AC, DF, EF, bieát raèng caïnh AC daøi hôn caïnh DF laø 3cm. Cho hình bình haønh ABCD. Goïi E vaø F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD. Chöùng minh: ADE vaø CBF ñoàng daïng. Tính[r]
(1)Chương III: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Tóm tắt lý thuyết
1 Đoạn thẳng tỉ lệ: Cặp đoạn thẳng AB CD tỉ lệ với cặp đoạn thẳng A’B’ C’D’
' D ' C ' B ' A CD AB
2 Một số tính chất tỉ lệ thức:
AB.C'D' A'B'.CD ' D ' C ' B ' A CD AB AB CD ' B ' A ' D ' C ; AB ' B ' A CD ' D ' C ' D ' C CD ' B ' A AB ; ' D ' C ' B ' A CD AB CD '. B ' A ' D ' C . AB ' D ' C ' B ' A ' B ' A ' D ' C AB AB ' D ' C ' D ' C ' B ' A CD CD AB ' D ' C ' B ' A CD AB ' D ' C CD ' B ' A AB ' D ' C ' B ' A CD AB
3 Định lý Ta-lét thuận đảo:
AC ' CC AB ' BB ' CC ' AC ' BB ' AB AC ' AC AB ' AB BC // a ABC
4 Hệ định lý Ta-lét
BC ' C ' B AC ' AC AB ' AB BC // a ABC
5 Tính chất đường phân giác tam giác: AD tia phân giác
BÂC, AE tia phân giác của BÂx EC EB DC DB AC AB
6 Tam giác đồng dạng: a Định nghĩa:
A’B’C’ ~ ABC k CA ' A ' C BC ' C ' B AB ' B ' A ' CÂ CÂ ; ' BÂ BÂ ; ' AÂ AÂ
(k tỉ số đồng dạng)
b Tính chất:
Gọi h, h’, p, p’, S, S’ chiều cao, chu vi diện tích tam giác ABC A’B’C’
k h
' h
; k
p ' p
; k2
S ' S A B C
(2)7 Các trường hợp đồng dạng: a Xét ABC A’B’C’ có:
CA ' A ' C BC ' C ' B AB ' B ' A
A’B’C’ ~ ABC (c.c.c)
b Xét ABC A’B’C’ có:
( ) BÂ ' BÂ ( ) BC ' C ' B AB ' B ' A
A’B’C’ ~ ABC (c.g.c)
c Xét ABC A’B’C’ có:
( ) BÂ ' BÂ ( ) ' AÂ AÂ
A’B’C’ ~ ABC (g.g)
8 Các trường hợp đồng dạng hai vuông: Cho ABC A’B’C’(Â = Â’ = 900)
( ) BC ' C ' B AB ' B ' A ) c ( ) ' CÂ hoặcCÂ ' BÂ BÂ ) b ( ) AC ' C ' A AB ' B ' A ) a
A’B’C’ ~ ABC (c.g.c)
BÀI TẬP
Bài Viết tỉ số cặp đoạn thẳng có độ dài sau:
a AB = 9cm vaø CD = 27cm b EF = 36cm vaø 12dm c MN = 4,8m vaø RS = 96cm
Bài Cho biết
4 CD AB
CD = 12cm Tính độ dài đoạn thẳng AB
Baøi Cho ABC, trung tuyến AD, BE, CF cắt G
a Tính AC AE
b Tính
GD AG
c Kể tên cặp đoạn thẳng tỷ lệ với AG GD
Bài Cho biết độ dài đoạn thẳng AB gấp 12 lần độ dài đoạn thẳng CD, đoạn thẳng
A’B’ gấp lần độ dài đoạn thẳng CD Tính tỉ số hai đoạn thẳng AB A’B’
Bài Cho đoạn thẳng AB, M điểm đoạn AB Tính tỉ số
AB AM AB BM nếu: a MB MA b MB MA c n m MB MA
(với m, n N*)
Bài Đoạn thẳng AB gấp năm lần đoạn thẳng CD, đoạn thẳng A’B’ gấp bảy lần đoạn thẳng CD
a Tính tỉ số hai đoạn thẳng AB A’B’
b Cho biết đoạn thẳng MN = 505cm đoạn thẳng M’N’ = 707cm, hỏi hai đoạn thẳng AB, A’B’ có tỉ lệ với hai đoạn thẳng MN M’N’ hay không ?
Bài Cho điểm A, B, C, D, E, theo thứ tự đường thẳng Biết AB = 6cm, BC = 9cm,
CD = 4cm vaø
DE CD BC AB
Tính AE
Bài Cho ABC, B’ AB C’ AC Cho biết:
AC ' AC AB ' AB
C/minh:
C ' C ' AC B ' B ' AB ; AC ' CC AB ' BB
Bài Cho ABC có AC = 8,5cm Lấy M, N lần lược thuộc AB AC cho AM = 4cm
(3)Bài 10 Cho DEF có DF = 24cm Lấy P, Q lần lược thuộc DE DF cho EP = 10,5cm
DQ = 9cm Biết PQ // EF Tính độ dài đoạn thẳng DP
Bài 11 Cho ABC, đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB, AC M N Biết AM
= 17cm, BM = 10cm, CN = 9cm Tính độ dài đoạn thẳng AN
Bài 12 Cho PQR, đường thẳng song song với cạnh QR cắt PQ, PR E F Biết PF
= 20cm, FR = 15cm, EP = 16cm Tính độ dài đoạn thẳng PQ
Bài 13 Trên đường thẳng, đặt đoạn thẳng liên tiếp: AB = BC = 2CD = 4DE Tính tỉ số:
BE AB
; AE AC
; AE AD
; BD AE
Bài 14 Cho đoạn thẳng AB thuộc đường thẳng d Trên d lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB điểm
D nằm AB cho
5 DB DA CB CA
a Tính AC AB
; CB AB
b) Cho AB = 24cm, Tính CA, DA
Bài 15 Cho điểm A, B, C, D theo thứ tự đường thẳng
3 CD CB AD AB
a Nếu BD = 1cm Tính CB, DA b Chứng minh:
5 AD AB
AC
c Gọi O trung điểm BD Chứng minh: OB2 = OA OC
Bài 16 Cho ABC, có AB = 5cm, BC = 6,5cm Trên AB lấy điểm D cho DB = 3cm, từ D vẽ
đường thẳng song song với BC cắt AC E Tính DE
Bài 17 Cho OPQ, có PQ = 5,2cm Trên tia đối tia OP lấy điểm N so cho ON = 2cm Từ N vẽ
đường thẳng song song với PQ cắt đường thẳng OQ M Tính độ dài đoạn thẳng OP MN = 3cm
Baøi 18 Cho ABC, có AB = 11cm, AC = 20cm BC = 28cm Trên cạnh AB, BC, CA lần
lượt lấy điểm P, N, M cho AP = 3cm, BN = BC
, 3AM = MC C/m: BNMP laø h.b.haønh
Bài 19 Cho OAB vng A, có OA = 6cm Trên tia đối tia OA lấy điểm A’ cho
OA '
OA Từ A’ vẽ đường thẳng vng góc với AA’ A’, đường thẳng cắt OB kéo dài B’ Tính OB AB, biết A’B’ = 4,2cm
Bài 20 Cho góc xƠy Trên tia Ox lấy theo thứ tự điểm A, B cho: OA = 2cm, AB = 3cm
Trên tia Oy lấy điểm C với OC = 3cm Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt Oy D
a Tính độ dài đoạn thẳng CD
b Neáu OA = m, AB = n, OC = p Tính CD theo m, n, p
Bài 21 Gọi G trọng tâm ABC Từ G kẻ đường thẳng song song với cạnh AB AC,
cắt BC D E a So sánh tỉ số
BC BD
vaø BC EC
b So sánh đoạn thẳng BD, DE, EC
Bài 22 Cho ABC có đường cao AH Đường thẳng d song song với BC, cắt cạnh AB, AC
đường cao AH theo thứ tự điểm B’, C’ H’ a Chứng minh:
BC ' BC AH
' AH
(4)b Cho AH’ =
AH diện tích ABC 67,5cm2 Tính diện tích AB’C’
Bài 23 Cho ABC có AB = 7,5cm Trên AB lấy điểm D với:
2 DA DB
a Tính độ dài đoạn thẳng DA, DB
b Gọi DH, BK khoảng cách từ D, B đến cạnh AC Tính BK DH
c Cho biết AK = 4,5cm Tính HK
Bài 24 Cho ABC có BC = a Trên đường cao AH lấy điểm I, K cho AK = KI = IH Qua I
và K vẽ đường EF // BC, MN // BC
a Tính độ dài đoạn thẳng MN EF theo a b Tính SMNFE, biết a = 15cm SABC = 270cm2
Bài 25 Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F, G trung điểm AB, BC, CD Dùng định
lý Talét để chứng minh:
a đoạn thẳng DE BG chia AC thành đoạn b AG AF chia BD thành đoạn
Bài 26 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Một đường thẳng song song với đáy, cắt cạnh bên
AD M cắt cạnh BC N Biết
n m NB CN MA DM
Chứng minh:
n m
nCD mAB MN
Bài 27 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC BD cắt O Gọi
M, N theo thứ tự trung điểm BD AC Cho biết MD = 3MO, đáy lứn CD = 5,6cm a Tính độ dài đoạn thẳng MN đáy nhỏ AB
b So sánh độ dài đoạn thẳng MN với nửa hiệu độ dài CD AB
Bài 28 Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Gọi trung điểm đường chéo AC, BD
theo thứ tự N M Chứng minh:
a MN // AB b
2 AB CD
MN
Bài 29 Cho ABC Từ D cạnh AB, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC E
a Chứng minh:
AC AB CE BD
b Trên tia đối tia CA, lấy điểm F cho CF = DB Gọi M giao điểm DF BC Chứng minh:
AB AC MF DM
Bài 30 Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng qua A cắt BD I, BC J CD K
a So saùnh ID IB
vaø IK IA
b Chứng minh: IA2 = IJ IK c Chứng minh:
BC BJ DK DC
Bài 31 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có đường chéo cắt O
a Chứng minh: OA OD = OB OC
b Kẻ đường thẳng qua O cắt AB M, CD N Biết
n m MB MA
Tính NC ND
Áp dụng để chứng minh định lý: “ Trong hình thang, đường thẳng qua giao điểm đường chéo trung điểm đáy qua trung điểm đáy kia”
(5)Bài 32 Cho tứ giác ABCD Qua E AD kẻ đường thẳng song song với DC cắt AC G Qua G kẻ
đường thẳng song song với CB cắt AB H Chứng minh: a HE // BD b AE BH = AH DE
Bài 33 Cho ABC Điểm D thuộc cạnh BC Qua D kẻ đường thẳng song song với AC, AB cắt
AB, AC E F
a Chứng minh:
AC AF AB AE
b Xác định điểm D BC để EF // BC
c Neáu
2 DC DB
, chứng minh: EF song song với trung tuyến BM
Bài 34 Cho tứ giác ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự điểm E, F, G, H
sao cho: AE = 2EB, BF =
FC, CG = 2CD, DH =
HA Chứng minh: EFGH hình bình hành
Bài 35 Cho hình thang ABCD (AB // CD) M trung điểm CD Gọi I giao điểm AM
và BD, K giao điểm BM AC a Chứng minh: IK // AB
b Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự E F Chứng minh: EI = IK = KF
Bài 36 Cho hình bình hành ABCD Qua A vẽ tia Ax cắt BD I, BC J cắt tia DC K
Chứng minh: IA2 = IJ IK KD BJ không đổi
Bài 37 Cho hình thang ABCD, đáy nhỏ CD Từ D vẽ đường thẳng song song với BC cắt AC M,
AB N Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB F Qua N kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC P Chứng minh: MP // AB đường thẳng MP, CF DB đồng qui
Bài 38 Cho ABC (AC > AB) Lấy điểm D, E tùy ý thứ tự nằm cạnh AB, AC cho
BD = CE Gọi K giao điểm đường thẳng DE BC Chứng minh: tỉ số KE KD
không phụ thuộc vào cách chọn điểm D E
Bài 39 Cho ABC, trung tuyến AM Gọi I điểm cạnh BC Đường thẳng qua I
song song với AC cắt AB K, đường thẳng qua I song song với AB cắt AM, AC lần lượt D E Chứng minh: DE = BK
Bài 40 Cho ABC cân A có BC = 8cm, tia phân giác góc B cắt đường cao AH K Biết
5 AH AK
Tính độ dài AB
Bài 41 Cho ABC vuông A, CÂ = 300, kẻ phân giác BD Tính DC DA
Bài 42 Cho ABC cân A, phân giác BD Bieát BC = 10cm, AB = 15cm
a Tính AD, DC
b Phân giác ngồi BÂ cắt AC E Tính EC
Bài 43 Cho ABC cân, có BA = BC = a, AC = b Đườmg phân giác góc A cắt BC M, đường
phân giác góc C cắt BA N
a Chứng minh: MN // AC b Tính MN theo a, b
Bài 44 Cho ABC, đường phân giác góc  cắt BC D Biết AB = 4,5cm, AC = 7,2cm,
BD = 3,5cm Tính CD
Bài 45 Cho MNP, đường phân giác góc PÂ cắt MN Q Biết PM = 6,2cm, PN = 8,7cm,
(6)Baøi 46 Cho ABC, p/giác góc  cắt BC E Biết AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm Tính EB,
EC
Bài 47 Cho ABC có đường phân giác AD, BE CF Chứng minh: FB FA EA EC DC DB
Bài 48 Cho ABC, trung tuyến AM Đường phân giác AMÂB cắt AB D, đường phân giác
AMÂC cắt AC E
a Chứng minh: DE // BC
b Gọi I giao điểm AM DE Chứng minh: DI = IE
Bài 49 Cho ABC có AB = 12cm, AC = 20cm, BC = 28cm Đường phân giác góc A cắt BC D
Qua D keû DE // AB (E AC)
a Tính độ dài đoạn thẳng BD, DC DE
b Cho biết diện tích ABC S, tính diện tích ABD, ADE DCE
Bài 50 Cho ABC vuông A có AB = 21cm, AC = 28cm Đường phân giác góc A cắt BC D
Qua D keû DE // AB (E AC)
a Tính độ dài đoạn thẳng BD, DC DE b Tính diện tích ABD ACD
Bài 51 Cho ABC cân A, phân giác góc B cắt AC D cho biết AB = 15cm, BC = 10cm
a Tính AD, DC
b Đường vng góc với BD B cắt đường thẳng AC kéo dài E Tính EC
Bài 52 Cho ABC có Â = 900, AB = 12cm, AC = 16cm Đường phân giác góc A cắt BC D a Tính BC, BD, CD
b Vẽ đường cao AH, tính AH, HD AD
Bài 53 Cho ABC vuông A, AB = a, AC = b, (a < b), trung tuyến AM, đường phân giác AD
(M D thuộc BC)
a Tính độ dài đoạn thẳng BC, BD, DC, AM DM theo a, b
b Hãy tính đoạn thẳng xác đến chữ số thập phân thứ hai biết a = 4,15cm b = 7m,25cm
Bài 54 Cho ABC có độ dài cạnh AB = m, AC = n AD đường phân giác
Chứng minh:
n m S
S
ACD ABD
Bài 55 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Đường thẳng a song song với DC, cắt cạnh AD
BC theo thứ tự E F Chứng minh: a
FC BF ED AE
b
BC BF AD AE
c
CB CF DA DE
Bài 56 Cho hình bình hành ABCD Vẽ đường thẳng cắt AB E, AD F, AC G
Chứng minh:
AG AC AF AD AE AB
Bài 57 a Cho ABC với đường trung tuyến AM đường phân giác AD Tính diện tích ADM,
biết AB = m, AC = n (n > m) diện tích ABC S
b Cho n = 7cm, m = 3cm, hỏi diện tích ADM chiếm phần trăm diện tích ABC
Bài 58 Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD, DÂ = 600 Phân giác DÂ cắt AC I, chia AC
theo tỉ số 11
4
(7)Bài 59 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Hai đường chéo AC BD cắt O Đường
thẳng a qua O song song với đáy hình thang cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E F
Chứng minh: OE = OF
Bài 60 Cho ABC, I trung điểm BC Đường phân giác góc AIÂB cắt AB M phân
giác góc AIÂC cắt cạnh AC N a Chứng minh: MN // BC
b ABC phải thỏa điều kiện để MN = AI ?
c Với điều kiện tứ giác AMIN hình vng ?
Bài 61 Cho ABC Trên hai cạnh AB, AC lấy điểm M N cho:
AC AN AB AM
Gọi I là trung điểm BC, AI cắt MN K Chứng minh: K trung điểm MN
Áp dụng chứng minh: Trong hình thang có cạnh bên khơng song song, giao điểm đường thẳng chứa hai cạnh bên, giao điểm đường chéo trung điểm đáy nằm đường thẳng
Bài 62 Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M cạnh CD lấy điểm
N cho DN = BM Chứng minh: MN, DB, AC đồng qui
Bài 63 Cho ABC, lấy M AB, N AC cho:
3 MB AM
vaø
3 NC AN
a Hai đường thẳng MN BC có song song với khơng ? Vì ?
b Cho biết chu vi diện tích ABC P S Tính chu vi diện tích AMN
Bài 64 Tỉ số cạnh bé hai tam giác đồng dạng
5
Tính chu vi hai tam giác đó, biết hiệu hai chu vi chúng 42dm
Bài 65 Cho ABC, điểm D thuộc cạnh BC cho:
2 DC DB
Keû DE // AC, DF // AB (EAB,FAC)
a Nêu tất cặp tam giác đồng dạng Đối với cặp, viết góc tỉ số tương ứng
b Tính chu vi BED, biết hiệu chu vi hai DFC vaø BED laø 30cm
Bài 66 Cho ABC có AB = 16,2cm; BC = 24,3cm; AC = 32,7cm Tính độ dài cạnh
A’B’C’, biết A’B’C’ đồng dạng với ABC và: a A’B’ lớn AB 10,8cm
b A’B’ bé AB 5,4cm
Bài 67 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có CD = 2AB Gọi E trung điểm DC Chứng
minh tam gíac ADE, ABE BEC đồng dạng với
Bài 68 Cho ABC A’B’C’ Biết AB = 6cm, BC = 12cm, CA = 9cm, A’B’ = 4cm, B’C’ = 8cm,
C’A’= 6cm
a ABC A’B’C’ có đồng dạng với khơng ? b Tính tỉ số chu vi hai
Bài 69 Hai tam giác mà cạnh có độ dài sau có đồng dạng khơng ?
a 4cm, 5cm, 6cm 8cm, 10cm, 12cm b 3cm, 4cm, 6cm vaø 9cm, 15cm, 18cm c 1dm, 2dm, 2dm vaø 1dm, 1dm, 0,5dm
(8)Bài 71 Cho ABC có G trọng tâm Gọi P, Q, R trung điểm GA, GB, GC
Chứng minh: PQR ABC đồng dạng
Bài 72 Cho ABC có H trực tâm Gọi K, M, N trung điểm HA, HB, HC
Chứng minh: KMN ABC đồng dạng với tỉ số đồng dạng k =
Bài 73 Cho ABC, điểm O nằm Gọi D, E, F theo thứ tự trung điểm OA, OB, OC
a Chứng minh: DEF ABC đồng dạng
b Tính chu vi DEF, biết chu vi ABC 543cm
Bài 74 Cho ABC có độ dài cạnh AB = 3cm, BC = 7cm, CA = 5cm A’B’C’đồng dạng với
ABC có chu vi 55cm Hãy tính độ dài cạnh A’B’C’ (làm tròn số đến chữ số thập phân thứ hai)
Bài 75 Cho hai tam giác đồng dạng có tỉ số chu vi
17 15
hiệu độ dài hai cạnh tương ứng chúng 12,5cm Tính hai cạnh
Bài 76 Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo AC lấy điểm E cho AC = AE Qua E vẽ
đường thẳng song song với CD, cắt AD BC theo thứ tự M N a Tìm đồng dạng với ADC tìm tỉ số đồng dạng
b Điểm E vị trí AC E trung điểm MN ?
Bài 77 Cho ABC Dựng đồng dạng với đó, biết tỉ số đồng dạng k =
3
Có thể dựng bao nhiêu ?
Bài 78 Cho ABC có AB = 12cm, Ac = 15cm, BC = 18cm Trên cạnh AB, đặt đoạn thẳng AM =
10cm, cạnh AC đặt đoạn thẳng AN = 8cm Tính độ dài đoạn thẳng MN
Bài 79 Cho ABC có AC = 12cm, BC = 16cm Điểm D BC cho: ADÂC = BÂC Tính DC
Bài 80 Hình thang ABCD có AB // CD, Â = CBÂD Chứng minh: BD2 = AB CD Bài 81 Cho ABC có đường cao AD, BE, CF với H trực tâm Chứng minh:
a AHE đồng dạng với BHD b HA HD = HB HE = HC HF
Bài 82 Cho ABC có Â = 2BÂ Tính AB, bieát AC = 9cm, BC = 12cm
Bài 83 Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 2cm, BD = 4cm, CD = 8cm Chứng minh:
a AÂ = DBÂC b BC = 2AD
Bài 84 Cho ABC có AB = 10cm, AC = 20cm Trên cạnh AC, đặt đoạn thẳng AD = 5cm
Chứng minh: ABÂD = ACÂB
Bài 85 Trên cạnh xÔy (xÔy 1800), lấy điểm A B cho OA = 5cm, AB = 11cm Trên cạnh thứ hai lấy điểm C D cho OC = 8cm OD = 10cm
a Chứng minh: OCB OAD đồng dạng
b Gọi giao điểm cạnh AD BC I Chứng minh: IAB ICD có góc đơi
Bài 86 Chứng minh ABC đồng dạng với A’B’C’ theo tỉ số k thì:
a Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng hai tam giác k b Tỉ số hai đường phân giác tương ứng hai tam giác k c Tỉ số hai đường cao tương ứng hai tam giác k
Bài 87 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 12,5cm; CD = 28,5cm; DÂB = DBÂC Tính độ
dài BD (làm trịn đến chữ số thập phân thứ nhất)
(9)a Chứng minh: ADB BCD đồng dạng b Tính độ dài cạnh BC, CD
c Sau hki tính vẽ lại hình xác thướt compa
Bài 89 Trên đoạn thẳng AC = 27cm lấy điểm B cho AB = 15cm Từ A C vẽ hai tia Ax
Cy vng góc với AB nằm phía với Lấy E Ax, D Cy cho AE = 10cm, ABÂE = BDÂC
a Chứng minh: BDE vng
b Tính CD, BE, BD ED (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
c So sánh diện tích BDE với tổng diện tích hai tam giác AEB BCD
Bài 90 Cho ABC có AB = 3cm, AC = 2cm Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD =
3,5cm Từ D kẽ đường thẳng song song với AB cắt AC kéo dài E Tính BC, CE biết DE = 6cm
Bài 91 Cho ABC có AB = 8cm, AC = 16cm, D AB, E AC cho: BD = 2cm, CE = 13cm
Chứng minh: a AED đồng dạng với ABC b AB CD = AC BE
Bài 92 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD
a Chứng minh: OA OD = OB OC
b Đường thẳng qua O vng góc với AB CD theo thứ tự H K C/m:
CD AB OK OH
Bài 93 ABC có AB =
2
BC, M trung điểm BC, D trung điểm BM C/m: AD =
2
AC
Bài 94 Cho ABC vuông A, đường cao AD phân giác BE cắt F C/minh:
EC EA FA FD
Baøi 95 Cho ABC có AB = 24cm, Ac = 28cm Tia phân giác  cắt cạnh BC D Gọi M, N
theo thứ tự hình chiếu B C đường thẳng AD a Tính tỉ số:
CN BM
b Chứng minh:
DN DM AN AM
Bài 96 Cho hình bình hành ABCD có độ dài cạnh AB = 12cm, BC = 7cm Trên cạnh AB lấy
một điểm E cho AE = 8cm Đường thẳng DE cắt cạnh CB kéo dài F a Hãy cặp tam giác đồng dạng với chứng minh b Tính độ dài đoạn thẳng EF BF, biết DE = 10cm
Bài 97 Cho tứ giác ABCD, có Â = CÂ = 900, hai đường chéo AC BD cắt O, BÂO = BDÂO
a Chứng minh: ABO DCO đồng dạng b Chứng minh: BCO ADO đồng dạng
Bài 98 Cho ABC vuông A, AC = 9cm, BC = 24cm Đường trung trực BC cắt đường
thẳng AC D, BC M Tính CD
Bài 99 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a = 12cm, BC = b = 9cm Gọi H chân đường vng
góc kẻ từ A xuống BD
a Chứng minh: AHB BCD đồng dạng b Tính AH SAHB
Bài 100 Cho ABC vuông A, AC = 4cm, BC = 6cm Kẻ tia Cx BC (Cx A khác phía so với
(10)Bài 101 Cho ABC vuông A, AH đường cao, M trung điểm BC, gọi N hình chiếu
của M AC
a Hãy tìm chứng minh cặp đồng dạng với b Biết BH = 4cm, CH = 9cm, tính diện tích AMH
Bài 102 ABC DEF có Â = DÂ, BÂ = Ê, AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm Tính độ dài cạnh
AC, DF, EF, bieát cạnh AC dài cạnh DF 3cm
Bài 103 Cho hình bình hành ABCD Gọi E F trung điểm AB CD
Chứng minh: ADE CBF đồng dạng
Bài 104 Cho ABC (Â = 900), đường cao AH = 8cm, BC = 20cm Gọi D hình chiếu H AC
a Hỏi hình cho có đồng dạng ? Viết tỉ lệ thức cạnh tương ứng chúng
b Gọi E hình chiếu H AB Tính diện tích ADE
Bài 105 Cho ABC vuông A, đường cao AH Tính chu vi diện tích ABC biết HB =
25cm vaø HC = 36cm
Bài 106 Cho tam giác vng cạnh huyền dài 20cm cạnh góc vng dài 12cm
Tính độ dài hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền
Bài 107 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Chứng minh:
a AH2 = HB HC b AB2 = BH BC c AC2 = CH CB d AH BC = AB AC
e BC2 = AC2 + AB2 (Định lý Pi-ta-go)
Bài 108 Cho ABC có đường cao BD CE
a Chứng minh: ABD đồng dạng với ACE b Chứng minh: ADE đồng dạng với ABC c Tính ĂD biết ACÂB = 480
Bài 109 Tứ giác ABCD có AB = 3cm, BC = 10cm, CD = 12cm, AD = 5cm, đường chéo BD = 6cm
Chứng minh: a ABD BDC đồng dạng b ABCD hình thang
Bài 110 Cho ABC cân A, O trung điểm BC D AB, E AC cho OB2 = BD CE a Chứng minh: OBD ECO đồng dạng, góc DƠE có số đo không đổi
b Chứng minh: tam giác EOD, OBD ECO đồng dạng
c Chứng minh: DO tia phân giác BDÂE, EO lài tia phân giác CÊD
d Chứng minh: D, E di động (vẫn thỏa OB2 = BD CE) khoảng cách từ O đến DE khơng đổi chu vi ADE < 2AB
Bài 111 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi I giao điểm AC BD Đường thẳng qua I
và song song với đáy cắt BC J, AD K a Chứng minh:
CD AB
1 IJ
Suy I trung điểm KJ
b Cho AB = m, CD = n tính tỉ số
AIB ABCD
S S
theo m vaø n
c Bây cho ABCD hình thang cân Chứng minh: AC2 = AB CD + AD2
Bài 112 Cho ABC, M N trung điểm BC, CA Gọi H trực tâm , G trọng tâm, O
là giao điểm đường trungtrực cạnh BC, AC Chứng minh: a ABH MNO đồng dạng, AHG MOG đồng dạng
(11)Bài 113 Cho hình bình hành ABCD có BÂ tù Từ C kẻ đường CE, CF vng góc với AB, AD
Chứng minh: AB AE + AD AF = AC2
(Đề thi vơ địch Tốn Hungari – 1918)
Bài 114 Trên cạnh BC, CA, AB ABC, ta lấy điểm tương ứng P, Q, R Chứng minh
rằng điều kiện cần đủ để AP, BQ CR đồng qui có hệ thức RB RA QA QC PC PB
(Đ.lý
Ceva)
Bài 115 Hãy áp dụng định lý Ceva để Chứng minh tam giác:
a Ba đường cao đồng qui b Ba đường phân giác đồng qui c Ba đường trung tuyến đồng qui
Bài 116 Trên đường thẳng qua cạnh BC, CA, AB ABC, ta lấy điểm tương ứng P,
Q, R (khơng trùng với đỉnh điểm nằm tam giác) C/m rằng: điều kiện cần đủ để điểm P, Q R thẳng hàng có hệ thức
RB RA QA QC PC PB
(Đ.lý
Menelaus)
Bài 117 Cho hình bình hành ABCD Lấy điểm M cạnh AD cho AM = 2MD, điểm N
CD cho DN = 3NC Hai đường thẳng BM AN cắt S Tính tỉ số SN AS
Bài 118 Cho hình thang vng ABCD (Â = DÂ = 900), AB = 6cm, CD = 12cm, AD = 17cm, E AD cho AE = 8cm Chứng minh: BEEC = 900
Bài 119 Cho A’B’C’ ABC có góc nhọn Kẻ đường cao A’H’ AH Biết
AB AH ' B ' A
' H ' A
vaø
AC AH ' C ' A
' H ' A
Chứng minh: ABC A’B’C’ đồng dạng
Bài 120 Cho hình bình hành ABCD Hình chiếu A CD H, BC K
a Chứng minh: AHD AKB đồng dạng
b Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện để AHC AKC đồng dạng ?
Bài 121 Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O, ABÂD = ACÂD Gọi E giao
điểm của hai đường thẳng AD BC Chứng minh: a AOB DOC đồng dạng
b AOD BOC đồng dạng c EA ED = EB EC
Bài 122 Cho ABC có hai trung tuyến AK CL cắt O Từ điểm P cạnh
AC, vẽ đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL (E BC, F AB) Các trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự M, N Chứng minh: FM = MN = NE
Bài 123 Cho h/vuông ABCD cạnh a Một đường thẳng d qua đỉnh C, cắt tia AB E cắt AD
F
a Chứng minh: BE DF = a2 b Chứng minh: 2
2
AF AE DF BE
Bài 124 Cho ABC cân A, vẽ đường cao BH CK
a Chứng minh: BK = CH b Chứng minh: KH // BC c Cho BC = a, AB = AC = b Tính HK
Bài 125 Cho ABC, Â = 900, CÂ= 300 đường phân giác BD (D AC) a Tính tỉ số:
CD AD
(12)b Bieát AB = 12,5cm, tính chu vi diện tích ABC
Bài 126 Tứ giác ABCD có AB = 4cm, BC = 20cm, CD = 25cm, DA = 8cm, đường chéo BD =
10cm
a Nêu cách vẽ tứ giác ABCD
b Các tam giác ABD BDC có đồng dạng với khơng ? Vì ? c Chứng minh: AB // CD
Bài 127 Cho hình thang ABCD (AB // CD), AB = 15cm, CD = 30cm, đường cao 20cm, đường
chéo cắt I Tính diện tích OAB vaø OCD
Bài 128 Đường cao tam giác vng xuất phát từ đỉnh góc vng chia cạnh huyền thành
đoạn thẳng có độ dài 9cm 16cm Tính độ dài cạnh tam giác vng
Bài 129 Cho ABC vuông A Vẽ đường cao AH Biết chu vi ABH = 3dm, chu vi ACH =
4dm Tính chu vi ABC
Bài 130 Cho ABC Trung tuyến AM Vẽ đường cao MH AMC
a Chứng minh: ABM AMH đồng dạng
b Gọi E, F trung điểm BM, MH Chứng minh: AB AF = AM AE c Chứng minh: BH AF
d Chứng minh: AE EM = BH HC
Bài 131 Cho ABC có góc nhọn, đường cao AM, BN, CP đồng qui H
a Chứng minh: ABM AHP đồng dạng, ABH AMP đồng dạng b Chứng minh: MH MA = MB MC
c Chứng minh: AHB NHM đồng dạng d Chứng minh: MAP MNH đồng dạng
e Cho b, c cố định, A thay đổi vị trí cho ABC có góc nhọn ABC phải có đặc điểm để tích MH MA có giá trị lớn
Bài 132 Cho ABC Kẻ DE // BC cho DC2 = BC DE
a Chứng minh: DEC CDB đồng dạng Suy cách dựng DE b Chứng minh: AD2 = AC AE AC2 = AB AD
Bài 133 Cho ABC vng A, có đường cao AH Từ H vẽ HI AB I HJ AC J Gọi
AM trung tuyến ABC
a Biết AB = 30cm, AC = 40cm Tính BC, AH, BI b Chứng minh: IJ = AH AM IJ
c Chứng minh: AB AI = AC AJ; AIJ ACB đồng dạng
d Chứng minh: ABJ ACI đồng dạng; BIJ IHC đồng dạng
Bài 134 Cho ABC cân A có Â > 900 CI tia phân giác ABC Đường thẳng vuông góc với CI I cắt đường thẳng AC, BC E F C/minh: BC AE = AC BF
Bài 135 Các đường cao tam giác có góc nhọn ABC cắt O đoạn thẳng
(13)CÁC ĐỀ ÔN TẬP ĐỀ
A LÝ THUYẾT
Câu Trong câu sau câu đúng, câu sai ? Hai cân có cặp cạnh đồng dạng
Tỉ số hai đường cao tương ứng hai đồng dạng tỉ số đồng dạng
Nếu đường thẳng cắt hai cạnh song song với cạnh cịn lại tạo thành đồng dạng với cho
Nếu hai cạnh tỉ lệ với hai cạnh hai góc tạo cặp cạnh nhau, hai đồng dạng
Trong , đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh
Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tạo thành có ba cạnh tỉ lệ với cho
Nếu đường thẳng song song với cạnh cắt hai cạnh cịn lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
Câu Chọn câu đúng:
Độ dài x hình vẽ bên cạnh là:
x = 3,25 x = 13 x = 52 x = 0,325 B BÀI TẬP
Cho ABC có góc nhọn, đường cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh: a AD BC = BE AC = CF AB
b HD HA = HE HB = HF HC
c AE AC = AB AF vaø AD HD = BD CD
d
CF HF BE HE AD HD
e ABC AEF đồng dạng, BDF EDC đồng dạng f ABH EDH đồng dạng, AFD EHD đồng dạng g H cách cạnh DEF
ĐỀ
A LÝ THUYẾT
Câu Trong câu sau câu đúng, câu sai ?
Hai cân có cặp góc tương ứng đáy đồng dạng Hai cân có cặp cạnh bên cặp cạnh đáy đồng dạng Hai tam giác đồng dạng
Các tam giác đều đồng dạng với
vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vng đồng dạng vng có hai cạnh góc vng với hai cạnh góc vng tam giác vng
kia đồng dạng
Tỉ số diện tích hai đồng dạng tỉ số đồng dạng Câu Chọn câu đúng:
Độ dài AC, DE AB hình vẽ bên cạnh là:
6
(14)
4,5
B BÀI TẬP
Cho ABC có Â = 900, AB = 80cm, AC = 60cm, AH đường cao, AI phân giác (I BC) a Tính BC, AH, BI, CI
b Chứng minh: ABC HAC đồng dạng
c HM HN phân giác ABH ACH C/minh: MAH NCH đồng dạng
d Chứng minh: ABC HMN đồng dạng chứng minh> MAN vuông cân e Phân giác góc ACÂB cắt HN E, p/giác góc ABÂC cắt HM F C/m: EF //
MN
f Chứng minh: BF EC = AF AE
ĐỀ
A LÝ THUYẾT
Câu Trong câu sau câu đúng, câu sai ?
Hai cân có cặp góc đồng dạng Hai tam giác đồng dạng
vng có góc nhọn tỉ lệ với góc nhọn tam giác vng đồng dạng
Tỉ số hai đường cao tương ứng hai đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng
Tỉ số chu vi hai đồng dạng tỉ số đồng dạng
ABC đồng dạng với MNP theo tỉ số k1, MNP đồng dạng với RST theo tỉ số k2
thì ABC đồng dạng với RQS theo tỉ số k1/k2
Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tạo thành đồng dạng với cho
Câu Chọn câu đúng:
Độ dài đoạn thẳng MN AC hình bên
x = 18 vaø y = 64 x = 64 vaø y = 40 x = 18 vaø y = 40 x = 20 vaø y = 35 B BÀI TẬP
Cho ABC có đường cao AH (H nằm B C) Từ H vẽ HM AB (M AB) HN AC (N AC)
a Bieát HA = 15cm, HC = 36cm, BC = 56cm Tính AB, AC
b Chứng minh: AB AM = AC AN; ABC ANM đồng dạng c Chứng minh: AB CM = AC BN
d CM cắt BN K Chứng minh: MKN BKC đồng dạng e Chứng minh: MN BC + BM CN = CM BN
f Nếu cho A, H cố định , B C di chuyển đường thẳng vng góc với AH H cho H nằm B C Chứng minh trung trực đoạn thẳng MN qua điểm cố định
ĐỀ
A LYÙ THUYEÁT
(15) Hai cân có cặp góc đỉnh cặp cạnh bên đồng dạng
Hai tam giác trường hợp đặc biệt hai tam giác đồng dạng k = vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng vng
đồng dạng
Tỉ số diện tích hai đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng
ABC đồng dạng với MNP theo tỉ số k MNP đồng dạng với ABC theo tỉ số 1/k
Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tạo thành đồng dạng với cho
Nếu hai cạnh tỉ lệ với hai cạnh hai góc nhau, hai đồng dạng
Câu Chọn câu đúng:
Độ dài NC BC hình bên
x = 12 vaø y = 19,2 x = vaø y = 30 x = vaø y = 30 Một kết khác B BÀI TẬP
Cho ABC Trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ BC, vẽ tia Cx cho BCÂx = BÂC
Gọi D phân giác ABC Tia Cx cắt tia AD E Chứng minh:
a ABD CED đồng dạng; ABD AEC đồng dạng b AE2 > AB AC
c Trung trực BC qua E
d Gọi I trung điểm DE Chứng minh: 4AB AC = 4AI2 – DE2
ĐỀ
A LÝ THUYẾT
Câu Trong câu sau câu đúng, câu sai ?
Nếu đường thẳng cắt hai cạnh định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
Nếu đường thẳng cắt hai cạnh song song với cạnh cịn lại tạo thành có ba cạnh tỉ lệ với cho
Nếu đường thẳng cắt hai cạnh song song với cạnh cịn lại tạo thành đồng dạng với cho
Trong , đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn
ABC đồng dạng với MNP theo tỉ số k1, MNP đồng dạng với RST theo tỉ số k2
thì ABC đồng dạng với RQS theo tỉ số k1.k2
Tỉ số chu vi hai đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng Các tam giác đều
Câu Chọn câu đúng:
Độ dài đoạn thẳng AN hình bên
x = 18,9 x = 15,3 x = 5,3
(16)B BÀI TẬP
Cho hình vng ABCD cố định, M điểm lấy cạnh BC (M B) Tia AM cắt DC P Trên tia đối tia DC lấy điểm N cho DN = BM
a Chứng minh: AND = ABM MAN vuông cân b Chứng minh: ABM PDA đồng dạng BC2 = BM DP
c Qua A vẽ đường thẳng vng góc với MN H cắt CD Q, MN cắt AD I Chứng minh: AH AQ = AI AD DÂQ = HMÂQ