HỆ TRỤC tọa độ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN VẤN ĐỀ: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Dạng 1: Tìm tọa độ vectơ yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn số điều kiện cho trước Phương pháp: Sử dụng định nghĩa khái niệm có liên quan đến vectơ: Tọa độ vectơ; độ dài vector; tổng hiệu hai vectơ; tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng; trọng tâm tam giác; VÍ DỤ 1: Trong khơng gian Hãy tìm tọa độ vector sau: ur r r r a )m = 3a − 2b + c Oxyz , cho vector r r r a = ( 5, 7, ) , b = ( 3, 0, ) , c = ( −6,1, −1) r r r r b) n = 5a + 6b + 4c Giải a) Ta có: r 3a = ( 15, 21, )  r −2b = ( −6, 0, −8 ) r c = ( −6,1, −1) ur r r r ⇒ m = 3a − 2b + c = ( 3, 22, −3) b) Tương tự: r r r r n = 5a + 6b + 4c = ( 19,39,30 ) VÍ DỤ 2: Trong khơng gian a) Tính độ dài cạnh Oxyz ∆ABC , cho ba điểm b) Tìm tọa độ trung điểm cạnh c) Tìm tọa độ trọng tâm G A ( 1, 0, −2 ) , B ( 2,1, −1) , C ( 1, −2, ) ∆ABC ∆ABC Giải a) Ta có: uuur uuur uuu r AB = ( 1,1,1) , BC = ( −1, −3,3) , CA = ( 0, 2, −4 ) uuur BC = BC = uuu r AB = AB = 12 + 12 + 12 = Do , uuu r 2 ( −1) + ( −3) + 32 = 19 CA = CA = 02 + 22 + ( −4 ) = , b) Gọi D, E , F trung điểm cạnh AB, BC , CA Ta có: x A + xB  =  xD = 2  y A + yB  =−  yD = 2  z A + zB   zD = =  Vậy  −3  D , , ÷ 2 2 Tương tự c) Gọi G trọng tâm Vậy  −1 −1  G , , ÷ 3 3   −1  E  , , ÷, F ( 1, −1, ) 2 2 ∆ABC Ta có x A + xB + xC  =  xG = 3  y A + y B + yC −  =  yG = 3  z A + z B + zC −1  =  zG = 3  Dạng 2: Tích vơ hướng ứng dụng tích vơ hướng Phương pháp: Sử dụng định nghĩa tích vơ hướng biểu thức tọa độ tích vơ hướng Sử dụng cơng thức tính khoảng cách hai điểm, tính góc hai vector VÍ DỤ 3: Trong khơng gian r r a −b r r a = 3, b = , biết Oxyz , cho r r a, b tạo với góc Giải 120° r r a+b Tìm r r r r rr r r  −1  a + b = a + b + 2a.b.cos a, b = + 25 + 2.3.5  ÷ = 19   ( ) - Ta có: r r a + b = 19 Vậy r r r r rr r r  −1  a − b = a + b − 2a.b.cos a, b = + 25 − 2.3.5  ÷ = 49   ( ) - Ta có: r r a −b = Vậy VÍ DỤ 4: Trong khơng gian a) Chứng minh b) Tính diện tích ∆ABC ∆ABC Oxyz Cho điểm A ( 1, 2,1) , B ( 5,3, ) , C ( 8, −3, ) tam giác vuông Giải a) Ta có: uuu r uuur uuur AB = ( 4,1,3) ⇒ AB = 26, AC = ( 7; 5;1) ⇒ AC = 3, BC = ( 3; 6; 2) ⇒ BC = Nhận xét: uuur uuur uuur uuur AB.BC = 4.3 +1( −6 ) + ( −2 ) = ⇒ AB ⊥ BC b) Gọi S diện tích tam giác ABC , ta có: Hay tam giác 1 26 S = AB.BC = 26.7 = 2 Dạng 3: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng ( tứ diện ABCD ABC ) Tính thể tích khối tứ diện B vng A, B, C , D bốn đỉnh Phương pháp: uuu r AB = ( ; ; ) uuur AC = ( , , ) uuur AD = ( , , ) Bước 1: Tính uuur uuur  AB, AC  = ( , , )   Bước 2: Tính uuu r uuur uuur  AB, AC  AD = ≠   Bước 3: Vậy ba vector đồng phẳng VABCD = Bước 4: VÍ DỤ 5: uuu r uuur uuur AB, AC , AD không đồng phẳng, nên bốn điểm không r uuur uuur uuu  AB, AC  AD  6 Trong không gian với A ( 0, −1, ) , B ( 2,1, −2 ) , C ( −1, 2, −2 ) , D ( −2, 2,1) tích tứ diện A, B, C , D ABCD hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm Chứng minh ABCD tứ diện, tính thể Giải Ta có: uuu r  AB = ( 2, 2, −2 )  uuur  AC = ( −1,3, −2 )  uuur  AD = ( −2,3,1) uuur uuur  AB, AC  = ( 2, −6,8 )   uuur uuur uuur uuur uuur uuur  AB, AC  AD = −4 + 18 + = 22 ≠ ⇒  AB, AC , AD     không đồng phẳng ⇒ ABCD tứ diện VABCD = r uuur uuur 22 uuu  AB, AC  AD =  6 Dạng 4: Chứng minh bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng Phương pháp: Bước 1: Tính Bước 2: Tính uuur AB = ( ; ; ) uuur AC = ( , , ) uuur AD = ( , , ) uuur uuur  AB, AC  = ( , , )   uuu r uuur uuur  AB, AC  AD = =   Bước 3: Vậy ba vector uuu r uuur uuur AB, AC , AD đồng phẳng, nên bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng VÍ DỤ 6: Trong khơng A ( 1, −2,0 ) , B ( 1, 0, −1) , C ( 0, −1, ) , D ( 0, m, k ) gian Oxyz , cho Hệ thức m k để bốn điểm đồng phẳng? Giải uuur uuur uuur AB = ( 0, 2, −1) , AC = ( −1,1, ) , AD = ( −1, m + 2, k ) uuur uuur uuur uuur uuur  AB, AC  = ( 5,1, ) ⇒  AB, AC  AD = m + 2k −     Vậy bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng bốn uuu r uuur uuur ⇔  AB, AC  AD = ⇔ m + 2k = điểm A, B, C , D ... AD không đồng phẳng, nên bốn điểm không r uuur uuur uuu  AB, AC  AD  6 Trong không gian với A ( 0, −1, ) , B ( 2,1, −2 ) , C ( −1, 2, −2 ) , D ( −2, 2,1) tích tứ diện A, B, C , D ABCD hệ tọa. .. tích vơ hướng biểu thức tọa độ tích vơ hướng Sử dụng cơng thức tính khoảng cách hai điểm, tính góc hai vector VÍ DỤ 3: Trong khơng gian r r a −b r r a = 3, b = , biết Oxyz , cho r r a, b tạo... phẳng, nên bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng VÍ DỤ 6: Trong khơng A ( 1, −2,0 ) , B ( 1, 0, −1) , C ( 0, −1, ) , D ( 0, m, k ) gian Oxyz , cho Hệ thức m k để bốn điểm đồng phẳng? Giải uuur uuur