Bài giảng số 5: Các quy tắc tính xác suất

A. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Hãy tính xác suất để chọn[r]

(1)

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 5: CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Quy tắc cộng xác suất  Biến cố hợp

Cho hai biến cố A B liên quan đến phép thử T “Nếu biến cố A biến cố B xảy ra”, ký hiệu AB, gọi hợp hai biến cố A B

Nếu ký hiệu  A  tập hợp mô tả B A B tập hợp mơ tả biến cố AB

A B

  

Tổng quát: Cho k biến cố A A1, 2, ,A liên quan đến phép thử k T Biến cố “có các biến cố A A1, 2, ,A xảy ra”, ký hiệu k A1A2 Ak, gọi hợp k biến cố  Biến cố xung khắc

Cho hai biến cố A B liên quan đến phép thử T Hai biến cố A B gọi xung khắc nếu biến cố xảy biến cố khơng xảy

Hai biến cố A B xung khắc      A B  Quy tắc cộng xác suất

Nếu hai biến cố A B xung khắc xác suất để A B xảy P A BP A P B  Tổng quát: Cho k biến cố A A1, 2, ,A k đôi một xung khắc thì ta có:

 k  1  2  k P A A  A P A P A  P A

 Biến cố đối

Cho biến cố A biến cố “Khơng xảy A”, ký hiệu A , gọi biến cố đối A

Cho biến cố A Xác suất biến cố đối A là: P A  1 P A   Quy tắc nhân xác suất

 Biến cố giao

Cho hai biến cố A B liên quan đến phép thử T Biến cố “Cả A B xảy ra”, ký hiệu là A B , gọi giao hai biến cố A B

Nếu  A  tập hợp kết thuận lợi cho B A B tập hợp kết thuận lợi cho A B    A B

Tổng quát: Cho k biến cố A A1, 2, ,A liên quan đến phép thử k T Biến cố “tất k biến cố

1, 2, , k

A A A xảy ra”, ký hiệu A A1 2 A , gọi giao k k biến cố  Biến cố độc lập

Cho hai biến cố A B liên quan đến phép thử T Hai biến cố gọi độc lập với nhau việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng tới việc xảy hay không biến cố

 Quy tắc nhân xác suất

(2)

Tổng quát: Cho k biến cố A A1, 2, ,A k độc lập với nhau thì ta có:

 k    1  k P A A A P A P A P A

B CÁC VÍ DỤ MẪU

 Dạng 1: Nhận biết biến cố hợp, biến cố xung khắc, biến cố đối, biến cố giao, biến cố độc lập Ví dụ 1: Chọn ngẫu nhiên học sinh lớp 11D trường LHP Gọi A biến cố “Bạn học sinh giỏi Văn” B biến cố “Bạn học sinh giỏi ngoại ngữ Anh Văn”

a) A B có phải hai biến cố xung khắc hay khơng? b) Biến cố AB gì?

Giải:

a) A B biến cố khơng xung khắc học sinh vừa giỏi Văn vừa giỏi Anh Văn b) Biến cố AB “Bạn học sinh giỏi Văn giỏi Anh Văn”

Ví dụ 2: Một hộp đựng bi xanh, bi đỏ bi vàng Chọn ngẫu nhiên viên bi Gọi A biến cố “Chọn bi xanh”, B biến cố “Chọn bi đỏ” C biến cố “Chọn bi vàng”

a) Các biến cố A B C có đơi xung khắc không? , , b) Biến cố “Chọn viên bi màu” gì?

c) Hai biến cố E “Chọn bi màu” F “Chọn hai bi khác màu” biến cố gì? Giải:

a) Các biến cố A B C đôi xung khắc , ,

b) Biến cố ABC “Chọn viên bi màu”

c) Hai biến cố E F biến cố đối E xảy F khơng xảy

Ví dụ 3: Gieo xúc xắc liên tiếp lần Gọi A biến cố “lần gieo thứ số chẵn”, B biến cố “lần gieo thứ hai số lẻ”

a) Hai biến cố A B độc lập không?

b) Giao hai biến cố A B biến cố gì? Giải:

a) Hai biến cố A B độc lập việc xảy hay khơng xảy biến cố A không làm ảnh hưởng tới việc xảy hay không xảy biến cố B

b) Giao hai biến cố A B AB “lần gieo thứ số chẵn lần gieo thứ hai số lẻ”

 Dạng 2: Dùng quy tắc cộng xác suất P A BP A P B  với A B hai biến cố xung khắc

Ví dụ 4: Một lớp học 40 học sinh gồm có 15 học sinh nam giỏi Toán học sinh nữ giỏi Lý Chọn ngẫu nhiên học sinh Hãy tính xác suất để chọn nam sinh giỏi Toán hay nữ sinh giỏi Lý

Giải:

Gọi A biến cố “chọn nam sinh giỏi Toán” B biến cố “chọn nữ sinh giỏi Lý” AB biến cố “chọn nam sinh giỏi Toán hay nữ sinh giỏi Lý”

Ta có:   15

40

P A    

40

P B  

A B hai biến cố xung khắc nên       23

8 40

P AB P A P B   

(3)

Gọi A biến cố “chọn già” B biến cố “chọn già” AB biến cố “chọn già”

Ta có:  

3 28 32 C C P A C

  

4 4 28 32 C C P B C 

A B hai biến cố xung khắc

Vậy      

3 4 28 28

8 32

0, 04

C C C C

P A B P A P B

C 

    

Ví dụ 6: Gieo xúc xắc Gọi A biến cố số chẵn B biến cố bội số Chứng minh rằng: P A BP A P B P AB 

Giải:

Ta có: A 2; 4; 6, B 3; 6 Do AB2;3; 4; 6 AB  6

Vậy  

6

P A   ;  

6

P B   ;  

6

P AB    

6

P AB 

Suy       1  

2

P A P B P AB     P AB

*Tổng quát: A B hai biến cố ta có: P A BP A P B P AB 

Ví dụ 7: Một lớp học gồm 40 học sinh có 15 học sinh giỏi Tốn, 10 học sinh giỏi Lý học sinh giỏi Toán lẫn Lý Chọn ngẫu nhiên học sinh Hãy tính xác suất để học sinh giỏi Tốn hay giỏi Lý

Giải:

A biến cố học sinh giỏi Toán, B biến cố học sinh giỏi Lý

Khi AB biến cố học sinh giỏi Toán Lý, AB biến cố học sinh giỏi Tốn hay Lý Ta có:   15

40

P A   ;   10

40

P B   ;  

40

P AB  

Vậy         1

8

P AB P A P B P AB    

Ví dụ 8: Xét không gian mẫu E hai biến cố xung khắc A B biết xác suất P A   0, 3

  0,

P B  Tính P AB , P A B, P A ,   P B   Giải:

A B hai biến cố xung khắc nên P AB   P A BP A P B 0, 0, 5 0, A biến cố đối A nên P A  1 P A  1 0,30,

B biến cố đối B nên P B  1 P B  1 0,50,5

Ví dụ 9: Cho hai biến cố A B Chứng minh rằng: P A P AB P AB  Giải:

Ta có: A ABAB xảy A kết xảy (của A B) hay (sự xảy A không xảy B)

(4)

Vậy P A P AB P AB 

 Dạng 3: Dùng quy tắc nhân xác suất P AB P A P B    , với AB biến cố A B xảy ra, A B độc lập với

Ví dụ 10: Chọn ngẫu nhiên cỗ 32 lá, ghi nhận kết rùi trả lại cỗ và rút khác Tính xác suất để già bích già

Giải:

Gọi A biến cố chọn thứ già bích, B biến cố chọn thứ hai già

Ta tìm P AB  Ta thấy A B hai biến cố độc lập ta trả lại thứ trước rút thứ

hai Do P AB P A P B    , mà  

32

P A   

32

P B 

Vậy   1

0, 09.10

32 32

P AB   

Ví dụ 11: Một công nhân phải theo dõi hoạt động hai máy dệt A B Xác suất để người công nhân

phải can thiệp máy dệt A 1

7 máy dệt B thời gian

5 Tính xác suất

để người cơng nhân can thiệp máy Giải:

Xác suất để máy dệt A hư độc lập với xác suất để máy dệt B hư Ta có:     1

7

P A  P A    với A biến cố máy dệt A không hư

    1

5

P B  P B    với B biến cố máy dệt B không hư

Vậy xác suất để người công nhân can thiệp máy là:

  24 0, 69

7 35

P A B   

Ví dụ 12: Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia 0, Tính xác suất để lần bắn người xạ thủ bắn trúng bia lần

Giải:

A biến cố người xạ thủ bắn trúng bia, A biến cố người xạ thủ khơng bắn trúng bia Ta có: P A   0, P A    0, 40,

Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia lần không trúng lần sau là: P 1 0, 4.0, 6.0, 60,14 Tương tự xạ thủ bắn trúng lần 2, lần lần không trúng là: P2 P3 P1

Vậy xác suất để lần bắn người xạ thủ bắn trúng lần là: P 0,14 0,14 0,14  0, 42

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Một kiện hàng có ba loại chi tiết máy loại (ký hiệu A), loại (ký hiệu B) loại (ký hiệu C) Lấy ngẫu nhiên chi tiết máy Hãy mô tả biến cố sau đây:

(5)

Bài 2: Ba người bắn vào mục tiêu Gọi A (kk 1, 3) biến cố người thứ k bắn trúng mục tiêu Hãy viết ký hiệu biến cố biểu thị:

a) Chỉ có người thứ bắn trúng mục tiêu ĐS: A A A1 2 3

b) Chỉ có người bắn trúng mục tiêu ĐS: A A A1 2 3A A A1 2 3A A A1 2 3

c) Chỉ có hai người bắn trúng mục tiêu ĐS: A A A1 2 3A A A1 2 3A A A1 2 3

d) Có người bắn trúng mục tiêu ĐS: A1A2A3

Bài 3: Kiểm tra theo thứ tự lơ hàng có 10 sản phẩm Các sản phẩm thuộc hai loại: tốt xấu Ký hiệu T (kk 1,10) biến cố sản phẩm kiểm tra thứ k thuộc loại tốt Viết ký hiệu biến cố sau: Cả 10 sản phẩm xấu

Bài 4: Gieo đồng xu lần liên tiếp Tính xác suất để có lần lật ngửa ĐS: P 0,5

Bài 5: Gieo đồng xu cân đối Gọi A biến cố có đồng xu lật ngửa B biến cố có đồng xu lật ngửa

a) Tính xác suất để có đồng xu ngửa ĐS:  

8

P A 

b) Tính P A B P B A /  ĐS:   21

64

P AB  ;  / 

P B A 

Bài 6: Cho  

5

P A  ,  

12

P B   

6

P AB  Hỏi biến cố A B có:

a) Xung khắc hay không? ĐS: Không

b) Độc lập với hay khơng? ĐS: Có

Bài 7: Gieo xúc xắc cân đối Tính xác suất để tổng số chấm mặt xuất hai xúc xắc

bằng 10 ĐS:

12

P 

Bài 8: Một bình đựng bi đỏ, bi trắng bi xanh Lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất biến cố sau đây:

a) A: “lấy bi đỏ” ĐS:  

12

(6)

b) B: “lấy bi trắng” ĐS:  

3

P B 

c) C: “lấy bi xanh” ĐS:  

12

P C 

Bài 9: Cho hai biến cố A B biết P A   0, 3; P B   0, P A B0,1 Tính P A B,  

P A , P B ,   P A B, P A B

ĐS: P A BP A 0, 7; P B   0,5; P AB   0, 9; P A B0,3

Bài 10: Chọn ngẫu nhiên cỗ 32 lá, trả cỗ rút khác a) Tính xác suất để hai rút già đầm ĐS:

64

P 

b) Tính xác suất hai rút khơng có ĐS: 15

16

P 

Bài 11: Một bình đựng bi xanh bi đỏ Lần lượt lấy bi liên tiếp lần lần trả lại bi lấy vào bình

a) Tính xác suất để bi xanh ĐS:

27

P 

b) Tính xác suất để bi đỏ ĐS:

27

P 

c) Tính xác suất để bi không màu ĐS:

3

P 

Bài 12: Trong nhà máy có máy dệt Trong ngày, xác suất để máy thứ bị cố 0, 05 , xác suất để máy thứ hai bị cố 0,1 xác suất để máy thứ ba bị cố 0,15 Tính xác suất để ngày này:

a) Chỉ có máy bị cố ĐS: P 0, 25

b) Chỉ có hai máy bị cố ĐS: P 0, 025

c) Khơng có máy bị cố ĐS: P 0, 727

Bài 13: Bình U đựng bi đỏ bi đen, bình 1 U đựng bi đỏ bi đen Lấy ngẫu nhiên bi 2 bình U bi bình 1 U Gọi 2 A biến cố bi đỏ, B biến cố bi mà tất không màu C biến cố bi đỏ lấy từ bình U 2

a) Tính P A  ĐS:  

75

P A 

b) Tính xác suất để bi màu ĐS: 52

75

P 

c) Tính P C B /  ĐS:  / 

13

P C B 

Bài 14: Một bình đựng bi trắng bi đỏ Ta lấy bi lần liên luật: bi lấy đỏ trả lại bi vào bình, cịn lấy bi trắng khơng trả lại bi vào bình Gọi

1 3

k

(7)

a) Tính xác suất E 1 ĐS:  1

5 36

P E 

b) Tính xác suất E 2 E Suy xác suất lấy bi trắng lần lấy 3

ĐS:  2 10

81

P E  ;  3 100

729

P E  ; 1165

2916

P 

c) Biết ta lấy bi trắng, tính xác suất để bi trắng lấy lần lấy thứ

ĐS: 64

233

P 

Bài 15: Một lớp học có 30 học sinh có 10 nữ sinh Giáo viên hỏi cách ngẫu nhiên học sinh

a) Tính xác suất biến cố A: có học sinh hỏi có nam sinh ĐS:   95

203

P A 

b) Tính xác suất biến cố B: học sinh hỏi giới tính ĐS:  

29

P B 

c) Tính xác suất biến cố C: có nhiều nữ sinh học sinh hỏi ĐS:   152

203

(8)