Bài giảng số 3: Bất đẳng thức. Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa lẻ, nguyên dương ta được một bất đẳng thức cùng chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho.. với nnguyên[r]

(1)

Hotline 0987708400 Khóa học: Bất đẳng thức – Bất phương trình

Trung tâm luyện thi EDUFLY Page

Biên soạn: Thầy Đặng Thành Trung

BẤT ĐẲNG THỨC A MỞ ĐẦU

1) Định nghĩa BĐT

Hệ thức có dạng ab (hoặc a b; ab; ab) gọi bất đẳng thức

- Vế trái a, vế phải b

- Một bất đẳng thức đúng, sai Việc chứng minh bất đẳng thức đúng với giá trị biến thuộc tập hợp cho trước gọi toán chứng minh bất đẳng thức

VD: Chứng minh với a1 a2 2a 1

2) Các tính chất BĐT

TT Tính chất Điều kiện Phát biểu lời

1 a < b a + c < b + c với c tùy ý Cộng hai vế bất đẳng với số ta một bất đẳng thức chiều tương đương với bất đẳng thức cho

2 a < b ac < bc với c > Nhân hai vế bất đẳng với số dương ta được bất đẳng thức chiều tương đương với bất đẳng thức cho

3 a < b ac > bc với c < Nhân hai vế bất đẳng với số âmta được bất đẳng thức ngược chiềuvà tương đương với bất đẳng thức cho

4 a < b c < d a + c < b + d

Cộng hai bất đẳng thức chiều ta một bất đẳng thức chiều

5 a < b c < d a.c < b.d

với a > 0, c >

Nhân hai bất đẳng thức chiều cótất

các vế dương, ta bất đẳng

thức chiều

6 với n

nguyên dương

Nâng hai vế bất đẳng thức lên lũy thừa lẻ, nguyên dương ta bất đẳng thức chiều tương đương với bất đẳng thức cho

7 với nnguyên

dương

(2)

8 với a > Lấy bậc hai hai vế bất đẳng thức ta bất đẳng thức

chiều tương đương với bất đẳng thức

cho

B PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BĐT 1) Phương pháp biến đổi tương đương

2) Phương pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc

2.1 BĐT Cô si

2.2 BĐT Bunhiacopski

2.3 BĐT giá trị tuyệt đối

2.4 BĐT tam giác

-***** -

Bài giảng số 3: Chứng minh bất đẳng thức phương pháp biến đổi tương đương

I KT CẦN NHỚ

*Phương pháp giải: Sử dụng hay nhiều tính chất nêu để biến đổi bất đẳng thức

Từ khẳng định bất đẳng thức cần chứng minh

Ví dụ 1: Chứng minh a2 2a 1 với a

Ví dụ 2: Chứng minh 2

a   b c abbc ca

Ví dụ 3: Cho a > 0, b > chứng minh rằng:

3

a +b a+b

2 2

 

  

II LUYỆN TẬP

Luyện tập lớp

Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức sau

a) a2b2 2ab b) x2  x c)  x2 4y2 4xy

d) 2x2  x e) 2 33

(3)

 

2 2

-2 2

a x y z xy yz zx b x y z 2xy – 2xz 2yz

c x y z x )

)

) y z

    

   

     

Bài 3: Chứng minh: x2 + y2 + z2  2xy + 2yz - 2x

Về nhà:

Bài 4: Chứng minh

a) x24x 3 0 với x 3

b)

2

x y

xy





c) 1

a  b ab với a, b, c số dương

Bài 5: Chứng minh 21 21

a 1b 11 ab với a, b > Bà 6: Cho số x, y thoả mãn: x+ y =

Chứng minh: x3 + y3 +xy 