Hệ trục tọa độ trong không gian

Ch¬ngIII Ph ¬ng ph¸p to¹ ®é trong kh«ng gian  HÖ to¹ ®é trong kh«ng gian  Ph ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng  Ph ¬ng tr×nh ® êng th¼ng Trô së liªn hîp quèc t¹i New York 1 Hệ toạ độ trong không gian I- Toạ độ của điểm và của véc tơ. x Ox là trục hoành Điểm O là gốc toạ độ yOy là trục tung zOz là trục cao y i r j r k r O x z x z y 1) Hệ toạ độ : +) Điểm O đ ợc gọi là gốc toạ độ . +) Trục xOx đ ợc gọi là trục hoành. +) Trục yOy đ ợc gọi là trục tung. +) Trục zOz đ ợc gọi là trục cao. 2 2 2 1, . . . 0i j k i j j k k i= = = = = = r r r r r r r r r i j r k r +) , , là ba véc tơ đơn vị đôi một vuông góc, ta có: +) Các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx). +) Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn đ ợc gọi là không gian Oxyz. Ký hiệu: Oxyz. Định nghĩa (SGK) 1 Hệ toạ độ trong không gian I- Toạ độ của điểm và của véc tơ. 1) Hệ toạ độ E M O y x z i j k Hoạt động 1: Trong không gian Oxyz cho một điểm M. Hãy phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng , , đã cho trên các các trục Ox; Oy; Oz. j r k r i OM uuuur Lời giải Biểu diễn theo và ? OM uuur OE uuur ON uuur Biểu diễn theo và ? uuur OE uuur OK uuur OH Biểu diễn: theo ? theo ? theo ? r i + uuur ) OK + uuur ) OH r j + uuur ) ON r k Biểu diễn theo uuur OM r r r i, j,k? Ta có OM OE ON= + uuuur uuur uuur OE OH OK= + uuur uuur uuur . , . , .OK x i OH y j ON z k= = = uuur r uuur r uuur r Gọi K, H, N lần l ợt là hình chiếu của M lên các trục Ox, Oy, Oz. . . . OM OK OH ON x i y j z k = + + = + + uuuur uuur uuur uuur r r r Vậy K x H y N z 2) Toạ độ của một điểm. y x 1 Hệ toạ độ trong không gian I- Toạ độ của điểm và của véc tơ. . . .OM x i y j z k= + + uuuur r r r ĐN: Bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn gọi là toạ độ của điểm M đối với hệ trục toạ độ Oxyz. Viết M(x;y;z) hoặc M= (x;y;z). Nhận xét: x; y; z là toạ độ t ơng ứng của các điểm K; H; N. Trên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz Trong không gian Oxyz cho điểm M và 3 vectơ không đồng phẳng. Có bao nhiêu bộ 3 số (x; y; z) thoả mãn: . . . ?OM x i y j z k= + + uuuur r r r , ,i j k r r r Với bộ 3 số (x; y; z) có bao nhiêu điểm M thoả mãn . . . ?OM x i y j z k= + + uuuur r r r O z i j k M E H K N x y z 2) Toạ độ của một điểm. 1 Hệ toạ độ trong không gian I- Toạ độ của điểm và của véc tơ. Ví dụ1: ) 2 5 , 2a Cho OM i j k ON k j= + = uuuur r r r uuur r r Xác định toạ độ của các điểm M, N? ) điểm M(-2; 0; 0), N(0; -2; 1), P(-3; 2; 1) Hãy biểu thị OM, ON và OP theo các vectơ đơn vị? b Cho uuuur uuur uuur Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Giải: Vậy N(0;-1;2) a) M(2;5;-1); 2. 0. 1. 2.ON k j i j k= = + uuur r r r r r ) 2 , 2 , 3 2 .= = + = + + uuuur r uuur r ur uuur r r r b OM i ON j k OP i j k Đ.án: Trong không gian cho 3 vectơ a, b, c không đồng phẳng. Khi đó với mọi vectơ x ta đều đ ợc bộ 3 số m, n, p sao cho x =ma+nb+pc. Ngoài ra bộ 3 số m, n, p là duy nhất. r r r r r r r r 1 Hệ toạ độ trong không gian I- Toạ độ của điểm và của véc tơ. Em hãy nêu định lý về biểu diễn một vectơ theo 3 vectơ không đồng phẳng? 3. Toạ độ của véc tơ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho vectơ a, khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ 3 số (a ; a ;a ) sao cho a= a i + a j + a k. Ta gọi bộ 3 số (a ; a ;a ) là toạ độ của vectơ a đối với hệ toạ độ Oxyz r r r r ur r 1 2 3 1 2 3 . Viết a=(a ; a ;a ) hoặc a(a ; a ;a ) r r 1 Hệ toạ độ trong không gian I- Toạ độ của điểm và của véc tơ. Nhận xét: )Trong hệ toạ độ Oxyz, toạ độ của điểm M là toạ độ của vectơ OM. Ta có: M= (x;y;z) OM = (x;y;z). + uuuur uuuur ) i (1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1)+ = = = r r r ) 0 (0;0;0).+ = r 3. Toạ độ của véc tơ 1 Hệ toạ độ trong không gian I- Toạ độ của điểm và của véc tơ. A O A B B C C D D M c a b x z y Hoạt động 2: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có đỉnh A trùng với gốc O, có theo thứ tự cùng h ớng với và có AB = a, AD =b, AA = c. Hãy tính toạ độ các vectơ với M là trung điểm của CD. Giải: , , 'AB AD AA uuur uuur uuur , , ',AB AC AC AM uuur uuur uuuur uuur , ,i j k r r r ( ) ) , , ' ;0;0 .AB a i AD b j AA c k AB a+ = = = = uuur r uuur r uuur r uuur ( ) ) ; ;0 .AC AB AD ai b j AC a b+ = + = + = uuur uuur uuur r r uuur ( ) ) ' ' ' ; ; .AC AB AD AA ai b j c k AC a b c+ = + + = + + = uuuur uuur uuur uuur r r r uuuur ) ' ' ' 'AM AD D M AD AA D M+ = + = + + uuur uuuur uuuuur uuur uuur uuuuur 1 ; ; . 2 AM a b c = ữ uuur Ta có: , , 'AB AD AA uuur uuur uuur , , ',AB AC AC AM uuur uuur uuuur uuur , ,i j k r r r Hoạt động 2: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có đỉnh A trùng với gốc O, có theo thứ tự cùng h ớng với và có AB = a, AD =b, AA = c. Hãy tính toạ độ các vectơ với M là trung điểm của CD. , , 'AB AD AA uuur uuur uuur , , ',AB AC AC AM uuur uuur uuuur uuur , ,i j k r r r , , 'AB AD AA uuur uuur uuur , , ',AB AC AC AM uuur uuur uuuur uuur , ,i j k r r r , , 'AB AD AA uuur uuur uuur , , ',AB AC AC AM uuur uuur uuuur uuur , ,i j k r r r 1 1 ' . 2 2 AD AA AB b j c k ai= + + = + + uuur uuur uuur r r r 1 HÖ to¹ ®é trong kh«ng gian Trong mÆt ph¼ng víi hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho KiÕn thøc cò 1 2 1 2 a (a ; a ), b (b ;b )= = r r 1 1 2 2 5) Víi b 0, a cïng ph ¬ng b k : a kb ,a kb .≠ ⇔∃ ∈ = = r r r r ¡ 1 1 2 2 2) a b (a b ; a b )− = − − r r 1 2 3) k.a ( k a ; ka ), k= ∈ r ¡ 1 1 2 2 a b 4) a b a b =  = ⇔  =  r r 1 1 2 2 1) a b (a b ; a b )+ = + + r r A A B B B A B A 6) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ Oxy cho A(x ; y ), B(x ; y ) th× AB = OB -OA = (x -x ; y -y ).∗ uuur uuuur uuur Ta cã: A B A B x + x y + y To¹ ®é trung ®iÓm M cña AB: M( ; ) 2 2 ∗ 1 Hệ toạ độ trong không gian II- Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ 1 1 2 2 3 3. 2) Với b 0, a cùng ph ơng b k : a kb ,a kb ,a kb = = = r r r r Ă 1 1 2 2 3 3 2) a b (a b ; a b ;a b ). = r r 1 2 3 3) ka (ka ; ka ;ka ), k= r Ă 1 1 2 2 3 3 a b 1) a b a b a b = = = = r r 1 1 2 2 3 3 1) a b (a b ; a b ;a b ).+ = + + + r r A A A B B B B A B A B A 3)Trong k/g với hệ Oxyz cho A(x ; y ;z ), B(x ; y ;z ) thì ) AB = OB -OA = (x -x ; y -y ;z -z ).+ uuur uuuur uuur 1 2 3 1 2 3 a (a ; a ;a ), b (b ;b ;b )= = r r Định lý: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ Ta có: Hệ quả: +) Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là : A B A B A B x x y y z z M( ; ; ) 2 2 2 + + + [...]... 4; 4) 2 2 3 5 b) Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng BC là: M(2; ; ) uu uu ur ur uu ur uu 2 2 ur Hai véc tơ AB, AC cùng phơng vì AC = 2.AB Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng 1 Hệ toạ độ trong không gian Công việc về nhà: Ôn tập lý thuyết Làm bài tập 1, 2, 3 SGK trang 68 Nghiên cứu phần III, IV SGK 1 Hệ toạ độ trong không gian Hệ trục tọa độ nh ta đã học còn đợc gọi là hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc, đó...1 Hệ toạ độ trong không gian Củng cố: Qua bài học cần nắm đợc các kiến thức trọng tâm sau: I- Toạ độ của điểm và của véc tơ 1) Định nghĩa hệ toạ độ 2)Toạ độ của một điểm Bộur số thực (x;y;z) r thoả mãn u ba uu r r OM = x.i + y j + z.k gọi là toạ độ của điểm M đối với hệ trục toạ độ Oxyz Viết M(x;y;z) hoặc M = (x;y;z) 3) Toạ độ của véc tơ r r a = ( a1 ; a2 ; a3 )... uu ur AB = (x B -x A ; y B -y A ;z B -z A ) Toạ độ trung điểm M của AB: x + xB yA + yB zA + zB M( A ; ; ) 2 2 2 1 Hệ toạ độ trong không gian Câu hỏi thảo luận Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho A(1; 2; 3), B( 1;3; 4),C(5;0; 1) uu uu r ur ur uu 1 uu ur ur Nhóm 1, 2: a) Tìm toạ độ của các véc tơ: AB, AC, v = 3AB AC 2 Nhóm 3, 4: b)Xác định toạ độ trung điểm của đoạn thẳng BC CMR :Ba điểm A, B,... cho toán học Ông đã sáng lập ra môn hình học giải tích Cơ sở của môn này là phơng pháp toạ độ do ông phát minh Nó cho phép nghiên cứu hình học bằng ngôn ngữ và phơng pháp của đại số Các phơng pháp toán học của ông đã có ảnh hởng sâu sắc đến sự phát triển của toán học và cơ học sau này 1 Hệ toạ độ trong không gian Một vài nét về nhà toán học Đêcac 17 năm sau ngày mất ,ông đợc đa về Pháp và chôn cất... ; a3 ) a(a1 ; a2 ; a3 ) r r r r a = a1 i + a2 j + a3 k II- Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ Định lý: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ r r a = (a1; a 2 ;a 3 ), b = (b1;b 2 ;b3 ) r r Ta có:1) a + b = (a + b ; a + b ;a + b ) 1 1 2 2 3 3 r r 2) a b = (a1 b1; a 2 b 2 ; a 3 b3 ) r 3) ka = (ka1; ka 2 ; ka 3 ), k Ă Hệ quả: a1 = b1 r r 1) a = b a 2 = b 2 a = b 3 r3 r r r 2) Với b 0, a cùng . Các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx). +) Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn đ ợc gọi là không gian Oxyz. Ký hiệu: Oxyz. Định nghĩa (SGK) 1 Hệ toạ độ trong không gian I- Toạ độ của điểm và. thuyết Hệ trục tọa độ nh ta đã học còn đ ợc gọi là hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc, đó là tên của nhà toán học phát minh ra nó. Một vài nét về nhà toán học Đêcac 1 Hệ toạ độ trong không gian Đêcac. r ) 0 (0;0;0).+ = r 3. Toạ độ của véc tơ 1 Hệ toạ độ trong không gian I- Toạ độ của điểm và của véc tơ. A O A B B C C D D M c a b x z y Hoạt động 2: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ