Bài giảng số 1: Các dạng phương trình quy về bậc nhất

[r]

http://edufly.vn Khóa học phương trình hệ phương trình quy bậc hai

BÀI GIẢNG SỐ 01: CÁC PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT

A.CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Giải biện luận phương trình dạng ax + b =

Phương pháp:

+ Nếu a 0 phương trình có nghiệm x b a  

+ Nếu a 0và b 0phương trình vơ nghiệm

+ Nếu ab0phương trình nghiệm với  x R

Ví dụ 1:Giải biện luận phương trình sau:

a) 2mx2xm4 c)

(2m 1)x 2 m4x

b) m x( m) x d)

( 1) (4 3)

m x    m x

Giải:

a) Ta có: 2mx2xm42 2 m x m 4 (1)

+ Nếu2 2 m0m1 phương trình (1) có nghiệm

2

m x

m  



+ Nếu2 2 m0m1 phương trình (1) trở thành 0x + = ( vô nghiệm)

Vậy: Với m 1 phương trình cho có nghiệm

2

m x

m  



Với m 1 phương trình cho vơ nghiệm

b) Ta có: m x( m) x 1m1xm2 1 (1)

+ Nếu m 1 0m1 (1) có nghiệm

2

1

m

x m

m



   

http://edufly.vn Khóa học phương trình hệ phương trình quy bậc hai

+ Nếu m 1 0m1 (1) trở thành 0x + = (luôn đúng) (1) nghiệm với

x R  

Vậy: Với m 1 pt cho có nghiệm x  1 m

Với m = pt cho nghiệm với  x R

c) Ta có:

(2m 1)x 2 m4x 2m23xm 2 (1)

Vì

2m  3 với m nên (1) ln có nghiệm 2

2

m x

m  



d) Ta có

( 1) (4 3)

m x    m xm24m3 1 m2 0 (1)

+ Nếu

4

3

m

m m

m

  

    

  

(1) có nghiệm nhât

2

2

1

4 3

m m

x

m m m

 

 

  

+ Nếu

4

3

m

m m

m

  

    

  

- Với m  1 Khi (1)0x 0 0( đúng) (1) nghiệm với  x R - Với m  3 Khi (1) 0x 8 0( vô lý) (1) vô nghiệm

Vậy: Với

m

m

   

  

(1) có nghiệm m x

m  



Với m  1 (1) nghiệm với  x R

Với m  3thì (1) vơ nghiệm

Dạng 2: Điều kiện để nghiệm phương trình bậc thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

Cho phương trình f(x, m) = (1) Giả sử điều kiện cho ẩn số (nếu có) D

http://edufly.vn Khóa học phương trình hệ phương trình quy bậc hai

1) Phương trình (1) vơ nghiệm

0,

0

a b

a

b D a

 

 

    

    

2) Phương trình (1) có nghiệm

0

0

a b

a

b D a

  

     

    

3) Phương trình (1) có nghiệm

a

b D a

    

  

Ví dụ 2:

a) Tìm m để phương trình  

4m 2 x 1 2mx vơ nghiệm

b) Tìm m để phương trình xmx10 có nghiệm

c) Tìm m để phương trình m1x 5 m1xm có nghiệm thỏa mãn  3 x3.

Giải:

a) Ta có:  

4m 2 x 1 2mx

 

4m x 2m

    (1)

Để pt vô nghiệm (1) vô nghiệm

1

4

1

2

2

m m

m m

m

   

   

  

 

  

  

 

Vậy với

m  pt cho vơ nghiệm

b) Ta có: xmx10

1

x m

x

    

http://edufly.vn Khóa học phương trình hệ phương trình quy bậc hai

Để phương trình có nghiệm m =

c) Ta có: m1x 5 m1xm

2

5

x m

m x

   

 

 

Để pt có nghiệm thỏa mãn  3 x3.

5

3 6 11

2 m

m m

 

            

Dạng 3: Giải biện luận phương trình quy bậc

a)Phương trình dạng phân thức

Ví dụ 3: Giải biện luận phương trình sau:

a)

1

x m x

x x

 



  b)

 1 2

x mx

;

x m

 





Giải:

a) Đk: x  1

Ta có:

1

x m x

x x

 



  (1)

     

(1) xm x1  x3 x1

 

2

4

5 (2)

x x mx m x x

m x m

      

   

+ Nếu 5m0m 5 Khi (2)  m x

m  



Nếu

3

3

5

1

3 2

1

m

m m m

m

m

m m m m

m

 



      

 

    

  

        

  

  

m x

m  

http://edufly.vn Khóa học phương trình hệ phương trình quy bậc hai

pt (1)

Nếu

1

0

5

1

3 2

1

m

m m

m

m m

m

 



   

   

 

   

  

  

( thỏa mãn m  5) pt (1) vơ nghiệm

+ Nếu 5m0m 5 Khi (2) trở thành 0x  8(vơ lý)

Vậy : Với

m

m

   

  

pt(1) có nghiệm m x

m  



Với

m

m

      

pt (1) vơ nghiệm

b) Đk: x3m

Ta có  1 2

x mx

x m

 



 (1)

 1 2

2 (2)

x mx

x

mx

   

  

   



Ta giải biện luận (2)

+ Nếu m 0 Khi (2) x m 

 

+ Nếu m 0 Khi (2)0x 2 0( vơ nghiệm)

Vậy với m 0.pt (1) có nghiệm x 1,x m    

Với m 0 pt (1) có nghiệm x = -

b)Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

http://edufly.vn Khóa học phương trình hệ phương trình quy bậc hai

a) 3xm  2x2m b)

x m  m x

Giải:

a) Ta có: 3xm  2x2m

3

3 2

3 2

5

x m

x m x m x m

m

x m x m x m x

  

    

  

  



     

 



+ Nếu 15 16 0

5 m

m m m m m

          phương trình có nghiệm x =

0

+ Nếu

5 m

m m

    phương trình có nghiệm phân biệt x = -3m, m x 

b) Ta có:

x m  m x  

 

2

2

1 (1)

1

1 1 (2)

m x m

x m m x

x m m x m x m

   

   



 



      

 

Giải biện luận (1)

+ Nếu

1m 0m 1.Khi (1) có nghiệm 12

1 (1 )

m x

m m

 

 

 

+ Nếu

1m 0m 1

Với m 1 (1)0x0(luôn đúng) nên pt (1) nghiệm với  x R

Với m  1 (1)0x 2( vô lý) nên pt vô nghiệm

Giải biện luận 2:

Vì

1m 0nên pt (2) có nghiệm 12

m x

m  



Vậy: Với m  1 pt (1) có nghiệm 1 x

m  

 ,

1

m x

m  



http://edufly.vn Khóa học phương trình hệ phương trình quy bậc hai

Với m = -1 pt có nghiệm 12

m x

m  



Dạng Tìm điều kiện để phương trình quy bậc có nghiệm

Ví dụ 5:Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm

2 (1)

1

x m x

x x

 

 

 

Giải:

Cách 1:

Đk: x  1

       

(1) x m x1  x2 x1 2 x 1

m2x 4 m (2)

Trường hợp 1: Nếu m20m 2 Khi (2)0x6(vơ lý) pt vơ nghiệm

Trường hợp 2: Nếu m20m 2 Khi (2) m x

m 

 



Do (1) vơ nghiệm

1

1

1

m m

m m

m

 

  

  



  

  

Vậy với m = - m = phương trình (1) vơ nghiệm

Nhận xét: Trong lời giải trình bày theo bước toán giải biện luận,

nhiên trình bày dạng:

Cách 2:

Đk: x  1

http://edufly.vn Khóa học phương trình hệ phương trình quy bậc hai

Phương trình (1) vơ nghiệm

2

4

2 2

4 1

1

1

m

m

m m

m m

m m m

   



  



  

   

    



  

    

        

Tuy nhiên cách trình bày khiến số em thấy phức tạp Do vậy, tốn u cầu” Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm ( vơ nghiệm) tốt em làm theo cách

Ví dụ 6: Tìm m để phương sau có nghiệm:

2 (1)

2

x m x m

x

x x

  

  

 

Giải:

Đk: x >

(1)3xm  x 2x2m1

2

3

2

x m

m x

  



 

Để phương trình có nghiệm 3 3

m

x  m m m

         

Vậy với m 1 phương trình (1) có nghiệm

B.BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải biện luận phương trình sau:

a)  

2

m  x m x c) m x m3m x 26

b) m x mxm2 d) 2   

1

http://edufly.vn Khóa học phương trình hệ phương trình quy bậc hai

ĐS: a) 2 3, m

x m

m 

 

 b) Nếu m 1 pt nghiệm với x

Nếu m 1 pt có nghiệm xm2

c) Nếu

m

m

  

 

pt vô nghiệm

Nếu

m

m

    

pt nghiệm với x

d)Nếu

m

m

  

 

pt có nghiệm

2 m x

m 



Nếu m 1, pt nghiệm với x

Nếu m 2, pt vô nghiệm

Bài 2:

a) Tìm m để phương trình

2

x m x

x m x

 



  vô nghiệm

b) Tìm m để phương trình    

2

2 3

4

m x m x m

x x

    



 

có nghiệm

ĐS: a) m = 0, m = 1, m = b) < m <

Bài 3:

a) Tìm a b để phương trình a x 2b2x1x1 có nghiệm   x .

b) Tìm m để phương trình 2mx 1 xm vơ số nghiệm

c) Tìm m để phương trình sau có nghiệm

ĐS: a) 3,

5

a b b) không tồn m

Bài 4: Giải biện luận phương trình sau:

a)

3

0

x x

x m

 



 b)

2

2

1 1

ax b ax a

x x x

 

 

   c) ax 1   (1)

a b a b

bx a b x



 

http://edufly.vn Khóa học phương trình hệ phương trình quy bậc hai

ĐS: a) Nếu m = m = pt có nghiệm

Nếu

m

m

  

 

pt có nghiệm

b) Nếu a b 1 phương trình có nghiệm 1 a b x

a b   

 

Nếu a b 1 phương trình vơ nghiệm

c) Nếu a = b = 0, pt nghiệm với  x R

Nếu 0

a

b

  

 

, pt nghiệm với x b  

Nếu 0

a

b

  

 

, pt nghiệm với x a  

Nếu b  a 0, pt có nghiệm x =

Nếu a0,b0,a b 0,ab, pt có nghiệm x = 0, x a b 