Hàm số lượng giác và phương trình lượng - Dạng toán không thể bỏ qua - Giáo viên Việt Nam

Lý thuyết cơ bản:Sau đây ta bổ sung một số kiến thức lý thuyết để giải quyết bài toán nhận dạng đồ thị hàm số lượng giác một cách hiệu quả.. Sơ đồ biến đổi đồ thị hàm số cơ bản:.[r]

CHỦ ĐỀ 1:

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI: GĨC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT

1 Giá trị lượng giác cung α.

Trên đường trịn lượng giác (hình 1.1) cho cung AM Ð

có sđ AM  Ð

:

Hình 1.1

Gọi M x y



;



với tung độ M y OK , hoành độ x OH ta có:

sin OK cos OH





sin

tan ; cos

cos 

 



  cot cos ; sin



0



sin 

 



 

Các giá trị sin , cos, tan , cot gọi giá trị lượng giác cung .

Các hệ cần nắm vững

1 Các giá trị sin ; cos xác định với   Và ta có:





sin k2 sin ,   k ;





cos k2 cos ,   k sin    ; cos1    1

3 tan xác định với k ,



k





      cot xác định với  k,



k 



Dấu giá trị lượng giác cung  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cung AM  Ð

đường trịn lượng giác (hình 1.2)

Góc phần tư Giá trị lượng giác

I II III IV

cos + - - +

sin + + -

-tan + - +

-cot + - +

-Ở hình 1.3 cách nhớ khác để xác định dấu giá trị lượng giác

2 Công thức lượng giác

Công thức bản Cung đối nhau

2

sin xcos x1 sin



x



 sinx

2

2 tan

cos x

x

  cos



 x



cosx

2

2 cot

sin x

x

  tan



x



 tanx

Công thức cộng Cung bù nhau





sin x y sin cosx ycos sinx y sinxsin



 x







cos x y cos cosx ysin sinx y cosx cos



x 







tan tan

tan

1 tan tan

x y

x y

x y

  

 tanxtan



x 



Công thức đặc biệt

sin cos sin cos

4

x x x  x 

   

sin cos sin cos

4

x x x  x 

   

Góc nhân đơi Góc chia đơi

sin 2x2sin cosx x





2

sin cos 2

x  x

2 2

cos 2x2cos x1 2sin  xcos x sin x





2

cos cos 2

x  x

3

sin 3x3sinx 4sin x





3

sin 3sin sin

x x x

3

cos 3x4 cos x 3cosx





3

cos 3cos cos3

4

x x x

3

3tan tan tan

1 3tan

x x

x

x

 



STUDY TIP

Ở từ cơng thức góc nhân đơi, góc nhân ba ta suy cơng thức góc chia đơi, chia ba mà khơng cần nhớ nhiều cơng thức

Biến đổi tích thành tổng Biến đổi tổng thành tích









1

cos cos cos cos

2

x y  x y  x y  cos cos 2cos cos

2

x y x y

x y  









1

sin sin cos cos

2

x y  x y  x y  cos cos 2sin sin

2

x y x y

x y  









1

sin cos sin sin

2

x y  x y  x y  sin sin 2sin cos

2

x y x y

x y  

sin sin 2cos sin

2

x y x y

x y  

3 Giá trị lượng giác cung đặc biệt

 (độ) 0 30 45 60 90 180



(radian )

0

6 

4 

3 

2

 

sin

2

2

3

1

cos 1 3

2

2

1

0 1

tan 3

3

1 3 Không xác

định

0

STUDY TIP

Từ bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt bên ta thấy quy luật sau để độc giả nhớ giá trị lượng giác cung đặc biệt:

 30 45 60 90

sin 1

2

2

3

4 Các giá trị tử số tăng dần từ đến Ngược lại giá trị cos, tử số giảm dần từ

4

BÀI: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT

Quy tắc đặt tương ứng số thực x với sin góc lượng giác có số đo rađian x được gọi hàm số sin , kí hiệu y sinx

Quy tắc đặt tương ứng số thực x với cosin cos





góc lượng giác có số đo rađian x gọi hàm số cos, kí hiệu y cos x

Tập xác định hàm số y sinx; y cos x   a) Hàm số y sinx

Nhận xét: Hàm số y sinx hàm số lẻ hà số có tập xác định D  đối xứng và





sinx sin x

  

Hàm số y sinx tuần hồn với chu kì 2 Sự biến thiên:

Sự biến thiên hàm số y sinx đoạn    ;  biểu thị sơ đồ (hình 1.4) phía

dưới:

Bảng biến thiên:

STUTY TIP Khái niệm:

Hàm số f x

 

xác định D gọi hàm tuần hoàn tồn số T 0 cho với x

thuộc D ta có

 

x T D; x T D

f (x T ) f x

     



  



Số dương T nhỏ (nếu có) thỏa mãn tính chất gọi chu kì hàm tuần hồn Đồ thị hàm số:

Nhận xét: Do hàm số y sinx hàm số lẻ  tuần hồn với chu kì 2 nên vẽ đồ thị hàm số y sinx  ta cần vẽ đồ thị hàm số đoạn 0; , sau lấy đối xứng đồ thị

qua gốc tọa O , ta đồ thị hàm số y sinx đoạn    ;  , cuối tịnh tiến đồ thị vừa

thu sang trái sang phải theo trục hồnh ta đoạn có độ dài ; ,   STUDY TIP

Hàm số y sinx đồng biến khoảng ; 2 2  

 



 

  Do tính chất tuần hồn với chu kì 2 , hàm

số y sinx đồng biến khoảng

k2 ; k2 ,k

2 2

 

 

 

   

 

 

Z

Tương tự ta suy hàm số y sinx nghịch biến khoảng 3

k2 ; k2 ,k .

 

 

 

  

GHI NHỚ

Hàm số y sinx :

- Có tập xác định 

- Có tập giá trị   1;1

- Là hàm số lẻ

- Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng - Có đồ thị đường hình sin

- Tuần hồn với chu kì 2

- Đồng biến khoảng

k2 ; k2 ,k

2 2

 

 

 

   

 

 



- Nghịch biến khoảng

3

k2 ; k2 ,k

2 2

 

 

 

  

 

 

 b) Hàm số y cos x

Ta thấy

cos x sin x 2 

 

   

  nên cách tịnh tiến đồ thị hàm số y sinx sang trái đoạn có

độ dài 2 

, ta đồ thị hàm số y cos x

Bảng biến thiên hàm số y cos x    ; 

Đồ thị hàm số y cos x :

STUTY TIP

Hàm số y cos x đồng biến khoảng



;0



Do tính chất tuần hồn với chu kì 2, hàm số

y cos x đồng biến khoảng



 k2 ; k2 



,k

GHI NHỚ

Hàm số y cos x :

- Có tập xác định  - Là hàm số chẵn

- Là đường hình sin

- Đồng biến khoảng



k2 ; k2 



,k - Nghịch biến khoảng



k2 ; k2



,k Đọc thêm

Hàm số ya.sin



x b



c, a,b,c,



,a0



hàm tuần hoàn với chu kì sở 2

 vì:





























a.sin x T b c a.sin x b c, x a.sin x b T a.sin x b , x

2

T k2 , k T k , k .

 

  



 



       

      

     

 

 

Và đồ thị đường hình sin

Tương tự hàm số ya.cos



x b



c, a,b,c,



,a 0



hàm tuần hồn với chu

kì sở 2

 đồ thị đường hình sin

Ứng dụng thực tiễn: Dao động điều hịa mơn Vật lý chương trình 12. Hàm số ytanx hàm số ycotx

Hình 1.7

Với

\

D   k k  

 

 

, quy tắc đặt tương ứng số x D với số thực

sin tan

cos

x x

x



được gọi hàm số tang, kí hiệu ytanx Hàm số ytanx có tập xác định D 1

Với D2 \



k k 



, quy tắc đặt tương ứng số x D 2 với số thực

cos cot

sin

x x

x



gọi hàm số cơtang, kí hiệu ycotx Hàm số ycotx có tập xác định D 2

tan

- Hai hàm số hai hàm số tuần hoàn với chu kì  a) Hàm số ytanx

Hình 1.8

Sự biến thiên: Khi cho x



OA OM,



tăng từ 



đến 

điểm M chạy đường tròn lượng giác theo chiều dương từ B đến B(khơng kể B B) Khi điểm T thuộc trục tang cho AT tanxchạy dọc theo At , nên tan x tăng từ   đến  (qua giá trị x0).

Giải thích: tan x AT tan MH AT AT

x AT

OH OA

   

Nhận xét: Hàm số ytanx đồng biến khoảng

; ,

2 k k k

 

 

 

   

 

   Đồ thị hàm

số ytanx nhận đường thẳng x k ,



k







   

làm đường tiệm cận Đồ thị hàm số:

Nhận xét: Do hàm số ytanx hàm số lẻ

\

2 k k

 

 

 

 

 

 

tuần hồn với chu kì

 nên vẽ đồ thị hàm số ytanx \ k k 



 

 

 

 

 

ta cần vẽ đồ thị hàm số

0;



   

 , sau lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ O, ta đồ thị hàm số ytanx trên

0;



   

Hình 1.9

STUDY TIP

Hàm số ytanx nhận đường thẳng x k ,



k







   

làm đường tiệm cận

GHI NHỚ

Hàm số ytanx:

- Có tập xác định

\

D   k k  

 

 

- Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hồn với chu kì  - Có tập giá trị 

- Đồng biến khoảng

; ,

2 k k k

 

 

 

   

 

  

- Đồ thị nhận đường thẳng x k ,



k







   

làm đường tiệm cận b) Hàm số ycotx

GHI NHỚ

Hàm số ycotx:

- Có tập xác định: D2 \



k k 



- Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hoàn với chu kì  - Có tập giá trị 

- Đồng biến khoảng



k ; k



,k 

- Đồ thị nhận đường thẳng x k ,



k  làm đường tiệm cận.



B Các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác

Dạng 1: Bài tốn tìm tập xác định hàm số lượng giác Cách 1

Tìm tập D x để f x

 

có nghĩa, tức tìm D



x f x

 





Cách 2

Tìm tập E x để f x

 

khơng có nghĩa, tập xác định hàm số D\E. CHÚ Ý

A Với hàm số f x

 

cho biểu thức đại số ta có:

1

 

 

 

f x f x

f x



, điều kiện: * f x1

 

có nghĩa

* f x2

 

có nghĩa f x 2

 

0.

2 f x

 

2m f x1

  

, m 



, điều kiện: f x1

 

có nghĩa f x 1

 

0.

3

 

 

 





1

2

,

m f x

f x m

f x

  

, điều kiện: f x f x1

 

, 2

 

có nghĩa f x 2

 

0. B Hàm số ysin ;x ycosx xác định , vậy

 

 

sin ; cos

y u x  y u x 

xác định u x

 

xác định

* ytanu x

 

 có nghĩa u x

 

xác định u x

 

k k;

 

   

* ycotu x

 

 có nghĩa u x

 

xác định u x

 

k k;  

STUDY TIP

Ở phần cần nhớ kĩ điều kiện xác định hàm số sau:

1 Hàm số ysinx ycosx xác định .

2 Hàm số ytanx xác định

\

2 k k

 

 

 

 

 

 

3 Hàm số ycotx xác định \ k k



 



Ví dụ 1. Tập xác định hàm số

1 2cos

y

x



 là:

A

5

\ ,

3

D  k   k  k 

 

 

B

\

3

D  k  k 

 

 

C

5

2 ,

3

D k   k  k 

  D

5

\

3

D   k  k 

 

 

Chọn A.

Lời giải

Cách 1: Hàm số cho xác định

cos cos

3

2cos ,

5

cos cos

3

x x k

x k

x x k

 



 



 

  

 

 

      

    

 

 



Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị hàm số

1 2cos

y

x



 x





5

x 

ta thấy hàm số không xác định, từ ta chọn A. STUDY TIP

Đối với hàm côsin, chu kỳ tuần hoàn hàm số



0; 2



tồn hai góc có số đo 

và

5



thỏa mãn

5

cos cos

3

 

 

ta kết luận điều kiện Cách bấm sau:

Nhập vào hình

 

2cos X 1:

Ấn r gán X 



máy báo lỗi, tương tự với trường hợp

5

X  

Từ suy hàm số không xác định 

5



Ví dụ 2. Tập xác định hàm số

cot sin

x y

x



 là:

A

\

3

D  k  k 

 

 

B

\

D k k 

 

 

\ ;

Chọn C.

Lời giải Hàm số cho xác định

+ cot x xác định sinx0 + sinx   1

sin

,

sin

2 x k x

k

x x k

 

 

 

 

    

  

 



STUDY TIP

Trong toán này, nhiều độc giả sử dụng điều kiện để hàm phân thức xác định



sinx  1 0



không ý điều kiện để hàm cot x xác định, bị thiếu điều kiện chọn D sai

Ví dụ 3. Tập hợp \ k k



 



tập xác định hàm số nào?

A

1 cos sin

x y

x

 

B

1 cos 2sin

x y

x

 

C

1 cos sin

x y

x

 

D

1 cos sin

x y

x

 

Chọn C.

Lời giải sin sin 2

sin ,

sin sin 2

2 x k

x x k k

x x k

x x k x k



 



   

 

 

  

        



    

 





sin sin

sin ,

sin sin

x x k

x x k k

x x k





  

 

 

       

  

 



Phân tích: Với tốn dạng ta để ý chút thấy hàm cos x xác định với mọi x   Nên ta xét mẫu số, có đến ba phương án có mẫu số có chứa sin x A D; B Do ta chọn đáp án C

Trong ví dụ ta có thể gộp hai họ nghiệm 2k   k2 thành k dựa theo lý thuyết

sau:

Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác biểu diễn điểm đường tròn lượng giác

*x  k2 , k  biểu diễn điểm đường tròn lượng giác.

*x  k k,   biểu diễn hai điểm đối xứng qua O đường tròn lượng

giác

2

* ,

3

k

x   k 

biểu diễn ba điểm cách nhau, tạo thành đỉnh tam giác nội tiếp đường tròn lượng giác

*

2

*x k ,k ,n n

 

   

biểu diễn n điểm cách nhau, tạo thành n đỉnh đa giác nội tiếp đường trịn lượng giác

Giải thích cách gộp nghiệm ví dụ ta có

Trên hình 1.11 hai chấm trịn đen điểm biểu diễn hai nghiệm ta tìm ví dụ Từ

nếu gộp nghiệm lại ta có

2

0 ,

2

k

x   k k  

Ví dụ 4. Tìm tập xác định hàm số

1 sin

y x

x

 

A. D  



2;2



B. D  



1;1 \ 0



 

C. D . D. D \ 0

 

. Lời giải

Chọn D.

Hàm số cho xác định

1 sin

x xác định x 0 STUDY TIP

Ở nhiều độc giả nhầm lẫn, thấy hàm số sin chọn C sai Cần ý đến điều kiện

để

1

x xác định.

Ví dụ 5. Tập xác định hàm số y2016 tan20172x

A.

\

D  k k  

 

 

B.

\

D k k 

 

 

C. D . D. D \ k k

 

 

    

 

 

Lời giải

Chọn D.

Ta có





2017 2017

2016 tan 2016 tan

2017 số nguyên dương, hàm số cho xác định tan 2x xác định

2 , ,

2

x  k k x  k k

      

STUDY TIP

Trong này, ta cần thêm kiến thức tập xác định hàm số lũy thừa lớp 12: Tập xác định hàm số y x  tùy thuộc vào giá trị 

* Với  nguyên dương tập xác định 

* Với  nguyên âm , tập xác định \ 0

 

* Với  không nguyên, tập xác định



0; 



Ví dụ 6. Tập xác định hàm số y2016cot20172x

A.

\

D  k k  

 

 

B.

\

D k k 

 

 

C. D  D.

\

4

D  k k 

 

 

Lời giải

Chọn B.

Tương tự ví dụ 5, ta có hàm số xác định cot 2x xác định

2 ,

2

x k x k k

     

Ví dụ 7. Tập xác định hàm số y cos 2017 x

A. D\



k k 



B. D .

C.

\ ;

4

D  k  k k  

 

 

D.

\

2

D  k  k 

 

 

Lời giải

Chọn B.

Hàm số y cos 2017 x xác định cos 2017 x0 Mặt khác ta có cos 2017  x nên 1 cos 2017 x   0, x .

STUDY TIP

Với toán chứa thức ta ý hệ số tự để áp dụng bất đẳng thức  1 sin ;cosx x1,

Ví dụ 8. Tập xác định hàm số

2 sin y

x 

 là

C

\ |

4

D  k k 

 

 

D

\ |

4

D  k  k 

 

 

Lời giải

Chọn B.

Ta có sin 6x 2 sin 6 x , x0    Vậy hàm số cho xác đinh với x   Một dạng khác tốn liên quan đến tìm tập xác định hàm lượng giác sau:

Ví dụ 9. Để tìm tập xác định hàm số ytanxcosx, học sinh giải theo bước sau:

Bước 1: Điều kiện để hàm số có nghĩa

sin cos

x x

 





 .

Bước 2:





;

x k

k x k

   

  

  

  



Bước 3: Vậy tập xác định hàm số cho

\ ; |

2

D  k k  k 

 

 

Bài giải bạn chưa? Nếu sai, sai bắt đầu bước nào?

A Bài giải B Sai từ bước

C Sai từ bước D Sai từ bước Lời giải

Chọn B.

Nhận thấy hàm số cho xác định tan x xác định (do cos x xác định với x   ).

Do hàm số xác định cosx x k k, 



     

Ví dụ 10.Hàm số

1 sin y

x 

 xác định

A x \ k2 |k

 

 

    

 

 

B x  

C x k k,

 

   

D x k2 ,k

 

   

Lời giải Chọn A.

Hàm số cho xác định  sinx  1 sinx  1 sinx (do 1 sinx1,  x )

2 ,

x  k  k

    

Dạng chứa tham số toán liên quan đến tập xác định hàm sô lượng giác.

Với S Df (là tập xác định hàm số f x

 

) thì

 

, max

 

S

f x m x S f x m

     

f x

 

m x S,   minS f x

 

m.

 

 

0

,

S

x S f x m f x m

      0 ,

 

0 max

 

S

x S f x m f x m

     

Ví dụ 1. Cho hàm số h x

 

 sin4xcos4x sin cosm x x.Tất giá trị tham số m để hàm số xác định với số thực x(trên toàn trục số)

A

1

2 m

  

B

1

2 m

 

C

1

0 m

  

D

1 m 

Lời giải

Chọn A.

Xét hàm số

 



 



2

2

sin cos sin

g x  x  x  m x



sin2x cos2x



2 2sin2xcos2x msin 2x

   

2

1

1 sin sin

2 x m x

  

Đặt tsin 2x   t



1;1



.

Hàm số h x

 

xác định với x   g x

 

   0, x





2

1

1 0, 1;1

2t mt t

       





2 2 2 0, 1;1

t mt t

      

Đặt f t

 

 t2 2mt



1;1



Đồ thị hàm số ba đồ thị

Ta thấy max1;1 f t

 

f

 

1 max1;1 f t

 

f



1



Ycbt

 





 

 

2

1;1

2 0, 1;1 max

f t t mt t f t



        

 





1 f

f  

 

 



1 1

1 2

m

m m

  



     

  

 .

Ví dụ 2. Tìm m để hàm số

3

2sin sin

x y

x m x



  xác định .

A m   2; 2 B m  



2;2 2



.

Lời giải Chọn B.

Hàm số xác định  2sin2x m sinx 1 0,  x .

Đặt tsinx  t



1;1



Lúc ta tìm điều kiện m để f t

 

2t2 mt 1 0,  t



1;1



Ta có  t m2

TH 1:   t m2 0  2 2m2 2 Khi f t

 

0, (thỏa mãn).t

TH 2:   t m2 0

2 2 m m    



 (thử lại hai trường hợp không thỏa mãn).

TH 3:   t m2 0

2 2 m m     



 tam thức f t

 

2t2 mt có hai nghiệm 1 phân biệt t t t1 2;



1t2



.

Để f t

 

0,  t



1;1











2

2

2

2

8

1

4

8

1

4

m m

t m m VN

m m

t m m VN

  

      

  

 

       

 .

Vậy m  



2;2 2



thỏa mãn yêu cầu toán

Chú ý: Với toán dạng ta cần chia ba trường hợp để tìm đủ giá trị m

Ở toán TH3 áp dụng qui tắc xét dấu tam thức bậc hai “trong trái cùng” Tức khoảng hai nghiệm dấu với hệ số a, cịn khoảng hai nghiệm trái dấu với hệ số a

Dạng 2: Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Lượng Giác. Định Nghĩa.

Cho hàm số yf x

 

xác định tập D

a, Hàm số yf x

 

gọi hàm số chẵn với x thuộc D, ta có x D  và





 

f x f x

b, Hàm số yf x

 

gọi hàm số lẻ với x thuộc D, ta có x D  và





 

f x  f x

STUDY TIP:

Để kết luận hàm số yf x

 

khơng chẵn khơng lẻ ta cần điểm x0D cho





 





 

0

0

f x f x

f x f x

  

 

  

 Nếu D tập đối xứng (tức x D    x D), ta thực tiếp bước 2.

 Nếu D tập đối xứng(tức x D  mà x D  ) ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ

Bước 2: Xác định f



 x



:

 Nếu f



 x



f x

 

, x D kết luận hàm số hàm số chẵn.  Nếu f



 x



 f x

 

, x D kết luận hàm số hàm số lẻ.

 Nếu không thỏa mãn hai điều kiện kết luận hàm số khơng chẵn khơng lẻ.

Các kiến thức học hàm lượng giác bản: 1, Hàm số ysinx hàm số lẻ D  2, Hàm số ycosx hàm số chẵn D .

3, Hàm số ytanx hàm số lẻ

\ |

2

D  k k 

 

 

4, Hàm số ycotx hàm số lẻ D\



k|k



Ví dụ 1. Hàm số sau hàm số chẵn?

A y2cosx B y2sinx C y2sin



 x



D ysinx cosx

Lời giải Chọn A.

Cách 1: Với kiến thức tính chẵn lẻ hsố lượng giác ta chọn ln A. Xét A: Do tập xác định D  nên x   x 

Ta có f



x



2cos



 x



2cosxf x

 

Vậy hàm số y2cosx hàm số chẵn Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

Ta thử phương án máy tính cầm tay, sử dụng CALC để thử trường hợp x x

 .

Với A: Nhập vào hình hàm số sử dụng CALC với trường hợp x  (hình bên trái) 1 trường hợp x  (hình bên phải) đưa kết giống Vì 1 f x

 

 f x

 

 ta chọn luôn A.

STUDY TIP:

Khi sử dụng máy tính cầm tay ta nên ý tập xác định hàm số xem có phải tập đối xứng khơng

Ví dụ 2. Xét tính chẵn lẻ hàm số

sin 2cos

x y

x 

 yf x

 

là

A Hàm số chẵn B Hàm số lẻ

C Không chẵn không lẻ D Vừa chẵn vừa lẻ Lời giải

Cách 1: Tập xác định D . Ta có x D    x D













 

sin sin 2cos 2cos

x x

f x f x

x x

 

   

   Vậy hàm số cho hàm số lẻ.

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

Ta thử phương án máy tính cầm tay, sử dụng CALC để thử trường hợp x x

 .

Với A: Nhập biểu thức hàm số vào hình sử dụng CALC với trường hợp x  (hình 1 bên trái) trường hợp x  (hình bên phải), ta thấy 1 f

 

1  f



1



 hàm số cho hàm số lẻ

STUDY TIP:

Trong toán này, tập xác định D  cosx 0,   x

Ví dụ 3. Xét tính chẵn lẻ hàm số

 

cos sin

4

yf x   x  x  

   , ta đượcyf x

 

là:

A Hàm số chẵn B Hàm số lẻ

C Không chẵn không lẻ D Vừa chẵn vừa lẻ Lời giải

Chọn D. Cách 1:

Ta có









1

cos sin cos sin sin cos

4 2

y  x   x  x x  x x 

    .

Ta có tập xác định D .

Hàm số y 0 vừa thỏa mãn tính chất hàm số chẵn, vừa thỏa mãn tính chất hàm số lẻ, nên hàm số vừa chẵn vừa lẻ

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

STUDY TIP:

Hàm số y 0 vừa hàm số chẵn, vừa hàm số lẻ vừa hàm

Ví dụ 4. Cho hai hàm số

 

2

1

3sin

f x x

x

 

 g x

 

sin 1 x Kết luận sau tính chẵn lẻ hai hàm số này?

A Hai hàm số f x g x

 

;

 

hai hàm số lẻ

B Hàm số f x

 

hàm số chẵn; hàm số f x

 

hàm số lẻ

C Hàm số f x

 

hàm số lẻ; hàm số g x

 

hàm số không chẵn không lẻ

D Cả hai hàm số f x g x

 

;

 

hàm số không chẵn không lẻ Lời giải

Chọn D.

a, Xét hàm số

 

2

1

3sin

f x x

x

 

 có tập xác định D \ 3

 

.

Ta có x 3 D x 3 D nên D tính đối xứng Do ta có kết luận hàm số f x

 

không chẵn không lẻ

b, Xét hàm số g x

 

sin 1 x có tập xác định D  2



1;



Dễ thấy D tập 2

đối xứng nên ta kết luận hàm số g x

 

không chẵn không lẻ Vậy chọn D.

STUDY TIP:

Khi xét tính chẵn lẻ hàm số ta cần ý xét tập xác định để giải tốn cách xác

Ví dụ 5. Xét tính chẵn lẻ hàm số f x

 

sin2007 xcosnx, với n   Hàm số yf x

 

là:

A Hàm số chẵn B Hàm số lẻ

C Không chẵn không lẻ D Vừa chẵn vừa lẻ Lời giải

Chọn C.

Hàm số có tập xác định D .

Ta có f



x



sin2007



x



cos



nx



 sin2007 xcosnxf x

 

Vậy hàm số cho khơng chẵn khơng lẻ

Ví dụ 6. Cho hàm số

 

2004

sin 2004

cos

nx

f x

x  

, với n   Xét biểu thức sau: 1, Hàm số cho xác định D 

2, Đồ thị hàm số cho có trục đối xứng 3, Hàm số cho hàm số chẵn

4, Đồ thị hàm số cho có tâm đối xứng 5, Hàm số cho hàm số lẻ

Số phát biểu sáu phát biểu

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải Chọn B.

Hàm số xác định cosx ,



  x  k k 

Vậy phát biểu 1 sai.

Ở ta cần ý : phát biểu 2; 3; 4; 5; để xác định tính sai ta cần xét tính chẵn lẻ hàm số cho

Ta có tập xác định hàm số \

D    k k 

 

¡ ¢

tập đối xứng













 

2004 2004

sin 2004 sin 2004

cos cos

  

   



n x nx

f x f x

x x

Vậy hàm số cho hàm số chẵn Suy đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy Vậy có phát biểu phát biểu Từ ta chọn B

STUDY TIP

Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua tâm O Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục Oy

Ví dụ 7. Cho hàm số f x

 

xsin x Phát biểu sau hàm số cho?

A. Hàm số cho có tập xác định D ¡ \

 

0

B. Đồ thị hàm số cho có tâm đối xứng

C. Đồ thị hàm số cho có trục xứng

D Hàm số có tập giá trị 1 1; 

Lời giải Chọn B.

Hàm số cho xác định tập D ¡ nên ta loại A

Tiếp theo để xét tính đối xứng đồ thị hàm số ta xét tính chẵn lẻ hàm số cho







  sin







 sin 

 

f x x x x x f x Vậy đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O Vậy ta chọn đáp án B.

STUDY TIP

Với toán ta nên xét B C trước thay xét A, B, C, D

A. m  0 B. m   1 C m  0 D m 2

Lời giải Chọn C.

Cách 1:

TXĐ: D ¡ Suy  x D  x D

Ta có f



 x



3msin4



x



cos 2



x



3msin4xcos x Để hàm số cho hàm chẵn





 

, cos cos ,

4 sin 0, sin40 sin4

          

     

f x f x x D m x x m x x x D

m x x D m

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

Với tốn ta sử dụng máy tính cầm tay để thử giá trị Với A C, ta thử trường hợp để loại hai đáp án lại, tương tự với B D Ở ta sử dụng CALC để thử giá trị x x

Ví dụ: Nhập vào hình bên

Ấn CALC để gán giá trị cho m Ta thử với m  ấn0

Chọn xbất kì, sau làm lại lần gán x cho x ban đầu so sánh

(ở ta thử với x  5 5)

Ta thấy f

 

x f x

 

Vậy C Ta chọn ln C loại phương án cịn lại

DẠNG Xét tính đơn điệu hàm số lượng giác Phương pháp chung:

Ở phần lý thuyết, với hàm số lượng giác bản, ta biết rằng: Hàm số ysin :x

* Đồng biến khoảng

2

2 k ; k ,k

   

     

 

 

¢

* Nghịch biến khoảng

2

2 k ; k ,k

  

    

 

 

¢

2 Hàm số ycos :x

* Đồng biến khoảng



  k2;k2



,k¢

* Nghịch biến khoảng



k2  ; k2



,k¢

3 Hàm số ytanx đồng biến khoảng 2

; ,

k k k

   

     

 

 

¢

4 Hàm số ycotx nghịch biến khoảng



k   ; k



,k¢

Với hàm số lượng giác phức tạp, để xét tính đơn điệu ta sử dụng định nghĩa.

Ví dụ 1. Xét hàm số ysinx đoạn  ; 0 Khẳng định sau đúng?

A. Hàm số đồng biến khoảng

 

 

 

  và

0 2;   



 

 

B. Hàm số cho đồng biến khoảng

 

 

 

  ; nghịch biến khoảng

0 2;   



 

 

C Hàm số cho nghịch biến khoảng

 

 

 

  ; đồng biến khoảng

0 2;   



 

 

D Hàm số nghịch biến khoảng

 

 

 

  và

0 2;   



 

  Lời giải

Chọn A.

Cách 1: Từ lý thuyết hàm số lượng giác ta có hàm số ysinxnghịch biến

trên khoảng

 

 

 

  đồng biến khoảng

0 2;   



 

  Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

Do đề bài, phương án A, B, C, D xuất hai khoảng

 

 

 

 

0 2;   



 

  nên ta dùng máy tính cầm tay chức MODE 7: TABLE để giải toán

Ấn

Lúc từ bảng giá trị hàm số ta thấy hàm số nghịch biến khoảng

 

 

 

  đồng

biến khoảng

0 2;   



 

 

Ví dụ 2. Xét hàm số ycosx đoạn   ;  Khẳng định sau đúng?

A. Hàm số nghịch biến khoảng



 0





0; 



B. Hàm số đồng biến khoảng



 0



và nghịch biến khoảng



0; 



C Hàm số nghịch biến khoảng



 0



và đồng biến khoảng



0; 



D Hàm số đồng biến khoảng



 0





0; 



Lời giải Chọn B.

Theo lý thuyết ta có hàm số ycosx đồng biến khoảng



  k2;k2



,k¢ nghịch biến khoảng



k2  ; k2



,k¢ Từ ta có với k  hàm số 0 ycosx đồng biến khoảng



 0



và nghịch biến khoảng



0; 



Tiếp theo ta đến với hàm số ytan x;n n



¢



, Ta có ví dụ

Ví dụ 3. Xét biến thiên hàm số ytan 2x chu kì tuần hồn Trong kết luận sau, kết

luận đúng?

A. Hàm số cho đồng biến khoảng  



 

  2 ;  

 

 

B. Hàm số cho đồng biến khoảng  



 

  nghịch biến khoảng 2 ;  

 

 

C Hàm số cho đồng biến khoảng

2 ;  

 

 

D Hàm số cho nghịch biến khoảng  



 

  đồng biến khoảng 2 ;  

 

  Lời giải

Tập xác định hàm số cho

\ |

D k k 

 

¡ ¢

Hàm số ytan 2x tuần hoàn với chu kì 2, 

dựa vào phương án A; B; C; D ta xét

tính đơn điệu hàm số

2

; \

     

 

   

Dựa theo kết khảo sát biến thiên hàm số ytanx phần lý thuyết ta suy

với hàm số ytan 2x đồng biến khoảng  



 

  2 ;  

 

  STUDY TIP

Ở ta khơng chọn C hàm số không liên tục

2 ; ,  

 

  hàm số bị gián đoạn x 4

(tức hàm số khơng xác định x 4)

Ví dụ 4. Xét biến thiên hàm số y 1 sinx chu kì tuần hồn Trong kết luận

sau, kết luận sai?

A. Hàm số cho nghịch biến khoảng

0 2;   



 

 

B. Hàm số cho nghịch biến khoảng

2 ;  

 

 

C Hàm số cho đồng biến khoảng ;  



 

 

D Hàm số cho nghịch biến khoảng 2  



 

 

Lời giải Chọn D.

Hàm số cho tuần hoàn với chu kỳ 2 kết hợp với phương án đề ta xét

biến thiên hàm số

3 2;   



 

 

Ta có hàm số ysin :x

* Đồng biến khoảng 2 ;   



 

* Nghịch biến khoảng 2

;

 

 

 

Từ suy hàm số y 1 sin :x

* Nghịch biến khoảng 2 ;   



 

 

* Đồng biến khoảng 2

;

 

 

  Từ ta chọn D.

Dưới đồ thị hàm số y 1 sinx hàm số ysinxtrên ¡

Ví dụ 5. Xét biến thiên hàm số ysinx cos x Trong kết luận sau, kết luận đúng?

A. Hàm số cho đồng biến khoảng

3 4;   



 

 

B. Hàm số cho đồng biến khoảng

4 4;   

 

 

C Hàm số cho có tập giá trị là1 1; 

D Hàm số cho nghịch biến khoảng 4

;

   

 

 

Lời giải Chọn B.

Cách 1:

Ta có

sin cos sin

4 

 

     

 

y x x x

Từ ta loại đáp án C, tập giá trị hàm số 2;

 

 

Hàm số cho tuần hoàn với chu kỳ 2 ta xét biến thiên hàm số đoạn

4 4;   



 

 

* Hàm số đồng biến khoảng 4

;

   

 

 

* Hàm số nghịch biến khoảng 4

;

 

 

  Từ ta chọn A. Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay

Tương tự ví dụ 1, ta sử dụng máy tính cầm tay chức MODE 7: TABLE để giải toán

Ấn

Máy f X 

 

ta nhập sinX cosX Chọn STAR; TEND; STEP

phù hợp ta có kết hình dưới:

Từ bảng giá trị hàm số f x

 

ta thấy x chạy từ 785, 

 

đến 3561, 



giá trị hàm số tăng dần, tức hàm số đồng biến khoảng

3 4;   



 

 

Phân tích thêm: Khi x chạy từ 4 

đến

5 49778

4 ,

 

giá trị hàm số giảm dần, tức

hàm số nghịch biến khoảng 4

;

 

 

 

STUDY TIP

Ta ý có

3

2

4 , 4

   

       

nên ta suy STEP phù hợp Trong

gán STEP  

Ví dụ 6. Chọn câu đúng?

A. Hàm số ytanx luôn tăng

C Hàm số ytanx tăng khoảng



    k ;2 k2



,k¢

D Hàm số ytanx tăng khoảng



k  ; k2



,k¢ Lời giải

Chọn B.

Với A ta thấy hàm số ytanxkhông xác định điểm x  ¡ nên tồn điểm làm cho hàm số bị gián đoạn nên hàm số tăng

Với B ta thấy B hàm số ytanx đồng biến khoảng 2

,

k k k

   

     

 

 

¢

Từ loại C D

Ví dụ 7. Xét hai mệnh đề sau:

(I)

3

x ;

2 

 

   

  : Hàm số

1 y

s inx 

giảm

(II)

3

x ;

2 

 

   

  : Hàm số

1 y

cos x 

giảm Mệnh đề hai mệnh đề là:

A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Cả sai D. Cả Lời giải

Chọn B. Cách 1:

Như toán xét xem hàm số tăng hay giảm Ta lấy

3

x x ;

2 

 

   

 

Lúc ta có

 

2

 

1

2 `

1

f x f x

sinx sinx

  

1

sinx sinx sinx sinx



Ta thấy

3

x x ;

2 

 

   

 

sinx

1



sinx

2



sinx sinx

1





0

1

0 sinx





sinx

1

1

sinx sinx sinx sinx



 

 

1

 

2

f x f x

 

Vậy

1 y

s inx 

Tương tự ta có

1 y

cos x 

hàm giảm Vậy I sai, II Cách 2:

Sử dụng lệnh TABLE để xét xem hàm số tăng hay giảm máy tính

Với hàm

s inx ta nhập MODE 7: TABLE ( )

Nhập hàm f x

 

hình bên:

START?  ; END?

3



STEP? 10



Của hàm số

1 s inx

y 

hình bên Ta thấy giá trị hàm số tăng dần x chạy từ  đến

2



Nên ta kết luận

3 ;

2

 

 

 

  hàm số

1 s inx

y 

tăng Tương tự với II kết luận

Ví dụ 8. Khẳng định sau ?

A ytan x đồng biến

; 2  

 



 

 

B ytanx là hàm số chẵn

D R \ k | k Z

2 

 

     

  .

C ytanx có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ

D ytanx nghịch biến

; 2  

 



 

 

Lời giải Chọn B.

MODE



Ta đồ thị hình vẽ Ta thấy hàm số ytanx nghịch biến

;0 

 



 

  đồng

biến

0; 

 

 

  Nên ta loại A D.

Với B ta có f



x



tan



x



tan x f x

 



hàm số ytan x hàm số chẵn Với C ta thấy đồ thị hàm số cho không đối xứng qua gốc tọa độ, từ ta chọn B

STUDY TIP

Ta suy diễn đồ thị hàm hàm số yf x

 

từ đồ thị hàm số y f x

 

từ suy khoảng đơn điệu hàm số yf x

 

- Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y f x

 

nằm phía trục Ox - Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y f x

 

phía trục Ox qua Ox - Hợp hai phần ta đồ thị hàm số yf x

 

STUDY TIP

Với tốn ta khơng suy diễn đồ thị mà làm theo hướng tư sau:

- Với A: ytan x không xác định x  

nên đồng biến

; 2  

 



 

 

- Từ B suy C;D sai

DẠNG Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số lượng giác. *Các kiến thức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

Cho hàm số y f x

 

xác định miền DR

1 Số thực M gọi giá trị lớn hàm số y f x

 

D

 





0

f x M, x D

x D,f x M

   

  

2 Số thực N gọi giá trị nhỏ hàm số y f x

 

trên D

 





0

f x m, x D x D, f x m

   

  

 Một số kiến thức ta sử dụng tốn này:

1 Tính bị chặn hàm số lượng giác

2 Điều kiện có nghiệm phương trình bậc sin

cos

Bảng biến thiên hàm số lượng giác

4 Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số:

10

2017 cos(8 ) 2016 2017

y x  

A miny 1; maxy 4033. B miny 1; maxy 4033. C.miny 1; maxy 4022. D miny1; maxy4022

Phân tích Ta có bước để giải toán sau: Bước 1: Chỉ f x

 

M, x D. 

Bước : Chỉ

x

0



D

cho f x

 

0 M

Kết luận : max f xD

 

M

Tương tự với tìm giá trị nhỏ hàm số Lời giải Chọn B.

Cách 1: Hàm số xác định R Ta có

10

1 cos 8x 1, R

2017 

 

     

 

10

2017 2017 cos 8x 2016 4033, R

2017 

 

        

 

10

1 2017 cos 8x 2016 4033, R

2017 

 

        

 

Ta có y1

10

cos 8x

2017 

 

 

 

  ; y4033

10

cos 8x

2017 

 

 

 

 

Vậy miny 1;maxy 4033 Cách 2: sử dụng máy tính cầm tay.

Trong bốn phương án có hai giá trị max 4022;4033 Chỉ có hai giá trị 1;-1

Lúc ta sử dụng chức SHIFT CALC để thử giá trị:

Ví dụ ta nhập vào hình

10

2017 cos 8x 2016 4033

2017 

 

  

 

  ta thấy phương trình có

nghiệm

Tương tự nhập

10

2017 cos 8x 2016

2017 

 

  

 

STUDY TIP

Trong toán ta chọn thử hai giá trị 4033 giá trị lớn 1 giá trị nhỏ

nên ta thử trước Nếu phương trình khơng có nghiệm trường hợp cịn lại

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y2cos2x sin x cosx1

A miny 0; maxy 4 B miny  1 3; maxy 3  C miny 4;maxy 0. D miny  1 3;maxy 3  3

Lời giải Chọn A.

Để sử dụng tính bị chặn hàm số STUDY TIP ta đưa trên, ta đưa

2 cos sin x cos

y x x theo sin u x

 

cosu x

 

Ta có y2 cos2x sin x cosx1 2cos2x 1 sin 2x 2 cos 2x sin 2x2 *

 

1

2 cos sin 2

2 x x

 

   

  2cos 2x



 

   

 

Mặt khác

1 cos 2 4,

x  x R

 

       

   0   y 4, x R

Ta có tốn tổng qt:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y a sinu b cosu R Với 2

, b R;a

a  b 

Lời giải tổng quát

s inu+bcosu

y a

2 2 sin 2 cos

a b

y u u a b

a b a b

 

    

 

 

Vì

2

2 2

a b

1

a b a b

   

 

   

   

 

       R cho 2

a cos

a b

 

 2

b sin

a b

  





2

y a b sin u.cos cos u.sin

       y a2 b sin u2



 



Vì  1 sin u



  



  a2 b2  y a2 b2 Ngoài ta mở rộng tốn sau:

 

 

y a sin f x   b cos f x  c

Ta có  a2 b2   c y a2 b2  c

Từ toán tổng qt ta giải nhanh tốn ví dụ từ dịng (*) sau: Ta có

1 y

        0 y 4

STUDY TIP

Ngồi cách nhớ cơng thức tốn tổng qt phía bên phải ta nhớ theo điều kiện có nghiệm phương trình bậc theo sin cos sau:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y a sin f x

 

bcos f x

 

 c

 

 

sin cos

a  f x  b  f x   c y

điều kiện có nghiệm





2

a b  c y

Từ ta tìm min, max y

Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số

s inx cos cos

x y

x

 



A

2

min ; maxy

y  

B

2

min ; maxy

y  

B

1

min ; maxy

2

y  

D

1

min ; maxy

2

y  

Lời giải Chọn B.

Cách 1: Ta có cosx 2 0, x R

s inx cos cos

x y

x

 



  s inx 2cos x 3 2y y cosx  sinx



2 y



cosx 3 2y

Ta sử dụng điều kiện STUDY TIP tổng quát

Ta có









2

2

1  2 y  2 y 4y2 12y 9 y2 4y 4 0

        3y2 8y 4

2

2 y

  

Cách : sử dụng máy tính cầm tay

Tương tự ví dụ ta sử dụng SHIFT SOLVE:

sinx 2cos x 2 cos x

 





phương trình có nghiệm Do số lớn phương án A;B;C;D nên ta không cần

thử trường hợp

3 max

2 

Lúc A B Thử với

2 y

3 

khơng có nghiệm Từ chọn B

STUDY TIP

Nếu hàm số có dạng

1 1

2 2

a s inx b cos x c y

a s inx b cos x c

 



  ta tìm miền xác định hàm số quy đồng mẫu số, đưa dạng phương trình STUDY TIP phía tiếp tực lời giải

Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y4sinx  cos x

A miny 1;maxy 1 B miny 0; maxy 1

C miny 1; maxy 0 D miny 1; maxy không tồn Lời giải

Chọn B.

Cách : Ta có

0 sinx cos x

  



 



4

0 sinx 1 cos x

  

 

  

    1 y 1

Vậy



sinx

cos x 0  x k2 ;k Z

Cách : sử dụng máy tính cầm tay

STUDY TIP

Nhiều độc giả không lưu ý đổi dấu bpt thứ hai hệ nhân vế với 1 dẫn đến chọn

đáp án sai

C miny 4 D Không tồn GTLN Lời giải

Chọn B.





























2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

2

cot cot 2cot cot tan tan cot cot cot cot tan tan

cot cot cot cot tan tan cot cotb.tan tan cot cot cot cot tan tan 6

P a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b a a b

a b a b a b

    

     

     

     

Dấu xảy

2

2

2

cot cot cot

cot cot tan tan cot

a

a b

a b a b b

 

  



 

  

 

, ( )

k

a b   k

    Z

STUDY TIP:

Với tốn tìm GTLN – GTNN hàm lượng giác ta đưa dạng 2( )

yA x B B Nhưng cần lưu ý xem dấu có xãy hay khơng.

Tiếp theo ta có ví dụ câu hỏi khác cho ví dụ sau

Ví dụ 6. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y2cos2 x sin cosx x1 đoạn

7 0,

12



 

 

 

lần lượt

A

7

0, 0,

12 12

miny 2;maxy

 

   

   

   

 

B

7

0, 0,

12 12

miny 0;maxy

 

   

   

   

 

C

7

0, 0,

12 12

miny 0;maxy

 

   

   

   

 

D

7

0, 0,

12 12

miny 0; maxy

 

   

   

   

 

Lời giải

Chọn B.

Từ ví dụ ta có

2 cos 2

y  x

  Đặt u 2x



 

Từ đề ta xét

7

0; ;

12

x   u 

   

Ta lập BBT hàm số y2cosu2

3 ;

 

 

 

Từ bảng biến thiên ta thấy ;

min (u)

3

f u x

 

 

     

   

3 ;

max (u)

3

f u x

 

  

   

   

Hay

7

0; 0;

12 12

min y 0; maxy

 

   

   

   

 

STUDY TIP:

Với tốn tìm min, max hàm số lượng giác đoạn ta thường phải xét nhanh BBT để giải tốn Ở chương trình 11 ta chưa học đạo hàm nên chưa giải tốn tìm GTLN – GTNN hàm số sử dụng đạo hàm Sau học xong đạo hàm ta giải tốn nhanh chóng

Ví dụ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số ysin2 x sinx

A

7

min ; max 4

y y

B

7

min ;max

y y

C miny1; maxy1 D

1

min ;max 2

y y

Lời giải

Chọn A.

Đặt sinx u u ;  



1;1



Xét hàm số: y u  u



1;1



Ta có:





1

1;1 2

b a



  

Từ có bảng biến thiên

Ta kết luận:  1;1

 

7

4

f u

Hay

7

min sin

4

y  x

maxy 4 sinx1

Ngồi phương pháp giải tốn tìm GTLN – GTNN hàm số lượng giác ta rút ra từ ví dụ ta cịn phương pháp sử dụng bất đẳng thức Phương pháp được coi phương pháp khó địi hỏi tính sang tạo kĩ thuật việc sử dụng bất đẳng thức.

Một số bất đẳng thức ta thường dung: 1.Bất đẳng thức AM – GM.

a Với hai số:

Cho hai số thực a b, hai số dương, ta có a b

ab

 

dấu xảy a b b Với n số:

Cho hai số thực x x x1; ; ; ;2 x số dương n n N *, ta có

1

1

n n

n

x x x x

x x x x n

    

dấu xảy x1x2 x3   xn 2 Bất đẳng thức Bunyakovsky

a Bất đẳng thuwcsBunyakovsky dạng thông thường



a2b2

 

c2d2







ac bd



2

Dấu xảy a b c d b Bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai số

Với hai số



a a1; ; ;2 an



và



b b1; ; ;2 bn



ta có



a12a22  an2

 

b12b22  bn2







a b1 1a b2 2 a bn n



2

STUDY TIP

Ta sử dụng tính chất tam thức bậc hai để giải tốn tìm max hàm lượng giác sau:

Cho hàm số y ax 2bx c

+ Nếu a  0

4

ax bx c a

    

dấu xảy b x

a



+ Nếu a  0

4

ax bx c a

    

dấu xảy b x

a



+ Nếu hàm số cho hàm bậc hai mà điều kiện x R  ta phải lập BBT để tìm max

Dấu xẩy

1

1

n n a a a

b b  b với quy ước số b đói



i 1, 2,3



a tương đương i

c Hệ bất đẳng thức Bunyakopvsky ta có



 



2 2 4

Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn hàm số

2

1

1 os 2sin

2

y  c x  x

A

5

2 

B

22

2 . C

11

2 . D 1 5. Đáp án B

Lời giải Chọn B.

Ta có

2 2

1 1

1 os 2sin os sin

2 2

y  c x  x  y  c x  x

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky cho số: 1; 1;

2

1 os

2c x 

;

2

sin

4 2 x ta có:

2 2 2

1 1 22

1 os sin 1 os sin

2c x x 2c x x 2.1

          

Hay

22

y 

Dấu xảy

2

1

1 os sin ,

2c x x x k k

 

       

STUDY TIP

Trong tốn ta nhanh chóng nhận sử dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky có sin x2 cos2x Ta cân hệ số sin x2 cos2x để áp dụng tính chất sin2 x c os2x1 Áp dụng Bunyakopvsky vế phải số, từ giải

được tốn

Ví dụ 9. Cho hàm số

1

2 cos cos

y

x x

 

  với

0;

x   

  Kết luận sau đúng?

A 0;2

3 y       



x k k, 



   

T B 0;2

2

3 y       



x 



C 0;2

3 y       



x k2 ,k 



   

D 0;2

3 y       



x 



. Lời giải

Chọn D.

Cách 1: Ta thấy 2 cos x0, x R

1 cos 0, 0;

x x   

     

  Suy

2 cos x và

1 cos x hai số dương Áp dụng vất đẳng thức AM- GM cho hai số dương ta có



 



1

Mặt khác tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có



 





 



2 cos cos cos cos

2

2

3 cos cos

x x

x x

y

x x

  

   

  

 

STUDY TIP

Trong toán ta nhanh chóng nhận sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta thấy mẫu số hai phân thức cộng lại số, nên ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM

Ta giải tốn theo hướng khác sử dụng bất đẳng thức cộng mẫu

Với x y, hai số thực dương ta có

1

x y x y dấu xảy xy

Vậy 0;2

3 y       



, dấu bàng xảy

1 cos

2

x  x

0;

x   

 .

Cách 2: Để ý đề hỏi tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng

0;



     .

Trên hai ví dụ sử dụng bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN hàm số lượng giác mà khơng có liên hệ cho trước Ví dụ 10 ví dụ khó sử dụng bất đẳng thức kết hợp với lượng giác để giải

Ví dụ 10.Cho x y z , , x y z



  

Tìm giá trị lớn

1 tan tan tan tan tan tan

y  x y   y z   z x

A ymax  1 2. B ymax 3 3. C ymax  4. D ymax 2 3. Lời giải

Chọn D.

Ta có x y z x y z tan



x y



tan z

   

            

 

tan tan

1 tan tan tan

x y

x y z



 



tan tanx z tan tany z tan tanx y

     tan tanx ztan tany ztan tanx y1

Ta thấy tan tan ; tan tan ; tan tanx z y z x y xuất hàm số đề cho căn thức, tương tự ví dụ 8, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho số ta có: 1 tan tan x y1 tan tan y z 1 tan tan z x 

2 2 1.tan tan 1.tan ta

1 1 x z y nz1.tan tanx y

   



tan tan tan tan tan tan



3 x z y z x y

  

Vậy ymax 2  Đọc thêm

DẠNG 5: Dạng đồ thị hàm số lượng giác

Lý thuyết bản:Sau ta bổ sung số kiến thức lý thuyết để giải toán nhận dạng đồ thị hàm số lượng giác cách hiệu

Sơ đồ biến đổi đồ thị hàm số bản:

Các kiến thức liên quan đến suy diễn đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối: Cho hàm số yf x

 

Từ đồ thị hàm số yf x

 

ta suy diễn:

Đồ thị hàm số y f x

 

gồm *Phần từ trục hoành trở lên đồ thị

 

yf x

*Đối xứng phần đồ thị hàm số

 

yf x

phía trục hồnh qua trục hồnh

Đồ thị hàm số yf x

 

gồm *Phần đồ thị hàm số yf x

 

nằm bên phải trục Oy

*Đối xứng phần đồ thị qua trục Oy Đồ thị hàm số yu x v x

   

với

 

   

f x u x v x gồm

*Phần đồ thị hàm số yf x

 

miền thỏa mãn u x 

 

Ở phần lý thuyết có đưa phần đọc thêm hàm số y a sin(x b ) vớic

; ; ; ;

a b c  a 

Hàm số y a sin



x b



c a b c,( , , ,R a,  0) hàm tuần hồn với chu kì 2

 đồ thị đường hình sin

Tương tự hàm số y a cos(x b a b c ),( , , ,,a0) hàm tuần hồn với chu kì

2

 đồ thị đường hình sin Ta có ví dụ sau:

Ví dụ 11.Hình biểu diễn đồ thị hàm số yf x( ) 2sin ? x

A. B.

C. D.

Lời giải Chọn C.

Ta thấy 2sin 2  x nên ta có loại A B.2 Tiếp theo với C D ta có:

Từ phần lý thuyết ta có hàm số tuần hồn với chu kì

  

Ta thấy với x  0 y  nên đồ thị hàm số qua gốc tọa độ Từ ta chọn đáp án C.0

Ví dụ 11.Hình vẽ sau biểu diễn đồ thị hàm số cos ?2

A. B.

C. D.

Lời giải Chọn D

Ta thấy cos2 x

  

nên ta loại B

Tiếp theo ta có hàm số cos2 x y 

có chu kì tuần hồn

2

4

T    

Ta thấy với x  0 cos2 cos0 x

y   

nên ta chọn D

Ví dụ 12.Cho đồ thị hàm số ycosx hình vẽ :

Hình vẽ sau đồ thị hàm số ycosx2?

A. B.

C D

Ta thực phép tịnh tiến đồ thị hàm số ycosx trục Oy lên đơn vị (xem lại sơ đồ biến đổi đồ thị bên trên)

Ví dụ 13.Cho đồ thị hàm số ysinx hình vẽ:

Hình sau đồ thị hàm số ysin ?x

A B

C. D

Lời giải Chọn C

Suy diễn đồ thị hàm số ysin | |x từ đồ thị hàm số ysin :x

Giữ nguyên phần đồ thị hàm số ysinx nằm bên phải trục Oy

Lấy đối xứng phần đồ thị qua trục Oy

Dưới đồ thị ta thu sau thực bước suy diễn Phần đồ thị nét đứt phần bỏ đồ thị hàm số ysin x

STUDY TIP

trục Oy.Tiếp theo ta tìm giá trị số điểm đặc biệt chọn C

Ví dụ 14.Hình sau đồ thị hàm số ysin ?x

A B

C D

Lời giải Chọn B.

Cách 1: Suy diễn đồ thị hàm số y| sin |x từ đồ thị hàm số ysin :x

Giữ nguyên phần tử từ trục hoành trở lên đồ thị ysin x

Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số ysinx phía trục hồnh qua trục hồnh

Cách 2: Ta thấy | sin | 0,x  x nên đồ thị hàm số y| sin |x hoàn toàn nằm trục Ox Từ ta chọn B.

C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

DẠNG TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ

Câu 1. Tìm tập xác định hàm số

1 cos sin

x y

x

 

C. D R \



k2 | k Z



D. D R k \



| k Z



Câu 2. Tập xác định hàm số ysin 5xtan 2x là:

A.

\ ,

2

R  k k Z

  B. \ ,

k

R    k Z

 

C. R\ 2



k ,



k Z



 

 

 

  D. R

Câu 3. Tập xác định D hàm số

3 cos tan

1 sin x

y x

x 

 

 là

A.

\ |

2

R  k  k Z 

  B. R\ k |k Z

 

 

 

 

 

C.

\ |

2

k

R    k Z 

  D. \ |

k

R   k Z 

 

Câu 4. Tập xác định hàm số

tan

y  x    là

A. R\ k |k Z

 

 

 

 

  B. R\ k |k Z

 

 

 

 

 

C.

\ |

12

R  k k Z 

  D. \ 12 |

k

R    k Z 

 

Câu 5. Xét bốn mệnh đề sau

(1) Hàm số ysinx có tập xác định R (2) Hàm số ycosx có tập xác định R

(3) Hàm số ytanx có tập xác định R k\



|k Z



(4) Hàm số ycotx có tập xác định R\ k |k Z 

 



 

 

Số mệnh đề

A. B.

C. D.

Câu 6. Tập xác định hàm số ycos x

A. D



0;2 



B. D 



0;



Câu 7. Tập xác định hàm số

1

sin cos

y

x x

 

A. R k\



|k Z



B. R k\



| k Z



C. R\ k |k Z

 

 

  

 

  D. R\ k 2|k Z



 



 

 

Câu 8. Tìm tập xác định hàm số y3tanx2 cotx x

A.

\ |

2

D R  k k Z 

  B. D R\ k 2|k Z



 

   

 

C.

\ |

4

D R  k k Z 

  D. D R

Câu 9. Tìm tập xác định hàm số 2

1

sin cos

y

x x

 

A.

\ |

2

R  k k Z 

  B. R\ k 2|k Z



 



 

 

C. R D.

\ |

4

R  k k Z 

 

Câu 10. Tìm tập xác định hàm số 2

2017 tan sin cos

x y

x x

 

A.

\ |

2

R  k k Z 

  B. R\



     

C. R D.

\ |

4

R  k k Z 

 

Câu 11. Tập xác định hàm số

sin sin cos

x y

x x

 

A.

\ |

4

D R   k k Z 

  B. D R\ k 4|k Z



 

   

 

C.

\ ; |

4

D R  k  k k Z 

  D. D R\ k |k Z

 

 

    

 

sin

A.

\ |

4

D R   k  k Z 

  B. D R\ k 4|k Z



 

   

 

C.

\ ; |

4

D R  k  k k Z 

  D. D R\ k |k Z

 

 

    

 

Câu 13. Tập xác định hàm số y sin 2x1

A. D R k \



|k Z



B. D R

C.

\ ; |

4

D R  k  k k Z 

  D. D R\ k2 |k Z

 

 

    

 

Câu 14. Tìm tập xác định hàm số

tan

15 14cos13

x y

x 



A. DR\



k |kZ



B. DR

C.

\ |

2

DR  k kZ

  D. D R\ k |k Z

 

 

    

 .

Câu 15. Tìm tập xác định hàm số:

cot

2017 2016sin 2015

x y

x 



A. DR\



k |kZ



B. DR.

C.

\ |

2

DR  k kZ

  D. D R\ k |k Z



 

   

 

Câu 16. Tìm tập xác định hàm số:

20 19cos18 sinx

x

y 



A. DR\



k |kZ



B. DR\



k2 | kZ



C D R\ k2 |k Z

 

 

    

  D. D R\ k |k Z



 

   

 

Câu 17. Hàm số sau có tập xác định R?

A. y2cos x B.

1 cos y

x 

C.

tan sin

x y

x 

 D.

sin cos

x y

x  

 .

A. ytanx B.

sin cos cos

x x

y

x  

C.

tan 2017 2018 cos

x y

x  

D

1 sin y

x 



Câu 19. Hàm số y cosx 1 cos  x xác định khi:

A. x k k, Z

 

  

B. x  0

C. x k k Z ,  D. x k , k Z

Câu 20. Hàm số y sin 2 x  sin 2 x có tập xác định là:

A.  B. R

C. k2 ;3 k2 ,k Z

 

 

 

  

 

  . D.

5 13

2 ; ,

6 k k k Z

 

 

 

  

 

 

Câu 21. Chọn khẳng định đúng:

A. Hàm số y sinxcó tập xác định đoạn

2 ; ,

2 k k k Z

 

 

 

   

 

  .

B Hàm số y cosxcó tập xác định đoạn



k2 ;  k2 ,



kZ

C Hàm số y sinx cosx có tập xác định đoạn

2 ; ,

k   k  k Z

 

 

 

  .

D Hàm số

1 sin y

x 

có tập xác định đoạn

2 ; ,

k   k  k Z

 

 

 

  .

Câu 22. Xét hai mệnh đề:

(I): Các hàm số

1 sin y

x 

y cotxcó chung tập xác định R\



x x| k,kZ



(II): Các hàm số

1 cos y

x 

ytanx có chung tập xác định

\ | ,

2

R x x  k k Z

 .

A. Chỉ (I) B. Chỉ (II) C. Cả hai sai D. Cả hai

Câu 23. Cho hàm số yf x( ) sinx cosx với 0 x 2 Tập xác định hàm số là:



0;



3 ; 2

 

 

  0;2



 

  0;2



Câu 24. Cho hàm số





tan

( ) ,

tan x

y f x x

x 



   

 Tập xác định:

A. 0;     

 . B. 2;

 

 

 

  C.



0;



\

    

  D.



0;



\ 2;

    

 .

Câu 25. Tập xác định hàm số

2

3tan

2

x y    

  là:

A. R B. R\ k k Z,

         . C.

\ ,

2

R   k  kZ

  D. R\ k2 ,k Z

         .

Câu 26. Tập xác định hàm số y cot 2x



 

   

  là:

A.

2

\ ,

3

k

R     kZ

  . B R\ k k Z,

         . C.

\ ,

6

R  k  kZ

  . D

5

\ ,

12

k

R     k Z 

 .

Câu 27. Cho hàm số

cos tan x y x 

 Hãy khoảng mà hàm số không xác định (k Z )

A

3

2 ;

2 k k

 

 

 

 

 

 . B k2 ;2 k2

            . C. 3

2 ;

4 k k

 

 

 

 

 

  . D.

3

2 ;

2

k  k

  

 

 

 

  .

Câu 28. Xét hai câu sau:

(I): Các hàm số ysinx y cosxcó chung tập xác định R (II): Các hàm số ytanx y cotx có chung tập xác định





\ | | ,

2

R x x  k x x k   kZ

 

  .

A. Chỉ (I) B. Chỉ (II) C. Cả hai sai D. Cả hai

Câu 29. Tập xác định hàm số

cos3 cos cos cos

3

x y

x x   x



   

 

   

A.

5

\ ; k ; k ,

6 6

k

R          kZ

  . B

5

\ ; ,

6

R   k  k k Z  

 .

C

5

\ k ; ; ,

2 6

R     k  k k Z

 . D

5

\ ; ,

2

k

R  k    k Z 

 .

Câu 30. Tập xác định hàm số

2 5sin cos ( )

12sinx cos

x x

f x

x

 

 

là:

A DR\



k2 | kZ



B.

\ |

k

D R   k Z 

  .

C DR\ k |



 kZ



D

\ |

2

D R   k k Z 

 .

Câu 31. Tập xác định hàm số

1 cos 2sin

x x



 là:

A

7

\ ; k |

6

DR   k     kZ

 . B.

7

\ |

6

D R   k k Z 

  .

C.

\ k |

6

DR     kZ

  . D.

7

\ ; |

6

D R   k  k k Z 

  .

Câu 32. Tập xác định hàm số

5 3cos

1 sin 2

x x 



 

      là:

A. DR\



k |kZ



B. DR

C.

\ |

k

DR   kZ

 . D. DR\



k2 | kZ



.

Câu 33. Tập xác định hàm số

1 cos cot

6 cos

x

y x

x

 

 

    

  là:

A.

\ |

6

DR   k  kZ

  B.

7

\ , k |

DR   k  kZ

 .

C. DR\ k |



 kZ



D.

\ |

6

DR   k kZ

 .

Câu 34. Tập xác định hàm số

1 sin

tan

y x

x

  

 là:

A.

\ ; k |

4

DR   k    kZ

  B. \ |

k

DR   kZ

C.

\ k |

4

DR    kZ

  D. D R\ k |k Z

 

 

    

 .

Câu 35. Hàm số

1 tan cot

x y

x 

 

   

 



 có tập xác định là:

A.

\ , k |

6

DR  k  kZ

 . B. D R\ 12 k , k |k Z

 



 

    

 

C.

\ k ;k | 12

DR     kZ

  D. D R\ 12 k 2; k |k Z

 



 

    

 .

Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ hàm số lượng giác

Câu 36. Hàm số sau hàm số chẵn?

A. y2cosx B. y 2sinx C. y2sin( ) x D. ysinx cosx

Câu 37. Hàm số sau hàm số lẻ?

A. y2cosx B. y 2sinx C. y 2sin2 x D. y2cosx

Câu 38. Hàm số ysin cosx 2xtanx là:

A. Hàm số chẵn B. Hàm số lẻ

C. Vừa chẵn vừa lẻ D. Không chẵn không lẻ

Câu 39. Xét tính chẳn lẻ hàm số

2 sin

1 cos 3x x y 

 ta kết luận hàm số cho là:

A. Hàm số chẵn B. Hàm số lẻ

C. Vừa chẵn vừa lẻ D. Không chẵn không lẻ

Câu 40. Xét câu sau:

I.Hàm số ysinx sinxlà hàm số lẻ

II.Hàm số y cosx cosxlà hàm số chẵn

III.Hàm số y sinx cosxlà hàm số lẻ Trong câu trên, câu đúng?

Câu 41. Hãy hàm số hàm số lẻ:

A. y sinx B. ysin2 x

C.

cot cos x y

x 

D.

tan sin x y

x 

Câu 42. Hàm số

tan sin

x y

x 

có tính chất sau đây?

A. Hàm số chẵn B.Hàm số lẻ

C. Hàm không chẵn không lẻ D. Tập xác định DR

Câu 43. Hãy hàm số khơng có tính chẵn lẻ

A. y sinx tanx B.

1 tan

sin

y x

x

 

C.

2 sin

y x  

 . D. ycos4 x sin4 x.

Câu 44. Hàm số có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?

A. y sin x



 

   

  B. 2013

1 sin y

x 

C.

cos

y x  

  D. y  sin 2012 x .

Câu 45. Hàm số có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng?

A. ysin 2017x B.

1 sin y

x 

C. y  cosx D. y sin 2x

Câu 46. Hãy hàm hàm số chẵn:

A. ysin2016 x.cosx B.

cot

tan

x y

x 



C. y sinx.cos x D. ycos sinx 3x

Câu 47. Xét hai mệnh đề:

Câu 48. Xét hai mệnh đề:

(I)Hàm số yf x( ) tanx cosx  hàm số lẻ (II) Hàm số yf x( ) tanx sinx  hàm số lẻ Trong câu trên, câu đúng?

A. Chỉ (I) B. Chỉ (II) C. Cả hai D. Cả hai sai

Câu 49. Hàm số y  1 sin2 xlà:

A. Hàm số chẵn B.Hàm số lẻ

C. Hàm không chẵn không lẻ D.Hàm số khơng tuần hồn

Câu 50. Hàm số sau hàm số chẵn?

A. ysin 2x B. y x.cosx

C. ycos cotx x D.

tanx sin

y

x



Câu 51. Hàm số sau hàm số chẵn?

A. ysin x B. y x2.sinx

C. cos

x y

x



D. y x sinx

Câu 52. Hàm số sau hàm số lẻ?

A.

1

sin cos x

y x

B. y2cos 2x

C. sin

x y

x 

D. y 1 tanx

Câu 53. Khẳng định sau sai?

A. y sinx có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ B. ycosxcó đồ thị đối xứng qua trục Oy

C. y tanx có đồ thị đối xứng qua trục Oy D.ycotx có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ

Câu 54. Cho hàm số y cosx xét

; 2

 

 



 

  Khẳng định sau đúng?

A. Hàm không chẳn không lẻ B. Hàm lẻ

C. Hàm chẳn D. Có đồ thị đối xứng qua trục hồnh

Câu 55. Tìm kết luận sai:

B. Hàm số

sin cosx tan cot

x y

x x



 là hàm lẻ

C. Hàm số

sin tan sin cot

x x

y

x x

 

 là hàm chẵn.

D. Hàm số ycos3 xsin3xlà hàm số không chẵn không lẻ

Câu 56. Nhận xét sau sai?

A Đồ thị hàm số

sin tan 2sin 3cot

x x

y

x x

 

 nhận trục Oy làm trục đối xứng.

B Đồ thị hàm số

2 sin tan

x y

x x



 nhận góc tọa độ làm tâm đối xứng.

C Đồ thị hàm số





2008

sin 2009

, cos

n x

y n Z

x 

 

nhận trục Oy làm trục đối xứng.

D Đồ thị hàm số ysin2009 xcosnx n Z,







nhật góc tọa độ làm tâm đối xứng

Câu 57. Đồ thị hàm số có trục đối xứng

A.

2008

cos 2003

2012sin n x y

x  

B. ytanxcotx

C.

cos

6 15

x y

x x x



   . D.

1 2sin y

x 



Câu 58. Cho hàm số

2

cos cot sin

x x

y

x

  

Hàm số hàm số

A. Hàm lẻ B. Hàm khơng tuần hồn

C. Hàm chẳn D. Hàm không chẳn không lẻ

Câu 59. Hàm số

cos sin

y x x    là

A. Hàm lẻ B. Hàm không tuần hồn

C. Hàm chẳn D. Hàm khơng chẳn không lẻ

Câu 60. Xác định tĩnh chẳn lẻ hàm số: y 1 2x2  cos3 x

A. Hàm lẻ B. Hàm khơng tuần hồn

C. Hàm chẳn D. Hàm không chẳn không lẻ

Câu 61. Trong khoảng

0;



   

 , hàm số y sinx cosxlà hàm số:

A. Đồng biến B. Nghịch biến

C. Không đổi D. Vừa đồng biến vừa nghịch biến

Câu 62. Hàm số ysin 2xnghịch biến khoảng sau



kZ



?

A.



k2 ; k2



B.

3 ; k k

 

 

 

 

 

 .

C.

3

2 ;

2 k k

 

 

 

 

 

 . D. k ;4 k

 

 

 

  

 

 .

Câu 63. Hàm số ycos 2xnghịch biến khoảng



kZ



?

A.

;

k  k

 



 

 . B. k ; k



  

 

 

 

 .

C.

2 ; 2 k k

 

 

 

  

 

 . D.

3

2 ;

2 k k

 

 

 

 

 

 .

Câu 64. Xét mệnh đề sau:

(I):

3 ;

2

x   

   

 :Hàm số

1 sin y

x 

giảm

(II):

3 ;

2

x   

   

 :Hàm số

1 cos y

x 

giảm Hãy chọn mệnh đề mệnh đề trên:

A. Chỉ (I) B. Chỉ (II) C. Cả hai D. Cả hai sai

Câu 65. Cho hàm số

4sin cos sin

6

y x  x   x

    Kết luận sau biến

thiên hàm số cho?

A. Hàm số cho đồng biến khoảng

0;



     

3 ;

 

 

 

 .

B Hàm số cho đồng biến



0;



C. Hàm số cho nghịch biến khoảng

3 0;

4



 

 

 

D. Hàm số cho đồng biến khoảng

0;



   

  nghịch biến khoảng 4;

 

 

 

 .

A. Hàm số ytan 2xtuần hoàn với chu kỳ T  

B Hàm số ytan 2xluôn dống biến khoảng

;

2 2

k k

   

 

  

 

 .

C. Hàm số ytan 2xnhận đường thẳng k x  

là đường tiệm cận

D. Hàm số ytan 2x hàm số lẻ

Câu 67. Để hàm số ysinxcosx tăng, ta chọn x thuộc khoảng nào?

A.

3

2 ;

4 k k

 

 

 

  

 

  B.

3

; k k

 

 

 

  

 

 

C.

2 ; 2 k k

 

 

 

  

 

  D.



 k ;2 k 2



Câu 68. Xét hai mệnh đề sau:

(I):

; 2

x   

   

 :Hàm số ytan2 x tăng.

(II):

; 2

x    

   

 :Hàm số ysin2 x tăng.

Hãy chọn mệnh đề mệnh đề trên:

A. Chỉ (I) B. Chỉ (II) C. Cả hai D. Cả hai sai

Câu 69. Hãy chọn câu sai: Trong khoảng

2 ; ,

2 k k k Z



  

 

  

 

  thì:

A. Hàm số ysinxlà hàm số nghịch biến

B Hàm số ycosxlà hàm số nghịch biến

C Hàm số ytanxlà hàm số đồng biến

D. Hàm số ycotxlà hàm số đồng biến

Câu 70. Bảng biến thiên hàm số yf x( ) cos 2 xtrên đoạn

3 ; 2

 

 



 

  là:

C. D.

Câu 71. Cho hàm số cos2

x y 

Bảng biến thiên hàm số đoạn



 ;



là:

A. B

C. D.

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 72. Giá trị nhỏ lớn hàm số y4 cos x là:

A. B.  C. D. 

Câu 73. Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y cos 2x  2là:

A. 1 B. 1 1 C. 2 1 D. 1 1

Câu 74. Cho hàm số

sin

4

y x 

  Giá trị lớn hàm số là:

A. 1. B. C.1. D. 4



Câu 75. Giá trị lớn hàm số ysin6 xcos6 x là:

A.

2

2 . B. 1. C. D. 2

Câu 76. Giá trị nhỏ hàm số

sin cos

x y

x  

 là:

A.

1

2 B.

2 

C.

2 

D.

Câu 77. Giá trị lớn hàm số là:

cos 2sin cosx sinx

x x

y  

A. B. 3. . C. 2 2. . D. 1.

Câu 78. Giá trị nhỏ hàm số

 

2

1

3 sin cos

f x   x x

A

59

20 B

14

5 C 3 D

29 10

Câu 79. Giá trị nhỏ hàm số y4sinx2cosx

A 2 B 2 C 0 D 20

Câu 80. Hàm số y4sinx 4cos2x đạt giá trị nhỏ

A 1 B 4 C

5 

D 5

Câu 81. Hàm số





2 tan

4cot

tan x

y x

x 

 

đạt giá trị nhỏ

A 0 B 3 3 C 2 2 D 1

Câu 82. Hàm số

2cos sin

y x x 

  đạt giá trị lớn là

A 5 2 B 5 2 C 2 D 2

Câu 83. Tổng giá trị nhỏ hàm số ysin4xcos4xsin cosx x

A

9

8 B

5

4 C 1 D

4

Câu 84. Giá trị nhỏ hàm số ysinx cosxcosx sinx

A 0 B C 42 D

Câu 85. Giá trị lớn hàm số y cos2x7 sin2x sin2x7 cos2x

Hướng dẫn giải chi tiết Dạng 1: Tìm tập xác định hàm số

Câu 1. Đáp án A.

Hàm số cho xác định

2

sin ,

2 x k

x k

x k



 

 

   

  

 Nếu giải đến ta dễ dàng loại B,C,D vì:

Với C thiếu x  k2 , k Với B,D khơng thõa mãn

Với A ta kết hợp gộp nghiệm ta x k k , 

Câu 2. Đáp án B.

Ở sin 5x xác định với số thực x Nên ta tìm điều kiện cho tan 2x xác định khi

2 , ,

2

k

x k k  x   k

Câu 3. Đáp án B.

Hàm số cho xác định

3

,

cos , 2

\ ,

2

2

sin sin 1

2 ,

x k k

x x k k

D x k k

x x

x k k



 

 

 

 

  

 



       

      

    

  

      

 



 

 



Câu 4. Đáp án D.

Hàm số cho xác định

cos 2 , \ ,

3 12 12

k k

x  x   k x   k D   k

   

               

 

     

Câu 5. Đáp án B.

Mệnh đề

 

1

 

2 Mệnh đề

 

3

 

4 sai Sửa lại cho sau

 

3

Hàm số ytanx có TXĐ

\ ,

2 k k

 

 

 

 

 

 

 

4

Hàm số ytanx có TXĐ  \



k k, 



Câu 6. Đáp án B.

Hàm số cho xác định x 0

Câu 7. Đáp án D.

Hàm số cho xác định

sin

,

cos

2 x k

x k

x k

x x k



 

   

 

   

 

  

 





Hàm số cho xác định

sin

,

cos

2 x k

x k

x k

x x k



 

   

 

   

 

  

 





Câu 9. Đáp án D.

Hàm số cho xác định

2

sin cos cos ,

4

k

x x  x  x   k

Câu 10. Đáp án D.

Hàm số cho xác định

2

sin cos

cos ,

4

cos

x x k

x x k

x

 

  

     



 



Câu 11. Đáp án A.

Hàm số cho xác định

sin cos sin sin ,

4 4

x x  x   x   x k k 

    

Vậy TXĐ

\ ,

4

D  k k  

 

 

Câu 12. Đáp án D.

Hàm số cho xác định

sin cos sin sin ,

4 4

x x  x    x    x k k 

    

Vậy TXĐ

\ ,

4

D  k k  

 

 

Câu 13. Đáp án B.

Ta có sin 2x1, x   sin 2x   1 0, x  Vậy hàm số cho xác định với x 

Câu 14. Đáp án C.

Ta có

15

cos13 15 14 cos13 14

x    x

Vậy hàm số cho xác định cosx x k k, 



    

Câu 15. Đáp án D.

Tương tự câu 14, hàm số cho xác định sin 2 , k

x  x  k

Câu 16. Đáp án C.

Hàm số cho xác định

20 19cos18 sin

1 sin

x x x

 

 

 

  



Mà 19 20 cos18 x0, x  nên hàm số cho xác định

1 sin sin ,

2

x x x  k  k

Vậy hàm số cho xác định cosx x k k, 



    

Câu 17. Đáp án D.

Với A hàm số xác định x 0

Với B hàm số xác định tan 2x xác định 2x k k, 



   

Với C hàm số xác định x 0

Với D

sin 0, cos

x

x x



  

 

Vậy ta chọn D phương án khơng có phương án thỏa mãn hàm số có tập xác định 

Câu 18. Đáp án C.

Với A hàm số xác định cosx 0 Với B hàm số xác định cosx 0

Với C hàm số xác định

cos cos 2017

x x  



 

Từ ta chọn Cdo khác với A B

Câu 19. Đáp án D.

Hàm số cho xác định cosx   , mà 1 cosx1 0,  x  , để hàm số xác định cosx 1 x k , k

Câu 20. Đáp án B.

Cách 1: Hàm số cho xác định

1 sin

1 sin 1 sin

x

x x

 



   



 

 với x 

Cách 2: ysinx cosx  sinxcosx ,tập xác định 

Câu 21. Đáp án C.

Với A hàm số y sinx xác định sinx 0 k2   x  k2 , k A sai

Với B hàm sốy cosx xác định cosx k2 x k2 ,k

 

 



      

cosx 0 Với C hàm số xác định y cosx sinx xác định

cos

2 ,

sin

x

k x k k

x



 

 

    



 



Vậy C

Câu 22. Đáp án D.

Ta thấy hai hàm số

1 sin

y

x



ycotxđều xác định sinx  tương tự hai hàm số0 mệnh đề II xác định cosx  0

Hàm số xác định



0;



sin 0

2 cos

2

x x

x x x

x x                               

Câu 24. Đáp án D.

Hàm số xác định





0

cos 0; \ ;

2

tan

4 x x

x x x

x x                                      

Câu 25. Đáp án C.

Hàm số xác định

3

cos ,

2

x

x k k

               

Câu 26. Đáp án A.

Hàm số xác định

2

sin ,

3

k

x  x   k

 

     

 

  

Câu 27. Đáp án B.

Hàm số cho xác định

cos 2

, tan x k x k x x k                         Khoảng

2 ;

2 k k

          

  chứa x k2

 



 

nên hàm số không xác định khoảng

Câu 28. Đáp án A.

Hàm số ytanx tập xác định

\ / ,

2

x x  k k

 

  

 

 

 

, Hàm số ycotx tập xác định





\ x x k k/  , 

  , suy (II) sai

Câu 29. Đáp án A.

Hàm số cho xác định

cos3 cos cos

3

x x  x 

   

cos3

6

5

cos ,

3

cos

k k

x x x

x x k x k k Z

x k

x x k

Câu 30. Đáp án B.

Hàm số

 

2

5sin cos 12sin cos x x f x x x    

xác định

sin

; ,

2

cos

x x k k

k Z x k Z

x x k                       .

Câu 31. Đáp án A.

ĐK:

2

1

2sin sin

7 2 x k x x x k                   

Tập xác định

7

\ ; |

6

D  k  k  k Z 

 

R

Câu 32. Đáp án A.

Ta có cos 2  x nên 1 3cos 2 x0, x R.

Mặt khác

1 sin

2 x 

 

    

  .

Hàm số cho xác định

1 sin

2

x 

 

    

 

A. sin 2x 2x 2 k2 x k k Z,

  

 

            

 

Tập xác định DR\



k k Z, 



Câu 33. Đáp án B.

Vì cos  x nên cos1  x 0

1 cos

1 cos 0

1 cos x x x       .

Hàm số xác định

sin

,

6

2 cos

x x k

k Z x k x                             .

Tập xác định hàm số

\ , |

6 k k k Z             R

Câu 34. Đáp án A.

Vì sin  x neen 1 sin x  0, x R.

Hàm số xác định

2

2 sin

tan 4

tan ,

cos cos

2

x x k

x

x k Z

x x k x                                 

Vậy D \ k ,2 k k Z,

Câu 35. Đáp án D.

Hàm số xác định

cot

cos

3 sin

x x x

  

 

  

 

  

 



 



2

, x k x 12 k2 k Z

x k x k

   

 

     

 

    

     

 .

Vậy tập xác định hàm số

\ , ,

12

D  k k k Z  

 

R

Dạng 2: Xét tính chẵn, lẻ hàm số lượng giác.

Câu 36. Đáp án A.

Với A: TXĐ: D R

Ta có với xR  x R 2cos



x



2cos x Vậy hàm số cho hàm số chẵn

Câu 37. Đáp án B.

Với A: Ta có 2cos



 x



2cos x Vậy hàm số cho hàm số chẵn Với B: Ta có:









 

2sin x sinx 2sinx f x

     

Vậy hàm số cho hàm số lẻ Vậy ta chọn B

Câu 38. Đáp án B.

Hàm số cho có tập xác định

\ ,

2

D  k k Z 

 

R

Vậy với x D   x D Ta có f



x



sin



x



cos2



 x



tan



x



 

2

sin cosx x tanx f x

   .

Vậy hàm số cho hàm số lẻ Đáp án B.

Câu 39. Đáp án A.

Tập xác định hàm số





\ |

D  k  k Z 

 

R

tập đối xứng

Ta có

























2

2 1 sin 2

1 sin sin

1 cos cos cos3

x

x x

f x

x x x

 

  

   

     

Vậy hàm số cho hàm số chẵn

Câu 40. Đáp án C.

Ta loại I II sinx  0 sin



x



 sinx , sin x0  khơng tồn

0

x  k2 x k2 ,k Z

 

Tập xác định hàm số tập đối xứng

Do vậy, ta xét f



x



sin



x



cos



x



sin cosx x  f x

 

Vậy III

Câu 41. Đáp án C.

Với A: Tương tự câu 26, ta loại A Với B: Tập xác định D R tập đối xứng

Ta có







 



2

2

sin sin sin

f  x  x   x  x

Vậy hàm sô phương án C hàm số lẻ

Câu 42. Đáp án A.

Ta loại D để hàm số cho xác định

cos2 sin

x x

 





 nên tập xác định hàm số cho hàm số chẵn

Do













 

3

tan tan

sin sin

x x

f x f x

x x

 

   

  .

Câu 43. Đáp án B.

Ta thấy hàm số phương án A,C hàm số lẻ, phương án D hàm số chẵn Do

vậy, ta chọn B.Thật

2 sin sin sin

4 4

x  x  x 

     

     

     

     .

Câu 44. Đáp án C.

Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng, ta tìm hàm số lẻ bốn hàm số cho Với toán ta tìm hàm số hàm số lẻ Với bạn tinh ý ta chọn C

Lý giải:

Tập xác định DR\



k|k Z



tập đối xứng









 

2013 2013

1

sin sin

f x f x

x x



   

 Vậy hàm số phương án C hàm số lẻ có đồ thị đối

xứng qua gốc tọa độ

Câu 45. Đáp án B.

Hàm số chẵn có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng ta tìm hàm số chẵn bốn hàm số cho

Hàm số D loại lí tương tự câu 26 Hàm số A C hàm số lẻ Do ta chọn B.

Câu 46. Đáp án A.

Với A: TXĐ: D R

Ta có

















2016 2016

sin cos sin cos

f  x   x x  x x

Vậy hàm số cho hàm số chẵn

Các hàm số B, C, D hàm số lẻ

Câu 47. Đáp án D.

(I) Tập xác định hàm số cho tập đối xứng

Vậy (I)

(II) Tập xác định hàm số cho tập đối xứng Ta có





tan





cot





tan cot

 

f  x  x   x  x x f x Vậy (II)

Câu 48. Đáp án A.

- Với (I) ta có f



 x



tan



x



cos



 x



 tanxcosxf x

 

f x

 

Vậy hàm số (I) hàm số chẵn hàm số lẻ - Với (II) ta có f



 x



tan



x



sin



x



 tanx sinx f x

 

Vậy hàm số cho hàm số chẵn

Câu 49. Đáp án C.

Tập xác định hàm số D R

Ta có













2

1 sin sin

f  x   x    x  1 sin2xf x

 

Vậy hàm số cho hàm số chẵn

Câu 50. Đáp án D.

Dễ thấy hàm số ysin 2x hàm số lẻ

Với B ta có f



x

 

 x



.cos



x



x.cosx f x

 

Vậy hàm số B hàm số lẻ

Với C ta có TXĐ DR\



k|k Z



tập đối xứng





cos





.cot





cos



cot



 

f  x  x x  x  x  f x Vậy hàm số C hàm số lẻ Vậy ta chọn D

Câu 51. Đáp án A.

Ta chọn ln A phần ví dụ ta có đưa hàm số yf x

 

hàm số chẵn D

Câu 52. Đáp án A.

Với A: Tập xác định D R

Ta có













 

1

sin cos sin cos

2

f x  x  x  x xf x

Vậy hàm số cho hàm số lẻ

Câu 53. Đáp án A.

Ta thấy hàm số phương án A hàm số chẵn ta có đồ thị đối xứng qua trục tung, đối xứng qua gốc tọa độ

Câu 54. Đáp án C.

Tập

; 2 D   

  tập đối xứng.

Ta có f



x



 cos( )x  cosx f x

 

Vậy hàm số cho hàm số chẵn

Câu 55. Đáp án B.



 



sin3





sin3

 

.

Với B : Tập xác định D tập đối xứng

Ta có

























sin cos sin cos

tan cot tan cot

x x x x

f x

x x x x

           =

 

sin cos tan cot x x f x x x  Vậy hàm số cho hàm số chẵn Vậy B sai

Câu 56. Đáp án D.

Với A : Tập xác định hàm số cho tập đối xứng Ta có





sin( ) tan( ) 2sin( ) 3cot( )

x x f x x x         =

sin tan sin tan

( ) 2sin 3cot 2sin 3cot

x x x x

f x

x x x x

  

 

   Vậy hàm số cho hàm số chẵn có đồ thị nhận trục oy làm trục đối xứng Vậy A

Với B : Ta có

2

( )

( ) ( )

sin( ) tan( ) sin tan

x x

f x f x

x x x x



   

     Vậy hàm số cho hàm số lẽ có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng B

Với C : Ta có

2008 2008

sin ( ) 2009 sin 2009

( ) ( )

cos( ) cos

n x nx

f x f x

x x

  

   

 Vậy hàm số cho

hàm số chẵn có đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng Vậy C Từ ta chọn D

Câu 57. Đáp án C

Bài tốn trở thành tìm hàm số chẵn bốn hàm số cho phần phương án

Với A : Ta có

2008 2008

cos ( ) 2003 cos 2003

( ) ( )

2012sin( ) 2012sin

n x nx

f x f x

x x

  

   

  Vậy hàm số cho

hàm số lẽ, (loại)

Với B : Ta có f(x) tan( x) cot( x) tanx cotx f x( ) Vậy hàm số cho hàm số lẽ (loại)

Với C : Ta có

cos( ) ( )

6( ) 4( ) 2( ) 15 x

f x

x x x



 

      =

cos

( )

6 15

x

f x

x  x  x   ta chon C

Câu 58. Đáp án A.

Vì cosx 2 0,  x Do điều kiện

sin

,

sin 4

4 x k x k x k k x x                     tập xác định D tập đối xứng

Ta có

2

cos cot ( ) cos cot ( )

( ) ( )

sin( ) sin

x x x x

f x f x

x x

     

   

 Vậy hàm số cho là

hàm số lẽ

Câu 59. Đáp án D.

Tập xác định D  Với  x D  x D

Ta có f( ) cos( ).sin(x x x 4) 

    

= cos sin(x x 4)   

= cos sin(x x 4) 

Ta thấy

( ) ( )

( ) ( )

f x f x

f x f x

 

 

 

 Vậy hàm số cho không chẵn không lẻ

Câu 60. Đáp án C

Tập xác định D  tập đối xứng

2

( ) 2( ) cos3( ) cos3 ( )

f x   x  x   x  xf x Vậy hàm số cho hàm số chẵn Dạng : Xét tính đơn điệu hàm số lượng giác

Câu 61. Đáp án A.

Cách : Ta thấy khoảng

0;



   

  hàm f x( ) sin x đồng biến hàm g x( ) cosx

đồng biến , suy 0;

2 

 

 

  hàm số ysinx cosx đồng biến.

Cách : Sử dụng máy tính Dùng TABLE ta xác định hàm số ysinx cosxtăng

0;



     

Câu 62. Đáp án C

Ta thấy hàm số ysin 2x nghịch biến

3

2 ; ,

2 k k k

 

 

 

  

 

   , suy hàm số

sin

y xnghịch biến

3

2 2 , ,

2 k x k k k x k k

   

   

          

Vậy hàm số ysin 2x nghịch biến khoảng

3

; ,

4 k k k

 

 

 

  

 

  

Câu 63. Đáp án A.

Hàm số ycos 2x nghịch biến k2 2x k2 k x k ,k 

           

Câu 64. Đáp án B.

3 ;

2

x   

   

  : Hàm ysinx giảm sinx  ,0

3 ;

2

x   

   

  suy

1 sin y

x 

tăng :

Câu (I) sai,

3 ;

2

x   

   

  : Hàm ycosx tăng cosx  , 0

3 ;

2

x  

   

  , suy hàm

1 cos y

x 

giảm Câu (II)

Câu 65. Đáp án A.

Ta có

4sin cos sin

6

y x  x   x

    = 2 sin 2x sin sin 2x sin 2x 

 

   

 

  Xét

Ta thấy với A Trên

0;



   

  giá trị hàm số tăng

Tương tự

3 ;

 

 

 

  giá trị hàm số tăng

Câu 66. Đáp án B.

Ta thấy hàm số ytanx đồng biến khoảng

;

2 k k

 

 

 

  

 

  , suy hàm số

tan

y x đồng biến tren khoảng 2 k 2x 2 k

 

 

    

4

k k

x

   

     

Vậy B sai

Câu 67. Đáp án A.

Ta có

sin cos sin

y x x x 

  Để hàm số ysinxcosx tăng thì

2 ,

2 k x k k

  

 

        2 ,

4 k x k k

 

 

       

Câu 68. Đáp án C.

Bài toán có hai hàm số mà xét khoảng nên ta sử dụng chức TABLE cho hai hàm Ấn MODE7 : Nhập f x

 

hàm tan x nhập g

 

x hàm sin x2 ta có kết

Ta thấy hai hàm số không hàm tăng khoảng

; 2

 

 



 

  Vì x chạy từ 2  

đến giá trị hai hàm số giảm Khi xchạy từ đến 

giá trị hai hàm số tăng , hai mệnh đề sai

Câu 69. Đáp án D.

D sai , với

; ;

3

  



 

  

  , ta có :

2 3

cot cot

3 3

   

     

Câu 70. Đáp án A.

Ta loại phương án B ;C ;D f

 

0 cos 1 f 

 

cos 2  Các bảng biến thiên B ;C ;D không thỏa mãn.

Câu 71. Đáp án C.

Tương tự câu 70 ta loại A B

2

cos

2

f     

    xét giá trị hàm số hai đâu mút ta loại D

Dạng : Tìm giá trị lớn , nhỏ hàm lượng giác

Tập xác định D 



0;



Ta có cos  x , x D1    4 y 4 Vậy

min cos

D y  x  ma xD y 4 cos x 1

Câu 73. Đáp án C

Ta có y cos x 2 sin2  2sinx  sin x     1 y

Câu 74. Đáp án C.

Ta có sin(x 4) 

   

Câu 75. Đáp án B.

Ta có

6 3

sin cos sin sin

4 8

x x  x   x

=





2

5

1 2sin cos

8 8  x  8 x

Ta có

5

cos 1, cos 1,

8

x  x   x  x 

Dấu xảy cos 4x  1

Câu 76. Đáp án D.

Cách : Tương tự phần lý thuyết giới thiệu ta thấy cosx 2 0,x Vậy sin

sin (cos 2) cos

x

y x y x

x 

    

  sinx y cosx 1 2y0 Ta có





2

2 2

1  ( y)  1 2y  y  1 4y  4y1

4

3 0

3

y y y

     

Vậy y = 0.

Cách : Ta có

sin

0 sin

cos x

y y khi x

x   

    



 



Câu 77. Đáp án C.

Ta có

cos 2sin

2cos sin 0,

2cos sin

x x

x x x y

x x

 

     

 



2 cosy x ysinx 4y cosx 2sinx

      



2y1 cos



x



y2 sin



x4y 0 Ta

có













2 2

2y1  y2  4y

 5y2 5 16y2 24y9

2

11 24

11

y y y

      

Vậy GTLN hàm số cho

Câu 78. Đáp án A.

Ta có

 





2

2 2

1 1

3 sin cos 2sin cos sin

5 20 20

f x   x x  x x   x 59

20 20

  

Vậy

GTNN hàm số 59 20

Câu 79. Đáp án B.

Ta có 42 22 y2  2 5 y

Ta có









2

2

4 sin (1 sin ) sin sin sin

2

y x  x  x x   x   

 

 

Dấu xảy

1

sin

2

x  y

Câu 81. Đáp án D.

Ta có

2 tan

cot

2 tan x x

x  

Từ suy





2 tan

3cot 3cot 2 cot

2 tan x

y x x x

x 

   

=





2

3 cot 2x1  1 1,  x

Vậy

1

min cot

3 y  x

Câu 82. Đáp án C.

Ta có

1

2 cos sin 2cos sin

4

y x x  x x 

   





1

2cos sin cos

2

x x x

  

1

2 cos sin

2

y   x x

    

  Ta có

2

2 2 1 5 2

2

y       y  

    Do ta

có  2  y 2 Vậy giá trị lớn nhát hàm số 2

Câu 83. Đáp án A.

Ta có ysin4 xcos4xsin cosx x y 1 2sin2 xcos2xsin cosx x

2

1

1 sin sin

2 x x

  

2

1 1 1

1 sin sin

2 2

y  x   y  x 

              

   

 

 

Dấu xảy

1 sin

2 x 

Câu 84. Đáp án A.

Ta có sinx cosxcosx sinx 2 sin cosx x sin cosx x

1

2 sin sin

2

y x x

  

Dấu xảy  sin 2x0

Câu 85. Đáp án C.

Ta có



 



2 12 12 cos2 7 sin2 sin2 7 cos2

y   x x x x  y2 2 7







16 y4

Dấu

bằng xảy , k

x   k 

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I CONG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRINH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

a)

 

 

 

 

 

 





2

sin sin

2 f x g x k

f x g x k

f x g x k



 

 



   

  





b)

 

 

 

 

 

 





2

cos cos

2 f x g x k

f x g x k

f x g x k

 

 



   

 





c) tan f x

 

tang x

 

 f x

 

g x

 

k,



k 



d) cot f x

 

cotg x

 

 f x

 

g x

 

k,



k 



Không dùng đồng thời đơn vị độ radian cho cơng thức nghiệm phương trình lượng giác

Ví dụ 1. Trong phương trình sau, phương trình nhận

2

6

x k 



k  



làm nghiệm

C cos 4x cos x D tan 2x tan   Lời giải Chọn B A

3 2

20

4 sin sin

3

3 ( ) 2

4

x k

x x k

x x

x x k x k

                                         B 2

cos sin cos cos ( )

2 2 2

2

x x k

x x x x k

x x k

                                  

6 3 ( )

2 x k k x k                 STUDY TIP

( sin ( )) sin( f x   f x( )) ( cos ( )) cos( f x   f x( ))

( tan ( )) tan( f x   f x( )) ( cot ( )) cot( f x   f x( ))

C cos 4x cos 6x cos 4xcos



 6x











4 10 5

4

2

x k

x x k

k

x x k

x k                              

D tan 2x tan4 tan 2x tan( 4) x k 2(k )

   

        

So sánh ta đáp án B

LƯU Ý: Bạn biểu diễn nghiệm đường trịn lượng giác dùng máy tính để thử nghiệm kết luận Phần trình bày kỹ công phá kỹ thuật giải tốn CASIO

Ví dụ 2. Phương trình sin 2x sin  

có nghiệm dạng x  k





, ;

4

x  k k       

 



Khi tích   :

A  

B

  C   D  Lời giải Chọn A Ta có 2 sin sin sin sin( )

3

2 ( )

2

6 . .

2

3

x k

x k

 

   

 

  

   

  



II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Dạng sinx m , cosx m , tanx m , cotx m , ( m   ) 1 Phương trình sin x m (1)

- Nếu m  1 Phương trình (1) vơ nghiệm sinx    1 x

- Nếu m 1:

+ Xác định  cho msin

Vậy phương trình





2

sin sin sin

2

x k

x m x k

x k

 



  

  

     

   



+ Nếu số thực  thỏa mãn điều kiện

2

sin m

 

  

  

 

 

 ta viết  arcsin m (đọc

ac-sin-m) Khi





arcsin

sin

arcsin

x m k

x m k

x m k



 

 



   

  





STUDY TIP +) sin x m có nghiệm  m1

+) arc sin m cung thuộc ; 2  

 



 

  mà có sin m. Ví dụ 1. Trong phương trình sau đây,phương trình có tập nghiệm

2 x  k 

2 , ( )

x  k  k 

A

2 sin

2 x 

B

1 sin

2 x 

C.

3

sin

2

x 

D

2 sin

A

2 sin

2 x 

vô nghiệm

1  .

B

1

sin sin sin

4

x  x 

( sin    )

4 ( )

3 x k k x k                 C sin

x  sin sin( ) x     ( sin( )     )

3 ( )

4 x k k x k                 D sin x  arcsin 2

sin ( )

3 2 arcsin x k x k x k                  

Vậy phương án C

Cách : Sử dụng máy tính cầm tay ( MTCT).

Ta có

3

sin sin

3 k

 



   

    

   

   

4

sin sin

3 k

                  Đặc biệt

Phương trình Biểu diễn nghiệm đường tròn lượng giác + sinx 1

2 ,

x  k  k

    

sđAM k2 ,k 



   

Ð

+ sinx 1

2 ,

x  k  k

    

sđAM k2 ,k 



   

Ð

+ sinx 0

,

x k k

   .

sđAM k2 ; k  Ð =

sđAM 



2k1 ;



 k  Ð = Để ý:





2 x k x k         ;

x k k

2 Phương trình cosx m

 

2

- Nếu m  1 Phương trình (2) vơ nghiệm (do cosx    1, x ) - Nếu m 1:

+ Xác định  cho cos  m

Vậy phương trình





2

cos cos cos

2

x k

x m x k

x k

 



 

  

     

  



+ Nếu số thực  thỏa mãn điều kiện

cos m

     





 ta viết  arccos m(đọc ac-cos- m).

Khi





arccos cos

arccos

x m k

x m k

x m k

 

 



   

 





sđAM   k2

Ð

; sđAM k2

Ð

STUDY TIP + arccos m cung thuộc



0;



mà có cos m + Phương trình cos x m có nghiệm  m 1

Ví dụ 1. Phương trình phuương trình sau có nghiệm thuộc



0 ;180 



?

A

2 cos

2

x 

. B





3 cos 50

2

x   

C





1 cos 30

2

x   

D

4 cos

3

x 

.

A

2

cos cos cos135 135 360

2

x  x   x  k 

có nghiệm thuộc



0 ;180 



B









20 360

cos 50 cos 50 cos 30

80 360

x k

x x

x k

    

         

    

 Phương trình khơng có nghiệm thuộc



0 ;180 



'

C









1

cos 30 cos 30 cos 60

x    x   

2 30 60 360 15 180

2 30 60 360 45 180

x k x k

x k x k

         

 

   

         

 

 Phương trình có hai nghiệm thuộc



0 ;180 



D

4 cos

3

x 

vô nghiệm

4   

Ví dụ 2. Chọn đáp án sai: Nghiệm phương trình

3 cos

2 x 

là:

A x k2 ,k

 

   

B

3

arccos ,

x  k  k

 

 



.

C

5

2 ,

x  k  k 

. D x150 k360 , k .

Lời giải Chọn A

Dễ dàng kiểm tra đường tròn lượng giác

3 cos

6



 

 

 

  .

Đặc biệt

Phương trình Biểu diễn nghiệm đường trịn lượng giác + cosx 1

2 , x k  k

   .

M A

 sđAM  0 k2 k2 , k  Ð

+ cosx 1



2 ,



x k  k

    

sđAM   k2 , k  Ð



2k ;



 k

   

+ cosx 0

2 ,

,

x k k

x k k

  



   

   





sđAM k2 ;k 



   

Ð =

sđAM' k2 ;k 



   

Ð =

Để ý:

2

2

x k

x k

  

 

  



   

;

x  k k

    

3 Phương trình tanx m ,cotx m a) Phương trình tan x m

Điều kiện: x k



k







   

- Ta xác định  cho mtan.

Khi phương trình





tanx m  tanxtan  x  k k 

+ Nếu số thực  thỏa mãn điều kiện

2

tan m

 

  

  

 

 

 ta viết arctan m

  (đọc ac - tan - m).

Khi phương trình tanx m  xarctanm k 



k 



AT m

b) Phương trình cot x m Điều kiện: x k 



k 



- Ta xác định  cho mcot.

Khi phương trình





cotx m  cotxcot  x  k k 

+ Nếu số thực  thỏa mãn điều kiện

cot m

     





 ta viết arc cot m

  (đọc ac - cotang - m).

Khi phương trình cotx m  xarc cotm k 



k 



AS m

STUYDY TIP

Phương trình tanx m , cotx m ln có nghiệm với   m

A tan 2x 1. B

tan

4

x 

 

 

 

  C cotx 0. D cotx  3.

Lời giải Chọn A

A tan 2x tan 2x tan 2x k x k 2



k



   



          

(Với k 0 nên nghiệm dương bé x 



)

B





7

tan

4 12

x  x   k x  k k

 

         

 

   .

 Nghiệm dương bé

7 12

x 

C cotx cosx x k



k







       

Nghiệm dương bé x 



D





cot cot cot

6

x  x    x  k k

   .

Chọn k  1 Nghiệm dương bé

5

x 

Vậy giá trị nhỏ x 



nên ta chọn đáp án A Ví dụ 2. Phương trình tan 3



x  15 



có nghiệm là:

A x60 k180 . B x75 k180 . C x75 k60. D x25 k60.

Lời giải Chọn D

Ta có: tan 3



x15 



3 tan 3



x15 



tan 60 3x15 60 k180





25 60

x k k

      

* Kĩ biểu diễn tổng hợp nghiệm đường tròn lượng giác

1 điểm đường tròn lượng giác ;

x  k  k 

2 điểm đối xứng qua gốc O ;

4 điểm cách đều: x k 2;k  

   

3 điểm cách đều:

2 ;

x  k  k 

n điểm cách đều:

2 ;

x k k

n  

   

III MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.

DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Có dạng at b 0 với ,a b,a0 , t hàm số lượng giác

Phương pháp giải

0 b

at b t

a

   

(đây phương trình lượng giác học) STUDY TIP

1 asin f x

 

  b acos f x

 

 b atan f x

 

 b

4 acot f x

 

 b

Ví dụ 1. Trong phương trình sau, phương trình có nghiệm thuộc



0;



?

A sinx  2 0. B 2cosx  1 0. C tanx  1 0. D sinx  1 0.

Lời giải Chọn D

A

2 sin sin

3 x   x

B





1

2 cos cos

2

x   x  x  k  k 

 Có nghiệm thuộc



0;



C





1 tan tan

6

x   x  x  k k 

 Có nghiệm thuộc



0;



D





2

1 4

2 sin sin

3

2 2

4

x k

x x k

x k

  

 

  

      

  





 Có hai nghiệm thuộc



0;



LƯU Ý: Để giải nhanh bạn biểu diễn nghiệm đường trịn lượng giác so sánh để đưa

đáp án cách dễ dàng

B

1 cos

2

x 

C

1 tan

3 x 

D

1 sin

2 x 

STUDY TIP

Một số phương trình phải qua vài bước biến đổi đưa phương trình bậc hàm số lượng giác

Ví dụ 2. Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ phương trình

6

sin cos

16

x x

là:

A

5



, B



. C

7



. D



.

Lời giải

Chọn B Ta có:



 



6 2 2

sin xcos x sin xcos x sin x sin xcos xcos x



sin2 cos2



3sin2 cos2 1 3sin 22

4

x x x x x

     cos 3cos

4

x x

 

  

5 3cos

cos cos cos

8 16

x

x x 



     





2

4

3

2

4

3

x k x k

k

x k x k

  



  



 

   

 

    

     

 

 



Suy phương trình có nghiệm dương nhỏ x1 



x2 

Vậy x1 x2 

 

DẠNG 2.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (HOẶC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2) ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Có dạng: at2bt c  với , ,0 a b c;a0,t hàm số lượng giác. Phương pháp giải:

- Bước 1: Đặt ẩn phụ, tìm điều kiện ẩn phụ - Bước 2: Giải phương trình ẩn phụ

- Bước 3: Từ nghiệm tìm đưa phương trình lượng giác

Ví dụ 15.Các điểm , ', , 'A A B B biểu diễn đường trịn lượng giác nghiệm phương

trình sin2 x4sinx  là:3

A. sđ AB B. sđ AA'. C. sđ AB'. D sđ ABvà sđ AB'. Lời giải

Chọn C.

Đặt sin t t 



1;1



  x

Phương trình

2

sin 4sin

3( ) t

x x t t

t l

 

        

 

Với t s inx x k2 ;k 



       

Vậy nghiệm phương trình sđ AB'

Ví dụ 16.Nghiệm âm lớn phương trình

3

3cot sin x  x là:

A.





B.

5





C.





D

2





Lời giải

Chọn A.

Điều kiện: sinx 0  x k 



k 



Phương trình





2

3 cot x 3cotx 3 cot x 3cotx

      





cot 2

cot

6

x k

x

k

x x k

  

 

 

 



    

 

  



Vậy nghiệm âm lớn 



Ví dụ 17.Tổng nghiệm thuộc khoảng



0; 2018



phương trình

4

sin cos 2sin

2

x x

x

  

là:

A. 207046 B. 206403 C.205761 D 204603

Lời giải Chọn B.

Phương trình

2

2 2

sin cos 2sin cos 2sin

2 2

x x x x

x

 

      

 

2

1

1 sin 2sin sin 2sin

2 x x x x

       sinx





sinx 4(VN) x k k 



    

 







2018

0 x 2018 kx 2018 k k 1, 2,3, , 642



         

Vậy tổng nghiệm cần tìm là:





642 642 1





2 642 642 206403

2

S                 

DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX, COSX:

Có dạng a sinx b cosx c

 

1 2

, ,

a b c a b

 



  



Phương pháp giải: Chia vế cho a2 b2 ta được:

 

1 2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

a b a b a b

  

  

Đặt

 

2

2 2

cos

1 sinx.cos cos sin sin

a

c

a b x

b a b

a b



 

 

 

 

   





 

 







2 2

 

sin x c

a b 

  

 Đây phương trình lượng giác bản.

+ Phương trình





2

sin x c

a b 

 

 có nghiệm khi:

2 2

2

2 1

c c

a b c

a b

a b       

+ Bạn đặt:

2

2 sin

cos a

a b b a b



 

 

  

 

 

 

1 cos x.cos sin sinx 2c 2 cos



x



2c 2

a b a b

  

      

 

Việc đặt tùy để lời giải hợp lý

Ví dụ 1. Phương trình sinm x cosx với 1 m tham số vô nghiệm khi:

A. m 



0;



B. m  \ 0

 

C. m  D. m  0

Lời giải: Chọn C.

+ Ta tìm m để phương trình sinm x cosx có nghiệm lấy phần bù1 + Ta có: Phương trình msinx cosx1 *

 

có nghiệm





2

2 2

1

m m m

        

Vậy phương trình

 

* có nghiệm m   suy phương trình sinm x cosx vơ nghiệm1 khi m 

Ví dụ 2. Nghiệm phương trình s inx cosx là:1

A.





2

2

x k

k

x k

  

 

  

 

   



B.x k2



k



 

   

C.





6

2

x k

k

x k

  

 

  

 

   



D.





2 x k

k

x k

 

 



 

   

 Lời giải

Chọn A.

Phương trình

1

sinx cos

2 x

  

( chia vế cho a2b2  2  )





1

cos sinx sin cos sin sin sin

3 3

2

3 6

5

2

3

x x x

x k x k

k

x k x k

    

  

 

  

 

   

          

   

 

    

 

    

      

 





Ví dụ 3. Gọi ,a b nghiệm dương nhỏ nghiệm âm lớn phương trình

2

cos sin

3 2cos sinx

x x

x





  , ta có:

A. ab  0 B.

2

11

ab 

C.

2

11

ab 

D.

2

36

ab 

Chọn C.

+ Điều kiện: 2cos2 x sinx 0   2sin2xsinx 0 





2 sinx

2

1 6

sinx

2 5

2

x k

x k k

x k

  

 





  

  

 

      



 





 

 



+ Phương trình 





2

cosx sin 2x 2cos x 1 sinx





cosx sin 2x cos 2x sinx

   

3 1

3 sinx cos sin cos sinx cos sin cos

2 2

x x x x x x

       

cos sinx sin cos cos sin sin cos sin sin

6 x x x x x

         

          

   









2 2

6

2 2

6

x x k x k

k

x x k x k

  

 

   

 

 

     

 

    

         

 

 



Kết hợp điều kiện suy phương trình có nghiệm x k2



k







   

Chọn

2

11 11

1 ;

6 36

k  a  k  b   a b 

Ví dụ 4. Phương trình 3sin 3x cos9x2cosx4sin 33 x có số nghiệm

0; 

 

 

  là:

A. B. C. D.

Lời giải: Chọn D.

Phương trình  3sin 3x 4sin 33 x cos9x2cosx

1

sin cos9 2cos sin cos cos

2

x x x x x x

     

sin sin cos cos9 cos cos cos

6 x x x x x

    

      





9

6 48

9

6 60

x x k x k

k

x x k x k

  



  



 

    

 

    

      

 

 



- TH1: x 48 k

 

 

Chọn





13

0;1 ; 0;

48 48

k   x   

   

- TH2: x 60 k

 

 

Chọn





13

0;1; ; ; 0;

60 60 12

k   x    

   

Vậy phương trình có nghiệm thuộc 0;

2 

 

 

 

DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

Là phương trình dạng f



sin x;cosx



0 lũy thừa sinx cos x bậc chẵn lẻ

Phương pháp giải: - Bước 1: Xét cosx   Kết luận nghiệm0

- Bước 2: Xét cosx  ta chia vế phương trình cho cos (0, nx n bậc cao nhất) đưa phương trình bậc cao tanx

Ví dụ 1. Nghiệm phương trình

 

2

2sin x 5sin cosx x cos x2 là:

A.





3 arctan

5

x  k k

   . B.





3

arctan

5

x  k  k

   .

C.





2

3 arctan

5

x k

k

x k

 

 

  

 

     

  





D.





2

3

arctan

5

x k

k

x k

 

 

  

 

     

  





Lời giải:

Chọn C.

+ Với cosx 0 sin2x Thay vào phương trình 1

 

1  2 luôn đúng

cos

2

x x  k

    

 









2 2

2

1 tan tan 2 tan tan tan cos

3

tan arctan

5

x x x x x

x

x x x k k

        

 

      

  

Kết luận: Nghiệm phương trình

 

1





2

3 arctan

5

x k

k

x k

 

 

  

 

     

  





LƯU Ý:

- Khi nhìn phương án trả lời bạn phải chia vế cho cos2x  để đưa về0 phương trình bậc theo tan x

- Tuy nhiên phương án trả lời có nghiệm biểu diễn dạng khác Bạn đọc giải theo cách sau:

+ Xét sinx 0 khơng thỏa mãn phương trình

 

1

+ Với sinx 0 , chia vế cho sin x đưa phương trình bậc theocot x 2 Hoặc dùng công thức hạ bậc để đưa phương trình bậc với sin cos:

 

1 21 cos sin 21 cos 2

2 2

x x

x

 

   

5sin 2x 3cos 2x

   (đây phương trình bậc sin 2x,cos 2x học

phần trước)

Hoặc

 





2 2

1  2sin x 5sin cosx x cos x2 sin xcos x

5sin cosx x 3cos x

   (đây phương trình đẳng cấp bậc 2)

Ví dụ 2. Tổng nghiệm âm liên tiếp lớn phương trình 4sin3x sinx cosx bằng:0

A.

5



B.

5





C.

5





D.  . Lời giải

Chọn B.

Trường hợp 1:

2 sin

cos sin

sin

x

x x

x  

    

 

Với sinx 1  phương trình  0 (vô nghiệm).

Với sinx 1  phương trình  0 (vơ nghiệm).

Vậy cosx 0 khơng thỏa mãn phương trình

Trường hợp 2: cosx 0 , chia vế cho cos x ta được:2

Phương trình

3

3 2

sin sin 1

4

cos cos cos cos

x x

x x x x



 



3 2

4 tan x tan tanx x tan x

     

3

3tan x tan x tanx

    

2 tan

3tan tan 0( ) x

x x VN

 

 

  



tan

4

x x  k

    

Với

3

4

k   x 

Với

7

4

k  x 

Vậy tổng nghiệm âm lớn

3

4

  

  

Nhận xét: Đây phương trình bậc lẻ có biến đổi sau:

4sin x sinx cosx 0  4sin3x sinx



sin2xcos2x



 cos sinx



xcos2 x



0

3 2

3sin x sin xcosx sin cosx x cos x

     phương trình đẳng cấp bậc đối với

sin x, cos x

STUDY TIP

Có thể sử dụng đường trịn lượng giác để xác định nghiệm âm lớn Cách biểu diễn nghiệm đường trịn lượng giác:

Đi k2 có điểm Đuôi

2

k k 





có điểm Đi

2

k 

có điểm

Đuôi

2

4

k  k



có điểm

Đi

2

k n



có n điểm.

Ví dụ 3. Phương trình 3tan x 2sin 2x có số điểm biểu diễn nghiệm đường tròn lượng giác là:

A. B. C. D.

Lời giải Chọn B.

Điều kiện: cosx x k



k







     

Phương trình

sin

1 4sin cos cos

x

x x x

  

2 cosx 3sinx 4sin cosx x

   (*)

Đến ta thấy phương trình (*) có bậc lẻ cao , ta chia vế cho cos3x  (do 0 điều kiện)

 

2

1

* tan tan

cos x x cos x x



tanx 1 3tan





x 2 tanx 1



0

    





tan

4

x x  k k

      

(TMĐK)

 Số điểm biểu diễn nghiệm đường tròn lượng giác STUDY TIP

Ở ta từ phương trình đầu chia cho cos x nhanh Tuy nhiên 2 không tự nhiên bạn chưa nhận dạng quen thuộc tốn

Ví dụ 4. Số điểm biểu diễn nghiệm phương trình

3

8sin

cos sin

x

x x

 

cung phần tư thứ I thứ III đường tròn lượng giác là:

A. B. C. D.

Lời giải Chọn B.

Điều kiện:





sin

cos

x

x k k

x

 



  



 



Phương trình  8sin2xcosx sinxcosx (cùng bậc lẻ) Chia vế cho cos3x  (do điều kiện)0

Phương trình

2

2

1

8 tan tan

cos cos

x x

x x

  



 



2 2

8 tan x tan tanx x tan x

    

3

3 tan x tan x tanx

    





1

tan tan tan

3

x x x

 

      

 

1 tan

3

tan

tan

x x x 

 

 

  



 

  









6

arctan arctan

x k

x k

x k

 

  

 

  

   



   





k  



Dựa vào việc biểu diễn nghiệm đường tròn lượng giác, ta thấy số điểm biểu diễn nghiệm cần tìm  Đáp án B

A.





4

1

cot

2 2

x k

k

x arc k

              B.





1 cot 2 x k k

x arc k

              C.





1 arctan

2 2

x k k x k               D.





arctan x k k x k               Lời giải Chọn A. Điều kiện: sin cos x x    

 x k 2



k





   

Phương trình

sin cos

2sin cos cos sin x x x x x x     2

sin x cos x 2sin cos sin 2x x x sin cos cos 2x x x

   

2

1 sin sin cos 2

x x x

  

(*)(đây phương trình bậc 2) Chia vế cho sin 22 x  (do điều kiện) ta được:0

Phương trình (*)

1

1 cot sin 2x x

  

2

1 cot cot 2

x x

   

cot cot 2 x x        2 cot x k

x arc k

            





1 cot

2 2

x k

k

x arc k

               (TMĐK) STUDY TIP (nếu có)

Với sin cos x x    

 , ta chia vế cho sin 2x để khỏi phải chia trường hợp, giải ngắn 2 gọn

Khi giải mà kết nghiệm có arccot chia vế cho sin x kết nghiệm có2

arctan chia vế cho cos2

Dạng: a



sinxcosx



bsin cosx x c (1) , , a b c a b       Phương pháp chung:

Đặt

sin cos sin

t x x x

    t  2; 2 (vì





sin 1;1

4

x  x

 

    

 

   ).

2 sin2 cos2 2sin cos 1 2sin cos

t  x x x x  x x

2 1 sin cos

2 t

x x 

 

Phương trình

 

2 1

2 t

at b  c

  

(là phương trình bậc theo t )

Ví dụ 1. Phương trình sinxcosx1 2sin cos x x có nghiệm



0;2



?

A. B. C. D.

Lời giải Chọn C.

sinxcosx1 2sin cos x x (1)

Đặt

sin cos sin

t x x x

    t  2; 2

2 sin2 cos2 2sin cos 1 2sin cos

t  x x x x  x x

2 1 sin cos

2 t

x x 

 

Phương trình

 

2 1

1

2 t

t 

  

0 t t t t        

 (TMĐK)

Với t 0

2 sin

4

x 

 

   

  x k

 

  





4

x  k k

    

Với t 1

2 sin

4 x          sin x          4 4 x k x k                   2 x k x k          





k  



Kết luận: phương trình có nghiệm

4 2 x k x k x k                

  có nghiệm



0;2



STUDY TIP

phương trình có nhiêu nghiệm



0;2



Chú ý: Với phương trình: a



sinx cosx



bsin cosx x c (2)

Đặt

sin cos sin

t x x x  

 

2;

t  

  

  (vì





sin 1;1

4

x  x

 

    

 

   ).

2 sin2 cos2 2sin cos 1 2sin cos

t  x x x x  x x

2 sin cos

2 t

x x 

 

Phương trình

 

2 1

2 t at b  c

  

(là phương trình bậc theo t ) Một số sách gọi phương trình phản đối xứng với sin x , cos x

Ví dụ 2. Phương trình sin x cosx sin 2x0 có nghiệm

0;



   

  ?

A. B. C. D.

Lời giải Chọn C.

Đặt

sin cos sin

t x x x  

  Điều kiện: t   2; 2 sin2 cos2 2sin cos 1 sin 2

t  x x x x  x  sin 2x 1 t2

Phương trình





1 t t

    

2 0

1 t t t

t  

    



 (TMĐK)

Với t 0

2 sin

4

x 

 

   

  x k

 

  





4

x  k k

    

Với t 1

2 sin

4

x 

 

   

 

1 sin

4

x 

 

   

 

2

4

5

4

x k

x k

 



 

 

  

  

   



2

2

x k

x k

 



   

  





k  



 có nghiệm thuộc

0;



   

  x 0 x





Dạng: a



sinx cosx



bsin cosx x c 

Đặt

sin cos sin

t x x x  

    t  2; 2

2 sin cos

2 t

x x 

 

Cách 2: Nhận thấy phương trình có sinx cosx 1 sin 2x có nhân tử chung sinx cosx

nên ta có:

1 sin x cosx sin 2x0





2 sinx cosx sinx cosx

    



sinx cosx

 

1 sinx cosx



    

sin cos sin cos

x x x x         

2 sin

4

1 sin

4 x x                           sin sin x x                          2 x k x k x k                 





k  



STUDY TIP





2

1 sin 2 x sinx cosx sin 2 x



sinxcosx



2

Ví dụ 3. Tổng nghiệm phương trình sin cosx xcosxsinx 



0; 2



là:

A.  B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải Chọn C.

sin cosx xcosxsinx  (3) 1

Đặt

sin cos sin 0;

4

t x x  x   t  

 

 

 

 

2

2 1 2sin cos sin cos 3 1 2 3 0

3

2

t

t t

t x x x x t t t

t l                     Với sin

1: sin

2 2

4

2

4

2

4

2

4

x k x k

x k x k

x k x k

x k

x k

 





  

  

  

 

   

 



  

  

 

       

 

  



      

 

   



   

 

Suy phương trình có nghiệm



0;2



3

; ;

2

x x x 

Vậy tổng nghiệm

3

3

2

 

 

  

Ví dụ 4. Có giá trị nguyên m để phương trình:

sin 2 sin

4

x x m

  có nghiệm.

A. B. C. D.

Lời giải Chọn B.

sin 2 sin sin sin

4

x x   m  x x cosx m  

 

Đặt

sin sin 2; ,

4

t x cosx  x    t    x

 

  

2

1 2sin sin

t   xcosx x  t

Ta tìm m để phương trình 1 t2 t m0 có nghiệm t   2; 2

2

1 t t m

    có nghiệm t   2; 2

Xét

 

2

f t   t  t  2; 2

 

Suy

 

5

1 , 2;

4

f t t  

      

5 2;

4

m  

    

  mà m m 



2; 1;0;1



Vậy có giá trị m thỏa mãn.

STUDY TIP Bảng biến thiên

+) a 0 x

 

b a





ax bx c

4a  

  

+) a 0 x

 

b a





ax bx c   

4a  

Ví dụ 5. Phương trình cos x3 sin3x cos x có tổng nghiệm âm lớn nghiệm dương nhỏ là:

A.



B.

5



C.

7



D.





Lời giải

Chọn A.









3 2 2

cos xsin xcos 2x cosxsinx cos x cos sinx xsin x cos x sin x



cosx sinx

 

1 cos sinx x

 

cosx sinx

 

cosx sinx



     

 

cos sin (1)

1 cos sin cos sin

x x

x x x x

 

  

  



Giải

 





1 sin

4

x  x  k k

 

       

 



Giải

 

2 :1 cos sin x xsinxcosx0

Đặt

sin sin 2; ,

4

t x cosx  x    t    x

 

  

2 1 2sin sin 2 1 t   xcosx x  t

 

2

2

2 1

2 t

t t t t







2 sin 3

4

2 x k

x k

x k

 

  



  

     

  

 





Vậy nghiệm phương trình





2

2

x k

x k k

x k

   

 

  



 

 

 

 



Biểu diễn nghiệm vòng tròn lượng giác

ta suy nghiệm lớn x1 



nghiệm bé

3

x  

Vậy x1 x2 

 

STUDY TIP



 





 







3

2

2

) cos sin cos sin cos sin ) cos sin cos sin cos sin ) sin cos sin

x x x x x x

x x x x x x

x x x

    

    

   

Ba biểu thức có nhân tử chung cosxsinx.

DẠNG IV MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC

Ví dụ 1. Sử dụng cơng thức biến đổi tổng thành tích

Phương trình cos xcos 2xcos 3x có số điểm biểu diễn vịng tròn lượng giác là:0

A. B.3 C. D.5

Lời giải Chọn D.









2

2 cos 2

0 2

3 3

4 0

2

2 2 2

3

0

2 2

cos x x cos x cosx cos x cosx

x k

cosx

x k

x x x x

cosxcos cos cos k k

x k

x x

cos k

 

  



 

 

     



  



  

  

 

 

         

 

   

 



   



 



Dựa vào điểm biểu diễn vòng tròn lượng giác

Vậy ta có điểm

Ví dụ 2. Sử dụng cơng thức hạ bậc

Phương trình sin 32 x cos 42 xsin 52 x cos 62 x phương trình hệ phương trình sau ?

A. sinx  0 B.cosx  0 C.sin 9x  0 D.cos 2x  0

Lời giải Chọn D.

Phương trình



 







2 2 cos cos8 cos10 cos12

sin cos sin cos

2 2

cos12 cos10 cos8 cos 2cos11 cos cos cos cos

2cos cos11 cos 4cos sin sin sin cos sin

x x x x

x x x x

x x x x x x x x

x

x x x x x x x x

x

   

      

       

 



          

 

 hông

phải phương trình hệ phương trình cho

Chú ý: Bạn đọc giải phương trình đơn giản phương án thay vào phương trình ban đầu để kiểm tra

STUDY TIP

+) Phương trình (1) gọi phương trình hệ phương trình (2) tập nghiệm phương trình (1) chứa tập nghiệm phương trình (2)

+)

2 cos 2 cos

cos ; sin ; sin cos sin

2 2

a a

a  a  a a a

Cho phương trình cos cos5x xcos cos 4x x số điểm biểu diễn nghiệm phương trình đường trịn lượng giác là:

A. B.4 C.6 D.8

Chọn C.

Phương trình









1

cos cos5 cos cos cos cos cos cos

2

x x x x x x  x x





4 2

cos cos

4 2

3 x k

x x k k

x x x k k

x x k x k



  

 

 

 

 

        



  







Vậy số điểm biểu diễn nghiệm

STUDY TIP

























1 ) cos

2 ) sin sin

2

) sin cos sin sin

cosa b cos a b cos a b

a b cos a b cos a b

a b a b a b

      

      

      

Ví dụ 4. Sử dụng cơng thức nhân ba

Cho phương trình cos3x 4cos 2x3cosx 0 có nghiệm



0;14



?

A. B.4 C.5 D.6

Lời giải Chọn B.

Phương trình





3

4cos x 3cosx 2cos x 3cosx

      





3

4 0

2

cos x cos x cosx x  k k

         

Mà









1 14

0;14 14 0;1; 2;3

2 2

x  k k k



           

Vậy phương trình có nghiệm thuộc



0;14



STUDY TIP

3

)

) sin 3sin 4sin cos a cos a cosa

a a a

  

  

Ví dụ 5. Sử dụng cơng thức cung có liên quan đặc biệt

Phương trình

5

sin 3cos 2sin

2

x  x  x

   

    

   

    có nghiệm thuộc 2;3

 

 

 

  ?

A. B.5 C.6 D.7

Phương trình

sin 2 3cos 2sin

2

x   x   x

     

           

   

   





2

sin 2sin 3sin 2sin

2

1 2sin 3sin 2sin 2sin sin

sin

2

6 sin

2 5

2

x cos x x cos x x x

x x x x x

x k x

x k k

x

x k

 

 

 



   

           

   

       

   

 

 

    

  

 

  





Mà

;3

x  

  nên

13 17 ;2 ; ; ;

6 6

x     

 

Vậy phương trình có nghiệm

;3

 

 

 

  .

Ví dụ 6. Sử dụng cơng thức hạ bậc cao

Cho phương trình sau:

 

 

 

 

8

8

8

8

17

1 sin

16 17 sin

32 97 sin

128

4 sin 2

8 x cos x cos x

x cos x

x cos x

x cos x

 

 

 

 

Phương trình khơng tương đương với phương trình cịn lại là:

A.

 

1 B.

 

2 C.

 

3 D.

 

4

Lời giải Chọn C.

Ta có



 







4

4

8 2 2

sin sin s

2

cos x cos x

x cos x  x  co x        cos x cos x

   

Giải

 

1 :





4 2 2

1 17

2 2 2 2

8 cos x cos x 16cos x cos x cos x   cos x2

Giải

 

2 :





4 2

1 17

2 24 13

Giải

 

3 :





4 2

1 97 81

2 2 12 2

8 cos x cos x 128 cos x cos x   cos x4

Giải

 

4 :





4 2

1

4 4 12 4

8 cos x cos x  8 cos x cos x  cos x



2cos 22 1



2 0 cos 22 1.

x x

    

Vậy phương trình (3) khơng tương đương với phương trình lại STUDY TIP













8

4 4 2

1

) sin

8

) 1 12

x cos x cos x cos x

t t t t

    

      

Ví dụ 7. Biểu diễn tổng đại lượng không âm

Phương trình





3

cos 2x cos 6x4 3sinx 4sin x1 0

có phương trình tương đương là:

A cosx 0 B sin 3x  1

C cos (sin 3x x  1) D sinx  1 Lời giải

Chọn D.

 Phương trình









2

2 cos x 1 2sin 3x sin 3x

      





2

2

3

2cos 2sin 4sin cos sin

sin cos

sin sin sin

sin

4sin sin

x x x

x x

x x

x x x

x

x x

    

   

 



  

        

 

 

   



Lưu ý: Có thể thử nghiệm đáp án vào phương trình cho thỏa mãn 2 phương trình tương đương

STUDY TIP

0

0

0

A A

A B

B B

 

 

   

 

 

 

Ví dụ 8. Đặt ẩn phụ - cơng thức nhân ba

Phương trình

3

sin sin

10 2 10

x x

 

   

  

   

    có tổng nghiệm



0;2 là:



A.

9



B

9 15



C

10



D

10

 Lời giải

Đặt

3 3

3

10 2 10 10

x x x

t       t    t

 Phương trình





 

1 1

sin sin sin sin sin sin

2 10 10 2

t    t t  t t t

           

















2

2sin 3sint 4sin t sin 4sin t

sint ( )

( )

1

sin t cos

6

4

3

2 0;

5

14 14

2 0;2

15 15

4

2 0;

15 15

t t

t k t k k

k

t k

t

x k x

x k x

x k x

                                                                       

Vậy tổng nghiệm



0;2



phương trình là:

3 14 14

5 15 15

   

  

Ví dụ 9. Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn

Phương trình





4

sin sin sin sin

2

x x x x

 

    

 

  có nghiệm là:

A x k ; k  B x k k ;   C. x



2k1 ;



 k .D x k 2;k



  

Lời giải

Chọn C.

Đặt





2

t sin 0;1 ,

2

x

t x

     

Phương trình tương đương





2 (1)

t sin t sin

sin 2(2) t x x t x             + Với

2 cos

t sin 1 cos (2 k 1) , (k )

2

x x

x x  k  x 



              

+ Với

2

t sin sin sin 2

x

x x

    

2

2 cos

sin sin

sin sin

2

sin

sin sin

x x x

x x x x x                        

  (vô nghiệm)

+ Với phương trình hồn tồn giải phương pháp đưa dạng tích

0

0

A A B

B

     



+ Với phương trình

sin sin 2

x

x

 

(2) giải cách khác sau:

1 cos

(2) sin 2sin cos

2

x

x x x



     

, phương trình vơ nghiệm





2

2

2 1  3

STUDY TIP

asinx b cosx c có nghiệm  a2b2 c2

Ví dụ 10. Phương pháp đánh giá

Với phương trình





2

3cos 4x cos 2x sinx 7 (*) thì:

A.trên đoạn



0;2



phương trình có nghiệm

B trên đoạn



0;2



phương trình có nghiệm

C trên đoạn



0;2



phương trình có nghiệm

D trên đoạn



0;2



phương trình có 4nghiệm Lời giải Chọn A.

Ta có 3cos 4x  3



cos 2x sinx



2 cos 2x sinx2



cos 2x sinx



2 22

     



cos 2x sinx



2 3cos 4x



cos 2x sinx



2

      

Phương trình (*) xảy





2

cos cos (I) cos

3cos cos sin 2(1) sin

cos cos

cos sin

cos sin 2(2) cos (II) sin

x x x

x x x x

x x

x x

x x x

x

 

 



  



 



   

  



   

  

   



  

 

  

 

 

   

+ Giải (I):

2

2 2cos 1 cos

cos 1 2sin sin

cos cos

sin sin sin

sin sin

x x

x x x

x x

x x x

x x

    

    

 

 

     

    

  

  

   

 

+ Giải (II):

2 cos

cos 1 2sin

cos sin ( )

sin sin

sin x

x x

x x x k k

x x

x

 

 

   

 

        

  

 

 

 



 Vậy phương trình ban đầu có nghiệm thuộc



0; 2



Chú ý: Có thể giải phương trình cách đưa phương trình bậc với sin x tự nhiên Tuy nhiên với ví dụ tơi muốn minh họa thêm cho bạn phương pháp giải khác để linh hoạt làm

STUDY TIP

(1) cos 2x sinx 2 cos 2xsinx Mà

cos sin

x x

 



  

+ suy (1) xảy

cos cos

sin sin

x x

x x

 

 



 

  

 

+ suy (1) xảy

cos cos

sin sin

x x

x x

 

 



 

  

 

Lưu ý: Đối với phương trình (1) (2) ta đưa cách giải cách đưa phương trình bậc sin x cách sử dụng công thứccos 2x 1 2sin2x Tuy nhiên số phương trình khơng đưa Ví dụ sinxsin 5x (bạn đọc tự giải)2

Ví dụ 11. Phương pháp hàm số

Phương trình

2

sin sin cos (*)

4

x    x x

  có tổng nghiệm khoảng

0;



      là:

A 0 B



C.



D

 Lời giải

Chọn C.

Phương trình  sin2x 1 sinx cos x cos2x1

2

sin x sinx cosx cos x (1)

     

Với t t1, 2



0;1



va t1 t2ta xét biểu thức

















2 2

1 2

1 2

2

1 2 1 2 1 2

2 2

2

1 2

1

( ) ( )

1

1

1

t t t t

f t f t t t t t

t t t t t t t t t t

t t

t t t t

    

  

   

      



  

   

Suy hàm số f(t) đồng biến



0;1



, Suy phương trình (1) tuuongw đương





(sinx) (cos ) sinx cos tan ,

f f x   x x  x k k 

Vậy phương trình (*) có nghiệm thuộc 0;

2 

 

 

  4



Lưu ý: Đối với việc chứng minh hàm số đồng biến



a b;



hàm số





1 2

, ;

( ), x x a b y f x

x x

 



 

 

 , xét tỉ số

1

1

(x ) (x )

f f

m x x



 

+ Nếu m  0 Hàm số đồng biến



a b;



+ Nếu m  0 Hàm số nghịch biến



a b;



+ Nếu  0 Hàm số không đổi



a b;



STUDY TIP

+ Nếu hàm sốyf x( )đồng biến



a b;



x x1, 2



a b;



:

1 2

( ) ( )

f x  f x  x x

1 2

( ) ( )

f x  f x  x x

1 2

( ) ( )

f x f x x x

   

V Một số phương trình lượng giác đưa dạng tích

Ví dụ 1. Phương trình sinx4cosx 2 sin 2xcó số nghiệm



0; 2 là:



A 0 B 1 C. D 4

Lời giải Chọn C.

Phương trình  sinx4cosx 2 2sin cosx x











 



sin 2cos 2cos sin 2cos

sin 2( ) sin

2 ,( )

1 2cos cos

2

x x x

x x

x VN

x

x k k

x x

 

    

   

 

 

 

      



  





Vậy phương trình có nghiệm



0;2



x 



và

5

x 

Ví dụ 2. Phương trình cos xsinxcos 2xsin 2x có nghiệm dạng0

1 , 2 , ,

x  a k  x  b k  x  c k  x  d k  Với 0a b c d, , , 2 a b c d   là:

A 0 B

7



C

5



D

9

 Lời giải

Chọn D.

Phương trình  1 sin 2xcosxsinxcos2 x sin2x 0







 

 





 



2

cos sin cos sin cos sin cos sin

cos sin cos sin cos sin

2 sin

cos sin 4 4

( )

2

2cos 1 2

cos

3

x x x x x x x x

x x x x x x

x x k

x x

k x

x k

x

 

 



       

      

   

   

 

 

 

  



     

  

    

 





Nghiệm biểu diễn đường tròn lượng giác ta viết lại nghiệm phương trình là:

3 7

2 v v v

4 3 4 3

x  k  x  k  x  k  x  k   a b c d            

Ví dụ 3. Có giá trị nguyên a để phương trình cos 23 x cos 22 x a sin2 x có nghiệm0

0; ? x   

 

A 0 B. C 2 D 3

Phương trình

3 cos

cos cos

2

x

x x a 

   









3 2

2

cos 1(1)

2cos 2cos cos cos 2cos

cos (2)

2 x

x x a x a x x a a

x                

-Giải (1)  2x k 2  x k k (   , nghiệm không thuộc ) 0;       

-Giải (2) có

2

1

0; 0; cos cos

6

x   x    x   x

   

Suy phương trình (2) có nghiệm thuộc

1

0;

6 2

a a                

Vậy có giá trị nguyên a 1.

Ví dụ 4. Phương trình



2sinx1 4cos 4

 

x2sinx



4cos3x3 nhận giá trị x arccosm k



 

(k   làm nghiệm giá trị m là:)

A m  B.  C 16 m  D 16 m  Lời giải Chọn B.

Phương trình



 







2

2sinx 4cos 4x 2sinx sin x

      



 

 

 





 



2sin 4cos 2sin 2sin 2sin 2sin 4cos

x x x x x

x x            sin

2 ( )

1 1

cos arccos( )

4 4

1

arccos( )

4

x k

x x k

k

x x k

x k                                      Z Vậy m  STUDY TIP



 





 



2

cos sin sin sin cos cos

x x x

x x x

  

  

Ví dụ 5. Phương trình sin 2x2cosxcos 2x sinx phương trình hệ phương trình:

A

1 sin( )

4

x  

B sin 2x 0 C

1 sin cos

2

x x

D

1 sin cos

2 x x

pt 2sin cosx x2cosx2sinx2 sinx1

sin

(sin 1)(2cos 2sin 1) 1

cos sin x

x x x

x x

 



     

  



Lưu ý: Phương trình bậc hai at2bt c 0(a0) có hai nghiệm t t thì1, 2

1

( )( )

at bt c a t t t t   

VI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA ĐIỀU KIỆN

Ví dụ 1. Phương trình

sin 5sin

x

x  có số nghiệm là:

A. B 1 C 2 D vô số

Lời giải Chọn A

Điều kiện: sinx 0 cosx1

sin 5sin sin sin 4sin

Pt x x  x x x

2cos sin 2x x 4sinx 2cos3 2sin cosx x x 4sinx

     

sin 0( ) 4sin (cos cos 1) 1

(cos cos )

x l

x x x

x x

 



   

   



2

cos

cos 2cos 2 2cos cos 3

cos ( )

2 x

x x x x

x VN

 



         

 

 Với cos 2x  1 2sin2x 1 sinx0 (loại khơng TMĐK)

Vậy phương trình cho vơ nghiệm

Ví dụ 2. Phương trình 3cot2x2 sin2 x(2 2) cos x có nghiệm dạng

2 ; , ,0 ,

2

x  k  x  k  k Z   

  bằng:

A.

2 12 

B - 12 

C

7 12



D

2 12



Lời giải Chọn A

Điều kiện: sinx 0 cosx 1

2 2

2 2

3cos 2 sin 2cos sin cos sin 3cos (cos sin ) 2sin (cos sin )

Pt x x x x x x

x x x x x x

   

    

2

(cosx sin x)(3cosx 2sin x)

   

2

2 cos cos 0(1) 2cos 3cos 0(2)

x x

x x

   

 

  



2 cos

(1) 2 ( )

4

cos 2( )

x

x k k

x VN

  

 

     

 



1 cos

(1) 2 ( )

3 cos 2( )

x

x k k

x VN              Z Vậy ; ;

4 12

  

      

Ví dụ 3. Phương trình

1 1

cosxsin 2x sin 4x có tổng nghiệm trên(0; ) là:

A.



B 6



C

2



D 

Lời giải Chọn D

Điều kiện:

cos cos cos sin

sin sin sin sin

sin cos 2 2

sin sin

2

x x x x

x x x x

x x x x                                           

 

 

2 2

1 1

cos 2sin cos 4sin cos cos 2sin cos cos

2sin (1 2sin ) 2sin 2sin (1 2sin sin )

sin

sin 6

1 5

sin

1 2sin sin 2

2 6

Pt

x x x x x x

x x x

x x x

x x x

x l x k

x l

k x

x x x k

                                                Z

=>có nghiệm (0; ) x=6 

x=

5



Vậy tổng nghiệm trên(0; ) là:

5 6

 



 

Ví dụ 4. Phương trình

sin 2cos sin

tan

x x x

x

  



 có nghiệm trên(0;3 ) ?

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải Chọn B Điều kiện:

 

cos * tan x x     

sin cos sin 2sin cos sin 2cos

sin

2

(2cos 1)(sin 1) 1

cos

2

2 3

Pt x x x x x x x

x x k

x x k

Kết hợp điều kiện (*)=>Nghiệm phương trình x k2 



 

Vậy có hai nghiệm thuộc (0;3 ) x 



và

7

x 

Ví dụ 5. Phương trình

(1 sin cos )sin( ) 1

4 cos

1 tan

x x x

x x



  



 có nghiệm dạng

2 ; , ; , ,

x  k  x  k    k Z     22 là:

A.

2 36 

B

2 35

36 

C

2 13

18 

D

2 15

18 

Lời giải Chọn C

Điều kiện:

 

cos *

tan

x x

 

 



(1 sin cos ) sin( ) cos sin cos

cos

x x x

Pt x

x x

x



  

 



2

(1 sin 2sin ) sin( )

4 1

2 sin( )

x x x

x





   

 



2

sin

2 sin 2sin 2sin sin 1

sin x

x x x x

x  



        

 



Kết hợp điều kiện(*) ta có nghiệm pt

2

2

x k

k

x k

  

 

  

 

   

Z

2 2

2 25 26 13

36 36 36 18

   

 

     

Ví dụ 6. Phương trình

 

4

4 sin cos

cos

tan tan

4

x x

x

x x

 





   

 

   

    có số điểm biểu diễn nghiệm đường tròn lượng giác là:

A. B 4 C 6 D 8

Điều kiện:

sin( )

4

sin( )

4

os( )

4

os( )

4

x x k

x x k

c x x k

c x x k

 



 



 



 



 

   

 

 

     

 



 

     

 

 

     

 

Ta có:

tan tan tan tan 1 tan 1 tan

4

tan tan

4 1 tan tan 1 tan tan tan tan

4

x x x x

x x

x x

x x

 

 

 

 

 

   

    

   

 

     

 

sin 24 cos 24 cos 44 1sin 42 sin 42 sin 42

x x x x x x

         





sin sin 2sin cos

cos 0( )

x

x x x x k k

x L

 



        

 



Kết hợp điều kiện ⇒ nghiệm phương trình (1) x k 2(k Z) 

 

Vậy số điểm biểu diễn cần tìm

Lưu ý: Ở nầy điều kiện tốn gộp thành

p p

= + Ỵ

x k (k Z)

4

Bài tập rèn luyện kỹ năng Phương trình lượng giác bản

Câu 1. Phương trình

0 0

sin( 10 ) (0 180 )

x  x

có nghiệm là:

A x 300 x 1500 B x 200 x 1400

C x 400 x 1600 D x 300 x 1400

Câu 2. Số nghiệm phương trình os(c x 4)



 

với 0 x 2 là:

A 0 B 1 C 2 D 3

Câu 3. Phương trình sin(5x 2) m



  

có nghiệm khi:

A m 



1;3



B m  



1;1



C m R D m (1;3)

Câu 4. Phương trình tan(3x60 )0 m2có nghiệm khi:

A m  



1;1



B m 



0;1



C m R D m 

Câu 5. Phương trình có nghiệm t an(x-1) 2 là:

C xarctan(2)k2 ( k Z ) D x arctan(2) k 2(k Z)



   

Câu 6. Tổng nghiệm phương trình t anx 1 khoảng (0;10) là:

A

15



B

3



C

7



D 8

Câu 7. Phương trình sau tương đương với phương trình cosx  ?0

A sinx 1 B s inx1 C t anx 0 D cotx 0

Câu 8. Phương trìnhcos(x 3) sin

 

 

Có nghiệm dạng x  k2 xk2 (0 ; )Khi 

A 0 B





C

2



D

2





Câu 9. Phương trìnhcos2x cos(x 2)



 

có nghiệm thuộc (0;10 )

A 14 B 15 C 16 D 17

Câu 10. Nghiệm âm lớn phương trình cot tan(2 2)

x x  

A

2





B





C

4





D 0

Câu 11. Trong phương trình sau, phương trình vơ nghiệm?

A t anx 99 B cot 2018x 2017

C

3 sin

4

x 

D

2 cos(2 )

2

x   

Một số phương trình lượng giác thường gặp

Câu 12. Số nghiệm phương trình 2sinx  0 Trên đoạn



0; 2



A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 13. Phương trình tanm x  0 Có nghiệm

A m  m R0  C

3

1

m

  

D

3

1

m

  

Câu 14. Có giá trị nguyên m để phương trình 2cos2x m  1

Có nghiệm?

A 1 B 2 C 3 D Vô số

Câu 15. Tổng nghiệm phương trình 2sin(x 20 ) 00   khoảng (0 ,180 )0

A 2100 B 2000 C 1700 D 1400

0 x

A

1

m 

B m 3 C m 3 D

1

m 

Câu 17. Tổng nghiệm dương liên tiếp nhỏ phương trình: 2sin2x7 sinx 0 là:

A x





B

4



C 6



D

5



Câu 18. Nghiệm phương trình

t anx 2cosx

   là:

A

,

S  k k Z  

  B S (2k 1) ,k Z





 

    

 

C

2 ,

S  k  k Z 

  D S k 2,k Z

 

 

   

 

Câu 19. Nghiệm phương trình

2

2 tan

cos

x

x

 

là:

A x k ,k  B x



2k1 ,



 k 

C x k , k  D x k 3, k



  

Câu 20: Phương trình

6 sin6 13 22

8

x x x

cos cos

có điểm biểu diễm đường tròn lượng giác?

A 3 B 4 C 8 D 6

Câu 21: Có giá trị nguyên m để phương trình





2 2

sin x m  sinx m 

có hai

nghiệm thuộc

3 ; 2

 

 

 

  ?

A 1. B 2. C Vơ số. D Khơng có m

Câu 22: Giá trị m để phương trình cos2x



2m1 cos



x m  1 có nghiệm

3 ; 2

 

 

 

  là



;



m a b a b là:

A 0 B 1. C 1. D 2.

Câu 23: Phương trình

4 sin4 sin 3 0

4

x x x    x   

   

cos cos

có tổng nghiệm âm lớn liên tiếp là:

A

3





B . C





D

5





Câu 24: Phương trình sin6xcos6x3sin cosx x m  2 0 có nghiệm m



a b;



tích a b

A

9

4. B

9

2. C

75

16. D

15 .

Câu 25: Phương trình tanx2 cotx 0 có nghiệm dạng x k2

 

 

xarc tanm k ; k   thì:

A m  1 B m  2 C

1

m 

D m  2

Câu 26: Cho phương trình sau:

 

1 2sinx  0

 

2 sin 22 x 5 2x 7 0  cos   .

 

3 sin 38 83

xcos x

Trong phương trình trên, phương trình vơ nghiệm

A Chỉ phương trình (1) vơ nghiêm B Chỉ phương trình (2) vơ nghiệm

C Chỉ phương trình (3) vơ nghiệm D Cả phương trình vơ nghiệm Phương trình bậc sin x , cos x

Câu 27: Phương trình sinx m cosx 10 có nghiệm khi:

A 3 m m    

 . B

3 m m     

 . C

3 m m     

 . D    3 m

Câu 28: Phương trình sinx cosx có nghiệm dạng x  k2 x  k2, k   với

,

   

     là:

A   B 2   C 12   D 12 

Câu 29: Phương trình cos2xsinx cos



x sin 2x



có nghiệm là:

A





18 3 2 x k k x k                B





12 x k k x k                C





12 x k k x k                D





12 x k k x k               

Câu 30: Phương trình





3

sinxcos sinx x 3cos3x2 cos4xsin x

có tổng hai nghiệm dương nhỏ liên tiếp là:

Câu 31: Phương trình

2

sin cos

2

x x

x

 

  

 

 cos  có nghiệm dương nhỏ a nghiệm âm lớn

nhất b a b là:

A . B 2



C 3



D





Phương trình đẳng cấp bậc hai.

Câu 32: Số điểm biểu diễn nghiệm phương trình cos2x sin 2x 1 sin2x đường tròn lượng

giác là:

A 2. B 1. C 3 D 4.

Câu 33: Cho phương trình 2cos2x5sin cosx x6sin2x m 1 1

 

số giá trị m   để phương

trình

 

1 có nghiệm là:

A 5 B 6 C 7 D 8

Câu 34: Phương trình sinxcosx 4sin3x0 tương đương với phương trình:

A tanx  1 B sinx cosx 0 C 2cos2x  1 0. D sinx   1

Câu 35: Phương trình

1 sin cos

cos

x x

x

 

có bào nhiêu nghiệm



0; 2



?

A 2. B 3 C 4. D 5

Câu 36: Số giá trị nguyên m để phương trình 2sin2x sin cosx x m cos2x1 có nghiệm trên

; 4

 

 



 

  là:

A 1. B 2. C 3 D 4.

Phương trình đối xứng phương trình lượng giác khơng mẫu mực.

Câu 37: Phương trình sinxcosx sin 2x có số điểm biểu diễn đường trịn lượng giác là:0

A 1. B 2. C 3 D 4.

Câu 38: Có giá trị nguyên m để phương trình

sin 2 sin

4

x x   m

  có nghiệm?

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 39: Cho phương trình cotx tanxsinxcosx Khi đặt tsinx cosx thì:

A t  1 B t  1 C t  0 D t  1

Câu 40: Phương trình tanxcotx t có nghiệm khi:

A

2 t t

   

 . B

2 t t

    

Câu 41: Cho phương trình

 

2

3tan x4 tanx4cotx3cot x 2

Đặt tanxcotx t với



; 2

 

2;



t       phương trình

 

1 tương đương với phương trình:

A 3t24t 2 0. B 3t24t 0 . C 3t24t 0 . D 3t2 4t 0 .

Một số phương trình lượng giác khác.

Câu 42: Phương trình cosxcos 3x2cos5x có nghiệm 0 x k

    arc cos

x m k 

Giá trị m là:

A

1 17

m 

B

1 17 16

m 

C

1 17

m 

D

1 17 16

m 

Câu 43: Số điểm biểu diễn nghiệm phương trình sin 3x sinxsin 2x đường tròn lượng 0

giác là:

A 2. B 3 C 4. D 5

Câu 44: Phương trình

4

sin cos

4

x x 

  có bao nghiêu nghiệm



2 ;3  ?



A 1. B 2. C 3 D 4.

Câu 45: Phương trình cos cos33x xsin cos 33x xsin 43 x có nghiệm



0; 2



?

A 1 B 24 C 12 D 2

Câu 46: Phương trình

3

cos cos cos sin sin sin

2 2 2

x x x x

x  x 

có tích nghiệm



;0



là:

A   B  C 72  D 32  

Câu 47: Phương trình sin cos3x xsin cos 5x x có tập nghiệm là:

A





20 10 x k k x k              B





20 10 x k k x k             C





10 20 10 x k k x k                D





20 x k k x k             

Câu 48: Phương trình

1

4sin

sin sin

2 x x x                

  có tổng nghiệm âm liên tiếp lớn là: 

Câu 49: Số nghiệm phương trình

8

sin cos

3 x x



0; 2



là:

A 0 B Vô số C 2 D 4

Câu 50: Phương trình tan2x2sin2 x tanx 2 sinx  có nghiệm 2



0; 2



?

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 51: Phương trình

3

sin sin

10 2 10

x x

 

   

  

   

    có nghiệm



0;2



?

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 52: Phương trình sin



x 2cosx



 2 sin 2x có tập nghiệm là:

A

2 ,

S     k  k 

 . B

3

2 ,

S    k  k 

 .

C

3

,

S    k k 

 . D

5

2 ,

S   k  k 

 .

Câu 53: Phương trình

2

cos

cot sin sin

1 tan

x

x x x

x

   

 có nghiệm là:

A x k2



k



 

   

B x k



k



 

   

C x k



k



 

   

D





5

x  k  k 

Câu 54: Phương trình

2 cot tan 4sin

sin

x x x

x

  

có nghiệm



0; 2



?

A 2. B 4. C 6 D 5

Câu 55: Phương trình 2sin 22 xsin 7x1 sin x đưa phương trình tích phương trình tương

đương là:

A cos sin 3x



 x



 B 2 cos sin 3x



 x



 C cos sin 3x



 x



 D cos sin 3x



 x





Câu 56: Phương trình 2sin cos 2x



 x



sin 2x 1 cosx phương trình hệ phương trình:

A cos 2x  0 B 2 cosx   1 C sin 2x   1 D sin 2x   1

Câu 57: Phương trình

3 5sin cos

6sin 2cos

2cos

x x

x x

x

 

có số nghiệm



0; 2



là:

A 0 B 2 C 4 D 6

Câu 58: Phương trình sin 4xtanx có nghiệm dạng x k  xmarc cosn k 



k  thì



A

3

m n 

B

3

m n 

C

1

m n  

D

1

m n  

Câu 59: Phương trình

2

2

2

cos cos

cos tan

cos

x x

x x

x

 

 

có nghiệm



1;70



?

A 32 B 33 C 34 D 35

Phương trình lượng giác chứa tham số.

Câu 60: Phương trình



2sinx1 sin

 

x m



 (m tham số) có nghiệm 0



0;



khi:

A    m B m  C m 



0;1



D m 



0;1



Câu 61: Có giá trị nguyên âm lớn 10 m để phương trình



2cosx 1 2cos 2

 

x 2cosx m



3 4sin2 x

    

có hai nghiệm thuộc 2;  

 



 

  ?

A 7 B 6 C 2 D 3

Câu 62: Các giá trị m



a b;



để phương trình cos 2xsin2x3cosx m 5 có nghiệm thì:

A a b  B a b 12. C a b  D a b 

Câu 63: Cho phương trình sin



cos



cos

m

m x m x

x

  

Số giá trị nguyên dương m nhỏ hơn 10 để phương trình có nghiệm là:

A 8 B 9 C 10 D 7

Câu 64: Phương trình cos 2x



2m1 sin



x m 1 0 có nghiệm 2;

 

 



 

  tất giá trị

thỏa mãn:

A m  B m   C m  



1;1



D m  



1;1



Câu 65: Có giá trị nguyên m nhỏ 2018 để phương trình

2

3

3 tan tan cot

sin x x x x m có nghiệm ?

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Phương trình lượng giác bản

Câu 1: Đáp án B.









sin 10 sin 10 sin 30

o o o

x   x 





10 30 360 20 360

10 180 30 360 140 360

o o o o o

o o o o o o

x k x k

k

x k x k

      

    

     

 



Mà



0 ;180



20

140

o

o o

o x x

x

 

  



 .

Câu 2: Đáp án C.

1

cos cos cos

4 4

x  x  

   

    

   

   





2

4

2

2 2

4

x k

x k

k

x k

x k

 

 



  

 



   





   

  

    



 Biểu diễn đường lượng giác:

Vậy có 2 họ nghiệm thuộc



0; 2



.

Câu 3: Đáp án A.

Phương trình

sin

2

x  m

 

  

 

  có nghiệm m 1    1 m 1    m

Câu 4: Đáp án C.

Phương trình





tan x 60o m

 

có nghiệm m  

Câu 5: Đáp án B.

Phương trình tan



x1



 2 x 1 rac tan 2k  x 1 rac tan 2k



k 







tan

4

x  x k k 

Mà





1 10

0;10 10

4 4

x  k k



         

Do k k



0;1;2



 3 nghiệm 



0;10



x1





, x2 



 

, x3 



 

1

15

x x x 

   

Câu 7: Đáp án D.

Ta có cotx 0 cosx0

Câu 8: Đáp án D.

cos sin cos cos

3 3

x   x  

   

    

   

   





2

3

2

2 3

3

x k

x k

k

x k

x k

 

 



  

 



   





   

  

    





Vậy

0

2

3



  

 

  

   

 

 .

Câu 9: Đáp án B.

cos cos cos cos

2

x x x  x 

     cos 2x cos x



 

    

 

2

2

2

6

2

6

2 2

2

x k

x x k

x k

x x k x k

 





 

 

 

 

 

   



      



     



 

(Chú ý gộp nghiệm đường tròn lượng giác)

Ta có:

2 59

0 10 10

6 4

x   k   k

         

Mà k k



0;1; 2;3; ;14



Vậy có 15 giá trị k  có 15 nghiệm 



0;10







cot tan cot cot

2 2

x x x

x     x   x  k  x k 

    với k  .

Vậy nghiệm âm lớn

2

x 

Câu 11: Đáp án D.

Vì

2





Một số phương trình lượng giác thường gặp

Câu 12: Đáp án B.





2

3

2sin sin

2

2

x k

x x k

x k

  

 

  

      

  





Vậy phương trình có nghiệm thuộc



0;2



x 



2

x 

Câu 13: Đáp án A.

+ Với m  : Phương trình 0   0 (vô nghiệm)  m không thỏa mãn.0

+ Với m  : Phương trình 0

3 tan x

m

 

xác định với giá trị

3

m  .

Câu 14: Đáp án C.

2

2cos x m 1 0 có nghiệm

2

cos

2

m x 

 

có nghiệm

1

0 1 1

2

m

m m



          

Vậy có giá trị m nguyên thỏa mãn.

Câu 15: Đáp án D.













2sin 20 sin 20 sin 20 sin 30

o o o

x    x   x 





0

0

20 30 360 10 360

20 180 30 360 130 360

o o o

o o o o

x k x k

k

x k x k

      

    

     

 



Vậy tổng nghiệm



0 ;180



o o

là: 10o130o 140o.

Câu 16: Đáp án B.

Vậy m  3

Câu 17: Đáp án A.









2

1

sin 6

2 2sin 7sin

5

sin

6

x k

x

x x k

x VN x k

  

 

   

 

      





  

 



Vậy tổng nghiệm dương liên tiếp nhỏ là:

5 6

 



 

Câu 18: Đáp án C

tan cos

x x

  

Điều kiện:

1 cos

2 cos

x x 

 



 



Phương trình tanx x k



k







      

Kết hợp điều kiện suy nghiệm phương trình





2

x k  k 

Câu 19: Đáp án B.

Điều kiện: cosx x k



k







     

Ta có:

2

2

1

1 tan tan

cos cos

x x

x x

    

Phương trình 2

1 1

2 3

cos x cos x cos x cosx

 

        

 





 

1 cos 1

cos

1 cos

cos

x TM

x

x l

x 



  

   

 

  

  x  k2



k 



Câu 20: Đáp án C.



2



2 13 2 13

cos sin cos sin cos cos cos sin cos

8

x x x  x x  x x  x x

   





cos

1 13

1 cos cos

4 x x x          

cos cos

1 cos 2cos 13cos

2 x x x x x               





x k k x k                

Câu 21: Đáp án D.





2 2

2

sin

sin sin

sin x

x m x m

x m            

+ Với sinx x k2



k







     

có 1 nghiệm

3

;2

2

x    

 

+ Phương trình có nghiệm

3 ; 2      

   sinx m 2 4 có 1 nghiệm ;2      

  khác

2



Câu 22. Đáp án B.





cos 2x 2m1 cosx m  1  2cos2x



2m1 cos



x m 0

1 cos cos x x m       





; cos 1;0

2

x  x 

  cos x  

khơng có nghiệm thỏa mãn ; 2        .

Phương trình có nghiệm ; 2      

    1 m 0 a b 1.

Câu 23. Đáp án D.

4

cos sin cos sin

4

x x x    x   

   

2

1 2sin cos sin sin

2 2

x x   x   x

         

 

 

2

2 sin 2x cos 4x sin 2x

     





2

2 sin 2x 2sin 2x sin 2x

2

sin 2x sin 2x

   

 





sin 2 2 2

sin 2

x vn x k x k k

x

 

 

 

        



  .

Vậy tổng hai nghiệm âm lớn

3

4

  

  

Câu 24. Đáp án C

6

sin xcos x3sin cosx x m  2

2

3

1 sin sin 2

4 x x m

     

(*)

2

4m 3sin 2x 6sin 2x 12

   

Đặt tsin ,x t 



1;1



Xét f t

 

3t26t12



1;1



Suy (*) có nghiệm

3 15

3 15

4

m m

     

Vậy

75 16

ab 

Câu 25. Đáp án B.

Điều kiện



sin cos

x x .

Phương trình

2

2

tan tan 3tan

tan

x x x

x

       





tan

4 tan

arctan

x x k k

x

x k

 

 

  

 

   



   





Vậy m 2

Câu 26. Đáp án D.

Phương trình bậc sin ,cosx x

Câu 27. Đáp án A.

Phương trình có nghiệm

2 2

1 10

3

m

m m

m



     



 .

Câu 28. Đáp án C.

1 sin cos sin

3

x x  x

 





2

3 6

5

2

3

x k x k

k

x k x k

  

 

  

 

 

    

 

    

      

 



Câu 29. Đáp án A.





cos 2xsinx cosx sin 2x





sinx cosx sin 2x cos 2x

   

1 3

sin cos sin cos

2 x x x x

 

    

 

cos sin sin cos cos sin sin cos

3 x x x x

     

     

 

sin sin

3

x  x 

   

      

   

sin sin

3

x  x 

   

      

   





2

2

3 18

3

2 2

3

x x k x k

k

x x k x k

   



  

  

 

     

 

    

        

 



Câu 30. Đáp án C.





sinxcos sin 2x x cos3x2 cos 4xsin x



1 2sin2x



sinx cos sin 2x x 3 cos3x 2cos 4x

    

sin cos 2x x cos sin 2x x cos3x 2cos 4x

   

sin 3x cos3x 2cos 4x

  

1

sin cos3 cos

2 x x x

  

sin sin cos cos3 cos

6 x x x

 

  

cos cos

6

x  x

 

   

 





4 2

6

2

4

6 42

x x k x k

k

x x k x k

 

 

  



 

    

 

    

      

 



Hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ 2 13

,

42 42

x  x    x x 

Câu 31. Đáp án C.

2

sin cos cos

2

x x

x

 

  

 

1 2sin cos cos

2

x x

x

   

1 sin cos sin

3

x x x  

      

 





2

3 6

5

2

3

x k x k

k

x k x k

  

 

  

 

 

    

 

    

      

 



Nghiệm dương nhỏ



, nghiệm âm lớn





Vậy a b



 

Phương trình đẳng cấp bậc 2.

Câu 32. Đáp án D.

 

2

cos x sin 2x 1 sin x  sin2x2 sin cosx x cos2x1

- Với cosx 0 sin2x 1

 

1  1 vơ lí - Với cosx 0 chia hai vế cho cos x2

ta được:

 

1  tan2x2 tanx1



1 tan 2x



2

2 tan x t

  





tan

tan

3

x k x

k

x k

x

 

 

 

 

   

 

 

  

Vậy số điểm biểu diễn nghiệm đường tròn lượng giác

Câu 33. Đáp án C.

2

2cos x5sin cosx xcos x m 1 0

2 cos

2cos 5sin cos

x

x x x  m

    

5

cos sin 3cos sin 2cos

2

x x x m x x m

        

Phương trình có nghiệm









2

2

5

2

2 m

 

        



3



2 41 41

4

m m

     

41 41 41 41

3 3

2 m 2 m

          



0;1;2;3;4;5;6



Vậy có giá trị m thỏa mãn

Câu 34. Đáp án B.

Phương trình sinxcosx 4sin3x0 *

 

-Với cosx 0 sinx1 không thỏa mãn phương trình.

-Với cosx 0, chia hai vế phương trình cho cos x3 ta

 

*  tan tanx



 2x



 1 tan2x 4 tan3x0

3

3tan x tan x tanx

    

tanx sinx cosx

    

Câu 35. Chọn đáp án B.

Điều kiện cosx 0

Phương trình  tanx  1 tan2x tan2x tanx0





tan

tan

3

x k x

k

x k

x

 

   

 

   

 

 

  

Vây só nghiệm



0;2



Câu 36. Đáp án C.

 

2

2sin x sin cosx x m cos x1

Trên 4;

 

 



 

   cosx0

 

1 2 tan2x tanx m tan2x 1 m tan2x tanx 1

        

Đặt





tan 1;1 ;

4

x t   t   x   

 

Yêu cầu tốn tìm m để phương trình mf t

 

  t2 t có nghiệm



1;1



 Phương trình

 

1 có nghiệm

5 ;1

m  

Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn

Phương trình đối xứng phương trình lượng giác khơng mẫu mực.

Câu 37. Đáp án C.

 

sinxcosx sin 2x0

sinx cosx 2 sin cosx x

   

Đặt

sin cos sin 2;

4

t x x x   t  

 

  .

 





2 1 2sin cos 2sin cos 1 1 2 1 0

t   x x x x t    t t  

2

1

2 2

2

t t t

t

  

    

  

+ Với

1 1

2 sin sin

4

2

t  x   x 

   





2

4 12

7

2

6

4

x k x k

k

x k

x k

  

 

  

 

 

    

 

    

      

 



+ Với t 

2 sin sin

4 4

x  x  x   k 

   

           

   





3

x  k  k

    

Vậy có điểm biểu diễn nghiệm

Câu 38. Đáp án D.

sin 2 sin

4

x x   m 

   2sin cosx xsinx cosx m 1 0

Đặt

sin cos sin 2;

4

t x x x   t  

 

  .

2

2sin cosx xt 1

Phương trình  mt2t

 

* có nghiệm  2; 2

Phương trình

 

* có nghiệm

1 2;

4

m  

    

 

Vậy giá trị m    



3; 2; 1;0



thỏa mãn

Câu 39. Đáp án A.

Điều kiện







sin

cosxx x k 2 k





  

  .

Phương trình

cos sin

sin cos sin cos

x x

x x

x x

   





2

cos x sin x sin cos sinx x x cosx

   



sinx cosx

 

sin cosx x sinx cosx



    

 

 

sin cos

sin cos sin cos

x x

x x x x

  

    



Giải

 

1 sin x x k



k



 



 

       

  

Giải

 

2 Đặt t sinx cosx sin x t 2;



   

        

  ,

2

1 sin cos

2

t x x 

 





 

2

2

1

2

1

2

t tm

t

t t t

t l

   

        

  

1

sin

4

x  

 

 

 

  Vậy

1

2

t 

Câu 40. Chọn đáp án B.

Cách 1: Điều kiện để phương tình tanxcotx t có nghiệm: tan cot tan cot tan cot

t  x x  x  x  x x      t



; 2

 

 2;



Cách 2: Phương trình





1

tan tan

tan

x t x

x

  

có nghiệm

2

tan x t.tanx

    có nghiệm

2

0

4

0 t.0 t t

  

         

 .

Câu 41. Đáp án C.

2

3tan x4 tanx4cotx3cot x 2







2



4 tanx cotx tan x cot x

     





4t t 2 3t 4t

        

cosxcos3x2cos5x0



cos5x cosx

 

cos5x cos3x



    

2cos3 cos 2x x 2cos cosx x

  



4cos3x 3cosx



cos2x cos cosx x 0

   





cosx 4cos x 3cos cos 2x x cos 4x

    





cosx 2cos 2x cos 2x 2cos 2x 1

     





cosx 4cos 2x cos 2x

   

cos 17 cos

8

x

x

 



 

 







2

1 17

arccos

2

x k

k

x k

 





 



  



  





Vậy

1 17

m 

Câu 43. Đáp án C.

sin 3x sinxsin 2x0

2cos sinx x 2sin cosx x

  





sinx 2cos x cosx

   





sin

cos

1

cos

2

x x k

x x k k

x x k



 

 

 



  

 

     

 



   

 



Vậy có điểm biểu diễn nghiệm đường tròn lượng giác

Câu 44. Đáp án A.

2

4

1 cos

1 cos 2

sin cos

4 2

x x

x x

 

  

 

  



      

        

 

   

 

 









2

1 cos cos

2

x   x 

        

 

 



1 cos 2x



2



1 sin 2x



2

    

2

3 2cos 2x 2sin 2x

   

sin 2x cos 2x

  

2 sin sin sin

4 4

x  x  

               





x k k x k             

Vậy phương trình có nghiệm thuộc



2 ;3 



Câu 45. Đáp án B.

3 3

cos sin 3x xsin cos3x xsin 4x

3

cos3 3cos 3sin sin

.sin cos3 sin

4

x x x x

x x x

 

  





3

sin cos sin cos3 sin

4 x x x x x

  





3

3

sin sin sin12

4 x x x x k12 k



       

Vậy phương trình có 24 nghiệm



0;2



Câu 46. Đáp án B.

3

cos cos cos sin sin sin

2 2 2

x x x x

x  x 









1 1

cos cos cos sin cos cos

2 2

x x x x x x

    





cos cos 2x x cosx sin x sin cosx x

     









cos sinx x cosx sinx sinx cosx

    



sinx cosx





1 2sin2x sinx



0

    

2

sin cos 2sin sin

x x x x         tan sin 1 sin x x x          





2 6 x k x k k x k x k                             

Suy có hai nghiệm thuộc



;0











Vậy tích hai nghiệm

2

8



sin cos3x xsin cos5x x sin8xsin 2xsin12xsin 2x





12 2

sin8 sin12 12 8 2

20 `10

k x x x k

x x x x k k

x k                            

Câu 48. Đáp án D.

Điều kiện





sin 3 sin 2

x x k

k

x x k

                            Ta có

sin sin sin sin cos

2 2

x  x   x   x x

                                





sin sin sin sin cos

4 x x x x x

                              .

Phương trình





1

2 sin cos

sinx cosx x x

   



sin cos



2

sin cos x x x x         

sin cos sin cos 2 x x x x        

2 sin

4 sin 2 x x                





8 x k

x k k

x k                      

Vậy tổng nghiệm âm liên tiếp lớn

3

4 8

   

   

Câu 49. Đáp án A.

Ta có 8 sin cos x x x          8

sin x cos x

   , mà

2  . Vậy phương tình cho vơ nghiệm

Câu 50. Đáp án A.

2

tan x2sin x tanx 2 sinx 2



tan2x 2 tanx 1





2sin2x 2 sinx 1



0

      



tanx 1



2



sinx 1



2

    





tan 2 sin x

x k k

Vậy phương trình có nghiệm



0;2



Câu 51. Đáp án C.

Đặt

3 3x

3

10 2 10 10

x x

t       t    t

Phương trình





1

sin sin

2

t  t

  

2sint sin 3t

 





3

2sint 3sint 4sin t sin 2cos 2t t

     





3

sin 14

1

2

cos 5

6 4 x k t k t

x k k

t k t x k                                        

Vậy phương trình có nghiệm thuộc



0;2



Câu 52. Đáp án B.





2 sinx 2cosx  2 sin 2x

2 sinx 2 cosx 2sin cosx x

   



sinx 2

 

cosx 1



   

 





sin 3

2

cos

2

x vn

x k k

x              

Câu 53. Đáp án B.

Điều kiện sin cos tan x x x         Phương trình





2

cos sin cos sin

sin sin cos cos sin

sin

cos

x x x x

x x x

x x x x       









cosx sinx sin cos cosx x x sinx sinx cosx sinx

     



cosx sinx





1 sin cosx x sin2x



0

    

sin cos

1 cos

1 sin

2 x x x x           

 

 





tan

sin cos 4

x tm

x k k

x x vn

             

Điều kiện



sin sin 2 0 cos 2 1 cosxx0 x  x .

Phương trình

cos sin

4sin

sin cos sin

x x

x

x x x

   

2

2cos 2x 4sin 2x 2cos 2x cos 2x

      

 

cos2 1 cos2

2

x l

x

 

 

 







2

2

3

x  k  x  k k

       

Vậy phương trình có nghiệm



0; 2



Câu 55. Đáp án C.

2

2sin 2xsin 7x 1 sinx

2sin 2x sin 7x sinx

    

2 cos 4x cos sin 3x x

  





2cos sin 3x x

  

cos sin

x x  

   



Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 56. Đáp án D.





2sin cos 2x  x sin 2x 1 2cosx





2sin cosx x sin 2x 2cosx

     

2

4sin cosx x sin 2x 2cosx

   

2sin cosx x sin 2x 2cosx

   



2cosx sin 2

 

x 1



   

2 cos sin

x x

  

   



Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 57. Đáp án A

Điều kiện:cos 2x x k

 

   

Phương trình  6sinx 2cos3x5sin 2x.cosx

 

3

3sinx cos x 5sin cosx x *

   

- Với cosx  : Không thỏa mãn phương trình 0

 

* - Với cosx  : Chia hai vế cho 0 cos x ta được:3

 

* 3 tan tanx



2x



1 tanx 0

    

3

3tan x tanx

   

Kết hợp với điều kiện  Phương trình vơ nghiệm

Câu 58. Đáp án A

Điều kiện: cosx x k k; 



     

Phương trình  sin cosx xsinx 2sin cos cosx x x sinx

  

2

4sin cos cos 2x x x sinx

  





4 cos cos 2x x sinx

  

2 sin

2cos 2cos x

x x

 

 

  







sin

1

cos

2

1

cos

2 x

x

x VN



 



  

 

 

  

 





1

arccos

2

x k

k

x k



 

 

   

  



Z

1 3

2 2

m n  

    

Câu 59. Đáp án B.

Điều kiện: cosx x k k; 



    Z

PT:





2

cos 2x tan x cosx tan x

     

2

cos

2cos cos 1

cos x

x x

x  



    

 







2

2

3

2

x k

x k k

x k

 

 

    



    

   

Z

Mà





2

1;70 70

3

x   k  

3 105

2 k 

    



0;1; 2; ;32}

k

 

Vậy PT có 33 nghiệm



1;70



Phương trình lượng giác chứa tham số



2sinx1 sin

 

x m



0 *

 

có nghiệm thuộc



0;



 

 

sin sin x x m       

Giải

 

1 sin sin

x   

     





x k k x k                Z

 PT (1) khơng có nghiệm thuộc



0;



 (*) có nghiệm 



0;



sin x m

  có nghiệm 



0;



 m



0;1



. Chú ý: Độc giả giải cách khác sau: Có sinx



0;1



 x



0;



sin x m

 



0;1



m

 

Câu 61. Đáp án A.

PT



2cosx1 2cos 2x 2cos

 

 x m



 3 4sin2x có hai nghiệm

; 2         











 











2 2 2cos 4cos 2cos 2cos 2cos

2cos 4cos

1 cos (1)

2cos 2

3

4cos

cos (2)

4

x x x m

x x

x x m

x x m x m x                                 Giải (1): cos x 

có hai nghiệm thuộc

; 2         

=> Phương trình có hai nghiệm thuộc

; 2         

 (2) vô nghiệm (2)

Vậy có giá trị m thỏa mãn Chú ý: cos2x



0;1



 x R

Câu 62. Đáp án C

2

2

2

cos sin 3cos 5(*)

2cos 1 cos 3cos

cos 3cos

x x x m

x x x m

x x m

   

       

   

Đặt cosx t  



1;1



, phương trình  t23t m 5 Bảng biến thiên:

=> Phương trình (*) có nghiệm  2  m

7 m

    Vậy a + b = -8

Câu 63. Đáp án B





sin cos (*)

cos

m

m x m x

x

  

Điều kiện: cosx 0

 













2

* sin cos cos

1

sin cos

2

sin cos 1(1)

m x x m x m

m m

x x m

m x m x m

   



   

    

+ Từ m =

 

*  cosx0 loại điều kiện  m phương trình (*) vơ nghiệm.0 + Với m 0

=> (*) có nghiệm (1)





2





2 1 1

m m m

    

2 4 0

0 m

m m

m  

    

 

Vậy có giá trị m thỏa mãn

Câu 64. Đáp án B







 





 



2

cos 2 s n

1 2sin sin sin

2sin sinx sinx

1 sinx (1)

sinx-m 2sin

sinx (2)

x m i m

x m x x m

x m m

x

m

    

      

    



 

   



 

Giải (1):

1 sinx

2 

ln có nghiệm

;

 

 

  

 

m

Câu 65. Đáp án D









2

2

2

3

3tan anx cot sin

3 cot 3tan tan cot

3 tan cot tan cot

x t x m

x

x x x x m

x x x x m

   

       

      

Đặt

2 2

tan cot tan cot

t x x t   x x

2 t t

    

 => u cầu tốn trở thành tìm m để phương trình





3 t    t m0

có nghiệm t    



; 2

 

 2;



 m3t2  t

có nghiệm t    



; 2

 

 2;



Bảng biến thiên:

=> Phương trình có nghiệm  m7 Vậy có 2011 giá trị m nhỏ 2018

+ Với

sin 2sin cos cos

cos 2cos 1

x x x

x

x x

 

   

  