Trong ba điểm A, B, C không có điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại nếu ba điểm này không thằng hàng. Tính độ dài AM.. Vẽ các đoạn thẳng có hai đầu là hai trong số các điểm đã cho. Hỏi [r]
(1)Chuyên đề ĐIỂM ĐƯỜNG THẲNG
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Điểm A thuộc đường thẳng d kí hiệu A∈d Khi ba điểm A, B, C thuộc đường thẳng ta nói chúng thẳng hàng (h.1)
2. Điểm M khơng thuộc đường thẳng d kí hiệu M∉d Khi ba điểm A, B, M khơng thuộc đường thẳng ta nói chúng khơng thẳng hàng (h.2)
Hình
Hình
3.Trong ba điểm thẳng hàng có điểm điểm nằm hai điểm khác Trong hình 1, điểm B nằm hai điểm A C
4 Có một đường thẳng đường thẳng qua hai điểm A B
Đường thẳng d hình cịn gọi đường thẳng AB Ta đặt tên đường thẳng hai chữ thường ví dụ đường thẳng xy
B MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ Trên đường thẳng lấy điểm A, B, C, D theo thứ tự lấy điểm O a.∉ a) Hãy kể tên trường hợp điểm nằm hai điểm khác
b) Có nhóm ba điểm khơng thẳng hàng?
Giải (h.3)
a) Có trường hợp điểm nằm hai điểm khác là:
-Điểm B nằm A C; -Điểm B nằm A D; -Điểm C nằm A D; -Điểm C nằm B D
Hình b) Có nhóm ba điểm khơng thẳng hàng là:
(O; A; B) ; (O; A; C) ; (O; A; D) ; (O; B; C) ; (O; B; D) (O; C; D) C B
A d
M
B A
d
D C
O
B A
a
(2)Lưu ý: Bạn dễ dàng nhận thấy điểm B nằm hai điểm A C bạn bỏ sót trường hợp B nằm A D Để khắc phục tình trạng bạn cần nhớ ba điểm thẳng hàng, có điểm nằm hai điểm cịn lại
Ví dụ Cho trước số điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Vẽ đường thẳng qua cặp điểm Hỏi vẽ đường thẳng số điểm cho trước là:
a) điểm A, B, C, D ; b) điểm A, B, C, D, E; c) n điểm (n∈;n≥2) Giải
a) Với điểm A, B, C, D cho trước khơng có ba điểm thẳng hàng vẽ đường thẳng là: AB, AC, AD, BC, BD CD (h.4)
b) Với điểm A,B, C, D, E cho trước khơng có điểm thẳng hàng vẽ 10 đường thẳng là: AB, AC, AD, AE;
BC, BD, BE;
CD, CE DE (h.5)
Hình
Hình
c) Chọn số n điểm cho nối điểm với n−1 điểm cịn lại ta
1
n− đường thẳng Làm với tất n điểm ta (n−1 )n đường thẳng Nhưng đường thẳng tính hai lần (vì đường thẳng AB với
đường thẳng BA một) thực vẽ ( 1)
2 n n−
đường thẳng
Lưu ý:
- Nếu n số điểm cho trước khơng có ba điểm thẳng hàng cơng thức
( )
2 n n−
giúp ta tính số đường thẳng qua cặp điểm
- Ngược lại, n số đường thẳng cho trước đôi cắt khơng có ba,
bốn, đường thẳng đồng quy cơng thức ( 1)
2 n n−
giúp ta tính số giao điểm tất cặp đường thẳng
D C
B A
E
D C
(3)Ví dụ Cho trước số điểm có ba điểm thẳng hàng Vẽ đường thẳng qua cặp điểm Hỏi vẽ đường thẳng số điểm cho trước là:
a) điểm; b) n điểm (n∈,n≥3)
Giải
a) Nếu điểm cho khơng có ba điểm thẳng hàng số đường thẳng vẽ 7.6 21
2 = (đường thẳng)
Bây xét đến ba điểm thẳng hàng, qua chúng vẽ đường thẳng Nếu ba điểm khơng thẳng hàng vẽ ba đường thẳng
Số đường thẳng giảm : 3 1− =2 (đường thẳng)
Vậy vẽ tất 21 19− = (đường thẳng)
b) Lập luận tương tự câu a) ta đáp số ( 1) 2
n n−
= (đường thẳng)
Ví dụ Cho trước n điểm có ba điểm thẳng hàng Vẽ đường thẳng qua cặp điểm Biết số đường thẳng vẽ tất 28, tìm số n?
Giải
Ta có: ( 1) 28
n n− =
Suy ra: n n.( − =1) 56=8.7
Vì n n−1 hai số tự nhiên liên tiếp nên n=8
C BÀI TẬP
1.1 Xem hình cho biết:
- Có nhóm ba điểm thẳng hàng?
- Có trường hợp điểm nằm hai điểm khác?
(4)1.3 Cho trước số điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Nếu bớt ba điểm số đường thẳng vẽ qua cặp điểm lại 36 Hỏi khơng bớt ba điểm vẽ đường thẳng?
1.4 Cho điểm A, B, C, D, E Vẽ đường thẳng qua cặp điểm Hỏi điểm cho phải có điều kiện để số đường thẳng vẽ là:
a) 10; b) 5; c)
1.5 Cho trước n điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Nếu bớt điểm số đường thẳng vẽ qua cặp điểm giảm 10 đường thẳng Hỏi lúc cho điểm?
1.6 Có 16 đường thẳng cắt đơi khơng có ba đường thẳng qua điểm Hỏi có tất giao điểm 16 đường thẳng cho?
1.7 Cho một số đường thẳng cắt đơi khơng có ba đường thẳng qua điểm Biết có tất 190 giao điểm, tính số đường thẳng cho
1.8 Cho trước 12 đuểm có điểm thẳng hàng Vẽ đường thẳng qua cặp điểm Hỏi vẽ đường thẳng?
1.9 Cho a b c, , ba đường thẳng phân biệt Hãy cho biết số giao điểm ba đường thẳng
này
1.10 Vẽ đường thẳng cho chúng có nhiều giao điểm
1.11 Hai đường thẳng m n có chung điểm O Hãy nêu điều kiện để: a) m n hai đường thẳng phân biệt;
b) m n hai đường thẳng trùng
1.12 Cho bốn điểm A, B, M, N cho điểm M nằm hai điểm A B; điểm B nằm hai điểm M N Chứng tỏ hai đường thẳng AB MN trùng
(5)Chuyên đề TIA
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Hình gồm điểm O phần đường thẳng bị chia điểm O gọi tia gốc O Trên hình ta có tia Ox
2.Hai tia chung gốc tạo thành đường thẳng gọi hai tia đối Trên hình ta có hai tia Ox Oy đối
Nhận xét: Mỗi điểm đường thẳng gốc chung hai tia đối
3. Hai tia trùng nhau: Trên tia Ox lấy điểm M (M khác O) Khi hia tia Ox OM trùng (h.9)
Hai tia trùng coi tia
4 Mối quan hệ điểm nằm hai điểm khác với hai tia đối nhau, hai tia trùng
Xét ba điểm A, O, B thẳng hàng (h.10)
• Nếu hai tia OA, Ob đối gốc O nằm A B
•Ngược lại, điểm O nằm A B hai tia OA OB đối nhau; hai tia AO, AB trùng nhau, hai tia BO, BA trùng
Hình
Hình
Hình
Hình 10
B MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ Trên đường thẳng xy lấy ba điểm m, O, N (h.11)
Hình 11
Hãy kể tên:
a) Các cặp tia đối nhau;
b) Các tia trùng gốc O, tia trùng gốc M
Giải
a) Có ba cặp tia đối là: Mx My; Ox Oy; Nx Ny
b) Có hai cặp tia trùng gốc O là: Ox OM, Oy ON
x O
y
x O
x M
O
A O B
y N
O M
(6)Có ba tia trùng gốc M là: MO, Mn My Lưu ý: Ba tia trùng coi tia
Ví dụ Cho điểm O nằm hai điểm A B điểm M cho hai tia OM OB trùng Chứng tỏ rằng:
a) Hai tia OA, OM đối nhau;
b) Bốn điểm A, B, O, M thẳng hàng
Giải (h.12)
a)Vì điểm O nằm hai điểm A B nên hai tia OA OB đối (1)
Mặt khác hai tia OM OB trùng (2)
Hình 12
Nên từ (1) (2) suy hai tia OA, OM đối
b) Hai tia OA, OB đối nên ba điểm O, A, B thuộc đường thẳng Hai tia OA, OM đối nên ba điểm O, A, M thuộc đường thẳng
Hai đường thẳng có hai điểm chung O A nên chúng trùng điểm A, B, O, M thẳng hàng
C BÀI TẬP
1.14 Kể tên tia có hình 13 1.15 Trong hình 14 có tia?
Hình 13 Hình 14
1.16 Trên đường thẳng lấy n điểm A1, A2, , An Qua điểm vẽ đường thẳng song song với Tính giá trị cảu n để hình có 100 tia
B
A O M
O
y B
x
m n
A
m p u
y
n q
v x
E D
C
(7)1.17 Cho điểm O nằm hai điểm M N Trên tia Om lấy điểm E, tia ON lấy điểm F Giải thích sao:
a) Hai tia BO BC đối nhau;
b) Điểm B nằm hai điểm O C
1.18 Cho điểm O nằm hai điểm A B, điểm B nằm hai điểm A C Giải thích sao:
a) Hai tia BO BC đối nhau;
b)Điểm B nằm hai điểm O C
1.19 Cho điểm B nằm hai điểm A C, điểm C nằm hai điểm B D Chứng tỏ rằng:
(8)Chuyên đề ĐOẠN THẲNG
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Đoạn thẳng AB hình gồm điêm A, điểm B tất điểm nằm A B (h 15)
Hình 15 2.Mỗi đoạn thẳng có độ dài Độ dài đoạn thẳng số lớn 3.Nếu điểm M nằm hai điểm A B AM +MB=AB
4. Trên tia Ox vẽ điểm M cho OM a= (đơn vị dài)
5 Trên tia Ox, OM = , ON ba = , 0< < a b điểm M nằm hai điểm O N (h 16)
Hình 16 B MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ Trên đường thẳng xy lấy ba điểm A, B, C a) Kể tên đoạn thẳng có hình
b) Cho biết AC =3cm, BC=5cm Tính độ dài AB Giải a) Trong hình có ba đoạn thẳng AB, AC BC b) Xét ba trường hợp
• Trường hợp điểm A nằm điểm B C (h 17)
Ta có: BA+AC =BC
5 ( ) BA
AB cm
+ = = − =
• Trường hợp điểm B nằm hai điểm A C Ta có: AB+BC =AC
5
AB+ = (vơ lí)
• Trường hợp điểm C nằm hai điểm A B
Hình 17
Hình 18 Ta có:
3
8 ( ) AC CB AB
AB
AB cm
+ =
+ = =
Vậy AB=2cm AB=8cm
Lưu ý: Khi đề khơng cho biết vị trí tương đối ba điểm A, B, C phải xét trường hợp vị trí điểm hai điểm cịn lại Nếu khơng bỏ sót đáp số
Ví dụ Trên đường thẳng xy bốn điểm C, E, F, D theo thứ tự Biết CD=7cm, EF=3cm, FD=2cm
a) So sánh CE EF
b) Tìm cặp đoạn thẳng hình vẽ Giải (h 19)
B A
x N
M
b a
O
5
3 C
B A y
x
5
B
(9)a) Điểm F nằm hai điểm E D nên ED=EF +FD= + =3 (cm)
Điểm E nằm hai điểm C D nên
7 ( ) CE ED CD
CE CD ED cm
+ =
⇒ = − = − = Hình 19
b) Ta có CE=ED ( 5= cm)
Ví dụ Cho ba điểm A, B, C cho AB=2cm, BC=4cm CA=3cm Hỏi ba điểm A, B, C có thẳng hàng khơng? Vì sao?
Giải
• Giả sử điểm A nằm B C, BA AC BC+ = tức 3+ = (vơ lí)4
Vậy A khơng nằm B C
• Giả sử điểm B nằm A C, AB BC AC+ = tức 2+ = (vơ lí)4
Vậy B khơng nằm A C
• Giả sử điểm C nằm A B, AC CB AB+ = tức 4+ = (vơ lí)2
Vậy C khơng nằm A B
Trong ba điểm A, B, C khơng có điểm nằm hai điểm cịn lại ba điểm không thằng hàng
Lưu ý: Bạn giải tốn cách khác gọn sau: Ta có BA+AC≠BC (vì 3+ ≠ ) nên A không nằm B C
AB+BC≠BC (vì 2+ ≠ ) nên B khơng nằm A C AC+CB≠AB (vì 4+ ≠ ) nên C không nằm A B
Trong ba điểm A, B, C khơng có điểm nằm hai điểm cịn lại ba điểm khơng thằng hàng
Ví dụ Trên tia Ox lấy điểm A B cho OA=2cm; OB=5cm Trên tia đối của tia Bx lấy điểm M cho BM OA= Tính độ dài AM
Giải (h 20) Trên tia Ox có OA<OB (2< 5) nên điểm A nằm hai điểm O B
OA+AB=OB
5 ( )
AB OB OA cm
⇒ = − = − =
Ta có BM =OA=2cm
Trên tia BO có BM <MA (2< nên3)
điểm M nằm B A Hình 20 Ta có BM +MA=BA
2+MA= ⇒3 MA=1cm C BÀI TẬP
7
3 F D
E
C y
x
M ?
2 A x
O B
(10)1.20 Trong hình 21 đường thẳng nào, tia cắt đoạn PQ?
1.21 Cho bốn điểm A, B, C, D Vẽ đoạn thẳng có hai đầu hai số điểm cho Hỏi vẽ tất đoạn thẳng
1.22 Cho trước n điểm Vẽ đoạn thẳng có hai đầu hai điểm cho Biết vẽ tất 36 đoạn thẳng Tính giá trị n 1.23 Trên đoạn thẳng xy, lấy bốn diểm
A, B, C, D theo thứ tự Cho biết AC >BD Hãy so sánh hai đoạn thẳng AB CD
Hình 21
1.24 Cho đoạn thẳng AB Trên ta đối tia AB lấy điểm M cho AM =1cm Trên tia đối tia BA lấy điểm N cho BN =2cm Hãy so sánh hai đoạn thẳng BM AN 1.25 Cho điểm M nằm hai điểm A B; điểm B nằm hai điểm A C Biết
3
AM = cm, MB=2cm, BC=1cm Tính độ dài AC
1.26 Cho đoạn thẳng AB=7cm Lấy điểm M nằm A B cho MA MA− =3cm Tính độ dài đoạn thẳng MA MB
1.27 Cho đoạn thẳng AB=6cm Trên đường thẳng AB lấy điểm M cho MA=2MB Tính độ dài đoạn thẳng MB
1.28 Cho ba điểm A, B, C Biết AC=3cm, BC =2cm AB=5cm Hỏi hai tia CA CB có vị trí nhau?
1.29 Trên tia Ox lấy điểm A B cho OA=4cm, AB=2cm Tính độ dài đoạn thẳng OB
1.30 Trên tia Ox lấy điểm M N cho OM =3cm, MN =5cm Tính độ dài đoạn thẳng ON
1.31 Trên tia Ox lấy ba điểm A, B, C cho OA=2cm, OB=3cm, OC=5cm Tìm cặp đoạn thẳng hình vẽ
1.32 Trên tia Ox lấy điểm M N cho OM m= , ON m n= + m> > n Hãy so sánh OM MN
Q P
B
n
m A
y x
v
(11)Chuyên đề TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Định nghĩa: Trung điểm M đoạn thẳng AB điểm nằm A B cách đều A, B (MA=MB)
2 Tính chất: Nếu M trung điểm AB
2 AB
MA=MB= (h 22)
Hình 22 B MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ Cho đoạn thẳng AB có độ dài 5cm Trên đoạn thẳng lấy điểm C cho
AC= cm Gọi M trung điểm CB Tính độ dài AM Giải (h 23)
Điểm C nằm A B nên AC+CB= AB
5 ( )
CB AB AC cm
⇒ = − = − =
Vì M trung điểm CB
Nên ( )
2 CB
MB= = = cm Hình 23 Điểm M nằm A B nên AM +MB=AB Suy AM = AB−MB= − =5 (cm)
Nhận xét: Trong lời giải dựa vào nhận biết trực quan qua hình vẽ ta nói điểm M năm hai điểm A B mà khơng giải thích lí chuẩn kiến thức kĩ mơn Tốn khơng yêu cầu phải giải thích
Nếu muốn giải thích bạn lập luận sau:
Trên tia BA có BM <BA (1 5)< nên điểm M nằm hai điểm A B Vấn đề bạn phải xét tia gốc B
Ví dụ Cho đoạn thẳng AB=6cm Lấy điểm M nằm hai điểm A B cho
3
AM = AB Trên tia MB lấy điểm O cho
MO= AM Chứng tỏ rằng:
a) Điểm O trung điểm đoạn thẳng MB; b) Điểm O trung điểm đoạn thẳng MB
Giải (h 24)
a) Ta có 1.6 ( )
3
AM = AB= = cm
1
.2 ( )
2
MO= AM = = cm Vì điểm M nằm A B nên
AM +MB=AB Hình 24
Suy MB= AB−AM = − =6 (cm)
Trên tia MB có MO<MB (1 4)< nên điểm O nằm hai điểm M B Do MO OB MB+ =
B M
A
C
B A
3 M
B
(12)Suy OB=MB−MO= − =4 (cm)
Vậy OM <OB (1 3)< , O khơng phải trung điểm đoạn thẳng MB b) Trên tia BA có BO<BA (3< 6) nên điểm O nằm hai điểm B A (1) Ta có BO+OA=BA⇒OA=BA−BO= − =6 3 (cm)
Vậy OA=OB( 3= cm) (2)
Từ (1) (2) suy O trung điểm đoạn thẳng AB
Ví dụ Trên đường thẳng xy lấy điểm O Trên tia Ox lấy điểm M cho
OM = cm Trên tia Oy lấy điểm N P cho ON =2cm OP= >a 2cm a) Chứng tỏ O trung điểm MN
b)Tìm giá trị a để N trung điểm OP Giải (h 25)
a) Hai tia OM, ON đối nên điểm O nằm hai điểm M N (1)
Mặt khác OM =ON( 2= cm) (2) Từ (1) (2) suy O trung
điểm đoạn thẳng MN Hình 25
b) Trên tia Oy có ON<OP (vì 2<a) nên điểm N nằm hai điểm O P Ta có ON +NP=OP⇒NP=OP ON− = − a
Để N trung điểm OP phải có thêm điều kiện:
2 ( )
NP=ON ⇔ − = ⇔ =a a cm C BÀI TẬP
1.33 Cho đoạn thẳng AB điểm O nằm hai điểm A B Biết
AO= AB, chứng tỏ điểm O trung điểm đoạn thẳng AB
1.34 Cho ba điểm M, O, N thẳng hàng Biết OM ON= , chứng tỏ O trung điểm MN
1.35 Trên đường thẳng xy lấy điểm M, N, O, P, Q theo thứ tự cho MN =NO=OP=PQ Tìm điểm trung điểm đoạn thẳng
1.36 Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA=4cm; OB=6cm Gọi M N trung điểm OA OB Tính độ dài MN
1.37 Cho ba điểm P, O, Q cho OP=OQ=2cm; PQ=3cm Hỏi điểm O có phải trung điểm đoạn thẳng PQ khơng? Vì sao?
1.38 Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA=4cm, OB=6cm Gọi M trung điểm OA
a) Tính độ dài BM
b) Chứng tỏ A trung điểm đoạn thẳng MB
1.39 Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm M N Cho biết AB=7cm; AM =3cm; BN =2cm Chứng tỏ N trung điểm đoạn thẳng MB
a
P
N y
(13)1.40 Trên đường thẳng xy lấy điểm O hai điểm M, N cho OM =1cm; 2,5
ON = cm Vẽ điểm A B đường thẳng xy cho M trung điểm OA, N trung điểm OB Tính độ dài AB
1.41 Cho đoạn thẳng AB=210 (cm) Gọi M 1 trung điểm đoạn thẳng AB, M trung 2 điểm đoạn thẳng M B , 1 M 3 trung điểm đoạn thẳng M B 2 M trung 10
(14)Chuyên đề nâng cao
CÁC DẤU HIỆU NHẬN BIẾT MỘT ĐIỂM NẰM GIỮA HAI ĐIỂM KHÁC
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Ta biết tổng AM +MB= AB điểm M nằm A B Còn muốn chứng tỏ điểm trung điểm đoạn thẳng ta phải chứng tỏ điểm nằm hai đầu đoạn thẳng cách hai đầu đoạn thẳng Như vậy, nhiều ta phải chứng tỏ điểm nằm hai điểm khác
Bình thường, ta nhận biêt điểm nằm hai điểm khác cách trực quan qua hình vẽ Tuy nhiên, để rèn luyện tư tích cực, chuyên đề ta chứng tỏ điểm nằm hai điểm khác lập luận xác, suy luận có
Những dấu hiệu nhận biết điểm nằm hai điểm khác mà ta vận dụng để giải số
tập là:
• Dấu hiệu 1: Nếu hai tia MA, MB đối điểm M nằm hai điểm A B (h 26)
• Dấu hiệu 2: Nếu AM +MB=AB điểm A nằm hai điểm A B (h.26)
• Dấu hiệu 3: Nếu tia Ox có OA<OB điểm A nằm hai điểm O B (h.27)
Sau ta xét thêm hai dấu hiệu mới:
Hình 26
Hình 27
• Dấu hiệu 4: Trên tia Ox có OA OM OB< < điểm M nằm hai điểm A B (h 28)
Ta giải thích sau:
- Trên tia Ox có OA<OM nên điểm A nằm hai điểm O M, hai tia MA, MO trùng (1)
Hình 28
- Trên tia Ox có OM <OB nên điểm M nằm hai điểm O B Do hai tia MB, MO đối (2)
Từ (1) (2) suy hai tia MA, MB đối Vậy điểm M nằm hai điểm A B • Dấu hiệu 5: Cho điểm O nằm hai điểm A B, điểm M nằm O A, điểm N nằm O B Khi điểm O nằm hai điểm M N (h 29)
Hình 29
Ta giải thích sau:
- Vì điểm O nằm hai điểm A B nên hai tia OA, OB đối (1) - Vì điểm M nằm hai điểm O A nên hai tia OM, OA trùng (2)
M B A
x
A B
O
x B M
A O
O
(15)- Vì điểm N nằm hai điểm O B nên hai tia ON, OB trùng (3)
Từ (1), (2), (3) suy hai tia OM, ON đối nhau, điểm O nằm hai điểm M B MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ Cho ba điểm A, O, B cho OA=2cm, OB=3cm AB=5cm Lấy điểm M nằm đường thẳng AB cho OM =1cm Tính độ dài đoạn thẳng AM
Giải
Ta có AO+OB=AB (vì 2+ = ) nên điểm O nằm hai điểm A B (dấu hiệu 2) Suy O nằm đường thẳng AB hai tia OA, OB đối
• Trường hợp điểm M nằm tia OB (h 30)
Ta có hai tia OM OA đối điểm O nằm hai điểm A M (dấu
hiệu 1) Khi
2 ( ) AM =AO+OM = + = cm
• Trường hợp điểm M nằm tia OA (h 31)
Ta có OM <OA (vì 2< ) nên điểm M
nằm O A (dấu hiệu 3) Khi OM MA OA+ =
Suy AM =OA OA− = − =2 1 (cm)
Hình 30
Hình 31
Ví dụ Trên tia Ox lấy ba điểm A, B, C cho OA=3cm, OB=5cm, OC =7cm Chứng tỏ rằng:
a) Điểm A trung điểm đoạn thẳng OB; b) Điểm B trung điểm đoạn thẳng AC
Giải (h 32)
a) Trên tia Ox có OA<OB (3< nên5) điểm A nằm hai điểm O B (dấu hiệu 3)
Ta có OA+AB=OB
Suy AB=OB OA− = − =5 (cm)
Hình 32
Vậy OA> AB (3>2) nên A trung điểm đoạn thẳng OB
b) Trên tia Ox có OB<OC (5< 7) nên điểm B nằm hai điểm O C (dấu hiệu 3) Ta có OB+BC=OC, suy BC =OC−OB= − =7 (cm)
VậyAB=BC ( 2= cm) (1)
Trên tia Ox có OA<OB<OC (3< < 7) nên điểm B nằm hai điểm A C (dấu
hiệu 4) (2)
Từ (1) (2) suy điểm B trung điểm AC
Ví dụ Cho đoạn thẳng AB Gọi O điểm nằm A B Lấy điểm M nằm O A, điểm N nằm O B
a) Chứng tỏ
2 AB MN =
1
A O M B
B O
M A
1
7
3
x C B
(16)b) Áp dụng: Cho biết MN =3cm, tính độ dài AB Giải (h.33)
a) Điểm M là trung điểm OA nên M nằm O và
A,
2 OA
OM Điểm N trung điểm OB nên
N nằm O B,
2 OB ON
Mặt khác điểm O nằm A B
(đề cho) nên O nằm M N (dấu hiệu 5)
Suy
2 2
OA OB OA OB AB MN OM ON
b) Ta có
2 AB
MN nên AB
, suy AB6 cm
C BÀI TẬP
1.42 Vẽ đoạn thẳng AB2a Gọi M trung điểm AB Lấy điểm N nằm A B cho ANNB Hỏi điểm , ,A M N ,B M N , điểm nằm hai điểm lại?
1.43 Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O Lấy điểm M N thuộc đoạn thẳng AB cho
2 AB
AM BN Hỏi điểm O có phải trung điểm MN khơng? Vì sao?
1.44 Cho đoạn thẳng AB7cm Lấy điểm I K nằm A B cho
3 ,
AI cm BK a a cm
a) Tính độ dài IK
b) Xác định giá trị a để K trung điểm IB
1.45 Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OAa OB, vb ới a b Gọi M trung điểm AB Chứng tỏ
2 a b OM
1.46 Cho đoạn thẳng AB6cm Lấy hai điểm E F nằm A B cho
E
A BF cm Tính độ dài EF
1.47 Trên tia Ox lấy ba điểm , ,A B C cho OA1,5cm;OB3cm;OC4,5cm Hỏi hình vẽ có điểm trung điểm đoạn thẳng?
Hình 33
N
M B
(17)1.48 Cho đoạn thẳng AB4cm Trên tia đối tia AB lấy điểm O cho OA2cm Gọi M N trung điểm OA OB Hãy so sánh:
a) OA với MN
b) OM AN
1.49 Cho đoạn thẳng AB6cm Lấy điểm E nằm hai điểm A B cho
3
AE AB Gọi F trung điểm AE
a) Chứng tỏ E trung điểm BF
b) Gọi O trung điểm EF, giải thích O trung điểm AB
1.50 Cho đoạn thẳng AB là trung điểm O Trên tia đối tia BA lấy điểm M (M khác B) Chứng tỏ
2 MA MB OM
1.51 Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O Gọi M điểm nằm A B nhưng không trùng với O Chứng tỏ
2 MA MB OM
(18)2
Chuyên đề
1.1 (h.6) Có nhóm ba điểm thẳng hàng gồm: ba hàng ngang, ba hàng dọc hai hàng chéo 1.2 Xem hình 34
1.3 Gọi số điểm phải có để vẽ 36 đường thẳng x Ta có x(x −1) = 36
Suy x(x 1)− =72=9.8
Vì x x 1− hai số tự nhiên liên tiếp nên x=9 Vậy số điểm lúc ban đầu 12.+ =
Số đường thẳng vẽ lúc ban đầu 12.11 66 =
1.4 a) Trong điểm phải có điều kiện khơng có ba điểm thẳng hàng b) Trong số điểm phải có điều kiện điểm thẳng hàng (h.35) c) Phải có điều kiện có hai nhóm ba điểm thẳng hàng (h.36)
1.5 Số đường thẳng vẽ qua cặp điểm lúc ban đầu n(n 1)
−
Nếu bớt điểm số đường thẳng vẽ qua cặp điểm sau là: (n 1)(n 2)
− −
Theo đề ta có
[ ]
n(n 1) (n 1)(n 2)
2
(n 1) n (n 2) 20 (n 1).2 20 n 10 n 11
− − − − =
− − − =
− =
− = = Vậy số điểm lúc đầu 11
Cách khác: Nếu bớt điểm qua điểm điểm số n 1− điểm lại bớt
đi đường thẳng Vì tổng số đường thẳng giảm 10 nên n 10− = hay n =11
1.6 Hướng dẫn: Áp dụng công thức n(n 1)
− để tính số giao điểm đường thẳng.
Hình 35 D C
A B
E
Hình 36 E
D C
B A
Hình 34
(19)Đáp số: 120 giao điểm
1.7 Gọi n số đường thẳng Ta có n(n 1) 190
− =
, suy n(n 1)− =380=20.19 Vậy n =20
1.8 Nếu 12 điểm cho khơng có điểm thẳng hàng số đường thẳng vẽ 12.11
66
2 = (đường thẳng)
Bây xét đến điểm thẳng hàng, qua chúng vẽ đường thẳng Nếu điểm
không thẳng hàng vẽ 4.3
2 = (đường thẳng) Số đường thẳng giảm 5− = (đường thẳng)
Vậy vẽ tất 66 5− =61 (đường thẳng)
1.9 Số giao điểm là: • (h.37)
• (h.38) • (h.39) • (h.40)
1.10 Hướng dẫn: Bạn vẽ đường thẳng cắt tạo thành cánh (h 41)
1.11 a) m n hai đường thẳng phân biệt ngồi điểm chung O, chúng khơng cịn điểm chung khác (h.42)
b) m n hai đường thẳng trùng nên chúng điểm chung khác điểm O (h.43)
Hình 41 Hình 37
Hình 38
Hình 39
(20)Hình 43 1.12 (h.44)
• Vì điểm M nằm hai điểm A B nên ba điểm M, A, B thẳng hàng, điểm M nằm
trên đường thẳng AB Hình 44
• Vì điểm B nằm hai điểm M N nên ba điểm B, M, N thẳng hàng điểm B nằm đường thẳng MN Hai đường thẳng AB MN có hai điểm chung B N nên chúng trùng
1.13 Vẽ đường thẳng qua P Q cắt đường thẳng a cắt đường thẳng b M Khi ba điểm M, P, Q thẳng hàng (h.45)
Hình 45
-
Chuyên đề
1.14 Trong hình 13 có tia, gồm: - Ba tia gốc A Ax, Ay, Am; - Ba tia gốc B Bx, By, Bn; - Hai tia gốc O Om, On 1.15 Trong hình 14 có 18 tia, gồm:
Bốn tia gốc C, bốn tia gốc D, bốn tia gốc E tia gốc O 1.16 (h.46)
Tại điểm A , A , , A1 2 n có tia
Do để hình có 100 tia n=100 : 4=25 (điểm)
1.17 (h.47)
a) Điểm O nằm hai điểm M N nên hai tia OM, ON đối (1)
Điểm E thuộc tia OM, điểm F thuộc tia ON nên tia OE trùng với tia OM; tia OF trùng với tia ON (2)
m
n
Hình 42
O
N B
M A
a b
O
P
M' Q M
P O
m
n
Hình 46
An A2
(21)Từ (1) (2) suy hai tia OE OF đối
b) Vì hai tia OE OF đối nên gốc O nằm hai điểm E F
1.18 (h.48)
a) Điểm O nằm hai điểm A B nên hai tia BA, BO trùng (1)
Điểm B nằm hai điểm A C nên hai tia BA, BC đối (2)
Từ (1) (2) suy hai tia BO BC đối
b) Vì hai tia BO BC đối nên gốc B nằm hai điểm O C 1.19 (h.49)
a) Vì điểm B nằm hai điểm A C nên hai tia BA, BC đối (1)
Vì điểm C nằm hai điểm B D nên hai tia BC BD trùng (2)
Từ (1) (2) suy hai tia BA, BD đối
b) Vì điểm B nằm hai điểm A C nên hai tia CA, CB trùng (3) Vì điểm C nằm hai điểm B D nên hai tia CD, CB đối (4) Từ (3) (4) suy hai tia CA, CD đối
Chuyên đề
1.20 (h.21) Đường thẳng xy tia Am cắt đoạn thẳng PQ
1.21 (h.50 a,b) Vẽ tất đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD CD
1.22 Ta có n.(n 1) 36 n.(n 1) 72 9.8
− = ⇒ − = =
Vì n n 1− hai số tự nhiên liên tiếp nên
n =9
1.23 (h.51) Vì điểm B nằm hai điểm A C nên
AB BC+ =AC Vì điểm C nằm hai điểm B D nên BC CD+ =BD
Mặt khác AC>BD nên AB BC+ >BC CD+ hay
AB>CD
1.24 (h.52) Vì điểm A nằm M B nên
MA+AB=MB
B
C D
A
Hình 50a
Hình 47
F N O M E
Hình 48
C B O A
Hình 49
D C
B A
Hình 50b
D C
B A
Hình 51
D C
B A
2 1
(22)Suy MB AB= + (1) Vì điểm B nằm A N nên
AB BN+ =AN
Suy AN=AB 2+ (2) Từ (1) (2) suy MB<AN
1.25 (h.53) Vì điểm M nằm A B nên AM+MB=AB
Do AB= + =3 (cm)
Vì điểm B nằm A C nên AB BC+ =AC Do AC= + =5 (cm)
1.26 (h.54) Vì M nằm A B nên
MA+MB=AB=7cm Mặt khácMA−MB=3cm nên MA=(7+3) : 2= (cm)
MB= − =7 (cm) 1.27 Xét ba trường hợp:
• Trường hợp M nằm A B (h.55) Ta có
AM MB AB 2MB MB 3MB MB (cm)
+ =
+ =
= =
• Trường hợp B nằm A M (h.56) Ta có
AB BM AM BM 2MB BM (cm)
+ =
+ =
=
• Trường hợp điểm A nằm hai điểm B M Ta có BA + AM = BM + 2BM = BM
6+ BM = (vơ lí)
Vậy trường hợp không xảy Đáp số: MB = 2cm MB = 6cm
1.28 Ta có AC + CB = AB (vì + = 5) Vậy điểm C nằm hai điểm A B Do hai tia CA, CB đối
1.29 Điểm O gốc tia nên không nằm A B * Xét trường hợp điểm A nằm O B
(h 57)
Ta có OB = OA + AB = + = (cm) * Xét trường hợp điểm B nằm O A (h 58)
Ta có OB + BA = OA
⇒ OB = OA –BA = – = 2(cm)
1 2
3
Hình 53 M
A B C
7
Hình 54
A M B
6
Hình 55
B
A M
6
Hình 56
A B M
2 4
x
Hình 57
O A B
2 4
x
Hình 58
(23)1.30 Điểm O gốc tia nên không nằm hai điểm M N * Xét trường hợp M nằm O N (h 59)
Ta có: ON = OM + MN = + = 8(cm)
* Xét trường hợp điểm N nằm hai điểm O M Ta có: ON + NM = OM
ON + = (vơ lí)
Vậy trường hợp khơng xảy Do tốn có đáp số 8cm 1.31 (h 60)
* Trên tia Ox có OB < OC (3 < 5) nên điểm B nằm O C Ta có OB +BC = BC
Suy BC = OC – OB = – = 2(cm) Đo OA = BC (=2cm)
* Trên tia Ox có OA < OC (2 < 5) nên điểm A nằm O C Hình 60 Ta có: OA + AC = OC ⇒AC = OC – OA = – = (cm)
Do OB = AC (=3cm)
1.32 (h 61) Trên tia Ox có OM < ON (m < m +n) nên điểm M nằm hai điểm O N Do đó: OM + MN = ON
Suy MN = ON – OM = m + n – m = n Vậy OM > MN (vì m > n)
Hình 61
5 3
x
Hình 59
O M N
5 3
2 x
O A B C
m+n m
x
(24)Chuyên đề
1.33 (h 62) Vì điểm O nằm hai điểm A B nên AO + OB = AB (1) Suy OB = AB – AO = AB -
2 AB = AB Do OA = OB (= )
2 AB (2) Hình 62
Từ (1) (2) suy O trung điểm đoạn thẳng AB
Lưu ý: Bài toán cho ta dấu ấn nhận biết trung điểm đoạn thẳng 1.34 Trong điểm M, O, N thẳng hàng có điểm nằm hai điểm khác * Giả sử M nằm O N, ta có:
OM + MN = ON ⇒MN = ON – OM = (vì OM = ON) Điều vơ lí MN > Vậy trường hợp không xảy
Do đó, điểm O nằm M N
Mặt khác OM = ON nên O trung điểm MN 1.35 (h.63)
* N trung điểm đoạn thẳng MO
* O trung điểm đoạn NP MQ Hình 63 * P trung điểm OQ
1.36 (h.64) Vì M trung điểm OA nên OM = 2( ) = cm Vì N trung điểm OB nên ( )
3
ON = = cm
Trên tia Ox có OM < ON (2 < 3)
nên điểm M nằm hai điểm O N Hình 64 Do OM + MN = ON ⇒ MN = ON – OM = – = 1(cm)
1.37 Ta có OP OQ+ ≠PQ(2 2+ ≠3) nên điểm O khơng nằm P Q O trung điểm PQ
1.38 (h 65)
a) Vì M trung điểm OA nên 2( )
2
OA
OM =MA= = cm
Trên tua Ox có OM < OB (2 < 6) nên M nằm O B
Do OM + MB = OB Hình 65
Suy MB = OB – OM = – = 4(cm)
b) Trên tia Ox có OA < OB (4 < 6) nên điểm A nằm hai điểm O B Do OA + AB = OB⇒ AB = OB – OA = – = 2(cm)
Trên tia BO có BA < BM (2< 4) nên điểm A nằm hai điểm B M
Mặt khác 1.4
2
BA= BM =
nên điểm A trung điểm MB 1.39 (h 66) Điểm M nằm A B nên AM + MB = AB
⇒ MB = AB – AM = – = (cm) Trên tia BA có BN < BM (2 < 4)
O
A B
x M N O P Q y
6 4
x B
A O
M N
6 4
x B
A O
M
2 3
7
(25)nên điểm N nằm hai điểm B M (1)
Ta có BN + NM = BM ⇒ MN = BM – BN = – = (cm) Hình 66 Vậy BN = MN (=2cm) (2)
Từ (1) (2) suy N trung điểm đoạn thẳng MB 1.40 Vì M trung điểm OA nên OA = 2OM = 2cm Vì N trung điểm OB nên OB = ON = 5cm
* Xét trường hợp M N thuộc tia gốc O (h 67) Khi A B thuộc tia gốc O
Vì OA < OB (2 < 5) nên điểm A nằm hai điểm O B Hình 67 Suy OA + AB = OB⇒ AB = OB – OA = – = (cm)
* Xét trường hợp M N thuộc hai tia đối gốc O (h 68) Điểm A điểm B nằm hai tia đối gốc O
nên điểm O nằm A B
⇒AB = AO + OB = + = (cm) Hình 68
1.41 (h 69) Vì M1là trung điểm AB nên ( )
10
2 2
AB
M B= = = cm
Vì M2 trung điểm M1B nên ( )
9
2
2
2
M B
M B= = = cm
………
Vì M10là trung điểm đoạn thẳng M9B nên
( )
10
2
2
M B
M B= = = cm Hình 69
Trên tia BA có ( 9)
10 1
BM <BM < nên điểm M10 nằm hai điểm B M1
Do ( )
10 10 1 10 1 10 511 BM +M M =BM ⇒M M =BM −BM = − = cm
2,5
1
x y
O M A N B
2,5 ?
1
x y
M O
A N B
A B
(26)Chuyên đề nâng cao
1.42 (h 70) Điểm M trung điểm AB nên AM = MB
AB a
=
Điểm N nằm hai điểm A B nên AN + NB = AB = 2a Vì AN < AM nên 2AN < 2a, AN < a
Trên tia AB có AN < AM nên điểm N nằm hai điểm Hình 70 A M (dấu hiệu 3)
Trên tia AB có AN < AM < AB nên điểm M nằm hai điểm N B (dấu hiệu 4) 1.43 (h.71) Điểm O trung điểm AB nên O nằm A B Trên tia AB có AM < AO
2
AB
= nên điểm M nằm hai điểm A O.
Trên tia BA có BN < BO
AB
=
nên điểm N nằm hai điểm B O Hình 71 Suy điểm O nằm hai điểm M N (dấu hiệu 5) (1)
Ta có OM = OA – AM; ON = OB – BN Mặt khác OA = OB AM = BN nên OM = ON (2) Từ (1) (2) suy O trung điểm MN
1.44 (h 72)
a) Điểm I nằm A B nên
AI + IB = AB ⇒ IB = AB – AI = – = 4(cm)
Trên tia BA có BK < BI (vì a < 4) nên điểm K nằm hai điểm B I Hình 72 Do BK + KI = BI ⇒ IK = BI – BK = – a (cm)
b) Ta có K nằm B I nên muốn K trung điểm BI phải có
( )
1
4
2
BK = BI ⇔ =a = cm
1.45 (h 73) Trên tia Ox có OA < OB (vì a < b) nên điểm A nằm hai điểm O B
Suy OA + AB = OB ⇒ AB = OB – OA = b – a Hình 73 Vì M trung điểm AB nên
2
AB b a
BM = = −
Ta có:
2
b a b b
− < <
Trên tia BO có BM < BO (vì
2
b a b b
− < < ) nên điểm M nằm hai
điểm B O Suy BM + MO = BO Do ( )
2 2
b b a
b a a b
OM =OB−BM = −b − = − − = +
1.46 (h 74) Điểm E nằm hai điểm A B nên AE + BE= AB = 6cm mà AE + BF = 7cm nên BE < BF Trên tia BA có BE < BF nên điểm E nằm hai điểm B F
Suy BE + FE = BF Ta có: AE + BF = 7cm
Do đó: AE + (BE + FE) = 7cm AB + FE = 7cm
⇒ FE = – AB = – = (cm) Hình 74 1.47 (h 75)
• Trên tia Ox có OA < OB (1,5 < 3) nên điểm A nằm hai điểm O B
(27)Ta có OA + AB = AB ⇒ AB = OB – OA = – 1,5 = 1,5 (cm) Vậy OA = AB (=1,5cm)
Suy A trung điểm OB
• Trên tia Ox có OB < OC ( < 4,5) nên điểm B nằm O C Ta có: OB + BC = OC ⇒ BC = OC – OB = 4,5 – = 1,5 (cm)
Vậy AB = BC (1)
Trên tia Ox có OA < OB < OC (1,5 < 3< 4,5)
nên điểm B nằm hai điểm A C (dấu hiệu 4) (2)
Từ (1) (2) suy B trung điểm AC Hình 75 Tóm lại, hình có điểm A trung điểm OB;
điểm B trung điểm AC 1.48 (h 76)
a) Hai tia OA, AB đối nên điểm A nằm hai điểm O B, OB = AO + AB = + = 6(cm)
Vì điểm M trung điểm AO nên OM = (cm) Hình 76 Vì N trung điểm OB nên ON = (cm)
Trên tia OB có OM < ON nên điểm M nằm hai điểm O N Suy OM + MN = ON Do MN = ON – OM = – = 2(cm)
Vậy OA = MN (=2cm)
b) Trên tia OB có OA < ON (2 < 3) nên điểm A nằm hai điểm O N Suy OA + AN = ON ⇒ AN = ON – OA = – = (cm)
Vậy AN = OM (= 1cm) 1.49 (h 77)
a) Ta có E 4( )
A = AB= cm
Điểm F trung điểm AE nên AF = FE = :2 = 2(cm) Điểm E nằm hai điểm A B nên AE + BE = AB Suy BE = AB – AB = – = (cm)
Do BE = FE(=2cm) (1)
Trên tia AB có AF < AE < AB (2 < < 6) nên điểm E nằm F B (dấu hiệu 4) (2) Từ (1) (2) suy E trung điểm BF
b) Điểm F nằm hai điểm A E (vì F trung điểm AE) Suy hai tia FA FE đối (1)
Điểm O nằm hai điểm E F (vì O trung điểm FE)
Suy hai tia FO FE trùng (2) Hình 77 Từ (1) (2) suy hai tia FA, FO đối
Do điểm F nằm hai điểm A O dẫn tới OF, OA trùng (3) Lập luận tương tự có hai tia OE, OB trùng (4)
Mặt khác hai tia OF , OE đối (vì O trung điểm FE) (5)
Từ (3); (4); (5) suy hai tia OA, OB đối nhau, dẫn tới điểm O nằm hai điểm A B (6) Ta có: OA = OF + AF (vì F nằm A O)
OA = + = (cm)
OB = OE + BE (vì E nằm B O)
1,5
4,5
3 x
C B
O
A
4
O M A N B
6
(28)OB = + = (cm) Do OA = OB (7)
Từ (6) (7) suy O trung điểm AB
1.50 (h 78) Vì O trung điểm AB nên OA = OB O nằm A B Suy hai tia BO, BA trùng
Mặt khác hai tia BM, BA đối nên hai tia BO, BM đối nhau, điểm B nằm hai điểm O M Suy OM = OB + BM (1) Điểm O nằm hai điểm A B nên hai tia OA, OB đối xứng Điểm B nằm hai điểm O M nên hai tia OM, OB trùng
Suy hai tia OA, OM đối Do điểm O nằm hai điểm A M Vậy AO + OM = AM ⇒ OM = MA – AO (2)
Từ (1) (2) ta có 2OM = OB + BM + MA – AO
2OM = MA + MB (vì OA = OB) Hình 78
2
MA MB
OM = +
Nhận xét:
1 Muốn chứng minh
2
MA MB
OM = + ta chứng tỏ 2OM = MA + MB
Muốn có 2OM ta tính OM, theo hai cách khác cộng lại Sau muốn OM ta chia kết cho
2 Bài toán M nằm tia đối tia AB 1.51 Xét hai trường hợp:
* M nằm O B (h 79)
Ta có hai tia OM OB trùng (1)
Điểm O trung điểm AB nên OA = OB O nằm A B Suy hai tia OA, OB đối (2)
Từ (1) (2) suy hai tia OA, OM đối điểm O nằm hai điểm A M
Ta có AO + OM = AM ⇒ OM = MA – OA (3) Hình 79 Mặt khác: OM + MB = OM ⇒ OM = OB – MB (4)
Từ (3) (4) ta có 2MO = MA – AO + OB – MB 2MO = MA – MB (vì OA = OB) (5)
* M nằm O A (h 80)
Cũng giải tương tự ta
2
MB MA
OM = − (6)
Từ (5) (6) suy
2
MA MB
OM = − Hình 80
Lưu ý: Nếu điểm M trùng với O kết
x M
B
A O
A
B
O M
A
B O
M