PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử 2019 CHỈNH sửa XONG

CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC Chương I CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Đặt nhân tử chung Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 12 x3 y − x y + x y 5( x + y ) − 15 x( x + y ) a) b) x y ( x − ) − xy ( − x ) 2( x − y ) + y ( y − x) c) d) Tìm cách giải Quan sát đề bài, thấy đa thức có nhân tử chung Bước Chọn hệ số ƯCLN hệ số Bước Phần biến gồm tất biến chung, biến lấy với số mũ nhỏ hạng tử Nếu có hai nhân tử đối nhau, đổi dấu hai nhân tử dấu đứng trước Lời giải Ta có: 12 x3 y − x y + x y = x y ( x – + y )    a) 5( x + y ) − 15 x( x + y ) = 5( x + y )(1 − x) b) 2( x − y ) + y ( y − x) = 2( x − y ) − y ( x − y ) = ( x − y )(2 − y ) c) x y ( x − ) − xy ( − x ) = x y ( x − ) + xy ( x − )  = xy ( x − ) ( x + 1) d) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 1) − 4a − 8b − 12c 2) mx + my + m 3) − ax − ay − a 4) 5a − 10ax − 15a 5) 3a2x − 6a2y + 12a 6) 2axy − 4a2xy2 + 6a3x2 7) 5a2xy − 10a3x − 15ay 8) a2b − 2ab2 + ab 9) 5a2b − 2ab2 + ab 10) − 3x2y3 − 6x3y2 − x2y2 11) 5x2y4 − 10x4y2 + 5x2y2 12) 2x3y4 − 4x4y3 − 21y3 13) 4x3y2 − 8x2y3 + 12x4 14) − 7x2y5 − 14x3y4 − 21y3 15) − 8x3y + 16xy2 − 24 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử 1) 2( x − y) − a( x − y) 2) a( x − y) + b( x − y) 3) 2a( x + y) − 4( x + y) 4) 5a2 ( x − y) + 10a( x − y) 5) − 2ab( x − y) − 4a( x − y) 6) 3a( x − y) + 2( x − y) 7) mx ( a + b) − m( a + b) 8) x ( a− b) − y ( b − a) 9) a( x − 1) + b( 1− x) 10) 2a( x + 2) + a2 ( −x − 2) 11) ab( x − 5) − a2 ( 5− x) 12) 2a2 ( x − y) − 4a( y − x) 13) 3ab( x − 4) + 9a( 4− x) 14) − 2a2 ( x − 1) + 4a( 1− x) 15) a( x − 3) − a2 ( 3− x) 16) 2xy ( a − 1) − 4x2y ( 1− a) 17) 5x2y( x − 7) − 5xy ( 7− x) 18) 3ab( x − y) + 3a( y − x) 1Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 19) − 3a( x − 3) − a2 ( 3− x) 20) 2a2b( x + y) − 4a3b( −x − y) Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử 1) xm+1 − xm 2) xm+1 + xm 4) xm+2 − x2 5) xm+2 − xm+1 NĂM HỌC 21) 7a( x − 2y) − 14a2 ( 2y − x) 3) xm+ − xm 6) xm+8 − xm+3 Dùng đẳng thức Ví dụ 1.Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 ( a + b ) − ( a − 2b ) 100 x − y       a) b) 3          x + 27 y 125 − 75 x + x − x c) d) Tìm cách giải Nhận thấy ví dụ đa thức có dạng đẳng thức Do vận dụng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử Lời giải: Ta có: 1 00 x − y = ( 10 x − y ) ( 10 x + y ) a) 2 ( a + b ) − ( a − 2b ) = 3 ( a + b ) − ( a − 2b )  3 ( a + b ) + ( a − 2b )  = ( a − 7b ) ( 5a − b ) b) x + 27 y = ( x + y ) ( x − xy + y ) c) 125 − 75 x + 15 x − x3 = ( − x ) d) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 2 ( a − b) − c2 ( a − 2b ) − 4b a − 4b b) c) a) 2 2 49a − ( 2a − b ) ( a − 5b ) − 16b ( a − 2b ) − ( 3a + b ) e) f) d) 2 2 ( 2a − b ) − 16 ( a − b ) 36 ( x − y ) − 25 ( x − 1) h) g) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử x − 12 x y + y 16 x + x + x + 24 x + 16 b) c) a) x − 16 x y + 16 y x − 12 x5 + x x − 12 x + x8 d) e) f) Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử x − 125 y 3 125 − ( x + ) x + 27 y 64 a) b) c) ( x + 3) − x6 − y x12 − y d) e) f) 2Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử x3 + x + 27 x + 27 m3 − 3m + 3m − b) a) 64 − 48m + 12m − m3 27 a + 27a + 9a + NĂM HỌC c) ( a + b) 27 a − 54a b + 36ab − 8b3 − c3 d) e) f) Nhóm hạng tử Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x ( a + b ) + a + b 3a x − 3a y + abx – aby ax + bx + cx + 2a + 2b + 2c a) b) c) Tìm cách giải Mỗi đa thức khơng có nhân tử chung, khơng xuất đẳng thức Quan sát kỹ nhận thấy nhóm hạng thử thích hợp xuất nhân tử chung Lời giải x ( a + b ) + a + b = ( a + b ) ( x + 1) a) 3a x − 3a y + abx − aby = 3a ( x − y ) + ab ( x − y ) = a ( x − y ) ( 3a + b ) b) ax + bx + cx + 2a + 2b + 2c = x ( a + b + c ) + ( a + b + c ) = ( x + ) ( a + b + c ) c) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: ( xy + ) a – b − 4a + 4b;  ( a + b + ab ) – a 2b – b c – c a − ( 2x + y ) ; 2 a) b) c) Tìm cách giải Nhận thấy đa thức ẩn chứa đẳng thức Vậy nhóm nhằm xuất đẳng thức Lời giải ( a − b) ( a + b) − ( a − b) = ( a − b) ( a + b − 4) a) ( xy + + 2x + 2y) ( xy + − 2x − 2y) b) = x ( y + 2) + 2( y + 2) x ( y − 2) − 2( y − 2) ( )( ) = ( x + 2) ( y + 2) ( x − 2) ( y − 2) c) ( a + b + ab − ab a + b + ab + ab − c2 a2 + b2 (a = = (a )( ) + b ) ( a + b)  ( + b2 ( a + b) − c2 a2 + b2 ) ( ) ) − c2   = a2 + b2 ( a + b + c) ( a + b − c) ( 2 ) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phân tích đa thức thành nhân tử 2) x ( x − 3) − 14.(3 − x) 1) x.( x + 2) + 5.( x + 2) 3Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 3) x.( x − y ) − 15 x ( x − y ) Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 4) 10 x ( x − y ) + 15 x ( y − x) NĂM HỌC 5) x.(2 x − y ) − 15.(3 y − x) Phân tích đa thức thành nhân tử 1) a(b − c) + d(b − c) − e(b − c) 3) 15a b(x − y) − 20ab (x − y) + 25ab(y − x ) 2) a(b − 3) + (3 − b) − b(3 − b) 4) (3a − 6b) − m(a − b) − n(2 b − a) Phân tích đa thức thành nhân tử a) (xy+1)2-(x+y)2; (a + b + c)2 + (a + b − c)2 − 4c2 b) ; 2 c) (a + 9) - 36a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 3a – 3b + a2 – 2ab + b2; b) a + 2ab + b2 – 2a – 2b + 1; 2 2 2 c) 4b c − (b + c − a ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - 4xy + 4y2 - 9a2; b) xy(a2 + b2) - ab(x2 + y2); c) x2(a - b) - 2xy(a - b) + ay2 - by2; d) 8xy3 - x(x-y)3 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 − 4x2y2 + y2 + 2xy ; A = a) 6 b) B = x − y ; 2 3 2 2 c) C = xy ( x + y ) − 6( x + y + x y + xy ) + 9( x + y ) 25− a2 + 2ab − b2 c) D = Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 a) x + x y − xy − 12 y ; 2 c) 3x (a − b+ c) + 36xy(a − b + c) + 108y (a − b + c) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − 1+ 5x − 5+ 3x − ; 2 b) x + y − xy + x + y ; d) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) b) a + a + a + a + a + 1; 3 2 c) x − 3x + 3x − 1− y ; d) 5x − 3x y − 45xy + 27y Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x – x2 – x + 1; b) x – x2 + 2x – 1; c) 4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2; Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2 − x + a) b) 2x2 - 3x + Tìm cách giải: Các đa thức khơng có nhân tử chung, khơng ó dạng đẳng thức nên việc phân tích thành nhân tử khó Vì ta nên tách hạng tử 4Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC thành hai hay nhiều hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung để phân tích tiếp Lời giải x − 6x + a) Cách 1: Tách số hạng thứ hai x − x + = x − x − x + = ( x − x) + (−4 x + 8) = x( x − 2) − 4( x − 2) = ( x − 2)( x − 4) Cách 2: Tách số hạng thứ ba x − x + = x − x + − = ( x − x + 9) − = ( x − 3) − 12 = ( x − − 1)( x − + 1) Cách 3: Tách số hạng thứ ba x − x + = x − − x + 12 = ( x − 4) − (6 x − 12) = ( x − 2)( x + 2) − 6( x − 2) = ( x − 2)( x + − 6) = ( x − 2)( x − 4) Cách 4: Tách số hạng thứ ba x − x + = x − 16 − x + 24 = ( x − 16) − (6 x − 24) = ( x − 4)( x + 4) − 6( x − 4) = ( x − 4)( x + − 6) = ( x − 4)( x − 2) Cách 5: Tách số hạng thứ hai thứ ba x − x + = x − x + − x + = ( x − x + 4) − 2( x − 2) = ( x − 2) − 2( x − 2) = ( x − 2)( x − − 2) = ( x − 2)( x − 4) b) x − x + −3 x = − x − x Cách 1: Tách hạng tử thứ hai: f ( x ) = ( x − x ) − ( x − 1) = x ( x − 1) − ( x − 1) = ( x − 1) ( x − 1) Ta có x2 = x2 + x2 Cách 2: Tách hạng tử thứ hạng tử thứ hai: f ( x ) = ( x − x + 1) + ( x − x ) = ( x − 1) + x ( x − 1) = ( x − 1) ( x − 1) + x  Ta có  = ( x − 1) ( x − 1) Chú ý 1: Mặc dù có nhiều cách tách thơng dụng tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho b1b2 = ac b1+ b2 = b a.x + bxy + cy Chú ý 2: Ta thực cách làm với đa thức có dạng Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x + xy + y x − xy − y a) b) Lời giải 2 2 x + xy + y = x + xy + xy + y = x ( x + y ) + y ( x + y ) = ( x + y )( x + y ) a) x − xy − y = x + xy − 3xy − y = x ( x + y ) − y ( x + y ) = ( x + y )( x − y ) b) 5Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử x − x − xy − y + y Tìm cách giải: Đa thức đa thức bậc hai, có hai biến x y khơng có a.x + bxy + cy x2 dạng ta thấy hệ số số phương nên ta đưa hạng tử chứa x vào bình phương tổng hiệu Từ xuất nhân tử chung đẳng thức Lời giải x − x − xy − y + y = x − x(1 + y ) − y + y 2 2 1 = x − x (1 + y ) + (1 + y ) − (1 + y) − y + y 4 1  1  =  x − − y ÷ − − y − y2 − y2 + 2y 2  4  1  9 1  =  x − − y ÷ −  y2 − y + ÷ 2  4 4  2 1  3 1  =  x − − y ÷ −  y − ÷ = ( x − y ) ( x + y − 1) 2  2 2  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) 4) 7) 3x + x − 6 x + 20 x + −8 x − 23x + 2) 5) 8) x − 13 x − 3) 8x2 − x − 6) −10 x + 11x + 9) x + 15 x + x − 10 x − −10 x − x + −10 x − 17 x + 10) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x − xy − y x − xy − y 2) 1) 6x − xy − y x + xy − y 5) 4) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x + y − 3xy + x − y 1) x − xy − x + y + y 3) x + xy − x − y + y − 5) 2) 4) 6) 6Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 3) 6) x − xy − y 2 x + xy − y x + x − xy − y + y x + xy + x + y + y 3x − 22 xy − x + y + y + Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 x + 5x − 12 y + 12 y − − 10 xy 8) 7) x − xy − y + 3x − y x − xy + x + y − y 10) 9) NĂM HỌC x − xy − y − x + y x − 3xy − x − y − y 3x − xy + y + x − y 12) 11) Phương pháp thêm bớt hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) 4x4 + 81 2) x4 + 324 Tìm cách giải: Các hạng tử đa thức cho không chứa thừa số chung, khơng có dạng đẳng thức nào, khơng thể nhóm số hạng Vì ta phải biến đổi đa thức cách thêm bớt hạng tử để vận dụng phương pháp phân tích biết thêm bớt để làm xuất đẳng thức Lời giải 1) 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2 = ( 2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + – 6x)(2x2 + + 6x) x + 324 = x + 36 x + 324 − 36 x 4 = ( x + 18) − ( x ) = ( x + 18 − x ) ( x + 18 + x ) 2 2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) a3 + b3 + c3 – 3abc 2) x5 – Lời giải 1) a3 + b3 + c3 – 3abc Ta thêm bớt 3a2b +3ab2 sau nhóm làm xuất nhân tử chung a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc) = (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) 2) x5 – Ta thêm bớt x sau dùng nhóm làm xuất nhân tử chung: x – = x5 – x + x – = (x5 – x) + (x – 1) = x(x – 1) + ( x – 1) = x(x2 – 1)(x2 + 1) + (x - 1) = x(x +1)(x – 1)(x2 + 1) + ( x – 1) = (x – 1)[x(x + 1)(x2 + 1) + 1] Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 − x x4 + x2 + x + 1996 x + 1995 x + 1996 x5 + x + a) b) c) d) Tìm cách giải: Với đa thức có dạng số mũ chia dư 1, chia dư phân tích x2 + x + thành nhân tử xuất nhân tử Lời giải x − x = x ( x − 1) = x( x − 1)( x + x + 1) a) x + x + = ( x − x ) + ( x + x + 1) = x ( x − 1) ( x + x + 1) + ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 1) b) x + 1996 x + 1995 x + 1996 = ( x − x ) + ( 1996 x + 1996 x + 1996 ) c) 7Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC = x ( x − 1) ( x + x + 1) + 1996 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 1996 ) x + x + = ( x − x ) + ( x − 1) + ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x3 − x + 1) d) Nhận xét Với kỹ thuật phân tích thành nhân tử : x3k+ + x3n+1 + BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 1) x5 + x + 5) ; x + x +1 2) x8 + x + ; 6) x + x +1 10 3) x + x +1 x11 + x + 7) x + x +1 11 1) 10 3) 5) 7) 4) ; x + 2002 x − 2001x + 2002 x + 1999 x − 1998 x + 1999 9) x + 1996 x + 1995 x + 1996 ; 6) 8) x + x +1 ; 12) x11 + x + x + 1997 x + 1996 x + 1997 x + 2007 x + 2006 x + 2007 x + 2005 x − 2004 x + 2005 10) x + 1996 x − 1995 x + 1996 8) x10 + x + x + 2005 x + 2004 x + 2005 ; ; 11 2) x + 1999 x + 1998 x + 1999 4) ; 10) 11) 9) Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x + 2002 x + 2001x + 2002 ; x + x +1 x5 + x4 + x + 1997 x − 1996 x + 1997 x + 2007 x − 2006 x + 2007 11) ; 12) Phương pháp hệ số bất định Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Tìm cách giải Các số ±1; ±3 nghiệm đa thức f(x) nên f(x) khơng có nghiệm ngun, f(x) khơng có nghiệm hữu tỷ Như f(x) phân tích thành nhân tử phải có dạng : (x2 + ax + b)( x2 + cx + d), với a, b, c, d ∈Z Khai triển dạng ra, ta đa thức : x + (a+c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd Đồng đa thức với f(x) ta hệ điều kiện: a + c = −6 ac + b + d = 12   ad + bc = −14 bd = Xét bd = 3, với b, d ∈ Z, b ∈ {±1; ±3} Với b = d = 1, hệ điều kiện trở thành: a + c = −6  ac = a + 3c = −14  Từ tìm được: a = -2; c = -4 Vậy f(x) = (x2 - 2x + 3)( x2 - 4x + 1) Lời giải f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x4 - 4x3 + x2) - (2x3+ 8x2 - 2x) + (3x2 -12x +3) = x2(x2 - 4x + 1) - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1) 8Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x +3) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) 4) 7) (x − x + 2) + ( x − 2) ; (x − x + 20 ) + ( x + ) ; (x − x + 30 ) + ( x − ) ; 10) (x 2 2 (x 2 2) 5) − x + 42 ) + ( x + ) ; 8) (x − x + ) + ( x − 3) ; (x − x + 12 ) + ( x − ) ; (x − x + 30 ) + ( x + ) ; 11) (x 3) 6) − x + 56 ) + ( x − ) ; 9) (x − x + 20 ) + ( x − ) ; (x − x + 12 ) + ( x + 3) ; (x − x + 42 ) + ( x − ) ; 2 2 2 12) x + x − x − 3; 13) x − x + x − x + 3; 16) 2 − x + 56 ) + ( x + ) ; 2 x + 3x + x + x − 3; 14) 17) 3x − x3 − 18 x − 3x + 5; 3x − x3 + x − x − 2; 15) 18) x + x3 + x − x + 3; 3x − x + x − 2; x − 5x + x − 19) 20) Phương pháp xét giá trị riêng biến Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Tìm cách giải Nếu thay x y P = 0, nên P chia hết cho x – y Hơn thay x y, y z, z x P khơng thay đổi ( ta nói đa thức P có dạng hốn vị vịng quanh) Do đó: P chia hết cho x – y P chia hết cho y – z, z – x Từ đó: P = a (x – y)(y- z)(z - x); a số, khơng chứa biến P có bậc tập hợp biến, cịn tích (x - y)(y - z)(z - x) có bậc tập hợp biến Ta có : P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = a(x - y)(y - z)(z - x) (*)đúng với x, y, z ∈Rnên ta chọn giá trị riêng cho x, y, z để tìm số a xong Chú ý Các giá trị x, y, z ta chọn tùy ý, cần chúng đôi khác để tránh P = Chẳng hạn, chọn x = 2; y = 1; z = thay vào đẳng thức (*),ta tìm a = - Vậy: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) Lời giải Nếu thay x y P = 0, nên P chia hết cho x – y Hơn thay x y, y z, z x P khơng thay đổi Do đó: P chia hết cho x – y P chia hết cho y – z, z – x Từ đó: P = a (x – y)(y- z)(z - x); a số P có bậc tập hợp biến, cịn tích (x - y)(y - z)(z - x) có bậc tập hợp biến Suy P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = a(x - y)(y - z)(z - x) (*)đúng với x, y, z ∈R Chọn x = 2; y = 1; z = thay vào đẳng thức (*),ta tìm a = - Vậy: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) 4 9Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a b) Tìm cách giải Do vai trị bình đẳng a, b, c Lời giải Với a = Q = 0, a nhân tử Q Do vai trò bình đẳng a, b, c nên b c nhân tử Q, mà Q có bậc tập hợp biến nên Q=k.abc Chọn a=b=c=1 k=4 Vậy Q=4abc BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phân tích đa thức sau thành nhân tử : xy ( x − y ) + yz ( y − z ) + zx ( z − x ) 1) ab ( a − b ) + bc ( b − c ) + ca ( c − a ) 2) mn ( m − n ) + np ( n − p ) + pm ( p − m ) 3) ( a + b) ( b + c) ( c − a ) + ( b + c) ( c + a ) ( a − b) + ( c + a ) ( a + b) ( b − c ) 4) ( b + c) ( c + a) ( b − a) + ( b + c) ( a + b) ( a − c) + ( a − b) ( b − c) ( a − c) 5) ( a − b) ( b − c) ( a − c) + ( a + b) ( c + a) ( c − b) + ( b + c) ( c + a ) ( b − a) 6) ( a − b) ( b − c) ( a − c) + ( a + b) ( b + c) ( a − c) + ( a + b) ( a + c) ( c − b) 7) − ( mab + n ) ( a − b ) − ( mbc + n ) ( b − c ) − ( mca + n ) ( c − a ) 8) − ( kxy + m ) ( x − y ) − ( kyz + m ) ( y − z ) − ( kzx + m ) ( z − x ) 9) ( aut + n ) ( u − t ) + ( auv + n ) ( v − u ) + ( atv + n ) ( t − v ) 10) bc ( a + d ) ( b − c ) + ac ( b + d ) ( c − a ) + ab ( c + d ) ( a − b ) 11) − xy ( z + m ) ( y − x ) − yz ( x + m ) ( z − y ) − zx ( y + m ) ( x − z ) 12) tu ( v + w ) ( t − u ) + uv ( t + w ) ( u − v ) + vt ( u + w ) ( v − t ) 13) 10Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC Chương 2: CÁC DẠNG ĐA THỨC BẬC CAO CĨ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ aA(2x ) + b A( x ) + c a.x + bx + c Các đa thức có dạng Phương pháp: a.x + bx + c x2 = t -Với đa thức có dạng ta đặt thay vào biểu thức, đưa phân tích đa thức thành nhân tử dạng aA(2x ) + b A( x ) + c A( x ) = t -Với đa thức có dạng ta đặt thay vào biểu thức, đưa phân tích đa thức thành nhân tử dạng Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = 2( x + x) + ( x + x) − A = x − 16 x + a) b) c) 2 C = x − xy + y − 3x + y + Lời giải x =t a) x2 = t - Đặt , Thay vào biểu thức ta được: A = 5t − 16t + = 5t − 15t − t + = 5t (t − 3) − (t − 3) = (t − 3)(5t − 1) t = x2 A = ( x − 3)(5 x − 1) - Thay vào biểu thức ta được: A = ( x2 − 3)(5 x − 1) Vậy 2( x + x) + ( x + x) − b) ( x + x) = t - Đặt , Thay vào biểu thức ta được: B = 2t + t − = 2t − + t − = 2(t − 1) + (t − 1) = 2(t − 1)(t + 1) + (t − 1) = (t − 1)(2t + + 1) = (t − 1)(2t + 3) t = ( x + x) B = ( x + x − 1)(2 x + x + 3) -Thay vào biểu thức ta được: B = ( x + x − 1)(2 x + x + 3) Vậy C = x − xy + y − x + y + = ( x − xy + y ) + (−3 x + y ) + c) = ( x − y ) − 3( x − y ) + ( x − y) = t - Đặt , Thay vào biểu thức ta được: C = t − 3t + = t − t − 2t + = t (t − 1) − 2(t − 1) = (t − 1)(t − 2) 11Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 t = x − 3y -Thay vào biểu thức ta được: C = ( x − y − 1)( x − y − 2) NĂM HỌC C = ( x − y − 1)( x − y − 2) Vậy BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x − 11x + 3; x + x − 4; x + x + 1; 1) 2) 3) 4 x + x − 20; x − 37 x + 9; x − 37 x + 9; 4) 5) 6) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) 3) 5) 7) (x (x + x ) + ( x + x ) − 12; − x ) + ( x − x ) + 2; 2 ( x − y) (x 2 4) + x − y − 12; 6) + x ) + 10 x + 50 x + 24; 2 8) 2) (x + x ) − ( x + x ) − 15; (x + x ) + x + x + 14; (x + x ) + x + 21x + 10; ( 5x 2 − x ) + x − x − 6; Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x + xy + y + x + y − 15; x + xy + y − x − y − 12; 1) 2) 2 x + xy + y − ( x + y ) − 4; x + xy + 16 y + x + y − 3; 3) 4) x − xy + y − ( x − y ) − 35; x + xy + y − x − y + 2; 5) 6) 2 x − xy + y − x + 14 y + 6; x + xy + y + 10 x + y − 6; 7) 8) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( x + x + 1) ( x + x + ) − 12; ( x − x + 3) ( x2 − x − ) + 4; 1) 2) 2 ( x + x − ) ( x + x − 3) −12; ( x − x − 1) ( x2 − x − ) − 10 3) 4) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) 3) 5) (x + 1) + 3x ( x + 1) + x (x + x + 8) + 3x ( x + x + ) + x (x − x + 1) − x ( x − x + 1) + x 2 2) 2 − 1) − x ( x − 1) − x 2 ; ( x + x + 1) + x ( x + x + 1) + x 2 ; 4) ; ( − x + x + 3) − 26 x ( − x + x + 3) − x 7) ; (x 6) (x − x + ) − 3x 12Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 8) (x ; − x + 2) + x4 ; −6 ( − x − x + 1) + x ( − x − x + 1) + x ; 2 ; Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 (x 9) − x − 1) + x ( x − x − 1) + 12 x 4 ; 10) ( x + a )( x + b)( x + c)( x + d ) + e NĂM HỌC 10 ( x − x + 3) − x ( x − x + 3) − x 4 a+b = c+d Các đa thức có dạng với Phương pháp: Biến đổi 2 ( x + a )( x + b)( x + c)( x + d ) + e = [x + (a + b) x + ab].[x + (c + d ) x + cd ] + e sau đặt 2 [x + (a + b) x + ab] = t x + (c + d ) x + cd = t x + (c + d ) x = t hoặc tiếp tục sử dụng phương pháp ban đầu Sau phân tích thành nhân tử đa thức mới, thay trở lại biến cũ để đa thức với biến cũ Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) − 24 ( x + 2)( x + 3)( x − 7)( x − 8) − 144 a) b) Lời giải a)-Ta có: ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) − 24 = [ ( x + 2)( x + 5) ] [ ( x + 3)( x + 4) ] − 24 = ( x + x + 10 ) ( x + x + 12 ) − 24 (x + x + 10 ) = t - Đặt , ta được: t (t + 2) − 24 = t + 2t − 24 = (t + 2t + 1) − 25 = (t + 1) − 52 = (t + − 5)(t + + 5) = (t − 4)(t + 6) = ( x + x + 10 − 4)( x + x + 10 + 6) = ( x + x + 6)( x + x + 16) = ( x + 1)( x + 6)( x + x + 16) b) Ta có ( x + 2)( x + 3)( x − 7)( x − 8) − 144 = [ ( x + 2)( x − 7) ] [ ( x + 3)( x − 8) ] − 144 = ( x − x − 14 ) ( x − x − 24 ) − 144 x − x − 14 = t -Đặt , ta được: t (t − 10) − 144 = t − 10t − 144 = (t − 10t + 25) − 169 = (t − 5) − 132 = (t − 18)(t + 8) = ( x − x − 14 − 18)( x − x − 14 + 8) = ( x − x − 32)( x − x − 6) = ( x − x − 32)(( x + 1)( x − 6) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( x − 11x + 28)( x − x + 10) − 72 Lời giải ( x − 11x + 28)( x − x + 10) − 72 = ( x − ) ( x − ) ( x − ) ( x − ) − 72 2 13Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC = [ ( x − 2)( x − 7) ] [ ( x − 4)( x − 5) ] − 72 = ( x − x + 14 ) ( x − x + 20 ) − 72 x − x + 14 = t - Đặt , ta được: t (t + 6) − 72 = t + 6t − 72 = (t + 6t + 9) − 81 = (t + 3) − 81 = (t + − 9)(t + + 9) = (t − 6)(t + 12) = ( x − x + 14 − ) ( x − x + 14 + 12 ) = ( x − x + ) ( x − x + 26 ) = ( x − 1) ( x − ) ( x − x + 26 ) Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( x + 1) ( x + 1) ( x + 3) − 18; Lời giải ( x + 1) ( x + 1) ( x + 3) − 18 = ( x + x + 3) ( x + x + 1) − 18 2 Ta có: = ( x + x + 3) ( x + x + ) − 72  ( 4x + x + 3) = t - Đặt ta 1 1 [ t (t + 1) − 72] = ( t + t − 72 ) = ( t + 9t − 8t − 72 ) = ( t − ) ( t + ) 4 4 ( 4x + x + 3) = t (*) -Thay vào (*) ta ( x + 1) ( x + 1) ( x + 3) − 18 = ( x + x + − ) ( x + x + + ) = ( x + x − ) ( x + x + 11) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 16 ( x + ) ( x + 3) ( x + ) ( x + 5) − 24 1) ; 2) ; x ( x + ) ( x + ) ( x + 10 ) + 128 ( x + 1) ( x + 2) ( x + 3) ( x + ) − 24 3) ; 4) ; x ( x + 1) ( x + ) ( x + ) + ( x − 1) ( x − 3) ( x − 5) ( x − ) − 20 5) ; 6) ; x ( x − 1) ( x + 1) ( x + ) − ( x − 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) − 28 7) ; 8) ; ( x + ) ( x + 3) ( x − ) ( x − 8) − 144 ( x − ) ( x − 5) ( x − ) ( x − ) − 72 9) ; 10) ; ( x + 1) ( x − 1) ( 3x + ) ( x − 5) − 4; ( x − 1) ( x + 1) ( x + 3) ( x − ) − 2; 11) 12) 14Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 13) 15) ( x + 1) ( x − 1) ( x + ) ( 12 x − 5) − 4; ( x − ) ( 10 x + ) ( x + ) ( x + 1) + 17; 14) 16) NĂM HỌC ( x + 1) ( x − 3) ( x − 3) ( x + ) − 130; ( x + 1) ( 12 x − 1) ( x + ) ( x + 1) − ; ( x − 1) ( x − 1) ( x − 3) ( x + 3) + 9; 17) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( x + 8x + 12 ) ( x + 12 x + 32 ) + 16 ( x + x + 8) ( x + 8x + 15 ) − 24 1) ; 2) ; 2 2 ( x + x + 3) ( x + x + 8) − 24 ( x − x + 5) ( x − 10 x + 21) − 20 3) ; 4) ; 2 2 ( x + x − ) ( x + x + 18) − 28 ( x + x + ) ( x − 15 x + 56 ) − 144 5) ; 6) ; 2 ( x − 11x + 28 ) ( x − x + 10 ) − 72 7) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 ( x + 3) ( 3x + 8) ( x + 10 ) − 8; ( x + 5) ( 3x + ) ( x + 1) − 35; 1) 2) 2 ( 12 x + ) ( 3x + ) ( x + 1) − 3; ( x + ) ( x + ) ( x + 1) − 6; 3) 4) 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 3) − 18; ( x − ) ( x − ) ( x − 3) − 5; 5) 6) ( 3x − ) ( x − 5) ( x − 3) − 5; 7) P ( x ) = ( a1 x + b1 ) ( a2 x + b2 ) ( a3 x + b3 ) ( a4 x + b4 ) + mx Các đa thức có dạng a1 a2 = a3 a4 ; b1b2 = b3b4 ( 3x + ) ( 3x − 5) ( x − 1) ( x + 10 ) + 24 x Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = Tìm cách giải Nếu khai triển ngoặc tốn trở lên phức tạp dẫn đến sai lầm Quan sát kĩ đề nhận thấy hệ số bốn ngoặc có đặc điểm: 3.3 = 1.9 2.(- 5) = (- 1).10, nghĩ đến việc nhóm hai ngoặc lại đặt biến phụ nhằm đưa toán đơn giản Lời giải 2 = ( x − x − 10 ) ( x + x − 10 ) + 24 x Ta có : A = y ( y + 10 x ) + 24 x y = x − x − 10 Đặt Đa thức có dạng: 2 = y + 10 xy + 24 y = y + xy + xy + 24 y = ( y + x ) ( y + x ) 15Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC A = ( x − x − 10 ) ( x − x − 10 ) Từ suy ra: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( x − 3) ( x − 5) ( x − ) ( x − 10) − 24 x 1) ; ( x + 1) ( x − ) ( x + ) ( x − 8) + x 3) ; ( x + 3) ( x − 1) ( x − 5) ( x + 15 ) + 64 x 5) ; ( x + ) ( x − ) ( x + ) ( x − 12 ) + 36 x 7) ; ( x + ) ( x + 3) ( x + 8) ( x + 12 ) − x 9) ; ax + bx + cx ± kbx + k a Các đa thức có dạng 2) 4) 6) 8) ( x − 1) ( x + ) ( x + 3) ( x − ) + 32 x ( x − ) ( x − 3) ( x − ) ( x − ) − 72 x ; ; ( x − ) ( x − ) ( x − 5) ( x − 10 ) − 54 x ; ( x + ) ( x + ) ( x + 10 ) ( x + 12 ) − x 10) ; ( x − 18) ( x − ) ( x + 35) ( x + 90 ) − 67 x ; B = x + 3x − x − x + Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 y = x2 + k ax + bx + cx ± kbx + k a Tìm cách giải Những tốn có dạng: Ta đặt , 2 ax + bxy + my biến đổi biểu thức dạng Lời giải 2 y = x −1 ⇒ y = x − 2x + Đặt Biến đổi biểu thức, ta có: B = ( x − x + 1) + 3x − x − x = ( x − 1) + x ( x − 1) − x 2 Từ đó, biểu thức có dạng: B = y + xy − x = y − xy + xy − x = 2( x − 1) + 3x( x − 1) − x = ( y − x ) ( y + x ) B = ( x − x − 1) ( x + x − ) Từ suy ra: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt ẩn phụ dạng hồi quy 1) x + 6x + 11x + 6x + = 2) x + x − 4x + x + = 3) x + 6x + 7x + 6x + = 4) x + 5x − 12x + 5x + = 5) 6x + 5x − 38x + 5x + = 6) x − 10x + 26x − 10x + = 7) x + 7x + 14x + 14x + = 8) x − 10x − 15x + 20x + = 4 4 3 2 4 4 9) 2x − 5x − 27x + 25x + 50 = 10) 3x + 6x − 33x − 24x + 48 = Các đa thức có dạng P(x) = (x + a) + (x + b)4 +c a+b y = x+ mx + nx + p Cách giải: Đặt biến phụ biến đổi P(x) dạng Ví dụ: Phân tích P(x) = (x – 3)4 + ( x – 1) – 16 thành nhân tử Lời giải Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh 16 giỏi mơn Tốn 4 CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC y = x – Đặt lúc P(x) trở thành 4 Q ( y ) = ( y –1) + ( y + 1) –16 = y + 12 y –14             = ( y + ) ( y –1)             = ( y + ) ( y –1) ( y + 1) P ( x ) = ( x – x + 11) ( x – ) ( x – 1) Do đó: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phân tích đa thức thành nhân tử ( x + ) + ( x + 8) − 272 a) 4 ( x + 3) + ( x + 5) − 16 c) 6 ( x − ) + ( x − ) − 64 e) 4 ( x − 3) + ( x − 1) − 16 g) b) d) f) ( x + 6) + ( x + ) − 82 ( − x) + ( − x ) − ( − 2x ) ( − x) 4 4 + ( − x) − Chương 3: HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH CASIO TRONG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Phương pháp nhẩm nghiệm Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = x3 - x2 - Tìm cách giải Ta kiểm tra với x = ±1; ±2; ±4 ,ta thấy f(2) = Đa thức f(x) có nghiệm x = 2, phân tích thành nhân tử, f(x) chứa nhân tử x - Lời giải 3 Ta có : f(x) = x - x - = (x - 2x ) + (x2 - 2x) + (2x - 4) = x2(x - 2) + x (x - 2) + (x - 2) 17Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC = (x - 2)(x2 + x + 2) Nhận xét Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 có nghiệm nguyên x = x0 x0 ước hệ số tự a 0, phân tích f(x) nhân tử f(x) có chứa nhân tửx - x0 Vì đa thức biến bậc cao, ta nên nhẩm lấy nghiệm để định hướng việc phân tích thành nhân tử BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phân tích đa thức sau thành nhân tử x − x + 11x − 6; x3 − x − x + 4; 1) 2) 2 x + x − x + 3; x − x + x + 8; 3) 4) −6 x + x + x − 2; x3 + 19 x + x − 12; 5) 6) x + x − 10 x − 24; x3 − 11x + 10 x + 8; 7) 8) 2 x + 11x + 3x − 36; x − 17 x − x + 3; 9) 10) x − x + 11x + x − 12; −3 x + 20 x − 35 x − 10 x + 48; 11) 12) −2 x − x − x + x + 3; x − x − x3 + 17 x − 13x + 2; 13) 14) x − x + x − x + x − 6; 3x − x + x − 2; 15) 16) 2 x + x + x + 3; x + x − x − 2; 17) 18) x + x + x − 3; x − x + x + 3; 19) 20) x − x − x + 3; x − x + x − 2; 21) 22) x − x + x + 9; x3 + x + 10 x − 12; 23) 24) 18Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán ... sinh giỏi mơn Tốn CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử x − x − xy − y + y Tìm cách giải: Đa thức đa thức bậc hai, có hai biến... CHỦ ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ HSG 2019 - 2020 NĂM HỌC Chương 2: CÁC DẠNG ĐA THỨC BẬC CAO CĨ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ aA(2x ) + b A( x ) + c a.x + bx + c Các đa thức. .. -Với đa thức có dạng ta đặt thay vào biểu thức, đưa phân tích đa thức thành nhân tử dạng aA(2x ) + b A( x ) + c A( x ) = t -Với đa thức có dạng ta đặt thay vào biểu thức, đưa phân tích đa thức thành