Đang tải... (xem toàn văn)
I. Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một đoạn được biểu diễn thị bởi một “ đường liền nét” trên khoảng đó.. 2). Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực.[r]
(1)Chương IV: GIỚI HẠN
(GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ - GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ - HÀM SỐ LIÊN TỤC)
A GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. Tóm tắt lý thuyết:
1 Giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực: a) Giới hạn hữu hạn
lim
n →+∞ ⇔ n →+∞lim
un = a(un – a) = 0
b) Giới hạn vô cực: lim
n →+∞ ∞ un = + lim
n →+∞ ∞ ⇔ n →+∞lim ∞
un = –(–un ) = + lim
n →+∞ ( Chú ý: Thay viết: un = a; lim
n →+∞ ± ∞ lim❑
un = , ta viết tắt: un = a;
lim
❑ ± ∞ un =
2 Các giới hạn đặc biệt:
n=0
1
nk=0 ∞ a) lim; lim; limn
k = +
( với k nguyên dương)
¿
0 ; neu :|q|<1 +∞ ; neu :q >1
¿lim qn={
¿
b)
c) limc = c ( với c số ) 3 Định lí giới hạn hữu hạn: a) Nếu limun = a limvn = b, thì: lim(un + vn) = a + b
lim(un – vn) = a – b
lim(un.vn) = a.b limun
vn =a
b b ≠ 0 ( ) un≥0 ;∀ n ∈ N❑
lim√un=√a b) Nếu , limun = a, 4 Định lí liên hệ giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực:
lim
❑
lim
(2)limun
vn
=0
∀ limun
vn
=+ ∞ b) Nếu lim un = a > 0, lim = > n
∞ ∞ c) Nếu limun = + limvn = a > lim(un.vn) = +. 5 Cấp số nhân lùi vô hạn:
|q|<1 a) Định nghĩa: CSN lùi vô hạn cấp số nhân vơ hạn có cơng bội q thỏa mãn b) Cơng thức tính tổng CSNLVH:
S=u1+u2+ .+un+ = u1 1− q II Các dạng tập áp dụng: Bài 1: Tìm giới hạn sau:
a) lim(2n2 + 3n – 1) b) lim(– n2 – n + 3) c) lim(3n3 – n2 + n + 5) Bài Tìm giới hạn sau:
lim3 n+2
2 n+3 lim 3 − 2n
2 n+3 lim
5 − n
3 − n lim
4 n2−5
2 n2+3 n lim
n2
+n+1
2n2−n lim
5 n2+3 n+1
7 n2+6 n− a) b) c) d) e) f)
lim(2 n− 1)(n+2)
2 n2− n+1 lim
5 n2− n+1
(25 n+2)(n −1) lim
(n2+n)(2 n −1)
n3
+3 n− 1 lim
2 n√n+1 n2
+n+3 g) h) i) j) lim2√n
3
+3 n+5
7 n2+6 n+9 lim
1+√3n3+n2−1
2 n+3 lim
3 n√n2−n+2
n2−n+1 lim
√n2+3 −√4 n2+1
3
√27 n3− n+3 k) l) m) n)
lim2 n2+√n3+3 n −1 3 n2−3 n+2 o)
Bài 3: Tìm giới hạn sau:
lim n
+3n
2 3n+5 2n lim
3 5n− 3n
5n+5 3n lim
7 5n−2 7n
5n−5 7n lim
7 3n+2 6n 3n− 6n
−2¿n−5n ¿ ¿
lim¿
a) b) c) d)
e)
lim4 n
+7n +1 5n+7n
− 3¿n−5n ¿
−3¿n +1+5n+1
¿ ¿
lim¿
lim
2
+3n− 4n 2n+3n+1+4n+1
−3¿n +1+5n+2
¿ ¿
lim¿
lim n+1
+7n +1+1 3n+1+7n +1+3 2n
f) g)
h) i) j)
Bài 4: Tìm giới hạn sau:
lim(√n+2 −√n+1) lim(√3 n+5 −√n −1) lim(√n2+2 n −1 −n+1) a) b) c)
lim√n
2
+2 n −n −1
√n2+n − n lim
√n2+n − n+3
√n2+1 −n lim
n−√n2+n
√n2+1 − n lim
n− 2−√3 n2+2 n+1
√n2+2− n d) e) f) g) lim(√38 n3+3 n2−1+1 −2 n) lim(3
√27 n3−n2−1 −2 n) lim
√2 −n3+n √n2+n − n
(3)lim
3
√2 n+3 n3−n+1
√n2−1 −n k)
Bài 5: Tìm giới hạn sau:
lim( 1 3+
1 4+ +
1
n(n+2)) lim(
1 3+
1
3 5+ +
1
(2 n− 1)(2n+1)) a) b) lim(1 −
22)(1 −
32) (1−
n2) (ĐS:
1
2) c)
Bài 6: Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn:
S=1 −1
2+ 4−
1 8+
1 16−
1
32+ ; a)
S=√2 −1+
√2−
2+ ; b)
S=√2+1 √2− 1+
1 2−√2+
1
2+ ; c) Bài
: Tìm giới hạn sau:
lim(n+1)(n+3)
(n+2)(n+4); lim
1+2+3+ .+n
n2 lim
1 −2+3 − 4+ +(2 n− 1)−2 n
2 n+1 ; a) b) ; c) lim1+a+a
2
+ +an
1+b +b2+ +bn,(|a|<1,|b|<1); d) Bài 8*: Tìm giới hạn sau:
lim(√2 4√2 √82 .2√n2) limn
√a ;(a >0) limlogan
n ;(a>0) lim
logan
n ;(a>0) a) ; b) ; c) d)
lim(1
3
5
2 n− 1
2 n ); lim(1 − 22)(1 −
1
32) (1 −
n2); e) f)
B GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I Tóm tắt lý thuyết:
1) Giới hạn hữu hạn: 2) Giới hạn vô cực: 3) Các giới hạn đặc biệt: ):Định lí 1:
lim
x → x0
x=x0 lim
x → x0
c=c lim
x → ±∞c=c a) b) c)
lim x → ±∞
c
x=0 x →+∞lim x k
(4)¿
+∞ ;neu k .chan
− ∞; neu k le
¿ lim
x → −∞x k
={
¿
f)
4) Định lí giới hạn hữu hạn: lim
x → x0
f (x )=L lim x → x0
g (x)=M a) Nếu , thì:
lim x → x0
[f (x )+g (x)]=L+M ; lim
x → x0
[f (x )− g (x)]=L− M ; lim
x → x0
[f (x ) g(x )]=L M ; lim
x → x0
f (x ) g(x )=
L
M;(M ≠ 0) ; f (x)≥0 x → xlim
0
f (x )=L L≥ 0 b) Nếu , thì:
lim x → x0
√f (x)=√L
x →+∞ x → −∞ ( Chú ý: Định lí ) ):Định lí 2:
x → x+0¿f (x )= lim
x→ x0−
f (x )=L
lim x → x0
f (x )=L⇔lim
¿
5) Quy tắc giới hạn vô cực: lim
x → x0
f (x )=L lim x → x0
g (x)=± ∞ ;
a) Quy tắc tìm giới hạn tích f(x).g(x ):
lim x → x0
f (x ) lim x → x0
g (x) lim x → x0
f (x ) g (x)
L > 0
+∞ +∞
− ∞ − ∞
L < 0 +∞ − ∞
− ∞ +∞
f (x)
g (x) b) Quy tắc tìm giới hạn thương :
lim x → x0
f (x ) lim x → x0
g (x) Dấu
f(x) x → xlim0
f (x ) g(x )
L ± ∞ Tùy ý
L > 0 0 + +∞
– − ∞
L < 0 0 + − ∞
– +∞
(5)Bài
: Tính giới hạn : lim
x→ 1x
2
lim x→ 2(x
2
+1) lim x →− 1(x
2
+2 x +1) lim
x→ 1(x +2√x +1) limx→ 1
x+1
2 x − 1 a) b) c) d) e)
Bài : Tính gới hạn sau :
x
x 3x lim x x
x 3x lim x x
3x 3x lim x x
x x lim
4x
x 2
x lim
x 3x
a).b) c).d) e).
x → ∞ Bài 3: Tìm giới hạn sau ( ):
) ( lim
x x
x
2
2 x
2x 5x lim 3x xlim (x x 1)
2
xlim (x x 1) a) b) ; c) ; d) lim
x →− ∞(√x
2
− x+3+ x ) lim
x →+∞(√x
2
− x+6 − x) lim
x →− ∞(√x
2
− x+1 −√x2+x+1) e) f) ; g)
lim x →+∞(
3
√x3
+x2− x ) lim x →− ∞(
3
√x3
+x2−√x2+1); lim x →− ∞
√2 x2−7 x +12
3|x|−17 ; h) ; i) j) lim
x →+∞(x +2)√
x − 1
x3+x; x →− ∞lim
|x|+√x2+x
x +10 x →+∞lim
(√1+x −√x). k) l) ; m)
Bài 4: Áp dụng định nghĩa giới hạn bên phải giới hạn bên trái hàm số,tìm giới hạn sau:
x 1lim x 1
x 5lim x 2x
x
1 lim
x
x
1 lim
x
x
1 lim
x
a) ;b).; c) ; d) e).
x x lim x
x
x lim x
x
x x lim x x x x lim x
x ( 1)
x 3x lim
x x
f) ; g) ; h) i) ; j) ;
2
2 x
x 7x 12 lim
9 x
x 2
x lim (x 2)
x
2
2 x ( 3)
2x 5x lim (x 3) 2 x ( 3)
2x 5x lim
(x 3)
k) l) ; m) ; n)
2
2 x
x x x
lim x x 1 x lim x
2 x x
x 3
3 x lim 27 x x x lim x 2x
o) ; p) ; q) ; r)
Bài 5: Tìm giới hạn sau:
x
x lim
x
x
2 x lim
x 49
x
x lim
3 6x x
x
x 2 lim
x
a) b) c) d)
2
2 x
x 2x x 2x lim
x 4x
x
3 x lim
x 2x 35
x 2
3x 2 lim
x 7x 18
e) f) g)
2
2 x neu x f (x)
2x neu x
Bài 6 : a) Cho hàm số:
x ( 2)lim f (x)
x ( 2)lim f (x)
xlim f (x) 2 Tìm ; (nếu có)
x 2x neu x f (x)
4x neu x
(6)x 2lim f (x)
x 2lim f (x)
lim f (x)x 2 Tìm ; ; ( có )
C HÀM SỐ LIÊN TỤC
I Tóm tắt lý thuyết:
1) Hàm số liên tục:
y=f (x) x0∈ K Cho hàm số xác định khoảng K
y=f (x) x0⇔ lim
x → x0
f (x)=f (x0) liên tục
y=f (x) liên tục khoảng liên tục điểm thuộc khoảng
y=f (x) x → a
+¿f (x)=f (a)
lim
¿
lim
x → b−f (x)=f (b)
liên tục đoạn [a;b] liên tục
khoảng (a;b) và: ;
) Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục đoạn biểu diễn thị “ đường liền nét” khoảng
2) Các định lí:
) Định lí 1:
a Hàm số đa thức liên tục toàn tập số thực.
b Hàm phân thức hữu tỉ hàm số lượng giác liên tục khoảng tập xác định chúng.
) Định lí 2:
y=f (x) y=g(x ) Giả sử hai hàm số liên tục điểm x0 đó: x
y
O b
(7)f (x)+g(x ) f (x)− g(x ) f (x) g(x ) a) Các hàm số ; liên tục x0.
f (x)
g (x) g(x0)≠ 0 b) Hàm số liên tục điểm x0
y=f (x) f (a) f (b)<0 c∈(a ;b) f (c)=0 ) Định lí 3: Nếu hàm số liên tục đoạn [a;b] tồn cho
f (a) f (b)<0 f (x)=0 Suy ra: Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] phương trình có nhất nghiệm nằm khoảng (a;b)
II Các dạng tập áp dụng:
Bài 1: Xét tính liên tục hàm số sau điểm ( đoạn ) cho trước.
2
x x f (x) 1
khi x
2
x x f (x)
x x
a) điểm x = –1 b) điểm x = 1
2
x 3x
khi x f (x) x 2
1 x
3
x
khi x f (x) x 1
2 x
c) điểm x = d) điểm x = 1
2
x
khi x f (x) x
4 x
2
x x f (x)
2x x
e) điểm x = –2 f) điểm x = 2
2
x x f (x)
1 x x
2
3
4 3x x f (x)
x x
g) điểm x = h) điểm x =
–1
2
x 5x
khi x
f (x) x 3
5 x
i).tại điểm x = Bài 2: Chứng minh rằng:
2
f (x) x a) Hàm số liên tục đoạn [-1;1].
f (x) x 1 ¿ b) Hàm số liên tục khoảng
2
1 f (x)
1 x
c) Hàm số liên tục khoảng (-1;1)
2
f (x) 2x [− 2;2] d) Hàm số liên tục khoảng
f (x) 2x 1 ¿ e) Hàm số liên tục khoảng
2
2
(x 1) x f (x)
x x
(8)Bài 3: Tìm số thực a cho hàm số:
2
x x
f (x)
2ax x
a) liên tục R
2
a x x f (x)
(1 a)x x
b) liên tục R.
2
x
x a x f (x)
2 x
c) liên tục R
Bài 4: Chứng minh phương trình:
x cos x x sin x 0 (0; ) a) có nghiệm khoảng
3