ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2019 - 2020 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút Đề gồm 01 trang Câu I (2,0 điểm) y = 2x + 1) Giải hệ phương trình: x − y = −8 2) Giải phương trình sau: a) x + x − = b) x − 7x − 18 = Câu II (2,0 điểm) −3 3 1) Cho hàm số y = f ( x ) = − x Tính f ÷; f ( −1) ; f ÷; f 2 2) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình x2 – x – = Khơng giải phương trình, ( ) tính giá trị biểu thức S = x12 + x22 + x1 x2 Câu III (2,0 điểm) x + y = 2m 1) Cho hệ phương trình (với m tham số dương) 2 x − y = m + Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thoả mãn x + 2y2 = 2) Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình: Một khu đất hình chữ nhật có chu vi 90m chọn dùng để làm bệnh viện dã chiến phòng, chống dịch Covid-19 Để mở rộng diện tích cho bệnh viện, người ta dự tính tăng chiều rộng thêm 5m giữ nguyên chiều dài khu đất có diện tích 600m2 Hãy tính chiều rộng diện tích khu đất ban đầu Câu IV (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R Từ điểm A ngồi đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N tiếp điểm) 1) Chứng minh tứ giác AMON tứ giác nội tiếp 2) Qua A vẽ đường thẳng cắt đường tròn (O) hai điểm B, C (B nằm A C) cho tia AC nằm hai tia AO AM Chứng minh AN2 = AB.AC NB MB = × NC MC 3) Gọi I điểm cung nhỏ BC, NI cắt BC K Chứng minh MK tia phân giác góc BMC Câu V (0,5 điểm) Cho a, b > thỏa mãn a ( ) b + = − b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a + b Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2019 - 2020 MƠN: TỐN Hướng dẫn chấm gồm 04 trang Câu Phần (1,0đ) I (2,0đ) 2a (0,5đ) Nội dung đáp án y = 2x + y = x + ⇔ x − ( x + 1) = −8 x − y = −8 y = 2x + y = 2x + y = ⇔ ⇔ ⇔ − x − = − x = x = Vậy hệ PT có nghiệm (x; y) = (1; 3) x + 3x − = ∆ = 32 – 4.1.(-1) = 13 > Vậy PT có nghiệm phân biệt: x1 = x − 7x − 18 = + 121 − 121 =9 (thoả mãn); t = = −2 PT ln có nghiệm phân biệt x1; x2 0,25 ( ) (1,0đ) 0,25 Đặt x = t, t ≥ PT cho trở thành: t – 7t – 18 = (*) ∆ = (-7)2 – 4.1.(-18) = 121>0 nên PT (*) có nghiệm phân biệt II (2,0đ) 0,25 0,25 Vậy PT cho có nghiệm x1 = 3; x2 = -3 (1,0đ) 0,50 0,25 2b (0,5đ) −3 + 13 −3 − 13 ; x2 = 2 Điểm 0,25 ( ) 0,25 0,25 x1 + x = x1x = −3 Theo định lí Vi-ét Ta có S= x12 + x22 + x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 12 − ( −3) = 0,25 0,25 x + y = 2m x + y = 2m y = m −1 ⇔ ⇔ (*) 2 x − y = m + 3 x = 3m + x = m + Thay (x; y) (*) vào hệ thức x2+2y2 = 4, ta được: (1,0đ) ( m + 1) + ( m − 1) = (1,0đ) IV (3,5đ) 0,25đ 0,25 0,25 ⇔ 3m − 2m − = (**) Vì a + b + c = - - = nên phương trình (**) có hai nghiệm m1 = (thoả mãn); m2 = III (2,0đ) 0,25 −1 (loại) Vậy m = giá trị cần tìm 0,25 Nửa chu vi khu đất 90 : = 45 (m) Gọi chiều rộng khu đất ban đầu x (m) (0 < x < 22,5) Khi chiều dài khu đất 45 - x (m) Nếu tăng thêm 5m chiều rộng khu đất x + (m) Theo ta có PT (x + 5)(45 - x) = 600 Giải PT x1 = 15 (thoả mãn); x2 = 25 ( loại) Vậy chiều rộng ban đầu khu đất hình chữ nhật 15m Diện tích ban đầu khu đất 15.(45 - 15) = 450 (m2) 0,25 Vẽ hình đến hết phần 0,25 0,25 0,25 0,25 M O A N (1,0đ) AM, AN hai tiếp tuyến M, N (O) (GT) ⇒ AM ⊥ OM , AN ⊥ ON (tính chất tiếp tuyến) 0,25 · · ⇒ AMO = ANO = 900 · · ⇒ AMO + ANO = 1800 0,25 0,25 ⇒ Tứ giác AMON tứ giác nội tiếp 0,25 M C O A B N ∆ABN ∆ANC có : Góc CAN chung (1,5đ) · · (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc ANB = NCA nội tiếp chắn cung BN) 0,25 ⇒ ∆ABN 0,25 ⇒ ∆ANC (g.g) 0,25 AN AB = ⇒ AN = AB.AC AC AN ⇒ ∆ABN ∆ANC (chứng minh trên) ⇒ Chứng minh tương tự ta có ∆ABM AN NB = (1) AC NC ∆AMC ⇒ AM MB = (2) AC MC 0,25 0,25 Lại có AN = AM (3) (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) Từ (1), (2) (3) ⇒ (0,75đ) I 0,25 M C O NB MB = NC MC K A B N Góc AKN góc có đỉnh đường tròn nên · º + sđ BN » ) AKN = (sđ IC Góc ANI góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn · º = (sđ IB º + sđ BN » ) = sđ IN cung IBN nên ANI 2 º (do I điểm cung nhỏ BC) º = IC Mà IB · · ⇒ ∆AKN cân A ⇒ AN = AK Do AKN = ANI Mặt khác AN = AM (theo (3)) · · nên AM = AK ⇒ ∆AMK cân A ⇒ AMK = AKM Lại có: · = AMK · = AKM · · ; AMB + BMK · · · ( AKM góc ngồi ∆KMC) BCM + CMK · · (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến BCM = AMB dây cung chắn cung MB) · · ⇒ MK tia phân giác góc BMC Do BMK = CMK a ( 0,25 ) b +1 = − b ⇔ a ⇔ a + ab + b = ( ) b +1 = 0,25 0,25 − b V (0,5đ) 1 1 Có a − ÷ ≥ ⇔ a ≥ a − ⇔ 2a ≥ a − 2 Tương tự 2b ≥ b − ; a + b ≥ ab ⇒ 3( a + b) ≥ ⇒ P = a+b ≥ ( ) 0,25 a + b + ab − = × − = 2 Dấu “=” xảy ⇔ a = b = Vây GTNN P 1 ⇔ a=b= Ghi chú: - Học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm điểm hình - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Hết 0,25 ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 20 19 - 2020 MƠN: TỐN Hướng dẫn chấm gồm 04 trang Câu Phần (1,0đ) I (2,0đ) 2a (0,5đ) Nội dung đáp án y = 2x + y = x + ⇔ ... x + 3x − = ∆ = 32 – 4.1.(-1) = 13 > Vậy PT có nghiệm phân biệt: x1 = x − 7x − 18 = + 121 − 121 =9 (thoả mãn); t = = −2