Đề cương ôn tập học kì 2 - Môn Toán lớp 11 - Phần lý thuyết

- Để khử dạng này thì ta cần thực hiện một số biến đổi như đưa thừa số vào trong dấu căn, quy.. đồng mẫu số,...ta có thể đưa giới hạn đã cho về dạng quen thuộc..[r]

A ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH

CHƯƠNG III: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 CẤP SỐ CỘNG

a) Định nghĩa:  un cấp số cộng un d; n N* n u đ/n     

 với d số không đổi

b) Công thức số hạng tổng quát: n 1d; n

u n

u     

c) Tính chất số hạng CSC: ;k 2

u u

u k k

k 



  

(trừ số hạng đầu số hạng cuối)

d) Tổng n số hạng đầu CSC: Cho (un) CSC

Khi      

2 d n 2u n n u u n n u u u n

S         

2 CẤP SỐ NHÂN

a) Định nghĩa:  un cấp số nhân unq; n N* n u đ/n    

 với q số không đổi

b) Công thức số hạng tổng quát: qn-1; n

u n

u   

c) Tính chất số hạng CSC: ;k k u k u k

u    

hay k u k u k

u    (trừ số hạng đầu số hạng cuối)

d) Tổng n số hạng đầu CSC: Cho (un) CSN

Khi q nu n S q ; q n q 1 u n u u u n S          

II CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

1 Dạng Chứng minh dãy số cấp số cộng, cấp số nhân

Để chứng minh dãy số (un) CSC ta xét hiệu H un1un

- Nếu H số (un) CSC có cơng sai d H

- Nếu H phụ thuộc vào n (un) không CSC

* Phương pháp chứng minh dãy số CSN:

Để chứng minh dãy số (un) CSN ta xét thương  1 , 1

n u u T

n n

- Nếu T số (un) CSN có cơng bội q T

- Nếu T phụ thuộc vào n (un) không CSN

2 Dạng Xác định công sai số hạng đầu CSC CSN

* Phương pháp xác định công sai số hạng đầu CSC:

- Ta thiết lập hệ phương trình mà u1và d phải thỏa Giải hệ ta u1và d

* Phương pháp xác định công bội số hạng đầu CSN:

- Ta thiết lập hệ phương trình mà u1và q phải thỏa Giải hệ ta u1và q

3 Dạng Dùng công thức un Sn CSC, CSN để chứng minh hay tính tổng

* Phương pháp dùng công thức un Sn CSC để chứng minh hay tính tổng

Ta thường dùng linh hoạt công thức:

- Nếu (un) CSC có cơng sai d d un1 un; un u1 n1d

     

2

2

1

1 u n u n d

u n

Sn n

  



 để biến đổi, rút gọn tính tốn

- Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành CSC ac2b

* Phương pháp dùng công thức un Sn CSN để chứng minh hay tính tổng

Ta thường dùng linh hoạt công thức:

- Nếu (un) CSN có cơng bội q ,

1 

 

n u u q

n n

2 ;

1

1 

 

n q u un n

1 ; 1

1

 

 

 

q khi nu S

q q q u S

n

để biến đổi, rút gọn tính tốn

- Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành CSN

b ac 



CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

a) Giả sử f x L g x M

x x x

xlim0 ( ) ,lim0 ( ) Khi

    ) ( , ) ( ) ( lim , ) ( ) ( lim , ) ( ) ( lim 0          M M L x g x f M L x g x f M L x g x f x x x x x x

b) Nếu f(x)0 f x L

x

xlim0 ( ) L0,limxx0 f(x)  L (dấu f(x) xét khoảng

đang tìm giới hạn, với x x0

Chú ý: Định lý cho trường hợp xx0,xx0,x,x

2 ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN MỘT BÊN

L x f x f L x f x x x x x

x ( )  lim ( ) lim  ( )

lim

0 _

0

3 CÁC QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

+) Nếu  

0

lim

xx f x  thì lim0  

1

xx f x 

+ Bảng quy tắc

) ( lim x f x

x xlimx0g(x) xlimx0f(x).g(x)

+ ∞

L > + ∞

- ∞ - ∞

+ ∞

L <

- ∞ - ∞ + ∞ ) ( lim x f x

x lim0 ( )

x g

x

x Dấu

g(x) ( )

) ( lim

0 g x

x f

x x

L >

0

+ + ∞

- - ∞

L < + - ∞

4 TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN: S u1 ,| q | 1

1 q

 



CHÚ Ý:Các giới hạn bản:

0 lim

xx C C (C = const) Nếu h/s f(x) x/đ điểm x0 xlim ( )x0 f x  f x( )0

3

0

1

lim n

xx x  (với n > 0)

5 HÀM SỐ LIÊN TỤC

a) Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng K x 0 K

Hàm số y = f(x) gọi liên tục x0nếu lim ( )  0

0

x f x f

x

x 

b) Một số định lý bản:

ĐL 1: - Hàm số đa thức liên tục R

- Hàm phân thức hữu tỉ hàm lượng giác liên tục khoảng tập xác

định chúng

ĐL 2: Tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục x0 hàm số liên tục x0

(trường hợp thương mẫu phải khác x0)

ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục  a;b f(a).f(b)<0 tồn điểm c a;b

sao cho f(c) =

II CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

1 Dạng Tìm giới hạn hàm số

Phương pháp:

- Sử dụng quy tắc học để tính

- Nếu giới hạn hàm số cần tính có bốn dạng 0;



;  ; 0.∞ ta phải khử

dạng đó, cách phân tích tử mẫu thành nhân tử giản ước nhân lượng liên hợp

hoặc chia tử mẫu cho xk với k mũ cao tử mẫu Cụ thể:

* Dạng

- Nếu tử, mẫu đa thức ta đặt thừa số x x0 làm nhân tử chung rút gọn nhân tử

này ta đưa giới hạn dạng xác định

- Nếu tử hay mẫu có chứa thức nhân tử mẫu với lượng liên hợp tử mẫu

cũng rút gọn thừa số x x0ở tử mẫu ta đưa giới hạn dạng xác định

Cần ý công thức biến đổi sau: 2 2

3

2

;

b ab a

b a b

a b a

b a b a

  

 

 

 

+ Nếu PT f(x) = có nghiệm x0 f(x) = (x-x0).g(x)

+ Liên hợp biểu thức:

1 a b a b a b a b

3.3

ab 3

a  a b b

ab 3

a  a b b

* Dạng  :

- Chia tử mẫu cho xk với k mũ cao tử mẫu

- Sau dùng định lý giới hạn tổng, hiệu, tích thương giới hạn lim 0

  k x x

với k nguyên dương

* Dạng  :

- Nếu x x0 ta quy đồng mẫu số để đưa dạng

0 0

- Nếu x ta nhân chia với lượng liên hợp để đưa dạng 



* Dạng 0.∞

- Để khử dạng ta cần thực số biến đổi đưa thừa số vào dấu căn, quy

đồng mẫu số, ta đưa giới hạn cho dạng quen thuộc

2 Dạng 2: Tính tổng CSN lùi vơ hạn

- Sử dụng công thức

u

S ,| q |

1 q

 



3 Dạng 3: Xét tính liên tục hàm số

- Dạng I: Cho h/s

2

( ) ( )

( )

f x khi x x

f x

f x khi x x

 

  

 Xét tính liên tục h/s điểm x0?

Phương pháp chung:

B1: Tìm TXĐ: D = R

B2: Tính f(x0); lim ( )

0

x f

x x

B3: lim ( )

0

x f

x

x = f(x0)  KL liên tục x0

3.2 Xét tính liên tục hàm số khoảng

Phương pháp chung:

B1: Xét tính liên tục h/s khoảng đơn

B2: Xét tính liên tục h/s điểm giao

B3: Kết luận

3.3 Tìm điều kiện tham số để hàm số liên tục x0

3.4 Sử dụng tính liên tục hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm

Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = Để c/m PT có k nghiệm  a b; :

B1: Tính f(a), f(b)  f(a).f(b) <

B2: Kiểm tra tính liên tục hàm số f(x)  a b;

B3: Kết luận số nghiệm PT  a b;

CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 BẢNG ĐẠO HÀM

Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp

 C = (C số)

 x =

(kx)’= k (k số)

 n 

2 1 x x         

(x0)

2 U U U        

  (U0)

 )

( x =

x

2

1 (x>0)   U

U

2 U  

 (U0)

     

   x

x x x x x x x x x 2 2 cot sin ' cot tan cos ' tan sin ' cos cos ' sin                    U U U U U U U U U U U U ' ' sin ' cot cos ' ' tan sin ' cos cos ' ' sin      

2 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM (Ký hiệu U = U(x), V=V(x))

U V UV U.V'U'.VV'.U

(k.U)k.U(k số) 2

V V'.U U'.V

V

U   

     

3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP: g(x) = f[U(x)] , g'x = f 'u U x

4 ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ

Đạo hàm cấp 2: f (x)f(x)

Đạo hàm cấp n: f(n)(x)f(n1)(x)

5 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M0 có hồnh độ x0 có dạng:

y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)

Lưu ý: f’(x0) = hệ số góc tiếp tuyến với đường cong (C): y = f(x) điểm Mx0,f x0 

II CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

1 Dạng 1: Tính đạo hàm, đạo hàm cấp cao hàm số Sử dụng quy tắc bảng đạo hàm

để tính

2 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến đường cong (C): y = f(x)

* Loại 1: Tiếp tuyến điểm Mx0, f x0 

y = f’(x0) (x – x0) + f(x0) (*)

* Loại 2: Tiếp tuyến với hệ số góc k

+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng d cho trước:

Phương pháp:

B1: Tiếp tuyến d’ // d nên kd' kd

B2: Gọi x0 hoành độ tiếp điểm Khi ta có f’(x0)= kd (3)

B3: Giải (3) tìm x0 Từ suy f(x0)

B4: Thay kết vừa tìm vào pt dạng (*) ta pt tiếp tuyến cần lập

+ Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d cho trước

Phương pháp:

B1: Tiếp tuyến d’ // d nên

d d

k k ' 

B2: Gọi x0 hoành độ tiếp điểm Khi ta có f’(x0)= kd (4)

B3: Giải (4) tìm x0 Từ suy f(x0)

B4: Thay kết vừa tìm vào pt dạng (*) ta pt tiếp tuyến cần lập

* Loại 3: Tiếp tuyến qua điểm A cho trước

Phương pháp:

B1: Gọi d tiếp tuyến cần viết Mx0, y0 tiếp điểm Khi d có pt dạng  0 0

0 f' x x x

y

y  

B2: Cho d qua A ta yA y0  f' x0 xA x0 (5)

B3: Giải (5) tìm x 0 y0? Suy pt tiếp tuyến cần viết

B HÌNH HỌC

I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a b vng góc

Phương pháp 1: Chứng minh góc hai đường thẳng a b

90

Phương pháp 2: a b u v. 0 (u v, vectơ phương a b)

Phương pháp 4: Áp dụng định lí đường vng góc ( a  b a b' với b’ hình chiếu đt

b lên mp chứa đt a)

* LƯU Ý: Trong phương pháp phương pháp thông dụng

Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vng góc với mp (P)

Phương pháp 1: Chứng minh: d  a d  b với a  b = M; a,b  (P) Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a  (P)

Phương pháp 3: Chứng minh: d  (Q)  (P), d  a = (P)  (Q) Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q)  (R) (Q) (P), (R)  (P)

Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) (Q) vng góc

Phương pháp 1: Chứng minh (P)  a  (Q) Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R)  (Q) Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a  (Q)

Dạng 4: Tính góc đt a b

Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’  b’ = O)

- Khi đó: (a, b) = (a’, b’)

Dạng 5: Tính góc đt d mp(P)

Phương pháp: Gọi góc đt d mp(P) 

+) Nếu d  (P)  = 900

+) Nếu d khơng vng góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ d lên mp(P)

- Khi đó:  = (d,d’)

Dạng 6: Tính góc  hai mp (P) (Q) Phương pháp 1:

Xác định a  (P), b  (Q)

Tính góc  = (a,b)

Phương pháp 2: Nếu (P)  (Q) = d

Tìm (R)  d

Tính góc  = (a,b)

Dạng 7: Tính khoảng cách

Tính khoảng từ điểm M đến đt a:

Phương pháp: d M a( , )MH (với H hình chiếu vng góc M a)

Tính khoảng từ điểm A đến mp (P):

Phương pháp: - Tìm hình chiếu H A lên (P)

- d(M, (P)) = AH

Tính khoảng đt  mp (P) song song với nó: d(, (P)) = d(M, (P)) (M điểm thuộc )

Xác định đoạn vng góc chung tính khoảng đt chéo a b:

+) Phương pháp 1: Nếu a  b :

Dựng (P)  a (P)  b

Xác định A = (P)  b

Dựng hình chiếu H A lên b

AH đoạn vng góc chung a b

+) Phương pháp 2:

Dựng (P)  a (P) // b

Dựng hình chiếu b’ b lên (P) b’ // b, b’  a = H

Dựng đt vng góc với (P) H cắt đt b A

AH đoạn vng góc chung a b

+) Phương pháp 3:

Dựng mp (P)  a I cắt b O

Xác định hình chiếu b’ b (P) (b’ qua O)

Kẻ IK  b’ K

Dựng đt vng góc với (P) K, cắt b H

Kẻ đt qua H song song với IK, cắt đt a A