Thông tin tài liệu
CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC Chương I CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Đặt nhân tử chung Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 a) 12 x y x y x y b) 5( x y ) 15 x( x y ) x y x xy x c) 2( x y ) y ( y x ) d) Tìm cách giải Quan sát đề bài, thấy đa thức có nhân tử chung Bước Chọn hệ số ƯCLN hệ số Bước Phần biến gồm tất biến chung, biến lấy với số mũ nhỏ hạng tử Nếu có hai nhân tử đối nhau, đổi dấu hai nhân tử dấu đứng trước Lời giải Ta có: 12 x3 y x y x y x y x – y a) b) 5( x y ) 15 x( x y ) 5( x y )(1 x) c) 2( x y ) y ( y x) 2( x y) y ( x y ) ( x y )(2 y ) x y x xy x x y x xy x xy x x 1 d) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 1) 4a 8b 12c 2) mx my m 3) ax ay a 4) 5a 10ax 15a 5) 3a2x 6a2y 12a 6) 2axy 4a2xy2 6a3x2 7) 5a2xy 10a3x 15ay 8) a2b 2ab2 ab 9) 5a2b 2ab2 ab 10) 3x2y3 6x3y2 x2y2 11) 5x2y4 10x4y2 5x2y2 12) 2x3y4 4x4y3 21y3 13) 4x3y2 8x2y3 12x4 14) 7x2y5 14x3y4 21y3 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử 1) 2 x y a x y 2) a x y b x y 15) 8x3y 16xy2 24 7) mx a b m a b 9) a x 1 b 1 x 4) 5a2 x y 10a x y 5) 2ab x y 4a x y 8) x a b y b a 3) 2a x y 4 x y 6) 3a x y 2 x y 10) 2a x 2 a2 x 2 11) ab x 5 a2 5 x 12) 2a2 x y 4a y x 16) 2xy a 1 4x2y 1 a 17) 5x2y x 7 5xy 7 x 18) 3ab x y 3a y x 13) 3ab x 4 9a 4 x 19) 3a x 3 a2 3 x 14) 2a2 x 1 4a 1 x 20) 2a2b x y 4a3b x y Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử 1) xm1 xm 2) xm1 xm 4) xm2 x2 5) xm2 xm1 Dùng đẳng thức Ví dụ 1.Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 15) a x 3 a2 3 x 21) 7a x 2y 14a2 2y x 3) xm xm 6) xm8 xm3 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 a b a 2b 2 a) 100 x y 3 c) x 27 y b) NĂM HỌC 2 d) 125 75 x x x Tìm cách giải Nhận thấy ví dụ đa thức có dạng đẳng thức Do vận dụng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử Lời giải: Ta có: 00 x y 10 x y 10 x y a) 2 a b a 2b � a b a 2b � a b a 2b � � �� � � a 7b 5a b b) x 27 y x y x xy y c) 125 75 x 15 x x3 x d) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 2 a b c2 a 2b 4b a 4b b) c) a) 2 2 49a 2a b a 2b 3a b a 5b 16b e) f) d) 2 2 2a b 16 a b 36 x y 25 x 1 h) g) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử x 12 x y y 16 x x x 24 x 16 b) c) a) 6 d) x 16 x y 16 y e) x 12 x x f) x 12 x x Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử x 125 y 3 125 x x 27 y 64 a) b) c) x 3 d) 8 e) x y Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử x3 x 27 x 27 b) m 3m 3m a) 64 48m 12m2 m3 6 12 f) x y c) 3 2 a b c3 d) 27 a 27 a 9a e) 27 a 54a b 36ab 8b f) Nhóm hạng tử Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 x a b a b a) b) 3a x 3a y abx – aby c) ax bx cx 2a 2b 2c Tìm cách giải Mỗi đa thức khơng có nhân tử chung, khơng xuất đẳng thức Quan sát kỹ nhận thấy nhóm hạng thử thích hợp xuất nhân tử chung Lời giải x a b a b a b x 1 a) 3a x 3a y abx aby 3a x y ab x y a x y 3a b b) 2Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC ax bx cx 2a 2b 2c x a b c a b c x a b c c) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: xy 2 a) a – b 4a 4b; a b ab – a 2b – b c – c a 2x y ; b) c) Tìm cách giải Nhận thấy đa thức ẩn chứa đẳng thức Vậy nhóm nhằm xuất đẳng thức Lời giải a b a b a b a b a b 4 a) xy 2x 2y xy 2x 2y b) x y 2 2 y 2 x y 2 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 c) a b ab ab a b ab ab c2 a2 b2 2 a b a b c a b = a b � a b c � � � 2 2 2 2 2 a2 b2 a b c a b c BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Phân tích đa thức thành nhân tử 2) x ( x 3) 14.(3 x) 1) x.( x 2) 5.( x 2) 3) x.( x y ) 15 x ( x y ) 4) 10 x ( x y ) 15 x ( y x) 5) x.(2 x y ) 15.(3 y x) Bài Phân tích đa thức thành nhân tử 1) a(b c) d(b c) e(b c) 2) a(b 3) (3 b) b(3 b) 3) 15a b(x y) 20ab (x y) 25ab(y x ) Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) (xy+1) -(x+y)2; 4) (3a 6b) m(a b) n(2 b a) (a b c)2 (a b c)2 4c2 b) ; 2 c) (a + 9) - 36a Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 3a – 3b + a2 – 2ab + b2; b) a + 2ab + b2 – 2a – 2b + 1; 2 2 2 c) 4b c (b c a ) Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x - 4xy + 4y2 - 9a2; b) xy(a2 + b2) - ab(x2 + y2); c) x2(a - b) - 2xy(a - b) + ay2 - by2; d) 8xy3 - x(x-y)3 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC x2 4x2y2 y2 2xy ; A = a) 6 b) B = x y ; 2 3 2 2 c) C xy ( x y ) 6( x y x y xy ) 9( x y ) 25 a2 2ab b2 c) D = Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 a) x x y xy 12 y ; 2 b) x y xy x y ; 2 c) 3x (a b c) 36xy(a b c) 108y (a b c) d) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x 1 5x 5 3x ; b) a a a a a ; 3 2 c) x 3x 3x 1 y ; d) 5x 3x y 45xy 27y Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x – x2 – x + 1; b) x – x2 + 2x – 1; c) 4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2; Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x x b) 2x2 - 3x + Tìm cách giải: Các đa thức khơng có nhân tử chung, khơng ó dạng đẳng thức nên việc phân tích thành nhân tử khó Vì ta nên tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung để phân tích tiếp Lời giải a) x x Cách 1: Tách số hạng thứ hai x x x x x ( x x) ( 4 x 8) x( x 2) 4( x 2) ( x 2)( x 4) Cách 2: Tách số hạng thứ ba x x x x ( x x 9) ( x 3) 12 ( x 1)( x 1) Cách 3: Tách số hạng thứ ba x x x x 12 ( x 4) (6 x 12) ( x 2)( x 2) 6( x 2) ( x 2)( x 6) ( x 2)( x 4) Cách 4: Tách số hạng thứ ba x x x 16 x 24 ( x 16) (6 x 24) ( x 4)( x 4) 6( x 4) ( x 4)( x 6) ( x 4)( x 2) Cách 5: Tách số hạng thứ hai thứ ba x x x x x ( x x 4) 2( x 2) ( x 2) 2( x 2) ( x 2)( x 2) ( x 2)( x 4) b) x x Cách 1: Tách hạng tử thứ hai: 3x x x f x x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 Ta có 2 Cách 2: Tách hạng tử thứ hạng tử thứ hai: x x x 4Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 f x x x 1 x x x 1 � x 1 x � � � Ta có x 1 x 1 Chú ý 1: Mặc dù có nhiều cách tách thông dụng tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho b1b2 = ac b1+ b2 = b 2 Chú ý 2: Ta thực cách làm với đa thức có dạng a.x bxy cy x NĂM HỌC 1 x x 1 Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 a) x xy y 2 b) x xy y Lời giải a) x xy y x xy xy y x ( x y ) y ( x y ) ( x y )( x y ) 2 2 b) x xy y x xy 3xy y x( x y ) y ( x y ) ( x y )( x y ) 2 2 Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử x x xy y y Tìm cách giải: Đa thức đa thức bậc hai, có hai biến x y khơng có 2 dạng a.x bxy cy ta thấy hệ số x số phương nên ta đưa hạng tử chứa x vào bình phương tổng hiệu Từ xuất nhân tử chung đẳng thức Lời giải x x xy y y x x(1 y) y y 1 x x (1 y ) (1 y ) (1 y) y y 4 2 2 � 1 � 1 �x y � y y y y � 2 � 2 1� � 1 � �9 �x y � � y y � 4� � 2 � �4 2 1� � 1 � �3 �x y � � y � x y x y 1 2� � 2 � �2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 1) x x 2) x 13 x 2 4) x 20 x 5) x x 2 7) 8 x 23 x 8) 10 x 11x 10) 10 x 17 x Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x xy y x xy y ) 2) 2 6x xy y 5) x xy y 4) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 5Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 3) x 15 x 6) x 10 x 9) 10 x x 2 3) x xy y 2 6) x xy y Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 1) 3) 5) 7) 9) x y 3xy x y 2) x xy x y y NĂM HỌC x x xy y y 2 x xy x y 6y 4) x xy x y y 6) 3x 22 xy x y y x 5x 12 y 12 y 10 xy 8) x xy x y y x xy y 3x y 10) x xy y x y x 3xy x y y 12) 3x xy y x y 11) Phương pháp thêm bớt hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) 4x4 + 81 2) x4 + 324 Tìm cách giải: Các hạng tử đa thức cho không chứa thừa số chung, khơng có dạng đẳng thức nào, khơng thể nhóm số hạng Vì ta phải biến đổi đa thức cách thêm bớt hạng tử để vận dụng phương pháp phân tích biết thêm bớt để làm xuất đẳng thức Lời giải 1) 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2 = ( 2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + – 6x)(2x2 + + 6x) 4 2 x 18 x x 18 x x 18 x 2) x 324 x 36 x 324 36 x Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) a3 + b3 + c3 – 3abc 2) x5 – Lời giải 1) a3 + b3 + c3 – 3abc Ta thêm bớt 3a2b +3ab2 sau nhóm làm xuất nhân tử chung a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc) = (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) 2) x5 – Ta thêm bớt x sau dùng nhóm làm xuất nhân tử chung: x – = x5 – x + x – = (x5 – x) + (x – 1) = x(x – 1) + ( x – 1) = x(x2 – 1)(x2 + 1) + (x - 1) = x(x +1)(x – 1)(x2 + 1) + ( x – 1) = (x – 1)[x(x + 1)(x2 + 1) + 1] Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4 a) x x b) x x c) x 1996 x 1995 x 1996 d) x x Tìm cách giải: Với đa thức có dạng số mũ chia dư 1, chia dư phân tích thành nhân tử xuất nhân tử x x Lời giải a) x x x( x 1) x( x 1)( x x 1) b) x x x x x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 6Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC x 1996 x 1995 x 1996 x x 1996 x 1996 x 1996 c) x x 1 x x 1 1996 x x 1 x x 1 x x 1996 x x x x ( x 1) x x 1 x x 1 x3 x 1 d) Nhận xét Với kỹ thuật phân tích thành nhân tử : x3k+ + x3n+1 + BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 11 1) x x ; 2) x x 3) x x ; 4) x x 7 10 5) x x ; 6) x x 7) x x ; 8) x x 11 10 11 11 x10 x ; 10) x x 11) x x ; 12) x x 9) Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4 1) x 2002 x 2001x 2002 2) x 2005 x 2004 x 2005 4 3) x 1999 x 1998 x 1999 4) x 1997 x 1996 x 1997 4 5) x 1996 x 1995 x 1996 ; 6) x 2007 x 2006 x 2007 4 7) x 2002 x 2001x 2002 ; 8) x 2005 x 2004 x 2005 4 9) x 1999 x 1998 x 1999 ; 10) x 1997 x 1996 x 1997 4 11) x 1996 x 1995 x 1996 ; 12) x 2007 x 2006 x 2007 Phương pháp hệ số bất định Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Tìm cách giải Các số 1; 3 nghiệm đa thức f(x) nên f(x) khơng có nghiệm ngun, f(x) khơng có nghiệm hữu tỷ Như f(x) phân tích thành nhân tử phải có dạng : (x2 + ax + b)( x2 + cx + d), với a, b, c, d Z Khai triển dạng ra, ta đa thức : x + (a+c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd Đồng đa thức với f(x) ta hệ điều kiện: a c ac b d 12 ad bc 14 bd 3 Xét bd = 3, với b, d Z, b {1; 3} Với b = d = 1, hệ điều kiện trở thành: a c ac 8 a 3c 14 Từ tìm được: a = -2; c = -4 Vậy f(x) = (x2 - 2x + 3)( x2 - 4x + 1) Lời giải 4 f(x) = x - 6x + 12x - 14x + = (x - 4x3 + x2) - (2x3+ 8x2 - 2x) + (3x2 -12x +3) = x2(x2 - 4x + 1) - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1) = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x +3) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phân tích đa thức sau thành nhân tử x 1) x 2 x 2 ; 2 x 2) x x 3 ; 7Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 x 3) x 20 x ; 2 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 x x 20 x ; 4) x x 30 x 6 ; 7) x x 42 x ; 10) x x 56 x ; x 5) x 8) 13) x x x 3; x x3 x x 3; 14) 3x x 18 x 3x 5; 16) x 3x x x 3; 19) 3x x x 2; 17) 3x x x x 2; 2 2 2 2 2 x 12 x ; x 30 x 5 ; 2 x 11) 2 NĂM HỌC x 56 x ; x 6) x 9) x 12 x 3 ; x 42 x ; 2 2 12) 15) 18) x x x x 3; 20) x x x Phương pháp xét giá trị riêng biến Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Tìm cách giải Nếu thay x y P = 0, nên P chia hết cho x – y Hơn thay x y, y z, z x P khơng thay đổi ( ta nói đa thức P có dạng hốn vị vịng quanh) Do đó: P chia hết cho x – y P chia hết cho y – z, z – x Từ đó: P = a (x – y)(y- z)(z - x); a số, khơng chứa biến P có bậc tập hợp biến, cịn tích (x - y)(y - z)(z - x) có bậc tập hợp biến Ta có : P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = a(x - y)(y - z)(z - x) (*)đúng với x, y, z Rnên ta chọn giá trị riêng cho x, y, z để tìm số a xong Chú ý Các giá trị x, y, z ta chọn tùy ý, cần chúng đơi khác để tránh P = Chẳng hạn, chọn x = 2; y = 1; z = thay vào đẳng thức (*),ta tìm a = - Vậy: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) Lời giải Nếu thay x y P = 0, nên P chia hết cho x – y Hơn thay x y, y z, z x P khơng thay đổi Do đó: P chia hết cho x – y P chia hết cho y – z, z – x Từ đó: P = a (x – y)(y- z)(z - x); a số P có bậc tập hợp biến, cịn tích (x - y)(y - z)(z - x) có bậc tập hợp biến Suy P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = a(x - y)(y - z)(z - x) (*)đúng với x, y, z R Chọn x = 2; y = 1; z = thay vào đẳng thức (*),ta tìm a = - Vậy: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a b) Tìm cách giải Do vai trị bình đẳng a, b, c Lời giải Với a = Q = 0, a nhân tử Q Do vai trị bình đẳng a, b, c nên b c nhân tử Q, mà Q có bậc tập hợp biến nên Q=k.abc Chọn a=b=c=1 k=4 Vậy Q=4abc 8Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phân tích đa thức sau thành nhân tử : xy x y yz y z zx z x 1) ab a b bc b c ca c a 2) mn m n np n p pm p m 3) a b b c c a b c c a a b c a a b b c 4) b c c a b a b c a b a c a b b c a c 5) a b b c a c a b c a c b b c c a b a 6) a b b c a c a b b c a c a b a c c b 7) mab n a b mbc n b c mca n c a 8) kxy m x y kyz m y z kzx m z x 9) aut n u t auv n v u atv n t v 10) bc a d b c ac b d c a ab c d a b 11) xy z m y x yz x m z y zx y m x z 12) tu v w t u uv t w u v vt u w v t 13) Chương 2: CÁC DẠNG ĐA THỨC BẬC CAO CĨ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ aA(2x ) b A( x ) c Các đa thức có dạng a.x bx c Phương pháp: -Với đa thức có dạng a.x bx c ta đặt x t thay vào biểu thức, đưa phân tích đa thức thành nhân tử dạng aA(2x ) b A( x ) c A t -Với đa thức có dạng ta đặt ( x ) thay vào biểu thức, đưa phân tích đa thức thành nhân tử dạng Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 a) A x 16 x b) B 2( x x) ( x x) c) C x xy y x y Lời giải 9Phạm Huy Hn SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC a) x t - Đặt x t , Thay vào biểu thức ta được: A 5t 16t 5t 15t t 5t (t 3) (t 3) (t 3)(5t 1) 2 - Thay t x vào biểu thức ta được: A ( x 3)(5 x 1) 2 Vậy A ( x 3)(5 x 1) 2 b) 2( x x) ( x x) - Đặt ( x x) t , Thay vào biểu thức ta được: B 2t t 2t t 2(t 1) (t 1) 2(t 1)(t 1) (t 1) (t 1)(2t 1) (t 1)(2t 3) 2 -Thay t ( x x) vào biểu thức ta được: B ( x x 1)(2 x x 3) 2 Vậy B ( x x 1)(2 x x 3) 2 2 c) C x xy y 3x y ( x xy y ) (3x y ) x y 3( x y ) - Đặt ( x y ) t , Thay vào biểu thức ta được: C t 3t t t 2t t (t 1) 2(t 1) (t 1)(t 2) -Thay t x y vào biểu thức ta được: C ( x y 1)( x y 2) C ( x y 1)( x y 2) Vậy BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4 1) x 11x 3; 2) x x 4; 3) x x 1; 4 4) x x 20; 5) x 37 x 9; 6) x 37 x 9; Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x 1) x 3) 5) x x x 12; x x x 2; 2 x y x 7) 2 x y 12; x 10 x 50 x 24; x x x x 15; 2) x x x x 14; 4) x 3x x 21x 10; 6) 5x x x x 6; 8) 2 2 2 2 2 2 Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 2 1) x xy y x y 15; 2) x xy y x y 12; 2 x xy y x y 4; 3) x xy 16 y x y 3; 4) 2 5) x xy y x y 2; 2 7) x xy y x 14 y 6; 6) x xy y x y 35; 2 8) x xy y 10 x y 6; Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x x 1 x x 12; x x 3 x2 x 4; 1) 2) 10Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC x x x x 3 12; x x 1 x2 x 10 3) 4) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x 1 3x x 1 x ; 1) x x 8 3x x x x ; 3) x x 1 x x x 1 x ; 5) x x 3 26 x x x 3 7) x x 1 x x x 1 12 x ; 9) 2 2 2 2 2 2 2 9x4 ; 4 2 2 2 2 2 x 1 x x 1 x ; 2) x x 1 x x x 1 x 4) ; x x 3x x x x ; 6) 6 x x 1 x x x 1 x 8) ; 10 x x 3 x x x 3 x 10) 2 2 2 2 2 Các đa thức có dạng ( x a )( x b)( x c)( x d ) e với a b c d Phương pháp: Biến 2 ( x a)( x b)( x c)( x d ) e [x (a b) x ab].[x (c d ) x cd ] e sau 4 2 đổi đặt [x (a b) x ab] t x (c d ) x cd t x (c d ) x t tiếp tục sử dụng phương pháp ban đầu Sau phân tích thành nhân tử đa thức mới, thay trở lại biến cũ để đa thức với biến cũ Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) ( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) 24 b) ( x 2)( x 3)( x 7)( x 8) 144 2 Lời giải a)-Ta có: ( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) 24 ( x 2)( x 5) ( x 3)( x 4) 24 x x 10 x x 12 24 x - Đặt x 10 t , ta được: t (t 2) 24 t 2t 24 (t 2t 1) 25 (t 1) 52 (t 5)(t 5) (t 4)(t 6) ( x x 10 4)( x x 10 6) ( x x 6)( x x 16) ( x 1)( x 6)( x x 16) b) Ta có ( x 2)( x 3)( x 7)( x 8) 144 ( x 2)( x 7) ( x 3)( x 8) 144 x x 14 x x 24 144 -Đặt x x 14 t , ta được: t (t 10) 144 t 10t 144 (t 10t 25) 169 (t 5) 132 (t 18)(t 8) ( x x 14 18)( x x 14 8) ( x x 32)( x x 6) ( x x 32)(( x 1)( x 6) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( x 11x 28)( x x 10) 72 Lời giải 2 ( x 11x 28)( x x 10) 72 x x x x 72 11Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC ( x 2)( x 7) ( x 4)( x 5) 72 x x 14 x x 20 72 - Đặt x x 14 t , ta được: t (t 6) 72 t 6t 72 (t 6t 9) 81 (t 3) 81 (t 9)(t 9) (t 6)(t 12) x x 14 x x 14 12 x x x x 26 x 1 x x x 26 Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x 1 x 1 x 3 18; Lời giải 2 x 1 x 1 x 18 x x 3 x x 1 18 Ta có: � x x 3 x x 72 � � � x x 3 t ta - Đặt 1 1 t (t 1) 72 t t 72 t 9t 8t 72 t t 4 4 (*) x x 3 t vào (*) ta -Thay x 1 x 1 x 3 18 x x x x x x x x 11 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x x x x 8 16 ; x x 3 x x 5 24 ; 1) 2) x x x x 10 128 x 1 x 2 x 3 x 24 ; 3) ; 4) x x 1 x x x 1 x 3 x 5 x 20 ; 5) ; 6) x x 1 x 1 x x 1 x x 3 x 28 ; 7) 8) ; x x 3 x x 8 144 ; x x 5 x x 72 ; 9) 10) x 1 x 1 3x x 5 4; x 1 x 1 x 3 x 2; 11) 12) x 1 x 1 x 12 x 4; x 1 x 3 x 3 x 130; 13) 14) x 10 x x x 1 17; x 1 12 x 1 3x x 1 ; 16) 15) x 1 x 1 x 3 x 3 9; 17) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x 8x 12 x 12 x 32 16 ; x x 8 x 8x 15 24 ; 1) 2) x x 3 x2 x 8 24 ; x x 5 x2 10 x 21 20 ; 3) 4) 12Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 5) x x x x x 18 28 ; 2 11x 28 x x 10 72 6) x NĂM HỌC x x 15 x 56 144 ; 7) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 x 3 x x 10 8; x x x 1 35; 1) 2) 2 12 x 3x x 1 3; x x x 1 6; 3) 4) 2 x 1 x 1 x 3 18; x x x 5; 5) 6) 3x x 5 x 3 5; 7) P ( x) a1 x b1 a2 x b2 a3 x b3 a4 x b4 mx Các đa thức có dạng a1 a2 a3 a4 ; b1b2 b3b4 x 3x x 1 x 10 24 x Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = Tìm cách giải Nếu khai triển ngoặc tốn trở lên phức tạp dẫn đến sai lầm Quan sát kĩ đề nhận thấy hệ số bốn ngoặc có đặc điểm: 3.3 = 1.9 2.(- 5) = (- 1).10, nghĩ đến việc nhóm hai ngoặc lại đặt biến phụ nhằm đưa toán đơn giản Lời giải 2 x x 10 x x 10 24 x Ta có : A y y 10 x 24 x Đặt y x x 10 Đa thức có dạng: y 10 xy 24 y y xy xy 24 y y x y x A x x 10 x x 10 Từ suy ra: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phân tích đa thức sau thành nhân tử x 3 x 5 x x 10 24 x ; 1) x 1 x x x x ; 3) x 3 x 1 x x 15 64 x 5) ; x x x x 12 36 x ; 7) x x 3 x 8 x 12 x ; 9) 2 Các đa thức có dạng ax bx cx �kbx k a x 1 x x 3 x 32 x ; x x 3 x x 72 x ; 4) x x x x 10 54 x 6) ; x x x 10 x 12 x 8) ; x 18 x x 35 x 90 67 x2 ; 10) 2) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B x 3x x x 2 Tìm cách giải Những tốn có dạng: ax bx cx �kbx k a Ta đặt y x k , 2 biến đổi biểu thức dạng ax bxy my Lời giải 13Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC 2 Đặt y x � y x x Biến đổi biểu thức, ta có: B x x 1 3x x x x 1 x x 1 x 2 Từ đó, biểu thức có dạng: B y xy x y xy xy x 2( x 1) 3x( x 1) x y x y x B x x 1 x x Từ suy ra: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt ẩn phụ dạng hồi quy 1) x 6x 11x 6x 2) x x 4x x 3) x 6x 7x 6x 4) x 5x 12x 5x 5) 6x 5x 38x 5x 6) x 10x 26x 10x 7) x 7x 14x 14x 8) x 10x 15x 20x 4 4 3 4 4 9) 2x 5x 27x 25x 50 10) 3x 6x 33x 24x 48 Các đa thức có dạng P(x) = (x + a) + (x + b)4 +c ab y x 2 Cách giải: Đặt biến phụ biến đổi P(x) dạng mx nx p Ví dụ: Phân tích P(x) = (x – 3)4 + ( x – 1) – 16 thành nhân tử Lời giải y x – Đặt lúc P(x) trở thành 4 Q y y –1 y 1 –16 y 12 y –14 4 = y y –1 y y –1 y 1 P x x – x 11 x – x – 1 Do đó: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phân tích đa thức thành nhân tử x x 272 a) 4 x 3 x 16 c) 6 x x 64 e) 4 x 3 x 1 16 g) x 6 b) x 82 x d) x 2x f) 14Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 4 x x 4 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC Chương 3: HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH CASIO TRONG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Phương pháp nhẩm nghiệm Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = x3 - x2 - Tìm cách giải Ta kiểm tra với x = 1; 2; 4 ,ta thấy f(2) = Đa thức f(x) có nghiệm x = 2, phân tích thành nhân tử, f(x) chứa nhân tử x - Lời giải 3 Ta có : f(x) = x - x - = (x - 2x ) + (x2 - 2x) + (2x - 4) = x2(x - 2) + x (x - 2) + (x - 2) = (x - 2)(x2 + x + 2) Nhận xét Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 có nghiệm nguyên x = x0 x0 ước hệ số tự a 0, phân tích f(x) nhân tử f(x) có chứa nhân tửx - x0 Vì đa thức biến bậc cao, ta nên nhẩm lấy nghiệm để định hướng việc phân tích thành nhân tử BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phân tích đa thức sau thành nhân tử 3 1) x x 11x 6; 2) x x x 4; 3) x 3x x 3; 5) 6 x x x 2; 4) x x x 8; 6) x 19 x x 12; 7) x x 10 x 24; 9) x 11x 3x 36; 8) x 11x 10 x 8; 10) x 17 x x 3; 11) x x 11x x 12; 13) 2 x x x x 3; 12) 3 x 20 x 35 x 10 x 48; 14) x x x 17 x 13x 2; 16) 3x x x 2; 15) x x x x x 6; 17) x x x 3; 19) x x x 3; 21) x x x 3; 23) x x x 9; 18) 3x x x 2; 20) x x x 3; 22) x x x 2; 24) x x 10 x 12; 15Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn ... biểu thức, đưa phân tích đa thức thành nhân tử dạng aA(2x ) b A( x ) c A t -Với đa thức có dạng ta đặt ( x ) thay vào biểu thức, đưa phân tích đa thức thành nhân tử dạng Ví dụ 1: Phân tích đa. .. ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC Chương 3: HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH CASIO TRONG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Phương pháp nhẩm nghiệm Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân. .. hạng tử thành nhiều hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x x b) 2x2 - 3x + Tìm cách giải: Các đa thức khơng có nhân tử chung, khơng ó dạng đẳng thức nên việc phân tích thành
Ngày đăng: 15/12/2020, 20:57
Xem thêm:
