[r]
(1)Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400
BÀI GIẢNG SỐ 05: ÔN TẬP TỔNG HỢP
Phần 1: Giới hạn dãy số
A.Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tính giới hạn sau:
a) lim2n
+ n –
n2 +1 b) lim
4
2
( 1)(2 )( 1)
n
n n n c) lim
4n – n +
d) lim( n2 – 2n – n ) e) lim(3 2nn3 ) f) lim(n
2
1
2
n n )
Giải:
a)
2 2
2
2
1
2
2
lim lim
1
1 1
n n n n
n
n
b)
4
2
2
1
lim lim
1
( 1)(2 )( 1)
1 1
n
n n n
n n n
c)
1
4
lim lim
1 1
1 1
n n
n
n
d) Ta có:
2
2
lim lim lim
2
1
n
n n n
n n n
n
e)
3
3
2 3
3
3
2
2 3
3
3
2
2
3
2
2 ( 1)
lim lim
2 ( 1) ( 1)
3
lim
2 ( 1) ( 1)
5
3
lim
2
1 (1 ) (1 )
n n n
n n n
n n n n n n
n n
n n n n n n
n n
n n n n
f)
2
2
1
lim lim
2
4
n n
n n
Ví dụ 2: Tính giới hạn sau:
a) lim n
– 5.3n
3n + b) lim
4.3n + 7n +
2.5n + 7n c) lim
(2)Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400
Giải:
a)
2
2 5.3
lim lim
3 1
1
n
n n
n n
b) lim4.3 n
+ 7n + 2.5n + 7n
3
4
4.3 7.7
lim lim
2.5
2
7
n
n n
n
n n
c) lim (– 2) n
+ 3n (– 2)n + + 3n +
2
1
3
2
3
n
n
Ví dụ 3: Tính giới hạn sau:
a) lim 1
1.22.33.4 n n( 1) b) lim
1 1
1.32.43.5 n n( 2)
Giải:
a) lim 1 lim 1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 n n( 1) 2 3 n n
1
lim lim lim
1
1 1
n
n n
n
b) lim 1 1lim 2
1.3 2.4 3.5 n n( 2) 1.3 2.4 3.5 n n( 2)
1 1 1 1 1 1
lim lim
2 n n 2 n
1 1 3
lim (lim lim )
2 n 2 n
B Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tính giới hạn sau:
1) lim– n
+ n –
2n2 – 2) lim
1 n n
3 n
3
3) lim
2
4
1
2
n
n n
4) lim( n22n ) 5) lim(n
4n 2n2n ) 6) lim(2 n n22n )
7) lim2n n
+ n
3n2 +2n + 8) lim n 3 1
1 n n n
n
3
9) lim( n2 + n – n2 + )
10) lim 2n – – n
3n + 11) lim( n 2n n
3
(3)Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 13) lim 4n
2
+ – 2n –
n2 + 4n + – n 14) lim(1 + n
– n4 + 3n + ) 15) lim( n + – n )
16)lim n
+ – n6
n4 + – n2 17) lim n( n + – n ) 18) lim
n n – 3n2 +2
ĐS: 1)
2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
4 3 9)
1
2 10)
3 11)
12) 13)
1
14) 15) 16) 17)
2 18) Bài 2.Tính giới hạn
1) lim n
+ 2n +
2n + 4.3n 2) lim 3n – 4n
3n + 4n 3) lim
(– 1)n + 2n + (– 3)n
4) lim
1
4
5
n n
n n
5) lim
1 2.3
2 (3 5)
n n
n n
ĐS: 1) 2) -1 3) 4) 5) Phần 2: Giới hạn hàm số
A Ví dụ mẫu
Ví dụ 4: Tính giới hạn sau
1)
2 x
2 x x lim
2
2
x
4) x 3x 2
1 x x x lim 2
2
1
x
12)
4
3
1
1 lim
2
x
x
x x
Giải:
1)
2
2 2
2 (2 1)( 2)
lim lim lim(2 1)
2
x x x
x x x x
x
x x
2)
3 2
2
1 1
1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)
lim lim lim
3 ( 2)( 1)
x x x
x x x x x x x
x x x x x
3)
4 2
3 2
1 1
1 ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)
lim lim lim
2 ( 1)( 1)
x x x
x x x x x x
x x x x x x x
Ví dụ 5: Tính giới hạn sau
1)
x
3 x lim
4
x
2) 4x 1 3
x x lim
2
x
3) 2
3
0
x x
1 x
lim
4)
3
3
1 lim
4
x
x
x
5) x x x lim
2
1
x
Giải:
1)
4 4
5 1
lim lim lim
4 (4 )( 3)
x x x
x x
x x x x
2)
2
2 2
2 ( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3)
lim lim lim
4 4( 2)( ) 2( 2)( )
x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
(4)Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400
2
( 1)( 3)
lim
4
2( )
x
x x
x x
3)
3 2
2 2 2 2 3 2 2 2 3 2
0 3
1 1
lim lim lim
3
( (1 ) 1) (1 ) 1
x x x
x x
x x x x x x
4)
2
3
3
1
( 1)( (4 4) 4 4)
1
lim lim
4 4( 1)( 1)
x x
x x x
x
x x x x
2
3
3
1
(4 4) 4 4 4
lim
4.3
4( 1)
x
x x
x x
5)
2
1 1
1 ( 1)( 1)( 1)
lim lim lim
1 1
x x x
x x x x x x x x
x x x
1
( 1)(( 1)( 1) 1)
lim lim( 1)( 1)
1
x x
x x x
x x
x
Ví dụ 6: Tính giới hạn sau
1)
1 x
2 x x lim
3
1
x
2)
3
0
1
lim
x
x x
x
3)
4 x x
x x lim 2
3
4
x
4)
9 x
5 x 10 x
lim 2
3
3
x
5) x 23 8 x 8 x
x lim
Giải:
1)
3
5 3
3
1
2 ( 1)( 2)( 1)
lim lim
( 1)
x x
x x x x x x x x
x x
3
lim ( 2)( 1)
x x x x x x
2)
3 3
0 0
1 1 1 1 1
lim lim lim lim
x x x x
x x x x x x
x x x x
0 3
lim lim
( 1) 1 (1 ) 1
x x
x x
x x x x x
2
0 3
1 1 1
lim lim
2
1 1 (1 ) 1
x x x
x x
3)
3 3
2
4 4
4 1 2
lim lim lim lim
5 ( 4)( 1) ( 4)( 1) ( 4)( 1)
x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
2
4 3
4
lim lim
( 4)( 1)(2 )
( 4)( 1)( ( 4) 4)
x x
x x
x x x
x x x x
2
4 3
1 1 1
lim lim
3.12 3.4 18
( 1)(2 )
( 1)( ( 4) 4)
x x x x
x x x
(5)Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 4)
3 3
2 2
3 3
2 10 10 3 10 2
lim lim lim lim
9 9
x x x x
x x x x x x
x x x x
2
3 3
2( 3)
lim lim
( 3)( 3) ( 3)( 3)(4 2 5 ( 5)
x x
x x
x x x x x x
2
3 3
2 1
lim lim
3 ( 3)(4 2 5 ( 5) 6.4
x x x
x x x
5)
2
3 3
3
2
( (8 ) (8 )(8 ) (8 ) )
lim lim
2
8
x x
x x x x x
x
x
x x
2 3
3 3
2
(8 ) (8 )(8 ) (8 ) 36 60 100
lim
2
x
x x x x
Ví dụ 7: Tính giới hạn sau
a)
lim (2 4 3)
x x x x b)
3
lim ( 2 1)
x x x c) x 2
1
lim
x 3x x 5x
Giải:
a) lim (2 4 3)
x x x x =
2
4
lim lim
1
2 4
2
x x
x
x x x
x x x
b) 3
lim ( 2 1)
x x x 3
2
lim
(2 1) (2 1)(2 1) (2 1)
x
x x x x
c) 2 2
x
1
lim
x 3x x 5x
2
1
lim lim
( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3)
x x
x
x x x x x x x
2
2( 2) 2
lim lim
( 1)( 2)( 3) ( 1)( 3)
x x
x
x x x x x
Ví dụ 8: Tính giới hạn sau
a)
2
2 x
x x 3x
lim
4x x
b)
2
x
9x x 4x 2x
lim
x
c) x 4x
) x x )( x (
lim 3
2
x
d)
2
3
x
x 2x
lim
x x
e)
2 x
7x lim
1 14x 16x x
Giải:
a)
2 2
2
x x
2
1
x 3x
x x 3x x x
lim lim
1
4x x
x x
x
(6)Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400
2 2
2
x x
2
1
1
x x 3x x x
lim lim
1
1
4x x
4
x x
2 2
2
x x
2
1
1
x x 3x x x
lim lim
3
1
4x x
4
x x
Ta thấy
2
2
x x
x x 3x x x 3x
lim lim
4x x 4x x
2
2 x
x x 3x
lim
4x x
không tồn
b)
2
x
9x x 4x 2x
lim
x
=
2
2
x
5x x lim
(x 1)( 9x x 4x 2x 1)
x
2
1
5 x
lim
5
1 1
1
x x x x x
c)
2
3
1
1
( 1)( )
lim lim
4
1
x x
x x x x x
x x
x
d)
2 2
3
x x
3
2
2
1
x 2x x x
lim lim
1
1
x x
1
x x
e)
2
2
7 7
lim lim
14 10
1 1
1 14 16
14 16
x x
x
x x x
x x x
Ví dụ 9: Tính giới hạn sau
a)
2 15 lim
2
x
x x
b)
2
2
4 lim
2
x
x x
c) 2 lim
2
x
x
x x
Giải:
a)
2 15 lim
2
x
x x
13
b)
2
2 2
( 2)( 2)
4
lim lim lim
2 2
x x x
x x
x x
x x x
c) 2 2
2 2
2 2 1
lim lim lim lim
2 2 ( 2)(2 1)
x x x x
x x x
x x x x x x x
(7)Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 1 , 1 ( ) , x x x f x x
x =
Giải:
+)
0
3
lim ( ) lim
2 x x f x +) 3 2 3
0 0
(1 ) 1 (1 ) 1 1
1
lim ( ) lim lim lim
2
1 1 1
x x x x
x x x x x
x f x
x x x x
B Bài tập tự luyện
Bài 1.Tính giới hạn sau
1) x x x x lim 2 x
2) x 4x 4
x x lim 2 2
x
3) x 2x 3
1 x
lim 3 2
4
1
x
4) x x x x x
lim 4 2
2
3
x
5) 2x x 1
3 x x lim 2
x
6)
3
2
x 4 x
2 x x lim 7) x x x x lim 2 x
8)
2 lim x
x x x
x
9)
(1 )(1 )(1 ) lim
x
x x x
x
ĐS: 1) 2) 3)
4) 5) 6)
9
4 7) 8) 9) Bài 2.Tính giới hạn sau:
1) x x x lim x
2) x 49
3 x lim 2 x
3) 1 5 x
x lim
4
x
4) x x x x lim
x
5) x 3 2
1 x lim
1
x
6) x 1
2 x x lim 2 x 7) 2 lim x x x
8)
2 1 lim x x x 9)
9 16
lim x x x x
ĐS: 1) 2) 14
3)
4)
15 5) 6)
4 7)
2 8) 9) 24 Bài 3.Tính giới hạn sau:
1) x x lim
x 2)
3 2 lim x x x x
3) x
2 x x 10 lim x
4)
3
2 x
8x 11 x
lim
x 3x
5)
0
1 lim x x x x 6)
1 lim x x x x 7) n x
x nx n
lim
(x 1)
ĐS: 1) 2) 11 24
3) 4)
54 5) 6)
3 7) Bài 4.Tìm số a,b để
a)lim( x2 x ax b)
x
b) ax b)
1 x x ( lim
x
(8)Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 ĐS: a)
1 1,
2 1,
2
a b
a b
b) a =1, b = -1
Bài 5:Tìm giới hạn bên hàm số điểm
a)
2
3
4
2
,
8 ( )
16
,
2
x x
x x f x
x
x x
b)
2
2
3
,
1 ( )
,
2
x x
x x
f x
x x
ĐS: a)
2
1 lim ( )
6
x
f x
,
2
lim ( ) 32
x
f x
b)
1
1 lim ( )
2
x
f x
,
1
1 lim ( )
2
x
f x
Bài : Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn điểm ra:
a)
3
1
( ) 1
2 x
f x x
mx
b) ( ) 2
3
x m
f x
x x m
ĐS: a) m = b) m =
Phần 3:Hàm số liên tục
A Ví dụ mẫu
Ví dụ 11: Xét tính liên tục hàm số sau điểm cho
a) f(x) =
2 x 11
2 x x x
6 x x
2
xo = b) f(x) =
3
3
x x
2
x 1
khi x x
xo =
Giải:
a) Ta có:
+)
3 2
2
2 2
6 ( 2)( 3) 11
lim ( ) lim lim lim
2 ( 2)( 1)
x x x x
x x x x x x x
f x
x x x x x
+) (2) 11
f
Vì
2
11 lim ( ) (2)
3
x f x f nên hàm số liên tục x =
b) Ta có:
Khi x<1
Khi x
Tại x=1
Khi x<-1
Khi x -1
(9)Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 +)
2 3
3
3
0 0
( (1 ) 1) (1 ) 1
1
lim ( ) lim lim lim
2
1 ( 1) 1
x x x x
x x x x x
x f x
x x x x
+)
0
3
lim ( ) lim
2
x x
f x x
+) f(0) =
Vì
0
3 lim ( ) lim ( ) (0)
2
x f x x f x f nên hàm số liên tục x =
Ví dụ 12: Xét tính liên tục hàm số sau R
f(x) =
5 x 3x
5 x x
3 2x
2 x x
10 x x
2
Giải:
Ta có:
Khi x < 2, ta có
2
2
3 10
( )
4
x x
f x
x
nên hàm số liên tục với x <
Khi x > 2, ta có f(x) = x x
nên hàm số liên tục với x >
Khi x < 5, ta có f(x) = x x
nên hàm số liên tục với x < Khi x > 5, ta có f(x) = 3x – nên hàm số liên tục với x >
Ta xét tính liên tục hàm số x = x =
Xét tính liên lục hàm số x =
2
2
2 2
3 10 ( 2)( 5)
lim ( ) lim lim lim
4 ( 2)( 2)
x x x x
x x x x x
f x
x x x x
2
2
lim ( ) lim
2
x x
x f x
x
(2)
f
Ta thấy
2
7 lim ( ) lim ( )
4
x x
f x f x
nên hàm số liên tục x =
Xét tính liên tục hàm số x =
5
lim ( ) lim (3 4) 11
x x
f x x
5
2 13
lim ( ) lim
2
x x
x f x
x
(10)Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 Ta thấy
5
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
nên hàm số gián đoạn x =
Vậy hàm số liên tục ;5 5; gián đoạn x =
Ví dụ 13: Tìm a để hàm số sau liên tục x0
a) f(x) =
1 x a
1 x x
3 x x
2
x0 = b) f(x) =
3
3x 2
khi x x
1
ax + x
4
x = 0
Giải:
a) Ta có:
3 2
2
1 1
2 ( 1)( 3) 3
lim ( ) lim lim lim
1 ( 1)( 1)
x x x x
x x x x x x x
f x
x x x x
(1) f a
Để hàm số liên tục x0 =
1
3 lim ( ) (1)
2
x f x f a
Vậy với
2
a hàm số liên tục x0 =
b) Ta có:
+)
3
2
2 2
3 2 3( 2)
lim ( ) lim lim
2 ( 2)( (3 2) 2 3 2 4)
x x x
x x
f x
x x x x
=
2
2
3
lim
12
(3 2)
x x x
+)
2
1
lim ( ) lim ax
4
x x
f x a
+) f(2) = a
Để hàm số liên tục x = 0
2
1
lim ( ) lim ( ) (2)
4
x x
f x f x f a a
Vậy với a = hàm số liện tục x = 0
Ví dụ 14: Chứng minh phương trình sau có nghiệm:
a) x3 – 2x – = b) cosx – x + =
Giải:
a) Hàm số f(x) = x3 – 2x – liên tục R Ta có: f(2) = - , f(3) = 14
(2) (3)
f f
nên phương trình có nghiệm thuộc 2;3 Vậy phương trình có nghiệm
b) Hàm số f(x) = cosx – x + liên tục 0;
(11)Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 (0) ( )
f f
nên phương trình có nghiệm thuộc 0; Vậy phương trình có nghiệm
Ví dụ 15: Chứng minh phương trình
a) x3 – 3x2 + = có nghiệm khoảng (– 1;3) b) 2x3 – 6x + = có nghiệm khoảng (– 2;2)
Giải:
a) Hàm số f(x) = x3 – 3x2 + liên tục R Ta có: f(-1) = -1; f(0) = 3; f(2) = -1; f(3) =
Suy ra:
+) f(-1).f(0) < nên phương trình có nghiệm thuộc 1;0 +) f(0).f(2) < nên phương trình có nghiệm thuộc 0; 2 +) f(2).f(3) < nên phương trình có nghiệm thuộc 2;3 Vậy phương trình có nghiệm khoảng (– 1;3)
b) Hàm số f(x) = 2x3 – 6x + liên tục R Ta có: f(-2) = -3; f(-1) = 5; f(1) = -3; f(2) =
Suy ra:
+) f(-2).f(-1) < nên phương trình có nghiệm thuộc 2; 1 +) f(-1).f(1) < nên phương trình có nghiệm thuộc 1;1 +) f(1).f(2) < nên phương trình có nghiệm thuộc 1; 2
Bài tập tự luyện
Bài 1.Xét tính liên tục hàm số sau:
a) f(x) =
1 x 2x
1 x x x2
xo = b) f(x) =
1 2x
khi x
2 x
1 x
xo =
c) f(x) =
2
2
x 3x
khi x
x
x
khi x
xo = d) f(x) =
2
4 x
khi x
x
1 2x khix
xo =
e) f(x) =
2 x x
2 x x x2
ĐS: a) Hàm số ko liên tục b)Hàm số liên tục c)Hàm số ko liên tục d)Hàm số ko liên tục e) Hàm số liên tục
(12)Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 a) f(x) =
1 x a 2x
1 x x x
x0 = b) f(x) =
1 x x
khi x x
4 x
a x
x
xo =
ĐS: a) a = b) a = -3
Bài Chứng minh phương trình sau có nghiệm:
a) x5 + x3 – = b) x3 + x2 + x + 2/3 = c) x3 – 6x2 + 9x – 10 = HD: chứng minh
a) f(0) (1)f
b) f( 1) (0) f
c) f(4) (5)f
Bài Chứng minh phương trình
a) x3 + 3x2 – = có nghiệm khoảng (– 3;1) b) x3 – 3x2 + = có nghiệm khoảng (– 1;3) c) 2x2 + 3x – = có nghiệm khoảng (– 3;1) d) x5 – 5x4 + 4x – = có nghiệm khoảng (0;5) Bài 5.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c =
Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm [0;1 ]
HD: f(0) = c ,
3 9
a b a b c
f c
19
9 18
c c
c
2
1
(0)
3 18
c f f
Bài Chứng minh rằng: phương trình sau ln ln có nghiệm: a) cosx + m.cos2x =
b) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + = c) (m2 + m + 1)x4 + 2x – = HD: Chứng minh
a) pt 2 cosm xcosx m Chứng minh 0, m
b) f( 2) (1) f
c) f(0) (1)f
Bài 7.Cho phương trình x4 – x – = Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm xo (1;2) xo >