Bài toán này chúng ta đã được làm quen trong phần “Phương trình lượng giác thường gặp” với các phép đặt để đưa về một phương trình đại số đơn giản.. Ngoài các phép đặt trên ra chúng ta c[r]
(1)I/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN. 1 Phương trình: sin x a .
+ Nếu | a |1 (hay a [ 1;1]) phương trình vô nghiệm + Nếu | a |1 (hay 1 a 1) Khi đó: sin x a
sin x sin
x x
k2 k2
VD 01 Giải phương trình lượng giác sau:
a) sin x 0 ; b)
1 sin x
2
;
c)
1 sin x
2
; d)
2 sin x
2
;
e)
2 sin x
2
; f)
3 sin x
2
; g)
3 sin x
2
;
h) sin x 1 ; i) sin x1; j)
2 sin x
3
; Lưu ý:
(1) Nếu a giá trị đặc biệt
1
0; ; ; ;
2 2
ta sử dụng hàm ngược của
hàm sin (arcsin) trình bày họ nghiệm phương trình sau:
sin x a
x arcsin a
x arcsin a
k2 k2
(2) Các trường hợp đặc biệt:
sin x 0 x k sin cos x x k
sin x k2
2
sin x x k2
2
2 Phương trình: cos x a .
+ Nếu | a |1 (hay a [ 1;1]) phương trình vơ nghiệm + Nếu | a |1 (hay 1 a 1)
Khi đó: cos x a
cos x cos
x x
k2 k2
VD 02 Giải phương trình lượng giác sau:
a) cos x 0 ; b)
1 cos x
2
(2)c)
1 cos x
2
; d)
2 cos x
2
;
e)
3 cos x
2
; f)
3 cos x
2
; g) cos x 1 ;
h) cos x1; i)
1 cos x
4
; j) cos x 2 ;
Lưu ý:
(1) Nếu a giá trị đặc biệt
1
0; ; ; ;
2 2
ta sử dụng hàm ngược của
hàm cos (arccos) trình bày họ nghiệm phương trình sau: cos x a
x arccos a
x arccos a
k2 k2
(2) Các trường hợp đặc biệt:
cos x x k
2
cos x1 sin x 0 x k
cos x 1 x k2 cos x 1 x k2
3 Phương trình: tan x a , x k
tan x a
tan x tan
x k
VD 03 Giải phương trình lượng giác sau:
a) tan x 0 ; b) tan x1; c) tan x 3;
d)
3 tan x
3
; e) tan x 1 ; f) tan x1,6;
Lưu ý: Nếu a giá trị đặc biệt
3
0; ; 1;
3
ta sử dụng hàm ngược hàm tan
(arctan) trình bày họ nghiệm phương trình sau:
tan x a
x arctan a k
4 Phương trình: cot x a , (x k ) cot x a
cot x cot
x k
VD 04 Giải phương trình lượng giác sau:
a) cot x 0 ; b) cot x 1; c) cot x 3;
d) cot x 1 ; e)
3 cot x
3
; f)
6 cot x
5
;
Lưu ý: Nếu a giá trị đặc biệt
3
0; ; 1;
3
ta sử dụng hàm ngược hàm tan
(arctan) trình bày họ nghiệm phương trình sau:
cot x a
(3)5 Mở rộng:
Mở rộng Sử dụng MTBT để giải phương trình lượng giác: VD 05 Giải phương trình sau:
a) 2sin x 0 b) 2cos x 0 c) tan x 32
Mở rộng (Cung chứa bội): VD 06 Giải phương trình sau:
a) 3sin 2x 0 b)
2 cos3x
2
c)
x
cot
3
Mở rộng (Cung chứa tổng): VD 07 Giải phương trình sau:
a)
o
sin(x 45 )
b)
o
cos(x 60 )
c)
0
cos(x 30 )
d) tan(3x 15 ) o e)
2
cot cot
7
x
f)
o
cot(2 10 )
3
x
g) cos3x cos12 o h) sin 2x sin x
i)
2
cos 2x
Mở rộng Phương trình tích (đơn giản):
A.B =
A B
VD 08 Giải phương trình sau:
a) cos 2x.tan x 0 b) sin 3x.cot x 0 c) tan tan x 1x
d) sin x.cos x cos x 0 e) 2sin x 3sin x 02 f) (cos 2x cos x).(sin x sin 3x) 0
BÀI TẬP
1) Giải phương trình:
a) tan(3x 1) 1 ; b) cot 3x 3; c)
1 sin(2x 1)
2
;
d)
1 cos 2x
3
; e) cos 2x 1 ; f) sin 2x1;
g) cos(2x 1) cos(2x 1) ; h) tan 3x tan x ; i)
1 cos 2x
3
;
j)
tan x tan 2x
4
; k) cot 2x cot x
; l) cos 3x cos x
2) Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm
a) 3sin x m 0 ; b) 4cos x m 32 ; c) 2m sin x 3m . 3) Giải phương trình:
a)
3
cos 2x sin x
4
; b) sin 2x cos x
; c) cos3x cos x
d)
sin x sin 2x
3
; e) cos 4x sin x
; f) sin 3x sin 2x
;
g)
5
cos x sin x
4
; h)
2x 1
cot tan
6
; i) sin x cos x 0 ;
j) sin x cos3x 0 ; k) tan 3x tan x 0 ; l) tan x cot x 0 .
4) Giải phương trình:
(4)d) sin 2x cos 2x ; e) sin 2x.sin 3x cos 2x.cos3x f) cos 2x.cos5x cos 7x
5) Giải phương trình:
a)
1
sin x
2
b)
tan x
6
c) 2sin 4x
d)
cot x
4
e) sin(x2 4x) 0 f)
2
sin(x x) sin x
3
g) tan(x22x 3) tan 2 h) cos(x21) 0 i) cos(x2x) cos(x 1)
j) cos 3x 4cos 2x 3cos x 0 k)
2
cos x cos x cos
5 5
Đ
ừng bi quan khơng lối thốt, Đừng chán nản dồn dập khó khăn, Đừng thờ mang tủi nhục, Cố gắng kiên trì tất thành cơng
(KIỂM TRA PHẦN I)
II/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP. 1 Phương trình đại số hóa đơn giản:
a) Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: a sin x b sin x c 02 , …
Phương pháp:
+ Đặt t sin x (hay cos x, tan x,cot x)
Khi ta phương trình bậc theo t: at2bt c 0 .
+ Giải phương trình bậc theo t + Với giá trị t ta tìm nghiệm x
Lưu ý: Điều kiện t đặt t sin x (hay cos x) | t | 1 VD 10 Giải phương trình sau:
a) 2sin x 5sin x 02 ; b) cos 2x 3cos x 0 ; c) 2cos x 7sin x 02 ;
d) c 2x 3sin x 2os ; e)
x
cos x cos
2
; f)
1
3tan x
cos x .
b) Phương trình bậc cao hàm số lượng giác: Phương pháp:
+ Biến đổi để đưa dạng phương trình đại số đơn giản + Đặt ẩn t theo hàm số lượng giác
+ Giải kiểm tra lại nghiệm VD 11 Giải phương trình sau:
a) 4sin x 4sin x 3sin x3 ; b) sin 3x 2sin x ; c) + sin3x – sinx = cos2x;
d) tan x tan x tan x 03 ; e) tan x tan x 03 ; f)
3
2
1
tan x 3cot x
cos x
2 Phương trình lượng giác cổ điển:
(5)Phương pháp:
+ Thử xem phương trình có nghiệm hay khơng, cách: Nếu a2b2 c2 phương trình có nghiệm
Nếu a2b2 c2 phương trình vơ nghiệm
+ Chia vế phương trình cho a2b2 , ta được:
2 2 2
a b c
sin x cos x
a b a b a b
+ Đặt 2
a sin
a b
2
b cos
a b
.
Sau áp dụng cơng thức cộng để đưa phương trình lượng giác bản:
2
c sin sin x cos cos x
a b
2
c
cos(x )
a b
(*)
+ Giải phương trình (*) VD 12 Giải phương trình sau:
a) cos x sin x 1 ; b) 4cos 2x 3sin 2x 5 ; c) cos 2x sin 2x 2;
d) cos x sin x 0 e) cos3x sin 3x ; f) sin 3x cos3x
b) Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng: a(sin x cos x) bsin x.cos x c 0 . Phương pháp:
+ Đặt t sin x cos x,| t | Khi đó:
2
t
sin x.cos x
2
, sin 2x t21
2
t
t sin x cos x,| t | sin x.cos x ,sin 2x (t 1)
2 Khi đó:
+ Phương trình có dạng
2
t
at b c
2
(dạng phương trình bậc theo t)
+ Giải phương trình nghiệm t
+ Với giá trị t ta tìm giá trị x
Lưu ý:
sin x cos x sin x cos x
4
, sin x cos x sin x cos x
.
VD 13 Giải phương trình sau:
a) 2(sin x cos x) sin 2x 0 ; b) 2(sin x cos x) sin 2x 0 ; c) sin 2x 2(sin x cos x) 0 ; d) 2(sin x cos x) 3sin x cos x 0
c) Phương trình lượng giác đẳng cấp: a sin x bsin x.cos x c cos x d2 .
Phương pháp:
Cách 1: + Xét cos x 0 sin x 12 Phương trình trở thành: a d (*)
Nếu (*) cos x 0 nghiệm phương trình.
Nếu (*) sai cos x 0 khơng phải nghiệm phương trình.
+ Xét cos x 0 , chia vế phương trình cho cos2x, ta phương trình bậc
theo tan x
(6)2
2
1 tan x
c x
os
,
2
2
1 cot x
sin x
Cách 2: + Biến đổi với công thức:
2 cos 2x
sin x
2
,
2 cos 2x
cos x
2
,
sin 2x sin x cos x
2
Khi phương trình trở thành dạng “phương trình bậc sin cos” + Giải phương trình ta nghiệm cần tìm
VD 14 Giải phương trình sau:
a) 2cos x sin x cos x 2sin x 02 ; b) sin x sin 2x cos x 02 ;
c) cos x 2sin x cos x sin x 02 ; d) sin x 3sin x cos x 12 .
BÀI TẬP
1) Giải phương trình sau:
a) sin x 2sin x 02 ; b) cos 2x sin x 0 ; c) 3cos x 2cos x 02 ;
d) tan x tan x 02 ; e) 2cos 2x 5sin x 0 ; f) cos 2x cos x 0 ;
g) cos 2x 4sin x 0 ; h) cos 4x 2sin 2x 0 i) 2cos 2x 4sin x 0 ;
j) 3cos25sin x 0 ; k) sin x 3cos x 02 ; l) tan x(1 cot x) 2 ;
m) cos x(tan x 2cos x) 0 ; n)
2
3tan x
cos x ; o)
1
( 1) tan x
cos x
2) Giải phương trình sau:
a)
2 cos x cos 2x
; b)
2
sin x sin x sin x
;
c)
cos 2x sin x sin x
; d)
2
cos x cos x
cos x cos x
.
3) Giải phương trình sau:
a) sin 5x cos5x 0 ; b) sin 3x cos3x 1 ; c) 2sin 5x 2cos 5x ;
d) 3cos 2x 4sin 2x 1 ; e) sin x cos x 1 ; f) sin 2x cos 2x 2 ;
g) 2sin x cos x ; h) 4 cos x 3sin x 3 ; i) 3cos 3x 4sin 3x 5 ; 4) Giải phương trình sau:
a)2(sin x cos x) 4sin x cos x 1 b) sin 2x 3(sin x cos x) 0 c) sin 2x 5(sin x cos x 1) d) 2sin 2x sin x cos x 1 ; e) 3(sin x cos x) 2sin 2x ; f) sin x cos x sin 2x 5) Giải phương trình sau:
a)
2
sin x sin x cos x
; b)
1 4sin x 6cos x
cos x
c)2sin 5x sin10x 4cos 5x 32
d) ( 1)(sin x cos x) cos x 1 e) 2sin 2x sin 4x 02 ; f) cos x sin x cos 4x4
g) cos x sin x cos3x4 ; h) cos x sin x cos 4x6
6) Giải phương trình sau:
a) cos 2x cos x ; b) cos 2x 9cos x 0 ; c) sin x cos x 1 ;
d) cos x cos 2x sin 3x ; e) sin x cos x sin 2x 0 ; f) cos x cos 2x 0 ;
g) sin x cos x 2; h) cos8x sin 4x 0 ; i) cos 2x cos x 0 ;
j) sin x sin 2x 0 ; k) sin x 1; l)
2 cos x sin x
2
(7)m)
6
sin x cos x sin 2x
; n)
sin x sin x
4
; o)
5
cos x sin x
2
;
p) cos 2x 3(sin 2x 1) q) sin x cos x 14 ; r) 2(sin x cos x) 2sin 2x
s) 2cos x ( 2)sin x2 2 t) sin 2x (cos x sin x) 2; u)
2
cos x sin x
;
v)
2
cos x sin 2x sin x
2
; w) sin 2x cos 2x 3; x)sin 2x 2(sin x cos x) 0
7) Cho phương trình: m sin x cos x m 1 .
a) Giải phương trình m = 1; b) Tìm m để phương trình vơ nghiệm 8) Cho phương trình: cos x sin x m4 .
a) Giải phương trình m = 1; b) Tìm m để phương trình vơ nghiệm 9) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
a) m sin x 2cos x 3 ; b) (m 2)cos x msin x 3m 2 .
(KIỂM TRA PHẦN II)
III/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TỔNG QUÁT.
Phương pháp: Dùng phép biến đổi, phương pháp giải phương trình đưa phương trình các dạng phương trình lượng giác đơn giản, phương trình đại số hóa đơn giản, phương trình lượng giác giải Có hướng:
Hướng 1: Biến đổi phương trình cho dạng phương trình đơn giản. + Phương pháp đặt ẩn phụ để đưa phương trình đại số đơn giản.
VD 15 Giải phương trình: 2cos x sin x 12
+ Phương pháp hạ bậc để đưa phương trình có bậc thấp hơn. VD 16 Giải phương trình: sin 32 x sin 22 x sin x 02
+ Phương pháp biến đổi phương trình tích:
A A.B
B
VD 17 Giải phương trình: sin 2x sin 4x 2cos x
+ Phương pháp tổng số hạng không âm:
2 A
A B
B
VD 18 Giải phương trình: 2sin x 2 sin x 3tan x tan x 02
+ Phương pháp đánh giá: Sử dụng điều kiện, pitago, bất đẳng thức côsi, bunhiacốpski VD 19 Giải phương trình: cos x.cos 2005x 1
+ Phương pháp hàm số: Sử dụng tính chất hàm số để đánh giá phương trình. VD 20 Giải phương trình: 2cos x 2sin x sin x cos x
Hướng 2: Chứng minh phương trình vơ nghiệm (khi giải cách trên). VD 21 Giải phương trình: sin 2x cos 2x tan x cot x
1 Phương pháp đặt ẩn phụ.
Bài toán làm quen phần “Phương trình lượng giác thường gặp” với phép đặt để đưa phương trình đại số đơn giản Ngoài phép đặt số phép đặt như:
+ Áp dụng công thức lượng giác biểu diễn qua hàm tan góc chia đơi:
Đặt
x t tan
2
Khi đó:
2
2 2
2t t 2t
sin x ; cos x ; tan x
1 t t t
.
+ Đặt
1 t
sin x
1 t
cos x
(8)+ Đặt t a sin x b cos x với điều kiện | t | a2b2 .
+ Dùng ẩn t để đổi biến
VD 22 Giải phương trình sau (phương trình thuàn bậc cao sinx cosx):
a) 4sin x 3sin x.cos x sin x cos x 03 ; b) sin x 3sin x.cos x 4sin x.cos x 3cos x 04 2 ;
c) (tan x 1)sin x 3(cos x sin x)sin x 3 ; d)
sin x sin x
4
.
VD 23 Giải phương trình sau (Phương trình đối xứng tanx cotx): a) (tan x 7).tan x (cot x 7).cot x 14 0 ;
b) 3(tan x cot x) 2( 1)(tan x cot x) 02 VD 24 Giải phương trình sau:
a) cot x tan x tan 2x ; b)
2
4 tan x
cos x
; VD 25 Giải phương trình sau:
a)
sin 2x 5sin x cos3x
3
; b)
6
32cos x sin 6x
4
;
c)
8cos x cos3x
3
; d) 2cos x sin 3x cos3x
.
2 Phương pháp hạ bậc.
Ta áp dụng công thức sau:
2 cos 2x
sin x
2
;
2 cos 2x
cos x
2
;
2
2
sin x cos 2x
tan x
cos x cos 2x
;
3 3sin x sin 3x
sin x
4
;
3 3cos x cos3x
cos x
4
;
3
3
sin x 3sin x sin 3x
tan x
cos x 3cos x cos3x
;
VD 26 Giải phương trình sau:
a)
2 17
sin 2x cos 8x sin 10x
; b) sin x cos 2x cos 3x2 ;
c)
2 4x
cos x cos
; d)
4
sin x cos x
4
.
3 Phương pháp biến đổi phương trình tích.
Dùng phép biến đổi, cơng thức để đưa phương trình dạng phương trình tích:
A.B 0
A B
VD 27 Giải phương trình sau:
(Dùng phép biến đổi tổng hiệu thành tích)
a) cos x cos 2x cos 3x 0 ; b) cos x cos 2x cos3x cos 4x 0 ;
c) sin x cos3x cos x sin 2x cos 2x ; d) sin x sin x sin x cos x cos x cos x2 .
VD 28 Giải phương trình sau:
(Dùng phép biến đổi tích thành tổng, công thức nhân đôi)
a) 2cos x.cos 2x.cos3x 7 cos 2x ; b) 2cos x cos 2x sin x 03 ;
c) 2sin x cos 2x cos x 03 ; d) sin x cos x cos 2x3 ;
e) 4sin 2x 3cos 2x 3(4sin x 1) ; f) sin x cos 2x 2cos x 04 .
VD 29 Giải phương trình sau:
(9)a) cos x cos 3x 2cos 5x 0 ; b) 5sin 3x 3sin 5x ;
c) 3(cot x cos x) 5(tan x sin x) 2 ; d) 2sin x cot x 2sin 2x 1 .
e)
4 x x
(sin x 3)sin (sin x 3)sin
2
; f)
3
5x x
sin 5cos x.sin
2 2.
VD 30 Giải phương trình sau:
a) cos x sin x cos x 02 ; b) cos x sin x sin 2x sin x cos x3 ;
c) cos10x 2cos 4x 6cos3x.cos x cos x 8cos x.cos 3x .
4 Phương pháp biến đổi phương trình tổng số hạng không âm. Các đại lượng không âm bao gồm: A2, | B |, sin x , 1 cos x .
Dùng phép biến đổi để đưa phương trình dạng đại lượng không âm:
1 n
A A A 0 với Ai 0, i 1, n.
1
2
N
A
A
A
Giải hệ ta nghiệm cần tìm
Lưu ý: Sử dụng vịng tròn lượng giác giao nghiệm trên. VD 31 Giải phương trình sau:
a) cos 4x cos 8x sin 12x sin 16x 22 ; b) 4cos x 3tan x cos x tan x 02 .
5 Phương pháp đánh giá.
Xét phương trình: f (x) g(x) có tập xác định D Nếu với xD mà f (x) k , g(x) k thì:
f (x) g(x)
f (x) k g(x) k
.
Ta dùng bất đẳng thức Với A k, B h thì:
A B k h
A k B h
.
VD 32 Giải phương trình sau:
(Sử dụng tính chất hàm số lượng giác biểu thức lượng giác)
a) (sin x cos x)sin 3x 2 ; b) sin 4x cos 4x 4(sin x cos x) ;
c) 4cos x 2cos 2x cos 4x 1 ; d) cos 2x cos 4x cos 6x cos x.cos 2x.cos 3x 2 ;
e) 4(sin x cos x) 8(sin x cos x) 5cos 2x8 10 10 VD 33 Giải phương trình sau:
(Phương trình lượng giác dạng pitago)
a)
6
10 10
2
1 sin x cos x
(sin x cos x)
4 sin 2x 4cos 2x
; b) cos x sin x sin 2x cos 2x 15 2. VD 34 Giải phương trình sau:
(Sử dụng bất đẳng thức Cauchy)
a)
8
sin 2x cos 2x
; b)
n n n
1
(tan x cot x) sin x cos x
4
VD 35 Giải phương trình sau:
(Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski)
(10)6 Phương pháp hàm số.
(Yêu cầu học sinh học tính biến thiên đồ thị hàm số – lớp 12) 7 Chứng minh phương trình vơ nghiệm.
VD 36 Giải phương trình sau:
a) cos 2x cos5x 0 ; b) cos3x.cos 5x 10 . BÀI TẬP
1 Giải phương trình sau:
a) sin x ; b) sin x ; c) cot x ; d)
sin 2x sin x
5
; e) 2 cos x 0 ; f) cos(2x 1) cos(2x 1) ; g) tan x1; h) tan 5x tan 25 o; i) tan 2x tan x ;
j) cot 3x 1 ; k)
1 cot
3
; l)
2x 1
cot tan ; m) o
sin(x 20 )
; n)
o
cos(3x 15 )
; o)
x
tan
3 ;
2 Giải phương trình sau:
a)
2
sin x cos 2x
3
; b) 2cos x
; c) 2cos(x ) 0 ;
d)
o
tan 2x 15 1
; e)
cos 2x sin x
3
; f)
x
tan 2x tan
4 ; g)
sin 3x cos x
4
; h) tan 3x cot(5x )
; i)
2
sin x cos 3x
4 j)
sin 2x cos x
3
; k) sin 2x.sin 6x cos x.cos3x ; l) cos 7x.cos 6x cos 5x.cos8x Giải phương trình sau:
a) sin 3x ; b) x tan
2 ; c)
2 cos 2x ; d) cot 2x ; e)
2sin x
4
; f) tan 2x
; g) cos 2x
; h)
5
3cot 2x
2
; i) sin 2x sin x
; j)
cos 5x cos x
3
; k) cot 2x cot x
; l) sin 3x cos 4x ;
m)
2
sin x
; n)
4
sin 2x cos 2x
; o) sin 5x sin x 2sin x 1 ;
p) sin x sin 2x cos 3x cos 4x2 ; q) cos x sin x sin x cos x3 ;
r)
1 tan x
1 sin 2x tan x
; s)
2
5 x
sin 2x 20cos sin x cos x
2 12
t) cos10x 2cos 4x 6cos 3x cos x cos x 8cos x cos 3x
(11)a)
4sin x 1 sin x 0
; b)
5
sin 2x 3cos x 2sin x
2 ;
c)
2
cos 2x sin 2x cos 2x
3
; d)
1
cot x tan x 2sin 2x
sin 2x
;
e)
4 x x
5sin x sin cos
2 0
2cos x
; f)
2
x cos x 2sin
2 x 4sin ;
g) sin x cos x 1 ; h)
3
x x
3sin cos x 4sin
3 ;
i)
4 x x
4 sin cos sin 2x
2
; j)
2
2
1
4 cos x cos x
cos x cos x
.
5 Giải phương trình sau:
a) 4sin x 3 sin 2x 2cos x 42 ; b) cos x 2sin x 5sin x 03 ;
c)
3
cos x 8sin x
; d)
3
sin x cos x 2 cos x
4
;
e) sin x cos x sin 2x 0 ; f) 6 sin x sin x cos x
; g)
1 10
sin x cos x
sin x cos x
; h)
2
2 tan x cot x tan x cot x 6
Giải phương trình sau:
a) sin x sin 2x sin 3x 0 ; b) cos 2x cos8x cos10x 1 ;
c) 4sin 3x cos 2x sin 3x ; d)
5
sin x cos x sin 2x 4 sin x cos x
;
e)
23x 5x 211x 13x
cos cos cos cos
2 2
.
7 Giải phương trình sau:
a) 4sin x 4sin 3cot x cot x 02 ; b)
2
sin x sin 2x sin x
2
;
c)
1 2sin 5x cos 4x
sin x
; d) cos2015x sin 2010x 1 ;
e) cos2010x sin 2010x 1 ; f)
2
x
1 cos x
2
IV – Luyện Tập Bài tập rèn luyện
1 Tìm tập xác định hàm số sau:
a) y sin x ; b)
1 cos x y
sin x
; c)
y tan 2x ; d)
1 sin x cos x
; e)
1 cos x y
2sin x
; f)
sin(x 2) y
cos 2x cos x ; g) tan x y
1 tan x
; h)
1 y
3 cot 2x
.
(12)a) y sin x ; b)
y 2cos x
3
; c) y sin(x ) 1
d) y 4sin x
3 Xét tính chẵn lẻ hàm số sau:
a) y2sin x; b) y 3sin x 2 ; c) y sin x cos x ;
d) y sin x.cos x tan x ; e)
y cos x
; f) y tan x sin 2x .
4 Giải phương trình sau:
a) sin 4x sin5
; b)
x
sin
5
; c)
x
cos cos
2 ;
d)
2 cos x
18
; e)
3 tan 3x tan
5
; f)
1 cot 2x cot
3
g) tan(x 15 ) 5 o ; h) tan(2x 1) 3; i)
o
x
cot 20
4
;
j)
2 cot 3x tan
5
5 Tìm nghiệm phương trình sau khoảng cho
a)
1 sin
2 x
với x ; b)
3 cos(x 5)
2
với x ;
c) tan(2x 15 ) 1o với 180o x 90 o; d)
1 cot
3 x
với x
Giải phương trình sau:
a)
sin 2x sin 3x
4
; b) cos 2x sin x
;
c) sin( sin 2x) 1 ; d) sin 3x cos 2x ;
e)
2
cos cos x
2
; f) tan 4(sin x cos x)
;
6
sin 2x.cos 3x sin 3x.cos 4x
7
3 cot x 4cot x 0
2
3
4 tan x
cos x
2
sin 3x 2sin 3x 0
2
4sin 2x 8cos x 0
3
4cos x cos3x 6cos x 2(1 cos 2x) cos3x cos 2x cos x 0
2
(cos x 1)(cos 2x 2cos x) 2sin x
(13)sin 2x 3cos 2x 3
3sin x 3cos x 2
2 2(sin x cos x) cos x cos 2x (1 3)sin x (1 3)cos x 2
2( sin x cos x) 3sin 2x cos 2x 2sin x(cos x 1) cos 2x
2(sin x cos x) cos 2x sin 2x
5
sin x cos x 2sin x.cos x 0 tan x 2 sin x
6(sin x cos x) sin x.cos x 0 4(sin x cos x) sin 2x 1
6
sin x 3sin x.cos x 2
2
2sin x sin x.cos x cos x 0
3 sin x cos x
cos x
7
3
cos x sin x cos x sin x
3 2
4sin x 10sin x.cos x 6sin x.cos x cos x 0
3
4sin x sin x.cos x 3sin x 3cos x 0
3
2sin x 3sin x 4cos x 0
3 2
sin x 5sin x.cos x 7sin x.cos x 2cos x 0
3
sin 2x.sin x sin 3x 6cos x
Bài toán chọn lọc
1 Giải phương trình sau:
a)
2
cos 3x 9x 160x 800
8
8
x 3x 2.sin[ (16x 2x)]
(ĐH tổng hợp Lômônốp 1982)
2
1 5sin x 2cos x 0 , với điều kiện cos x 0 (ĐH CSND 1999)
2
3cot x 2 sin x (2 2)cos x
3
3sin 3x cos9x 4sin 3x
cos 7x.cos5x sin 2x sin 7x.sin 5x
3 sin 7x cos 7x 2,
2
x ;
5
(14)4
(sin x 2cos x) (sin x 2cos x)(5 7sin 2x cos x)cos x cos x 0
3
sin 3x cos x
1 3sin 2x tan x
8cos x cos3x
3
1 10
cos x sin x
cos x sin x
2 4
sin x sin x sin x sin x cos x cos x cos x cos x (ĐH Nha Trang 1998)
sin 4x tan x (ĐH Y Hà nội 2000)
2
tan x.sin x 2sin x 3(cos 2x sin x.cos x) cos 2x 2(2 cos x)(sin x cos x)
sin 3x sin 2x.sin x
4
3 x 3x
sin sin
10 2 10
Đề thi ĐH CĐ
V – Ôn Tập
Phương trình lượng giác bản
(15)Phương trình lượng giác tổng quát
Bài tập tự luyện
1 Giải phương trình sau: a) sin( cos 2x) 1
cos( cos3x) 1 cos( sin x) 1
sin cos( x)
x
1
cos cos x
2
tan cos x sin x
4
cot (cos x sin x)
4
2
4(sin 3x cos 2x) 5(sin x 1)
2
sin 3x sin x 2cos x 0
3
2
cos x sin 2x sin x 1
3
3sin x cos3x 4sin x 1 2cos x(sin x 1) cos 2x 2sin 3x sin 2x cos 2x 0
3 sin 4x cos 4x sin x cos x
3sin 2x 4cos 2x 5cos 2003x 0
3 sin x sin x 2sin1972x
4
1
sin x (3 cos x)
3
(1 3)sin x (1 3)cos x 2 sin 2x ( 2)cos 2x 1
3cos x sin 2x 3(cos 2x sin x)
4
3(sin x cos x) 4sin x.cos x 0 12(sin x cos x) 2sin x.cos x 12 0 (1 sin x)(1 cos x) 2
(16)1 2 sin x
4 sin x cos x
(ĐH QG Hà Nội – Khối B 1997)
cot x tan x sin x cos x
2
tan x tan x cot x cot x 6
5
3
8cos x
sin x cos x
3
2 sin x 2sin x
4
5(sin x cos x) sin 3x cos 3x 2(2 sin 2x)
3 2
sin x 5sin x.cos x 3sin x.cos x 3cos x 0
3
sin x 3sin x.cos x cos x 0
3
sin x sin x.cos x cos x 0
sin 3x cos3x 2cos x 0 (HV Ngân Hàng TPHCM 2000)
3
4sin x sin x cos x 0 (ĐH Y Hà Nội 1999)
3 2
sin x 3sin x.cos x 2sin x.cos x cos x 0
2 2
(sin x 4cos x)(sin x 2sin x.cos x) cos x
2 2
sin x.(2sin x cos x)(8sin x 8sin x.cos x cos x) 0 , với x 0;4
6 2
64sin x 96sin x.cos x 36sin x.cos x 3cos x 0 , với x 0;4
1 3sin 2 x2 tan x
1 tan x 2sin 2x
6 tan x tan 2x
sin 2x tan x 3 x
cos x tan
2
x cos x tan
2
(1 tan x)(1 sin 2x) tan x
2
(17)x
3sin x cos x 4cot
2
(cos x sin x)sin x.cos x cos x.cos 2x
sin 3x 2cos x
6
5 cos3x 2sin x
6
3x x
sin 3sin
2 10 10
3x x
sin 3sin
2 4
2
cos9x 2cox 6x
3
6x 8x
2cos 3cos
5
BÀI KIỂM TRA PHẦN I Giải phương trình sau:
1)
1 sin x
3
(1,0 điểm)
2)
2
c x
2 os
(2,0 điểm)
3)
sin c x
5
x os
(2,0 điểm)
4) sin 3x.cos x sin 2x 0
5) cos x sin x (2,0 điểm)
6)
cos sin x
3
(18)BÀI KIỂM TRA PHẦN II Giải phương trình sau:
1) tan 5x tan x 0 1,0 đ
2) cos 2x sin x 2cos x 0 1,5 đ
3)
1 2cos 2x 8cos x
cos x
(ĐH NN 2000) 1,5 đ
4) sin 3x cos3x 1,5 đ
5)
5 3sin x cos x
2
1,5 đ
6) cos x 6sin x.cos x 32 1,5 đ
7) Cho phương trình: cos x (2m 1) cos x m 02
a) Giải phương trình với
3 m
2
1,0 đ
b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc
3 ; 2
. 0,5 đ