Bài giảng số 4: Các bài toán về góc trong không gian

B. Sử dụng tỷ số lượng giác của góc trong tam giác vuông hoặc dùng định lý hàm số cos in trong tam giác thường để xác định số đo góc giữa a và b. Tính góc giữa hai đường thẳng S[r]

(1)

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 4: CÁC BÀI TỐN VỀ GĨC

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Góc hai đường thẳng không gian

Định nghĩa: Góc hai đường thẳng a , b góc hai đường thẳng a, b qua điểm song song với a b

Chú ý:

a Để xác định góc a b,  ta lấy điểm O nằm

một hai đường thẳng

b Nếu u, v theo thứ tự vectơ phương đường thẳng a , b  u v ,  góc hai đường thẳng a

b 

180  tùy theo  900  900

 Góc đường thẳng mặt phẳng

Định nghĩa: Góc đường thẳng a mặt phẳng  P góc đường thẳng a hình chiếu

a  P , kí hiệu a P,  hay  P a , 

Đặc biệt:

o Khi a thuộc  P a song song với  P  

 

,

a P 

o Khi a vng góc với  P a P, 900 Như vậy, ta ln có 00 a P, 900

 Góc hai mặt phẳng

Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng lần lượt vng góc với hai mặt phẳng

Đặc biệt: Khi  P  Q trùng song song với

 

,

a b 

Nhận xét: Với hai mặt phẳng  P  Q cắt theo giao

tuyến  d , để tính góc chúng, ta việc xét mặt phẳng

 R vng góc với  d cắt  P  Q theo giao tuyến a b Lúc góc  P  Q góc hai đường thẳng a b

O a

b b'

a'

a' a

O

P

b

a

(2)

B CÁC VÍ DỤ MẪU

 Tính góc hai đường thẳng chéo

Phương pháp: Để tính góc hai đường thẳng chéo a b, ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Ta thực theo bước:

+ Bước 1: Tìm góc việc lấy điểm O (thơng thường Oa Ob) Qua O dựng a, b theo thứ tự song song với a b Khi góc a b góc a b

+ Bước 2: Tính góc Sử dụng tỷ số lượng giác góc tam giác vng dùng định lý hàm số cos in tam giác thường để xác định số đo góc a b

Cách 2: Ta thực theo bước:

+ Bước 1: Tìm hai vectơ u, v theo thứ tự vectơ phương đường thẳng a , b + Bước 2: Tính số đo  u v ,  sử dụng tích vơ hướng

+ Bước 3: Khi đó, góc hai đường thẳng a b  1800  tùy theo  900

90  

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh BC, AD a) Hãy tính cosin góc AB DM , biết ABCD tứ diện có cạnh a b) Hãy tính góc AB CD, biết ABCD2a MN a 3

Giải:

a) Gọi E trung điểm AC, ta có: EM AB

2 a EM 

Do AB DM,   MD ME, 

Xét DEM, ta có:

2 a

DM DE , áp dụng định lý hàm số cosin:

 2

cos

2

DM EM DE

DME

DM EM

 

  

Vậy ta cos ,  AB DM 

b) Gọi O trung điểm BD, ta có: ONAB ON a, OM CD OM a

Do AB CD,   OM ON, 

Gọi I trung điểm MN, IME vng I , ta có: sin IM MOI

OM

  MOI600

 

2 120

MON MOI

   OM ON, 18001200 600

Vậy  

, 60

AB CD 

Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABC có SASBSC AB ACa

BCa Tính góc hai đường thẳng SC AB

Giải:

B

C A

D

N

M O

I

E

B

C A

S

M N

(3)

Cách 1: Gọi M , N, P theo thứ tự trung điểm SA, SB, AC Khi đó, ta nhận thấy: MP SC

MN AB

  



 SC AB,   MP MN, 

Trong MNP, ta có: 

2 2

cos

2

MN MP NP

NMP

MN MP

 



Ta có:

2

a

MN  AB (vì MN đường trung bình),

2

a

MP SC  (vì MP đường trung bình)

Trong SBP, theo định lý đường trung tuyến ta có:

2

2 2

2

2 SB PB PS  NP  Nhận xét rằng:

- Vì ABC vng A c ABó 2AC2 BC2 nên:

2

2 2

4

a a

PB AB AP a  

- Vì SAC đểu c SAó SC ACa nên a PS 

Do

2 a

NP  cos

2 NMP

   NMP1200

Vậy góc hai đường thẳng SC AB 18001200 600 Cách 2: Ta tính góc hai vectơ SC AB, ta có:

   

cos ,

SA AC AB

SC AB SA AB AB AB

SC AB

SC AB SC AB

SC AB                   Trong đó:

- Vì SAB c SAó SBABa nên:  

2

0

.cos 180 cos120

2 a

SA ABSA AB SAB a a  

 

- Vì ABC vng A c ABó 2AC2 BC2 nên  AC AB 

Từ ta được:   2 cos , a SC AB a       

 

, 120

SC AB

    Vậy góc hai đường thẳng SC AB 18001200 600 Cách 3: Ta tính góc hai vectơ SC AB



, ta có:

   

cos ,

SC SB SA

SC AB SC SB SC SA

SC AB

SC AB SC AB

SC AB                   Trong đó:

(4)

- Vì SAC đểu c SAó SC ACa nên 

2

.cos cos 60

2 a SC SASC SA ASCa a   

Từ ta được:  

2

1 cos ,

2 a

SC AB a 

  

 

 

, 120

SC AB

    Vậy góc hai đường thẳng SC AB 18001200 600

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M , N thuộc đường thẳng BC AD cho MBk MC

 

NAk ND với k số thực khác 0 cho trước Đặt  góc hai vectơ MN BA,  góc hai vectơ MN CD Tìm mối liên hệ AB CD để   450

Giải:

Kẻ MP AB , ta có: PA MB MB k NA NA

PC  MC  MC    ND  ND

 

  PN CD

Suy  MN BA,    MN MP, NMP , MN CD ,   MN PN , MNP

Trong MNP, ta có:   450  90

PM PN

MPN     

 



- Ta có: PM CP PM CP.AB

AB CA  CA ,

PN AP AP

PN CD

CD  CA  CA Với điều kiện PM PN, suy ra:

CP AP

AB CD

CA  CA

AB PA MB MB

k

CD PC MC MC

      



  AB k CD

- Với điều kiện MPN  900, ta có ABCD Vậy với ABCD AB k CD thỏa mãn điều kiện đề

 Góc đường thẳng mặt phẳng

Phương pháp: Để tính góc đường thẳng a mặt phẳng  P , ta thực theo bước:

+ Bước 1: Tìm giao điểm O a với  P

+ Bước 2: Chọn điểm Aa dựng AH  P , với H P

Khi AOH a P, 

+ Bước 3: Tính số đo AOH dựa hệ thức lượng giác

Ví dụ 4: Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đơi vng góc ABa, BCb, CDc a) Tính độ dài AD

D

B C

A

P N

M

a' a

O P

(5)

b) Chỉ điểm cách A, B, C, D

c) Tính góc đường thẳng AD mặt phẳng BCD, góc đường thẳng AD mặt phẳng

ABC

Giải:

a) Ta có: CD AB CD ABC CD AC

CD BC

 

   

   ACD

 vuông C

2 2 2 2 2

AD AC CD AB BC CD a b c

        

2 2

AD a b c

   

b) Gọi O trung điểm AD Vì ACD vng C nên

OA OC OD

  

Ta có: CD AB

BC AB

  



  

AB BCD

  ABBD ABD vuông

B OAOBOD

Vậy điểm O cách A, B, C, D c) Ta có:

- Với góc đường thẳng AD mặt phẳng BCD, ta có: ABBCDAD BCD, ADB

Trong ABD, ta có: 

2 2

sinADB AB a

AD a b c

 

 

- Với góc đường thẳng AD mặt phẳng ABC, ta có: CDABCAD ABC, DAC

Trong ACD, ta có: 

2 2

sinDAC CD c

AD a b c

 

 

Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABC , đáy ABC tam giác vuông A, BCa, a SASBSC a) Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng ABC

b) Tính góc đường thẳng SA mặt phẳng ABC

Giải:

a) Gọi O trung điểm BC, suy O tâm đường trịn ngoại tiếp ABC



Ngồi ra, theo giả thiết ta có SASBSC nên SO trục đường tròn ABC, suy SOABC SOd S ,ABC

Trong SAO vng O, ta có:

2

a

OA BC  (trung tuyến thuộc cạnh huyền)

D

C B

A

O

B

A C

S

(6)

2 2

2

2 2

a a a

SO SA OA     

   

 

2 a SO

 

b) Vì SOABC nên OA hình chiếu vng góc SA ABC, SA ABC, SAO

Trong SAO vng O, ta có: cos 3 a OA SAO

SA a

  

Vậy ta cos ,  3

SA ABC 

Ví dụ 6: Một tứ diện gọi gần cạnh đối đôi Với tứ diện ABCD, chứng tỏ tính chất sau tương đương:

a) Tứ diện ABCD gần

b) Các đoạn thẳng nối trung điểm cặp cạnh đối diện đơi vng góc với c) Các trọng tuyến (đoạn nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện) d) Tổng góc đỉnh

180

Giải:

Gọi I , J theo thứ tự trung điểm AB CD a) Chứng minh  a  b tương đương

Từ giả thiết ACBD, ADBC suy ra: ABC BADICIDIJ CD

 

ACD BDCJAJBIJ AB

 

Vậy IJ đoạn vng góc chung AB CD Điều ngược lại

b) Chứng minh  a  c tương đương

Từ giả thiết ACBD, ADBC suy ra: ACDBDC c c c JAJBJA1JB1  

1 1

AA J BB J c g c AA BB

   

Điều ngược lại

C

D B

A

I

J

C

D B

A

I

J B

A

1

(7)

c) Chứng minh  a  d tương đương

Từ giả thiết ACBD, ADBC, ABCD suy ra: ABC CDA BAD DCB

   

Suy ra: BACCDB, CAD DBC, DABBCD

     

180

BAC CAD DAB CDB DBC BCD

      

Điều ngược lại đúng, ta trải mặt ABC, ACD, ADB lên mặt phẳng BCD ta hình khai triển tứ diện ABCD nhận BC, CD, DB ba đường trung bình tam giác Từ đó, suy AC BD, ADBC, ABCD

 Góc hai mặt phẳng

Phương pháp: Để tính góc hai mặt phẳng  P  Q , ta lựa chọn

một hai cách sau:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa, ta thực theo bước:

+ Bước 1: Chọn điểm O, từ hạ OE, OF theo thứ tự vng góc với  P  Q

+ Bước 2: Tính số đo góc EOF 

+ Bước 3: Khi đó,    P , Q EOF EOF 900    

  

, 180

P Q  EOF 

90 EOF 

Cách 2: Ta thực theo bước:

+ Bước 1: Tìm giao tuyến  d  P  Q

+ Bước 2: Chọn điểm O  d , từ dựng Ox d  P ,

và Oy d  Q

+ Bước 3: Tính số đo góc xOy

+ Bước 4: Khi đó,    P , Q  xOy nếu xOy  900 và    

  

, 180

P Q  xOy xOy 900

Ví dụ 7: Cho ABC vng A có cạnh huyền BC thuộc mặt phẳng  P Gọi  ,  góc hợp

hai đường thẳng AB, AC với  P Gọi  góc hợp ABC với  P Chứng minh rằng:

2 2

sin  sin sin 

C

D B

A

P

Q O

F

E

Q d

P

x y

(8)

Giải:

Kẻ AH  P , ta được: ABH , ACH 

Kẻ HI BC  P , suy BC AI (theo định lý ba đường vng góc) AHI 

Trong ABC vng A, ta có:

2 2

1 1

IA  AB  AC

2 2

AH AH AH

IA AB AC

   2

sin  sin  sin 

  

Ví dụ 8: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính

AB a, SAa 3 vng góc với mặt phẳng ABCD a) Tính góc hai mặt phẳng SAD SBC

b) Tính góc hai mặt phẳng SBC SCD

Giải:

a) Ta lựa chọn theo hai cách trình bày sau:

Cách 1: Dựng góc dựa giao tuyến Giả sử ADBCE SAD  SBCSE

Nhận xét rằng: ADBD ABCD nửa lục giác đều, SABD Suy BDSADBDSE Hạ DF SE F, suy

BDFSE

Như vậy, ta góc phẳng hai mặt phẳng SAD SBC BFD

Vì ABE nên AE AB2a CDE nên DECDa

Trong SAE vuông A, ta có:    

2 2

3

SE SA AE  a  a  a SEa

Hai tam giác vng SAE DEF có chung góc E nên chúng đồng dạng, suy ra:

DF DE

SA  SE

21

7

SA DE a a a

DF

SE a

   

Trong ABD vng A, ta có: BD AB.sinBAD2 cos 60a a

Trong BDF vuông D, ta có: tan 21

BD a

BFD

DE a

   BFD nhọn

C

B H

A

I







B

E A

S

D F C

(9)

Vậy ta tanSAD , SBC

Cách 2: Nhận xét rằng: ADBD ABCD nửa lục giác đều, SABD

Suy BDSAD

Trong SAC, hạ AJ SC J, ta có: BC AC ABCD nửa lục giác đều, BCSA

Suy BCSACBCAJ AJ SBC Trong SAC hạ OK SC K, suy OKAJ Do SAD , SBCBD AJ,   BD OK, KOB

Trong nửa lục giác ABCD, ta có: 3

3

a a

OC   , 3

2 3

a a a

OB   

Trong SAC vng A, ta có:      

2

2 2 2 2 2

3

SC SA AC SA  AB BC  a  a a  a

SC a

 

Hai tam giác vng SAC OKC có chung góc nhọn C nên chúng đồng dạng, suy ra: 

OK OC

SA  SC

3

6

a a

SA OC a

OK

SC a

   

Trong KOB vuông K, ta có: 

6

cos

4

3 a OK KOB

OB a

  

Vậy ta cos  ,  SAD SBC 

b) Trong SAC, hạ AJ SC J, ta có: BCAC ABCD nửa lục giác đều, BCSA

Suy BCSACBCAJ AJ SBC

Hạ AH CD H, suy ra:

CD AH

CD SA

  



  

CD SAH

  SCD  SAH

SCD  SAHSH

Hạ AI SH I , suy AI SCD Do SCD , SBCIAJ

B A

S

D C

K O J

B A

S

D C

O J

(10)

Trong SAH vng A, ta có: a

AH 

 2

2 2

1 1 1

3 3

2

AI  SA  AH  a a   a

    15 a AI  

Trong SAC vng A, ta có: AC SAa

2 2

SA a

AJ SC

   

Trong AIJ vng I , ta có: 

15 10 cos a AI IAJ AJ a   

Vậy ta cos  ,  10

SCD SBC 

Ví dụ 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAABCD Hai điểm M

N thay đổi hai cạnh CB CD, đặt CM x, CN y Tìm hệ thức liên hệ x y để:

a) Hai mặt phẳng SAM SAN tạo với góc 45 0 b) Hai mặt phẳng SAM SAN vng góc với

Giải:

Ta có ngay:

   

AM SA

AN SA

SAM SAN SA

            

 SAM , SAN  MAN

 

Trong AMN, ta có:

 2

2 2 2

2

AM AB BM a  ax  axx ,  2

2 2 2

2

AN  AD DN a  ay  ayy ,

2 2 2

MN CM CN x y ,

    

  

2

2 2

2

cos

2 2 2

a x y x y

AM AN MN

MAN

AM AN ax x ay y

  

 

 

 

a) Để SAM SAN tạo với góc 45 điều kiện là:

       2 2 2 2

a x y x y a

ax x ay y

  



   

2

2a 2a x y xy

   

b) Để SAM SAN vng góc với điều kiện là:

(11)

   

  

2

a x y x y

ax x ay y

  



   

2

a x y x y

   

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a; AD = a 3; SA đáy SA =a Tính góc:

a (SB; (SAB) ĐS: 450

b (SD; (SAB) ĐS: 600

c ((SCD), (ABCD)) ĐS: 300

Bài 2: Cho hình vng ABCD cạnh a, vẽ SA  (ABCD) SA = a Tính số đo nhị diện su:

a) S,AB,C ĐS: 900

b) S,BD,A ĐS: arctan

c) SAB,SCD ĐS: 300

Bài 3: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cạnh đáy a Biết góc tạo thành hai cạnh bên mặt đáy 600 hình chiếu H đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm cạnh B’C’

a) Tính khoảng cách hai mặt đáy ĐS:

2 a

b)Tính tang góc hai đường thẳng BC AC’ ĐS: tg

c Tính tang góc mặt phẳng (ABB’A’) mặt đáy ĐS: tg2

Bài 4: Cho tam giác vng ABC có cạnh huyền BC nằm mặt phẳng (P) Gọi ,lần lượt góc hợp hai đường thẳng AB, AC mặt phẳng (P) Gọi  góc hợp (ABC) (P).Chứng minh rằng:

   

 2

2

sin sin

sin

Bài 5: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Đặt OA = a, OB = b, OC = c Gọi  ,, 

lần lượt góc hợp mặt phẳng (OBC), mặt phẳng (OCA), mặt phẳng (OAB) vói mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: cos2 + cos2 + cos2 =1

Bài 6: Cho hình chóp tam giác cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a a Tính góc cạnh bên mặt đáy

b Tính góc tạo mặt bên mặt đáy

(12)

a) (SB; (SAB) b) (SD; (SAB) c) ((SCD), (ABCD))

Bài 8: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cạnh đáy a Biết góc tạo cạnh bên mặt đáy 600 hình chiếu H đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm cạnh B’C’

a Tính khoảng cách hai mặt đáy b Tính góc BC AC’

c Tính góc (ABB’A’) mặt đáy

Bài 9: Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a; cạnh bên 3

2

a

Gọi (P) mặt

phẳng qua A, song song với BC vng góc với mặt phẳng (SBC) I trung điểm BC a Xác định thiết diện tạo (P) hình chóp

b Tính khoảng cách từ I đến (P) c Tính sin góc tạo AB (P)

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông B, AB = 2a; BC = a Trên hai tia Ax Cy vng góc với mặt phẳng (ABC) phía (ABC), lấy hai điểm A’ C’ cho AA’ = 2a, CC’ = x

a Xác định x cho góc A’BC’ = 900 b Xác định x cho góc BA’C’ = 900

c Cho x = 4a, tính góc tạo hai mặt phẳng (ABC) (A’BC’)

Bài 11: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc A = 600, cách cạnh SA, SB SD

bằng 3

2

a

a Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) độ dài SC

b Chứng minh (SAC) vng góc với (ABCD) SB vng góc với BC c Tính góc (SBD) (ABCD)

Bài 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi E, F M trung điểm AD, AB CC’

a Dựng thiết diện hình lập phương với mặt phẳng (EFM) b Tính góc tạo (ABCD) (EFM)

c Tính diện tích thiết diện câu a

Bài 13: Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC nằm mặt phẳng (P) Gọi ,lần lượt góc hợp hai đường thẳng AB, AC mặt phẳng (P) Gọi  góc hợp (ABC) (P).Chứng minh rằng:

   

 2

2

sin sin

sin

Bài 14: Cho hình vng ABCD tâm O, cạnh a Trên hai tia Bx Dy vng góc với mặt phẳng (ABCD)

và chiều lấy hai điểm M N cho: BM.DN=

2

a

Đặt góc BOM = , góc DON = 

(13)