thành nhân tử vì thế ta cần lựa chọn đa thức nào “dễ” phân tích hơn để làm trước và dựa trên cơ sở đó ta phân tích đa thức còn lại (hãy chú ý đến thứ tự phân.. tích này ở phần in chữ nh[r]
PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP §3 RÚT GỌN BIỂU THỨC A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT Cách biến đổi phân thức thành phân thức đơn giản phân thức cho gọi rút gọn phân thức Muốn rút gọn phân thức ta làm sau: - Phân tích tử mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung - Chia tử mẫu cho nhân tử chung (nếu có) B BÀI TẬP MẪU: - Bài 1: Rút gọn phân thức: a 21x ( y + 1) 24 x (1 + y ) 3 b −3 x + y x− y c x2 − x + x − x + 15 d 2x2 + 5x + 2 x3 + x + 12 x + e x3 + x − x − x3 − 3x + f 3x − xy + y 2 x + xy − y Hướng dẫn giải: a 21x ( y + 1) 24 x (1 + y ) 3 = ( y + 1) 8x b Ta có: −3x + y = −3 ( x − y ) Ta trình bày lời giải sau: −3x + y −3 ( x − y ) = = −3 x− y x− y c Ta có: x − x + = ( x − ) ; x − x + 15 = x − 3x − x + 15 = x ( x − 3) − ( x − 3) = ( x − 3)( x − 5) ( x − 3) ( x − 3) x2 − x + = = x − x + 15 x − x − x + 15 x ( x − 3) − ( x − 3) 2 ( x − 3) x−3 = = ( x − 3)( x − 5) x − Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 82 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP d x + x + = x + x + x + = x ( x + ) + ( x + ) = ( x + )( x + 1) ; x + x + 12 x + = x + x + x + 10 x + x + ( = x2 ( x + 2) + 5x ( x + 2) + ( x + 2) = ( x + 2) x2 + 5x + 2 x2 + 5x + 2x2 + 5x + = x + x + 12 x + x + x + x + 10 x + x + 2x2 + 5x + 2 x + 5x + = = = x+2 2x ( x + 2) + 5x ( x + 2) + ( x + 2) ( x + 2) 2x + 5x + ( ) e Ta có: x − x + = x − x − x + ( ) = x x − − ( x − 1) = x ( x + 1)( x − 1) − ( x − 1) ( ) ( = ( x − 1) x ( x + 1) − 2 = ( x − 1) x + x − = ( x − 1) x − x + x − ) = ( x − 1) x ( x − 1) + ( x − 1) = ( x − 1) ( x + ) ; x3 + x − x − = x3 + x − x − = x ( x + ) − ( x + ) ( ) = ( x + ) x − = ( x + )( x + 1)( x − 1) ( ) ( x + 2) x2 − x3 + x − x − x ( x + ) − ( x + ) = = x3 − 3x + x3 − x − x + x x − − ( x − 1) ( ) ( x + )( x + 1)( x − 1) = ( x + )( x + 1)( x − 1) = ( x + )( x + 1)( x − 1) x ( x + 1)( x − 1) − ( x − 1) ( x − 1) x ( x + 1) − ( x + 1) ( x + x − ) ( x + )( x + 1)( x − 1) = ( x + )( x + 1)( x − 1) = ( x + )( x + 1)( x − 1) = ( x + 1) ( x − x + x − ) ( x − 1) x ( x − 1) + ( x − 1) ( x − 1) ( x + ) = = x +1 x −1 f Ta có: 3x − xy + y = 3x − 3xy − xy + y = x ( x − y ) − y ( x − y ) = ( x − y )( 3x − y ) x + xy − y = x − xy + xy − y = x ( x − y ) + y ( x − y ) = ( x − y )( x + y ) 3x − xy + y 3x − 3xy − xy + y 3x ( x − y ) − y ( x − y ) = = x + xy − y 2 x − xy + xy − y 2 x ( x − y ) + y ( x − y ) = ( x − y )( 3x − y ) = 3x − y ( x − y )( x + y ) x + y Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 83 ) PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP Nhận xét: Khi làm dạng tập ta thường phân tích đa thức tử mẫu thành nhân tử ta cần lựa chọn đa thức “dễ” phân tích để làm trước dựa sở ta phân tích đa thức cịn lại (hãy ý đến thứ tự phân tích phần in chữ nhỏ.) Bài 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x: ( + x ) − x2 a ( x + 1) b 5a + x + + 3a 10ax − 15 x − − 6a 4x2 − y c ( y − x )( 3ay + 2ax ) Hướng dẫn giải: Ta thực rút gọn biểu thức để thu biểu thức không chứa biến x + x ) − x2 ( a ( x + 1) ( + x ) − x ( + x ) + x ( + x ) (1 + x ) = = = =2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) Vậy biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x b a ( x + 3) + ( x + 3) ( x + 3)( a + 1) = a + 5a + x + + 3a = = 10ax − 15 x − − 6a 2a ( x + 3) − ( x + 3) ( x + 3)( 2a − 3) 2a − Vậy biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x ( 2x ) − (3 y ) ( x − y )( x + y ) −1 x2 − y c = = = ( y − x )( 3ay + 2ax ) ( y − x ) a ( y + x ) −a ( x − y )( x + y ) a 2 Vậy biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x Bài 3: Chứng tỏ phân thức sau rút gọn a x2 − 2x + ( x + 1) b 3x − x + x2 + x − Hướng dẫn giải: Ta cần phân tích tử mẫu thành nhân tử để thấy chúng khơng có nhân tử chung a Ta có: x − x + = ( x − 1) Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 84 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP Ta thấy tử mẫu phân thức khơng có nhân tử chung Vậy phân thức rút gọn b Ta có: x − x + = x − x − x + = 3x ( x − 1) − ( x − 1) = ( x − 1)( 3x − 1) ; x + x − = x − x + 3x − = x ( x − ) + ( x − ) = ( x − )( x + 3) Ta thấy tử mẫu phân thức khơng có nhân tử chung Vậy phân thức khơng thể rút gọn Bài 4: Tính giá trị biểu thức : x3 + x − x − a x2 + 8x + ( x − 2) ( x + x2 ) b ( x + 1) ( x − x3 ) x=2 x = Hướng dẫn giải: a Ta có: ( ) ( x + 1) x − x + x − x − x ( x + 1) − ( x + 1) = = x + 8x + x + x + 7x + x ( x + 1) + ( x + 1) ( x + 1) ( x − 1) x − = = với x=2, biểu thức có giá trị ( x + 1)( x + ) x + b Ta có: ( x − ) ( x + x ) ( x − )2 x (1 + x ) x − ) x (1 + x ) ( x − 2) ( = = =− x+2 ( x + 1) ( x − x ) ( x + 1) x ( − x ) − x ( x + 1)( x + )( x − ) với x= , biểu thức có giá trị Nhận xét: Thông thường,với toán giá trị biểu thức, trước hết ta rút gọn để biểu thức đơn giản thay chữ số cho A BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Rút gọn phân thức sau: Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 85 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP a x2 + 5x x + 10 b x3 + 3x − c x + 3x + e 2x2 − 9x + −2 x − x + 28 x − x − 10 x − d x − x + x − 20 x − 3xy + y x + xy − y f x 30 + x 28 + x 26 + + x + x + x 28 + x 24 + x 20 + + x + x + Bài 2: Rút gọn phân thức sau: 25 − 10 x + x a xy − y x + 3x − y − y b x2 − y2 y4 −1 c y + y + y +1 x − 10 x + d x + x + 22 x + 24 x + xy − x + z − y e 2 x + z − y + xz x + y + z − 3xyz f 2 x + y + z − xy − yz − zx Bài 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x: a ax-2x+4-a 2− x+a (x c (x 2 b ) − a ) (1 − a ) + a x y + xy − y + x y − xy + y + 3x + a (1 + a ) + a x + 2 +1 Bài 4: Chứng tỏ phân thức sau rút gọn a x2 + 5x + 2x2 − x + b x + 16 x + 16 x − x − 21 c x + xy + y 2 x − xy + y d x + y − z + xy x − x y + 3xy − y + z Bài 5: Tính giá trị biểu thức: x2 + 6x + a x=103 x + x − x − 27 x + x + 12 b x=-2 x + x − 12 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 86 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP c x + x2 − x −1 x2 + 8x + x=2 d x4 − x2 + 2x + x=-5 x + x3 + x + x3 − x − x + e x=3 x − x − x3 + x + x − f x − xy − y x=2; y=-3 x − xy + y Bài 6: Rút gọn phân thức sau: x5 + x4 + x8 + x + a c b (x (x ) 2 ( ) + x + x + x − 12 )( ) + x + x + x + − 12 bc ( b + c ) + ac ( c − a ) − ab ( a + b ) a ( b + c ) + b ( c + a ) + c ( a + b ) − 4abc 2 Hướng dẫn giải: Bài 1: a x + x = x ( x + 5) x + 10 = ( x + ) b x − x + = ( x − 1)( x − ) ; c x + x − = ( x + 1) x + x − ; d x − x + x − 20 = ( x − ) x + ; x − x ; ( −2 x − x + 28 = − ( x − )( x + ) ) ( ( ) − 10 x − = ( x − ) ( x + x + ) x + x + = ( x + 1) x − x + ) Chú ý: Trong d, phân tích đa thức thứ hai thành nhân tử mà xuất nhân tử chung (x-4) ta khơng cần phân tích tiếp đa thức thứ nhân tử ( x + ) khơng phân tích e x − 3xy + y = ( x − y )( x − y ) ; f x 30 + x 28 + x 26 + + x + x + ( ) ( = x ( x + x + + x + 1) + ( x = ( x + x + + x + 1)( x + 1) x + xy − y = ( x + y )( x − y ) ) = x 30 + x 26 + + x + x + x 28 + x 24 + + x + 28 28 24 24 4 28 ) + x 24 + + x + Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 87 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP Khai thác thêm: - Ta thay đổi vị trí tử mẫu, tức rút gọn phân thức: x 28 + x 24 + x 20 + + x8 + x + x 30 + x 28 + x 26 + + x + x + -Hoặc rút gọn phân thức: x 30 − x 28 + x 26 − x 24 + + x − x + x − phân thức x 28 + x 24 + x 20 + + x8 + x + tạo việc thay đổi vị trí -Bài tốn tổng qt: Rút gọn phân thức: x kn +l ± x kn + x x kn + x k ( n −1) + l k ( n −1) ±x +x k ( n −1) k ( n −2) + + x k +l ± x k + xl ± + + x k + x k + (l