KHOẢNG CÁCH Cho tứ diện ABCD cạnh a, hai điểm M, N chạy cạnh AB CD cho BM = DN a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD b Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ độ dài đoạn thẳng MN theo a Cho tứ diện ABCD có AB = CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a a Tính góc hai đường thẳng AB, CD b Chứng minh trọng tâm tứ diện ABCD cách tất mặt tứ diện Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Mặt bên SAB tam giác đều, góc mp(SCD) mặt đáy 60o Hình chiếu S lên mặt phẳng đáy H nằm hình vng ABCD Gọi M trung điểm AB Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SM AC Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D , AB = 2CD ; SA = SC = a ; SD = a Mặt bên ( SAD ) vng góc với mặt đáy ( ABCD ) Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng AC SB Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với cạnh AB=2a, AD=a Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm H AB, SC tạo với đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SCD) uuuCho r hình uuuu r chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a Hình chiếu S đáy M thoả mãn AD = 3MD Trên cạnh CD lấy I N thoả mãn ∠ABM = ∠MBI MN vng góc với BI Góc SC với đáy 600 Tính thể tích SABCD khoảng cách từ N đến (SBC) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng A, AB=a, BC=2a Hình chiếu vng góc A’ mp(ABC) trùng với trung điểm H AC, góc hai mặt phẳng (BCC’B’) (ABC) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách hai đường thẳng AA’ BC theo a Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B ; AB = BC = a; AD = 2a ; SA ⊥ ( ABCD ) Góc mặt phẳng ( SCD) ( ABCD ) 450 , M trung điểm AD Tính thể tích khối chóp S MCD khoảng cách hai đường thẳng SM, BD Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng với AB = 2a Tam giác SAB vuông S, mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết góc tạo đường thẳng SD mặt phẳng (SBC) ϕ với sin ϕ = mặt phẳng (SBD) theo a Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ C đến 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm H cạnh AB Góc mặt phẳng (SCD) mặt phẳng (ABCD) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SA BD 11.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, biết AB = 2a, AD = a Trên cạnh a AB lấy điểm M cho AM = , gọi H giao điểm AC DM Biết SH vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) SH = a Tính thể tích khối chóp S HCD khoảng cách hai đường thẳng SD AC theo a HƯỚNG DẪN GIẢI Cho tứ diện ABCD cạnh a, hai điểm M, N chạy cạnh AB CD cho BM = DN a) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ độ dài đoạn thẳng MN theo a Hướng dẫn A Gọi I, K trung điểm AB CD tam giác ABC ABD tam giác cạnh a nên IC = ID I M B Do tam giác ICD cân suy IK ⊥ CD Tương tự IK ⊥ AB C N K D a Suy IK = d ( AB; CD ) , ta tính IK = BM DN = x , với ≤ x ≤ ⇒ = x +) Đặt BA DC Khi ta có: BM = x.BA DN = x.DC +) Ta có: DN = x.DC ⇔ BN − BD = x ( BC − BD) ⇔ BN = x.BC + (1 − x).BD Do đó: MN = BN − BM = x.BC + (1 − x).BD − x.BA +) MN2 = x a + (1 − x) a + x a + x(1 − x) a2 a2 a2 − x − x(1 − x) 2 [ ] = a2 x + (1 − x) + x + x(1 − x) − x − x (1 − x ) = (2x2 – 2x + 1)a2 +) Xét hàm số f(x) = 2x2 – 2x + đoạn [ 0;1] ta có: 1 max f ( x) = f (0) = f (1) = 1, f ( x ) = f ( ) = 2 a M, N trung điểm AB,CD +) MN đạt giá trị lớn a M ≡ B, N ≡ D M ≡ A, N ≡ C Cho tứ diện ABCD có AB = CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a a Tính góc hai đường thẳng AB, CD b Chứng minh trọng tâm tứ diện ABCD cách tất mặt tứ diện Hướng dẫn +) MN đạt giá trị nhỏ Ta có uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur AB.CD = AB ( AD − AC ) = AB AD − AB AC AB + AD − BD AB + AC − BC = − = a − b2 2 uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur a − b Lại có, AB.CD = AB.CD cos AB, CD ⇒ cos AB, CD = c2 ( ) Gọi α góc hai đường thẳng AB, CD ta có: ( ) uuu r uuur a2 − b2 a − b2 cosα = cos AB, CD = ⇒ α = arccos c2 c2 ( ) A I B D G C Gọi I, G trọng tâm tứ diện ABCD tam giác BCD Ta có IG = 1 AG ⇒ VIBCD = VABCD 4 Tương tự, VIABC = VIABD = VIACD = VABCD Vậy, VIABC = VIABD = VIACD = VIBCD Mặt khác, ∆ABC = ∆BAD = ∆CDA = ∆DCB (c − c − c ) Do đó, d ( I,(ABC) ) = d ( I,(ABD) ) = d ( I,(ACD) ) = d ( I,(BCD) ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Mặt bên SAB tam giác đều, góc mp(SCD) mặt đáy 60o Hình chiếu S lên mặt phẳng đáy H nằm hình vng ABCD Gọi M trung điểm AB Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SM AC · Gọi N trung điểm CD ⇒AB ⊥ (SMN) hay CD ⊥ (SMN) ⇒ SNM = 60o ⇒ SM = MN + SN − 2.MN SN cos 60o ⇒ 3a = 4a + SN − 2a.SN ⇔ SN = a ⇒∆SMN vuông S SH= a 2a 3 ⇒ VS ABCD = S E G D H O A M C N K B Gọi O tâm hình vng ABCD, E trung điểm SN ⇒ SM // (EAC) ⇒d(SM,AC) = d(M,(EAC)) = 2d(H,(EAC)) Gọi K hình chiếu H lên AC ⇒AC ⊥ (GHK) Gọi I hình chiếu H lên GK ⇒HI ⊥ (EAC) ⇒ d(H,(EAC)) = HI a a a a SH = ⇒ HI = ⇒ d(SM, AC) = 2 5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D , AB = 2CD ; SA = SC = a ; SD = a Mặt bên ( SAD ) vng góc với mặt đáy ( ABCD ) Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng AC SB Hướng dẫn Ta có: HK = OH.sin45o = , GH = Từ giả thiết cho ta suy SD⊥(ABCD), tính AD = CD = a AB = 2a a3 VS ABCD = SD AD ( AB + CD ) = Gọi điểm E,F hình vẽ Chứng minh (BCF) ⊥ (SBE) theo giao tuyến BF Kẻ CH ⊥ BF chứng minh d ( AC , SB ) = d( AC ,( SBE ) ) = d( C ,( SBE ) ) = CH Tính CB = a 2; CF = 2a 2a 26 ; Suy CH = 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với cạnh AB=2a, AD=a Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm H AB, SC tạo với đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SCD) Hướng dẫn Ta có HC hình chiếu vng góc SC lên mặt phẳng (ABCD) suy (SC;(ABCD))=(SC;AC)=¼ SCH =45 S HC=a suy SH=a P A D H M B C VSABCD = SH SABCD 2a3 = SH AB.AD = 3 Gọi M trung điểm CD, P hình chiếu H lên SM HM ⊥ CD; CD ⊥ SH suy CD ⊥ HP mà HP ⊥ SM suy HP ⊥ (SCD) Lại có AB//CD suy AB// (SCD) suy d(A;(SCD))=d(H;(SCD))=HP Ta có = + a a suy HP= d(A;(SCD))= HP HM HS2 3 uuuCho r hình uuuu r chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a Hình chiếu S đáy M thoả mãn AD = 3MD Trên cạnh CD lấy I N thoả mãn ∠ABM = ∠MBI MN vng góc với BI Góc SC với đáy 600 Tính thể tích SABCD khoảng cách từ N đến (SBC) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng A, AB=a, BC=2a Hình chiếu vng góc A’ mp(ABC) trùng với trung điểm H AC, góc hai mặt phẳng (BCC’B’) (ABC) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách hai đường thẳng AA’ BC theo a Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B ; AB = BC = a; AD = 2a ; SA ⊥ ( ABCD ) Góc mặt phẳng ( SCD) ( ABCD ) 450 , M trung điểm AD Tính thể tích khối chóp S MCD khoảng cách hai đường thẳng SM, BD Hướng dẫn Vì SA ⊥ ( ABCD) ⇒ SA đường cao hình chóp SA ⊥ CD Mặt khác AC = CD = a 2, AD = 2a ⇒ ∆ACD vuông cân C ⇒ CD ⊥ AC ·SCD), ( ABCD)) = SCA · ⇒ (( = 450 ⇒ SA = AC = a 2; S MCD = 2, a VS MCD = SA.S MCD 3 a3 2 Gọi N trung điểm AB ⇒ BD //( SMN ) Suy d ( SM , BD ) = d ( BD,( SMN )) = d ( D,( SMN )) = d ( A,( SMN )) Suy VS MCD = a a = Kẻ AP ⊥ MN ( P ∈ MN ) , AH ⊥ SP ( H ∈ SP ) AH ⊥ ( SMN ) ⇒ d ( A,( SMN )) = AH Tam giác vng SAP có 1 = + 2 AH AS AP 1 1 1 11 = + + = 2+ + = 2 2 a AS AN AM 2a a 2a a 22 a 22 Suy AH = ⇒ d ( SM , BD) = 11 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông với AB = 2a Tam giác SAB vuông S, mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết góc tạo đường thẳng SD mặt phẳng (SBC) ϕ với sin ϕ = mặt phẳng (SBD) theo a Hướng dẫn Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ C đến BC ⊥ AB; (SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SA Mà SA ⊥ SB ⇒ SA ⊥ (SBC) Gọi d khoảng cách từ D đến (SBC) SD ⇒ d = SD.sin ϕ = Mặt khác : AD //(SBC) ⇒ d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)) SD ⇒ d = SA ⇒ SA = Do AD//BC ⇒ AD ⊥ SA Xét tam giác SAD vng A có AD = 2a SA + AD = SD ⇒ AD = 8SA ⇒ SA = a a 14 ⇒ SB = 2 Kẻ SH ⊥ AB H ⇒ SH ⊥ (ABCD) AB.SH = SA.SB ⇒ SH = a a3 3 3VSCBD a3 Ta có VSBCD = VS.ABCD = Mà d(C;(SBD)) = (1) dt(SBD) a 14 3a Tam giác SBD có: SB = , SD = 3SA = , BD = 2a ⇒ BD = SB2 + SD ⇒ 2 3a tam giác SBD vuông S dt(SBD) = SB.SD = 2a Thay vào (1) có d(C;(SBD)) = 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm H cạnh AB Góc mặt phẳng (SCD) mặt phẳng (ABCD) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SA BD Hướng dẫn Vậy VS.ABCD = SH.dt(ABCD) = S N M F B D A H E C Hình vng ABCD có diện tích 4a2 Gọi E trung điểm CD ⇒ HE // AD ⇒ HE ⊥ CD Mà CD ⊥ SH Vậy CD ⊥ ( SHE ) ⇒ CD ⊥ SE · Nên góc (SCD) (ABCD) SEH = 600 ∆SHE vng H có SH = HE tan 600 = 3.a 3a Thể tích khối chóp S.ABCD V = 3.a.4a = 3 Vẽ AF//BD, F ∈ BC ⇒ BD / /( SAF ) ⇒ d ( SA, BD) = d ( BD,( SAF )) = d ( B,( SAF )) Vì BA = 2HA ⇒ d ( B,( SAF )) = 2d ( H ,( SAF )) a Vẽ HM ⊥ AF , M ∈ AF ⇒ HM = AH sin 45 = AF ⊥ ( SHM ) Vẽ HN ⊥ SM , N ∈ SM ⇒ HN ⊥ ( SAF ) SH HM 3a = Do d ( SA, BD ) = HN = SH + HM 11.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, biết AB = 2a, AD = a Trên cạnh a AB lấy điểm M cho AM = , gọi H giao điểm AC DM Biết SH vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) SH = a Tính thể tích khối chóp S HCD khoảng cách hai đường thẳng SD AC theo a Hướng dẫn 1 2 · · · Mà ADH + HDC = 90 ⇒ DHC = 900 Do ∆ADC vuông D ⇒ AC = a DC.DA 2a = Mà DH AC = DA.DC ⇒ DH = AC 4a Mặt khác ∆DHC vuông H: ⇒ HC = Ta có : tan ·ADM = ; tan ·ACD = ⇒ ·ADM = ·ACD Mà S HDC = DH HC = 4a 4a ⇒ VS HCD = SH S HDC = (đvtt) 15 Gọi E hình chiếu vng góc H SD (1) Ta có SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ AC Mà DH ⊥ AC ⇒ AC ⊥ ( SDH ) Do HE ⊂ ( SHD ) ⇒ HE ⊥ AC (2) Từ (1) (2) suy HE đoạn vng góc chung SD AC nên d ( SD; AC ) = HE Mà tam giác SHD vuông H nên: Vậy d ( SD; AC ) = HE = 2a 1 2a = + ⇒ HE = 2 HE SH DH ... Hướng dẫn Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ C đến BC ⊥ AB; (SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SA Mà SA ⊥ SB ⇒ SA ⊥ (SBC) Gọi d khoảng cách từ D đến (SBC) SD ⇒ d = SD.sin ϕ = Mặt... chiếu S lên mặt phẳng đáy H nằm hình vng ABCD Gọi M trung điểm AB Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SM AC · Gọi N trung điểm CD ⇒AB ⊥ (SMN) hay CD ⊥ (SMN) ⇒ SNM = 60o ⇒ SM... = a ; SD = a Mặt bên ( SAD ) vng góc với mặt đáy ( ABCD ) Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng AC SB Hướng dẫn Ta có: HK = OH.sin45o = , GH = Từ giả thiết cho ta suy