Công thức tính độ dài cung tròn – Chuyên đề đường tròn lớp 9

- Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đến hai tiếp điểm ; tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến ; tia kẻ từ tâ[r]

CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN

A-

MỤC TIÊU:

-Học sinh cần nắm vững kiến thức đường tròn.

-Vận dụng cách thành thục đn, tính chất để giải dạng tập đó. -Rèn kỹ tư hình học Sáng tạo linh hoạt giải tốn hình học. B - NỘI DUNG :

I/ Những kiến thức :

1) Sự xác định tính chất đường trịn :

- Tập hợp điểm cách điểm O cho trước khoảng khơng đổi R gọi đường trịn tâm O bán kính R , kí hiệu (O,R)

- Một đường trịn hồn tồn xác định một điều kiện Nếu AB đoạn cho trước đường trịn đường kính AB tập hợp điểm M cho góc AMB = 900 Khi tâm O trung điểm AB cịn bán kính R=AB

2

- Qua điểm A,B ,C khơng thẳng hàng ln vẽ đường trịn mà thơi Đường trịn gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

- Trong đường trịn , đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây Ngược lại đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây

- Trong đường trịn hai dây cung chúng cách tâm

- Trong đường tròn , hai dây cung không , dây lớn dây gần tâm

2) Tiếp tuyến đường tròn :

- Định nghĩa : Đường thẳng gọi tiếp tuyến đường trịn có điểm chung với đường trịn Điểm gọi tiếp điểm

- Tính chất : Tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính tiếp điểm Ngược lại , đường thẳng vng góc với bán kính giao điểm bán kính với đường trịn gọi tiếp tuyến

- Hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm điểm cách đến hai tiếp điểm ; tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến ; tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm - Đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác gọi đường tròn nội tiếp tam giác Tâm đường trịn nội tiếp tam giác giao đường phân giác tam giác - Đường tròn bàng tiếp tam giác đường tròn tiếp xúc với cạnh phần kéo dài

của hai cạnh

3) Vị trí tương đối hai đường tròn :

- Giả sử hai đường tròn ( O;R) (O’;r) có R ≥ r d = OO’ khoảng cách hai tâm Khi vị trí tương đối hai đường trịn ứng với hệ thức R , r d theo bảng sau :

Hai đường tròn cắt nhau R – r <d < R + r

Hai đường tròn tiếp xúc d = R + r ( d = R – r )

Hai đường trịn khơng giao nhau d > R + r ( d < R – r )

- Hai đường tròn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm

- Nếu hai đường trịn cắt đường nối tâm vng góc với dây cung chung chia dây cung hai phần

4) Các loại góc : a Góc tâm :

- Định nghĩa : Là góc có đỉnh tâm đường trịn

- Tính chất : Số đo góc tâm số đo cung bị chắn b Góc nội tiếp :

- Định nghĩa : Là góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh góc chứa hai dây đường trịn

- Tính chất : Số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn c Góc tạo tia tiếp tuyến dây qua tiếp điểm :

- Tính chất : Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây nửa số đo cung bị chắn

d Góc có đỉnh nằm bên đường trịn :

- Tính chất : Số đo góc có đỉnh nằm bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn hai cạnh góc tia đối hai cạnh

e Góc có đỉnh nằm bên ngồi đường trịn :

- Tính chất : Số đo góc có đỉnh nằm bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn hai cạnh góc

5) Quỹ tích cung chứa góc :

- Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định góc  khơng đổi hai cung tròn đối xứng qua AB gọi cung chứa góc  dựng đoạn thẳng AB Đặc biệt cung chứa góc 900 đường trịn đường kính AB

- Dựng tâm O cung chứa góc đoạn AB : o Dựng đường trung trực d AB

o Dựng tia Ax tạo với AB góc  , sau dựng Ax’ vng góc với Ax o O giao Ax’ d

6) Tứ giác nội tiếp đường tròn :

- Đinh nghĩa : Tứ giác có đỉnh nằm đường trịn

- Tính chất : Trong tứ giác nội tiếp , tổng số đo hai góc đối diện góc vng Ngược lại , tứ giác có tổng góc đối diện góc vng tứ giác nội tiếp đường trịn

- Diện tích hình tròn : S = π R2

- Độ dài cung tròn : l = 180π Rn

- Diện tích hình quạt trịn : S = πR2n 180

8) Tính bán kính đường trịn nội tiếp , ngoại tíêp , bàng tiếp đa giác a Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác n cạnh :

R =

a

2 Sin180

0

n r =

0 180 tan

a

n

b Bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác n cạnh

r =

a

2 tg180

0

n

c Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác (R) : R = 2 SinAa = b

2 SinB= c SinC

R = abc4 S

Δ

Với tam giác vuông A : R =

a2

Với tam giác cạnh a : R = a

√

3

d Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (r) :

r = SΔ

p với ( 2p = a+b+c )

Với tam giác vuông A : r = c+b− a2

Với tam giác cạnh a : r = a

√

3

e Bán kính đường trịn bàng tiếp góc A tam giác (ra) : ra= S

p −a ( bán kính đường trịn bàng tiếp góc A )

Với tam giác vng A : = a+b+c2

Với tam giác cạnh a : = a2

√

3 II/ Bài tập vận dụng

Sử dụng tính chất đường trịn quan hệ đường kính dây cung ; dây cung khoảng cách đến tâm để chứng minh hai đường thẳng vng góc , so sánh hai đoạn thẳng

Sử dụng đường kính dây cung lớn đường tròn để để xác định vị trí đường thẳng , điểm để có hình đặc biệt áp dụng để giải toán cực trị

b Các ví dụ :

Bài : Trong đường trịn (O) kẻ hai bán kính OA OB tùy ý dây MN vng góc với phân giác Ox góc AOB cắt OA F OB G Chứng tỏ MF = NG FA = GB

Hướng dẫn chứng minh :

Sử dụng tính chất đường kính dây cung chứng minh : HM = HN

Chứng minh tam giác OFG cân để : HF = HG ; OF = OG

Từ hai điều suy điều phải chứng minh

Bài : Cho hai đường trịn đồng tâm hình vẽ So sánh độ dài : a) OH OK

b) ME MF c) CM MK Nếu biết

AB > CD

AB = CD AB < CD

Bài : Cho (O) điểm I nằm bên đường tròn Chứng minh dây AB vng góc với OI I ngắn dây khác qua I

Hướng dẫn chứng minh :

Kẻ dây CD qua I không trùng với AB

Nhờ mối liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây , ta kẻ OK vng góc với CD OI > OK nên AB < CD

* Từ tập thấy bán kính đường trịn R OI = d hỏi :

B A

E

F D

C M

O H

K

A B

O

I K

D

C

M

N O

H F

G

x

2 A

- Tính độ dài dây ngắn qua I ? - Tính độ dây dài qua I ?

Bài : Cho (O;R) điểm M nằm ngồi đường trịn Hãy dựng cát tuyến MPQ với đường tròn cho MP = MQ

Hướng dẫn :

Phân tích : Giả sử dựng hình thỏa mãn đề Kẻ OI vng góc với PQ

Ta có : IP=1

2PQ  IP= 3MI  MP=2

3MI

Kẻ PN vng góc MQ ta thấy MN=2

3MO P giao đường trịn đường kính MN (O)

Cách dựng : Dựng điểm N dựng điểm P…

2) Bài tập tiếp tuyến đường tròn : a Ứng dụng tiếp tuyến :

- Từ tính chất tiếp tuyến , hai tiếp tuyến cắt ta đường thẳng vng góc , cặp đoạn thẳng cặp góc ; từ ta xây dựng hệ thức cạnh , góc

- Từ tính chất tiếp tuyến vận dụng vào tam giác tìm cơng thức tính diện tích đường tròn nội tiếp , đường tròn ngoại tiếp đường trịn bàng tiếp tam giác , bán kính

- Lưu ý : Chứng minh Ax tiếp tuyến (O;R) làm theo cách sau :

 A  (O;R) góc OAx = 900  Khoảng cách từ O đến Ax R

 Nếu X nằm phần kéo dài EF XA2 = XE.XF ( xem hình )

 Góc EAX = góc AEF b Các ví dụ :

Bài : Cho tam giác ABC vuông A Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ; d tiếp tuyến đường tròn A Các tiếp tuyến đường tròn B C cắt d theo thứ tự D E

a) Tính góc DOE

b) Chứng minh : DE = BD + CE

c) Chứng minh : BD.CE = R2 ( R bán kính đường trịn tâm O ) d) Chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn có đường kính DE Hướng dẫn chứng minh :

M

N O

Q

P I

X

E

F

a) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta chứng minh :

D ^O E=D ^O A+E ^O A=1

2(B ^O A +C ^O A )=90

0

b) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta chứng minh : DE = DA + EA = BD + EC

c) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta có : BD.CE = DA.EA

Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông cho tam giác DOE DA.EA = OA2 = R2

d) Trung điểm I DE tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng DOE Ta thấy OI đường trung bình hình thang vuông BDEC nên OI // BD // CE hay OI  BC hay BC tiếp tuyến đường tròn đường kính DE

Bài : Cho hai đường trịn ( O) (O’) tiếp xúc ngồi A Kẻ đường kính AOB ; AOC’ Gọi DE tiếp tuyến chung đường tròn ; D  ( O ) ; E  ( O’) Gọi M giao điểm BD CE

a) Tính số đo góc DAE b) Tứ giác ADME hình ?

c) Chứng minh MA tiếp tuyến chung hai đường tròn Hướng dẫn chứng minh :

a) Kẻ tiếp tuyến chung hai đường tròn qua A cắt tiếp tuyến chung DE F Dựa vào tính chất tiếp tuyến ta có FA = FD = FE Vậy tam giác DAE tam giác vng A hay góc DAE = 900

b) Tứ giác ADME có ^D= ^A=^E=900 nên

nó hình chữ nhật

c) Từ câu b) AM qua trung điểm DE hay AM trùng với AF nên AM tiếp tuyến chung hai đường trịn

Lời bình :

- Với tập cho trước hai đường tròn tiếp xúc , ta nên lưu ý đến tiếp tuyến chung chúng Nó thường có vai trò quan trọng lời giải

- Với tập hỏi :  CMR : góc OFO’ góc vng

 DE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác OFO’

 Các tia AD AE cắt (O) (O’) H ; K Chứng minh : SAHK = SADE

Bài : Gọi a , b, c số đo cạnh tam giác ABC , r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Tính diện tích tam giác theo p r , p nửa chu vi tam giác

Hướng dẫn :

Gọi D , E , F tiếp điểm

Theo tính chất tiếp tuyến : ID = IF = IE = r

A

E

C O

B D

A

B C

D

E F

O O’

M

I A

B C

E F

Nên : SABC = SABI + SBCI + SACI = 12 ( a + b + c).r = pr

S = pr

Từ tập tính :

- Bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác vuông , tam giác theo cạnh tam giác

- Các đoạn tiếp tuyến AE , BF , CD theo cạnh a , b, c tam giác 3) Bài tập loại góc đường trịn

Bài : Cho A điểm cố định đường tròn (O) M điểm di động đường tròn N giao AM với đường kính cố định BC Chứng minh giao điểm đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN cố định

Hướng dẫn chứng minh :

Kẻ DA // BC Kẻ đường kính DP

Ta dễ thấy : ^N= ^P ( góc A )

Nên đường trịn ngoại tiếp tam giác OMN qua P  (O) cố định

Nhận xét :

Trong P cịn góc nội tiếp hai đường trịn nên đóng vai trị đại lượng trung gian để chứng minh góc Kĩ cịn gặp lại thường xuyên

Bài : Cho tham giác ABC có góc nhọn Đường trịn (O) có đường kính BC cắt AB , AC theo thứ tự D , E Gọi I giao điểm BE CD

a) Chứng minh : AI  BC b) Chứng minh : I ^D E=I ^A E

c) Cho góc BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE tam giác Hướng dẫn chứng minh :

a) Dựa vào tính chất góc chắn nửa đường trịn , ta chứng minh I trực tâm tam giác ABC nên AI  BC

b) Góc IAE = EBC góc có cạnh tương ứng vng góc Góc EBC = EDC chắn cung EC

Từ hai điều suy điều chứng minh

c) Góc BAC = 600  Góc DBE = 300 chắn cung DE  Số đo cung DE = 600

 Góc DOE = 600 mà tam giác DOE cân đỉnh O nên DOE tam giác

Bài : Cho đường tròn (O) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Điểm C thuộc nửa đường tròn nửa mặt phẳng với Ax với bờ AB Phân giác góc ACx cắt đường trịn E , cắt BC D Chứng minh :

C B

O

A D

P M

N

E

B C

D A

I

a) Tam giác ABD cân

b) H giao điểm BC DE Chứng minh DH  AB

c) BE cắt Ax K Chứng minh tứ giác AKDH hình thoi

Hướng dẫn giải :

a) AD phân giác hai cung AE CE

Dựa vào góc nội tiếp ta dễ dàng chứng minh BE vừa phân giác vừa đường cao tam giác ABD , nên ABD cân đỉnh B

b) Dựa vào góc chắn nửa đường tròn Ta thấy H trực tâm ABD nên DH  AB

c) Ta thấy KE = HE (vì AKH cân đỉnh A) AE = DE ( ABD cân đỉnh B) ADKH , nên tứ giác AKDH hình thoi

* Từ tập câu hỏi khác : - Chứng minh OE  AC

- Tìm vị trí C cung AB để ABD

Bài : Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) Chứng minh : a) R = 2 SinAa = b

2 SinB= c SinC

b) R = abc4 S

Δ

Hướng dẫn giải

a) Kẻ đường kính AA’lúc ACA’ vuông C Dựa vào hệ thức lượng tam giác vng góc nội tiếp chắn cung ta có :

b=A A' SinA \{ ^A 'C = 2R SinB

Hay R= b SinB

Chứng minh tương tự

b) Ta thấy hai tam giác vuông AHB ACA’ đồng dạng nên AHAB=AC AA'

hay ha

c = b

2 R mà ha= 2 S

a suy 2 S ac =

b

2 R hay S= abc

4 R

Từ tập tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác vuông , tam giác đều

4) Bài tập tứ giác nội tiếp đường tròn

Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn theo cách sau : - Chứng minh tổng hai góc đối diện tứ giác 1800.

- Chứng minh hai điểm nhìn hai điểm cịn lại góc

- Tứ giác ABCD có AC cắt BD M mà MA.MC = MB.MD tứ giác ABCD nội tiếp

A B

C D

K E

H

O

A

B C

A’ H

O

- Tứ giác có hai cạnh bên AB CD giao M mà MA.MB = MC.MD tứ giác ABCD nội tiếp

Các ví dụ :

Bài : Cho tam giác ABC có góc nhọn với đường cao BD , CE a) Chứng minh BEDC tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh : AD.AC = AE.AB

c) Kẻ tiếp tuyến Ax đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh : Ax // ED

Hướng dẫn chứng minh :

a) D, E nhìn BC góc 900 nên tứ giác BEDC nội tiếp

b) Hai tam giác vuông ABD ACE đồng dạng Suy AD.AC = AE.AB c) x ^A B= A ^C B chắn cung AB

A ^E D= A ^C B phụ với góc BED Nên x ^A B= A ^E D Suy Ax // ED Nhận xét :

Với giả thiết tốn khai thác toán theo nhiều hướng nhiều câu hỏi :

- Kéo dài đường cao BD , CE , AF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D’ , E’ , F’ Chứng minh :

 H tâm đường tròn nội tiếp tam giác D’E’F’  H đối xứng với D’,E’,F’ qua AC , AB , BC  ED // E’D’

 OA  E’D’

 Các đường tròn tam giác : HAB , HBC, HCA có bán kính

 SABC = abc4 R

- Vẽ hình bình hành BHCK , I trung điểm BC Chứng minh :  Tứ giác ABKC nội tiếp với K nằm đường tròn (O)  B ^A H =O ^A C

 H , I , K thẳng hàng

 AH // OI ; AH = 2.OI Nếu B , C cố định A di động bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ADE không đổi

 Đường thẳng qua K song song với BC cắt AH M A,B,C,K,M nằm đường tròn

Bài : Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ; E điểm cung AB , hai dây EC , ED cắt AB P Q Các dây AD EC kéo dài cắt I , dây BC ED kéo dài cắt K Chứng minh :

a) Tứ giác CDIK nội tiếp

x

A

B C

b) Tứ giác CDQP nột tiếp c) IK // AB

d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD tiếp xúc với EA

Hướng dẫn :

a) D C nhìn IK hai góc ( góc nội tiếp chắn hai cung ) Suy tứ giác DIKC nội tiếp

b) sđ (QDC + QPC) = ½sđ (BE + CB) + ½ sđ (ADC + BE)

= ½ sđ( BE + CB + ADC + BE ) = 1800

Nên tứ giác CDQP nội tiếp

c) sđ API = ½ sđ( CB + AE ) = ½ sđ ( CB + BE ) = sđ CDK = sđ CIK = ½ sđ CK Từ suy IK // AB

d) EAQ = ADQ ( góc nội tiếp chắn cung ) Suy AE tiếp tuyến

Bài : Cho tứ giác nội tiếp đường tròn (O) Chứng minh tích hai đường chéo tổng tích cặp cạnh đối diện

Hướng dẫn :

Giả sử ACD > ACB

Lấy E BD cho ACB = DCE

Hai tam giác ABC DEC đồng dạng : AB.DC = AC.DE Hai tam giác ADC BEC đồng dạng : AD.BC = AC.BE Cộng vế hai đẳng thức suy điều chứng minh

II Bài tập tổng hợp :

Trong phần I , làm quen dần với dạng toán tương ứng với kiến thức đường tròn

Trong phần II , nâng cao kĩ giả toán tập tổng hợp dạng toán

1) Các câu hỏi thường gặp tốn hình :

1 Chứng minh : Nhiều điểm nằm đường tròn (đặc biệt điểm nằm đường tròn hay chứng minh tứ giác nội tiếp )

2 Chứng minh hai đường thẳng song song , vng góc với Chứng minh đẳng thức hình học

4 Nhận biết hình hình ? ( tam giác cân , hình bình hành , hình thoi , hình chữ nhật , hình thang cân …) Lưu ý : Khi chứng minh tứ giác hình thang cân khơng chứng minh hình thang có hai cạnh bên

5 Chứng minh đường thẳng đồng quy ; hay nhiều điểm thẳng hàng

A

B D

C Q

P

E I

K

A

B

C D

6 Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn , tiếp tuyến chung hai đường trịn

7 Xác định vị trí đặc biệt để có hình đặc biệt Tốn cực trị hình học

9 Tốn đại lượng hình học : Đoạn thẳng , cung ,góc , chu vi , diện tích …

Trong câu hỏi tùy theo mà câu hỏi cho có logic câu thứ , thứ hai câu sau

Thông thường kết câu giả thiết để chứng minh câu dưới, cần vẽ thêm hình tốn trở lên đơn giản

2) Bài tập vận dụng

Bài : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Từ A B kẻ tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ cắt tiếp tuyến Ax By E F

1 Chứng minh AEMO tứ giác nội tiếp

2 AM cắt OE P , BM cắt OF Q Tứ giác MPOQ hình ? Tại ? 3 Kẻ MH  AB ( H  AB) Gọi K giao MH EB So sánh MK KH.

Hướng dẫn :

1) EAO = EMO = 900 Nên AEMO tứ giác nội tiếp

2) Dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt có MPO = MQO = 900 PMQ = 900 nên PMQO hình chữ nhật

3) EMK  EFB (g.g)  EMMK=EF FB mà MF = FB

 EMMK=EF MF

EAB  KHB (g.g)  EKKH=AB HB mà

EF MF=

AB

HB ( Ta let)  EM MK=

EA KH Vì EM = EA  MK = KH

Bài : Cho (O) cắt (O’) A B Kẻ cát tuyến chung CBD  AB ( C (O) D trên (O’).)

1 Chứng minh A , O , C A ,O’, D thẳng hàng

2 Kéo dài CA DA cắt (O’) (O) theo thứ tự I K Chứng minh tứ giác CKID nội tiếp

3 Chứng minh BA , CK DI đồng quy Hướng dẫn :

1 CBA = DBA = 900 nên AC DA đường kính hay A,O, C thẳng hàng D ,O’,A thẳng

A B

F

E

M

O P

Q K

H

C B D

G

K I

O O’

hàng

2 Từ câu 1) dựa vào góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ta thây K , I nhìn CD góc vng nên tứ giác CDIK nội tiếp

3 A trực tâm tam giác ADG có AB đường cao hay BA qua G

Bài : Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A,B Các đường AO AO’cắt đường tròn (O) C D , cắt đường tròn (O’) E , F

a) Chứng minh B , F , C thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp

c) Chứng minh A tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE

d) Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung (O) (O’)

Hướng dẫn :

a) CBA + FBA = 1800 nên A , B , F thẳng hàng

b) D, E nhìn CF góc vng nên CDEF nội tiếp

c) Tứ giác CDEF nội tiếp nên EDF = ECF ; ACB = ADB từ suy EDF = ADB Hay DE phân giác góc D BDE Tương tự EC phân giác góc E BDE Hai phân giác cắt A nên A tâm đường tròn nội tiếp BDE

d) Giả sử DE tiếp tuyến chung hai đường trịn ta có OO’ // CE vng góc với AB : AOO’ = ACB mà ACB = FDE ( DCFE nội tiếp ) suy : AOO’ = ODE hay tứ giác ODEO’ nội tiếp (1)

DE tiếp tuyến DE vng góc với OD O’E (2)

Vậy ODEO’ hình chữ nhật : Hay OD = O’E ( Hai đường trịn có bán kính )

Bài : Cho (O,R) đường kính AB , đường kính CD di động Gọi đường thẳng d tiếp tuyến đường tròn B Đường thẳng d cắt đường thẳng AC , AD theo thứ tự P Q

1) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh AD AQ = AC.AP

3) Tứ giác ADBC hình ? Tại ? 4) Xác định vị trí CD để SCPQD = 3.SACD

Hướng dẫn :

1 CPB = CDA ( CBA) nên CPB + CDQ = 1800. ADC APQ (g.g) suy AD.AQ = AC.AP

3 Tứ giác ADBC hình chữ nhật có góc vng

4 Để SCPQD = 3.SACD  SADC = ¼ SAPQ tức tỉ số đồng dạng hai tam giác ½

Suy AD = ½ AP hay BC = ½ AP mà tam giác ABC vuông B nên C trung điểm CP

E D

C

B F

O’ A

O

A B

Q D

C O

 CB = CA hay ACB cân  CD  AB

Bài : Từ điểm S nằm ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA , SB cát tuyến SCD đường tròn

1) Gọi E trung điểm dây CD Chứng minh điểm S ,A , E , O , B nằm đường trịn

2) Nếu SA = OA SAOB hình ? Tại ? 3) Chứng minh AC BD = BC.DA = ½ AB.CD Hướng dẫn chứng minh

1) Sử dụng tính chất tiếp tuyến , ta có A , B nhìn SO góc vng , nên tứ giác SADO nội tiếp đường trịn đường kính SO

Dựa vào tính chất đường kính vng góc với dây cung , ta có SEO = 900 Nên E thuộc đường trịn đường kính SO

2) Nếu SA = OA SA = AB = OA = OB góc A vng nên tứ giác SAOB hình vng

3) Ta thấy SAC SDA  ACDA=SC SA

SCB SBD  BCBD=SC SB

Mà SA = SB  ACAD=BC

BD  AC.BD = AD.BC (1) Trên SD lấy K cho CAK = BAD lúc

CAK BAD (g.g)  AC.DB = AB.CK BAC DAK (g.g)  BC.AD = DK.AB

Cộng vế ta AC.BD + BC.AD = AB( CK+DK )= AB.CD (2) Từ (1) (2) suy : AC.BD + AC.BD = AB.CD hay AC.BD = ½ AB.CD Vậy AC.BD = AD.BC = ½ AB.CD

Bài : Cho tam giác ABC vng A Đường trịn đường kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy điểm E Nối BE kéo dài cắt AC F

1) Chứng minh CDEF nội tiếp

2) Kéo dài DE cắt AC K Tia phân giác góc CKD cắt EF CD M N Tia phân giác góc CBF cắt DE CF P Q Tứ giác MNPQ hình ? Tại ?

3) Gọi r1 , r2 , r3 theo thứ tự đường tròn nội tiếp tam giác ABC , ADB , ADC Chứng minh : r = r12 + r22

Hướng dẫn :

1) Dựa vào số đo cung ta thấy C = DEB  C + DEF = 1800 Nên tứ giác CDEF nội tiếp

S O

D A

C

B E K

A

B

K F

Q

C N

D E

2) BED BCQ ( g.g)  BPE = BQC  KPQ = KQP hay KPQ cân

CNK MK  EMK = CNK

 BMN = BNM hay BMN cân  MN  PQ MN cắt PQ trung điểm đường Nên MNPQ hình thoi

3) ABC DAB DAC  r BC=

r1 AB=

r2 AC 

r2

BC2=

r12

AB2=

r22

AC2

 r

2

BC2=

r12+r22

AB2

+AC2= r12+r22

BC2

 r2 = r12 + r22

Bài : Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp (O;R) Hạ đường cao AD , BE tam giác Các tia AD , BE cắt (O) điểm thứ hai M , N Chứng minh :

a) Bốn điểm A , E , D , B nằm đường trịn TÌm tâm I đường trịn

b) MN // DE

c) Cho (O) dây AB cố định , điểm C di chuyển cung lớn AB Chứng minh độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CED không đổi Hướng dẫn giải :

a) E,D nhìn AB góc vng nên tứ giác AEDB nội tiếp đường trịn đường kính AB có I ( trung điểm AB ) tâm

b) Ta thấy : ABE = ADE ( chắn cung AE ) mà ABE = AMN ( chắn cung AN )

nên ADE = AMN hay DE // MN

c) Kẻ thêm hình vẽ Dựa vào góc nội tiếp tứ giác AEBD suy CN = CM nên OC  MM  OC  DE

Tứ giác HDCE nội tiếp đường tròn tâm K ( trung điểm HC) đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE  KD = KE ID = IE nên IK  DE hay IK // OC OI // CK nên OIKC hình bình hành  KC = OI không đổi

Bài : Cho tam giác nội tiếp đường tròn (O,R)

1) Tính theo chiều R độ dài cạnh chiều cao ABC

2) Gọi M điểm di động cung nhỏ BC ( M  B,C ) Trên tia đối MB lấy MD = MC Chứng tỏ MCD

3) CMR : M di động cung nhỏ BC D di chuyển đường tròn cố định , xác định tâm vị trí giới hạn

4) Xác định vị trí điểm M cho tổng S = MA + MB + MC lớn Tính giá trị lớn S theo R

A

N

C I

B M D

E O

Hướng dẫn :

1) AH=AB

√

3

2 AB = AC = BC = R

√

3

2) Có MC = MD ( gt)

sđ BMC = ½ sđ BAC = ½ ( 3600 : 3).2 = 1200

 CMD = 600 Vậy CMD 3) IMC = IMD ( c.g.c)  IC = ID

Khi M di động cung nhỏ BC D chạy đường trịn ( I ; IC )

Khi M  C  D  C ; M  I  D  E

4) ACM = BCD ( g.c.g )  AM = BD  S = MA + MB + MC = 2.AM  2.AI  S  4R S Max= 4R AM đường kính

Bài : Cho ABC ngoại tiếp (O) Trên BC lấy M , BA lấy N , CA lấy P cho BM=BN CM = CP Chứng minh :

a) O tâm đường tròn ngoại tiếp MNP b) Tứ giác ANOP nội tiếp đường trịn

c) Tìm vị trí M , N , P cho độ dài NP nhỏ Hướng dẫn :

a) Từ tính chất tiếp tuyến cắt giả thiết suy :

DN = EM = FP  ODA = OEM = OFP ( c.g.c ) ON = OM = OP hay O tâm đường tròn ngoại tiếp MNP

b) Từ câu a) suy OND = OPF nên tứ giác ANOP nội tiếp

c) Kẻ OH  NP Có NP = NH = NO cosHNO = 2.NO.Cos(A/2)

= 2.OE Cos (A/2) Vậy NPMin = 2r.cos(A/2)

Khi M , N , P trùng với tiếp điểm

Bài 10 : Cho hình vng ABCD có cạnh 3a Lấy AE = a cạnh AD DF = a trên cạnh DC Nối AF BE cắt H

a) Chứng minh : AF  BE

b) Tính cạnh tứ giác ABFE đường chéo theo a c) Tính theo a đoạn HE , HB

d) Chứng minh : EDFH nội tiếp đường tròn Đường tròn cắt BF K Tính theo a đoạn BK Nhận xét điểm E , K ,C

B

A C

I

E

O M

D H

A

B C

D

P

F

E M N

Hướng dẫn :

a) ADF = BAE DAF = EBA  BE  AF

b) Pitago : BE = AF = a

√

10 ; EF = a

√

5 ; BF = a

√

13

c) Dùng hệ thức lượng : EH = a

√

10

10 ; HB = 9 a

√

10

10

d) Dựa vào tổng góc đối 1800 nên EDFH nội tiếp

BEK BFH  BK=BE BH

BF =

9 a

√

13 13

e) Dựa vào vuông góc : E , K , C thẳng hàng C : KẾT LUẬN

Trên số định hướng nhằm giải số vấn đề “Đường tròn’’

A B

C

D F

E H