Đường thẳng d đi qua một điểm A cố định trên (C) và vuông góc với mặt phẳng (α) cắt mặt cầu tại một điểm B.. Do đó khi CD di động, điểm H luôn luôn nhìn đoạn thẳng AI ⊥ dưới một góc vuôn[r]
(1)Giải SBT Toán 12 2: Mặt cầu Bài 2.13 trang 63 sách tập (SBT) – Hình học 12
Trong mặt phẳng (α) cho hình vng ABCD có cạnh a Trên đường thẳng Ax vng góc với (α) ta lấy điểm S tùy ý, dựng mặt phẳng (β) qua A vuông góc với đường thẳng SC Mặt phẳng (β) cắt SB, SC, SD B’, C’, D’
a) Chứng minh điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ luôn thuộc mặt cầu cố định
b) Tính diện tích mặt cầu tính thể tích khối cầu tạo thành
Hướng dẫn làm bài:
a) Ta có {BC AB;BC SA BC (SAB) BC AB′⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Ta lại có AB′ SC nên suy AB′ (SBC) Do AB′ B′C⊥ ⊥ ⊥
Chứng minh tương tự ta có AD′ D′C⊥
Vậy ˆABC=ˆAB′C=ˆAC′C=ˆAD′C=ˆADC=900
Từ suy điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ nằm mặt cầu đường kính AC
b) Gọi r bán kính mặt cầu, ta có r=AC/2=a√2/2
(2)Bài 2.14 trang 63 sách tập (SBT) – Hình học 12
Hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = a có chiều cao h Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tính diện tích mặt cầu
Hướng dẫn làm bài:
Giả sử ta có mặt cầu tâm I qua đỉnh S, A, B, C hình chóp Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo giao tuyến đường trịn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC Vì SA = SB = SC nên ta có SO (ABC) OS trục⊥ đường trịn tâm O Do SO AO Trong tam giác SAO, đường trung trực⊥ đoạn SA cắt SO I ta hai tam giác vuông đồng dạng SIM SAO, với M trung điểm cạnh SA
Ta có SI/SA=SM/SO=SA/2SO với SI = IA = IB = IC = r
Vậy r=SI=SA2/2SO=a2/2h
Do diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC cho là:
S=4πr2=4π(a2/2h)2=π.a4/h2
Bài 2.15 trang 63 sách tập (SBT) – Hình học 12
(3)a) Xác định tâm O bán kính r mặt cầu qua điểm A, A’ , M, M’, M1
Tính diện tích mặt cầu tâm O nói theo a, x = A’M’ góc φ=(Δ,Δ′)
b) Chứng minh x thay đổi mặt cầu tâm O ln ln chứa đường trịn cố định
Hướng dẫn làm bài:
a) Theo giả thiết ta có: ˆA′M′M=ˆA′AM=ˆA′M1M=900
Do điểm A, A’, M, M’, M1 thuộc mặt cầu (S) tâm O, với O trung
điểm A’M có bán kính r=A′M2
Mặt khác ta có A’M2 = A’A2 + AM2, cosφ=MM
1/AMcos nên
AM=MM1/cosφ=x/cosφ
Do A′M2=a2+x2/cos2φ
⇒A′M=√a2cos2φ+x2/cos2φ=1cosφ√a2cos2φ+x2
Mặt cầu tâm O có bán kính r=A′M/2=1/2cosφ.√a2cos2φ+x2
Diện tích mặt cầu tâm O là: S=4πr2=π(2r)2=π(A′M)2=π(a2+x2/cos2φ)
b) Gọi I trung điểm đoạn AA’ Ta có IO // Δ nên tâm O di động đường thẳng d cố định qua I song song với Δ Mặt cầu tâm O qua hai điểm cố định A, A’, có tâm di động đường trung trực d cố định đoạn AA’ Vậy mặt cầu tâm O ln ln chứa đường trịn cố định tâm I có đường kính AA’ nằm mặt phẳng AA’ vng góc với d
(4)Cho tứ diện SABC có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABC) có SA = a, AB = b, AC = c Xác định tâm bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trường hợp sau:
a) ˆBAC=900
b) ˆBAC=600 b = c
c) ˆBAC=1200 b = c
Hướng dẫn làm bài:
ˆBAC=900. Gọi M trung điểm BC, ta có MA = MB = MC Dựng đường
thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) M Mặt phẳng trung trực đoạn SA cắt d O
Ta có OS = OA = OB = OC
Và r2=OA2=OM2+MA2=(a/2)2+(b/2)2+(c/2)2
(5)b) Hình 2.37
ˆBAC=600 b = c, ABC tam giác cạnh b Gọi I trọng tâm của
tam giác nên I đồng thời tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Dựng d đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) I Mặt phẳng trung trực đoạn SA cắt d O
Ta có OS = OA = OB = OC r2 = OA2 = OI2 + IA2
Do ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện có r2=(a/2)2+(2/3b.√3/2)2=a2/4+b2/3 Vậy r=√a2/4+b2/3
c) Hình 2.38
ˆBAC=1200 b = c, ABC tam giác cân có góc A đỉnh bằng
1200 cạnh bên b Gọi M trung điểm cạnh BC Kéo dài AM một
đoạn MK = AM, ta có KA = KB = KC = AB = AC = b
Dựng đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) K Mặt phẳng trung trực đoạn SA cắt d O
Ta có: OS = OA = OB = OC r2=OA2=OK2+KA2=(a/2)2+b2
Do ta có mặt cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện có bán kính r=√a2/4+b2
Bài 2.17 trang 64 sách tập (SBT) – Hình học 12
Cho mặt cầu tâm O bán kính r Gọi (α) mặt phẳng cách tâm O khoảng h (0 < h < r) cắt mặt cầu theo đường tròn (C) Đường thẳng d qua điểm A cố định (C) vng góc với mặt phẳng (α) cắt mặt cầu điểm B Gọi CD đường kính di động (C)
a) Chứng minh tổng AD2 + BC2 AC2 + BD2 có giá trị khơng đổi.
(6)c) Tìm tập hợp điểm H, hình chiếu B CD CD chuyển động đường tròn (C)
Hướng dẫn làm bài:
a) Tam giác ADC vuông A nên AD2 = DC2 – AC2 (1)
Tam giác ABC vuông A nên BC2 = AC2 + AB2 (2)
Từ (1) (2) ta suy AD2 + BC2 = DC2 + AB2 (3)
Ta lại có:
AC2 = DC2 – AD2 BD2 = AD2 + AB2 (4)
DC2 = 4(r2 – h2), AB2 = 4h2 (5)
Từ (4) (5) ta có:
AC2 + BD2 =DC2 + AB2 = 4(r2 – h2) + 4h2 = 4r2 (6)
Từ (3) (6) ta có: AD2 + BC2 = AC2 + BD2 (khơng đổi)
b) Diện tích tam giác BCD SΔBCD=1/2BH.DC
Diện tích lớn AI // CD
c) Ta có AH DC Do CD di động, điểm H ln ln nhìn đoạn thẳng AI⊥ góc vng Vậy tập hợp điểm H đường trịn đường kính AI nằm mặt phẳng (α)
(7)Hình chóp S.ABC hình chóp tam giác đều, có cạnh đáy a cạnh bên a√2 Một mặt cầu qua đỉnh A tiếp xúc với hai cạnh SB, SC trung điểm cạnh
a) Chứng minh mặt cầu qua trung điểm AB AC
b) Gọi giao điểm thứ hai mặt cầu với đường thẳng SA D Tính độ dài AD SD
Hướng dẫn làm
a) Giả sử mặt cầu qua đỉnh A hình chóp tiếp xúc với cạnh SB B1,
tiếp xúc với cạnh SC C1 Khi mặt cầu cắt cạnh AB, AC
điểm C2, B2 Mặt phẳng (SAB) cắt mặt cầu theo giao tuyến đường
tròn Đường tròn tiếp xúc với SB B1 qua A C2
Do đó, ta có: BB12 = BA BC2 BB1=SB/2=a√2 Do đó, BB12=a2/2
Vậy a2/2=a.BC
2⇒BC2=a2/2:a=a/2
Điều chứng tỏ mặt cầu nói qua trung điểm C2 đoạn AB Lí luận
tương tự ta chứng minh mặt cầu qua trung điểm B2 AC
b) Gọi giao điểm thứ hai mặt cầu với đường thẳng SA D, ta có: SD.SA=SB2
1 hay SD.a√2=(a√2/2)2=a2/2
Do đó, SD=a2/2:a√2=a√2/4 AD=SA−SD=3a√2/4
(8)Chứng minh có mặt cầu tiếp xúc với cạnh hình tứ diện hình tứ diện có tổng cặp cạnh đối diện
Hướng dẫn làm bài:
Giả sử có mặt cầu tiếp xúc với cạnh AB, AC, AD, BC, CD, BD tứ diện ABCD M, N, P, Q, R, S Khi AM, AN, AP tiếp tuyến xuất phát từ A nên AM = AN = AP
Lập luận tương tự ta có: BM = BQ = BS ; CQ = CR = CN ; DR = DS = DP Vậy AB + CD = AM + MB + CR + RD = AN + BS + CN + DS
= AN + NC + BS + SD = AC + BD
Bằng lí luận tương tự ta chứng minh AB + CD = AC + BD = AD + BC
Bài 2.20 trang 64 sách tập (SBT) – Hình học 12
(9)Gọi H trọng tâm tam giác BCD
Ta có AH (BCD) Do đó, AH⊥ 2=AC2−HC2=a2−(2/3.a√3/2)2=2a2/3
Vậy AH=a√6/3 OH=a√6/6
Mặt khác OC2=OH2+HC2=a2/6+a2/3= a2/2 hay OC=OB=OD=a√2/2
Vì BD = BC = CD = a nên tam giác DOB, BOC, COD tam giác vng cân O Do hình chóp ODBC hình chóp có đáy tam giác nên tâm mặt cầu ngoại tiếp phải nằm OH, tâm mặt cầu ngoại tiếp phải nằm trục tam giác vuông DOB Từ trung điểm C’ cạnh BD ta vẽ đường thẳng song song với OC cắt đường thẳng OH I Ta có I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD Mặt cầu có bán kính IC IC2 = IH2 + HC2.
Chú ý IH=1/2OH (vì HC′=1/2HC) Do đó: IC2=a2/24+a2/3=9a2/24 hay IC=a√6/4
Bài 2.21 trang 64 sách tập (SBT) – Hình học 12
Hình chóp S.ABCD có SA = a chiều cao hình chóp đáy ABCD hình thang vng A B có AB = BC = a AD = 2a Gọi E trung điểm cạnh AD Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE
(10)Tam giác CED tam giác vuông cân E nên trục đường tròn qua ba điểm C, E, D đường thẳng Δ qua trung điểm I đoạn thẳng CD song song với SA
Gọi M, N trung điểm SE SC Ta có mặt phẳng (ABNM) mặt phẳng trung trực đoạn SE Vậy tâm O mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE giao điểm Δ mp(ABNM) Gọi K trung điểm AB KN // AM KN //(SAE) Ta có IK // AD nên IK // (SAE)
Vậy KN Δ đồng phẳng ta có O giao điểm cần tìm
Chú ý OIK tam giác vng cân, ˆOKI=ˆMAE=450
Ta có OI = IK, IK=BC+AD/2=a+2a/2=3a/2
Vậy OC2=OI2+IC2=9a2/4+2a2/4 (vì CD=a√2;IC=CD/2) Do đó, bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.CDE là: r=OC=a√11/2
Bài 2.22 trang 64 sách tập (SBT) – Hình học 12
Cho hình cầu tâm O bán kính r Lấy điểm A mặt cầu gọi (α) mặt phẳng qua A cho góc OA (α) 300.
a) Tính diện tích thiết diện tạo (α) hình cầu
b) Đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng (α) cắt mặt cầu B Tính độ dài đoạn AB
(11)a) Gọi H hình chiếu vng góc tâm O mặt phẳng (α) Theo giả thiết ta có ˆOAH=300.
Do đó: HA=OA.cos300=r.√3/2
Vậy diện tích thiết diện tạo (α)(α) hình cầu là: S=π.HA2=3πr2/4
b) Mặt phẳng (ABO) qua tâm O hình cầu nên cắt mặt cầu theo đường tròn lớn qua A B Gọi I trung điểm đoạn AB ta có OI AB Vì AB // OH⊥ nên AIOH hình chữ nhật
Do AI=OH=OA/2=r/2 Vậy AB = 2AI = r
Chú ý: Có thể nhận xét tam giác OAB cân O (OA = OB) có góc ˆOAB=600 nên OAB tam giác suy AB = OA = OB = r.