Bài giảng Giải tích 12 chương 3 bài 1: Nguyên hàm

Câu 1: Tính đạo hàm hàm số sau: F’(x) = f(x) =2x a, F(x) = x2 F’(x) = f(x) = -sinx b, F(x) = cosx F’(x) = f(x) = c, F(x) = C ( C số ) ⇒ F’(x) = f(x) = ex d, F(x) = ex ⇒ ⇒ ⇒ Câu 2: Hàm số sau có đạo hàm a, F ( x ) = x b, F ( x) = ln x + x c, F(x) = lnx d, F(x) = x2 + f ( x) = x Ta học: Tính đạo hàm hàm số F(x): (F(x))’ = ? Bài toán mới: Hàm số có đạo hàm f(x) K (với K khoảng nửa khoảng đoạn R ( ? )’ = f(x) Hãy tìm F(x) cho (F(x))’= f(x) F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) Trên §1 §2 §3 § I – NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT Nguyên hàm Tính chất nguyên hàm I – NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT Nguyên hàm Kí hiệu K khoảng đoạn , nửa khoảng R ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F’(x) = f(x) với x ∈ K Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F’(x) = f(x) với x ∈ K Ví dụ: Hàm số sau nguyên hàm hàm số f(x) = 2cosx R? A, F(x) = – 2sinx B, F(x) = 2sinx C, F(x) = cos2x D, F(x) = sin2x Ví dụ a, Hàm F(x) = x2 nguyên hàm hàm số f(x) = 2x R F’(x) = (x2)’ = 2x R b, Hàm số F(x) = lnx nguyên hàm hàm số: f ( x) = x , x ∈ ( 0; +∞ ) c, Hàm số F(x) = tanx nguyên hàm hàm số ' 1  π π f ( x) =  − ;  (tan x) = cos x cos x  2 d,Hàm số F(x) = 2sinx nguyên hàm hàm số f(x) = 2cosx Trên R (F’(x)) = (2sinx)’ = 2cosx R Câu 1: Hàm số sau nguyên hàm hàm số f(x) = 2x R? a, F(x) = x2 b, F(x) = x2 + c, F(x) = x2 - d, F(x) = x2 + 2x Câu 2: Hãy tìm nguyên hàm khác hàm số f(x) = 2x R Định lí 1: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K hàm số G(x) = F(x) + C nguyên hàm f(x) K Định lí 2: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K nguyên hàm f(x) K có dạng F(x) + C ( với C số.) Ví dụ: Hàm số sau nguyên hàm hàm số f(x) = 2x R? a, a, F(x) F(x)==x2 x2 b, b, F(x) F(x) == x2 x2 + c, c, F(x) F(x) == x2 x2 - d, F(x) = x2 + 2x Định lí 1: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K hàm số G(x) = F(x) + C nguyên hàm f(x) K(với C số) Định lí 2: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K nguyên hàm f(x) K có dạng F(x) + C ( với C số) Họ nguyên hàm (hay tích phân bất định) f(x): ∫ f (x )dx = F( x ) + C Ví dụ: ∫ 2xdx = x +C ∫ cos x dx = tan x + C Chú ý: Tính chất nguyên hàm Tính chất Suy từ định nghĩa nguyên hàm ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C Ví dụ ∫ (cos x)' dx = ∫ ( − sin x) dx = cos x + c Tính chất ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx Chứng minh: Gọi F(x) nguyên hàm kf(x) , ta có : kf(x) = F’(x) Vì k ≠ nên f ( 1 x) = F '( x ) =  F k k ( '  x) ÷  Theo t/c ta có : ' 1    k ∫ f ( x ) dx = k ∫  F ( x ) ÷dx = k  F ( x ) + C1 ÷ = F ( x ) + kC1 ( C1 ∈ R ) k  k  = F ( x) + C Tính chất 3: ∫ f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx Tự chứng minh t/c Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm hàm số: f ( x ) = 3sin x + , x ∈ ( 0; +∞ ) x Giải: Với x ∈ ( ; + ∞) , ta có : 2  ∫  sin x + x dx = ∫ sin xdx + ∫ xdx = 3∫ sin xdx + 2∫ dx = −3 cos x + ln x + C x Mệnh đề sau sai A B e dx = e + C ∫ x x dx = x + C ∫ sin xdx = cos x + C ∫ x D ∫ xdx = +C C QUA BÀI HỌC CẦN NẮM ĐƯỢC - Định nghĩa nguyên hàm hàm số K - Phân biệt rõ nguyên hàm họ nguyên hàm hàm số (F(x) F(x) + C ) - Nắm tính chất nguyên hàm Về nhà: - Bài tập sgk - Đọc trước [...]...Định lí 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K Định lí 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C ( với C là hằng số.) Ví dụ: Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên R? a, a, F(x) F(x)==x2... c, c, F(x) F(x) == x2 x2 - 2 d, F(x) = x2 + 2x Định lí 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K(với C là hằng số) Định lí 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C ( với C là hằng số) Họ nguyên hàm (hay tích phân bất định) của f(x): ∫ f (x )dx = F( x ) + C... sai A B e dx = e + C ∫ x x 2 dx = 2 x + C ∫ sin xdx = cos x + C ∫ 2 x D ∫ xdx = +C 2 C QUA BÀI HỌC CẦN NẮM ĐƯỢC - Định nghĩa nguyên hàm của một hàm số trên K - Phân biệt rõ một nguyên hàm và họ nguyên hàm của một hàm số (F(x) và F(x) + C ) - Nắm được 3 tính chất của nguyên hàm Về nhà: - Bài tập 1 sgk - Đọc trước bài mới ... C1 ÷ = F ( x ) + kC1 ( C1 ∈ R ) k  k  = F ( x) + C Tính chất 3: ∫ f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx Tự chứng minh t/c này Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của hàm số: 2 f ( x ) = 3sin x + , x ∈ ( 0; +∞ ) x Giải: Với x ∈ ( 0 ; + ∞) , ta có : 2 2  ∫  3 sin x + x dx = ∫ 3 sin xdx + ∫ xdx 1 = 3 sin xdx + 2∫ dx = 3 cos x + 2 ln x + C x Mệnh đề nào sau đây là sai A B e dx = e +... + C Ví dụ: ∫ 2xdx = x 2 +C 1 ∫ cos 2 x dx = tan x + C Chú ý: 2 Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1 Suy ra từ định nghĩa nguyên hàm ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C Ví dụ 3 ∫ (cos x)' dx = ∫ ( − sin x) dx = cos x + c Tính chất 2 ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx Chứng minh: Gọi F(x) là một nguyên hàm của kf(x) , ta có : kf(x) = F’(x) Vì k ≠ 0 nên f ( 1 1 x) = F '( x ) = 