SỔ TAY CÔNG THỨC TOÁN 12 2020 2021 pdf

SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 SỔ TAY CƠNG THỨC & CƠNG THỨC NHANH TỐN 12 I HÀM SỐ CÔNG THỨC ĐẠO HÀM Trang SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 ĐƠN ĐIỆU Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số y = f ( x ) i Bước Tìm tập xác định D hàm số Tính đạo hàm y ′ = f ′( x) i Bước Tìm điểm f ′( x) = f ′( x) không xác định i Bước Sắp xếp điểm theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên i Bước Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến cực trị dựa vào bảng biến thiên Tìm tham số m để hàm số y = f ( x; m) đơn điệu miền xác định Tìm tham số m để hàm số bậc ba y = ax3 + bx + cx + d đơn điệu tập xác định a y ′ > Để f ( x) đồng biến ℝ ⇒ y ′ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ⇒m ? ∆ y ′ ≤  a y ′ < Đề f ( x) nghịch biến ℝ ⇒ y ′ ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ⇒m ? ∆ y ′ ≤  Lưu ý: Dấu tam thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c i a > f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ⋅ ∆ ≤ Tìm tham số m để hàm số y = i a < f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ⋅ ∆ ≤ ax + b đơn điệu khoảng xác định cx + d Để f ( x) đồng biến khoảng xác định ⇒ y ′ > 0, ∀x ∈ D ⇔ a.d − b.c > ⇒ m ? Để f ( x) nghịch biến khoảng xác định n ⇒ y ′ < 0, ∀x ∈ D ⇔ ad − bc < ⇒ m ? Tìm tham số m để hàm số y = f ( x; m) đơn điệu miền K cho trước Tìm tham số m để hàm số biến y = ax + b đồng biến (α; β ) cx + d ad − cb >   y ′ >   d  ad − cb > d − ≤ α ⇔  d ⇔  c ⇒ m Hàm số tăng (α; β ) ⇒  x ≠ −  − ∉ (α; β )  c   c  − d ≥ β  x ∈ (α; β )  c Tìm tham số m để hàm số bậc ba, bậc bốn đơn điệu miền D cho trước  g(x )  Khi m ≥ g(x ) ⇒ m ≥ max D  Khi m ≤ g(x ) ⇒ m ≤ g (x ) ⋅  D Trang SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 Tìm m để hàm số y = ax + bx + cx + d đơn điệu khoảng có độ dài l Phương pháp: — Bước Tính y ′ = 3ax + 2bx + c a ≠ — Bước Hàm số đơn điệu (x 1; x ) ⇔ y ′ = có nghiệm phân biệt ⇔  (i ) ∆  > — Bước Yêu cầu toán ⇔ x − x = l ⇔ (x + x )2 − 4x 1.x = l (ii ) — Bước Giải (ii ) giao với (i ) để suy giá trị m cần tìm CỰC TRỊ Hai quy tắc tìm cực trị hàm số cần nhớ Quy tắc 1: B1: Tìm TXĐ hàm số B2: Tính f ′ ( x) Tìm điểm f ′ ( x) f ′ ( x) không xác định B3: Lập bảng biến thiên B4: Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị Quy tắc 2: B1: Tìm TXĐ hàm số B2: Tính f ′ ( x) Giải phương trình f ′ ( x) ký hiệu xi (i = 1, 2,3, ) nghiệm B3: Tính f ′′ ( x ) f ′′ ( xi ) B4: Dựa vào dấu f ′′ ( xi ) suy tính chất cực trị điểm xi  f ′( xi ) = Chú ý: ◦ Nếu  x điểm cực tiểu ◦ Nếu   f ′′( xi ) >  f ′( xi ) = x điểm cực đại   f ′′( xi ) < Tìm tham số m để hàm số y = f ( x; m) đạt cực trị x = xo cho trước Nếu y′( x ) = 0, y ′′( x ) > x điểm cực tiểu Nếu y ′( xo ) = 0, y ′′( xo ) < x điểm cực đại Tìm tham số m để hàm số y = f ( x; m) có n cực trị Phương pháp: Hàm số có n cực trị y ′ = có n nghiệm phân biệt Xét hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d + Hàm số cực trị y ′ = có nghiệm kép vô nghiệm ⇔ ∆y ′ ≤ a ≠ + Hàm số có cực trị y ′ = có nghiệm phân biệt ⇔  ⋅ ∆  y′ >  Trang SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 Xét hàm số bậc bốn trùng phương y = ax + bx + c , (a ≠ 0) + Hàm số có cực trị y ′ = có nghiệm ⇔ a.b ≥ + Hàm số có cực trị y ′ = có nghiệm phân biệt ⇔ a.b < ab ≥ (có x CT, khơng x CĐ ) i Nếu   a >  ab ≥ (có x CĐ , khơng x CT ) i Nếu   a <  ab < (có CĐ, CT) i Nếu   a >  ab < (có 2CĐ, CT) i Nếu   a <  Đường thẳng nối cực trị Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị hàm số y = ax + bx + cx + d y = h(x ) 1 ⋅ + Phân tích (bằng cách chia đa thức y cho y ′) : y = y ′.q(x ) + h(x ) ⇒   y2 = h(x )  + Đường thẳng qua điểm cực trị d : y = h(x ) Công thức nhanh: ax + bx + c Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị hàm số y = ⋅ dx + e Đường thẳng nối hai điểm cực trị có dạng d : y = (ax + bx + c)′ 2a b = x+ ⋅ (dx + e)′ d d Lưu ý: Cho hai đường thẳng d1 : y = a 1x + b1 d2 : y = a 2x + b2 a = a i d1 d2 ⇔  ⋅ b1 ≠ b2  i d1 ⊥ d ⇔ a 1a = − Tìm m để hàm số y = f ( x; m) có cực trị kèm theo điều kiện x y Bài toán 1: Cho hàm số y = f (x ; m ) = ax + bx + cx + d Tìm tham số m để đồ thị hàm số có điểm cực trị x 1, x thỏa mãn điều kiện K cho trước ? — Bước Tập xác định D = ℝ Tính đạo hàm: y ′ = 3ax + 2bx + c — Bước Để hàm số có cực trị ⇔ y ′ = có nghiệm phân biệt a ≠ ⇔  giải hệ tìm m ∈ D1 ∆′ = b − 3ac >  Trang SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 — Bước Gọi x 1, x nghiệm phương trình y ′ = Theo Viét, ta có: S = x + x = − b c P = x 1x = ⋅ a a — Bước Biến đổi điều kiện K dạng S P Từ giải tìm m ∈ D2 — Bước Kết luận giá trị m thỏa mãn: m = D1 ∩ D2 Bài toán 2: Khảo sát hàm số bậc bốn trùng phương y = f (x ; m ) = ax + bx + c x = ⇒ y = c ⋅ — Bước Ta có: y ′ = 4ax + 2bx = 2x (2ax + b ) Cho y ′ = ⇔  g (x ) = 2ax + b = — Bước Hàm số có điểm cực trị ⇔ g(x ) = có hai nghiệm phân biệt ≠ b ≠ ⇔  ⇒ m ∈ D1 a b <  — Bước Giải g(x ) = ⇔ x 1,2 = ± −  b b   ⇒ y1 = y2 = f  −  ⋅  2a 2a  Do tọa độ ba điểm cực trị là: A(0; c ), B (x 1; y1 ), C (x ; y2 ) tính đối xứng nên tam giác ABC cân A — Bước Dựa vào điều kiện đề cho để tìm m ∈ D2 ⇒ m = D1 ∩ D2 Trang SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 Trang SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT Bài tốn: Tìm giá trị lớn & giá trị nhỏ hàm số y = f (x ) đoạn [a;b ] Bước Hàm số cho xác định liên tục đoạn [a;b ] Tính f ′(x ) tìm điểm x i cho có đạo hàm liên tục khơng có đạo hàm Bước Tính f (a ), f (b), f (x i )  f (x ) = max {f (a ); f (b); f (x i )} max Bước Kết luận:  [a ;b ] ⋅ min f (x ) = {f (a ); f (b ); f (x i )}  [a ;b ] i Nếu y = f (x ) đồng biến [a ;b ] f (x ) = f (a ) max f (x ) = f (b) [a ;b ] [a ;b ] i Nếu y = f (x ) nghịch biến [a ;b ] f (x ) = f (b ) max f (x ) = f (a ) [a ;b ] [a ;b ] Bài toán: Tìm GTLN & GTNN hàm số y = f (x ) khoảng (a ; b ) Bước Tìm tập xác định Tính f ′(x ) Cho f ′(x ) = tìm nghiệm Bước Xét dấu biểu thức y ′ = f ′(x ) lập bảng biến thiên (có tính giới hạn) Bước Dựa vào bảng biến thiên để kết luận GTLN (GTNN có) TIỆM CẬN Đường tiệm cận ngang: Đường thẳng y = α đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y = f (x ) điều kiện sau thỏa mãn: lim f (x ) = α, lim f (x ) = α x →+∞ x →−∞ Đường tiệm cận đứng Đường thẳng x = x gọi đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y = f (x ) điều kiện sau thỏa mãn: lim f (x ) = +∞, lim− f (x ) = −∞, lim+ f (x ) = −∞, lim− f (x ) = +∞ x →x + x →x x →x x →x Nhận xét: Để tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số dạng y = P(x ) Q(x ) + Bậc P (x ) nhỏ bậc Q (x ) ⇒ Tiệm cận ngang Ox : y = HÖ sè x bËc cao cña P ( x ) + Bậc P (x ) bậc Q (x ) ⇒ TCN : y = HÖ sè x bËc cao cña Q ( x ) + Bậc P (x ) lớn bậc Q (x ) ⇒ Không có tiệm cận ngang Nhận xét: Để tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số dạng y = P(x ) Q(x ) + Giải phương trình “ MẪU = 0” tìm nghiệm + Thế nghiệm vào TỬ phải khác nghiệm TCĐ + Nếu phương trình “ MẪU = 0” vơ nghiệm khơng có TCĐ Trang SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 ĐỒ THỊ - BIỆN LUẬN NGHIỆM a) Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d, (a ≠ 0) b) Hàm số bậc bốn trùng phương y = ax + bx + c, (a ≠ 0) c) Hàm số biến y = ax + b (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) cx + d D = ad − bc > 0, hàm số đồng biến D = ad − bc < 0, hàm số nghịch biến Trang Tiệm cận đứng Năm học: 2020 – 2021 Tiệm cận đứng SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Tiệm cận ngang Tiệm cận ngang TƯƠNG GIAO TIẾP TUYẾN KIẾN THỨC Cho hàm số y = f (x ) có đồ thị (C ) ; M (x ; y ) ∈ (C ) Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M (x ; y ) d : y = f ' (x )(x − x ) + y Trong đó: o M (x ; y ) gọi tọa độ tiếp điểm o k = f ' (x ) hệ số góc tiếp tuyến (C): y = f(x) Ghi nhớ: Đường thẳng d: y = a x + b (a ≠ 0) có hệ số góc k = a Cho đường thẳng d : y = ax + b (a ≠ 0); d ' : y = a ' x + b ' (a ' ≠ 0) Khi đó: Trang SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 o k = kd ' a = a ' ⇔  d / /d ' ⇔  d b ≠ b ' b ≠ b '   o d ⊥ d ' ⇔ kd kd ' = −1 ⇔ a.a ' = −1 Năm học: 2020 – 2021 Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) hệ số góc tiếp tuyến k = a (nhớ thử lại) Nếu tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) hệ số góc tiếp tuyến k = − a Trục hoành (trục Ox ): y = ; Trục tung (trục Oy ): x = Trang 10 SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Tính chất hình chóp Năm học: 2020 – 2021 i Đáy đa giác (hình chóp tam giác có đáy tam giác đều, hình chóp tứ giác có đáy hình vng) i Chân đường cao trùng với tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy (hình chóp tam giác có chân đường cao trùng với trọng tâm G , hình chóp tứ giác có chân đường cao trùng với tâm O hình vng) i Các mặt bên tam giác cân i Góc giữ cạnh bên mặt đáy i Góc mặt bên mặt đáy Tứ diện bát diện đều: i Tứ diện hình chóp có tất mặt tam giác i Bát diện hình gồm hai hình chóp tứ giác ghép trùng khít hai đáy với Mỗi đỉnh đỉnh chung bốn tam giác Tám mặt tam giác Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ đều: i Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy Do mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy i Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác DIỆN TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP  Diện tích tam giác thường: Cho tam giác ABC đặt AB = c, BC = a, CA = b a +b +c : nửa chu vi Gọi R , r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Khi đó: p= i S ∆ABC 1 = a.ha = b.hb = c.hc 2 1 = ab sinC = bc sin A = = 2 abc = = p.r 4R = p(p − a )(p − b)(p − c), ac sin B (Héron) i Stam gi¸c vuông = (tớch hai cnh gúc vuụng) (cạnh huyền)2 i Stam giác vuông cân = i Stam giác = (cạnh)2 cạnh Chiều cao tam giác = Shình chữ nhật = dài × rộng Shình vng = (cnh)2 (đáy lớn + đáy bé) (chiều cao) ⋅  S h×nh thang =  S Tø giác có đờng chéo vuông góc = Tích hai ®−êng chÐo TÝch ®−êng chÐo ⇒ S h×nh thoi = ⋅ 2 Trang 25 SỔ TAY CÔNG THỨC TOÁN 12 Năm học: 2020 – 2021 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Hệ thức lượng tam giác vng Cho ∆ ABC vng A, có AH đường cao, AM trung tuyến Khi đó: ∗ BC = AB + AC (Pitago), AH BC = AB AC ∗ AB = BH ⋅ BC AC = CH ⋅ CB ∗ 1 = + AH = HB ⋅ HC 2 AH AB AC ∗ BC = 2AM ∗ S ∆ABC = 1 ⋅ AB ⋅ AC = ⋅ AH ⋅ BC 2 Hệ thức lượng tam giác thường a +b +c (nửa chu vi) Gọi R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Khi đó: Cho ∆ ABC đặt AB = c, BC = a, CA = b, p = ∗ Định lý hàm sin: a b c = = = 2R sin A sin B sin C 2  i a = b + c − 2bc cos A ⇒ cos A = b + c − a  2bc  a + c2 − b2 2  ⋅ ∗ Định lý hàm cos: i b = a + c − 2ac cos B ⇒ cos B =  2ac  a + b2 − c2 i c = a + b − 2ab cos C ⇒ cos C =  2ab 2  i AM = AB + AC − BC   2 BA + BC AC  − ⋅ ∗ Công thức trung tuyến: i BN =   CA2 + CB AB i CK = −   i MN BC ⇒ AM = AN = MN = k  AB AC BC ∗ Định lý Thales:  ⋅   S  AM  ∆AMN  = k =  i  S AB   ∆ABC A c b a B C M A M B N C GÓC – KHOẢNG CÁCH Góc đường thẳng mặt phẳng góc tạo hình chiếu Góc hai mặt phẳng góc đường thẳng vng góc với mặt phẳng Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P) khoảng cách hai điểm O H , với H hình chiếu vng góc O lên (P ) Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung Trang 26 SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 VI KHỐI TRỊN XOAY A MẶT NĨN i Diện tích xung quanh: S xq nón = πrl , với r bán kính đường trịn trục = c/cao đáy, l đường sinh i Diện tích tồn phần hình nón: S = S xq + S đáy = πrl + πr i Thể tích khối nón: Vnón = 1 S đáy h = πr 2h , với h = OI 3 chiều cao hình nón B MẶT TRỤ Cho hình trụ có chiều cao h bán kính đáy r, đó: r O' i Diện tích xung quanh: S xq = 2πrh h h i Diện tích tồn phần: S = S xq + 2S đáy = 2πrh + 2πr r i Thể tích khối trụ: Vtru = S đáy h = πr 2h O C MẶT CẦU Diện tích mặt cầu: S = 4πR Thể tích mặt cầu: V = πR ⋅ R O M Trang 27 SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 VII HÌNH HỌC OXYZ TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉC TƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ AB  (x B  x A , y B  y A , z B  z A ) AB  AB   x B  x A    yB  yA    zB  zA  2 z a  b   a1  b1 , a  b , a  b3  k.a   ka1 , ka , ka  a  a12  a 22  a 32  a1  b1  a  b  a  b a  b  y O a.b  a1.b1  a b  a b3 x a / /b  a  k.b  a  b   a1 a a   b1 b b3 a  b  a.b   a1.b1  a b  a b3  a 10 a  b    b2 11 cos(a, b)  a3 a3 , b3 b3 a.b a|b  a2   b2  a1b1  a b  a b3 a1 a , b1 b1 a12  a 22  a 32 b12  b 22  b32   12 a, b, c đồng phẳng  a  b c  y  ky B z  kz B   x  kx B , A , A 13 M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1: M  A  1 k 1 k   1 k  x  x B yA  yB zA  zB  , , 14 M trung điểm AB: M  A  2    x  x B  x C yA  yB  yC z A  z B  z C  , , , 15 G trọng tâm tam giác ABC: G  A 3   16 Véctơ đơn vị : i  (1, 0, 0); j  (0,1, 0); k  (0, 0,1) 17 M(x, 0, 0)  Ox; N(0, y, 0)  Oy; K(0, 0, z)  Oz 18 M(x, y, 0)  Oxy; N(0, y, z)  Oyz; K(x, 0, z)  Oxz 1 a1  a 22  a 32 19 SABC  AB  AC  2 20 VABCD  (AB  AC).AD 21 VABCD.A / B/ C/ D/  (AB  AD).AA / Trang 28 SỔ TAY CÔNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Vectơ pháp tuyến mp() : n ≠ véctơ pháp tuyến   n  Cặp véctơ phương mp() : a , b cặp vtcp mp()  gía véc tơ a , b //  Quan hệ vtpt n cặp vtcp a , b : n = [ a , b ] Pt mp qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C) A(x – xo)+B(y – yo )+C(z – zo ) = (): Ax+By+Cz+D = ta có n = (A; B; C) x y z   1 a b c Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: điểm 1véctơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = ; (Oxz) : y = ; (Oxy) : z = Chùm mặt phẳng : Giả sử 12 = d đó: (1): A1x+B1y+C1z+D1 = (2): A2x+B2y+C2z+D2 = + Phương trình mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ : m(A1x+B1y+C1z+D1)+n(A2x+B2y+C2z+D2) = Cácdạngtốn lập phương trình mặt phẳng Dạng 1:Mặt phẳng qua điểm A,B,C : Phương trình mặt phẳngđi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :    Cặp vtcp: AB , AC ° ( ) : qua A (hayBhayC)   vtptn [AB , AC ] Dạng 2:Mặt phẳng trung trực đoạn AB :  quaM trung điểm AB  vtpt n  AB ( ) : Dạng 3:Mặt phẳng () qua M  d (hoặc AB) quaM  ( ) : Vì   (d) neân vtpt n   ad (AB) Dạng 4:Mp qua M // (): Ax+By+Cz+D =  ( ) : qua M Vì  / /  nên vtpt n  n Dạng 5: Mp chứa (d) song song (d/) Tìm điểm M (d) Mp chứa (d) nên () qua M có VTPT n   a d , a d /  Dạng 6:Mp() qua M,N () :   qua M (hay N)  vtptn  [ MN, n ] N M  Dạng 7:Mp() chứa (d) qua A:  Tìm M  (d)   A qua A  vtptn  [ a d , AM] d M Trang 29 SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 Dạng 8: Lập pt mp(P) chứa hai đường thẳng (d)  Đt(d) qua điểm M(x0 ,y0 , z0 ) có VTCP a  (a1 , a , a )  Đt(d/) có VTCP b  (b1 , b , b3 )  Ta có n  [a, b] VTPT mp(P) (d/) cắt : d d  Lập pt mp(P) qua điểm M(x0 ,y0 , z0 ) nhận n  [a, b] làm VTPT Dạng 9:Lập pt mp(P) chứa đt(d) vng góc mp(Q) :  Đt(d) qua điểm M(x0 ,y0 , z0 ) có VTCP a  (a1 , a , a )  Mp(Q) có VTPT n q  (A, B, C)  Ta có n p  [a, n q ] VTPT mp(P)  Lập pt mp(P) qua điểm M(x0 ,y0 , z0 ) nhận n p  [a, n q ] làm VTPT d PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG  x  x  a1 t  Phương trình ttham số đường thẳng:  y  y0  a t (t  R) z  z  a t  Trong M0(x0;y0;z0) điểm thuộc đường thẳng a  (a1 ;a ;a ) vtcp đường thẳng x  x y  y0 z  z0   Phương trình tắc đuờng thẳng : a1 a2 a3 Trong M0(x0;y0;z0) điểm thuộc đường thẳng a  (a1 ;a ;a ) vtcp đường thẳng A1x  B1y  C1z  D1  Phương trình tổng quát đường thẳng:  (với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2)  A x  B2 y  C z  D  n1  (A1 ; B1;C1 ) , n  (A ; B2 ;C2 ) hai VTPT VTCP u   [n1 n ] y  x  x  a Đường thẳng Ox:  ; Oy:  ; Oz:  z  z  y  b (AB): u AB  AB †Chú ý: c.12 u   u  d.12 u   n  Các dạng tốn lập phương trình đường thẳng Dạng 1:Đường thẳng (d) qua A,B (hayB)  quaA (d)  a d  AB  Vtcp Dạng 2:Đường thẳng (d) qua A song song () (d ) qua A Vì (d) / / () nên vtcp a  a d Trang 30 SỔ TAY CÔNG THỨC TOÁN 12 Năm học: 2020 – 2021 Dạng 3:Đường thẳng (d) qua A vng góc mp (d) qua A Vì (d)  () nên vtcp a  n d Dạng4:PT d’ hình chiếu d lên  : d/ =  Viết pt mp() chứa (d) vng góc mp quaM  (d) ptr( )  (d / )       ptr()  n   [a d ; n  ] d d’ Dạng 5:Đường thẳng (d) qua A vng góc (d1),(d2) (d) d1 qua A A vtcpa   a   d1, a d2  d2 Dạng 6: PT d vuông góc chung d1 d2 : d1 + Tìm a d = [ a d1, a d2] + Mp chứa d1 , (d) ; mp chứa d2 , (d) d d2  d =  Dạng 7: PT d qua A cắt d1 , d2 : d =  với mp  = (A,d1) ; mp  = (A,d2) Dạng 8: PT d //  cắt d1,d2 : d = 12 với mp1 chứa d1 //  ; mp2 chứa d2 //  d1 Δ Dạng 9: PT d qua A  d1, cắt d2 : d = AB d2 với mp qua A  d1 ; B = d2  Dạng 10: PT d  (P) cắt d1, d2 : d =  với mp chứa d1 (P) ; mp chứa d2  (P) PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Mặt cầu (S), tâm I(a;b;c), bán kính R Dạng 1: (x-a) 2+ (y-b) + (z-c) = R (S) Dạng 2: x 2+ y 2+ z 2- 2ax-2by-2cz+d = R = a  b  c  d , a  b  c2  d  d(I, )>R:   (S) =  d(I, )= R:   (S) = M (M gọi tiếp điểm) + Điều kiện để mặt phẳng  tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, )=R (mặt phẳng  tiếp diện mặt cầu (S) M n  = IM ) Nếu d(I, ) R : (S)  =  d = R : () tiếp xúc (S) H (H: tiếp điểm, (): tiếp diện) (S) :  x  a 2   x  b 2   x  c   R d < R : () cắt (S) theo đường trịn có phương trình:  () : Ax  By  Cz  D  TÌM ĐIỂM THỎA MÃN YÊU CẦU BÀI TOÁN H hình chiếu M mp() + Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vng góc mp () : ta có a d  n  + Tọa độ H nghiệm hpt : (d) () H hình chiếu M đường thẳng (d) +Viết phương trình mp qua M vng góc với (d): ta có n   a d +Tọa độ H nghiệm hpt : (d) () 3.Điểm M/ đối xứng với M qua mp() +Tìm hình chiếu H M mp () (dạng 4.1) +H trung điểm MM/ 4.Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d: +Tìm hình chiếu H M (d) ( dạng 4.2) +H trung điểm MM/ Giao điểm đường thẳng mặt cầu  x  x o  a1t  2 2 + d : y  y o  a2 t (1) (S) :  x  a    y  b    z  c   R (2) z  z  a t o  + Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t, + Thay t vào (1) tọa độ giao điểm Tìm tiếp điểm H mp() mặt cầu S(I;R) (H hình chiếu tâm I mp()) +Viết phương trình đường thẳng (d) qua I vng góc mp(): ta có a d  n  +Tọa độ H nghiệm hpt : (d) () Tìm tâm H đường tròn giao tuyến mp() mặt cầu S(I;R) (H hchiếu tâm I mp()) +Viết phương trình đường thẳng (d) qua I vng góc mp() : ta có a d  n  +Tọa độ H nghiệm hpt : (d) () Trang 34 SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Các đẳng thức: * tan  cot   với  * sin   cos   với   1 với   k 2 *  cot   cos  sin  Hệ thức cung đặc biệt A.Hai cung đối nhau:   với   k *  tan   cos(  )  cos  sin(  )   sin  tan(  )   tan  B Hai cung phụ nhau:  cos(    )  sin  sin( sin(   )  sin     )  cos  tan(  cot(  )   cot      )  cot  cot(  C Hai cung bù nhau:     cos(   )   cos  k tan(   )   tan    )  tan  cot(   )   cot  D Hai cung  :     sin(   )   sin  cos(   )   cos  tan(   )  tan  cot(   )  cot  Các công thức lượng giác A Công thức cộng cos( a  b)  cos a.cos b ∓ sin a.sin b tan( a  b )  sin( a  b)  sin a.cos b  cos a.sin b tan a  tan b ∓ tan a tan b B Công thức nhân sin 2a  2sin a cos a cos a  cos a  sin a   sin a  cos a  sin 3a  3sin a  sin a cos3a  cos a  3cos a C Công thức hạ bậc  cos 2a sin a  cos a   cos 2a tan a   cos 2a  cos 2a D Công thức biến đổi tích thành tổng cos a.cos b  sin a.cos b  2 [cos( a  b )  cos( a  b )] sin a.sin b  [cos( a  b )  cos( a  b )] [sin( a  b )  sin( a  b )] E Công thức biến đổi tổng thành tích cos a  cos b  cos sin a  sin b  sin tan a  tan b  ab ab sin( a  b) cos cos cos a cos b ab ab cos a  cos b  2 sin s in a - sin b  cos tan a  tan b  ab ab sin( a  b ) sin sin ab ab cos a cos b Trang 35 SỔ TAY CÔNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Dạng Phương trình u  v  k  * sin u  sin v   u    v  k  * cos u  cos v  u  v  k 2 ( k  ℤ ) ( k  ℤ) u  v  k  * tan u  tan v    u, v   n  u  v  k  * cot u  cot v   ( k , n  ℤ) u , v  n ( k , n  ℤ) CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT sin x   x    k 2 2 sin x  1  x   cos x   x  k 2   k 2 cos x  1  x    k 2 sin x   x  k cos x   x    k Dạng Phương trình bậc sinx cosx Là phương trình có dạng: a sin x  b cos x  c (1) ; với a , b , c  ℝ a  b  Cách giải: Chia hai vế cho a a  b2 đặt cos    (1)  sin x.cos   cos x.sin   c a2  b2 a b 2 ; sin    sin( x  )  b a  b2 c a2  b2 (2) Chú ý:  (1) có nghiệm  (2) có nghiệm  a  b  c 1    sin x  cos x   sin x  cos x   sin( x  )       sin x  cos x   sin x  cos x   sin( x  )       sin x  cos x   sin x  cos x   sin( x  )   I HOÁN VỊ Giai thừa:  n !  1.2.3 n  Qui ước: 0!  n!   p  1  p    n p! (với n  p )  n !   n – 1 ! n  n!   n – p  1  n – p   n (n  p )! (với n  p ) Trang 36 SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 Hốn vị (khơng lặp): Một tập hợp gồm n phần tử (n  1) Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi Pn  n! hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử là: Hoán vị lặp: Cho k phần tử khác nhau: a1 , a2 , , ak Một cách xếp n phần tử gồm n1 phần tử a1 , n2 phần tử a2 , , nk phần tử ak  n1  n2   nk  n  theo thứ tự gọi hốn vị lặp cấp n kiểu  n1 , n2 , , nk  k phần tử Số hoán vị lặp cấp n kiểu  n1 , n2 , , nk  k phần tử là: Pn  n1 , n2 , , nk   n! n1 !n2 ! nk ! Hốn vị vịng quanh: Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi hốn vị vịng quanh n phần tử Số hốn vị vịng quanh n phần tử là: Qn   n – 1! II CHỈNH HỢP Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A (1  k  n) theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử: n! Ank  n(n  1)( n  2) (n  k  1)  (n  k )!  Công thức cho trường hợp k = k = n  Khi k = n Ann  Pn  n ! Chỉnh hợp lặp: Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử A, phần tử lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: Ank  n k III TỔ HỢP Tổ hợp (không lặp): Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1  k  n) phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử Ank n! k Số tổ hợp chập k n phần tử: Cn   k ! k !( n  k )!  Qui ước: Cn = Tính chất: n  k  k 1 Cn0  Cnn  1; Cnk  Cnn k ; Cnk  Cnk11  Cnk1; Cnk  Cn k Tổ hợp lặp: Cho tập A = a1 ; a2 ; ; an  số tự nhiên k Một tổ hợp lặp chập k n phần tử hợp gồm k phần tử, phần tử n phần tử A Số tổ hợp lặp chập k n phần tử: Cnk  Cnkk 1  Cnmk11 Trang 37 SỔ TAY CÔNG THỨC TOÁN 12 Năm học: 2020 – 2021 Phân biệt chỉnh hợp tổ hợp:  Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ công thức: Ank  k !Cnk  Chỉnh hợp: có thứ tự  Tổ hợp: khơng có thứ tự  Những tốn mà kết phụ thuộc vào vị trí phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, tổ hợp  Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k  n): + Khơng thứ tự, khơng hồn lại: C nk + Có thứ tự, khơng hồn lại: Ank + Có thứ tự, có hồn lại: Ank Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù) Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp ta đếm phần bù toán sau:  Đếm số phương án thực hành động H (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay khơng) ta a phương án  Đếm số phương án thực hành động H khơng thỏa tính chất T ta b phương án Khi số phương án thỏa yêu cầu toán là: a  b NHỊ THỨC NEWTƠN Công thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có: n (a  b) n   Cnk a nk b k k 0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnk a nk bk ( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cnk  Cnnk Cnk 1  Cnk  Cnk1 5) Cn0  Cnn  , * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta thu cơng thức đặc biệt Chẳng hạn: (1+x)n = Cn0 x n  Cn1 x n1   Cnn  Cn0  Cn1   Cnn  2n (x–1)n = Cn0 x n  Cn1 x n 1   (1) n Cnn  Cn0  Cn1   (1) n Cnn  Từ khai triển ta có kết sau * Cn0  Cn1   Cnn  2n * Cn0  Cn1  Cn2   (1)n Cnn  CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Cấp số cộng  u1  a 1.1 Định nghĩa: Dãy số (un) xác định  , n  N * gọi cấp số cộng; d gọi công sai un 1  un  d 2.1 Các tính chất:  Số hạng thứ n cho công thức: un  u1  (n  1)d  Ba số hạng uk , uk 1 , uk  ba số hạng liên tiếp cấp số cộng uk    u  uk   k  Tổng n số hạng Sn xác định công thức : Sn  u1  u2   un  n n u1  un    2u1   n  1 d   2 Trang 38 SỔ TAY CÔNG THỨC TOÁN 12 Năm học: 2020 – 2021 Cấp số nhân  u a 1.2 Định nghĩa: Dãy số (un) xác định  , n  N * gọi cấp số cộng; q gọi công bội u u q  n  n1 2.2 Các tính chất:  Số hạng thứ n cho công thức: un  u1q n1  Ba số hạng uk , uk 1 , uk  ba số hạng liên tiếp cấp số cộng uk21  uk uk   Tổng n số hạng Sn xác định công thức : qn  Sn  u1  u2   un  u1 q 1 XÁC SUẤT Biến cố  Không gian mẫu : tập kết xảy phép thử  Biến cố A: tập kết phép thử làm xảy A A    Biến cố không:   Biến cố chắn:   Biến cố đối A: A   \ A  Hợp hai biến cố: A  B  Giao hai biến cố: A  B (hoặc A.B)  Hai biến cố xung khắc: A  B =   Hai biến cố độc lập: việc xảy biến cố không ảnh hưởng đến việc xảy biến cố Xác suất n( A)  Xác suất biến cố: P(A) = n ( )   P(A)  1; P() = 1; P() =  Qui tắc cộng: Nếu A  B =  P(A  B) = P(A) + P(B) Mở rộng: A, B bất kì: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A.B)  P( A ) = – P(A)  Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập P(A B) = P(A) P(B) Trang 39 ... điều kiện đề cho để tìm m ∈ D2 ⇒ m = D1 ∩ D2 Trang SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 Trang SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT Bài tốn: Tìm giá... Trục tung (trục Oy ): x = Trang 10 SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 II MŨ & LOGARIT LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA Lũy thừa công thức lũy thừa Công thức lũy thừa i an  i a n  a.a.a... Bảng biến thiên:  y x   y  y x  x 0   y 0 Trang 11 SỔ TAY CÔNG THỨC TOÁN 12 Năm học: 2020 – 2021 d Đồ thị: CÔNG THỨC MŨ - LOGARIT Cho < a ≠ b, c > loga f (x ) = b ⇔ f (x ) = a b