Giao An BD HSG THCS hay (Phan 1)

Chuyên đề : SỐ CHÍNH PHƯƠNG A/ MỤC TIÊU : - Kiến thức : HS nắm định nghĩa , tính chất về số chính phương - Kĩ năng : Biết chứng minh một số không là số chính phương, chứng minh một số là số chính phương, tìm giá trị của biến để GT BT là một số chính phương, tìm số chính phương thoả mãn những ĐK cho trước, và các bài toán liên quan đến số chính phương. - Thái độ : Cẩn thận , linh hoạt, chính xác khi áp dụng các phương pháp . B/ NỘI DUNG BÀI DẠY : TIẾT 01+ 02 I. ĐỊNH NGHĨA: Số nguyên A là số chính phương ⇔ A = n 2 ( với n ∈ Z ) II. TÍNH CHẤT: 1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 . 2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn. 3. Số chính phương a chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p 2. VD : Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9. Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25. Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16. 4. (a,b)=1và ab là số chính phương ⇒ a, b là số chính phương. 5. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1 (n ∈ N). ( Số chính phương chia cho 3 thì dư chỉ có thể 0 hoặc 1; tương tự chia cho 5, cho 6 …). Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2 Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ. III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A. DẠNG1 : CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG *CÁCH NHẬN BIẾT MỘT SỐ A KHÔNG LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG : - a M p mà a M p 2 ( p là số nguyên tố ) - a có chữ số tận cùng là 2; 3; 7; 8. - b 2 < a < (b + 1) 2 , với b ∈ Z - Phương pháp mô đun , nghĩa là xét số dư của các số chính phương khi chia cho một số nguyên nào đó. * CÁC VÍ DỤ : 1. Nhìn chữ số tận cùng Bài toán 1 : Chứng minh số : n = 2004 2 + 2003 2 + 2002 2 - 2001 2 không phải là số chính phương. Lời giải : Dễ dàng thấy chữ số tận cùng của các số 2004 2 + 2003 2 + 2002 2 - 2001 2 lần lượt là 6 ; 9 ; 4 ; 1. Do đó số n có chữ số tận cùng là 8 nên n không phải là số chính phương. Chú ý : Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 nhưng vẫn không phải là số chính phương. Khi đó các bạn phải lưu ý thêm một chút nữa : Nếu số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì phải chia hết cho p 2 . Bài toán 2 : Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương. Lời giải : Thấy ngay số 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90). Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương. Chú ý : Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho 2 (vì chữ số tận cùng là 0), nhưng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90) nên 1234567890 không là số chính phương. Bài toán 3 : Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương. Lời giải : Ta thấy tổng các chữ số của số 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà không chia hết 9 nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9, do đó số này không phải là số chính phương. 2. Dùng tính chất của số dư Bài toán 4 : Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương. (Vì cho giả thiết về tổng các chữ số nên chắc chắn các em phải nghĩ tới phép chia cho 3 hoặc cho 9).Chắc chắn số này chia cho 3 phải dư 2. Từ đó ta có lời giải. Lời giải : Vì số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1 (tự cm). Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 dư 2. Chứng tỏ số đã cho không phải là số chính phương. Tương tự các em có thể tự giải quyết được 2 bài toán : Bài toán 5 : Chứng minh tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải là số chính phương. Bài toán 6 : Chứng minh số : n = 2004 4 + 2004 3 + 2004 2 + 23 k0 là số ch phương. Bài toán 7 : Chứng minh số : n = 4 4 + 44 44 + 444 444 + 4444 4444 + 15 không là số chính phương. Nhận xét : Nếu xét n chia cho 3, các em sẽ thấy số dư của phép chia sẽ là 1, thế là không “bắt chước” được cách giải của các bài toán 3 ; 4 ; 5 ; 6. Nếu xét chữ số tận cùng các em sẽ thấy chữ số tận cùng của n là 9 nên không làm “tương tự” được như các bài toán 1 ; 2. Số dư của phép chia n cho 4 là dễ thấy nhất, đó chính là 3. Một số chính phương khi chia cho 4 sẽ cho số dư 0 hoặc 1 (tự cm) Như vậy là giải xong bài toán 7. 3. “Kẹp” số giữa hai số chính phương “liên tiếp” Dễ thấy rằng : Nếu n là số tự nhiên và số tự nhiên k thỏa mãn n 2 < k < (n + 1) 2 thì k không là số chính phương. Bài toán 8 : Chứng minh số 4014025 không là số chính phương. Nhận xét : Số này có hai chữ số tận cùng là 25, chia cho 3 dư 1, chia cho 4 cũng dư 1. Vậy là tất cả các cách làm trước đều không vận dụng được. Các em có thể thấy lời giải theo một hướng khác. Lời giải : Ta có 2003 2 = 4012009 ; 2004 2 = 4016016 nên 2003 2 < 4014025 < 2004 2 . Chứng tỏ 4014025 không là số chính phương. Bài toán 9 : Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số chính phương với mọi số tự nhiên n khác 0. Nhận xét : Đối với các em đã làm quen với dạng biểu thức này thì có thể nhận ra A + 1 là số chính phương (đây là bài toán quen thuộc với lớp 8). Lời giải : Ta có : A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n 2 + 3n)(n 2 + 3n + 2) + 1 = (n 2 + 3n) 2 + 2(n2 + 3n) +1 = (n 2 + 3n +1) 2 . Mặt khác : (n 2 + 3n) 2 < (n 2 + 3n) 2 + 2(n 2 + 3n) = A. Điều này hiển nhiên đúng vì n ≥ 1. Chứng tỏ : (n 2 + 3n) 2 < A < A + 1 = (n 2 + 3n +1) 2 . => A không là số chính phương. BÀI TẬP RÈN LUYỆN : Bài tập 1 : Hãy tìm số tự nhiên n sao cho A = n 4 - 2n 3 + 3n 2 - 2n là số chính phương. Gợi ý : Nghĩ đến (n 2 - n + 1) 2 . Bài tập 2 : Chứng minh số 23 5 + 23 12 + 23 2003 không là số chính phương. Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho 3 hoặc phép chia cho 4. Bài tập 3 : Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mỗi mảnh bìa được ghi một số trong các số từ 2 đến 1001 sao cho không có hai mảnh nào ghi số giống nhau. Chứng minh rằng : Không thể ghép tất cả các mảnh bìa này liền nhau để được một số chính phương. Bài tập 4 : Chứng minh rằng : Tổng các bình phương của bốn số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương. Gợi ý : Nghĩ tới phép chia cho 4. Bài tập 5 : Chứng minh rằng số 333 333 + 555 555 + 777 777 không là số chính phương. Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho … một chục (?) Bài toán 6 : Lúc đầu có hai mảnh bìa, một cậu bé tinh nghịch cứ cầm một mảnh bìa lên lại xé ra làm bốn mảnh. Cậu ta mong rằng cứ làm như vậy đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bìa là một số chính phương. Cậu ta có thực hiện được mong muốn đó không ? Chú ý : để chứng minh một số tự nhiên không là số chính phương, đó là dựa vào một trong các điều kiện cần để một số là số chính phương TIẾT 03+ 04 B. DẠNG 2: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Phương pháp 1 : Dựa vào định nghĩa. Bài toán 1 : Chứng minh : Với mọi số tự nhiên n thì a n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương. Lời giải : Ta có : a n = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 = (n 2 + 3n) (n 2 + 3n + 2) + 1 = (n 2 + 3n) 2 + 2(n 2 + 3n) + 1 = (n 2 + 3n + 1) 2 Với n là số tự nhiên thì n 2 + 3n + 1 cũng là số tự nhiên, theo định nghĩa, a n là số chính phương. Bài toán 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 là số chính phương. Lời giải : Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 = (x 2 + 5xy + 4y 2 )( x 2 + 5xy + 6y 2 ) + y 4 Đặt x 2 + 5xy + 5y 2 = t ( t ∈ Z) thì A = (t - y 2 )( t + y 2 ) + y 4 = t 2 –y 4 + y 4 = t 2 = (x 2 + 5xy + 5y 2)2 V ì x, y, z ∈ Z nên x 2 ∈ Z, 5xy ∈ Z, 5y 2 ∈ Z ⇒ x 2 + 5xy + 5y 2 ∈ Z Vậy A là số chính phương. Bài toán 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2) Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương . Ta có k(k+1)(k+2) = 4 1 k(k+1)(k+2).4 = 4 1 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)] = 4 1 k(k+1)(k+2)(k+3) - 4 1 k(k+1)(k+2)(k-1) ⇒ S = 4 1 .1.2.3.4 - 4 1 .0.1.2.3 + 4 1 .2.3.4.5 - 4 1 .1.2.3.4 +…+ 4 1 k(k+1)(k+2)(k+3) - 4 1 k(k+1)(k+2)(k-1) = 4 1 k(k+1)(k+2)(k+3) 4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 Theo kết quả bài 2 ⇒ k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương. Bài toán 4 : Chứng minh số : là số chính phương. Lời giải : Ta có : Vậy : là số chính phương. Bài toán 5: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; … Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương. Ta có 44…488…89 = 44…488 8 + 1 = 44…4 . 10 n + 8 . 11…1 + 1 n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1 = 4. 9 110 − n . 10 n + 8. 9 110 − n + 1 = 9 9810.810.410.4 2 +−+− nnn = 9 110.410.4 2 ++ nn =         + 3 110.2 n Ta thấy 2.10 n +1=200…01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3 n-1 chữ số 0 ⇒         + 3 110.2 n ∈ Z hay các số có dạng 44…488…89 là số chính phương. Bài toán 6: Chứng minh rằng các số sau là số chính phương: a. A = 22499…9100…09 n-2 chữ số 9 n chữ số 0 b. B = 11…155…56 n chữ số 1 n-1 chữ số 5 2 2 a. A = 224.10 2n + 99…9.10 n+2 + 10 n+1 + 9 = 224.10 2n + ( 10 n-2 – 1 ) . 10 n+2 + 10 n+1 + 9 = 224.10 2n + 10 2n – 10 n+2 + 10 n+1 + 9 = 225.10 2n – 90.10 n + 9 = ( 15.10 n – 3 ) 2 ⇒ A là số chính phương b. B = 111…1555…5 + 1 = 11…1.10 n + 5.11…1 + 1 n chữ số 1 n chữ số 5 n chữ số 1 n chữ số 1 = 9 110 − n . 10 n + 5. 9 110 − n + 1 = 9 9510.51010 2 +−+− nnn = 9 410.410 2 ++ nn =         + 3 210 n là số chính phương ( điều phải chứng minh) Phương pháp 2 : Dựa vào tính chất đặc biệt. “(a,b)=1và ab là số chính phương ⇒ a, b là số chính phương”. Bài toán 7 : Chứng minh rằng : Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m 2 + m = 4n 2 + n thì m - n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương. Lời giải : Ta có : 3m 2 + m = 4n 2 + n ⇔ 4(m 2 – n 2 ) + (m - n) = m 2 hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m 2 (*) Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + 1 chia hết cho d. Mặt khác, từ (*) ta có : m 2 chia hết cho d 2 => m chia hết cho d. Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1. Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương. BÀI TẬP RÈN LUYỆN. Bài tập 1: Chứng minh các số sau đây là số chính phương : A B Bài tập 2 : Cho các số nguyên dương a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn : 1/a + 1/b = 1/c. Hãy cho biết a + b có là số chính phương hay không ? Bài tập 3 : Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên n thì 3 n + 4 không là số chính phương. Bài tập 4 : Tìm số tự nhiên n để n 2 + 2n + 2004 là số chính phương. 2 Bài tập 5 : Chứng minh : Nếu : và n là hai số tự nhiên thì a là số chính phương. Bài tập 6 : Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n ∈ N , n ≥2 ). Ta có ( n-2) 2 + (n-1) 2 + n 2 + ( n+1) 2 + ( n+2) 2 = 5.( n 2 +2) Vì n 2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n 2 +2 không thẻ chia hết cho 5 ⇒ 5.( n 2 +2) không là số chính phương hay A không là số chính phương Bài tập 7 : Chứng minh rằng số có dạng n 6 – n 4 + 2n 3 + 2n 2 trong đó n ∈ N và n>1 không phải là số chính phương n 6 – n 4 + 2n 3 +2n 2 = n 2 .( n 4 – n 2 + 2n +2 ) = n 2 .[ n 2 (n-1)(n+1) + 2(n+1) ] = n 2 [ (n+1)(n 3 – n 2 + 2) ] = n 2 (n+1).[ (n 3 +1) – (n 2 -1) ] = n 2 ( n+1 ) 2 .( n 2 –2n+2) Với n ∈ N, n >1 thì n 2 -2n+2 = (n - 1) 2 + 1 > ( n – 1 ) 2 và n 2 – 2n + 2 = n 2 – 2(n - 1) < n 2 Vậy ( n – 1) 2 < n 2 – 2n + 2 < n 2 ⇒ n 2 – 2n + 2 không phải là một số chính phương. Bài tập 8: Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương Cách 1: Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ. Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5 2 là số chính phương Cách 2: Nếu một số chính phương M = a 2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của a là 4 hoặc 6 ⇒ a  2 ⇒ a 2  4 Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của M chỉ có thể là 16, 36, 56, 76, 96 ⇒ Ta có: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5 2 là số chính phương. Bài tập 9 : Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số chính phương. a và b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m ∈ N) ⇒ a 2 + b 2 = (2k+1) 2 + (2m+1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 + 4m 2 + 4m + 1 = 4(k 2 + k + m 2 + m) + 2 = 4t + 2 (Với t ∈ N) Không có số chính phương nào có dạng 4t + 2 (t ∈ N) do đó a 2 + b 2 không thể là số chính phương. Bài tập 10: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể là các số chính phương. Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p  2 và p không chia hết cho 4 (1) a. Giả sử p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m 2 (m ∈ N) Vì p chẵn nên p+1 lẻ ⇒ m 2 lẻ ⇒ m lẻ. Đặt m = 2k+1 (k ∈ N). Ta có m 2 = 4k 2 + 4k + 1 ⇒ p+1 = 4k 2 + 4k + 1 ⇒ p = 4k 2 + 4k = 4k(k+1)  4 mâu thuẫn với (1) ⇒ p+1 là số chính phương b. p = 2.3.5… là số chia hết cho 3 ⇒ p-1 có dạng 3k+2. Không có số chính phương nào có dạng 3k+2 ⇒ p-1 không là số chính phương . Vậy nếu p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương Bài tập 11: Giả sử N = 1.3.5.7…2007. Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào là số chính phương. a. 2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 – 1 Có 2N  3 ⇒ 2N-1 không chia hết cho 3 và 2N-1 = 3k+2 (k ∈ N) ⇒ 2N-1 không là số chính phương. b. 2N = 2.1.3.5.7…2007 Vì N lẻ ⇒ N không chia hết cho 2 và 2N  2 nhưng 2N không chia hết cho 4. 2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1 ⇒ 2N không là số chính phương. c. 2N+1 = 2.1.3.5.7…2007 + 1 2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 4 2N không chia hết cho 4 nên 2N+1 không chia cho 4 dư 1 ⇒ 2N+1 không là số chính phương. Bài tập 12 : Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương: A = 11…1 + 44…4 + 1 2n chữ số 1 n chữ số 4 B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 8 2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6 C = 44…4 + 22…2 + 88…8 + 7 2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8 Kết quả: A =         + 3 210 n ; B =         + 3 810 n ; C =         + 3 710.2 n Bài tập 13 : Cho a = 11…1 ; b = 100…05 2008 chữ số 1 2007 chữ số 0 2 2 2 Chứng minh 1+ab là số tự nhiên. Cách 1: Ta có a = 11…1 = 9 110 2008 − ; b = 100…05 = 100…0 + 5 = 10 2008 + 5 2008 chữ số 1 2007 chữ số 0 2008 chữ số 0 ⇒ ab+1 = 9 )510)(110( 20082008 +− + 1 = 9 9510.4)10( 200822008 +−+ =         + 3 210 2008 1+ab =         + 3 210 2008 = 3 210 2008 + Ta thấy 10 2008 + 2 = 100…02  3 nên 3 210 2008 + ∈ N hay 1+ab là số tự nhiên. 2007 chữ số 0 Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – 1 + 6 = 99…9 + 6 = 9a +6 2007 chữ số 0 2008 chữ số 0 2008 chữ số 9 ⇒ ab+1 = a(9a +6) + 1 = 9a 2 + 6a + 1 = (3a+1) 2 ⇒ 1+ab = 2 )13( +a = 3a + 1 ∈ N 2 2 TIẾT 05+ 06 C. DẠNG 3: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài toán 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương: a. n 2 + 2n + 12 b. n ( n+3 ) c. 13n + 3 d*. n 2 + n + 1589 Giải a. Vì n 2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n 2 + 2n + 12 = k 2 (k ∈ N) ⇒ (n 2 + 2n + 1) + 11 = k 2 ⇔ k 2 – (n+1) 2 = 11 ⇔ (k+n+1)(k-n-1) = 11 Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 ⇔ k+n+1 = 11 ⇔ k = 6 k – n - 1 = 1 n = 4 b. Đặt n(n+3) = a 2 (n ∈ N) ⇒ n 2 + 3n = a 2 ⇔ 4n 2 + 12n = 4a 2 ⇔ (4n 2 + 12n + 9) – 9 = 4a 2 ⇔ (2n + 3) 2 - 4a 2 = 9 ⇔ (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9 Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1 ⇔ 2n + 3 + 2a = 9 ⇔ n = 1 2n + 3 – 2a = 1 a = 2 c. Đặt 13n + 3 = y 2 ( y ∈ N) ⇒ 13(n – 1) = y 2 – 16 ⇔ 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4) ⇒ (y + 4)(y – 4)  13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4  13 hoặc y – 4  13 ⇒ y = 13k ± 4 (Với k ∈ N) ⇒ 13(n – 1) = (13k ± 4 ) 2 – 16 = 13k.(13k ± 8) ⇒ n = 13k 2 ± 8k + 1 Vậy n = 13k 2 ± 8k + 1 (Với k ∈ N) thì 13n + 3 là số chính phương. d. *) Đặt n 2 + n + 1589 = m 2 (m ∈ N) ⇒ (4n 2 + 1) 2 + 6355 = 4m 2 ⇔ (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355 Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên ta có thể viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28. Bài toán 2: Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là một số chính phương . [...]... thỡ (1) 2 + 2 + + 2 + 2 1 2 k (k + 1) k +1 1 1 1 1 1 1 1 < 2 + < 2 2 + 2 + + 2 + Theo gi thit quy np 2 2 1 2 k (k + 1) k ( k + 1) k +1 1 1 1 1 1 + + < + < 2 2 2 1 (k + 1) k + 1 ( k + 1) k k +1+1 1 < k (k + 2) < (k + 1) 2 k2+2k 0 Chng minh rng (1) 2 2 Gii Ta thy BT (1) ỳng vi n=1 Gi s BT (1) ỳng... Ta cú m l s l m = 2a+1 m2 = 4a (a +1) + 1 n= 4a(a + 1) m2 1 = = 2a(a +1) 2 2 n chn n+1 l k l t k = 2b+1 (Vi b N) k2 = 4b(b +1) +1 n = 4b(b +1) n 8 (1) Ta cú k2 + m2 = 3n + 2 2 (mod3) Mt khỏc k2 chia cho 3 d 0 hoc 1, m2 chia cho 3 d 0 hoc 1 Nờn k2 + m2 2 (mod3) thỡ k2 1 (mod3) => m2 k2 3 hay (2n +1) (n +1) 3 n 3 m2 1 (mod3) (2) M (8; 3) = 1 (3) T (1), (2), (3) n 24 Bi 6 : Tỡm tt c... cd ) = 2(ab + ) 4 (1) ab Mt khỏc: a ( b + c ) + b( c + d ) + d ( c + a ) =(ab+cd)+(ac +bd) +(bc+ad) 1 1 1 = ab + + ac + + bc + 2 + 2 + 2 ab ac bc 2 2 2 2 Vy a + b + c + d + a ( b + c ) + b( c + d ) + d ( c + a ) 10 BT 10 Cho a;b;c 0 tha món :a+b+c=1(?) 1 1 1 Chng minh rng: ( 1). ( 1). ( 1) 8 a b c 1 1 1 1 a 1 b 1 c b + c a + c a + b Ta cú : ( 1). ( 1). ( 1) = = a b c a b c... x N v x>2 Tỡm x sao cho x(x -1). x(x -1) = (x-2)xx(x -1) ng thc ó cho c vit li nh sau: x(x -1) = (x-2)xx(x -1) 2 Do v trỏi l mt s chớnh phng nờn v phi cng l mt s chớnh phng Mt s chớnh phng ch cú th tn cựng bi 1 trong cỏc ch s 0; 1; 4; 5; 6; 9 nờn x ch cú th tn cựng bi 1 trong cỏc ch s 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1) Do x l ch s nờn x 9, kt hp vi iu kin bi ta cú x N v 2 < x 9 (2) T (1) v (2) x ch cú th nhn 1 trong... BT ỳng vi n =k (thay n =k vo BT cn chng minh c gi l gi thit quy np ) 3- Ta chng minh bt ng thc ỳng vi n = k +1 (thay n = k+1vo BT cn chng minh ri bin i dựng gi thit quy np) 4 kt lun BT ỳng vi mi n > n0 V D1: Chng minh rng 1 1 1 1 n N ; n > 1 + 2 + + 2 < 2 (1) 2 1 2 n n 1 1 Gii : Vi n =2 ta cú 1 + < 2 (ỳng) 4 2 Vy BT (1) ỳng vi n =2 Gi s BT (1) ỳng vi n =k ta phi chng minh BT (1) ỳng vi n = k+1... 4d u ỳng khi ú cng cỏc v ta c a 2 + c 2 < 4(b + d ) (1) Theo gi thit ta cú 4(b+d) 2ac (2) T (1) v (2) a 2 + c 2 < 2ac hay ( a c ) 2 < 0 (vụ lý) Vy trong 2 bt ng thc a 2 < 4b v c 2 < 4d cú ớt nht mt cỏc bt ng thc sai V D 3: Cho x,y,z > 0 v xyz = 1 Chng minh rng 1 1 1 Nu x+y+z > + + thỡ cú mt trong ba s ny ln hn 1 x y z Gii : Ta cú (x -1). (y -1). (z -1) =xyz xy- yz + x + y+ z 1 1 1 1 =x + y + z ( + +... (x -1). (y -1). (z -1) =xyz xy- yz + x + y+ z 1 1 1 1 =x + y + z ( + + ) vỡ xyz = 1 x y z 1 1 1 theo gi thit x+y +z > + + nờn (x -1). (y -1). (z -1) > 0 x y z Trong ba s x-1 , y-1 , z-1 ch cú mt s dng Tht vy nu c ba s dng thỡ x,y,z > 1 xyz > 1 (trỏi gi thit) Cũn nu 2 trong 3 s ú dng thỡ (x -1). (y -1). (z -1) < 0 (vụ lý) Vy cú mt v ch mt trong ba s x , y,z ln hn 1 ... hng tng quỏt u k v hiu ca hai s hng liờn tip nhau: u k = ak ak +1 Khi ú : S = ( a1 a2 ) + ( a2 a3 ) + + ( an an +1 ) = a1 an +1 (*) Phng phỏp chung v tớnh tớch hu hn P = u1u2 un Bin i cỏc s hng u k v thng ca hai s hng liờn tip nhau: a a1 a2 a a n = 1 uk = k Khi ú P = ak +1 a2 a3 an +1 an +1 V D 1 : Vi mi s t nhiờn n >1 chng minh rng 1 1 1 1 < + + + 2 n +1 n + 2 n+n Gii: 1 1 1 > = Ta cú vi k =... 2a 4b + 2 0 Gii : a) Xột hiu H = x 4 + y 4 + z 2 + 1 2 x 2 y 2 + 2 x 2 2 xz 2 x ( ) = x 2 y 2 + ( x z ) 2 + ( x 1) 2 H 0 ta cú iu phi chng minh b) V trỏi cú th vit H = ( a 2b + 1) 2 + ( b 1) 2 + 1 H > 0 ta cú iu phi chng minh c) v trỏi cú th vit H = ( a b + 1) 2 + ( b 1) 2 H 0 ta cú iu phi chng minh 2 a2 BT 4 : Cho abc = 1 v a > 36 Chng minh rng + b2+c2> ab+bc+ac 3 2 2 2 a a a a2 Ta... BT 7: 1)CM: P(x,y)= 9 x 2 y 2 + y 2 6 xy 2 y + 1 0 x, y R 2 ( ) ( ( ( )( ( ) ( ) ) ( )( ( )( ) ( ) ) ) ( )( ) ) a2 + b2 + c2 a + b + c 2)CM: (Gi ý :bỡnh phng 2 v) BT 8: Choba s thc khỏc khụng x, y, z tha món: x y.z = 1 1 1 1 + + < x+ y+z x y z Chng minh rng :cú ỳng mt trong ba s x,y,z ln hn 1 ( thi Lam Sn 96-97) Gii: Xột (x -1)( y -1)( z -1)= xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =(xyz -1)+ (x+y+z)-xyz( . . + k(k +1)( k+2) Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương . Ta có k(k +1)( k+2) = 4 1 k(k +1)( k+2).4 = 4 1 k(k +1)( k+2).[(k+3) – (k -1)] = 4 1 k(k +1)( k+2)(k+3) - 4 1 k(k +1)( k+2)(k -1) ⇒ S. = n 2 .[ n 2 (n -1)( n +1) + 2(n +1) ] = n 2 [ (n +1)( n 3 – n 2 + 2) ] = n 2 (n +1). [ (n 3 +1) – (n 2 -1) ] = n 2 ( n+1 ) 2 .( n 2 –2n+2) Với n ∈ N, n >1 thì n 2 -2n+2 = (n - 1) 2 + 1 > (. 4 1 .2.3.4.5 - 4 1 .1.2.3.4 +…+ 4 1 k(k +1)( k+2)(k+3) - 4 1 k(k +1)( k+2)(k -1) = 4 1 k(k +1)( k+2)(k+3) 4S + 1 = k(k +1)( k+2)(k+3) + 1 Theo kết quả bài 2 ⇒ k(k +1)( k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương. Bài