KHOẢNG CÁCH và góc

KHOẢNG CÁCH A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng + Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng a d(M, ∆) = MH, , H hình chiếu M ∆ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng + Khoảng cách từ điểm đến đến mặt phẳng (α) d(O, (α)) = OH , H hình chiếu O (α) Cách Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H O (α) tính OH - Dựng mặt phẳng (P) chứa O vng góc với (α) - Tìm giao tuyến ∆ (P) (α) - Kẻ OH ⊥ ∆ ( H ∈ ∆ ) Khi d(O, (α)) = OH Cách Sử dụng công thức thể tích 3V V = S.h ⇔ h = S Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh hình Thể tích khối chóp chóp đến mặt đáy, ta tính V S Cách Sử dụng phép trượt đỉnh Kết Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) M, N ∈ ∆ d(M;(α)) = d(N;(α)) Kết Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α) điểm I M, N ∈ ∆ (M, N khơng trùng với I) d(M; (α)) MI = d(N; (α)) NI d(M;(α)) = d(N;(α)) Đặc biệt: + M trung điểm NI + I trung điểm MN d(M;(α)) = d(N;(α)) Cách Sử dụng tính chất tứ diện vng Cơ sở phương pháp tính chất sau: Giả sử OABC tứ diện vuông O ( OA ⊥ OB, OB ⊥ OC, OC ⊥ OA ) H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) 1 1 = + + 2 OH OA OB OC Cách Sử dụng phương pháp tọa độ Cơ sở phương pháp ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau sử dụng cơng thức sau: Ax + By0 + Cz + D d(M; (α)) = A + B2 + C + với M(x ; y ; z ) , (α) : Ax + By + Cz + D = uuuu r r MA ∧ u d(M, ∆) = r r u + với ∆ đường thẳng qua A có vectơ phương u r uu r uuuur u ∧ u '.AA ' d( ∆, ∆ ') = r uu r uu r u∧u' + với ∆ ' đường thẳng qua A ' có vtcp u ' Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song với + d(∆, (α)) = d(M, (α)), M điểm nằm ∆ + Việc tính khoảng cách từ đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α) quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song + d((α), (β) ) = d(M, (β) ), M điểm nằm (α) + Việc tính khoảng cách hai mặt phẳng song song quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai đường thẳng chéo + Đường thẳng ∆ cắt a, b vng góc với a, b gọi đường vng góc chung a, b + Nếu ∆ cắt a, b I, J IJ gọi đoạn vng góc chung a, b + Độ dài đoạn IJ gọi khoảng cách a, b + Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với + Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng * Đặc biệt + Nếu a ⊥ b ta tìm mặt phẳng (P) chứa a vng góc với b, ta tìm giao điểm I (P) với b Trong mp(P), hạ đường cao IH Khi d(a, b) = IH + Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC đoạn thẳng nối hai trung điểm AB CD đoạn vng góc chung AB CD B – BÀI TẬP I – KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG AB = a, AD = 2a Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, ( SBD ) góc với đáy Khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng là: a 2a a 3 A B C Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức đường cao tứ diện vuông SABD d ( A; ( SBD ) ) = AH vng A, ta có với 1 1 2a = + + ⇒ AH = 2 2 AH AS AB AD ; cạnh bên SA = a vuông D a Chọn đáp án B Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vuông góc v ới đáy Bi ết a3 hình chóp S.ABC tích Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) 6a 195 4a 195 4a 195 8a 195 d= d= d= d= 65 195 65 195 A B C D Hướng dẫn giải: Gọi điểm hình vẽ BC ⊥ AK ⇒ AK = d ( A, ( SBC ) ) AI ⊥ BC , SA ⊥ BC Ta có V = a , S ∆ABC = Ta có: a suy ⇒ SA = 4a AI = Mà 1 = + 2 AK AS AI Trong tam giác vng SAI ta có AS AI a 195 d = AK = = 2 AS + AI 65 a Vậy Chọn đáp án C AB = a SA ⊥ ( ABC ) Câu 3: Khối chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân B Góc cạnh bên SB mặt phẳng (ABC) 600 Khi khoảng cách từ A đến (SBC) là: a a a 3a A B C D Hướng dẫn giải: a d ( A, ( SBC ) ) = AH = = 1 + 2 a a ( ) Chọn đáp án D 2a ·ABC = 1200 3a Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân, AB = BC = , , SA = SA d vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) a 3a a 3a d= d= d= d= 4 A B C D Hướng dẫn giải: 1 S ∆ = AB.BC.sin1200 = a VS ABC = SA.S ∆ABC = a 3 + ; + Mặt khác, SB = SA2 + AB = a 13 AC = AB + BC − AB.BC.cos1200 = 12a ⇒ CS = SA2 + AC = a 21 + Áp dụng cơng thức hê-rơng ta có S∆SBC = ( SB + BC + CS ) ( −SB + BC + CS ) ( SB − BC + CS ) ( SB + BC − CS ) = 2a (Chú ý: Nhập vào máy tính biểu thức ấn = ta có kết 13 + + 21 − 13 + + 21 13 − + 21 13 + − 21 = ( )( )( + Vậy, khoảng cách từ Chọn đáp án D A )( d= ( SBC ) đến mặt phẳng ) ) 3.VS ABC 3a 3a = = S ∆SBC 2a BC = 9m, AB = 10m, AC = 17m Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vng góc với mặt đá; Biết thể tích khối chóp S.ABC 73m3 Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) 21 24 d= d= d= d= 4 A B C D Hướng dẫn giải: Áp dụng cơng thức He-rong ta tính diện tích tam giác ABC AB + BC + CA p= p ( p − AB ) ( p − AC ) ( p − BC ) = 36 với V = SA.S ABC → SA = AH ⊥ BC , AI ⊥ SH Kẻ Đặt ta có BH = x d A,( SBC ) = AI AB − BH = AC − CH = AH ta có → 102 − x = 17 − ( − x ) → x = −6 suy thay liệu tốn cho vào ta tính AH = 1 25 24 = 2+ = → AI = 2 AI SA AH 576 Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có Chọn đáp án D ABCD có đáy hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết 6a khoảng cách từ A đến (SBD) Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng: Câu 6: Cho hình chóp S ABCD 6a 3a 3a 14 A B C Hướng dẫn giải: Với toán ta thấy A C đối xứng qua tâm O Ta nhớ đến hệ sau: MN ∩ ( P ) = I Cho mặt phẳng (P) đoạn thẳng MN Với d ( M ; ( P ) ) IM = d ( N;( P) ) IN D 8a AC ∩ ( SBD ) = O Khi áp dụng vào tốn ta thấy áp dụng hệ ta : 6a ⇒ d ( C ; ( SBD ) ) = d ( A; ( SBD ) ) d ( C ; ( SBD ) ) = OA =1 OC Chọn đáp án A Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 3a Khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD) là: a a a 2 12 A B C a SA vng góc với đáy SC = D Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu A lên SD SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ CD , CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ ( SAD ) ⊥ ( SCD ) mà ( SAD ) ∩ ( SCD ) = SD AH ⊥ ( SCD ) nên , d ( A, ( SCD ) ) = AH a Hình vng ABCD cạnh AC = a = a có đường chéo Tam giác SAC vng A theo định lí Pytago ta tính SA = a a Tam giác SAD vng A có AH đường cao nên 1 1 1 a = 2+ hay = + = ⇔ AH = 2 AH SA AD AH 3a 3a 3a Chọn đáp án C A AB = a, AC = a Câu 8: Cho hình chóp có đáy tam giác vuông , Tam giác SBC B nằm mặt phẳng vuông với đáy Tính khoảng cách t đến mặt phẳng ( SAC ) 2a 39 a a 39 V= a 13 13 A B C D S.ABC ABC Hướng dẫn giải: Gọi SH ⊥ BC ⇒ SH ⊥ ( ABC ) BC H trung điểm , suy AC HK ⊥ AC K Gọi trung điểm , suy HE ⊥ SK ( E ∈ SK ) Kẻ d  B, ( SAC )  = 2d  H , ( SAC )  Khi SH HK 2a 39 = HE = = 2 13 SH + HK Chọn đáp án C µ = 600 a D SA Câu 9: Cho hình chóp có đáy hình thoi cạnh , vng góc với a ( ABCD ) S ABCD k A Biết thể tích khối chóp Tính khoảng cách từ đến mặt ( SBC ) phẳng 3a 2a k= k= k=a k =a 5 A B C D Hướng dẫn giải: a2 SY ABCD = Diện tích đáy a3 1 V = B.h = B.SA ⇒ SA = 2 = a 3 a S ABCD BC ⊥ AM   ⇒ BC ⊥ ( SAM ) BC ⊥ SA  BC ⊂ ( SBC ) ( 2) ABCD ( 1) ( 1) , Từ ( ) ⇒ ( SAM ) ⊥ ( SBC ) ( SAM ) I ( SBC ) = SM Kẻ AH ⊥ SM ⇒ AH = d ( A, ( SBC ) ) A vng Ta có 3a 1 1 ⇒ AH = ⇒ AH = k = a = + = + = 2 2 2 5 AH SA AM 3a 3a 3a Chọn đáp án B Xét ∆SAM Câu 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy có tất cạnh a có tâm O gọi M trung điểm OA Tính khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (SCD) a a a d= d= d= d =a 6 A B C D Hướng dẫn giải: OH ⊥ CD ( H ∈ CD ) OK ⊥ SH ( K ∈ SH ) Kẻ , kẻ Ta chứng OK ⊥ ( SCD ) minh MO 3 = ⇒ d( M , ( SCD ) ) = d( O , ( SCD ) ) = OK MC 2 Vì OH OS a OK = = 2 OH + OS Trong tam giác SOH ta có: a d( M ,( SCD ) ) = OK = Vậy Chọn đáp án B Câu 11: Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' AB = a, AD = a có đáy ABCD hình chữ nhật chiếu vng góc điểm A' mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (A'BD) theo a là: a a a a 3 A B C D Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu A' lên mặt phẳng (ABCD) B ' D '/ / BD ⊂ ( A ' BD ) Ta có: ⇒ d ( B ', ( A ' BD ) ) = d ( D ', ( A ' BD ) ) Mặt khác, xét hình chữ nhật A'D'DA D'A cắt A'D trung điểm A'D ⇒ d ( D ', ( A ' BD ) ) = d ( A, ( A ' BD ) ) Gọi G hình chiếu A lên BD A ' H ⊥ AK ⊥ BD ⇒ AK ⊥ ( A ' BD ) ⇒ d ( A, ( A ' BD ) ) = AK 1 a = + ⇒ AK = 2 AK AD AB Tính Chọn đáp án C BD Hình Tính ·ABC = 300 Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, , tam giác SBC tam giác cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách h từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) 2a 39 a 39 a 39 a 39 h= h= h= h= 13 13 26 52 A B C D Hướng dẫn giải: a SH = SH ⊥ BC ∆SBC Trong (SBC), dựng Vì cạnh a nên H trung điểm BC  ( SBC ) ⊥ ( ABC )  ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC  ⇒ SH ⊥ ( ABC ) ( SBC ) ⊃ SH ⊥ BC  Ta có: Vì H trung điểm BC nên d ( C , ( SAB ) ) = d ( H , ( SAB ) ) HI ⊥ AB Trong (ABC), dựng (SHI), dựng HK ⊥ SI AB ⊥ HI   ⇒ AB ⊥ ( SHI ) ⇒ ( SAB ) ⊥ ( SHI ) AB ⊥ SH  Ta có  ( SHI ) ⊥ ( SAB )  ( SHI ) ∩ ( SAB ) = SI  ⇒ HK ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( H , ( SAB ) ) = HK ( SHI ) ⊃ HK ⊥ SI  · sin HBI = HI a a · ⇒ HI = HB.sin HBI = sin 300 = HB Tam giác HBI vuông I nên HK ⊥ SI Tam giác SHI vuông H, nên:  a   a 2  ÷  ÷  4 1 SH HI 3a a 39  = + ⇔ HK = = = ⇒ HK = 2 2 2 HK SH HI SH + HI 26  a   a  52  ÷ + ÷   4 d ( C , ( SAB ) ) = HK = a 39 13 Vậy Chọn đáp án B Câu 13: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chi ếu S lên m ặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD Mặt bên SAB tạo với đáy góc 60 Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD)? d= a d= a 3 d= a d= A B C Hướng dẫn giải: Gọi G trọng tâm tam giác ABD, E hình chiếu G lên AB · AB ⊥ ( SGE ) ⇒ SAG = 600 ⇒ SG = GE.tan 600 Ta có: GE = BC Mà nên tính SG GN ⊥ AD GH ⊥ SN Hạ ⇒ d ( B , ( SAB ) ) = 3d ( G , ( SAB ) ) = 3GH =3 GN GS GN + GS = D a a Chọn đáp án A BD = 2a, ∆SAC Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng vng S nằm SC = a mặt phẳng vng góc với đáy, Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD) là: a 30 2a 21 a 2a A B C D Hướng dẫn giải: BD = AC = 2a, CD = SH = BD = a 2, SA = AC − SC = a SA.SC a.a a = = AC 2a AH = SA2 − SH = a − 3a a = Gọi O tâm hình vng ABCD d ( AB; SC ) = d ( AB;( SCD )) = 2d ( H ;( SCD )) = HK Ta có : SHM ng cân H, nên ta có Mặt khác tam giác 1 a a HK = SM = HM = 2= 2 2 d ( AB; SC ) = HK = Vậy Chọn đáp án A a 2 SD = a 17 Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, hình chiếu vng góc H AB AD S lên mặt (ABCD) trung điểm đoạn Gọi K trung điểm Tính khoảng cách hai đường SD HK theo a? 3a a a 21 3a 5 A B C D Hướng dẫn giải: HJ ⊥ SI HI ⊥ BD S - Dựng - Vì HK // BD ⇒ HK // (SBD) BD ⊥ ( SHI ) HJ ⊥ ( SBD ) - Chứng minh d( HK,SD ) = d( HK , ( SBD ) ) = d ( H , ( SBD ) ) = HJ a 17 Ta có 17a 5a 12a SH = SD − DH = − = =a 4 1 1 25 = + = 2+ = 2 2 HJ SH HI 3a a 3a ⇒ HJ = A J K D B H I B C a Chọn đáp án D Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, mặt bên SAB tam giác đ ều nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABC), gọi M điểm thuộc cạnh SC cho AB = 3, BC = 3 MC = 2MS Biết , tính khoảng cách hai đường thẳng AC BM 21 21 21 21 7 7 A B C D Hướng dẫn giải: Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA N ⇒ AC || MN ⇒ AC || ( BMN ) AC ⊥ AB, AC ⊥ SH ⇒ AC ⊥ ( SAB ) AC || MN ⇒ MN ⊥ ( SAB ) ⇒ MN ⊥ ( SAB ) ⇒ ( BMN ) ⊥ ( SAB ) theo giao tuyến BN Ta có: AC || ( BMN ) ⇒ d ( AC , BM ) = d ( AC , ( BMN ) ) = d ( A, ( BMN ) ) = AK với K hình chiếu A BN NA MC 2 32 3 = = ⇒ S ABN = S SAB = = AN = SA = SA SC 3 (đvdt) 3 2S = 21 BN = AN + AB − AN AB.cos 60 = ⇒ AK = ABN = BN 7 d ( AC , BM ) = Vậy Chọn đáp án A 21 (đvđd) AB = BC = 1, AA ' = Câu 15: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC tam giác vuông, M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM; B'C d= d= d= d= 7 7 A B C D Hướng dẫn giải: ( AME ) / / B ' C Gọi E trung điểm BB' Khi nên ta có: d ( B ,( AME ) ) = d ( B ' C ,( AME ) ) = d ( B ' C ; AM ) d ( B;( AME ) ) = h Ta có: Tứ diện BEAM có cạnh BE, BM, BA đơi vng góc nên tốn quen thuộc 1 1 ⇔ = + + =7⇒h= 2 h BE BA BM Chọn đáp án A Câu 16: Cho lăng trụ tam giác ABC A1 B1C1 có tất cạnh a, góc tạo cạnh bên ( A1B1C1 ) mặt phẳng đáy 30 Hình chiếu H điểm A lên mặt phẳng thuộc đường thẳng B1C1 Khoảng cách hai đường thẳng AA1 BC1 theo a là: 2a 4a a a 3 A B C Hướng dẫn giải: AH ⊥ ( A1 B1C1 ) AA1 H Do nên góc góc AA1 ( A1B1C1 ) theo giả thiết góc AA1H 300 AHA1 Xét tam giác vng có a AA1 = a, AA1 H = 300 ⇒ AH = Xét AHA1 có AA1 = a AA1H = 300 ⇒ A1H = góc A1H = D a a Do A1B1C1 cạnh a, H thuộc B1C1 B1C1 ⊥ ( AA1H ) AH ⊥ B1C1 Suy A1H vng góc B1C1, nên AA1.HK = A1H AH ⇒ HK = HK khoảng cách AA1 B1C1 Ta có Chọn đáp án A A1H AH a = AA1 ABC A ' B ' C ' CA ' Câu 17: Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC tam giác cạnh a Góc ( AA ' B ' B) 30° A' I mặt Gọi d(AI’,AC) khoảng cách AC, kết tính d(AI’,AC) theo a với I trung điểm AB a 210 a 210 2a 210 3a 210 70 35 35 35 A B C D Hướng dẫn giải: Ta có : CI ⊥ AB  ⇒ CI ⊥ ( AA ' B ' B ) CI ⊥ AA ' ( AA ' ⊥ ( ABC )) Trong ( AA ' B ' B) : AB ∩ AA ' = A { }  ( AA ' B ' B) Suy góc CA’ CA’ IA’ góc góc ·CA ' I = 30° A' I = Do IC 3a = · 'I tan CA AA ' = IC = AB a = 2 ; với 9a a A ' I − AI = − =a 4 Suy ra: Ix P AC d ( AC , A ' I ) = d ( AC ,( A ' I , Ix )) = d ( A,( A ' I , Ix )) Kẻ Khi d ( A,( A ' I , Ix) ) = AF AE ⊥ Ix AF ⊥ A ' E Kẻ E F Ta chứng minh được: a a AE = AI sin ·AIE = sin 60° = Ta có: 1 1 16 35 a 210 = + = + = ⇒ AF = 2 AF A' A AE 2a 3a 6a 35 d ( AC , A ' I ) = AF = Vậy: Chọn đáp án B a 210 35 Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A , mặt bên SAB tam giác đ ều nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M điểm thuộc SC cho 3 MC=2MS Biết AB=3, BC= Khoảng cách hai đường thẳng AC BM là: 21 21 21 21 14 28 A B C D Hướng dẫn giải: N => AC / / MN => AC / / ( BMN ) Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA AC ⊥ AB, AC ⊥ SH => AC ⊥ ( SAB ),AC/ / MN => MN ⊥ (SAB) => ( BMN ) ⊥ ( SAB ) theo giao tuyến BN Ta có: AC / /( BMN ) => d ( AC ; BM ) = d ( AC ;( BMN )) = d ( A;( BMN )) = AK BN NA MC 2 32 3 = = => S ABN = S SAB = = SA SC 3 BN = với hình chiếu A AN = (đvdt) 2S AN + AB − AN AB.cos60 = => AK = ABN = BN Vậy d(AC,BM)= Chọn đáp án A 21 2 SA = 3 = 21 7 Câu 19: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh AB=a, góc gi ữa hai mặt ph ẳng (A’BC) (ABC) 60o Tính theo a thể tích tứ diện B’ABC khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AB’C) a3 a a3 3a VB ' ABC = ;d = VB ' ABC = ;d = 8 A B a3 a a3 a VB'ABC = ;d = VB'ABC = ;d = 4 C D Hướng dẫn giải: Theo đề kiện ta dễ dàng tính thể tích khối lăng trụ tam giác ban đầu, từ suy thể tích khối tứ diện AB’BC Để tính khoảng cách từ B đến (AB’C) thực chất tìm chiều cao tứ diện, đến toán giải quý độc giả tìm diện tích tam giác AB’C Vì đề cho kiện ((A’BC), (ABC))=60o, nên ta xác định góc cách gọi H trung điểm BC Tam giác ⊥ ABC nên AH BC (1) ⊥ ⊥ A’A (ABC) ⟹A’A BC (2) ⊥ Từ (1) (2) ⟹BC A’H ⟹((A’BC), (ABC)) = A’HA = 60o 3a ⟹A’A = AH.tan 60o= Khi 3a a 3a 3 VABC A ' B ' C ' = A ' A.S ABC = = a3 VB ' ABC = V = Và lúc ta loại C D Dễ thấy diện tích tam giác AB’C B’AC cân B’ có a 13  3a  B' A = B'C = a +  ÷ = ; AC = a  2 Dễ tính chiều cao kẻ từ B’ tam giác có độ dài 3VBABC 3a a2 ⇒ SACB' = ⇒ d(B; (AB'C)) = = SAB'C a Chọn đáp án B · ACB = 120o Câu 20: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có AC = a, BC= 2a, Đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 300 Gọi M trung điểm BB’ Tính thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AM CC’ theo a a 21 A Hướng dẫn giải: B a C ABC a ⊥ A + Kẻ đường cao CH tam giác Có CH ⊥ ⊥ AB ;CH AA’ suy CH (ABB’A’),Do góc a D a S∆ABC 1200 B M 300 C/ A/ + + Vậy : d(CC’ ;AM)=d(CC’ ;(ABB’A’))=d(C; a A’C 2a mp(ABB’A’) góc a2 S∆ABC = CA.CB.sin1200 = 2 + Ta có Trong tam giác ABC : AB = AC + BC − AC.BC.cos120 = a a2 3 = = AB.CH ⇒ CH = a 2 C H · ' H = 300 CA ⇒ AB = a 7 B/ (ABB’A’))=CH= Chọn đáp án D ABC A’B’C’ Câu 21: Cho lăng trụ mặt hình vng cạnh a Gọi D trung điểm BC cạnh Tính khoảng cách hai đường thẳng A’B’ DC’ theo a a a a a 4 A B C D Hướng dẫn giải: Có cách để tiếp cận tốn hình học khơng gian thơng thường kẻ thêm hình tọa độ hóa Ở tốn này, phương pháp tọa độ có nhiều ưu điểm hẳn DD '; DC; DA B 'C ' D' Gọi trung điểm ta có đơi vng góc với D Ghép hệ tọa độ hình vẽ với gốc tọa độ  a  a   a  D(0;0;0), B  − ;0;0 ÷, C '  ;0; a ÷, A '  0; ;a÷ ÷   2    Ta có ( α) ( α) / / A' B ( α) : x − z = DC ' Gọi mặt phẳng qua suy phương trình − ⇒ d ( A ' B, DC ') = d ( B,(α)) = a a = Chọn đáp án C GÓC A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT ¶ · 1) Góc hai đường thẳng: a//a', b//b' ⇒ ( a, b ) = ( a ', b ' ) ¶ Chú ý: 00 ≤ ( a, b ) ≤ 900 2) Góc đường thẳng với mặt phẳng: (· ) • Nếu d ⊥ (P) d, (P) = 900 (· ) · • Nếu d ⊥ (P) d, (P) = ( d, d ' ) với d′ hình chiếu d (P) (· ) Chú ý: 00 ≤ d, (P) ≤ 900 a ⊥ (P) · (Q) ) = ( a, ¶ b) ⇒ ( (P),  b ⊥ (Q)  2) Góc hai mặt phẳng a ⊂ (P), a c (ã ) (ả ) Gi sử (P) ∩ (Q) = c Từ I ∈ c, dựng b ⊂ (Q), b ⊥ c ⇒ (P), (Q) = a, b · (Q) ) ≤ 900 00 ≤ ( (P), Chú ý: 3) Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S′ diện tích hình chiếu (H′) (H) (Q), ϕ (· ) = (P), (Q) Khi đó: S′ = S.cosϕ B – BÀI TẬP Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a Gọi E, F trung điểm BC AD, biết EF = a Góc hai đường thẳng AB CD : 600 A Hướng dẫn giải: B 450 C 300 D 900 (·AB,CD ) = (·MF , ME ) Gọi M trung điểm BD, Áp dụng định lý cosin tam giác EMF tính · cosEMF =- · Þ EMF = 1200 Þ (·AB,CD) = 600 Chọn đáp án A S.ABC Câu 2: Cho hình chóp Người ta tăng cạnh đáy lên gấp lần Để thể tích gi ữ ngun tan góc tạo cạnh bên mặt đáy phải giảm số lần : A Hướng dẫn giải: B C D α Gọi S đỉnh hìnhchóp, O làtrọng tâm tam giác ABC; góc tạo cạnh bên vàmp(ABC) V = a tan α 12 Chứng minh thể tích khối chóp V = (2a )3 tan α ' 12 Khi cạnh bên tăng lên lần thể tích Để thể tích giữ ngun tan α ' = tan α Chọn đáp án A , tức tan góc tạo cạnh bên mặt đáy phải giảm lần Câu 3: Cho khối chóp tứ giác bên mặt đáy là: S ABCD có tất cạnh a Khi cơsin góc mặt 30 O A Hướng dẫn giải: B C 60 O D S ABCD Cho khối chóp tứ giác có tất cạnh a Khi cơsin góc mặt bên mặt đáy là: · =ϕ ( ( SBC ) , ( ABCD ) ) = SIH Ta có a HI cos ϕ = = = SI a 3 Khi đó: Chọn đáp án D AB = 2a, Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA 2a, tam giác ABC vng C có · CAB = 300 Gọi H hình chiếu vng A SC Tính theo a thể tích khối chóp H.ABC ( SAB ) , ( SBC ) Tính cơ-sin góc hai mặt phẳng 7 7 14 14 A B C D Hướng dẫn giải: Gọi K hình chiếu vng góc A lên SB Ta có AH => ⊥ (SBC) AH SB ⊥ => ⊥ SC,AH ⊥ CB(Do CB ⊥ (SAC)) ( SAB ) , ( SBC ) ⊥ Lại có: SB AK SB (AHK) Vậy góc giữa hai mặt phẳng 1 1 a.2 = 2+ = 2+ = => AH = 2 AH SA AC 4a 3a 12a 1 1 1 = 2+ = + = => AK = a 2 AK SA AB 4a 4a 2a => AH ⊥ · HKA ⊥ ⊃ Tam giác HKA vng H (vì AH (SBC),(SBC) HK) a.2 AH 7 = => cos HKA · · sin HKA = = = AK a Chọn đáp án A ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, H trung điểm SH = HC , SA = AB AB, Gọi α góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) Giá trị tan α là: 2 A B Hướng dẫn giải: a AH = AB = 2 SA = AB = a Ta có , , a SH = HC = BH + BC = C D Có 5a SA + AH = = AH ⇒ ∆SAH ⇒ SA ⊥ AB ⇒ SA ⊥ ( ABCD ) AC = hc ( SC ; ( ABCD ) ) ( SC; ( ABCD ) ) = SCA, tan SCA = Ta có: Chọn đáp án A Câu 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân t ại S n ằm a 15 mặt phẳng vng góc với đáy Biết thể tích hình chóp S.ABCD Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy (ABCD) là: A 300 B 450 C 600 Hướng dẫn giải: Gọi H trung điểm AB Ta có a 15 a 15 2 S ABCD = a ,VS ABCD = SH a = ⇒ SH = HC = AC + AH = a + D 1200 a2 a = · , ( ABCD ) = SC · ) ( · , HC ) = SCH ( SC · tan SCH = SH : CH = a 15 a · : = a ⇒ SCH = 600 2 Chọn đáp án C Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt phẳng (SAB) vng góc v ới SH = HC , SA = AB α đáy (ABCD) Gọi H trung điểm AB, Gọi góc đường thẳng SC tan α mặt phẳng (ABCD) Giá trị là: 2 A B Hướng dẫn giải: a AH = AB = 2 Ta có SA = AB = a SH = HC = BH + BC = AH + SA2 = Có nên D a 5a = SH  → ∆SAH SA ⊥ AB vuông A · , ( ABCD ) = SCA · SC SA ⊥ ( ABCD ) Do C nên · tan SCA = SA = AC Trong tam giác vuông SAC, có Chọn đáp án A Câu 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh 2a, có SA vng góc v ới (ABC), a3 tam giác SBC cân S Để thể tích khối chóp S.ABC góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) là: 600 300 450 A B C Hướng dẫn giải: Do tam giác SBC cân S nên gọi I trung điểm BC SI ⊥ BC ; AI ⊥ BC ⇒ SIA = ( ( SBC ) ; ( ABC ) ) D Đáp án khác Do đáy ABC tam giác nên 2a S ABC = 2a = a2 2 Thể tích khối chóp tính a 3a 3 3a V = SA.S ABC = ⇔ SA = ⇔ SA = 2 a 3 SA 3a 2a 3 = : = ⇒ SIA = atc tan AI 2 2 tan SIA = Khi Chọn đáp án D Câu 9: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh a Tính số đo góc (BA’C) (DA’C) 300 1200 600 900 A B C D Hướng dẫn giải: BH ⊥ A ' C Kẻ ( 1)   BD ⊥ AC ⇒ AA ' ⊥ BD    AA ' ⊥ ( ABCD ) Mặt khác, ta có ⇒ BD ⊥ ( ACA ') ⇒ BD ⊥ A ' C ( 2) A ' C ⊥ ( BDH ) ⇒ A ' C ⊥ DH Từ (1), (2) suy ·BA ' C , DA ' C (( Do ) ( · ; HD ) ) = ( HB ) BCA ' Xét tam giác vng có: 1 = + ⇒ BH = DH = 2 BH BC BA2 a BH − BD · · cos BHD = = − ⇒ BHD = 1200 2 BH Ta có Chọn đáp án C Vậy góc cần tìm 600 AB = AC = a, ABC A’B’C’ Câu 10: Cho hình lăng trụ đứng có đáy tam giác cân với góc ·ABC = 1200 , cạnh bên BB’ = a Gọi I trung điểm CC’ Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I)? 10 10 A cosα = B cosα= C cosα= D cosα = Hướng dẫn giải: a Ta có: BC = Áp dụng định lý Pytago tam giác vuông ACI, ’ ’ ’ ABB , B C I: 13 a a 2a 2 Suy AI = , AB’ = , B’I = Do AI2 + AB’2 = B’I2 Vậy tam giác AB’I vuông A 10 S AB' I = AI AB ' = a , S ABC = a 4 α Gọi góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) Tam giác ABC hình chiếu vng góc tam giác AB’I 10 3 S AB' I cos α = S ABC ⇔ cos α = ⇔ cos α = 4 10 Suy : Chọn đáp án B AB = BC = 1, AA ' = ABC A ' B ' C ' Câu 11: Cho lăng trụ đứng có ABC tam giác vuông, BC trung điểm cạnh Khoảng cách hai đường thẳng AM B'C là: d= d= d= d= 7 7 A B C D Hướng dẫn giải: ( AME ) / / B 'C Gọi E trung điểm BB' Khi nên ta có: B' Gọi E trung điểm BB’ d ( B ' C ; AM ) = d ( B ' C ;( AME )) = d ( B ';( AME )) = d ( B;( AME )) d ( B; ( AME )) = h C' A' E Ta có: Tứ diện BEAM có cạnh BE, BM, BA đơi vng góc nên tốn quen thuộc Ta có 1 1 = + + =7⇒h= 2 2 h BE BA BM Chọn đáp án A M B M A C Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SAC tam giác cân t ại S n ằm m ặt ph ẳng vng góc với đáy, đáy tam giác ABC vng cân t ại B, 450 Khoảng cách từ SB đến SC bằng: a a a 2 A B C Hướng dẫn giải: Hướng dẫn: Gọi H trung điểm CM AC AB = a Biết góc tạo SC (ABC) D a AC = HC = a; BH = Tính AC = a · SH ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SC , ( ABC ) ) = SCH = 450 ⇒ SH = a  tam giác SHB vuông cân H ⇒ SB = a HI ⊥ SB Trong (SHB): Dựng I (1) AC ⊥ ( SHB ) ⇒ AC ⊥ HI CM H (2) a ⇒ d ( SB, AC ) = HI = SB = 2 Từ (1) (2) Chọn đáp án C Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a Hình chi ếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm cạnh AB; Góc đường thẳng SC 600 mặt phẳng đáy Góc hai đường thẳng SB AC có giá trị gần với giá trị sau đây: A 60 Hướng dẫn giải: B 80 C 70 uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AC = a 5; SB = a 7; SB AC = ( SH HB) AC = HB AC = AH AC = 2a uur uuur | SB AC | cosϕ= = => ϕ = 700 SB AC 35 D 90 Chọn đáp án C Câu 14: Cho hình vng ABCD cạnh 4a Lấy H, K AB, AD cho BH=3HA, AK=3KD Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) H lấy S cho góc SBH = Gọi E giao điểm CH BK Tính cosin góc SE BC 18 36 28 39 39 39 39 A B C D Hướng dẫn giải: Ta có: uur uuur uur uuur SE BC cos( SE; BC ) = SE BC uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r SE.BC = ( SH + HE ).BC = HE.BC = HC BC = CH CB 25 25 9 CB 144a · = CH CB.cos HCB = CH CB = CB = 25 25 CH 25 25 30o ⊥ Ta chứng minh HK CH E HE HE.HC HB 9 9a = = = => HE = HC = HB + BC = 2 HC HC HB + BC 25 25 25 uur uuur 144a 81a 2a 39 18 SE = SH + HE = 3a + = => cos( SE; BC ) = = 25 25 2a 39.4a 39 Chọn đáp án A Câu 15: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, tâm đáy O Gọi M N l ần lượt trung điểm SA BC Biết góc MN (ABCD) 60 , cosin góc MN mặt phẳng (SBD) : 10 5 A B C D Hướng dẫn giải: Gọi P trung điểm AO; Q giao điểm MC SO, từ Q kẽ tia song song với MN mp(MBC) cắt BC R, mặt phẳng đáy từ R kẽ tia song song với AC cắt BD S MP ⊥ ( ABCD ) · MNP = 600 MP//SO nên , suy 3a PT = AB = 4 Ta tính PN cách vẽ thêm hình phụ bên, theo định lí Ta-lét a 10 a TN = PN = 4 Dễ thấy , theo định lý Pytago ta tính NP a 10 MN = = · cosMNP Tam giác MPN vng P có CQ = MC Dễ thấy Q trọng tâm tam giác SAC nên QR CQ CR 2 a 10 = = = ⇒ QR = MN = MN MC NC 3 Vì QR//MN nên theo định lý Ta-lét ta suy a AC = a ⇒ OC = Hình vng ABCD cạnh a có đường chéo SR BR 2 a = = ⇒ SR = OC = OC BC 3 Vì SR//AC nên theo định lý Ta-lét ta suy CA ⊥ ( SBD ) , SR / / CA ⇒ SR ⊥ ( SBD ) , mặt khác QR//MN góc MN với (SBD) góc QR với (SBD) góc SQR SR a a 10 · cosSQR = = : = QR 3 Tam giác SQR vng S có Chọn đáp án C ... gọi đoạn vng góc chung a, b + Độ dài đoạn IJ gọi khoảng cách a, b + Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với + Khoảng cách hai đường... tính khoảng cách hai mặt phẳng song song quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai đường thẳng chéo + Đường thẳng ∆ cắt a, b vng góc với a, b gọi đường vng góc chung a,... tính khoảng cách từ đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α) quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song + d((α), (β) ) = d(M, (β) ), M điểm nằm (α) + Việc tính khoảng