Tải Công thức tính độ dài đường trung tuyến - Cách tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác

Định lý: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.. Định lý: Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là [r]

Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến I Kiến thức trọng tâm

1 Định nghĩa đường trung tuyến

- Đường trung tuyến đoạn thẳng đường thẳng qua trung điểm đoạn thẳng

2 Định nghĩa đường trung tuyến tam giác

- Đường trung tuyến tam giác đoạn thẳng nối từ đỉnh tam giác tới trung điểm cạnh đối diện hình học phẳng Mỗi tam giác có đường trung tuyến

- Hình ảnh minh họa đường trung tuyến tam giác

Theo hình vẽ đoạn thẳng AI, CN, BM trung tuyến tam giác ABC

3 Tính chất đường trung tuyến tam giác

- Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm cách đỉnh khoảng 23 độ dài đường trung tuyến qua đỉnh

- Giao điểm ba đường trung tuyến gọi trọng tâm

- Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ABC có trung tuyến AI, BM, CN ta có biểu thức:

2

AG BG CG

4 Định nghĩa đường trung tuyến tam giác vuông

- Tam giác vuông trường hợp đặc biệt tam giác, đó, tam giác có góc có độ lớn 90 độ, hai cạnh tạo nên góc vng góc với - Do đó, đường trung tuyến tam giác vng có đầy đủ tính chất đường trung tuyến tam giác

Định lý: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền

Định lý: Một tam giác có trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh thì tam giác tam giác vng

Ví dụ:

Tam giác ABC vng A, độ dài đường trung tuyến AM MB, MC

bằng 2 BC

Ngược lại

1 AM  BC

tam giác ABC vng A II Bài tập ôn tập đường trung tuyến

Bài 1: Cho tam giác ABC cân A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm Kẻ trung tuyến AM

a) Chứng minh: AM ⊥ BC; b) Tính đợ dài AM

a Ta có AM đường trung tuyến tam giác ABC nên MB = MC Mặt khác tam giác ABC tam giác cân A

Suy AM vừa đường trung tuyến vừa đường cao Vậy AM vng góc với BC

b Ta có

BC = 16cm nên BM = MC = 8cm AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông M Áp dụng định lý Pitago ta có:

2 2 172 82 172 82 225 15

AC AM MC  AM   AM     AM cm

Bài 2: Cho G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh GA = GB = GC

Gọi AD, CE, BF đường trung tuyến tam giác ABC hay D, E, F trung điểm cạnh BC, AB, AC

Ta có AD đường trung tuyến tam giác ABC nên

2

AG AD

(1)

CE đường trung tuyến tam giác ABC nên

2

CG CE

(2)

BF đường trung tuyến tam giác ABC nên

2

BG BF

(3) Ta có tam giác BAC nên dễ dàng suy AD = BF = CE (4) Từ 1, 2, 3, suy AG = BG = CG

Bài 3: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB.

Trên cạnh AC lấy điểm E cho

1 AE  AC

Tia BE cắt CD M Chứng minh: a) M trung điểm CD

b)

1 AM  BC

Hướng dẫn giải

1

3

AE  AC CE AC

Suy E trọng tâm tam giác BCD M giao BE CD

Vậy BM trung tuyến tam giác BCD Vậy M trung điểm CD

b A trung điểm BD M trung điểm DC

Suy AM đường trung bình tam giác BDC

Suy

1 AM  BC

Bài 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM Trên tia BM lấy hai điểm G K sao cho BG = BM G trung điểm BK Gọi N trung điểm KC, GN cắt CM O Chứng minh:

a) O trọng tâm tam giác GKC;

b)

1 GO  BC

Học sinh tự giải

Bài 5: Cho tam giác ABC vng A, có AB = 18cm, AC = 24cm Tính tổng các khoảng cách từ trọng tâm G tam giác đến đỉnh tam giác

Hướng dẫn giải

Dễ dàng suy AE = EB = 9cm, AF = FC = 12cm

Ta có tam giác ABC vng A, áp dụng định lý Pitago ta có

2 2 182 242 900 30

BC AB AC  BC     BC cm

Ta có ABC vng mà D trung điểm cạnh huyền nên AD = BD = DC = 15cm

Suy

2

10

AG AD cm

Xét tam giác AEC vuông A, áp dụng định lý Pitago ta có:

2 2 92 242 657 3 73 2 73

3

EC AE AC  EC     EC cm CG EC cm

Tương tự ta xét tam giác AFB vuông A, áp dụng định lý Pitago ta có:

2 2 182 122 468 6 13 4 13

3

BF AB AF  BF     BF cm BG BF cm

Tổng khoảng cách từ trọng tâm G tam giác đến đỉnh tam giác là: 10 13 73

AG BG CG     cm

Bài 6: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Biết

1 AM  BC

Chứng minh tam giác ABC vuông A

Học sinh tự giải

Bài 7: Cho tam giác ABC Các đường trung tuyến BD CE Chứng minh

3

BD BC

Hướng dẫn giải

Học sinh tự vẽ hình Xét tam giác BGC có:

2 3

3

BG CG BC

BD CE BC

BD CE BC

 

  

Bài 8: Cho tam giác ABC cân A, hai đường trung tuyến BD CE cắt tại G Kéo dài AG cắt BC H

a So sánh tam giác AHB tam giác AHC

b Gọi I K trung điểm GA GC Chứng minh AK, BD, CI đồng quy

Hướng dẫn giải

a Ta có BD đường trung tuyến tam giác ABC CE đường trung tuyến tam giác ABC

Vậy G trọng tâm tam giác ABC

Mà AH qua G nên AH đường trung tuyến tam giác ABC  HB = HC

Xét hai tam giác AHB tam giác AHC có: AB = AC (tam giác ABC cân A)

AH chung HB = HC

( )

AHB AHC c c c

b Ta có IA = IG nên CI đường trung tuyến tam giác AGC (1) Ta lại có KG = KC nên AK đường trung tuyến tam giác AGC (2) DG đường trung tuyến tam giác AGC (3)

Từ (1), (2), (3) suy đường trung tuyến CI, AK, DG đồng quy I

Bài 9: Cho tam giác ABC có AB = AC, gọi K giao điểm hai đường trung tuyến BM CN Chứng minh rằng:

a Tam giác BNC tam giác CMB b KB = KC

c BC < 4KM

Hướng dẫn giải

a Ta có: AB = AC (gt)

BM đường trung tuyến tam giác ABC

1

BN AB

 

CN đường trung tuyến tam giác ABC

1

CM AC

 

BN CM

Xét BCNvà CBMcó: BC cạnh chung BN = CM

 

CBNBCM (tam giác ABC cân A)

BNC CMB

   (c – g – c)

b Ta có: NCB MBC (BNCCMB)

Nên tam giác KBC cân A Suy KB = KC

c Xét ABCcó:

NA = NB (CN đường trung tuyến) MA = MC (MB đường trung tuyến)

Suy NM đường trung bình tam giác ABC

2

BC NM

 

Xét tam giác NKM có:

NM < NK + KM (bất đẳng thức cauhy tam giác) NK = CN – CK

2

BC

CN CK KM

   

(1) BNC CMB CN BM     (2)

Tam giác KBC cân tai K  CKBK (3)

Từ (1), (2), (3)

BC

BM BK KM

2

4

BC

KM

BC KM

 

 