SỔ TAY CÔNG THỨC TOÁN 12

SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 SỔ TAY CƠNG THỨC & CƠNG THỨC NHANH TỐN 12 I HÀM SỐ CÔNG THỨC ĐẠO HÀM Trang SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 ĐƠN ĐIỆU Tìm các khoảng đơn điệu cực trị của hàm số y = f ( x) = f� ( x ) g Bước Tìm tập xác định D của hàm số Tính đạo hàm y � ( x) = f � ( x ) không xác định g Bước Tìm các điểm tại f � g Bước Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên g Bước Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị dựa vào bảng biến thiên Tìm tham số m để hàm số y = f ( x; m) đơn điệu miền xác định của nó  Tìm tham số m để hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d đơn điệu tập xác định Để f ( x ) đồng biến ����"޳ y � 0, x � � a >0 �y � � � D y ��0 � m ? Trang SỔ TAY CÔNG THỨC TOÁN 12 Năm học: 2020 – 2021 Đề f ( x ) nghịch biến ����"޳ y � 0, x � � a 0 � f ( x) �0, " x ��� � � � � D � � g  Tìm tham số m để hàm số y= a � m ? � Để f ( x ) nghịch biến khoảng xác định của n � y < 0, " x �D � ad - bc < � m ? Tìm tham số m để hàm số y = f ( x; m) đơn điệu miền K cho trước  Tìm tham số m để hàm số biến Hàm số tăng �y � >0 � � � d �x ( a; b) ���-޳ � � c � � � �x �(a; b) y= ax + b cx + d đồng biến (a; b) � ad - cb > � � � �d � � - �a � � �c � � � � �d � - �b � � � �c � ad - cb > � � � �d � - �(a; b) � � c m  Tìm tham số m để hàm số bậc ba, bậc bốn đơn điệu miền D cho trước � K hi m ޳� g(x) � � K hi m ޳� g(x) � � m max g(x) m g(x) D � D  Tìm m để hàm số y = ax + bx + cx + d đơn điệu khoảng có độ dài l Phương pháp: � — Bước Tính y = 3ax + 2bx + c � a �0 �� � � D > (i ) (x ;x ) � y�= � — Bước Hàm số đơn điệu có nghiệm phân biệt — Bước Yêu cầu bài toán � x1 - x2 = l � (x1 + x2)2 - 4x1.x2 = l (ii ) — Bước Giải (ii ) và giao với (i ) để suy giá trị m cần tìm CỰC TRỊ Hai quy tắc tìm cực trị của hàm số cần nhớ Quy tắc 1: Trang SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 B1: Tìm TXĐ của hàm số f� ( x) Tìm các điểm tại f � ( x) f � ( x) không xác định B2: Tính B3: Lập bảng biến thiên B4: Từ bảng biến thiên suy các điểm cực trị Quy tắc 2: B1: Tìm TXĐ của hàm số f� ( x) Giải phương trình f � ( x) và ký hiệu xi ( i =1, 2,3, ) là các nghiệm của B2: Tính � � f� ( x) và f � ( xi ) B3: Tính � f� ( xi ) suy tính chất cực trị của điểm xi B4: Dựa vào dấu của �f � �f � ( xi ) = ( xi ) = � � � � �f � �f � � � (x ) > (x ) < x x Chú ý: ◦ Nếu � i thì o là điểm cực tiểu ◦ Nếu � i thì o là điểm cực đại Tìm tham số m để hàm số y = f ( x; m) đạt cực trị x = xo cho trước Nếu � y� ( xo ) = 0, y � ( xo ) > thì xo là điểm cực tiểu Nếu � y� ( xo ) = 0, y � ( xo ) < thì xo là điểm cực đại Tìm tham số m để hàm số y = f (x; m) có n cực trị �  Phương pháp: Hàm sớ có n cực trị y = có n nghiệm phân biệt  Xét hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d + Hàm sớ khơng có cực trị y�= có nghiệm kép vơ nghiệm � D y��0 � a �0 �� � � � D >0 + Hàm sớ có cực trị y�= có nghiệm phân biệt � � y� y = ax4 + bx2 + c , (a � 0)  Xét hàm số bậc bốn trùng phương + Hàm sớ có cực trị y�= có nghiệm ۳ ab + Hàm sớ có cực trị y�= có nghiệm phân biệt � ab < � ab �0 � � � a>0 x , x ) g Nếu � (có CT không CĐ � ab < � � � a>0 � g Nếu � (có 1CĐ, 2CT) � ab �0 � � � aR:  �(S) = ޳ d(I, )= R:  �(S) = M (M gọi là tiếp điểm) + Điều kiện để mặt phẳng  tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, )=R (mặt phẳng  là tiếp diện của uur uuu r n  IM mặt cầu (S) tại M = ) Nếu d(I, ) R : (S)  =  d = R : () tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, (): tiếp diện) 2 � (S) :  x  a    x  b    x  c   R � � () : Ax  By  Cz  D  d < R : () cắt (S) theo đường trịn có phương trình: � TÌM ĐIỂM THỎA MÃN U CẦU BÀI TỐN H hình chiếu M mp() + Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vng góc mp () : ta có uu r r ad  n + Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và () H hình chiếu M đường thẳng (d) uur uu r n  ad +Viết phương trình mp qua M và vng góc với (d): ta có +Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và () 3.Điểm M/ đối xứng với M qua mp() +Tìm hình chiếu H của M mp () (dạng 4.1) +H là trung điểm của MM/ 4.Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d: +Tìm hình chiếu H của M (d) ( dạng 4.2) +H là trung điểm của MM/ Giao điểm đường thẳng mặt cầu �x  xo  a1t � d: � y  yo  a2t 2 �z  z  a t (S):  x  a   y  b   z  c  R2 o � + (1) và (2) + Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t, + Thay t vào (1) tọa độ giao điểm Tìm tiếp điểm H mp() mặt cầu S(I;R) (H hình chiếu tâm I mp()) Trang 39 SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 +Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vng góc mp(): ta có Năm học: 2020 – 2021 uu r r ad  n +Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và () Tìm tâm H đường trịn giao tuyến mp() mặt cầu S(I;R) (H là hchiếu của tâm I mp()) uu r r ad  n +Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vng góc mp() : ta có +Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và () CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Các đẳng thức: * sin   cos   với  * tan  cot   1 1  tan    cot   cos  sin  * với  �k 2 * Hệ thức cung đặc biệt A.Hai cung đối nhau:   k � với cos(  )  cos  sin(  )   sin  tan(  )   tan  với  �k cot( )   cot    B Hai cung phụ nhau:  cos(    )  sin  sin( sin(   )  sin     )  cos  tan(    )  cot  C Hai cung bù nhau:     cos(   )   cos  tan(   )   tan  cot(    )  tan  cot(   )   cot  D Hai cung  :     sin(   )   sin  cos(   )   cos  tan(   )  tan  cot(   )  cot  Các công thức lượng giác A Công thức cộng cos( a �b )  cos a.cos b msin a.sin b tan( a �b )  sin( a �b )  sin a.cos b �cos a.sin b tan a �tan b mtan a tan b B Công thức nhân sin 2a  2sin a cos a cos 2a  cos a  sin a   2sin a  cos a  sin 3a  3sin a  4sin a cos3a  cos a  3cos a C Công thức hạ bậc  cos 2a sin a  cos a   cos 2a tan a   cos 2a  cos 2a D Công thức biến đổi tích thành tổng cos a.cos b  sin a.cos b  2 [cos( a  b )  cos( a  b)] [sin( a  b )  sin( a  b)] sin a.sin b  [cos(a  b)  cos( a  b)] Trang 40 SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 E Công thức biến đổi tổng thành tích cos a  cos b  cos sin a  sin b  sin tan a  tan b  ab ab sin( a  b) cos cos ab cos a  cos b  2 sin a b s in a - sin b  cos tan a  tan b  cos a cos b ab ab sin( a  b) sin sin a b a b cos a cos b PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Dạng Phương trình � u  v  k2 sin u  sin v � � u    v  k2 � * � u  v  k � tan u  tan v � �  u, v �  n � � * (k��) * cosu  cos v � u  �v  k2 (k��) � u  v  k cot u  cot v � � u, v �n (k,n��) � * (k,n��) CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT sin x  � x    k2 sin x  1 � x   cos x  � x  k2   k2 cos x  1 � x    k2 sin x  � x  k cos x  � x    k Dạng Phương trình bậc đối với sinx cosx 2 Là phương trình có dạng: asin x  bcos x  c (1) ; với a,b,c�� và a  b �0 Cách giải: Chia hai vế cho a2  b2 và đặt � (1) � sin x.cos   cos x.sin   cos   c a2  b2 a a2  b2 ;sin   � sin(x  )  b a2  b2 c a2  b2 (2) Chú ý: 2 � (1) có nghiệm � (2) có nghiệm � a  b �c � �  sin x � 3cos x  2� sin x  cos x� 2sin(x  ) 2 � � � �3 �  3sin x �cos x  2� sin x � cos x� 2sin(x � ) �2 � � Trang 41 SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 �1 �  sin x �cos x  � sin x � cos x� 2sin(x � ) �2 � � I HOÁN VỊ Giai thừa: �n !  1.2.3�n    Qui ước: 0!  n!   p  1  p   �n �p ! (với n  p ) �n !   n –1 ! n n!   n – p  1  n – p   �n �( n  p )! (với n  p ) Hoán vị (không lặp): Một tập hợp gồm n phần tử (n  1) Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo thứ tự nào gọi Pn  n! là hoán vị của n phần tử Số các hoán vị của n phần tử là: Hoán vị lặp: a , a , �, ak n a, n Cho k phần tử khác nhau: Một cách sắp xếp n phần tử gồm phần tử a , �,nk a n  n2  �  nk  n phần tử phần tử k  theo thứ tự nào gọi là hoán vị lặp cấp   n và kiểu n1, n2, �, nk của k phần tử n , n , �, nk  Số các hoán vị lặp cấp n kiểu  của k phần tử là: n! Pn  n1 , n2 , �, nk   n1 ! n2 ! nk ! Hốn vị vịng quanh: Cho tập A gồm n phần tử Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành dãy kín gọi là hoán vị vòng quanh của n phần tử Sớ các hoán vị vịng quanh của n phần tử là: Qn   n �1 ! II CHỈNH HỢP Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1  k  n) theo thứ tự nào gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: n! Ank  n(n  1)(n  2) (n  k  1)  (n  k )!  Công thức cho trường hợp k = k = n n  Khi k = n thì An  Pn  n ! Chỉnh hợp lặp: Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử của A, phần tử có thể lặp lại nhiều lần, sắp xếp theo thứ tự nhất định gọi là chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập A k k Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: An  n III TỔ HỢP Tổ hợp (khơng lặp): Trang 42 SỔ TAY CƠNG THỨC TOÁN 12 Năm học: 2020 – 2021 Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1 ޳ k ޳ n) phần tử của A gọi là tổ hợp chập k của n phần tử Ank n! k Cn   k ! k !(n  k )! Số các tổ hợp chập k của n phần tử:  Qui ước: Cn = Tính chất: Cn0  Cnn  1; Cnk  Cnn  k ; Cnk  Cnk11  Cnk1; Cnk  n  k  k 1 Cn k Tổ hợp lặp: a ; a ; ; an  Cho tập A =  và số tự nhiên k bất kì Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là hợp gồm k phần tử, phần tử là n phần tử của A k k m 1 Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử: Cn  Cn k 1  Cn k 1 Phân biệt chỉnh hợp tổ hợp: k k  Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ công thức: An  k !Cn  Chỉnh hợp: có thứ tự  Tổ hợp: khơng có thứ tự ޳ Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, là tổ hợp  Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k ޳ n): k + Không thứ tự, không hoàn lại: Cn k + Có thứ tự, khơng hoàn lại: An k + Có thứ tự, có hoàn lại: An Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù) Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp thì ta đếm phần bù của bài toán sau: �Đếm số phương án thực hành động H (khơng cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay không) ta a phương án �Đếm số phương án thực hành động H không thỏa tính chất T ta b phương án Khi sớ phương án thỏa yêu cầu bài toán là: a  b NHỊ THỨC NEWTƠN Công thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có: n ( a  b) n  �Cnk a n k b k k 0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n C k a n k bk 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = n ( k =0, 1, 2, …, n) C k  Cnn k 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: n C  Cnn  Cnk 1  Cnk  Cnk1 5) n , * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: C x n  Cn1 x n 1   Cnn Cn0  Cn1   Cnn  2n (1+x)n = n  n n 1 C x  Cn x   (1)n Cnn Cn0  Cn1   (1) n Cnn  (x–1)n = n  Trang 43 SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 Từ khai triển này ta có các kết quả sau C  Cn1   Cnn  2n * n C  Cn1  Cn2   (1) n Cnn  * n CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Cấp số cộng � u1  a , n�N * � u  un  d 1.1 Định nghĩa: Dãy số (un) xác định �n1 gọi là cấp số cộng; d gọi là công sai 2.1 Các tính chất: � Sớ hạng thứ n cho công thức: un  u1  (n  1)d uk1   uk  uk  u , u , u �Ba số hạng k k1 k là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng và �Tổng n số hạng đầu tiên Sn xác định công thức : n n Sn  u1  u2   un   u1  un   � 2u   n  1 d� � 2� Cấp số nhân � u1  a , n�N * � u  u q q 1.2 Định nghĩa: Dãy số (un) xác định �n1 n gọi là cấp số cộng; gọi là cơng bội 2.2 Các tính chất: n1 � Sớ hạng thứ n cho công thức: un  u1q �Ba số hạng uk ,uk1 ,uk là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng và uk1  uk.uk �Tổng n số hạng đầu tiên Sn xác định công thức : qn  Sn  u1  u2   un  u1 q XÁC SUẤT Biến cố  Không gian mẫu : là tập các kết quả có thể xảy của phép thử  Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy A A    Biến cố không:   Biến cố chắc chắn:   Biến cố đối của A: A   \ A  Hợp hai biến cố: A  B  Giao hai biến cố: A  B (hoặc A.B)  Hai biến cố xung khắc: A  B =   Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy biến cố Xác suất n( A)  Xác suất của biến cố: P(A) = n()   P(A)  1; P() = 1;  Qui tắc cộng: Nếu A  B =  thì P(A  B) = P(A) + P(B) Mở rộng: A, B bất kì: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A.B) P() = Trang 44 SỔ TAY CÔNG THỨC TOÁN 12 Năm học: 2020 – 2021  P( A ) = – P(A)  Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A B) = P(A) P(B) Trang 45 ... Trang 18 SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 � loga B > � (a - 1)(B - 1) > � � � loga A � > � (A - 1)(B - 1) > � loga B g Nếu a chứa ẩn thì � Trang 19 SỔ TAY CÔNG THỨC TOÁN 12 Năm học:... Trục tung (trục Oy ): x = Trang 11 SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 II MŨ & LOGARIT Năm học: 2020 – 2021 LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA Lũy thừa công thức lũy thừa Công thức lũy thừa a n  a14.a2 a 43a g... kiện đề cho để tìm m �D2 � m = D1 �D2 Trang SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT Trang SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN 12 Năm học: 2020 – 2021 Bài tốn: Tìm giá trị lớn