trên cạnhCDcủa tứ diệnABCDlấy điểmM cho 1
3
CM = CD Tính tỉ số thể tích hai khối tứ
diệnABMDvàABMC
ĐS : ABDM 2
ABCM V
V =
Bài 200 Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' ' Tính tỉ số thể tích khối chópA BB C C. ' ' khối lăng trụ
ĐS :
ABC.A'B C ' '
3
A BB C C
V
V ¢ ¢=
Bài 201 Cho khối tứ diệnABCDcó điểmM N P, , thuộcBC BD AC, , choBC = 4BM,
3 , 2
AC = AP BD = BN vàmp MNP( )cắtADtạiQ Tính tỉ số hai phần khối tứ diệnABCDđược
phân chia bởimp MNP( )
ĐS :
7 13
V
V =
Bài 202 Cho hình vngABCDcó cạnh bằnga Qua trung điểmI cạnhABdựng đường thẳngdvng góc với mp ABCD( ) Trên đường thẳngdlấy điểmSsao cho 3
2
a
SI = Tìm khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng(SAD)
ĐS : ,( ) 3
2
a d C SADéê ù=ú
ë û
Bài 203 Cho hình chópS ABC có DABC vng cân C SC, = 5( )cm Hãy tìm góc hai mặt phẳng
(SCB)và(ABC)để khối chópS ABC tích lớn ? Tìm thể tích lúc ?
(52)Bài 204 Cho hình hộp chữ nhậtABCD A B C D ' ' ' 'có đường chéoAC'= 2( )cm hợp với đáyABCDmột
gócavà hợp với mặt bên(BCC B' ')một gócb Tìm a b, để thể tích hình hộp lớn
ĐS : max 2( ) 300
8