+) Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) (trên[r]
(1)TOÁN 10
Đại số: Bất phương trình, hệ bất phương trình ẩn I Khái niệm bất phương trình ẩn
1 Định nghĩa
Cho hai hàm số f(x),g(x) cócác tập xác định Df,Dg Đặt Df Dg=D, mệnh đề chứa biến x D dạng f(x)>g(x) gọi bất phương trình ẩn
Ví dụ: 2x+3>3x+6; 2x2+3x < 2x+5; 3x3+6x 5x+3
2 Tập hợp nghiệm
Tập hợp nghiệm bất phương trình f(x) > g(x) tập hợp tất giá trị x0D: f(x0)g(x0)
3 Điều kiện bất phương trình
Là điều kiện ẩn x cho f(x) g(x) có nghĩa
Ví dụ: Điều kiện bất phương trình 3 x x 1 x2 3x0 x+10
4 Bất phương trình chứa tham số
Là bất phương trình chứa chữ khác ngồi ẩn Ví dụ: mx+2>5 (tham số m)
5 Hệ bất phương trình ẩn
Là hệ gồm từ hai bất phương trình bậc ẩn
Để giải hệ bất phương trình ta giải bất phương trình lấy giao tập nghiệm đó.
Ví dụ: Giải hệ
3
1
x x
III Bất phương trình tương đương
Định nghĩa: hai bất phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Định lý
2.1 Định lý (phép cộng, trừ):
Cho f(x) > g(x) xácđịnh D Nếu h(x) xác định D thì: f(x) > g(x) f(x) + h(x) > g(x) + h(x)
* Hệ quả: Nếu chuyển biểu thức từ vế sang vế phương trình đổi dấu ta bất phương trình tương đương với phương trình cho
2.2 Định lý (phép nhân, chia): Cho f(x) > g(x) xác định D
+ Nếu h(x) xác định D h(x)>0 với xD bất phương trình: f(x) > g(x) f(x).h(x) > g(x).h(x)
+ Nếu h(x) xác định D h(x)<0 với xD bất phương trình: f(x) > g(x)f(x).h(x) < g(x).h(x)
2.3 Định lí (bình phương): Nếu f(x) 0, g(x) thì f(x) > g(x) f2(x) > g2(x)
* Chú ý: Khi giải bất phương trình cần lưu ý vấn đề sau + Đặt điều kiện (nếu có) trước biến đổi bất phương trình
+ Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với biểu thức ý xem biểu thức âm hay dương, biểu thức mang hai giá trị âm dương
+ Khi qui đồng mẫu số bất phương trình: biết chắn mẫu dương khơng đổi dấu + Nếu f(x)<0, g(x)<0 f(x) <g(x) f(x) > g(x) Khi ta bình phương vế
* Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau a) 2x+3 > x+7
x > => tập nghiệm T=(4;) b) 2x-10 3x-2
-x 8 x8 => T=( ;8] * Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau
(2)b)
2
2
1
2
x x x x
x x
Đáp án: x<1
c) x2 2x2 x2 2x3 Đáp án: x> ¼ * Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau
a)
5 3
1
4
x x x x
Đáp án: 1/3<x≤3
b)
1 1
1
x Đáp án: 1<x≤2
c)
2 17
4
x x
Đáp án: x<4 Chú ý: Các dạng bất phương trình thức:
√A <√B ⇔ A ≥ 0 A < B
¿
¿ {¿ ¿ ¿ ;
√A ≤√B ⇔
A ≥0 A ≤ B
¿
¿{¿ ¿ ¿
√ A < B ⇔
A ≥0 B > 0 A < B2
¿
¿{¿ {¿ ¿ ¿ ;
√ A ≤ B ⇔
A ≥0 B ≥0
A ≤B2
¿
¿ {¿ {¿ ¿ ¿
√ A > B ⇔
¿
A ≥0 B < 0
¿
[
¿
B ≥0 A > B2
¿
¿[ {¿ ¿ ¿ ;
√ A ≥ B ⇔
¿
A ≥0 B ≤0
¿
[
¿
B ≥0
A ≥B2
¿ ¿[ {¿ ¿ ¿
√A <√3B ⇔ A< B
IV Bất phương trình ax+b > 0
Từ bất phương trình ax+b > ax > -b (1) Biện luận:
+ Nếu a = => (1) 0x > -b b > => bpt VSN b < => bpt VN b = => bpt VN
+ Nếu a > => bpt có nghiệm x > a b
+ Nếu a < => bpt có nghiệm x < a b
Ví dụ : giải biện luận bất phương trình (m-1)x -2+3m > (1)
Giải
(1) (m-1)x > 2-3m (2)
Nếu m-1= m=1 (2) 0x > -1 => bpt VSN
Nếu m-1> m > => bpt có nghiệm x >
m
m
Nếu m-1 < m < => bpt có nghiệm x <
m
m Kết luận:
(3)m > bpt có nghiệm x > m m
m < bpt có nghiệm x < m m BÀI TẬP 1/ Giải bất phương trình sau
a) x x (2 x3)( x1) b) ( 1 x3)(2 1 x 5) 1 x c) (x 4) (2 x1) 0 d) (x2) (2 x 3) 0
e) 2(x1)+x >
3 x
f) (x 2)2 (x 2)2 2
g) x(7x)+6(x1)<x(2x) h)
2
3
2
x x x x
k) (x2) x3 x4 0 l) (x2) x3 x4 0 m) (x1) (2 x 2) 0 n) 2x 8 4x 21 0
Đáp số: a) S= [0;3) b) S= (;5) c) S=(1;4) (4;+) d) S= (3;+) e) S=(9/4;+); f) S=(; / 4); g) (;6/11); h) S=[5;+); k) S=[3;2] l) S=(;4) (3;2) m) S={1}[2;;+) n) S=[21/4;13/2) 2/ Giải hệ bất phương trình sau:
a)
3
4
x x x x
b)
4
2 12
x x x x
c)
5
5
x x x x d)
2
5
x x x x e)
8 15
8
2
x x x x x x f) 2
2
4
x x x
x x g)
6
6
3 x x x x
h)
3 3(2 7)
5
1 5(3 1)
2 x x x x i)
3
2
2
3
5
x x x x
x x Đáp số: h) S=(4/13;19/10); i) S=(;13/27]
3/ Tìm điều kiện bất phương trình sau:
a 2
1
4 ( 1)
x x
x x
b 3 2 3 x x x x 4/ CMR bất phương trình sau vơ nghiệm:
a/x2 x1 1 b/ 2 x x 2 c/
4
8 ( 1)( 3)
x x
x x x
d/
1 x x 5/Giải bất phương trình sau:
a
( 3)
5 x x x
b x2 > x c x4x2 d
1 x 6/ Giải biện luận bất phương trình sau:
a mx + > 2x – m b m(x-1) ≤ x + 3m 7/ Tìm k để hai bất phương trình sau tương đương:
(4)8/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm:
2 (1 )
x x
m x m
(ĐS: m<1) 9/ Tìm m để hệ bpt sau vơ nghiệm:
a
4
3
x m
x x
b
2
2
x x
mx m
10/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm :
5
3
x m x
x x m
(ĐS: m= 7)
_ Hình học: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
I. LÍ THUYẾT
Cho ABC có: – độ dài cạnh: BC = a, CA = b, AB = c
– độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C: ma, mb, mc
– độ dài đường cao vẽ từ đỉnh A, B, C: ha, hb, hc
– bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r – nửa chu vi tam giác: p
– diện tích tam giác: S 1 Định lí cơsin
a2 b2c2 cosbc A; b2 c2a2 cosca B; c2 a2b2 cosab C 2 Định lí sin
a b c R
A B C
sin sin sin 3 Độ dài trung tuyến
a b c a
m2 2( 2)
4
; b
a c b
m2 2( 2)
4
; c
a b c
m2 2( 2)
4
4 Diện tích tam giác
S = aha bhb chc
1 1
2 2 2
= bc A ca B ab C
1 sin sin sin
2 2 2
=
abc R
4 = pr
= p p a p b p c( )( )( ) (công thức Hê–rông)
Giải tam giác tính cạnh góc tam giác biết số yếu tố cho trước. Dạng 1: Tính tốn yếu tố tam giác
Phương pháp: Tùy theo giả thiết tốn, để tìm yếu tố tam giác ta có thể: - Áp dụng trực tiếp định lý cosin, định lý sin, công thức trung tuyến, công thức diện tích
- Chọn hệ thức thích hợp cho phép tìm số yếu tố trung gian cần thiết, từ ta tìm yếu tố cần tìm
Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc A=1200, cạnh AB =1 cạnh AC=2 a) Tính cạnh BC
b) Trên CA kéo dài lấy điểm D cho BD=2 Tính độ dài AD Giải:
D
B C
(5)a) Áp dụng định lý cosin tam giác ABC có:
2 2 2 . cos
1 2.1.2.( )
2
BC AB AC AB AC BAC
BC
b) Áp dụng định lý cosin cho tam giác ABD, có :
2 2
2
2 cos
1 13
4 2.1
2
BD AB AD AB AD BAD
AD AD AD AD AD
Bài tập:
1) Tam giác ABC có a=12, b=13, c=15 Tính góc A độ dài trung tuyến AM 2) Tam giác ABC có a=5; b=4, c=3 Lấy điểm D đối xứng B qua C Tính độ dài AD
3) Chứng minh tam giác ABC vuông A 5ma2 mb2mc2
Bài 4: Cho tam giác ABC có cạnh a=7, b=24, c=23 a) Tính góc A tam giác ABC ( làm trịn đến phút)
b) Tính diện tích S, bán kính đường tròn ngoiaj tiếp, nội tiếp tam giác, độ dài đường cao AH đường trung tuyến AM tam giác ABC
Giải:
a)Áp dụng định lý cosin cho tam giác ABC ta có:
2 2 2
0
24 23 22
cos 16 57'
2 2.23.24 23
b c a
A A
bc
b)Ta có 27
a b c p
nên S p p a p b p c( )( )( ) 27.20.3.4 36 5
Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác :
23.24.7 161
4 4.36 30
abc R
S
Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác:
36 5
27
S r
p
Đường cao từ đỉnh A:
2 72
S AH
a
Độ dài trung tuyến
2 2
2 2161 2161
2 4
b c a
AM AM
Bài 5: Cho tam giác ABC có góc B45 ,0 C750 Đường phân giác AD=4 Tính độ dài AC, BC, AB bán
kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC (biết
0 2(1 3)
sin 75
4
Giải:
Ta có BAC180 45 75 60 BAD DAC 300 750
ADC ACD
cân A AD AC 4 Áp dụng định lý sin cho tam giác ABC có:
A
D C
(6)2 sinC sin sin
AB AC BC R
B A
Do
0 sin 4.sin 75
2(1 3) sin sin 45
AC C AB
B
0
.sinA 4.sin 60
2 6; 2
sin sin 45 2sin
2
AC AC
BC R
B B
Bài 6: Cho tam giác ABC có mb 4;mc 2;a3 Tính độ dài cạnh AB AC.
Giải:
Áp dụng công thức trung tuyến ta có:
2 2
2
2 2 2
2 2 2 2
2
2(9 ) 64 46 14 14
2
2(9 ) 16 2 30 30
2
b
c
a c b
m c b b c b b
a b c b c b c c c
m
Vậy AB 30; AC 14 Bài tập nhà:
Bài 7: Cho tam giác ABC có a=12, b=13; c=15 Tính cos A góc A Bài Cho tam giác ABC có a=8; b=10; c=13
a) Tính góc lớn tam giác, tam giác có tù khơng?
b) Tính độ dài đường trung tuyến MA, diện tích, bán kính đường trịn nội tiếp tam giác
Bài 9: Cho tam giác ABC có góc A60 ,0 B45 ,0 b2 Tính cạnh a, c diện tích bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác
Bài 10: Cho tam giác ABC có góc A120 ;0 b8,c5 Tính cạnh a, góc B, C , bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác đường cao hạ từ đỉnh B
Chứng minh vài hệ thức liên quan đến yếu tố tam giác PP: Sử dụng cơng thức có sẵn để biến đổi vè thành vế
Bài 1: Cho tam giác ABC
a) Chứng minh
2 2
2 2
tan tan B
A c a b c b a
b) Trên AB AC lấy điểm M, N Chứng minh
ANM ABC
S AM AN
S AB AC
Giải:
a)
2
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
tan sin cos 2 2 4
tan B cos sin
2
2
c a b c a b a
A A B R ac Rc c a b
b
c b a c b a
A B c b a
R
bc Rc
b) Áp dụng cơng thức tính diện tích
sin
(7)1. . .sin
2 .
1. . .sin
ANM ABC
AM AN A
S AM AN
S AB AC A AB AC
Công thức hữu hiệu việc tính tỉ số diện tích tam giác có chung góc
Bài 2: Cho tam giác ABC thỏa mãn bccosA ac cosB ab cosC a 2 Tam giác tam giác gì? Giải:
2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2 2
cos cos cos
2 2
2
bc A ac B ab C a
b c a a c b b a c
bc ac ab a
bc ac ab
b c a a c b b a c a b c a
Do tam giác ABC vng A
Chú ý: Nếu VP thay b c2( )2 tam giác vuông B ( C). Bài 3: Cho tam giác ABC, có trọng tâm G Chứng minh:
a) 4(ma2mb2mc2) 3( a2b2c2)
b)
2 2
2 2
3
a b c GA GB GC
Giải:
a) Áp dụng công thức độ dài trung tuyến ta có:
2 2
2 2 2 2 2
2 2
4 2( )
4 2( ) 4( ) 3( )
4 2( )
a
b a b c
c
m b c a
m a c b m m m a b c
m a b c
b) Ta có:
2 2
; ;
3 a b c
GA m GB m GC m
nên:
2 2
2 2 4( 2 2)
9 a b c
a b c GA GB GC m m m
( theo a) Bài 4: Cho tam giác ABC có BC=a; CA=b; AB=c Chứng minh rằng
a) a b cosC c.cosB
b) a2 2(b2 c2)
c) sinAsin B.cosCsin cosC B
d)
2 2
( )
cotA cotB cotC R a b c abc
e) ha 2 sin sinR B C
HD: Viết ra
(8)sinA 2sinB.cosC tam giác ABC cân. HD: dùng
Bài 6: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
a) Góc A nhọn sin2Asin2Bsin2C
b) Góc A tù cỉ 2
1 1
a b c
h h h
HD: Dùng định lý sin cơng thức diện tích Giải tam giác ứng dụng thực tế
PP: thường dùng định lý sin cosin
Ví dụ 1: Biết lực tác dụng vào vật, hợp với góc 400 có cường độ 3N 4N Tính cường độ hợp lực
Giải:
Đặt lực AB AD,
có AB=3,AD=4,BAD 400
Vẽ hình bình hành ABCD góc ABC140 ,0 AB AD AC
Áp dụng định lý cosin cho tam giác ABC :
2 2 2 . .cos1400 9 16 2.3.4.cos1400 43,39
6,6
AC AB BC AB BC AC
Vậy cường độ lực tổng hợp 6,6N
Ví dụ 2:Khoảng cách từ A đến B đo trực tiếp phải qua đầm lầy người ta xác định điểm C mà từ nhìn A, B AC= 200m, BC= 160m, ACB=52016’ Tính AB
Giải:Áp dụng định lý cosin cho tam giác ABC ta có:
2 2
2
2 cosC
200 160 2.200.160.cos52 16' 26432
163
AB CA CB CA CB
AB m
Bài tập:
Bài 1: Khoảng cách từ A đến C đo trực tiếp phải qua hố sâu nên người ta làm sau: Xác định 1 điểm B có khoảng cách AB=120m, BC= 50m đo góc ACB 370 Hãy tính khoảng cách AC.(156m)
Bài 2: Người ta cần đo chiều cao CD tháp vói C chân tháp, D đỉnh tháp Vì khơng thể đền chân tháp được nên từ điểm A B có khoảng cách AB=30m cho A, B, C thẳng hàng, ta đo góc
43 ,0 670
CAD CBD tính chiều cao CD tháp.(46,3m)
Bài 3: Một người quan sát đứng cách tháp 10m nhìn thấy tháp góc 55 độ phân tích
trên hình vẽ Tính chiều cao tháp B
H
0
45 A
(9)TOÁN 11
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Định nghĩa:
a) Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (un) có giới hạn n dần tới vơ cực, un nhỏ
một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Kí hiệu:n lim un 0 hay un 0 n +
b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn a hay (un) dần tới a n dần tới vô cực (n ),
lim n
n u a Kí hiệu: nlim un a hay un a n +
Chú ý: nlim un lim un
2 Một vài giới hạn đặc biệt.
a)
* k
1 1
lim 0 , lim 0 , n
n
n
b) lim
n q
với q 1
c) Lim(un)=c (c số) => Lim(un)=limc=c Một số định lý giới hạn dãy số
a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) (wn) có :
* n
v un wn n và
n
lim vn lim wn a lim u a
b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì:
lim un vn lim un lim vn a b
lim u vn. n lim limun vn a b.
* n
lim
lim , v n ;
lim
n n
n n
u
u a b
v v b
lim un lim un a u , n 0 ,a 0
4 Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội q ,với q 1.
1
lim lim
1 n
u S
q
5 Dãy số dần tới vơ cực:
a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực u n n dần tới vơ cực n un lớn số dương bất kỳ, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim(un)= hay un n
b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn n limun .Ký hiệu: lim(un)= hay un
khi n .
c) Định lý:
(10)o Nếu : * n
lim u n u 0 , n
1 lim
n u
o Nếu : lim u n
1
lim 0
n u
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
1 Giới hạn dãy số (un) với
n
P n u
Q n
với P,Q đa thức:
o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao P a0, hệ số cao Q b0 chia tử số mẫu số
cho nk để đến kết : 0
lim un a
b
o Nếu bậc P nhỏ bậc Q = k, chia tử mẫu cho nk để đến kết :lim(u n)=0 o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử mẫu cho nk để đến kết :lim(u
n)=
2 Giới hạn dãy số dạng:
n
f n u
g n
, f g biển thức chứa căn.
o Chia tử mẫu cho nk với k chọn thích hợp. o Nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp
C CÁC VÍ DỤ.
1
2
2 2 2
2
2
3 3
3
lim lim lim 1 8
7
7 7
n n
n n n n n
n n
n n
n n n
2
2
2 1 4 1 4 1 12 4 1 5
lim lim 3 2 lim 2
3 2 3 3 3
n n
n n n n
n n
n n
3
2 2
2
2
2 3 2 3 2 3
lim 2 3 lim lim
2 3 2 3
n n n n n n n n n
n n n
n n n n n n
2
2
3 2
2 3 2 3 2
lim lim lim 1
1 1
2 3
2 3
2 3 1 1 1 1
n n n
n n n n
n n n n
2 2 3
(11)4
1
1 1 1 1 1 2
1 .
1
2 4 8 2 1 3
2 n
Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng
bội
1 2
q
số hạng đầu u1=1
5
3
3 3 2 3
2
2
3
2 1
2
lim lim lim 1 3
2
2
n n
n n n n n
n n
n n
n n n
n
2 3 2
3 3 3
3
2 3 3 3 2
3
2 2
lim lim
2
n n n n n n
n n
n n n n
3 3
2 3 3 3 2 3 3 3 2
3
2 2
lim lim
2 2. 2 2.
n n n n
n n n n n n n n
2 3
3
2
lim 0
2 2.
n n n n
D BÀI TẬP
1 Tìm giới hạn:
a) 2 7 lim 5 2 n n n b) 2 1 lim 2 n n c) 2 3 1 lim 4 n n d) 3
6 3 1
lim 7 2 n n n n e) 2 4 lim
7 2 9
n n n n f) 2 2 lim 4 2 n n g)
3 8 1
lim 2 5 n n
h)
2
lim n 2n 3 n
i) lim n 1 n
2 Tìm giới hạn sau:
a)
1 lim 3 n n b) 5sin 7cos lim 2 1 n n n
3 Tìm giới hạn sau:
a)
2
3 1 1
lim n n
n
b)
3
3
lim n 2n n
c)
2
lim n 1 n
d)
2
2
1
lim a 1, b
1
n
n
a a a a a
b b b b b
(12)e)
3
4
2 lim
3 2
n n n
f)
1
2
1 lim
2 1
n
n n
n
g)
2
lim 1n n 3n1
h)
2
4
1 lim
1
n n
n n
i)
2
lim
1
n n n
n n
j) 2 2
1 1 1 1
lim 1 1 1 1
2 3 4 n
k) 2
1 1 1
lim
1 2
n n n n
4 Tìm tổng cấp số nhân lùi vô hạn sau:
a)
3
2 11 1
lim
2
n n
n
b) 2
1 lim
2 4
n n
c)
3
3
lim n n n n
_
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định khoảng K.Ta nói hàm số f(x) có giới hạn L x dần tới a với dãy số (xn), xnK xn a ,
*
n
mà lim(xn)=a có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu:
lim
x a f x L
2 Một số định lý giới hạn hàm số:
a) Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn L giới hạn nhất.
b) Định lý 2:Nếu giới hạn:limx a f x L , limx a g x M thì:
lim lim lim
x a f x g x x a f x x a g x L M
lim . lim .lim .
x a f x g x x a f x x a g x L M
lim
lim , M 0
limx a x a
x a f x
f x L
g x g x M
lim lim ; 0,
x a f x x a f x L f x L
c) Cho ba hàm số f(x), h(x) g(x) xác định khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x)f(x)
h(x) x K x a, limx a g x limx a h x L limx a f x L
3 Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:
a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , với dãy số (xn), lim(xn) = a , có lim[f(xn)]= ta nói
(13)b) Nếu với dãy số (xn) , lim(xn) = có lim[f(xn)] = L , ta nói f(x) có giới hạn L x dần tới
vơ cực, kí hiệu:limx f x L
c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số đòi hỏi với dãy số (xn), mà xn > a
*
n
, ta nói f(x) có
giới hạn bên phải a, kí hiệu :x alim f x
Nếu đòi hỏi với dãy số (xn), xn < a
*
n
ta nói hàm số có giới hạn bên trái a , kí hiệu: x alim f x
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp dạng sau:
1 Giới hạn hàm số dạng:
lim x a f x g x
o Nếu f(x) , g(x) hàm đa thức chia tử số , mẫu số cho (x-a) (x-a)2. o Nếu f(x) , g(x) biểu thức chứa nhân tử mẫu cho biểu thức liên hợp
2 Giới hạn hàm số dạng:
lim x f x g x
o Chia tử mẫu cho xk với k chọn thích hợp Chú ý x coi x>0, x thì coi x<0 đưa x vào khỏi bậc chẵn
3 Giới hạn hàm số dạng: limx f x g x . 0. Ta biến đổi dạng:
4 Giới hạn hàm số dạng: limx f x g x -
o Đưa dạng:
lim x
f x g x f x g x
C CÁC VÍ DỤ
1 2
2 3 2 2
3 2 12
lim 3
2 2 2 4
x x x x
2 2
2 1
3 2
lim lim lim 1 1
2 2
x x x
x x
x x x
x x
.Chia tử mẫu cho (x-2).
3
2
3 3
1 2 1 2 3 3 1 4 3 3
1 2
lim lim lim
3 3 3 3 1 2 3 3 3 3 1 2
x x x
x x x x x
x
x x x x x x
3
3 3 3 3 3 3.3 3 6 1
lim lim
12 2
3 3 1 2 3 1 2 3 2
x x
x x x
x x x
3 1 lim 3 x x x x
(vì tử dần mẫu dần 0).Cụ thể:
(14)5 2 2
1 1
1 2 1 2 1
2 1
lim lim lim
4 5 2 1 2 1 2
x x x
x x x x x
x x
x x x x x x x
2 2 2
2
2
2 2
2
lim lim lim 1
1
1 1
x x x
x x
x x x x x
x x x x
7 limx1 x 0
8 2 1 1 1 1
lim lim lim 1 1
x x x
x
x x
x x x
9
2 2 2
2
1
1
1
lim lim lim lim 1
x x x x
x x
x x x
x x x x
.
10 Cho hàm số :
2 3 x 1
x+a x>1 x x x f x
Tìm a để hàm số có giới hạn x dần tới tìm giới
hạn
Giải
Ta có :
2
1
lim lim 3
x f x x x x
1
lim lim 1
x x
x a
f x a
x
Vậy limx1 f x 3 a 1 3 a2
11
2 2
2 2 4
8
lim lim lim 2 4 12
2 2
x x x
x x x
x x x
x x
Dạng
0 0 . 12
3 3 2 3
3
3
2 1
2 1
lim lim lim 1
2
2 2
x x x
x x
x x x x x
x x x x Dạng . 13
2
2
3 3
3 3
2
2 3 1
2 3 1
2
lim 3 1 lim lim
. 1 . 1 . 1
x x x
x x
x x x
x x
x x x x x x
(15)2 3 1 1 2 3 6 lim 6 1 1 1 x x x x
14
2
2
2
3 3 3
lim 3 lim lim
3 3
x x x
x x x x x x x x x
x x x
x x x x x x
2
3 1 3
3 1
lim lim lim
2
1 3
3 3 1 1
x x x
x
x x x
x x x x x x
x x x
Dạng
D BÀI TẬP.
1 Tìm giới hạn sau:
a)
3
0
lim 4 10
x x x
b)
2
lim 5 7
x x x
c) 5 lim 5 x x x d) 2 15 lim 3 x x x x e) 2
2 3 1
lim 1 x x x x f) 1 lim 1 x
x x x x g) 4 lim x a x a x a h) 3 3 lim 2 x x x x
2 Tìm giới hạn :
a) 1 1 lim x
x x x
x b) 2 lim
4 1 3
x x x x c) 1 1 lim 3 x x x d) 1 lim 3 2 x x x
e)
2 2 3 2 lim 2 x x x x f)
2 3 1
lim
1 x
x x x x x
g) 4 3 lim 3 x x x x
h)
6 4 5 lim 1 x
x x x x i) 2
8 11 7
lim 3 2 x x x x x
3 Tìm giới hạn sau:
a)
2
3 5 1
lim 2 x x x x b) 2
1 7 2
(16)c)
2
2
lim
2 1
x
x x
x x
d)
lim
x x x x
e)
2
sin 2 2cos
lim
1 x
x x
x x
.
4 Tìm giới hạn bên phải, bên trái hàm số f(x) x=x0 xét xem
0 lim
x x f x có tồn khơng
trong trường hợp sau:
a)
2 1 x>1
5 3 x 1
x x f x
x
x0 = 1
b)
2
2
2 x>1 1
1 x 1
x x
f x x
x x
x0 = 1
c)
2
4 x<2 2
1 x 2
x f x x
x
x0 = 2
d)
3
3 2
5 4
x x f x
x x
x0 = 1
5 Tìm giới hạn:
a)
2
lim 5
x x x x
b)
2
lim
(17)HÌNH HỌC
2.1 Các định nghĩa
+) Định nghĩa 1: Hai đường thẳng gọi vuông góc với góc chúng 900 a b ( , ) 90a b
+) Định nghĩa 2: Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng a( ) b ( ) : a b
+) Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 900 ( ) ( ) (( ),( )) 90 0.
+) Định nghĩa 4: Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song (hoặc trùng) với a b
+) Định nghĩa 5:
Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (α) ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng (α) 900.
Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (α) góc a hình chiếu a’ mặt phẳng (α) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (α)
+) Định nghĩa 6: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng
+) Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu vng góc M mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆)
+) Định nghĩa 8: Khoảng cách đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (α)
+) Định nghĩa 9: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng
(18)2.2 Các định lý thường sử dụng
Định lý 1:
, ( ) ( )
,
a b
a b P d P
d a d b
Định lý 2:
( ) ( )
( )
a P
d P d a
a P
Định lý 3: +
( )
' ( ) '/ /
d P
d P
d d
+
( ) / /( )
( ) ( )
P Q
d Q
d P
+
/ /( )
' ' ( )
d P
d d
d P
Định lý 4:
( )
( ) ( ) ( )
d P
P Q
d Q
Định lý 5:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q
P Q
d Q
d P
d
Định lý 6:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q
P R R
Q R
(19)B N I DUNGỘ
I Ch ng minh đứ ường th ng vng góc v i m t ph ng, đẳ ớ ặ ẳ ường th ng vng góc ẳ v i đớ ường th ng, m t ph ng vng góc v i m t ph ng.ẳ ặ ẳ ớ ặ ẳ
1.1 Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng
1.1.1 Phương pháp: Ta thường vận dụng định lý để chứng minh Hoặc sử dụng định lý 3, định lý 5, định lý số trường hợp đặc biệt
1.1.2 Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giácvvuông C, SA(ABC)
a) Chứng minh rằng: BC (SAC)
b) Gọi E hình chiếu vng góc A SC Chứng minh rằng: AE(SBC)
c) Gọi mp(P) qua AE vng góc với (SAB), cắt SB D Chứng minh rằng:
( )
SB P
d) Đường thẳng DE cắt BC F Chứng minh rằng: AF (SAB)
Giải: a) Ta có: BC AC gt ( ) (1)
Mặt khác,
( )
(2)
( )
SA ABC
SA BC
BC ABC
Từ (1) (2) suy ra: BC(SAB)
b) Ta có: AE SC (3) (gt)
Theo a) BC (SAB) AE BC (4)
Từ (3) (4) suy ra: AE (SBC)
c) Ta thấy: ( ) (P ADE)
(20)Trong mp(ADE) kẻ EH AD H, AD Vì
( ) ( )
( ) ( ) ( ) (6)
ADE SAB
ADE SAB AD EH SAB SB EH EH AD
Từ (5) (6) suy ra: SB (ADE) hay SB( )P
d) Từ
( )
(7)
( )
SA ABC
AF SA
AF ABC
Theo c) SB(ADE) AF SB (8) Từ (7) (8) suy ra: AF (SAB)
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng, tam giác SAB tam giác đều,
(SAB) ( ABCD) Gọi I, F trung điểm AB AD Chứng minh rằng:
( )
FC SID
Giải: Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
(1)
SI AB
SAB ABCD SI ABCD
SI SAB
SI CF
Mặt khác, xét hai tam giác vng ADI DFC có: AI=DF, AD=DC Do đó,
AID DFC
từ ta có:
1
0
2 2
0
1
0
90
90
90
I F
D C F D
I D
FHD
Hay CF ID (2)
Từ (1) (2) suy ra: FC(SID)
1.2 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc
1.2.1 Phương pháp: Ta thường sử dụng định lý cách chứng minh vng góc có hình học phẳng
(21)Ví dụ 1: (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang vuông A B,
( )
SA ABCD , AD=2a, AB=BC=a Chứng minh rằng: tam giác SCD vng
Giải: Ta có:
( )
(1)
( )
SA ABCD
SA CD
CD ABCD
+ Gọi I trung điểm AD Tứ giác ABCI hình vng Do đó,
450
ACI (*) Mặt khác, CID
là tam giác vuông cân I nên:
450
BCI (*).
Từ (*) (**) suy ra:
900
ACD hay AC CD (2)
Từ (1) (2) suy ra: CD(SAC) CDSC hay ∆SCD vuông C
Ví dụ 2: (B-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, E điểm đối
xứng D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BC CMR:
MN BD
Giải: Gọi I, P trung điểm AB SA, O giao điểm AC BD
Ta có: / /
(1)
IN AC
BD IN
AC BD
Mặt khác,
/ /
/ / (*) / /
IM BE
IM PO
BE PO
Mà POBD(**) (vì: BPD tam giác cân P O trung điểm BD)
Từ (*) (**) ta có: BDIM(2)
Từ (1) (2) ta có: BD(IMN) BDMN
Các điểm cần ý giải ví dụ 2:
+ Chọn mp(IMN) với I trung điểm AB ( BDAC nên chọn mp chứa MN
vng góc với BD mp(IMN))
(22)+ Sử dụng định lý: / /
a b
b c a c
Ví dụ 3: (A-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, tam giác SAD đều,
(SAD) ( ABCD) Gọi M, N, P trung điểm SB, BC CD Chứng minh
rằng: AM BP
Giải: Gọi I giao diểm AN BP, H
là trung điểm AD, K giao điểm AN BH
Xét hai tam giác vuông ABN BCP có: AB=BC, BN=CP Suy ra, ABN BCP
,
BAN CBP ANB BPC
mà
900 900
BAN ANB CBP ANB
hay AN BP (1)
Vì ∆SAD nên:
( ) ( ) (*)
( )
SH AD
SAD ABCD SH BP BP ABCD
Mặt khác, tứ giác ABNH hình chử nhật nên K trung điểm HB hay MK / /SH(**)
Từ (*) (**) suy ra: BPMH(2)
Từ (1), (2) suy ra: BP(AMN) BPAM
1.3 Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc
1.3.1 Phương pháp: Sử dụng định lý 3 1.3.2.Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD
là hình thoi , SA=SC Chứng minh rằng:
(SBD) ( ABCD)
Giải:+ Ta có: ACBD(1) (giả thiết)
+ Mặt khác, SOAC(2) (SAC tam giác
(23)+ Từ (1) (2) suy ra: AC (SBD)mà AC(ABCD) nên (SBD) ( ABCD)
Ví dụ 2: (B-2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=a,
2
AD a , SA(ABCD) Gọi M trung điểm AD, I giao điểm AC BM
Chứng minh rằng: (SAC) ( SMB)
Giải:
+ Ta có: SA(ABCD) SA BM (1)
+ Xét tam giác vng ABM có:
tanAMB AB 2
AM
Xét tam giác vng
ACD có:
tan
2
CD CAD
AD
Ta có:
0
0
cot cot(180 ( ))
cot( ) 0
90
AIM AMB CAD
AMB CAD AIM
Hay BM AC (2)
+ Từ (1) (2) suy ra: BM (SAC) mà BM (SAC) nên (SAC) ( SMB)
1.4 Bài tập:
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi I trung điểm
của BC, D điểm đối xứng với A qua I,
6
( ),
2
a SD ABC SD
Chứng minh rằng:
a) (SBC) ( SAD)
b) (SAB) ( SAC)
Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vng tâm O SA (ABCD) Gọi H, I,
K hình chiếu vng góc A SB, SC, SD
a) CMR: BC (SAB), CD (SAD), BD (SAC)
b) CMR: AH, AK vng góc với SC Từ suy đường thẳng AH, AI, AK nằm mặt phẳng
c) CMR: HK (SAC) Từ suy HK AI
(24)a) Chứng minh: BC (SAB)
b) Gọi AH đường cao SAB Chứng minh: AH SC
Bài tập 4: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết: SA = SC, SB
= SD
a) Chứng minh: SO (ABCD)
b) Gọi I, J trung điểm cạnh BA, BC CMR: IJ (SBD)
Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có ABC DBC tam giác Gọi I trung điểm
cuûa BC
a) Chứng minh: BC (AID)
b) Vẽ đường cao AH AID Chứng minh: AH (BCD)
Bài tập 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H
hình chiếu vng góc điểm O mp(ABC) Chứng minh rằng:
a) BC (OAH)
b) H trực tâm tam giác ABC
c) 2 2
1 1
OH OA OB OC .
d) Các góc tam giác ABC nhọn
Bài tập 7: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam
giác đều; SAD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm AB CD
a) Tính cạnh SIJ chứng minh SI (SCD), SJ (SAB)
b) Gọi H hình chiếu vuông góc S IJ CMR: SH AC
c) Gọi M điểm thuộc đường thẳng CD cho: BM SA Tính AM theo a
Bài tập 8: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác
đều SC = a Gọi H K trung điểm cạnh AB AD
a) CMR: SH (ABCD)
(25)Bài tập 9: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3, mặt
bên SBC vuông B, mặt bên SCD vuông D có SD = a
a) Chứng minh: SA (ABCD) tính SA
b) Đường thẳng qua A vng góc với AC, cắt đường thẳng CB, CD I, J Gọi H hình chiếu A SC Hãy xác định giao điểm K, L SB, SD với mp(HIJ) CMR: AK (SBC), AL (SCD)
c) Tính diện tích tứ giác AKHL
Bài tập 10: Gọi I điểm đường trịn (O;R) CD dây cung (O) qua
I Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) I ta lấy điểm S với OS = R Gọi E điểm đối tâm D đường tròn (O) Chứng minh rằng:
a) Tam giác SDE vuông S
b) SD CE
c) Tam giaùc SCD vuông
Bài tập 11: Cho MAB vng M mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vng góc
với (P) A ta lấy điểm C, D hai bên điểm A Gọi C¢ hình chiếu C MD, H giao điểm AM CC¢
a) Chứng minh: CC¢ (MBD)
b) Gọi K hình chiếu H AB CMR: K trực tâm BCD
Bài tập 12: Cho tam giác ABC, cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên
đường thẳng vng góc vơi mp(ABC) D lấy điểm S cho SD = a 6 Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với
Bài tập 13: Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) (ABD) vng góc với
đáy (DBC) Vẽ đường cao BE, DF BCD, đường cao DK ACD
a) Chứng minh: AB ^ (BCD)
b) Chứng minh mặt phẳng (ABE) (DFK) vng góc với mp(ADC)
c) Gọi O H trực tâm tam giác BCD ADC CMR: OH ^ (ADC)
Bài tập 14: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vng, SA ^ (ABCD)
(26)b) Gọi BE, DF hai đường cao DSBD CMR: (ACF) ^ (SBC), (AEF) ^ (SAC)
Bài tập 15: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD)
Gọi M, N điểm cạnh BC, DC cho BM =
a
, DN =
4
a
Chứng minh mặt phẳng (SAM) (SMN) vng góc với
Bài tập 16: Cho tam giác ABC vuông A Vẽ BB¢ CC¢ vng góc với
mp(ABC)
a) Chứng minh (ABB¢) ^ (ACC¢)
b) Gọi AH, AK đường cao ABC AB¢C¢ Chứng minh mặt phẳng (BCC¢B¢) (AB¢C¢) vng góc với mặt phẳng (AHK)
Bài tập 17: Cho tam giác ABC vuông A có AB = c, AC = b Gọi (P) mặt phẳng qua
BC vng góc với mp(ABC); S điểm di động (P) cho SABC hình chóp
có mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo a 2
Gọi H, I, J hình chiếu vng góc S BC, AB, AC
a) Chứng minh rằng: SH2 = HI.HJ.
b) Tìm giá trị lớn SH tìm giá trị
Bài tập 18: Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y Tìm
hệ thức liên hệ a, b, x, y để:
a) Mặt phẳng (ABC) ^ (BCD)
b) Mặt phẳng (ABC) ^ (ACD)
Bài tập 19: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ^ (ABCD) ; M
và N hai điểm nằm cạnh BC, CD Đặt BM = x, DN = y
a) Chứng minh điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vng góc với MN ^ (SAM) Từ suy hệ thức liên hệ x y
(27)Bài tập 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có góc A
bằng 600, cạnh SC =
a
vaø SC (ABCD)
a) Chứng minh (SBD) (SAC)
b) Trong tam giác SCA kẻ IK SA K Tính độ dài IK
c) Chứng minh BKD 900 từ suy (SAB) (SAD)
TỐN 12
V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1 Diện tích hình thang cong
Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn đường
y=f(x), x=a, x=b trục hồnh
b
a
S=ị f(x) dx
Phương pháp giải toán
Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) đoạn [a; b].
Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
b
a
f(x) dx
ị
Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= ln x, x =1, x =e Ox
Giải
Do ln x³ x" Ỵ [1; e] nên
( )
e e
e
1
S=ò ln x dx =òln xdx =x ln x- =1 Vậy S=1 (đvdt).
Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= - x2 +4x- 3, x=0, x =3 Ox
Giải
Bảng xét dấu
x y – +
( ) ( )
1
2
0
S= - ò - x +4x- dx+ò - x +4x- dx
1
3
2
0
x x
2x 3x 2x 3x
3 3
ổ ửữ ổ ửữ
ỗ ç
= - -çç + + ÷÷ + -çç + + ÷÷ =
è ø è ø .
Vậy
8 S
3 =
(đvdt)
2 Diện tích hình phẳng
(28)Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn
đường y=f(x), y=g(x), x=a, x =b
b
a
S= ò f(x)- g(x) dx
Phương pháp giải toán
Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x)- g(x) đoạn [a; b]
Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
b
a
f(x)- g(x) dx
ò
2.2 Trường hợp 2.
Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn
đường y=f(x), y=g(x)
S f(x) g(x) dx b
a
=ò
- Trong a b, nghiệm nhỏ lớn phương trình f(x)= g(x) (a£ a < b £ b)
Phương pháp giải toán
Bước Giải phương trình f(x)=g(x)
Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x)- g(x) đoạn [a b; ]
Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
f(x) g(x) dx b
a
-ị
Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y=x3 +11x- 6, y =6x2, x=0, x=2.
Giải
Đặt h(x)=(x3 +11x- 6)- 6x2 =x3 - 6x2 +11x- h(x)=0Û x= Ú = Ú =1 x x 3 (loại). Bảng xét dấu
x h(x) – +
( ) ( )
1
3
0
S= - ò x - 6x +11x- dx+ò x - 6x +11x- dx
1
4
3
0
x 2x 11x 6x x 2x 11x 6x
4 2
ổ ửữ ổ ửữ
ỗ ỗ
= - ỗỗ - + - ữữ +ỗỗ - + - ÷÷ =
è ø è ø .
Vậy S
2 =
(đvdt)
Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y= x3 +11x- 6, y=6x2
Giải
Đặt h(x)=(x3 +11x- 6)- 6x2 =x3 - 6x2 +11x- h(x)= 0Û x= Ú = Ú =1 x x 3.
Bảng xét dấu
x h(x) + –
( ) ( )
2
3
1
(29)2
4
3
1
x 2x 11x 6x x 2x 11x 6x
4 2
ổ ửữ ổ ửữ
ỗ ç
=çç - + - ÷÷ - çç - + - ÷÷ =
è ø è ø .
Vậy S
2 =
(đvdt)
Chú ý:
Nếu đoạn [a b; ] phương trình f(x)= g(x) khơng cịn nghiệm ta
dùng cơng thức
[ ]
f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx
b b
a a
- =
-ò ò
Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= x , y3 =4x
Giải
Ta có x3 =4x Û x= - xÚ = Ú =0 x
( ) ( )
0
3
2
S x 4x dx x 4x dx
-Þ = ị - + ị
-0
4
2
2
x 2x x 2x 8
4 -
æ ửữ ổ ửữ
ỗ ỗ
= ỗỗ - ữữ + ỗỗ - ữữ =
ố ứ ố ø .
Vậy S= 8 (đvdt).
Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= x2- x +3 trục hoành
Giải
Ta có x2- x + = Û3 t2- 4t+ =3 0, t = x ³
t x x
t x x
= = = ±
é é é
ê ê ê
Û ê Û ê Û ê
= = = ±
ë ë ë
3
2
3
S x x dx x 4x dx
-Þ = ị - + = ò - +
( ) ( )
1
2
0
2éê x 4x dx x 4x dx ùú
= ê - + + - + ú
ê ú
ëò ò û
1
3
2
0
x x 16
2 2x 3x 2x 3x
3 3
ộổỗ ữử ổỗ ửữ ự
ờ ỳ
= ờỗỗ - + ữữ + ỗỗ - + ÷÷ ú=
è ø è ø
ë û .
Vậy
16 S
3 =
(đvdt)
Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= x2- 4x+3 y=x+3
Giải
Phương trình hồnh độ giao điểm
2
x - 4x+3 = +x
2
x
x
x 4x x
x
x 4x x
+ ³
ìïï é =
ïï é - + = + ê
Û í ê Û ê =
ïï ê ë
ï ê - + = -
-ïỵ ë .
Bảng xét dấu
x
2
x - 4x+3 + – +
( ) ( ) ( )
1
2 2
0
S x 5x dx x 3x dx x 5x dx
(30)-1
3 3
0
x 5x x 3x 6x x 5x 109
3 3
ỉ ư÷ ỉ- ư÷ ỉ ửữ
ỗ ỗ ỗ
= ỗỗ - ữữ +ỗỗ + - ữữ +ỗỗ - ữữ =
ố ø è ø è ø .
Vậy
109 S
6 =
(đvdt)
Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= x2- , y= x +5.;x
Giải
Phương trình hồnh độ giao điểm
2
x - = x + Û5 t - = +t 5, t = x ³
2
t x
t x
t t x 3
t
t t
= ³
ìïï ì = ³
ï ï
ï é - = + ï
Û íï ê Û íï = Û = ±
ï ê ïỵ
ï ê - = -ïỵ ë
( ) ( )
3
2
3
S x x dx x x dx
-Þ = ị - - + = ị - - +
Bảng xét dấu
x
2
x - – +
( ) ( )
1
2
0
S x x dx x x dx
Þ = ị - - - +ị -
-1
3
0
x x x x 73
2 4x 6x
3 3
ỉ- ư÷ ổ ửữ
ỗ ỗ
= ỗỗ - - ữữ +ỗỗ - - ữữ =
ố ứ ố ø .
Vậy
73 S
3 =
(đvdt)
Chú ý:
Nếu hình phẳng giới hạn từ đường trở lên vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH khơng có)
B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY
1 Trường hợp 1.
Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y=f(x) ³ x" Ỵ [a;b],
y=0, x=a x=b (a<b) quay quanh trục Ox
b a
V = pịf (x)dx
Ví dụ Tính thể tích hình cầu hình trịn (C) : x2 +y2 =R2 quay quanh Ox
Giải
Hoành độ giao điểm (C) Ox x2 =R2 Û x= ±R Phương trình (C) : x2 +y2 =R2 Û y2 =R2- x2
( ) ( )
R R
2 2
R
V R x dx R x dx
-Þ = pò - = pò
-R
3
2
0
x R
2 R x
3
ỉ ư÷ p
ỗ
= pỗỗố - ữữ =
ứ .
Vậy
3 R V
3 p =
(đvtt)
(31)Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x= g(y) ³ y" Ỵ [c;d],
x=0, y=c y=d (c<d) quay quanh trục Oy
d c
V = pòg (y)dy
Ví dụ 10 Tính thể tích hình khối ellipse
2
2
x y
(E) :
a +b = quay quanh Oy.
Giải
Tung độ giao điểm (E) Oy
2 y
1 y b
b = Û = ± .
Phương trình
2 2
2
2 2
x y a y
(E) : x a
a +b = Û = - b
b 2 2 b 2 2
2
2
b
a y a y
V a dy a dy
b b
-ỉ ư÷ ổ ửữ
ỗ ỗ
ị = p ỗỗ - ữữ = p ỗỗ - ữữ
ố ứ è ø
ò ò
R
2
2
2
a y a b
2 a y
3 3b
ổ ửữ p
ỗ
= pỗỗố - ữữ =
ø .
Vậy
2 a b V
3 p =
(đvtt)
3 Trường hợp 3.
Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y=f(x), y=g(x), x=a x= b (a<b, f(x)³ 0,g(x)³ x" Ỵ [a; b )] quay quanh trục Ox là
b
2
a
V = pò f (x)- g (x) dx
Ví dụ 11 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường y=x2, y2 = x quay quanh Ox
Giải
Hoành độ giao điểm
x x
x
x x
³ =
ì é
ïï Û ê
í ê =
ï =
ï ë
ỵ .
( )
1
4
0
V x x dx x x dx
Þ = pị - = p ị
-( )
5
0
1x 1x
5 10
p
= p - =
Vậy
3 V
10 p =
(đvtt)
4 Trường hợp 4.
Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x=f(y), x =g(y), y=c y= d (c<d, f(y)³ 0,g(y)³ y" Ỵ [c; d )] quay quanh trục Oy là
d
2
c
V = pò f (y)- g (y) dy
Ví dụ 12 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường x= - y2+5, x= -3 y quay quanh Oy.
(32)Tung độ giao điểm
2 y
y y
y = -é ê - + = - Û ê = ë . ( ) ( ) 2 2
V y y dy
-Þ = pị - + -
-( )
2
4
1
y 11y 6y 16 dy
-= p ò - + +
2
5
2
1
y 11y 3y 16y 153
5 -
ổ ửữ p
ỗ
= p ỗỗ - + + ữữữ =
è ø Vậy 153 V p = (đvtt)
Câu 163 Viết cơng thức tính diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ) , trục hoành hai đường thẳng x a x b a b= , = ( < ) là:
A
( )d
b
a
S=òf x x
B
( ) d
b
a
S=ò f x x
C
( )
2 d b
a
S=òf x x
D
( )d
b
a
S=pò f x x
Câu 164 Cho đồ thị hàm số y=f x( ) Diện tích S hình phẳng (phần tơ đậm hình dưới) là:
A
( )
3
2 d
S f x x
-=ò B ( ) ( ) d d
S f x x f x x
-=ò +ò C ( ) ( ) 0 d d
S f x x f x x
-=ò +ò D ( ) ( ) 0 d d
S f x x f x x
-=ò +ò
Câu 165 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y=x3+2x y=3x2 tính theo công thức:
A
( )
2
3
0
3 d
S=ò x - x + x x
B
( ) ( )
1
3
0
3 d d
S=ò x - x + x x- ò x - x + x x
C ( )
3 d
x x x x
- +
-ò
D
( ) ( )
1
3
0
3 d
S=ò x - x + x dx+ò x - x + x x
Câu 166 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y=x2+2 y=3x là:
A S =2 B.S =3 C
1
S =
D
1
S =
Câu 167 (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
3
y=x - x đồ thị hàm số y= -x x2.
A 37 12 S = B S = C 81 12 S =
D S =13
Câu 168 Kết diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=- x3+3x2- 2, trục hoành, trục tung
đường thẳng x =2 có dạng
a b (với
a
b phân số tối giản) Khi mối liên hệ a b là:
A a b- =2 B a b- =3 C a b- =- D a b- =-
Câu 169 Kết việc tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( )C y x: = 4- 2x2+1 trục Ox gần với giá trị sau đây?
A
1
S =
B S =1 C
3
S =
(33)Câu 170 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y=x 1+x2 , trục hoành đường thẳng x =1 là: A S = B
2
S=
-C
2
S= +
D S =2 ( - )
Câu 171 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y= x x- 2y= với diện tích hình sau đây:0
A Diện tích hình vng có cạnh 2.
B Diện tích hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng 3
C Diện tích hình trịn có bán kính 3
D Diện tích tồn phần khối tứ diện có cạnh
3
Câu 172 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ( )
2 y x =
+ , trục hoành, đường thẳng x =0 đường
thẳng x =4 là:
A 8. S =-B 8. S = C 2. 25 S = D 4. 25 S =
Câu 173 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y x x= ln , trục hoành đường thẳng x= e
A
2 1
4
e
S= +
B
2 1
e S= +
C
2 1
e S= +
D
2 1
2
e
S= +
Câu 174 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y e= x+x, trục hoành, trục tung đường thẳng x =1 là:
A
1.
S= +e
B
1.
S= -e
C S= +e D S= -e
Câu 175 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y e= x+x, x y- + = x =ln5 là:
A S = +5 ln4 B S = -5 ln4 C S = +4 ln5 D S = -4 ln5
Câu 176 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y= +(e 1)x (1 )
x
y= +e x
Giá trị S cần tìm là:
A.
2
e S= +
B
e S =
C
2
e S=
- D
2
e S=
-
Câu 177 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y= ex+1, trục hoành hai đường thẳng x =ln3, x =ln8 nhận giá trị sau đây:
A
2 ln
3
S = +
B
3 ln
2
S = +
C
3 ln
2
S = +
D
3 ln
2
S =
-
Câu 178 Diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( )P y x: = 2- 2x+2, tiếp tuyến với điểm M(3;5) trục
Oy giá trị sau đây?
A S =4 B S =27 C.S =9 D.S =12
Câu 179 Cho hàm số y=x2- 2x+2 có đồ thị ( )C Phương trình tiếp tuyến ( )C điểm có hồnh độ có đồ thị D Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( )C , đường thẳng V trục tung Giá trị S là:
A.S =9 B.
9 S = C. S = D. 10 S =
Câu 180 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
1
y
x
=
đường thẳng y =- , đường thẳng 1 y = và1 trục tung tính sau:
A 1 d S x x -ổ ửữ ỗ =ũỗỗố - ữữứ B 1
4 d
S x x -=ò -C 1 . S y -= -ò D 1
1 d S y y -= -ò
Câu 181 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong có phương trình x y- 2=0 x+2y2- 12 0= bằng:
A S =15 B S =32 C S =25 D S =30
Câu 182 Với giá trị a để diện tích S hình phẳng giới hạn ( )
2 2 : x x C y x -=
(34)( )C hai đường thẳng x a x= , =2 a a( >1) ln3?