CHUYÊN đề GIÁ TRỊ lớn NHẤT GTNN của hàm số

CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1.Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định tập D ∀x ∈ D : f(x) ≤ M ⇔ max f ( x) ∃ x ∈ D : f(x ) = M D =M f ( x) D ∀x ∈ D : f(x) ≥ m ⇔ ∃ x ∈ D : f(x ) = m = Định lý : Mọi hàm số liên tục đoạn [a; b] có giá trị nhỏ giá trị lớn đoạn B BÀI TẬP VỀ GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ I Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đại số Câu Trên đoạn y = x3 − 3x [1; 4], hàm số đạt giá trị nhỏ x A B C D Câu (C23Đ101) Tìm giá trị nhỏ đoạn A y = −4 ⇔ x = [1;4] Chọn B Câu [0; 2] m = 11 y (1) = 2; y (2) = −4; y (4) = 16 y = x − x + 11x − m hàm số Câu B m = −2 m=0 m = y = y (0) = −2 [0;2] m=3 A đoạn B [0;1] C D Câu Tìm giá trị nhỏ m hàm số A Câu 1 max y = y  ÷ = [0;1]   16 m=− B Chọn D x = y′ = −3 x + 16 x + 12; y′ = ⇔  x = −  Câu  x=  y′ = −24 x + x; y′ = ⇔  x =  đoạn [ −1;8] m=− Chọn C 1 y (0) = 0; y  ÷ = ; y (1) = −5   16 16 y = − x3 + x + 12 x + 11  x=  ′ ′ y = 3x − 14 x + 11; y = ⇔  x = y (0) = −2; y (1) = 3; y (2) = C D Câu Giá trị lớn hàm số y = x − x3 x = y ′ = x − x; y ′ = ⇔  x = 31  2 y (−1) = 0; y  − ÷ = − ; y (6) = 147; y(8) = 99 27  3 m=− C 31 27 m=− D 32 27 31  2 m = y = y  − ÷ = − [ −1;8] 27  3 M,m Câu Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ hàm y = x3 − x + x + số [0;7] A −2 Tổng M +m Câu đoạn M= 13 13 19 13 ; y (5) = − ; y (7) = 3 13 19 ; m = − ⇒ M + m = −2 3 B 19 − x = y′ = x − x + 5; y′ = ⇔  x = y (0) = 2; y (1) = Chọn C Câu Chọn A y′ = x + 2( m + 1) x + m2 + ∆′ = −2m + 2m − < ∀m ∈ ¡ C D nên hàm Câu Có số thực m cho Vì hàm số y = x3 + (m + 1) x + (m + 1) x [ −1;1] [ −1;1] ⇒ + m + + m2 + = ⇒m=2 y = x4 − 2x2 + M hàm đoạn  0;    A B C M =8 Câu M =6 m= C D 51 51 m= ( ) = Chọn D x = y′ = x − x; y′ = ⇔  x = ±  đoạn [−2;3]   51 y ( −2) = 25; y  ± ÷ ÷ = ; y (3) = 85     51 m = y = y  ± ÷ ÷= [ −2;3]   49 m= m = 13 ( 3) = M =1 số B y (0) = 3; y (1) = 2; y 0;    D Câu Tìm giá trị nhỏ m hàm A Câu x = y ′ = x − x; y ′ = ⇔   x = ±1 M = max y = y M =9 y = x − x + 13 m = −3 Vậy có số thực m thỏa ycbt Chọn C Câu Tìm giá trị lớn số ¡ ⇒ max y = y(1) = max y = 9? thỏa mãn A B C D số đồng biến Chọn A x = y′ = x − x ; y′ = ⇔  x = ±  Câu 1 y (0) = 0; y  ÷ = ; y (1) = −   16 Câu Giá trị lớn hàm số y= A B C D x −x đoạn [0;1] 1 max y = y  ÷ = [ 0;1]   16 x = y′ = x − 16 x; y′ = ⇔   x = ±2 Câu 10 16 Chọn B y (0) = 7; y (2) = −9; y (3) = 16 M = 16; m = −9 ⇒ M + m = x = y′ = x3 − mx; y′ = ⇔  x = m Câu 11 * M,m m ≤ 0: Chọn B Hàm số đồng biến (0; +∞) Câu 10 Gọi giá trị ⇒ y = y (0) = m = [0;1] 16 lớn giá trị nhỏ (loại) hàm số [0;3] A B C D Câu 11 y = x4 − 8x2 + Tổng M +m đoạn * m ≥ 1: Hàm số nghịch biến ( 0; m ) −2 ⇒ y = y (1) = − m = [0;1] 16 * 11 ⇒m= 16 16 < m < 1: x 23 Có số thực m cho hàm số y = [0;1] y = x − 2mx + m m y′ – −m2 + m ⇒ y = y ( m ) = −m +m= 16 [0;1] mãn A ⇒m= m= B 4 C Chọn C D y′ = > ∀x ∈ [3;7] Câu 12 Tìm giá trị lớn M ( x + 1) Câu 12 3x − y= hàm số A B C D Câu 13 M =0 x +1 đoạn [ 3;7] Chọn C y′ = M =1 Câu 13 M =2 * M =3 Cho hàm số ⇒ M = max y = y (7) = [3;7] x+m y= x −1 −1 − m ( x − 1) m < −1: y ′ > ∀x ∈ [2;4] ⇒ y = y (2) = + m = [2;4] (m ⇒ m =1 + y thỏa ? 16 (loại) (loại) y = [2;4] * m > −1: y′ < ∀x ∈ [2;4] tham số thực) thỏa mãn 4+m y = y (4) = =3 Mệnh đề sau đúng? ⇒ [2;4] A B C D Câu 14 m < −1 m = > 3< m≤ m>4 Vậy Câu 14 1≤ m < y′ = Tìm giá trị nhỏ y= hàm số x +3 x −1 đoạn y = A [ 2; 4] y = −2 [2;4] [2;4] B y = −3 C y = [2;4] [2;4] D 19 Câu 15 Tìm giá trị nhỏ m y=x + x hàm số 1   ;  m= A x = x2 − 2x − ′ ; y = ⇔  x = −1 ( x − 1)  [2;4] Chọn A Câu 15 y′ = x − 2 x3 − = ; y′ = ⇔ x = x2 x2   17 y  ÷ = ; y(1) = 3; y (2) = 2 m = y = y (1) = Chọn D đoạn Câu 16 y′ = 17 B m = 10 19 y = y (3) = 1  ;2   (nhận) Chọn C y (2) = 7; y (3) = 6; y (4) = ⇒m =5 Tập xác định − 2x + 2x − x2 D = [ − 3;8] ; y′ = ⇔ x = y (−1) = 0; y ( 1) = 2; y (3) = m=3 T = [ 0; 2] ≤ y ≤ ∀x ∈ D D Suy Chọn B Tìm tập giá trị T hàm số D = [ − 3;8] Câu 17 Tập xác định y = + 2x − x C Câu 16 A C Câu 17 m=5 T = [ −1;3] T = [ −1; 2] B T = [ 0; 2] T = [ 0;3]   11 y (−3) = 0; y  ÷ = ; y (8) = 2 D Tìm giá trị lớn M hàm số A B C y = 24 + x − x M =2 M = 30 M =5 − 2x y′ = 24 + x − x ; y′ = ⇔ x =   11 M = max y = y  ÷ = [−3;8] 2 Câu 18 y′ = Chọn D Tập xác định D = [ − 1; 49] 1 − ; y′ = ⇔ x = 24 + x 49 − x y (−1) = 10 2; y (24) = 10; y (49) = 10 M= D Câu 18 D Chọn C Tìm giá trị lớn m Câu 19 hàm số A m = y = y (24) = 10 11 lim ( − x + x ) = lim ( x − x ) y = + x + 49 − x m = 10 B m = 10 Vì x →−∞ = lim− x →1 x →−∞ x +1 = −∞ x −1 nên hàm số câu A, C D B, D không tồn giá trị nhỏ Câu 19 Hàm số sau đạt giá tập xác định chúng Mặc khác, xét trị nhỏ tập xác định y = x4 − 4x2 , nó? hàm số ta có bảng biến thiên sau y = − x + x y = x − 3x A B x −∞ −1 x +1 y= ′ y y = x − 2x – + – + x −1 C D y +∞ Câu 20 Giá trị nhỏ hàm số m = 10 y= A −1 3x − x x2 − x + 25 ¡ B −9 − 26 D Tính giá trị nhỏ y = 3x + hàm số x2 Câu 20 y′ = y = 3 A y = C (0; +∞ ) 33 khoảng x (0; +∞ ) −∞ y′ – + y y = D D=¡ Bảng biến thiên y = B Tập xác định Chọn C x = −3 x + 16 x − ′ ;y =0⇔ x = ( x − x + 1)  (0; +∞) (0; +∞ ) −1 ⇒ ( x − x ) = y ( ±1) = −1 −8 − C Câu 21 m = 10 (0; +∞ ) – −9 1 ⇒ y = y  ÷ = −9 ¡ 3 Chọn B Câu 21 y′ = − 3x3 − = ; y′ = ⇔ x = 3 x x Bảng biến thiên x 3 y′ – + +∞ y 33   y = y  ÷ = 3 (0;+∞ )  3 Chọn A II Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số mũ, hàm số lơgarit Câu Tính giá trị nhỏ m y = ex − x hàm số [ − 1;1] m= A C e B m =1 đoạn y (−1) = + 1; y(0) = 1; y(1) = e − e m = +1 e m = y = y (0) = [ −1;1] m = e −1 D Câu M,m Câu Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ y = 2x hàm số [0;3] Tổng − x+5 M +m y = xe A M =0 M= C −x [0; 2] đoạn e M= D e2 hàm số [ − 2; 2] y = x 2e x Tích M m A e 4e3 A m=2 m=2 D x = y ′ = ( x + x )e − x ; y ′ = ⇔   x = −2 ; y (0) = 0; y (2) = 4e2 e M = 4e ; m = ⇒ M m = Chọn A y′ = x ln − 22017 − x ln 2; y ′ = ⇔ x = đoạn  2017  y ÷ = 2.2   m=2 2017 = 21009 m = y = 21009 [ 0;2017 ] Câu 1009 C Chọn C y (0) = 22017 + = y (2017) 1008 B y′ = (1 − x )e ; y′ = ⇔ x = 1 M = max y = y (1) = [ 0;2] e [0; 2017] 1008 Chọn B Câu C D Câu Tính giá trị nhỏ m y = x + 22017 − x ln 2; y ′ = ⇔ x = − x +5 y (0) = 0; y (1) = ; y (2) = e e đoạn B hàm số Câu y (−2) = M,m −x Câu Câu Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ y′ = (2 x − 4)2 x M = 32; m = ⇒ M + m = 34 M =1 B Chọn C y (0) = 32; y(2) = 2; y (3) = đoạn A 33 B 34 C 36 D 40 Câu Tính giá trị trị lớn M hàm số Câu y′ = e x − 1; y′ = ⇔ x = Đặt Chọn D y = 2.2 x − (2 x )3 t = x 2017 1  x ∈ [ −1;0] ⇒ t ∈  ;1 2  m = 21009 M,m Câu Gọi giá trị lớn Vì giá trị nhỏ y = f (t ) = 2t − t y = x +1 − hàm số [ − 1; 0] A Tỉ số M m 23 x + đoạn 1 f  ÷= ; 2 B 2 C D Câu Tính giá trị lớn M y = ln ( x + x + ) hàm số đoạn A f ′(t ) = − 4t ; f ′(t ) = ⇔ t = ± M=  2 2 f  = ; f (1) = ÷ ÷ 3   2 M ;m = ⇒ = 3 m y′ = Câu 2 Chọn C 2x +1 > ∀x ∈ [0;2] x + x+2 ⇒ M = max y = y (2) = ln = 3ln [ 0;2] Chọn C [0; 2] M = ln B M = 3ln M = ln y′ = − M = ln 2 x−2 = ; y′ = ⇔ x = x C D Câu Câu Tính giá trị nhỏ m y (1) = 1; y (2) = − ln 2; y(3) = − 2ln y = x − ln x hàm số đoạn m = y = y (2) = − 2ln [ 1;3] [1;3] A m=0 B m = − ln Câu m =1 m = − ln C D Câu Tính giá trị lớn M y = x ( − ln x ) hàm số A C B e M = 2e M= D y= Câu 10 Cho hàm số max y= 1;e    m en M = max y = y (e) = e  2  ;e  e  Chọn A y′ = M =e M= y′ = − ln x; y′ = ⇔ x = e 1 y  ÷ = ; y (e) = e; y (e ) = e  e đoạn  2  e ; e  Chọn B e2 ln x x Câu 10 x =  ln x = y′ = ⇔  ⇔  ln x = x = e 1 y (1) = 0; y  ÷ = ; y (e3 ) = e 2 e Biết max y = y (e2 ) = ⇒ m = 4; n = 2 1;e3    m, n ln x − ln x x2 e số ⇒ m.n = Chọn C m.n nguyên dương) Tích x2 − x ′ y = x − + = A B 2x +1 2x +1 Câu 11 C D 12 ( Câu 11 x = y′ = ⇔  x =  Cho hàm số y = x − x + ln ( x + 1) y = a + ln b Biết [0;2017] ( số hữu tỉ) Tổng A C Câu 12 C Câu 13 a+b B 5 m=0 B 1 m = y = y  ÷ = − + ln [ 0;2017] 2 m=2 m =1 Câu 12 m=3 y′ = − D Gọi M giá trị lớn hàm số Mệnh đề sau đúng? C y (2017) = 4064255 + ln 4035 y = x − ln x + y = ln x − x A 1 y (0) = 0; y  ÷ = − + ln 2; 2 D ⇒ a = − ;b = ⇒ a + b = Tính giá trị nhỏ m 4 hàm số A a, b 60 x +1 − x đoạn [-4;6] ⇒ Hàm số f(x) đồng biến đoạn [-4;6] ⇒ f (t ) = f (−1) = − ; max f (t ) = f (4) = [ −1;4] [ −1;4] Vậy bất pt có nghiệm m ≤ ( x + 4)(6 − x) ≤ x − x + m Ví dụ 7: Tìm m để bất pt Giải có nghiệm đoạn [-4;6] ⇔ ( x + 4)(6 − x) − x + 2x ≤ m Bpt f ( x) = ( x + 4)(6 − x) − x + x Xét hàm số đoạn [-4;6] (1 − x)(1 + − x + 2x + 24) f '( x) = ( x + 4)(6 − x) f '( x) = ⇔ x = f (−4) = −8 , f (6) = −24 , f (1) = ⇒ max f (t ) = [ − 4;6] ( x + 4)(6 − x ) ≤ x − x + m Vậy bất pt Ví dụ 8: Tìm m để bất phương trình: có nghiệm đoạn [-4;6] m ≥ − x + 3mx − < −13 x nghiệm ∀x ≥ Giải: BPT ⇔ 3mx < x − 13 + 2, ∀x ≥ ⇔ 3m < x − 14 + = f ( x ) , ∀x ≥ x x x Ta có Suy YCBT ( ) f ′ ( x ) = x + 45 − 22 ≥ 2 x 45 − 22 = 22− > x x x x x f ( x) ∀ x ≠ đồng biến khoảng (1; + ∞) ⇔ f ( x ) > 3m, ∀x ≥ ⇔ f ( x ) = f ( 1) = > 3m ⇔ > m x ≥1 Bài tập áp dụng Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình giá trị x ∈  2; +  x (4 − x ) + m( x − x + + 2) ≤ nghiệm với  Bài tập 2: Tìm m để bất phương trình ∀x ∈ [ −4, ] Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình ∀x ∈ [ −3, 6] ( + x) ( − x) ≤ x − 2x + m nghiệm + x + − x − 18 + x − x ≤ m − m + Bài tập 4: Tìm tất giá trị m để hàm số y = tập xác định (ĐS : m ≥ 2) nghiệm (m – 1)x3 + mx2 + (3m – 2)x đồng biến Bài tập 5: Tìm tất giá trị m để hàm số y = x3 + 3x2 - mx – đồng biến khoảng (-∞; 0) (ĐS : m ≤ -3) Bài tập 6: Với giá trị m hàm số y=- x3 + (m – 1)x2 + (m + 3)x – đồng biến khoảng (0; 3) (ĐS : m ≥ 12/ 7) y = -x3 + 3x2 + 3x – Bài tập 7: Với giá trị m hàm số nghịch biến khoảng (0; +∞) (ĐS : m ≤ -1) Ví dụ 9: Tìm m để phương trình: x x + x + 12 = m ( − x + − x ) có nghiệm Giải: Chú ý: Nếu tính Thủ thuật: Đặt f ′ ( x) xét dấu thao tác phức tạp, dễ nhầm lẫn g ( x ) = x x + x + 12 > ⇒ g ′ ( x ) = x + >0 2 x + 12 h ( x ) = − x + − x > ⇒ h′ ( x ) = Suy ra: ⇒ g ( x) > f ( x) = g ( x) h ( x) tăng; h ( x) tăng Suy > giảm hay f ( x) = m −1 − 0 h ( x) tăng có nghiệm ⇔ m ∈  f ( x ) ; max f ( x )  = [ f ( ) ; f ( ) ] = 2 ( 15 − 12 ) ;12  [ 0;4]  [ 0;4]  Bài tập áp dụng Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: Bài tập 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Giải: Đặt u = x + ;v = y + x y ta có mx + ≤ x − + m x + 3x − ≤ m ( x − x − ) x + + y + =  x y    x + 13 + y + 13 = 15m − 10 x y   ( x + 13 = x + x x ) ( u = x+ = x + ≥2 x =2 ; v = y + ≥2 y =2 x x x y y Khi hệ trở thành ) − x ×1 x + = u − 3u x x  u + v = u + v = ⇔   u + v − ( u + v ) = 15m − 10 uv = − m  ⇔ u, v nghiệm phương trình bậc hai Hệ có nghiệm ⇔ f ( t) = m có nghiệm Lập Bảng biến thiên hàm số f ( t) Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm t1 , t f ( t ) = t − 5t + = m thỏa mãn t1 ≥ 2; t ≥ t ≥2 với ⇔ ≤ m ≤ ∨ m ≥ 22 Bài tập 1: Chứng minh ∀ m > hệ phương trình sau có nghiệm y − x = m  x y e − e = ln(1 + x ) − ln(1 + y ) Bài tập 2: Tìm m để hệ: có nghiệm ( x; y )   x+ y =4    x+7 + y+7 ≤ m thỏa mãn điều kiện (m tham số) x ≥ ********************************** ... C©u 10 :Giá trị lớn hàm số bằng: A 19 B C 19 f ( x) = x + cos x D  π  0;  Câu 11: Giá trị lớn hàm số π 1+π A B Câu 12: Giá trị nhỏ hàm số π −1 − 3π A B Câu 13: Giá trị lớn hàm số A π C... Vậy, giá trị lớn hàm điểm cực đại  5π  f  ÷=   y = 3sin x − 4sin x Câu 21: Giá trị lớn hàm số A B Câu 22: Tìm giá trị nhỏ hàm số C y = sin x − 3sin x − A -2 B Câu 23: Tìm giá trị lớn hàm số. .. − ∈ (8;9) D Chọn C III Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số lượng giác Câu 1: Giá trị lớn hàm số đoạn bằng: π   y = x + cos x 0 ;  A B C π +1 D π Câu 2: Giá trị nhỏ hàm số A 23 27 B y = sin3 x