Phöông phaùp 1 : Bieán ñoåi baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh ñeán ñeán moät baát ñaúng thöùc hieån nhieân ñuùng Phöông phaùp 2 : Söû duïng caùc baát ñaúng thöùc cô baûn ñaõ bieát (Coâ [r]
(1)TÓM TẮT GIÁO KHOA I Các ký hiệu:
• A, B, C: góc đỉnh A, B, C
• a, b, c : độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C • ha, hb, hc : độ dài đường cao hạ từ đỉnh A, B, C
• ma, mb, mc : độ dài đường trung tuyến kẻ từ A, B, C
• la, lb, lc : độ dài đường phân giác kẻ từ A, B, C
• R : bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC • r : bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC • p =
2
1(a+b+c) : chu vi tam giác ABC
• S : diện tích tam giác ABC
c
a b
ma la
ha
H D M
B
A
C
II Các hệ thức lượng tam giác vuông :
Trong tam giác vuông ABC Gọi b', c' độ dài hình chiếu cạnh góc vng lên cạnh huyền ta có
các hệ thức:
⎩ ⎨ ⎧
= =
= =
⎩ ⎨ ⎧
= =
= =
= + = =
+ =
= =
gB b
tgC b c
gC c
tgB c b B
a C a c
C a B a b c
b h a
c b h
c b h
c b a
c a b
a b
cot
cot
cos
sin
cos sin
6
1 1
3
2 2
' '
2 2
' '
2
c &
(2)
c b
a h
c' b'
H A
B C
II Các hệ thức lượng tam giác thường 1 Định lý hàm số CÔSIN:
Trong tam giác ABC ta có :
C ab b
a c
B ca a
c b
A bc c
b a
cos
cos
cos
2 2
2 2
2 2
− + =
− + =
− + =
c b
a A
B C
Ghi nhớ: Trong tam giác, bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh trừ hai lần tích hai cạnh với cơsin góc xen chúng
Hệ quả: Trong tam giác ABC ta có :
bc a c b A
2 cos
2 2 + −
= ,
ac b c a B
2 cos
2 2 + −
= ,
ab c b a C
2 cos
2 2 + −
=
2 Định lý hàm số SIN:
Trong tam giác ABC ta có :
R C c B b A a
2 sin sin
sin = = =
Hệ quả: Với tam giác ABC, ta có:
(3)c
a b O
B C
Ghi nhớ:
Trong tam giác, tỷ số cạnh tam giác sin góc đối diện với cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác
3 Định lý đường trung tuyến: Trong tam giác ABC ta có :
4
4
4
2 2
2 2
2 2
c b a m
b c a m
a c b m
c b a
− + =
− + =
− + =
4 Định lý diện tích tam giác:
Diện tích tam giác ABC tính theo cơng thức sau:
) )( )( (
4
3
sin sin sin
2
2
1
1
1
c p b p a p p S
pr S
R abc S
A bc B
ac A ab S
ch bh
ah
S a b c
− − − =
= =
= =
=
= =
=
c
a b ma
M B
A
(4)c
a b ha
H B
A
C
5 Định lý đường phân giác:
b a
C ab l
c a
B ac l
c b
A bc
la b c
+ = +
= +
= cos ; cos2 ; cos2
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC
Để chứng minh đẳng thức lượng giác A=B ta thực theo phương pháp sau Phương pháp 1: Biến đổi vế thành vế
Phương pháp 2: Xuất phát từ một hệ thức biết để suy đẳng thức cần chứng minh VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Chứng minh đẳng thức sau: a) sin A sin B sin C 4.cos cos cosA B
2
+ + = C
2
b) sin A sin B sin C 2 cosA.cosB.cosC2 + + = + Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Chứng minh đẳng thức sau:
a) tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC+ + = (ΔABC khoâng vuoâng) b) tg tgA B tg tgB C tg tgC A
2 + 2 + 2 =
Dạng 2: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC
I Bất đẳng thức tam giác :
Nếu a, b, c ba cạnh tam giác : • a > 0, b > 0, c >
• b c a b c− < < + • c a b c a− < < + • a b c a b− < < + • a b c> > ⇔ > >A B C
(5)Cho hai số không aâm a; b ta coù :
2 ≥ ab
Dấu "=" xãy a=b
Tổng quát :
Cho n số không âm a1,a2, an ta có :
1
n n .
n
a a a a a a
n
+ + + ≥
Daáu "=" xãy a1 = a2 = = an
2 Bất đẳng thức Bunhiacốpski : Cho bốn số thực a,b,x,y ta có :
(ax by+ )2 ≤(a2+b x2)( 2+y2)
Dấu "=" xãy ay = bx
Tổng quát :
Cho hai số ( ,a a1 2, )an ( , , , )b b1 bn ta coù :
2 2 2
1 2 2
(a b a b+ + + a bn n) ≤(a +a + + an )(b +b + + bn )
Dấu "=" xãy 2
n
n
a
a a
b =b = = b với quy ước mẫu tử
3) Bất đẳng thức bản:
1 1 1( )
≤ +
+
x y x y
a) Cho hai số dương x, y ta có:
Dấu "=" xãy x = y
b) Với số thực x, y ta có: x2 + y2 ≥2xy
Dấu "=" xãy x = y III Bất đẳng thức JENSEN :
1) Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) < ∀x∈(a;b) (f hàm lồi)
Với x1,x2, ,xn∈(a;b) ta có:
( 1) ( 2) ( ) ( )
n x x x f n
x f x
f x
f n + + n
≤ +
+
+
) (n≥
Dấu "=" xãy x1 =x2 = =xn
2) Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) > ∀x∈(a;b)(f hàm lõm)
(6)( 1) ( 2) ( ) ( ) n x x x f n x f x f x
f n + + n
≥ + + + ) (n≥
Dấu "=" xãy x1 =x2 = =xn
Để chứng minh đẳng thức lượng giác A<B (>, ≥≤, ) ta thực theo phương pháp sau:
Phương pháp 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến đến bất đẳng thức hiển nhiên Phương pháp 2: Sử dụng bất đẳng thức biết (Cô si, BCS, ) để suy bất đẳng thức cần chứng minh
VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
8 sin sin
sin A B C ≤
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a) 3 cos cos
cos A+ B + C ≤
b) 3 sin sin
sinA+ B+ C≤
c) 2
2 + + ≥
C tg B tg A tg
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a) 3 cos cos
cos A B C ≤
b) tgA+tgB+tgC ≥3
c) 3 ≤ C tg B tg A tg
Daïng 3: NHẬN DẠNG TAM GIÁC
KIỂU ĐỀ TỐN 1:
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ Δ ⇒ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ biệt đặc góc có giác tam giác tam cân giác tam cân vuông giác tam vuông giác tam ABC trước" cho kiện Điều " mãn thỏa ABC giác tam Cho THÌ
KIỂU ĐỀ TỐN 2:
(7)• Đẳng thức lượng giác + độ dài (cạnh, trung tuyến, phân giác, ) • Đẳng thức độ dài
• Hệ đẳng thức
1) Nhận dạng tam giác vuông
Phương pháp: Sử dụng phép biến đổi tương đương hệ để biến đổi "Điều kiện cho trước" đến đẳng thức mà từ ta dể dàng kết luận tính chất tam giác 2) Nhận dạng tam giác cân
Phương pháp: Sử dụng phép biến đổi tương đương hệ để biến đổi "Điều kiện cho trước" đến đẳng thức mà từ ta dể dàng kết luận tính chất tam giác 3) Nhận dạng tam giác
Ngồi phương pháp nêu ta giải toán theo cách sau
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: Gồm bước (áp dụng "Điều kiện cho trước" có dạng đẳng thức A = B
Bước 1: CM bất đẳng thức A≥B A≤B (1)
Bước 2: Lập luận để đẳng thức (1) xãy mà đẳng thức (1) xảy tam giác ABC VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1: Tam giác ABC có tgA A B
B A
= +
+ cos sin
cos
sin Chứng minh
ΔABC vuông
Ví dụ 2: Chứng minh ΔABC thỏa mãn điều kiện cos2A+cos2B+cos2C+1=0 tam giác tam giác vng
Ví dụ 3: Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện sau tam giác cân
1) tgA tgB 2.cot gC
2
+ = 2) sin A sin B sin C cot g cot gA C
sin A sin B sin C 2
+ +
=
+ −
Ví dụ 4: Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện sau tam giác
2)
A B C
cos cos cos
2 2 3
1 cosA cosB cosC+ + + + + = 1) cosA.cosB.cosC
8 =
3) cosA cosB cosC sinA sinB sin
2
+ + = + + C
2 4)
1 1 1
A B
cosA cosB cosC sin sin sin
2
+ + = + + C
2
Ví dụ 5: Xác định dạng tam giác ABC biết: 1) a b tg (a.tgA b.tgB)C
2
+ = +
2) b c a
cosB cosC sin B.sin C+ =
3) cosB cosC b c a +
+ =
4) a.cosA b.cosB c.cosC
a b c
+ + =
+ +
Ví dụ 6: Hãy tính góc tam giác ABC tam giác ta có :
2 2
sin A sin B sin C 3cosC cos C
4
(8)Ví dụ 7: Tính góc tam giác ABC biết raèng
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
− = ≤ −
8 3 2 sin sin sin
) (
C B A
bc a p p
BC = a, AB = c,
2
c b a p= + +