Ly Thuyet On Tap Toan 12

Khối chóp có một cạnh bên vuông với đáy là hình bình hànhh. Khối chóp đềuh[r]

GIẢI TÍCH 12

I.KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1) Đạo hàm hàm số đơn giản :

 C / 0  x / 1  

x x

2

/

  n /  n1

nx x

2) Các quy tắc tính đạo hàm :

 / / /

v u v

u   uv/ u/ v/  u.v / u/vuv/

2 / / / v uv v u v

u  

      / /

.u ku

k  , kR

2 / / v v v 

    / / v v k v

k         / / / /

.vw u vw uv w uvw

u   

2 /

1

x x 

   

 2 / d cx bc ad d cx b ax            k u k

u /  /       , R

k y x y uu x

/ / /



(Đạo hàm hàm số hợp )

3)Đạo hàm hàm số sơ cấp bản:

Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp (u u x )

 /



 

 

x

x  u /.u1.u/

2 /

1

x x 

    / / v v v 

      x x /    u u u / / 

sinx/ cosx sinu/ u/.cosu cosx/ sinx cosu/ u/.sinu

  x

x

x / 2 tan2 cos

1

tan      u  u

u u

u /

2 / / tan cos

tan   

   x

x x 2 / cot sin

cot      u  u

u u

u 2 /

/ / cot sin

cot   

 x / x

e e  eu / u e/ u

 ax / ax.lna  au / au.u/.lna

 

x x

ln /   

u u u / / ln    a x x a ln

log /   

a u u u a ln log / / 

4) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số :

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc ba :yax3ax2 cxd a0

- TXĐ :DR

- Tính đạo hàm /

y ; giải phương trình y/ 0 tìm xy

- Tính giới hạn :nếu a0 lim

x

y 

  ; lim

x

y 

  ; a0lim

x

y 

 ; lim

x

y 

  , - Lập bảng biến thiên ( xét dấu /

Lý thuyết Ơn Tập Mơn Tốn 12

- Đồ thị :

+ Cho điểm lân cận điểm cực đại , cực tiểu

+ Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên hình dạng đồ thị Đồ thị hàm số có tâm đối xứng

Các dạng đồ thị hàm số bậc ba: yax3 ax2 cxd a0

Nếu a0 Nếu a0

Nếu phương trình y/ 0 có nghiệm phân biệtx1; x2

+ Hàm số có hai cực trị + Hàm số có điểm uốn

y

x2 x1 x

y

x2 x1 x

Nếu phương trình y/ 0 có nghiệm kép xx1 x2

+ Hàm số có khơng có cực trị

+ Hàm số có điểm uốn

y

x

y

x

Nếu phương trình y/ 0 vơ nghiệm

+ Hàm số có khơng có cực trị

+ Hàm số có điểm uốn

y

x

y

x

b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương :yax4 bx2 c a0

- TXĐ :DR

- Tính đạo hàm /

y ; giải phương trình / 0

y tìm xy

- Tính giới hạn : a0 lim

x

y

   ; limx

y

   ; a0 limx

y

   ; limx

y

  

- Lập bảng biến thiên (xét dấu /

y ), suy khoảng đồng biến ,nghịch biến; điểm cực đại ,cực tiểu hàm số

- Đồ thị :

+ Cho điểm lân cận điểm cực đại , cực tiểu

+ Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên hình dạng đồ thị Đồ thị hàm số đối xứng qua trụcOy

O O

O O

Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn: yax4 bx2 c a0

Nếu a0 Nếu a0

Nếu phương trình / 0

y có

nghiệm phân biệtx x x1; 2; + Hàm số có ba cực trị

y

x1 x3

x

y

x1 x3 x

Nếu phương trình y/ 0 có

nghiệm x0

+ Hàm số có khơng có cực trị

y

x

y

x

c) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm phân thức :

d cx

b ax y

 

 , a0,adbc0

- TXĐ :

      

c d R

D \

c d x

y/ 0;  , adbc0

- Tính đạo hàm

 2 /

d cx

bc ad y

  

c d x

y/ 0;  , adbc0

- Tính giới hạn kết luận đường tiệm cận : lim

x

a y

c

  ; limx

a y

c

  c

a y

 tiệm cận ngang

Nếu

c d x

y/ 0;   

  

c d x

y

lim  

  

c d x

y

lim

Nếu

c d x

y/ 0;   

  

c d x

y

lim  

  

c d x

y

lim

- Lập bảng biến thiên :

Nếu

c d x

y/ 0; 

Hàm số đồng biến khoảng

x  c d





 /

y + +

y c

a



c a



O

O

O

d x

c

Lý thuyết Ôn Tập Mơn Tốn 12

; d và d;

c c

    

   

   và khơng có cực trị

Nếu

c d x y/ 0; 

Hàm số nghịch biến khoảng

; d và d;

c c

    

   

   và khơng có cực trị

- Cho điểm đặc biệt :

+ Tìm giao điểm đồ thị với trục tung (nếu có): Cho

d b y x  0 

+ Tìm giao điểm đồ thị với trục hồnh (nếu có): Cho

a b x b

ax

y0  0 

- Vẽ đồ thị :

+ Chiều biến thiên hình dạng đồ thị

+ Đồ thị gồm hai nhánh đối xứng qua giao điểm hai đường tiệm cận hay điểm

   

 

c a c d

I ;

+Ta vẽ hai đường tiệm cận trước , vẽ nhánh riêng biệt đối xứng qua I

Các dạng đồ thị hàm phân thức :

d cx

b ax y

 

 , a0,adbc0

x  c d





 /

y

y c

a

 

c a

/

0

y  y/ 0

y

x

c d x

y

O

x

c a y

O c

5) Các toán liên quan đến khảo sát hàm số :

a) Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số msố nghiệm phương trình cho trước g x,m 0  1

Cách giải :

+ Đưa phương trình 1 dạng : f x  AmB, y f x đồ thị  C vẽ y AmB

 d

đường thẳng song song trùng với trụcOx

+ Số nghiệm phương trình 1 số hồnh độ giao điểm đồ thị  C  d

+ Dựa vào đồ thị biện luận (có trường hợp ), thường dựa vào yCĐvà yCT hàm số để biện luận

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f x điểm Mx0;y0   C

Cách giải : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị C hàm số y f x điểm Mx0;y0   C có

dạng :

/  

0 0

y f x xx y  2 Thế  0

/ 0;y ; f x

x cho vừa tìm vào  2 ta tiếp tuyến cần

tìm

c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f x biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước: Cách giải : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị C hàm số y f x có dạng : yk x x0y0

 3

GọiM x y 0; 0là tọa độ tiếp điểm Do tiếp tuyến có hệ số góc k nên   /

0

f x k, giải phương trình

tìm x0  y0  f x0 Suy phương trình tiếp tuyến (3)

d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C của hàm số y  f x biết tiếp tuyến song song

vng góc với

đường thẳng cho trước

Cách giải : Phương trình tiếp tuyến có dạng : yk x x0y0  4 GọiM x y 0; 0là tọa độ tiếp điểm

+ Nếu tiếp tuyến song song với đthẳng d:yaxbthì f  x0 a

/ , giải pt tìm  

0

0 y f x

x   Kết luận phương trình tiếp tuyến

+ Nếu tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d:yaxbthì    

a x

f a

x

f / 0 1 / 0 1

Giải phương trình tìm x0  y0  f x0 Kết luận phương trình tiếp tuyến

e) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm sốy f x đoạn  a;b : Cách giải :

+ Tính f/ x , giải phương trình f / x0 0 tìm nghiệmx0  a;b ; Tính giá trị : f a ; f x0 ; f b + Kết luận :

 ;         0 

(f ) ; ;

ax

a b

x max f a f x f b

m  ;  M ina b; f x Min f a      ; f x0 ;f b 

f) Tìm tham số mđể hàm sốy f x có cực trị (cực đại, cực tiểu ): Cách giải : + Tính đạo hàm /

y , tính  /

/

y

+ Để hàm số có cực đại , cực tiểu phương trìnhy/ 0 có hai nghiệm phân biệt

a m

 

  00

Lý thuyết Ơn Tập Mơn Tốn 12

Cách giải : + Tính đạo hàm y/  f/ x ;

+ Hàm số đạt cực trị xx0  f  x0 m /

h) Tìm tham số mđể hàm sốy f x đạt cực đại xx0:

Cách giải :+ Tính đạo hàm y/  f / x ; + Tính đạo hàm y//  f // x ;

+ Hàm số đạt cực đại xx0  

 

ff xx m

 



0

0 /

0 //

i) Tìm tham số mđể hàm sốy  f x đạt cực tiểu x x0:

Cách giải : + Tính đạo hàm y/  f/ x ; + Tính đạo hàm y//  f// x

+ Hàm số đạt cực tiểu xx0  

 

f x m

x

f 

 



0

0 /

0 //

k) Tìm tham số mđể hàm sốy f x luôn đồng biến nghịch biến TXĐ Dcủa

Cách giải : + Tìm MXĐ D hàm sốy f x + Tính đạo hàm y/  f / x , tính  / /

y

+ Hàm sốy f x đồng biến D  y  xDa00 m

/

0

+ Hàm sốy f x nghịch biến D  y  xDa00 m /

0

l) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu hàm sốy f x

Cách giải : + Tìm điểm cực đạiAxA;yAvà điểm cực tiểuBxB;yB hàm sốy f x

+ Viết phương trình đường thẳng

A B

A A

B A

y y

y y x x

x x AB

    

:

Cách giải : Cho hàm số bậc ba y  f x

+Tính y’ Viết lại y y g'    x h x Gọi x x1, hai điểm cực trị, ta có

 1  2

' 0; ' y x  y x 

+ Khi đó, đường thẳng qua hai điểm cực trị yh x  Cho hàm số hữu tỷ  

 

f x y

g x

 , đường thẳng qua hai điểm cực trị  

  ' '

f x y

g x



II LŨY THỪA, LƠGARIT, PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT Tính chất lũy thừa:

Với a0;b0 với số nguyên m, n ta có:

1 a am n am n ; m

m n n

a a a



 ;  m n mn

a a  

n n n

ab a b ; n n

n

a a

b b

      

Cho m n, là số nguyên: Với a0 m n

a a  m n; Với 0 a m n

a   a m n

2 Lôgarit:

1 Định nghĩa:

log

log 0; log

log ,

, ,

a

a a

b a

b

a

a b b

a b b b

 

  

  

2 So sánh hai logarit số

a Khi 1thì

logblogc b c

b Khi 0 

logblogc b c

3 Các quy tắc tính lơgarit:

 

loga bc logablogac

loga loga loga

b

b c

c

   

   

4 Với số a dương khác 1, số dương b số

nguyên dương n, ta có:

1

loga logab

b  ;

1 log n log

a b ab

n

 ;

1 log

log

a

b

b

a

 ; logab.logba1

5 Với a b, là số dương khác c số dương,

ta có: log log log

a b

a

c c

b

 hay logab.logbclogac

Gỉai phương trình mũ lơgarit :

 Dạng bản: f (x)

a = ag(x)  f(x) = g(x) ; af (x)= b ( với b > )  f(x) = logab

logaf(x) = logag(x)  f (x)

f (x) g(x)

 

 



log f (x)a b

0 a

  

 

  f(x) =

b

a ;

 Đặt ẩn phụ : 2f (x)

a +.af (x) +  = ; Ñaët : t = af (x) , t > 0; ab f (x) +.ab f (x) +  = ; Đặt : t = af (x), t >

 Lơgarit hoá hai vế :

4 Giải bất phương trình mũ lơgarit

f (x)

a > ag(x)  f (x) g(x) a f (x) g(x) a

 

  



 ;

f (x)

a > b Neáu b > f(x) > logab neáu a > 1; f(x) < logab neáu < a <

logaf(x) > logag(x) (*) Ñk: f(x) > ; g(x) > ; < a  a>1, (*)  f(x) > g(x) ; 0<a<1,

(*)  f(x) < g(x)

logaf(x) > b Nếu a > : bpt f(x) > ab Nếu < a < bpt < f(x) < ab Đồ thị hàm số mũ- lôgarit

O x

a >1 y

1

Đồ thị hàm số mũ

O x

y

0< a <1

1

Đồ thị hàm số lôgarit

O x

a >1 y

1

O x

y

0< a <1

1 O O

III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN 1 Nguyên hàm

Công thức nguyên hàm hàm số sơ cấp Một số công thức mở rộng

1 0dxC;

2.dx1dx x C

3

1

x

x dx C

 





 



   1; 1dx ln x C

x  



5 sinxdx cosx C ; cosxdxsinx C ;

7 12 tan ;

cos xdx x C

 12 cot

sin xdx  xC



13 sinax b dx cosax b C a



   



14 cosax b dx sinax b C a



  



15

   

2

tan

; cos

ax b

dx C

ax b a



 





16

   

2

cot

sin

ax b

dx C

ax b a



  



Lý thuyết Ôn Tập Mơn Tốn 12

9

ln

x

x a

a dx C

a

 

 , 0 a ; 10 e dxx exC;

11    

 

1

1

ax b ax b dx C

a

 







  



  1;

12 dx ln ax b C

ax b a



 





17   ;

ax b

ax b e

e dx C

a 

  



2 Tích phân

a/ Tính chất: Giả sử hàm số f g, liên tục K a b c, , ba số thuộc K Khi ta có:

1  

a

a

f x dx



2 b   a  

a b

f x dx  f x dx

 

3 b   c   c  

a b a

f x dx f x dx f x dx

  

4.b     b   b  

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

    

 

  

5.    

b b

a a

kf x dxk f x dx

 

( với k )

b/ Phương pháp đổi biến số: b    ' u b    

a f u x u x dx u a f u du

 

Trong đó: uu x  có đạo hàm liên tục K, hàm số y f u liên tục cho hàm hợp  

f u x  xác định K; avà b hai số thuộc K

c/ Phương pháp tích phân phần:    '     |    '

b b

b a

a a

u x v x dx u x v x  v x u x dx

  Hay |

b b

b a

a a

udvuv  vdu

 

Trong hàm số u v, có đạo hàm liên tục Kvà a b, hai số thuộc K HÌNH HỌC 12

I HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 1 Khối chóp: Thể tích

3

V  Sđ h , với h: chiều cao, Sđ: diện tích đáy

2 Khối lăng trụ: Thể tích V Sđ h ,với h chiều cao, Sđ diện tích đáy

Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy

h

Khối tứ diện

h

Khối chóp có cạnh bên vng với đáy hình bình hành

h

Khối chóp

h h

Khối chóp có đáy tam giác

h

Khối chóp có đáy tứ giác

Trường hợp đáy hình thang

h

Khối chóp đáy hình thang có cạnh bên vng góc với đáy

h h

Khối chóp có đáy hình thang cân

h

Khối chóp có đáy hình thang vng

h

h c

b a

h

Khối hộp

( mặt hình bình hành)

Khối hộp chữ nhật Khối lập phương Khối lăng trụ có đáy

một tam giác

h

Khối lăng trụ đứng có đáy tam giác

Diện tích hình trịn: SR2(với R bk) Chu vi đường trịn: 2 R

Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = rl ( với l đường sinh)

Diện tích tồn phần hình nón: Stp= Sxq + Sđ

Thể tích khối nón:

3

V  Sđ h , (với h chiều cao)

3 Khối nón:

4 Khối trụ:

* Diện tích hình trịn:SR2(với R bk) * Chu vi đường tròn: 2 R

* Diện tích xung quanh hình trụ:Sxq 2Rh

( với h chiều cao h= l đường sinh)

* Diện tích tồn phần hình trụ: Stp= Sxq + 2Sđ

* Thể tích khối trụ: V Sđ h

5 Khối cầu: a Diện tích mặt cầu: S4R2; b Thể tích khối cầu:

3

V R

6 Diện tích đa giác cần nhớ: a.ABC vuông A : S=1AB.AC

2 ; b.ABC cạnh a: diện tích

2

a

S=

4 ; đường cao:

a h=

2

c Diện tích hình vng : S = cạnh x cạnh; d Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng e Diện tích hình thoi : S =

2(chéo dài x chéo ngắn); f Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều

cao

g Diện tích hình thang :

2

S [(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao]; h Diện tích hình trịn : S.R2

II PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1: TỌA ĐỘ VECTƠ - TỌA ĐỘ ĐIỂM

       

   

' ' ' ' ' '

' ' '

' ' '

1.Cho ; ; ; ; ; : ; ; ; ; ;

2.Cho ; ; ; ; ; ;

u x y z v x y z u v x x y y z z k u kx ky kz

x y z

u x y z v x y z u v u kv k

x y z

       

  phương      

3.Nếu điểm M x M;yM;zM chia đoạn AB ; Nếu I x y z I; I; I trung điểm

theo tỉ số k1

1

1

1

A B

M

A B

M

A B

M

x kx x

k y ky y

k z kz z

k



 

 





 

 





 

 



đoạn AB thì:

2

2

A B

I

A B

I

A B

I

x x x

y y y

z z z

   

 

   

   

5 Nếu G x G;yG;zGlà trọng tâm ; Nếu E x E;yE;zE trọng tâm

của tam giác ABC :

3

3

3

A B C G

A B C G

A B C G

x x x

x

y y y

y

z z z

z

   

 

   

 

   



tứ diện ABCD thì:

4

4

A B C D

E

A B C D

G

A B C D

G

x x x x x

y y y y y

z z z z z

    

 

    

 

    



R H

h

B S

A

R h h

Lý thuyết Ơn Tập Mơn Tốn 12

BÀI 2: TÍCH VƠ HƯỚNG – TÍCH CĨ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG

Cho ax y z1; 1; 1;bx y z2; 2; 2

1 Tích vơ hướng hai vectơ: a b x x1 2y y1 2z z1 số thực; a b x x1 2y y1 2z z1 20

2 Độ dài vectơ: 2

1 1

a  x y z

3 ABxBxA;yByA;zBzA;   2  2 2

B A B A B A

AB x x  y y  z z (khoảng cách hai điểm A

B)

4.Bình phương vơ hướng: 2 2

1 1

a  a x y z

5.Góc hai vectơ: Gọi  góc hai vectơ a b 2

2 2 2 1 2

os

x x y y z z a b

c

a b x y z x y z

   

   

6.Tích có hướng hai vectơ:

+Định nghĩa: 1 1 1  

1 2 1 2 1 2

2 2 2

, y z ;z x ; x y ; ;

a b y z y z z x z x x y x y

y z z x x y

 

      

    vectơ

+Tính chất:

+ a b, a; a b, b; + a phương với b a b,  

+ a b,   a b sin ( góc hai vectơ a b)

7.Diện tích tam giác ABC là: ,

2

ABC

S  AB AC

8.Ba vectơ a , b, c đồng phẳng khi: a b c,  

Hệ quả: Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi: AB AC AD,  0

9.Thể tích khối hộp ABCD A’B’C’D’: V  AB AD AA,  ' ( AB,AD, AA’ cạnh xuất phát từ

đỉnh A)

10.Thể tích khối tứ diện ABCD là: ,

6

V  AB AC AD BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1 Phương trình mặt phẳng   qua điểm M0x y z0; 0; 0 có vectơ pháp tuyến nA B C; ;  là: A x x0B y y0C z z00 Hay

2 2

0 , ( 0)

AxByCz D A B C 

2 Phương trình mặt phẳng tọa độ:

+ Mặt phẳng (Oxy): z = 0; + Mặt phẳng (Oyz): x = 0; + Mặt phẳng (Oxz): y =

Chú ý: mp   2

0 , ( 0)

AxByCz D A B C  Nếu     / / 

  :AxBy Cz D'0DD'

3 Vị trí tương đối hai mặt phẳng: Cho mp

  :AxBy Cz  D 0;   :A x' B y C z'  ' D'0

+   cắt    A B C: : A B C' : ' : ' ( Hai vectơ không phương ) +    / /

' ' ' '

A B C D

A B C D

     

+    

' ' ' '

A B C D

A B C D

      

   0

0; 2 2 2

Ax By Cz D d M

A B C

    

 

5 Góc hai mặt phẳng:

Cho hai mp   :AxBy Cz  D có VTPT nA B C; ;    :A x' B y C z'  ' D'0 có vectơ pháp tuyến

n'A B C'; '; ' là:  

2 2 2

' ' '

os os , '

' ' '

AA BB CC

c c n n

A B C A B C

   

   

BÀI 4: MẶT CẦU

I Phương trình mặt cầu (S):

1 Dạng 1: Mặt cầu (S) tâm I a b c ; ; ; bán kính R có pt là:   2  2 2

x a  y b  z c R

2 Dạng 2: Pt 2  2 

2 2 0

x   y z ax by cz D  a    b c D , tâm I a b c ; ; , bán kính

2 2

R a   b c D

II Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu:

Cho mặt cầu (S):   2  2 2 2

x a  y b  z c R mp   :AxBy Cz  D

 Nếu d I ,  R mp  khơng cắt mặt cầu (S)

 Nếu d I ,  R mp  tiếp xúc mặt cầu (S) H (IH   H) Mặt phẳng  gọi tiếp diện (S) H

 Nếu d I ,  R mp  cắt mặt cầu (S) theo đường trịn (C) có phương trình

  2  2 2

0

x a y b z c R

Ax By Cz D

      

 

   

 Đường tròn (C) gọi đường tròn giao tuyến

 Tâm H đường tròn (C) hình chiếu tâm I mp  