1. Trang chủ
  2. » Nghệ sĩ và thiết kế

Bài giảng số 5: Ôn tập tổng hợp giới hạn và hàm số liên tục

12 15 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 12
Dung lượng 403,65 KB

Nội dung

[r]

(1)

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400

BÀI GIẢNG SỐ 05: ÔN TẬP TỔNG HỢP

Phần 1: Giới hạn dãy số

A.Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tính giới hạn sau:

a) lim2n

+ n –

n2 +1 b) lim

4

2

( 1)(2 )( 1)

n

n n n  c) lim

4n – n +

d) lim( n2 – 2n – n ) e) lim(3 2nn3   ) f) lim(n

2

1

2

n   n  )

Giải:

a)

2 2

2

2

1

2

2

lim lim

1

1 1

n n n n

n

n

 

 

 

 

b)

4

2

2

1

lim lim

1

( 1)(2 )( 1)

1 1

n

n n n

n n n

 

        

  

     

     

c)

1

4

lim lim

1 1

1 1

n n

n

n  

  

 

d) Ta có:  

2

2

lim lim lim

2

1

n

n n n

n n n

n

 

     

 

 

e)

 

 

 

3

3

2 3

3

3

2

2 3

3

3

2

2

3

2

2 ( 1)

lim lim

2 ( 1) ( 1)

3

lim

2 ( 1) ( 1)

5

3

lim

2

1 (1 ) (1 )

n n n

n n n

n n n n n n

n n

n n n n n n

n n

n n n n

  

    

     

  

     

  

  

 

     

 

 

f)

2

2

1

lim lim

2

4

n n

n n

    

  

 

  

 

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau:

a) lim n

– 5.3n

3n + b) lim

4.3n + 7n +

2.5n + 7n c) lim

(2)

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400

Giải:

a)

2

2 5.3

lim lim

3 1

1

n

n n

n n

    

  

  

  

    

b) lim4.3 n

+ 7n + 2.5n + 7n

3

4

4.3 7.7

lim lim

2.5

2

7

n

n n

n

n n

    

  

  

  

    

c) lim (– 2) n

+ 3n (– 2)n + + 3n +

2

1

3

2

3

n

n

 

 

 

 

 

   

 

Ví dụ 3: Tính giới hạn sau:

a) lim 1

1.22.33.4  n n( 1) b) lim

1 1

1.32.43.5 n n( 2)

Giải:

a) lim 1 lim 1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 n n( 1) 2 3 n n

   

            

   

   

 

1

lim lim lim

1

1 1

n

n n

n

 

     

 

  

b) lim 1 1lim 2

1.3 2.4 3.5 n n( 2) 1.3 2.4 3.5 n n( 2)

   

        

   

 

   

1 1 1 1 1 1

lim lim

2 n n 2 n

   

              

 

   

1 1 3

lim (lim lim )

2 n 2 n

 

     

 

 

B Bài tập tự luyện:

Bài 1: Tính giới hạn sau:

1) lim– n

+ n –

2n2 – 2) lim

1 n n

3 n

3

 

3) lim

2

4

1

2

n

n n

 

4) lim( n22n  ) 5) lim(n

4n 2n2n ) 6) lim(2 n n22n )

7) lim2n n

+ n

3n2 +2n + 8) lim n 3 1

1 n n n

n

3

 

 

9) lim( n2 + n – n2 + )

10) lim 2n – – n

3n + 11) lim( n 2n n

3

(3)

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 13) lim 4n

2

+ – 2n –

n2 + 4n + – n 14) lim(1 + n

– n4 + 3n + ) 15) lim( n + – n )

16)lim n

+ – n6

n4 + – n2 17) lim n( n + – n ) 18) lim

n n – 3n2 +2

ĐS: 1) 

2) 3) 4)  5) 6) 7) 8)

4 3 9)

1

2 10)

3 11)

12) 13)

1

 14) 15) 16) 17)

2 18) Bài 2.Tính giới hạn

1) lim n

+ 2n +

2n + 4.3n 2) lim 3n – 4n

3n + 4n 3) lim

(– 1)n + 2n + (– 3)n

4) lim

1

4

5

n n

n n

 

 5) lim

1 2.3

2 (3 5)

n n

n n

 

ĐS: 1) 2) -1 3) 4) 5) Phần 2: Giới hạn hàm số

A Ví dụ mẫu

Ví dụ 4: Tính giới hạn sau

1)

2 x

2 x x lim

2

2

x 

 

 4) x 3x 2

1 x x x lim 2

2

1

x  

  

 12)

4

3

1

1 lim

2

x

x

x x

 

Giải:

1)

2

2 2

2 (2 1)( 2)

lim lim lim(2 1)

2

x x x

x x x x

x

x x

  

   

   

 

2)

3 2

2

1 1

1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)

lim lim lim

3 ( 2)( 1)

x x x

x x x x x x x

x x x x x

  

      

  

    

3)

4 2

3 2

1 1

1 ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)

lim lim lim

2 ( 1)( 1)

x x x

x x x x x x

x x x x x x x

  

     

   

      

Ví dụ 5: Tính giới hạn sau

1)

x

3 x lim

4

x 

 

 2) 4x 1 3

x x lim

2

x  

 

3) 2

3

0

x x

1 x

lim  

4)

3

3

1 lim

4

x

x

x

  5) x x x lim

2

1

x 

Giải:

1)

4 4

5 1

lim lim lim

4 (4 )( 3)

x x x

x x

x x x x

  

    

  

     

2)

2

2 2

2 ( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3)

lim lim lim

4 4( 2)( ) 2( 2)( )

x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x

  

           

 

(4)

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400

2

( 1)( 3)

lim

4

2( )

x

x x

x x

    

 

 

3)

3 2

2 2 2 2 3 2 2 2 3 2

0 3

1 1

lim lim lim

3

( (1 ) 1) (1 ) 1

x x x

x x

x x x x x x

  

 

  

       

4)

2

3

3

1

( 1)( (4 4) 4 4)

1

lim lim

4 4( 1)( 1)

x x

x x x

x

x x x x

 

    

 

    

2

3

3

1

(4 4) 4 4 4

lim

4.3

4( 1)

x

x x

x x

     

  

 

5)

2

1 1

1 ( 1)( 1)( 1)

lim lim lim

1 1

x x x

x x x x x x x x

x x x

  

        

 

  

1

( 1)(( 1)( 1) 1)

lim lim( 1)( 1)

1

x x

x x x

x x

x

 

   

     

Ví dụ 6: Tính giới hạn sau

1)

1 x

2 x x lim

3

1

x 

 

 2)

3

0

1

lim

x

x x

x

  

3)

4 x x

x x lim 2

3

4

x  

 

4)

9 x

5 x 10 x

lim 2

3

3

x 

  

 5) x 23 8 x 8 x

x lim

  

Giải:

1)

3

5 3

3

1

2 ( 1)( 2)( 1)

lim lim

( 1)

x x

x x x x x x x x

x x

 

       

 

3

lim ( 2)( 1)

x x x x x x

       

2)

3 3

0 0

1 1 1 1 1

lim lim lim lim

x x x x

x x x x x x

x x x x

   

           

  

 

0 3

lim lim

( 1) 1 (1 ) 1

x x

x x

x x x x x

 

 

     

2

0 3

1 1 1

lim lim

2

1 1 (1 ) 1

x x x

x x

 

    

     

3)

3 3

2

4 4

4 1 2

lim lim lim lim

5 ( 4)( 1) ( 4)( 1) ( 4)( 1)

x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

   

        

  

       

2

4 3

4

lim lim

( 4)( 1)(2 )

( 4)( 1)( ( 4) 4)

x x

x x

x x x

x x x x

 

 

 

  

     

2

4 3

1 1 1

lim lim

3.12 3.4 18

( 1)(2 )

( 1)( ( 4) 4)

x x x x

x x x

 

     

 

(5)

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 4)

3 3

2 2

3 3

2 10 10 3 10 2

lim lim lim lim

9 9

x x x x

x x x x x x

x x x x

   

           

  

   

2

3 3

2( 3)

lim lim

( 3)( 3) ( 3)( 3)(4 2 5 ( 5)

x x

x x

x x x x x x

 

 

 

       

2

3 3

2 1

lim lim

3 ( 3)(4 2 5 ( 5) 6.4

x x x

x x x

 

     

     

5)

2

3 3

3

2

( (8 ) (8 )(8 ) (8 ) )

lim lim

2

8

x x

x x x x x

x

x

x x

 

     

  

2 3

3 3

2

(8 ) (8 )(8 ) (8 ) 36 60 100

lim

2

x

x x x x

       

 

Ví dụ 7: Tính giới hạn sau

a)

lim (2 4 3)

x x  xx b)

3

lim ( 2 1)

x x  x c) x 2

1

lim

x 3x x 5x

 

 

   

 

Giải:

a) lim (2 4 3)

x x  xx =

2

4

lim lim

1

2 4

2

x x

x

x x x

x x x

   

   

   

b) 3

lim ( 2 1)

x x  x 3

2

lim

(2 1) (2 1)(2 1) (2 1)

x

x x x x



 

     

c) 2 2

x

1

lim

x 3x x 5x

 

 

   

  2

1

lim lim

( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3)

x x

x

x x x x x x x

 

  

   

      

 

2

2( 2) 2

lim lim

( 1)( 2)( 3) ( 1)( 3)

x x

x

x x x x x

 

    

     

Ví dụ 8: Tính giới hạn sau

a)

2

2 x

x x 3x

lim

4x x



  

  

b)

2

x

9x x 4x 2x

lim

x



    

 c) x 4x

) x x )( x (

lim 3

2

x 

 

 

d)

2

3

x

x 2x

lim

x x



 

 

e)

2 x

7x lim

1 14x 16x x



   

Giải:

a)

2 2

2

x x

2

1

x 3x

x x 3x x x

lim lim

1

4x x

x x

x

 

  

  

   

  

(6)

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400

2 2

2

x x

2

1

1

x x 3x x x

lim lim

1

1

4x x

4

x x

 

  

  

  

  

  

2 2

2

x x

2

1

1

x x 3x x x

lim lim

3

1

4x x

4

x x

 

   

   

 

  

   

Ta thấy

2

2

x x

x x 3x x x 3x

lim lim

4x x 4x x

 

     

 

     

2

2 x

x x 3x

lim

4x x



  

  

không tồn

b)

2

x

9x x 4x 2x

lim

x



    

 =

2

2

x

5x x lim

(x 1)( 9x x 4x 2x 1)



     

x

2

1

5 x

lim

5

1 1

1

x x x x x



  

 

 

       

 

   

c)

2

3

1

1

( 1)( )

lim lim

4

1

x x

x x x x x

x x

x

 

   

 

   

     

 

d)

2 2

3

x x

3

2

2

1

x 2x x x

lim lim

1

1

x x

1

x x

 

  

  

   

 

 

e)

2

2

7 7

lim lim

14 10

1 1

1 14 16

14 16

x x

x

x x x

x x x

     

   

   

Ví dụ 9: Tính giới hạn sau

a)

2 15 lim

2

x

x x

 

 b)

2

2

4 lim

2

x

x x

 c) 2 lim

2

x

x

x x

 

Giải:

a)

2 15 lim

2

x

x x

 

13

  

b)

2

2 2

( 2)( 2)

4

lim lim lim

2 2

x x x

x x

x x

x x x

  

  

 

 

    

  

c) 2 2

2 2

2 2 1

lim lim lim lim

2 2 ( 2)(2 1)

x x x x

x x x

x x x x x x x

   

   

  

   

      

(7)

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 1 , 1 ( ) , x x x f x x              

x =

Giải:

+)

0

3

lim ( ) lim

2 x x f x       +)     3 2 3

0 0

(1 ) 1 (1 ) 1 1

1

lim ( ) lim lim lim

2

1 1 1

x x x x

x x x x x

x f x

x x x x

                           

B Bài tập tự luyện

Bài 1.Tính giới hạn sau

1) x x x x lim 2 x    

 2) x 4x 4

x x lim 2 2

x  

 3) x 2x 3

1 x

lim 3 2

4

1

x  

   4) x x x x x

lim 4 2

2

3

x  

  

 5) 2x x 1

3 x x lim 2

x  

 

 6)

3

2

x 4 x

2 x x lim      7) x x x x lim 2 x   

 8)

2 lim x

x x x

x

  

 9)

(1 )(1 )(1 ) lim

x

x x x

x

   

ĐS: 1) 2)  3)

 4) 5) 6)

9

4 7) 8) 9) Bài 2.Tính giới hạn sau:

1) x x x lim x   

 2) x 49

3 x lim 2 x   

 3) 1 5 x

x lim

4

x  

   4) x x x x lim

x  

  

 5) x 3 2

1 x lim

1

x  

 6) x 1

2 x x lim 2 x     7) 2 lim x x x   

  8)

2 1 lim x x x    9)

9 16

lim x x x x     

ĐS: 1) 2) 14 

3) 

4)

15 5) 6)

4 7)

2 8) 9) 24 Bài 3.Tính giới hạn sau:

1) x x lim

x   2)

3 2 lim x x x x    

 3) x

2 x x 10 lim x    

 4)

3

2 x

8x 11 x

lim

x 3x

  

 

5)

0

1 lim x x x x     6)

1 lim x x x x     7) n x

x nx n

lim

(x 1)

  

ĐS: 1) 2) 11 24 

3) 4)

54 5) 6)

3 7) Bài 4.Tìm số a,b để

a)lim( x2 x ax b)

x     

b) ax b)

1 x x ( lim

x   

 

(8)

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 ĐS: a)

1 1,

2 1,

2

a b

a b

 

 

   



b) a =1, b = -1

Bài 5:Tìm giới hạn bên hàm số điểm

a)

2

3

4

2

,

8 ( )

16

,

2

x x

x x f x

x

x x

 

 

   

 

 

b)

2

2

3

,

1 ( )

,

2

x x

x x

f x

x x

  

 

 

 

 

 

ĐS: a)

2

1 lim ( )

6

x

f x

  ,

2

lim ( ) 32

x

f x

b)

1

1 lim ( )

2

x

f x

  ,

1

1 lim ( )

2

x

f x

 

Bài : Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn điểm ra:

a)

3

1

( ) 1

2 x

f x x

mx

 

  

 

b) ( ) 2

3

x m

f x

x x m

   

  

ĐS: a) m = b) m =

Phần 3:Hàm số liên tục

A Ví dụ mẫu

Ví dụ 11: Xét tính liên tục hàm số sau điểm cho

a) f(x) =

      

  

  

2 x 11

2 x x x

6 x x

2

xo = b) f(x) =

3

3

x x

2

x 1

khi x x

 

  

 

 

  

xo =

Giải:

a) Ta có:

+)

3 2

2

2 2

6 ( 2)( 3) 11

lim ( ) lim lim lim

2 ( 2)( 1)

x x x x

x x x x x x x

f x

x x x x x

   

      

   

    

+) (2) 11

f

2

11 lim ( ) (2)

3

xf xf  nên hàm số liên tục x =

b) Ta có:

Khi x<1

Khi x 

Tại x=1

Khi x<-1

Khi x  -1

(9)

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 +)

2 3

3

3

0 0

( (1 ) 1) (1 ) 1

1

lim ( ) lim lim lim

2

1 ( 1) 1

x x x x

x x x x x

x f x

x x x x

   

   

       

 

   

     

+)

0

3

lim ( ) lim

2

x x

f x x

 

 

 

   

 

+) f(0) =

0

3 lim ( ) lim ( ) (0)

2

x  f xx  f xf  nên hàm số liên tục x =

Ví dụ 12: Xét tính liên tục hàm số sau R

f(x) =

  

   

 

 

  

 

 

5 x 3x

5 x x

3 2x

2 x x

10 x x

2

Giải:

Ta có:

Khi x < 2, ta có

2

2

3 10

( )

4

x x

f x

x

 

 nên hàm số liên tục với x <

Khi x > 2, ta có f(x) = x x

 nên hàm số liên tục với x >

Khi x < 5, ta có f(x) = x x

 nên hàm số liên tục với x < Khi x > 5, ta có f(x) = 3x – nên hàm số liên tục với x >

Ta xét tính liên tục hàm số x = x =

 Xét tính liên lục hàm số x =

2

2

2 2

3 10 ( 2)( 5)

lim ( ) lim lim lim

4 ( 2)( 2)

x x x x

x x x x x

f x

x x x x

   

   

    

   

   

2

2

lim ( ) lim

2

x x

x f x

x

 

 

 

(2)

f

Ta thấy

2

7 lim ( ) lim ( )

4

x x

f x f x

 

 

  nên hàm số liên tục x =

 Xét tính liên tục hàm số x =

5

lim ( ) lim (3 4) 11

x x

f x x

 

 

  

5

2 13

lim ( ) lim

2

x x

x f x

x

 

 

 

(10)

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 Ta thấy

5

lim ( ) lim ( )

x x

f x f x

 

 

 nên hàm số gián đoạn x =

Vậy hàm số liên tục ;5  5; gián đoạn x =

Ví dụ 13: Tìm a để hàm số sau liên tục x0

a) f(x) =

    

  

 

1 x a

1 x x

3 x x

2

x0 = b) f(x) =

3

3x 2

khi x x

1

ax + x

4

  

 

 

 

 

x = 0

Giải:

a) Ta có:

3 2

2

1 1

2 ( 1)( 3) 3

lim ( ) lim lim lim

1 ( 1)( 1)

x x x x

x x x x x x x

f x

x x x x

   

      

   

   

(1) fa

Để hàm số liên tục x0 =

1

3 lim ( ) (1)

2

xf xfa

Vậy với

2

a  hàm số liên tục x0 =

b) Ta có:

+)

3

2

2 2

3 2 3( 2)

lim ( ) lim lim

2 ( 2)( (3 2) 2 3 2 4)

x x x

x x

f x

x x x x

  

  

  

 

     

=

2

2

3

lim

12

(3 2)

x  x x

 

   

+)

2

1

lim ( ) lim ax

4

x x

f x a

 

 

 

    

 

+) f(2) = a 

Để hàm số liên tục x = 0

2

1

lim ( ) lim ( ) (2)

4

x x

f x f x f a a

 

 

      

Vậy với a = hàm số liện tục x = 0

Ví dụ 14: Chứng minh phương trình sau có nghiệm:

a) x3 – 2x – = b) cosx – x + =

Giải:

a) Hàm số f(x) = x3 – 2x – liên tục R Ta có: f(2) = - , f(3) = 14

(2) (3)

f f

  nên phương trình có nghiệm thuộc 2;3 Vậy phương trình có nghiệm

b) Hàm số f(x) = cosx – x + liên tục 0;

(11)

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 (0) ( )

f f

  nên phương trình có nghiệm thuộc 0; Vậy phương trình có nghiệm

Ví dụ 15: Chứng minh phương trình

a) x3 – 3x2 + = có nghiệm khoảng (– 1;3) b) 2x3 – 6x + = có nghiệm khoảng (– 2;2)

Giải:

a) Hàm số f(x) = x3 – 3x2 + liên tục R Ta có: f(-1) = -1; f(0) = 3; f(2) = -1; f(3) =

Suy ra:

+) f(-1).f(0) < nên phương trình có nghiệm thuộc 1;0 +) f(0).f(2) < nên phương trình có nghiệm thuộc 0; 2 +) f(2).f(3) < nên phương trình có nghiệm thuộc 2;3 Vậy phương trình có nghiệm khoảng (– 1;3)

b) Hàm số f(x) = 2x3 – 6x + liên tục R Ta có: f(-2) = -3; f(-1) = 5; f(1) = -3; f(2) =

Suy ra:

+) f(-2).f(-1) < nên phương trình có nghiệm thuộc  2; 1 +) f(-1).f(1) < nên phương trình có nghiệm thuộc 1;1 +) f(1).f(2) < nên phương trình có nghiệm thuộc 1; 2

Bài tập tự luyện

Bài 1.Xét tính liên tục hàm số sau:

a) f(x) =   

 

 

1 x 2x

1 x x x2

xo = b) f(x) =

1 2x

khi x

2 x

1 x

  

 

 

 

xo =

c) f(x) =

2

2

x 3x

khi x

x

x

khi x

  

 

 

 

 

xo = d) f(x) =

2

4 x

khi x

x

1 2x khix

 

 

 

  

xo =

e) f(x) =   

  

  

2 x x

2 x x x2

ĐS: a) Hàm số ko liên tục b)Hàm số liên tục c)Hàm số ko liên tục d)Hàm số ko liên tục e) Hàm số liên tục

(12)

Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400 a) f(x) =

  

 

 

1 x a 2x

1 x x x

x0 = b) f(x) =

1 x x

khi x x

4 x

a x

x

   

 

 

  

 

xo =

ĐS: a) a = b) a = -3

Bài Chứng minh phương trình sau có nghiệm:

a) x5 + x3 – = b) x3 + x2 + x + 2/3 = c) x3 – 6x2 + 9x – 10 = HD: chứng minh

a) f(0) (1)f

b) f( 1) (0) f

c) f(4) (5)f

Bài Chứng minh phương trình

a) x3 + 3x2 – = có nghiệm khoảng (– 3;1) b) x3 – 3x2 + = có nghiệm khoảng (– 1;3) c) 2x2 + 3x – = có nghiệm khoảng (– 3;1) d) x5 – 5x4 + 4x – = có nghiệm khoảng (0;5) Bài 5.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c =

Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm [0;1 ]

HD: f(0) = c ,

3 9

a b a b c

f      c    

19

9 18

c c

c

  

2

1

(0)

3 18

c f f   

   

 

Bài Chứng minh rằng: phương trình sau ln ln có nghiệm: a) cosx + m.cos2x =

b) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + = c) (m2 + m + 1)x4 + 2x – = HD: Chứng minh

a) pt 2 cosm xcosx m  Chứng minh  0, m

b) f( 2) (1) f

c) f(0) (1)f

Bài 7.Cho phương trình x4 – x – = Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm xo  (1;2) xo >

Ngày đăng: 31/12/2020, 11:45

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w