[r]
(1)Giải SBT Toán 12 1: Nguyên hàm Bài 3.1 Trang 170 sách tập (SBT) Giải tích 12
Bài 3.1 Kiểm tra xem nguyên hàm nguyên hàm hàm số lại cặp hàm số sau:
a) f(x)=ln(x+√1+x2) g(x)=1√1+x2
b) f(x)=esinxcosx g(x)=esinx
c)f(x)=sin21/x g(x)=−1/x2sin2/x
d) f(x)=x−1/ g(x)= e) f(x)=x2e1/x g(x)=(2x−1)e1/x
Hướng dẫn làm
a) Hàm số f(x)=ln(x+√1+x2) nguyên hàm g(x)=1/√1+x2
b) Hàm số g(x)=esinx nguyên hàm hàm số f(x)=esinxcosx
c) Hàm số f(x)=sin21/x nguyên hàm hàm số g(x)=−1/x2sin2/x
d) Hàm số g(x)= nguyên hàm hàm số (f(x) = x−1/ e) Hàm số f(x)=x2e1/x nguyên hàm hàm số g(x)=(2x−1)e1/x
Bài 3.2 trang 170 sách tập (SBT) - Giải tích 12
Chứng minh hàm số F(x) G(x) sau nguyên hàm hàm số: a) F(x)=x2+6x+12/x−3 G(x)=x2+10/2x−3
b) F(x)=1/sin2x G(x)=10+cot2x
c) F(x)=5+2sin2x G(x)=1−cos2x
Hướng dẫn làm
a) Vì F(x)=x2+6x+12/x−3=x2+10/2x−3+3=G(x)+3 nên F(x) G(x) nguyên hàm
của f(x)=2x2−6x−20/(2x−3)2
b) Vì G(x)=10+cot2x=1/sin2x+9=F(x)+9, nên F(x) G(x) nguyên hàm của
f(x)=−2cosx/sin3x
c) Vì F′(x)=(5+2sin2x)′=2sin2x G′(x)=(1−cos2x)′=2sin2x, nên F(x) G(x) nguyên
hàm hàm số f(x) = 2sin2x
Bài 3.3 trang 171 sách tập (SBT) - Giải tích 12 Tìm ngun hàm hàm số sau:
(2)b) f(x)=1/(2−x)2
c) f(x)=x/√1−x2
d) f(x)=1/√2x+1 e) f(x)=1−cos/2xcos2x
g) f(x)=2x+1/x2+x+1
Hướng dẫn làm a) F(x)=(x−9)5/5+C
b) F(x)=1/2−x+C c) F(x)=−√1−x2+C
d) F(x)=√2x+1+C e) F(x)=2(tanx−x)+C
HD: Vì f(x)=2.sin2x/cos2x=2(1/cos2x−1)
g) F(x)=ln(x2+x+1)+C HD: Đặt u = x2 + x + 1, ta có u’ = 2x + 1
Bài 3.4 trang 171 sách tập (SBT) - Giải tích 12 Tính nguyên hàm sau phương pháp đổi biến số:
a) ∫x2 dx với x > - (đặt t = + x3)
b) ∫xe− dx (đặt t = x2)
c) ∫x/(1+x2)2dx (đặt t = + x2)
d) ∫1/(1−x)√xdx (đặt t=√x) e) ∫sin1/x.1x2dx (Đặt t=1/x)
g) ∫(lnx)2/xdx (đặt t=lnx)
h) ∫sinx/ dx (đặt t = cos x) i) ∫cosxsin3xdx (đặt t = sin x)
k) ∫1/ex−e−xdx (đặt t=ex)
l) ∫cosx+sinx/√sinx−cosxdx (đặt t=sinx−cosx) Hướng dẫn làm
a) 1/4(1+x3)4/3+C
(3)c) −1/2(1+x2)+C
d) ln|1+√x/1−√x|+C e) cos1/x+C
g) 1/3(lnx)3+C
h) −3
i) 1/4sin4x+C
k) 1/2ln|ex−1/ex+1|+C
l) +C
Bài 3.5 trang 171 sách tập (SBT) - Giải tích 12
Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm phần, tính: a) ∫(1−2x)exdx
b) ∫xe−xdx
c) ∫xln(1−x)dx d) ∫xsin2xdx
e) ∫ln(x+√1+x2)dx
g) ∫√xln2xdx
h) ∫xln1+x/1−x.dx Hướng dẫn làm a) (3−2x)ex+C
b) −(1+x)e−x+C
c) x2/2ln(1−x)−1/2ln(1−x)−1/4(1+x)2+C
d) x2/4−x/4sin2x−1/8cos2x+C
HD: Đặt u = x, dv = sin2xdx
e) xln(x+√1+x2)−√1+x2+C
HD: Đặt u=ln(x+√1+x2) dv = dx
g) 2/3x3/2((lnx)2−4/3lnx+8/9)+C
HD: Đặt u=ln2x;dv=√xdx
(4)HD: u=ln1+x/1−x,dv=xdx
Bài 3.6 trang 172 sách tập (SBT) - Giải tích 12 Tính nguyên hàm sau:
a) ∫x(3−x)5dx
b) ∫(2x−3x)2dx
c) ∫x√2−5xdx
d) ∫ln(cosx)/cos2xdx
e) ∫x/sin2xdx
g) ∫x+1/(x−2)(x+3)dx h) ∫1/1−√xdx
i) ∫sin3x/cos2xdx
k) ∫sin3x/cos2xdx
HD: Đặt u=
Hướng dẫn làm a) (3−x)6(3−x/7−1/2)+C
HD: t = – x
b) 4x/ln4−2.6x/ln6+9x/ln9+C
c) −8+30x/375.(2−5x)3/2+C
HD: Dựa vào x=−1/5(2−5x)+2/5
d) tanx[ln(cosx)+1]−x+C HD: Đặt u=ln(cosx),dv=dx/cos2x
e) −xcotx+ln|sinx|+C HD: Đặt u=x,dv=dx/sin2x
g) 1/5ln[|x−2|3(x+3)2]+C
HD: Ta có x+1/(x−2)(x+3)=3/5(x−2)+2/5(x+3) h) −2(√x+ln|1−√x|)+C
HD: Đặt t=√x
(5)HD: sin3x.ccos2x=1/2(sinx+sin5x) k) cosx+1/cosx+C
HD: Đặt u = cos x
l) 1/a2−b2 +C
Bài 3.7 trang 172 sách tập (SBT) - Giải tích 12 Bằng cách biến đổi hàm số lượng giác, tính: a) ∫sin4xdx
b) ∫1/sin3xdx
c) ∫sin3xcos4xdx
d) ∫sin4xcos4xdx
e) ∫1/cosxsin2xdx
g)∫1+sinx/1+cosxdx Hướng dẫn làm
a) 3/8x−sin2x/4+sin4x/32+C
HD: sin4x=(1−cos2x)2/4=1/4(3/2−2cos2x+1/2cos4x)
b) 1/2ln|tanx/2|−cosx/2sin2x+C
Hd: Đặt u = cot x
c) cos5x(cos2x/7−1/5)+C HD: Đặt u = cos x
d) 1/128(3x−sin4x+1/8sin8x)+C
HD: sin4xcos4x=1/24(sin22x)2=1/26(1−cos4x)2
e) ln|tan(x/2+π/4)|−1/sinx+C
HD:1/cosxsin2x=sin2x+cos2x/cosxsin2x
g) tanx/2−2ln|cosx/2|+C HD: 1+sinx/1+cosx=
Bài 3.8 trang 172 sách tập (SBT) - Giải tích 12
Trong hàm số đây, hàm số nguyên hàm hàm số f(x)=1/1+sinx? a)\F(x) = - \cot ({x \over 2} + {\pi \over 4})\)
(6)c) H(x)=ln(1+sinx)
d) K(x)=2
Hướng dẫn làm a) F(x)=1−cot(x/2+π/4)
d) K(x)=2
Bài 3.9 trang 173 sách tập (SBT) - Giải tích 12 Tính nguyên hàm sau đây:
a) ∫(x+lnx)x2dx
b) ∫(x+sin2x)sinxdx
c) ∫(x+ex)e2xdx
d)∫(x+sinx).dx/cos2x
e) ∫excosx+(ex+1)sinx/exsinx.dx
Hướng dẫn làm
a) x4/4+x3/3(lnx−1/3)+C HD: Đặt u=x+lnx;dv=x2dx
b) sinx−(x+1)cosx+1/3cos3x+C
HD: Đặt u=x+sin2x,dv=sinxdx
c) e2x/12(4ex+6x−3)+C HD: Đặt u=x+ex,dv=e2xdx
d) xtanx+ln|cosx|+1/cosx+C HD: Đặt u=x+sinx,dv=d(tanx) e) ln|exsinx|−e−x+C HD: d(exsinx)=(exsinx+excosx)dx