toan 12 hinh hoc c i khoi da dien

toan 12 hinh hoc c i khoi da dien tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩn...

Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Ths Lê Văn Đoàn KHỐI ĐA DIỆN Chương ÔN TẬP HÌNH HỌC PHẲNG 1/ Các hệ thức lượng tam giác vuông Cho D ABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến Ta có: A B 2  BC = AB + AC ( Pitago) H  AH BC = AB AC 2  AB = BH BC , AC = CH CB 1 = + , AH = HB HC  2 AH AB AC BC  AM = C M 2/ Các hệ thức lượng tam giác thường b2 + c2 - a2 * a = b + c - 2bc cosA Þ cosA = 2bc a + c2 - b2 2 * b = a + c - 2ac cosB Þ cosB = 2ac a + b2 - c2 2 * c = a + b - 2abcosC Þ cosC = 2ab a) Định lí hàm số cosin A c b a B C b) Định lí hàm số sin A c 2 b B R a (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC) C c) Công thức tính diện tích của tam giác A c b a B C – nửa chu vi – bán kính đường tròn nội tiếp d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác A K B AB + AC BC * AM = N M Chương I – Khối đa diện C BA2 + BC AC * BN = CA + CB AB * CK = Page Ths Lê Văn Đoàn Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12 3/ Định lí Talet M AM AN MN = = =k AB AC BC ỉ AM ữ ữ =ỗ = k2 ỗ ữ ỗ ốAB ÷ ø * MN / / BC Þ A N B * C SD AMN SD ABC (Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng) 4/ Diện tích của đa giác B a/ Diện tích tam giác vuông  Diện tích tam giác vng bằng ½ tích cạnh góc vuông C A b/ Diện tích tam giác đều  Diện tích tam giác đều: SD đều = (cạnh)  Chiều cao tam giác đều: hD đều = (cạnh) c/ Diện tích hình vuông và hình chữ nhật  Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương  Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân  Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng B A C A B a O D C A d/ Diện tích hình thang SHình Thang (đáy lớn + đáy bé) x chiều cao ìï SHV = a2 ï Þ ïí ïï AC = BD = a ùợ ị S= B H ( AD + BC ) AH C B e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc  Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc bằng ½ tích hai đường chéo  Hình thoi có hai đường chéo vuông góc tại trung điểm của mỗi đường ìï ïï SD ABC = a ï Þ ïí ïï a ïï h = ïỵ D  Diện tích hình thang: = Þ SD ABC = AB AC CÞ A SH Thoi = AC BD D Lưu y: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản dễ tính diện tích, sau đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích đa giác Chương I – Khối đa diện Page Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Ths Lê Văn Đoàn CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC ( ) 1/ Chứng minh đường thẳng d // mp(a ) với d Ë (a )  Chứng minh: d // d ' và d ' Ì (a) ( )  Chứng minh: d Ì (b) và b // (a )  Chứng minh d và (a ) cùng vuông góc với một đường thẳng hoặc cùng vuông góc với một mặt phẳng ( ) 2/ Chứng minh mp(a ) // mp b ( )  Chứng minh mp(a ) chứa hai đường thẳng cắt song song với mp b ( )  Chứng minh mp(a ) và mp b cùng song song với mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với đường thẳng 3/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một các định lí sau ( )  Hai mp(a ), b có điểm chung S và lần lượt chứa đường thẳng song song a,b thì (a) Ç ( b) = Sx // a // b ìï a // mp(a) ï  í Þ (a) Ç ( b) = b // a ïï a Ì mp( b) ïỵ     Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo giao tuyến song song Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, … ( ) 4/ Chứng minh đường thẳng d ^ mp a  Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt chứa mp(a ) ìï d // d '  Chứng minh: ïí Þ d ^ mp( a ) ïï d ' ^ mp( a ) ïỵ ìï d ^ mp( b) ï Þ d ^ mp( a )  Chứng minh: í ïï mp( b) // mp( a ) ïỵ  Hai mặt phẳng cắt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt ìï ( a ) ^ ( P ) ïï Þ d ^(P ) phẳng thứ 3: ïí ( b) ^ ( P ) ïï ïï ( a ) ầ ( b) = d ợ Co hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến, cũng vuông góc với mặt phẳng 5/ Chứng minh đường thẳng d ^ d ' ( ) ( )  Chứng minh d ^ a và a É d '  Sử dụng định lý ba đường vuông góc  Chứng tỏ góc giữa d và d ' bằng 900  Sử dụng hình học phẳng ( ) ( ) ìï ( a ) É d ï Þ mp( a ) ^ mp( b)  Chứng minh í ïï d ^ ( b) ïỵ 6/ Chứng minh mp a ^ mp b (chứng minh mp chứa đường thẳng vuông góc với mp kia)  Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng 900 Chương I – Khối đa diện Page Ths Lê Văn Đoàn Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12 GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH 1/ Góc giữa hai đường thẳng  Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt lần lượt vẽ cùng phương với hai đường thẳng đó: ìï a // a ' ù ị (aả,b) = (aà ',b') = f í ïï b // b' ỵ a a' b'b φ ( ) 2/ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng mp a  Là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó mặt phẳng é· ù · êd, ( a ) ú= (d,d ') = f ê ú ë û (với d ' là hình chiếu vuông góc của d lên mp(a ) ) ( ) φ ( ) 3/ Góc giữa hai mp a và mp b α  Là góc có đỉnh nằm giao tuyến u , cạnh của hai góc lần lượt nằm mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến ( d d' α β u ab φ ) · (a);( b) = (a¶,b) = f 4/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: M  Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng d ( M , D ) = MH H D d 5/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: M  Là khoảng cách từ một điểm đường thẳng (mặt phẳng) này đến đường thẳng (mặt phẳng) d' M 6/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song  Là khoảng cách từ một điểm đường thẳng đến mặt phẳng 7/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo  Là độ dài đoạn vuông góc chung của đường thẳng đó ( )  Là khoảng cách MH từ một điểm M d đến mp a M chứa d ' và song song với d  Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song a , b d ( )( ) lần lượt chứa d và d ' d' Chương I – Khối đa diện Page Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Ths Lê Văn Đoàn HÌNH CHÓP ĐỀU 1/ Định nghĩa Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy Nhận xét:  Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng  Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng S 2/ Hai hình chóp đều thường gặp a/ Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC Khi đó:  Đáy ABC là tam giác đều  Các mặt bên là các tam giác cân tại S  Chiều cao: SO · · ·  Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO = SBO = SCO ·  Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO A C O  Tính chất: AO = AH , OH = AH , AH = AB 3 H B  Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều + Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều + Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy S b/ Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD  Đáy ABCD là hình vuông  Các mặt bên là các tam giác cân tại S  Chiều cao: SO · · · ·  Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO = SBO = SCO = SDO ·  Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO A D H C O B XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO CỦA HÌNH CHÓP 1/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy Ví du: Hình chóp S.ABC có cạnh bên SA ^ ( ABC ) thì chiều cao là SA ( ) ) 2/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy: Ví du: Hình chóp S.ABCD có mặt bên SAB Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác vuông góc với mặt đáy ABCD thì chiều chứa mặt bên vuông góc với đáy cao của hình chóp là chiều cao của D SAB Ví du: Hình chóp S.ABCD có hai mặt bên 3/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy: SAB và SAD cùng vuông góc với mặt Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với đáy đáy ABCD thì chiều cao là SA ( ( ) ( ( 4/ Hình chóp đều: Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy Chương I – Khối đa diện ) ) Ví du: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tâm mặt phẳng đáy là giao điểm của hai đường chéo hình vuông ABCD thì có đường cao là SO Page Ths Lê Văn Đoàn Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN S 1/ Thể tích khối chóp: V = B h D B :ADiện tích mặt đáy h : Chiều cao của khối chóp O B C A 2/ Thể tích khối lăng tru: V = B h C A C B B B : Diện tích mặt đáy h : Chiều cao của khối chóp Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là cạnh bên A’ C’ A’ B’ Þ Thể tích khối lập phương: V = a3 B’ c a 3/ Thể tích hình hộp chữ nhật: V = abc C’ a a b a S 4/ Tỉ số thể tích: VS A 'B 'C ' VS.ABC = SA ' SB ' SC ' SA SB SC C ’ 5/ Hình chóp cut A’B’C’.ABC V = ( B ’ A ’ ) h B + B '+ BB ' A Với B, B ', h là diện tích hai đáy và chiều cao B C phương pháp thường dùng tính thể tích  Tính diện tích bằng công thức + Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao,… + Sử dụng công thức tính thể tích  Tính thể tích bằng cách chia nho: Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính thể tích của chúng Sau đó, ta cộng kết quả lại, ta sẽ có kết quả cần tìm  Tính thể tích bằng cách bổ sung: Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác, cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới có thể dễ dàng tính được thể tích Chương I – Khối đa diện Page Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Ths Lê Văn Đoàn  Tính thể tích bằng tỉ số thể tích CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ MỘT VÀI THÍ DU Dạng Tính thể tích khối đa diện bằng cách sử dung trực tiếp công thức  Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích Trong nhiều trường hợp, chiều cao này được xác định từ đầu bài, cũng có trường hợp việc xác định này phải dựa vào các định lí về quan hệ vuông góc đã học ở lớp 11 (hay dùng nhất là định lí đường vuông góc, các định lí về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng,…) Việc tính chiều cao thông thường nhờ vào việc sử dụng định lí Pitago, hoặc nhờ phép biến tính lượng giác,…  Tìm diện tích đáy bằng các công thức quen biết Nhìn chung, dạng toán loại này rất bản, chỉ đòi hỏi tính toán cẩn thận và chính xác · Thí du Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BAC = 300, SA = AC = a và SA vuông ( ) ( ) góc với mp ABC Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ A đến mp SBC Bài giải tham khảo Tính thể tích khối chóp S.ABC * Ta có: VS ABC = SDABC SA * Trong đó: SA = a ( 2) S ( 1) * Tìm SD ABC ? Trong D ABC vuông tại B , ta có: ìï ïìï a ïï sin300 = BC ïï BC = AC sin30 = ïí AC Û ïí ïï ï AB ïï AB = AC cos300 = a ïï cos30 = ùùợ AC ùợ ị SD ABC 1 a a a2 = AB BC = = 2 2 () ( ) 24 C 00 B ( 3) a2 a3 (đvtt) * Thay , vào ị V = ìa = S ABC ( )( ) a A ( 4) Tính khoảng cách từ A đến mp SBC * Ta có: VS.ABC = é éA,( SBC ) ù= 3.VS.ABC d êA, ( SBC ) ù S Þ d ú D SBC ê ú S û ë û ë D SBC ( 5) * Tìm D SBC ? ìï BC ^ AB ï Þ BC ^ mp( SAB ) Þ BC ^ SB Þ D SBC vng tại B ïï BC ^ SA ợ Ta co: ị SD SBC 1 = BC BS = AC - AB SA + AB = a 2 = a a a2 × × = 2 Chương I – Khới đa diện 2 ỉ ỉ a 3ử ữ a 3ử ữ ỗ ỗ ữ ữ ç ç a + ÷ ÷ ç ç ÷ ữ ỗ ỗ 2 ữ ữ ỗ ỗ ố ø è ø ( 6) Page Ths Lê Văn Đoàn ( )( ) Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12 ( ) ( a3 ) * Thế , vào Þ d é A, SBC ù = 3× × = ê ú ë û 24 a2 a 21 ( ) Thí du Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a Hai mp SAB và mp( SAD ) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài giải tham khảo ìï (SAB ) ^ (ABCD) ïï Þ SA ^ (ABCD )  Ta có: ïí (SAD) ^ (ABCD ) ùù ùù (SAB ) ầ (SAD) = SA ợ Þ Hình chiếu của SC lên mp( ABCD ) là AC S é· ù · Þ êSC ,( ABCD ) ú= SCA = 600 A D ê ú ë û  Mà: VS.ABCD = SA.SACBD ( 1) 00 B C  Tìm SA ? Trong D SAC vuông tại A : SA · · tan SCA = Þ SA = AC tanSCA = AB + BC tan600 = a2 + (2a)2 = a 15 ( 2) AC  Ta lại có: SABCD = AB BC = a.2a = 2a2 ( 3) 2a 15 (đvtt)  Thay ( 2) ,( 3) vào ( 1) Þ V = ×a 15 ×2a2 = ABCD 3 Thí du Hình chóp S.ABC có BC = 2a , đáy ABC là tam giác vuông tạiC , SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Gọi I là trung điểm cạnh AB ( ) a/ Chứng minh rằng, đường thẳng SI ^ mp ABC ( ) ( ) b/ Biết mp SAC hợp với mp ABC một góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC ( a/ CM: SI ^ mp ABC ) Bài giải tham khảo  Do D SAB vuông cân tại có SI là trung tún Þ SI cũng đờng thời là đường cao Þ SI ^ AB ìï (SAB ) ^ (ABC ) ïï  Ta có: ïí AB = (SAB ) Ç (ABC ) Þ SI ^ mp( ABC ) (đpcm) ïï ïï AB ^ SI Ì (SAB ) ỵ b/ Tính thể tích khối chóp S.ABC  Gọi K là trung điểm của đoạn AC Þ SK vừa là trung tuyến vừa là đường cao D SAC Þ SK ^ AC  Trong D ABC vuông tạiC có K I là đường trung bình Chương I – Khối đa diện S A K 00 B I a C Page Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Ths Lê Văn Đoàn ìï K I //BC Þ ïí Þ K I ^ AC ïï BC ^ AC ỵ ìï mp(ABC ) ^ mp(SAC ) = {AC } ïï é· ù · Þ êmp( SAC ) ;mp( ABC ) ú= SK I = 600  Mặt khác: Þ ïí K I ^ AC Ì mp(ABC ) ïï ê ú ë û ïï SK ^ AC Ì mp(SAC ) ỵ  Mà: VS.ABC = SD ABC SI ( 1)  Tìm SI ? · I = SI Þ SI = IK tan SK · I = 1.BC tan600 = a Trong D SK I vuông tại I , ta có: tan SK ( ) IK  Tìm SD ABC ? 1 SD ABC = BC AC = BC AB - BC = BC ( 2SI ) - BC 2 2 2 = 2a 2a - ( 2a) = 2a2 ( 3) ( ) 2a3 (đvtt)  Thế ( 2) , ( 3) vào ( 1) Þ V = a a = S ABC 3 Thí du Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích của hình chóp S.ABCD Bài giải tham khảo Tính thể tích khối chóp S.ABCD  GọiO là tâm của mặt đáy thì SO ^ mp( ABCD ) S nên SO là đường cao của hình chóp và gọi M là trung điểm đoạnCD ìï CD ^ SM Ì (SCD ) ïï ·  Ta có: ïí CD ^ OM Ì (ABCD ) Þ SMO = 60 ïï ïï CD = (SCD ) ầ (ABCD ) ợ (goc gia mt (SCD) va mặt đáy)  Ta có: VS.ABCD = SABCD SO A ( 1) D 00 O  Tìm SO ? · Trong D SMO vuông tạiO , ta có: tan SMO = SO OM B BC · Þ SO = OM tan SMO = tan600 = a ( 2) 2  Mặt khác: SABCD = BC = ( 2a) = 4a2 a M C ( 3) 4a3 (đvtt)  Thế ( 2) , ( 3) vào ( 1) Þ V = a a = ABCD 3 Thí du Cho hình lăng trụ ABC A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Hình chiếu vuông góc của A ' xuống mp( ABC ) là trung điểm của AB Mặt bên ( AA 'C 'C ) tạo với đáy một góc bằng 45o Tính thể tích của khối lăng trụ này Chương I – Khối đa diện Page Ths Lê Văn Đoàn Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12 Bài giải tham khảo  Gọi H , M , I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC , AM D ABC = B ’ ( 1)  VABC A 'B 'C ' = B.h = SDABC A 'H  Do D ABC đều nên: S A ’ BC a2 = ( 2) 4 C ’  Tìm A 'H ? Do IH là đường trung bình đều D AMB , đồng thời BM là trung tuyến nên cũng là đường cao H A ìï IH // MB ï Þ IH ^ AC và Do đó: í I ïï MB ^ AC a ỵ M ìï AC ^ A 'H ï Þ AC ^ ( A 'HI ) Þ AC ^ A 'I í C ïï AC ^ IH ỵ ìï (ABC ) Ç (ACC 'A ') = {AC } ïï é· ù · Þ ê( ACC 'A ') ;( ABC ) ú= A 'IH = 600 Mà: ïí AC ^ IH Ì (ABC ) ïï ê ú ë û ïï AC ^ A 'I Ì (ACC 'A ') î B Trong D A 'HI vuông tại H , ta có: tan450 = A 'H Þ A 'H = IH tan45o = IH = MB = a 3 HI ( ) a  Thay ( 2) ,( 3) vào ( 1) Þ V = ABC A 'B 'C ' a 3a3 = 4 16 ( Thí du Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a , mp A 'BC ) tạo với đáy một góc 300 và D A 'BC có diện tích bằng a2 Tính thể tích khối lăng trụ Bài giải tham khảo ìï BC  Do ïí ïï BC ỵ ìï BC ïï  Và ïí BC ïï ùù BC ợ ^ AB ị BC ^ A ÂB ^ AA ¢ A ’ C ’ B ’ ^ AB Ì (ABC ) · ^ AB Ì (A ¢BC ) Þ ABA ' là góc giữa (ABC ) và (ABC ) = (ABC ) Ç (A 'BC ) A 2.SD A¢BC 2.a2  Ta có: S ¢ = A ¢B BC Þ A ¢B = = = 2a D A BC BC a · AB = A ¢B cosABA ¢= 2a 3.cos300 = 3a · AA ¢= A ¢B sin ABA ¢= 2a 3.sin300 = a 3 0o C a B 1 3a3 (đvtt)  Vậy: V ¢ ¢ = B h = S AA = AB BC AA = aaa = ABC A ' B 'C ' ABC 2 · Thí du Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, ACB = 600 Chương I – Khối đa diện Page Đường chéo BC ' của mặt bên BC 'C 'C tạo với mặt phẳng mp AA 'C 'C một góc 300 Tính thể 10 tích của khối lăng trụ theo a ( ) ( ) Ths Lê Văn Đoàn Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12 Hình chóp có hai mặt vuông góc với đáy Bài 53 Cho hình chóp S.ABC có SB = SC = BC = CA = a Hai mp(ABC ) và mp(SAC ) cùng vuông góc ĐS: V = a 12 Bài 54 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A Hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) cùng với mp(SBC ) Tính thể tích của hình chóp S.ABC ( ) ( ) ( ) ) ( ) vuông góc với mặt phẳng đáy ABC , cho BC = a , mặt bên SBC tạo với đáy ABC một góc 600 Tính thể tích của khối chóp S.ABC ( Bài 55 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông ( ) góc với ABCD Cho SB = 3a Gọi M là trung điểm củaCD Tính thể tích của khối chóp S.ABCM ( ) ( ) với mặt đáy ( ABCD ) , cho AB = a, AD = 2a, SC tạo với mặt đáy ( ABCD ) một góc 45 Tính thể tích Bài 56 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc của khối chóp S.ABCD theo a ( ) ( ) Bài 57 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , các mặt SAC và SBD cùng vuông góc ( ) ( ) với mặt đáy ABCD , mặt bên SCD tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD ( ) ( ) Bài 58 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A Hai mặt phẳng SAB và SAC cùng ( ) ( ) ( ) vuông góc với mặt phẳng đáy ABC , cho BC = a , mặt bên SBC tại với đáy ABC một góc 600 ( ) Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC Bài 59 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AD = DC = a, AB = 2a Biết ( ) ( ) ( ) rằng hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với mặt đáy ABCD , SC tạo với mặt phẳng đáy ( ABCD ) một góc 60 Gọi I là trung điểm của SB a/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a b/ Chứng minh tam giác SBC vuông và tính độ dài đoạn thẳngCI c/ Gọi M là điểm thuộc cạnh SB cho SB = 3SM Tính thể tích khối chóp M ABCD Bài 60 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC = 3a, BD = 2a cắt tại O , hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD ) cùng vuông góc với mp( ABCD ) Biết khoảng từ O đến mp( SAB ) bằng a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 61 ( ÐH - A.2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a,CD = a , góc ( ) ( ) ( ) giữa hai mp SBC và mp ABCD bằng 600 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mp SBI và ( SCI ) cùng vuông góc với ( ABCD ) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a ĐS: V = 15a ( ) Bài 62 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a , hai mp SAB và mp( SAC ) cùng vuông góc với mp( ABC ) Gọi M là trung điểm AB , mặt phẳng qua SM và song song Chương I – Khối đa diện 32 Page Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học ( ) Ths Lê Văn Đoàn ( ) với BC , cắt AC tại N Biết góc giữa hai mp SBC và mp ABC bằng 600 Tính thể tích của khối chóp ĐS: V = a3 3,d = 2a 39 S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a 13 Hình chóp đều Bài 63 Tính thể tích của khối chóp tam giác đều S.ABC biết: ĐS: V = a 11 3a3 ĐS: V = 16 a3 ĐS: V = a/ Cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a b/ Cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 600 c/ Cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 450 ĐS: V = a d/ Cạnh đáy bằng a , mặt bên hợp với đáy một góc 600 Bài 64 Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều S.ABCD , biết: 24 ĐS: V = a a/ Có tất cả các cạnh có độ dài a b/ Cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a ĐS: V = a c/ Cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 600 12 d/ Cạnh đáy bằng 2a , mặt bên hợp với đáy một góc 450 Bài 65 Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a Gọi M là trung điểm của cạnh DC a/ Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD ĐS: V a3 = 12 ABCD a b/ Tính khoảng cách từ M đến mp ABC Suy thể tích hình chóp M ABC ĐS: V = M ABC ( ) 24 Bài 66 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 Tính ( ) thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và khoảng cách từ điểm A đến mp SBC · Bài 67 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và BSA = 600 a/ Tính tổng diện tích tổng mặt bên của hình chóp đều này ĐS: S = a b/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD ĐS: V = a 3 · Bài 68 Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , BSA = 600 , I Ỵ BC và IB = 2IC Tính thể tích khối chóp S.ABC và thể tích khối chóp S.ABI Bài 69 Cho hình chóp đều S.ABC có chiều cao h , góc ở đỉnh của mặt bên bằng 600 Tính thể tích của khối chóp 2h3 Bài 70 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 3a a/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD Tính khoảng cách từ A đến mp( SBC ) ĐS: V = ( ) b/ Gọi α là góc tạo bởi cạnh bên SA và mp SBC Tìm sina ? Chương I – Khối đa diện Page 33 Ths Lê Văn Đoàn Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12 ( ) Bài 71 T N T HPT - 2008 Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a Gọi I là trung điểm của cạnh BC a/ Chứng minh: SA ^ BC b/ Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a Bài 72 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , có mặt bên hợp với mặt đáy một góc 450 và khoảng cách từ chân đường cao của khối chóp đến mặt bên bằng a Tính thể tích của khối chóp S.ABCD ĐS: V = 8a Bài 73 (Trích đề thi tuyển sinh Cao Đẳng Kinh Tế Đối Ngoại A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng Chứng minh rằng S.ABCD là hình chóp đều Tính độ dài cạnh của hình chóp này biết thể tích của nó bằng 9a ( ĐS: AB = 3a ) 2 Bài 74 CÐ- 2009 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB,CD Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP ( ) Bài 75 ÐH - B 2007 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE , N là trung điểm của BC Chứng minh MN ^ BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC ĐS: d MN , AC = a ( ) ( ) Bài 76 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Mặt phẳng P qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC , SD lần lượt SB ' = SB a/ Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB 'C 'D ' và S.ABCD b/ Tính thể tích khối chóp S.AB 'C 'D ' Bài 77 ( ÐH DB 1- D.2006) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a Gọi SH là đường cao của hình chóp Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên ( SBC ) bằng b Tính thể tích khối chóp S.ABCD tại B ',C ', D ' Biết AB = a, ĐS: V = ( ) 2a3b a2 - 16b2 Bài 78 ÐH - A.2004 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng ( ) j , 00 < j < 900 Tính tang góc giữa hai mp( SAB ) và mp( ABCD ) theo j Tính thể tích khối chóp theo a và j ĐS: tan j ; V = a 2.tan j Bài 88 Cho D ABC đều cạnh a Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tam giác tại tâm O lấy điểm D choOD = a Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BD và DC a/ Tính góc giữa hai đường thẳng AM và BC Chương I – Khối đa diện 34 Page Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Ths Lê Văn Đoàn b/ Tính tỉ số thể tích giữa các phần của khối ABCD được phân chia bởi thiết diện AMN c/ Tính thể tích khối ABCMN Chương I – Khối đa diện Page 35 Ths Lê Văn Đoàn Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12 Khối chóp và phương pháp tỉ số thể tích Bài 89 Cho tứ diện ABCD Gọi B ',C ' lần lượt là trung điểm của AB và AC Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB 'C 'D và khối tứ diện ABCD ĐS: VAB 'C 'D ( ) = VABCD Bài 90 Cho khối tứ diện ABCD có thể tích m , AB, AC , AD lần lượt lấy các điểm B ',C ', D ' cho AB = 2AB ',2AC = 3AC ', AD = 3AD ' Tính thể tích khối tứ diện AB 'C 'D ' ( ) ĐS: V = m Bài 91 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a Lấy các điểm B ',C ' AB và AC cho AB ' = Tính thể tích khối tứ diện AB 'C 'D a 2a , AC ' = 3 ĐS: V = a 36 Bài 92 Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 m Gọi M , P là trung điểm của AB,CD và lấy điểm N ( ) AD cho DA = 3NA Tính thể tích khối tứ diện BMNP ĐS: V = m ( ) Bài 93 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đường cao SA = a Mặt phẳng qua điểm A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K Tính thể tích hình chóp S.AHK ĐS: V = a ( ) 40 Bài 94 Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 27 m Lấy điểm A ' SA cho SA = 3SA ' Mặt phẳng qua điểm A ' và song song với đáy hình chóp cắt SB, SC , SD lần lượt tại các điểm B ',C ', D ' Tính thể tích của khối chóp S.A 'B 'C 'D ' ( ) ĐS: V = m ( ) Bài 95 Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng m và đáy ABCD là hình bình hành Lấy điểm M SA ( ) cho 2SA = 3SM Mặt phẳng MBC cắt SD tại N Tính thể tích khối đa diện ABCDMN ( ) ĐS: V = m Bài 96 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a , chiều cao SA = h Gọi N là trung điểm của SC Mặt phẳng chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB, SD tại M , P Tính thể tích khối chóp S.AMNP theo a, h ĐS: V = a2h Bài 97 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của SC Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần này ĐS: k = 0,5 Bai 98 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và lấy điểm M SA cho ( ) SM = x Tìm giá trị SA của x để mặt phẳng MBC chia hình chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng Chương I – Khối đa diện 36 Page Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học ĐS: x = Chương I – Khối đa diện Ths Lê Văn Đoàn - Page 37 Ths Lê Văn Đoàn Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12 THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRU Lăng tru đứng biết chiều cao hoặc cạnh đáy Bài 99 Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có cạnh BC = a và biết A 'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: V = a3 Bài 100 Cho hình lăng trụ đứng tứ giác đều ABCD.A 'B 'C 'D ' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo bằng 5a Tính thể tích khối lăng trụ này ĐS: V = 9a3 · Bài 101 Cho lăng trụ đứng ABC A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A , góc ACB = 300, AA ' = 3a , AC = 2a a/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' ( ) b/ Mặt phẳng A 'BC chia khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' thành hai khối đa diện Tính thể tích của mỗi khối đa diện ( ) Bài 102 Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng cm và biết diện tích ( ) của tam giác A 'BC bằng cm Tính thể tích khối lăng trụ ( ) ĐS: cm Bài 103 Hình hộp – hình lập phương ( ) a/ Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm , người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12( cm) rồi gấp lại thành một cái hộp hình chữ nhật không có nắp Tính thể tích cái hộp này ( ) ĐS: 4800 cm b/ Tính thể tích của khối hộp chữ nhật có chiều rộng bằng 1, chiều dài bằng và đường chéo của hình hộp hợp với đáy một góc bằng 300 c/ Ba kích thước của một hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân với công bội bằng Thể tích bằng 64 Tìm các kích thước đó d/ Khi độ dài cạnh của hình lập phương tăng thêm cm thì thể tích của nó tăng thêm 98cm Khi đó tính độ dài cạnh của hình lập phương Bài 104 Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ Tính thể tích của khối hộp ĐS: V = a Bài 105 Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều, biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ ĐS: V = a ;S = 3a2 Bài 106 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A 'B 'C 'D ' có đáy là tứ giác đều cạnh a và biết rằng BD ' = a Tính thể tích của lăng trụ ĐS: V = 2a3 ( ) ( ) Bài 107 Cho hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo lần lượt bằng cm và cm Biết rằng chu vi đáy bằng hai lần chiều cao lăng trụ Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ ( ) ( ) 3 ĐS: V = 240 cm ;S = 248 cm Chương I – Khối đa diện 38 Page Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Ths Lê Văn Đoàn ( ) ( ) ( ) Bài 108 Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy lần lượt là 37 cm ;13 cm ;30 cm và biết tổng ( ) diện tích các mặt bên là 480 cm Tính thể tích lăng trụ ( ) ĐS: V = 1080 cm Bài 109 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A Biết rằng chiều cao của lăng trụ là 3a và mặt bên AA 'B 'B có đường chéo là 5a Tính thể tích lăng trụ ĐS: V = 24a3 Bài 110 Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng và biết tổng diện tích các mặt của lăng trụ ( ) bằng 96 cm Tính thể tích lăng trụ ( ) ĐS: V = 64 cm Bài 111 Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C 'D ' có AB = a , diện tích của ABCD và ABC 'D ' lần lượt là 2a2 và a2 Tính thể tích của khối hộp chữ nhật ( ) ( ) ( ) Bài 112 Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy lần lượt là 19 cm ;20 cm ;37 cm và chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng các cạnh đáy Tính thể tích của lăng trụ ( ) ĐS: V = 2888 cm Bài 113 Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bên bằng 24m2 Tính thể tích khối lập phương ĐS: V = 8m3 Bài 114 Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều, AA ' = a, A 'B ^ BC Tính thể tích của khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' Bài 115 Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước tỉ lệ thuận với 3;4;5 Biết rằng độ dài một đường chéo của hình ( ) hộp là m Tính thể tích khối hộp chữ nhật ( ) ĐS: V = 0,4 m Bài 116 Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo các mặt bên lần lượt là ( ) ĐS: V = m Tính thể tích của khối hộp này ( 5( m) ; 10( m) ; 13( m) ) Bài 117 ÐH - D.2008 Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a , cạnh bên AA ' = a Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , B 'C ĐS: V = a3 , d ( AM , B 'C ) = a a Bài 118 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A 'B 'C ' có cạnh đáy bằng Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A 'C bằng a 15 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' 3a3 Bài 119 Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ' có cạnh a GọiO1 là tâm của hình vuông A1B1C 1D1 Tính thể ĐS: V = ( ) BD Chứng minh: BD1 ^ ACB1 tích của khối lập phương và thể tích khối tứ diện AO 1 Bài 120 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách từ A ' đến mp AB 'C ' theo a , biết rằng: AA ' = A ' B = A 'C = a ( Chương I – Khối đa diện ) Page 39 Ths Lê Văn Đoàn Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12 · Bài 121 Cho hình lăng trụ ABC A 'B 'C ' có AB = AC = 4a, BAC = 1200 , hình chiếu vuông góc của A ' lên mp( ABC ) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp D ABC Góc giữa cạnh bên với đáy là 300 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B 'C ' và khoảng cách giữa AA ' và BC Bài 122 ( ÐH - A.2008) Cho hình lăng trụ ABC A ' B 'C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a , AC = a và hình chiếu vuông góc của đỉnh A ' mp( ABC ) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối chóp A 'ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA ' và B 'C ' a3 ĐS: V = ,cosj = Lăng tru đứng biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Bài 123 Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B với BA = BC = a Biết rằng A 'B hợp với đáy ABC một góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: V = a · Bài 124 Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a, ACB = 600 ( ) Biết BC ' hợp với mp AA 'C 'C một góc 300 Tính AC ' và thể tích khối lăng trụ ABC A ' B 'C ' ĐS: V = a3 Bài 125 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A 'B 'C 'D ' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD ' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300 Tính thể tích và tổng diện tích mặt bên của hình lăng trụ 4a2 ;S= 3 Bài 126 Cho lăng trụ đứng ABC A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC = 2a, A 'B tạo với đáy ABC một góc 300 a/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' b/ Vẽ đường cao AH của D A 'AB Chứng minh: AH ^ A 'C · Bài 127 Cho hình hộp đứng ABCD.A 'B 'C 'D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a;BAD = 600 Biết đường ĐS: V = a ( ) thẳng AB ' hợp với mặt phẳng đáy ABCD một góc 300 Tính thể tích khối hộp ABCD.A 'B 'C 'D ' ĐS: V = 3a3 Bài 128 Cho lăng trụ đứng ABC A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B Biết rằng A 'C = a và A 'C ( ) hợp với mặt bên AA 'B 'B một góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B 'C ' ĐS: a 16 Bài 129 Cho lăng trụ đứng ABC A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B Biết rằng BB ' = AB = a và ( ) đường thẳng B 'C hợp với mp ABC một góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' ĐS: V = a Chương I – Khối đa diện 40 Page Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Ths Lê Văn Đoàn Bài 130 Cho lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Biết rằng AB ' hợp với mặt bên ( BCC 'B ') một góc 30 Tính độ dài đoạn thẳng AB ' và thể tích khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' ĐS: AB ' = a 3; V = a · Bài 131 Cho lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A Biết AB = a;ACB = 600 và ( ) đường thẳng BC ' hợp với mặt bên AA 'C 'C một góc 300 Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B 'C ' và diện tích tam giác ABC ' ĐS: V = a3 6; S = 3a ( ) Bài 132 Cho lăng trụ tam giác đều ABC A ' B 'C ' có khoảng cách từ điểm A đến mp A 'BC bằng a và đường ( ) thẳng AA ' hợp với mp A 'BC một góc 300 Thể tích khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' ĐS: V = 32a3 Bài 133 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C 'D ' có đường chéo A 'C = a Biết rằng A 'C hợp với mp( ABCD ) một góc 300 và hợp với mp( ABB 'A ') một góc 450 Tính thể tích khối hộp chữ nhật ĐS: V = a Bài 134 Cho hình hộp đứng ABCD.A 'B 'C 'D ' có đáy ABCD là hình vuông GọiO là tâm của ABCD và OA ' = a Tính thể tích của khối hộp khi: a/ ABCD.A 'B 'C 'D ' là khối lập phương ( ) Đường thẳng A 'B hợp với mp( AA 'CC ') một góc 30 b/ Đường thẳng OA ' hợp với mp ABCD một góc 600 c/ a3 4a3 ; c/V = 9 Bài 135 Cho lăng trụ đứng ABCD.A 'B 'C 'D ' có đáy ABCD là hình vuông và BD ' = a Tính thể tích khối ĐS: a/V = 2a ; b/V = lăng trụ các trường hợp sau: ( ) Đường thẳng BD ' hợp với mp( AA 'D 'D ) một góc 30 a/ Đường thẳng BD ' hợp với mp ABCD một góc 600 b/ 3 a3 ; b/V = 16 Bài 136 Chiều cao của hình lăng trụ đứng tứ giác đều bằng a và góc của đường chéo xuất phát từ một đỉnh của hai mặt bên kề là 600 Tính thể tích lăng trụ và tổng diện tích xung quanh các mặt bên của lăng trụ ĐS: V = a3; S = 6a2 Bài 137 Cho hình hộp ABCD.A 'B 'C 'D ' có AB = a, AD = b, AA ' = c và ĐS: a/V = a BD ' = AC ' = CA ' = a2 + b2 + c2 a/ Chứng minh: ABCD.A 'B 'C 'D ' là hình hộp chữ nhật b/ Gọi x, y, z là góc tạo bởi một đường chéo và ba mặt cùng qua một đỉnh thuộc đường chéo Chứng minh rằng: sin2 x + sin2 y + sin2 z = Bài 138 ( ÐH - D.2009) Chương I – Khối đa diện Page 41 Ths Lê Văn Đoàn Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA ' = 2a , A 'C = 3a Gọi M là trung điểm đoạn thẳng A 'C ' và I là giao điểm của AM và A 'C Tính thể tích của ( ) khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mp IBC theo a ĐS: V = 4a , d A, IBC ( ( )) = 2a 5 Lăng tru đứng biết góc giữa mặt phẳng Bài 139 Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ( ) ( ) Biết rằng mp A 'BC hớp với mp ABC một góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' ĐS: V = a ( ) Bài 140 Đáy của lăng trụ đứng ABC A ' B 'C ' là tam giác đều Mặt A 'BC tạo với đáy một góc 300 và diện tích ( ) tam giác A 'BC bằng cm Tính thể tích khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' ( ) ĐS: V = cm ( ) Bài 141 Cho lăng trụ đứng ABCD.A 'B 'C ' D ' có đáy là hình vuông cạnh a và mp BDC ' hợp với mp( ABCD ) một góc 600 Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C ' D ' ĐS: V = a Bài 142 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C ' D ' có AA ' = 2a ; mp( A 'BC ) hợp với mp( ABCD ) một góc 600 và A 'C hợp với mp( ABCD ) một góc 300 Tính thể tích của khối hộp chữ nhật ĐS: V = 16a Bài 143 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C ' D ' có AA ' = a , biết đường chéo A 'C hợp với mặt phẳng đáy ( ABCD ) một góc 30 và mp( A 'BC ) hợp với mp( ABCD ) một góc 60 Tính thể tích của khối hộp chữ 0 nhật ABCD.A 'B 'C 'D ' ĐS: V = 2a Bài 144 Cho lăng trụ đứng ABCD.A ' B 'C 'D ' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên bằng a Biết rằng: mp( ABC 'D ') hợp với mặt phẳng đáy một góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A 'B 'C 'D ' ĐS: V = 3a3 Bài 145 Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B ; AC = 2a Biết rằng mp( A 'BC ) hợp với mp( ABC ) một góc 450 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B 'C ' ĐS: V = a3 Bài 146 Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với AB = AC = a và · BAC = 1200 Biết rằng mp( A 'BC ) hợp với mp( ABC ) một góc 45 Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: V = a · 'B = 600 Bài 147 Cho lăng trụ đứng ABC A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , AA Chương I – Khối đa diện 42 Page Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Ths Lê Văn Đoàn a/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B 'C ' ( ) b/ Mặt phẳng C 'AB chia khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' thành hai khối đa diện Tính thể tích của mỗi khối đa diện đó Bài 148 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BB ' = AB = h Biết ( ) rằng mp B 'AC hợp với mặt phẳng chứa đáy ABC một góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: V = h Bài 149 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều Biết cạnh bên AA ' = a Tính thể tich khối lăng trụ các trường hợp sau: ( ) a/ mp A 'BC hợp với đáy mặt phẳng chứa đáy ABC một góc 600 ( ) b/ Đường thẳng A 'B hợp với mp ABC một góc 450 c/ Chiều cao ke từ A ' của D A 'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ ĐS: a/V = a3 3; b/V = a ; c/V = a3 Bài 150 Cho hình lăng trụ đứng tứ giác đều ABCD.A 'B 'C 'D ' có cạnh bên AA ' = 2a Tính thể tích lăng trụ các trường hợp sau đây: ( ) a/ Mp ACD ' hợp với mặt phẳng chứa đáy ABCD một góc 450 b/ Đường thẳng BD ' hợp với mặt phẳng chứa đáy ABCD một góc 600 ( ) c/ Khoảng cách từ điểm D đến mp ACD ' bằng a ĐS: a/V = 16a3; b/V = 12a3; c/V = 16a3 Bài 151 Cho lăng trụ đứng ABCD.A 'B 'C 'D ' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A 'B 'C 'D ' các trường hợp sau: ( ) a/ Mp BDC ' hợp với mặt phẳng chứa đáy ABCD một góc 600 b/ D BDC ' là tam giác đều c/ Đường thẳng AC ' hợp với mặt phẳng chứa đáy ABCD một góc 450 ĐS: a/V = a ; b/V = a3; c/V = a3 µ = 600 Tính thể Bài 152 Cho lăng trụ đứng ABCD.A 'B 'C 'D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A tích khối lăng trụ ABCD.A 'B 'C 'D ' các trường hợp sau: a/ Mặt phẳng ( BDC ') hợp với mặt phẳng chứa đáy ABCD một góc 600 a c/ Đường thẳng AC ' hợp với mặt phẳng chứa đáy ABCD một góc 450 ( ) b/ Khoảng cách từ điểmC đến mp BDC ' bằng 3 ĐS: a/V = 3a ; b/V = 3a ; c/V = 3a Bài 153 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C 'D ' có BD ' = 5a;BD = 3a Tính thể tích khối hộp các trường hợp sau đây: a/ Đoạn thẳng AB = a ( ) b/ Đường thẳng BD ' hợp với mp AA 'D 'D một góc 300 ( ) c/ Mặt phẳng ABD ' hợp với mặt phẳng chứa đáy ABCD một góc 300 ĐS: a/V = 8a3 2; b/V = 5a3 11; c/V = 16a3 Chương I – Khối đa diện Page 43 Ths Lê Văn Đoàn Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12 Khối lăng tru xiên Bài 154 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và đỉnh A ' cách đều các đỉnh A, B,C Cạnh bên AA ' tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho Bài 155 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Biết cạnh bên bằng a và nó hợp với mặt phẳng chứa đáy ABC một góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' đã cho ĐS: V = 3a Bài 156 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của điểm A ' ( ) xuống mp ABC trùng với tâmO của đường tròn ngoại tiếp D ABC và biết rằng đường thẳng AA ' tạo với mặt phẳng chưa đáy ABC một góc 600 a/ Chứng minh rằng: BB 'C 'C là hình chữ nhật b/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' đã cho ĐS: V = a ( ) ( ) Bài 157 Cho hình hộp ABCD.A 'B 'C ' D ' có đáy là hình chữ nhật với AB = cm , AD = cm Hai ( ) ( ) mặt bên ABB 'A ' và ADD 'A ' lần lượt tạo với mặt phẳng chứa đáy ABCD những góc 450 và 600 ( ) Tính thể tích của khối hộp ABCD.A 'B 'C 'D ' nếu biết cạnh bên bằng cm ( ) ĐS: V = cm Bài 158 Cho hình lăng trụ ABCD.A 'B 'C 'D ' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh bên bằng 8cm , hợp với mặt phẳng chứa đáy ABCD một góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A 'B 'C 'D ' ( ) ĐS: V = 336 cm · Bài 159 Cho hình hộp ABCD.A 'B 'C 'D ' có AB = a, AD = b, AA ' = c, BAD = 300 và cạnh bên hợp với đáy ABCD một góc 600 Tính thể tích khối hộp ABCD.A 'B 'C 'D ' Bài 160 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và đỉnh A ' cách đều các đỉnh A, B,C Biết rằng AA ' = 2a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' 3 ĐS: V = a Bài 161 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và đỉnh A ' có hình chiếu ( ) ( ) mp ABC nằm đường cao AH của D ABC Biết mặt bên BB 'C 'C hợp với mặt phẳng chứa đáy ABC một góc 600 a/ Chứng minh rằng: BB 'C 'C là hình chữ nhật b/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' ĐS: V = 3a Bài 162 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều với tâmO Canh bênCC ' = a và hợp với mặt phẳng chứa đáy ABC một góc 600 Hình chiếu của điểmC ' lên mp( ABC ) trùng vớiO a/ Chứng minh rằng: AA 'B 'B là hình chữ nhật Tính diện tích hình chữ nhật này b/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' này Chương I – Khối đa diện 44 Page Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học ĐS: S = a ;V = Ths Lê Văn Đoàn 3a3 Bài 163 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và chân đường vuông góc ( ) hạ từ đỉnh A ' lên mp ABC trùng với trung điểm BC của D ABC và biết AA ' = a a/ Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy của lăng trụ b/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B 'C ' ĐS: a/ 300; b/V = a Bài 164 Cho lăng trụ xiên ABC A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều Hình chiếu của điểmC ' mp( ABC ) trùng với tâmO của D ABC Biết rằng khoảng cách từ điểmO đền đường thẳngCC ' bằng a ( ) ( ) Hai mặt bên AA 'C 'C và BB 'C 'C hợp với một góc 900 Tính thể tích khối trụ ABC A 'B 'C ' đã cho ĐS: V = 27a3 Bài 165 Cho hình hộp ABCD.A 'B 'C 'D ' có mặt là hình thoi cạnh a Hình chiếu vuông góc của A ' mp( ABCD ) là điểm H nằm hình thoi và các cạnh xuất phát từ điểm A của hình hộp đôi một tạo với một góc 600 a/ Chứng minh rằng: điểm H nằm đường chéo AC của ABCD b/ Tính diện tích các mặt chéo ACC 'A ' và BDD 'B ' c/ Tính thể tích của khối hộp a ĐS: a/ S = a2 2, SBDD 'B ' = a2; b/ V = ACC 'A ' 2 µ = 600 Chân Bài 166 Cho hình hộp ABCD.A 'B 'C 'D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh cạnh a và góc nhọn A đường vuông góc hạ từ điểm B ' xuống ABCD trùng với giao điểm của hai đường chéo đáy Cho BB ' = a a/ Tính góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy của hình hộp b/ Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp ĐS: a/ 600;b/ V = ( ) 3a3 , S = a2 15 Bài 167 ÐH - B 2010 ( ) ( ) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A ' B 'C ' có AB = a , góc giữa mp A 'BC và ABC bằng 600 GọiG là trọng tâm A 'BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnGABC theo a ĐS: V = 3a , R = 7a Chương I – Khối đa diện 12 Page 45 Ths Lê Văn Đoàn Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I ( ) Bài 168 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA ^ mp ABCD Góc giữa SC và mặt phẳng chứa đáy bằng 600 và M là trung điểm của cạnh SB a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD b/ Tính thể tích khối chóp M BCD 8a3 2a3 ĐS: a/ V = ; b / V = V = S ABCD M BCD S ABCD Bài 169 Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a,CA = 7a Các mặt bên ( SAB ) , ( SBC ) và ( SCA) tạo với mp( ABC ) một góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS: VS ABC = 3a3 Bài 170 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C ' D ' có AB = a 3, AD = a, AA ' = a,O là giao điểm của AC và BD a/ Tính thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C 'D ' và khối chópOA 'B 'C 'D ' b/ Tính thể tích khốiOBB 'C ' c/ Tính độ dài đường cao đỉnhC ' của tứ diệnOBB 'C ' a3 a3 ĐS: a/ V = a3 3,V = V = ; b / V = ; c/ C 'H = 2a OA 'B 'C 'D ' O BB 'C ' 3 12 Bài 171 Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ' có cạnh bằng a Tính thể tích khối tứ diện ACB 'D ' a Bài 172 Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a Gọi E là trung điểm cạnh AC , mặt phẳng ( A 'B 'E ) cắt BC tại F Tính thể tích khối tứ diện A 'B 'BC và khốiCA 'B 'FE ĐS: V = a ĐS: V = A ' B ' BC a3 ; VCA 'B 'FE = 12 16 · Bài 173 Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đay lớn AB = 2cm, ACB = 900 Hai D SAC và D SBD là các tam giác đều có cạnh bằng 3( cm) Tính thể tích khối chóp S.ABCD ĐS: V = ( cm) ( Bài 174 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a và mp SAB ) vuông góc mặt phẳng đáy Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN ĐS: V = a 3 Bài 175 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,mặt bên SAD là tam giác đều và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC ,CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP ĐS: V = a 96 Bài 176 Chho hình chóp S.ABC có đáy là D ABC vuông tại B , cạnh bên SA ^ mp( ABC ) Biết rằng: SA = AB = BC = a a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC Chương I – Khối đa diện 46 Page ... tính toán diện tích, ta có thể chia đa gia? ?c thành những hình đơn giản dễ tính diện tích, sau đó c? ?̣ng ca? ?c diện tích đươ? ?c chia này, ta đươ? ?c diện tích đa gia? ?c Chương I. .. tích  Tính diện tích bằng c? ?ng thư? ?c + Tính ca? ?c yếu tố c? ?̀n thiết: độ da? ?i cạnh, diện tích đáy, chiều cao,… + Sử dụng c? ?ng thư? ?c tính thể tích  Tính thể tích bằng cách... bằng tỉ bình phương đồng da? ?ng) 4/ Diện tích của đa gia? ?c B a/ Diện tích tam gia? ?c vng  Diện tích tam gia? ?c vng bằng ½ tích cạnh go? ?c vuông C A b/ Diện tích tam gia? ?c đều  Diện