Chuyên đề giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009 CHUYÊN  LUYN THI TT NGHIP THPT VÀ TUYN SINH I HC, CAO NG 2009 MÔN: TOÁN BIÊN SON: T TOÁN – TT BI DNG VN HÓA HOCMAI.VN CHUYÊN : GIÁ TR LN NHT VÀ GIÁ TR NH NHT CA HÀM S I. MC ÍCH CHUYÊN  - Chuyên đ này s trình bày cho các bn các phng pháp tìm giá tr ln nht ca hàm s nh: dung đo hàm đ tìm GTLN, GTNN ; dùng phng pháp chiu bin thiên hàm s, pp min giá tr… - Các bn s nm vng đc các pp thng gp đ tìm GTLN, GTNN bng cách dùng hàm s. II. KIN THC C BN 1. Lý thuyt. a. nh ngha: Gi s F(x) là hàm s xác đnh trên min D. S M gi là giá tr ln nht ca F(x) trên min D nu nh nó tha mãn 2 điu kin sau: 1/ F(x) ≤ M. 2/ Tn ti x 0 ∈ sao cho F(x 0 ) = M. M Khi đó ta s dng ký hiu: M = max F(x). S m gi là giá tr nh nht ca F(x) trên min D nu nh nó tha mãn 2 điu kin sau: 1/ F(x) ≥ M. 2/ Tn ti x 0 ∈ sao cho F(x 0 ) = m. M Khi đó ta s dng ký hiu: m = min F(x). Chú ý: Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 1 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009 - nh ngha có 2 phn và ko đc xem nh phn nào. Nói vy vì các bn hc sinh thng b qua phn th 2 trong đnh ngha. Nói rõ hn:T F(x)≤ M x M thì cha th suy ra M = max F(x). ∀ ∈ Xét VD sau: Cho F(x,y,z) = + x yz + +yz x + + y xz + +xz y + + z yx + +xy z Trên min D = { x>0, y > 0, z > 0} Nu bn làm: + x yz + +yz x ≥ 2 + y xz + +xz y ≥ 2 + z yx + +xy z ≥ 2 T đó F(x,y,z) ≥ 6 Vi x>0, y > 0, z > 0. ∀ Vì th: Max F(x,y,z) = 6 vi x,y,z ∈D. Chúng tôi nói rng bn đã sai. Vì sao? n gin bn hãy th ly x = y = z =1. Khi đó F(1,1,1) = 7,5 > 6. Lý do sai là mi t phn 1 ca đnh ngha đã suy ra kt lun. - Các bn cn phân bit 2 khái nim: + “giá tr ln nht ca F(x) trên min D” vi “cc đi ca hàm s” . + “giá tr nh nht ca F(x) trên min D” vi “cc tiu ca hàm s” . Nói chung các khái nim này khác nhau. Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 2 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009 Xét VD sau: Cho hàm s F(x) = x 3 – 3x 2 trên min D = {-2 ≤ x ≤ 4}. Ta có: F’(x) = 3x 2 – 6x. Lp bng bin thiên sau: x -2 0 2 4 F’(x) + 0 - 0 + F(x) -20 0 -4 12 Ta thy khi hàm s có cc đi ti (0,0) => giá tr cc đi = 0 Hàm s có cc tiu ti (2,-4) => giá tr cc tiu= -4 Trong khi đó d thy: Max F(x) = 12 Min F(x) = -20 x ∈D x ∈D Trong VD này: + Giá tr ln nht ca F(x) trên min > giá tr cc đi ca hàm s. + Giá tr nh nht ca F(x) trên min < giá tr cc tiu ca hàm s. Nh vy ta có th nói rng: Giá tr ln nht và giá tr nh nht ca mt hàm s trên min D mang tính toàn cc ; còn giá tr cc đi, giá tr cc tiu ca hàm s mang tính đa phng. Dân gian có câu: “ X mù thng cht làm vua” . Có th ly câu ví von này làm VD chng minh cho tính đa phng ca giá tr cc đi. b. S dng đo hàm đ tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca mt hàm s : - o hàm là công c duy nht đ tìm cc đi, cc tiu ca hàm s. Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 3 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009 -  tìm Giá tr ln nht và giá tr nh nht ca mt hàm s F(x) trên min D ta có th s dng đo hàm và kt hp vi vic so sánh giá tr cc đi, cc tiu vi các giá tr đc bit (ta gi đó là các giá tr ti hn). - Giá tr ti hn này thng là giá tr ti đu mút các đon (mà trên đó cn tìm Giá tr ln nht và giá tr nh nht ca mt hàm s) hoc là giá tr ca hàm s ti các đim mà không tn ti đo hàm. - Lc đ chung ca phng pháp s dng đo hàm đ tìm Giá tr ln nht và giá tr nh nht ca mt hàm s F(x) trên min D cho trc nh sau: + Tìm đo hàm F’(x) và t đó tìm cc đi, cc tiu ca F(x) (d nhiên ta ch quan tâm ti cc đi, cc tiu thuc min D). + So sánh giá tr cc đi, cc tiu vi các giá tr ti hn trên min D. + T đó suy ra đc kt lun cn tìm. 1. Các bài toán đn thun tìm GTLN và GTNN ca mt hàm s: Ví d 1 : Cho x + y = 1, x ≥ 0, y ≥ 0. Tìm Giá tr ln nht và giá tr nh nht ca biu thc: P = 3 2x + 3 y . T x + y = 1 => y = 1 – x. Thay vào P ta có: P = 3 2x + 3 1-x = 3 2x + x 3 3 . Do x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = 1 => 0 ≤ x ≤ 1 => 1 ≤ 3 x ≤ 3. t t = 3 x , khi đó ta đa bài toán v: Tìm giá tr mã, min ca hàm s: F(t) = t 2 + 3 t vi 1 ≤ t ≤ 3. Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 4 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009 Ta có: F’(t) = 2t - 2 3 t = − 2 2 2t 3 t Lp bng xét du vi chú ý: 1 ≤ t ≤ 3 : t 1 3 3 2 3 F’(t) - 0 + F(t) 4 3 3 9 4 10 T đó suy ra: Min F(t) = F( 3 3 2 ) = 3 3 9 4 vi 1 ≤ t ≤ 3. Max F(t) = max {f(1), f(3)} = max {4,10} = 10 vi 1 ≤ t ≤ 3 Vy Max P = Max F(t) = 10 1 ≤ t ≤ 3 Min P = Min F(t) = 1 ≤ t ≤ 3 3 3 9 4 Giá tr ln nht ca P đt đc khi t = 3 <=> 3 x = 3 <=> x = 1, y = 0 Giá tr nh nht ca P đt đc khi t = 3 3 2 <=> 3 x = 3 3 2 Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 5 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009 Suy ra: x= log 3 3 3 2 = 1 3 log 3 3 3 2 y = 1 - 1 3 log 3 3 3 2 Nhn xét : Ngi ta hay dung phng pháp đi bin trong quá trình tìm giá tr max, min ca hàm s đ đa v 1 bài toán mi có cu trúc đn gin hn. Ch lu ý 1 điu: Khi đã đi bin thì phi đi min xác đnh ca bài toán. Nh VD trên min xác đnh c là: 0 ≤ x ≤ 1. Khi chuyn sang bin t mi (do t= 3 x ) nn min xác đnh mi là: 1 ≤ t ≤ 3. Ví d 2 : Cho hàm s: y= Sin + 2 2x 1x + Cos + 2 4x 1x + 1, Vi x ∈R. Tìm giá tr max, min ca hàm s trên R. áp dng công thc Cos2u= 1 – 2sin 2 u, ta có th đa hàm s F(x) v dng: F(x) = -2Sin 2 + 2 2x 1x + Sin + 2 2x 1x + 2. t t = Sin + 2 2x 1x , Vi x ∈R ta có: -1 ≤ + 2 2x 1x ≤ 1 -Sin1 ≤ t ≤ Sin1 (Do [-1,1] ∈[- π 2 , π 2 ] nên ta có điu trên). Bài toán đa v tìm giá tr max, min ca hàm s: Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 6 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009 F(t) = -2t 2 + t + 2 vi -Sin1 ≤ t ≤ Sin1 Ta có: F’(t) = -4t + 1. Lp bng bin thiên: t -Sin1 1 4 Sin1 F'(t) /// 0 /// F(t) /// /// (bn có bit vì sao ta có – Sin1 < 1/4 < Sin1 không?) T đó suy ra: Max F(t) = F(1/4) = 17/8 t ≤ Sin1 Min F(t) = Min {F(Sin1); F(-Sin1)} t ≤ Sin1 = Min {-2Sin 2 1 – Sin1 + 2; -2Sin 2 1 + Sin1 + 2 } = -2Sin 2 1 – Sin1 + 2 Tóm li: Max F(x) = Max F(t) = F(1/4) = 17/8 x ∈R. t ≤ Sin1 Min F(x) = Min F(t) = Min {F(Sin1); F(-Sin1)} Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 7 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009 x ∈R. t ≤ Sin1 = -2Sin 2 1 – Sin1 + 2 Giá tr nh nht ca F(x) đt đc khi t = - Sin1 = Sin(-1). Tc là: Sin + 2 2x 1x = Sin (-1). <=> + 2 2x 1x = -1 (Chú ý: -1 ≤ + 2 2x 1x ≤ 1) <=> (x+1) 2 = 0 <=> x = 1. Giá tr ln nht ca F(x) đt đc khi nào, các bn t tính. 2. Bài toán giá tr ln nht, giá tr nh nht cha tham s: - Trong các bài toán này, giá tr max, min ca mt hàm s F(x) trên mt min D s ph thuc vào tham s m. Khi m bin thiên, nói chung các giá tr này cng thay đi. Cn nhn mnh rng phng pháp dùng đo hàm t ra có hiu lc rõ rt vi loi bài toán này. - Có 2 loi bài toán chinhs thng gp: + Tìm giá tr max, min ca hàm s F(x) trên min D theo tham s m. + Xét 1 bài toán khác sau khi đã tìm xong giá tr max, min. Chúng ta hãy xét các VD sau: Ví d 3 : Cho hàm s : y = Sin 4 x + Cos 4 x + m SinxCosx, Vi x ∈R. Tìm giá tr max, min ca hàm s và bin lun theo m? Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 8 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009 Ta có y = 1 – 1 2 Sin 2 2x + m 2 Sin2x t t = Sin2x. Bài toán quy v: Tìm giá tr max, min ca hàm s : F(t) = - 1 2 t 2 + m 2 t +1 vi -1 ≤ t ≤ 1 F'(t) = -t + m 2 . Xét các kh nng sau: 1) Nu m ≥ 2 (khi đó m 2 ≥ 1). Ta có bng bin thiên sau: t -1 1 m 2 F'(t) + /// 0 F(t) /// Ta có: Max F(t) = t ≤ 1 F(1) = +m1 2 Min F(t) = t ≤ 1 F(-1) = −+m1 2 2) Nu m ≤ -2 (khi đó m 2 ≤ 1). Ta có bng bin thiên sau: Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 9 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009 t m 2 -1 1 F'(t) 0 /// - F(t) /// Ta có: Max F(t) = t ≤ 1 F(-1) = −+m1 2 Min F(t) = t ≤ 1 F(1) = +m1 2 3) Nu -2 < m < 2 (Khi đó -1 < m 2 < 1) Ta có bng bin thiên sau: t -1 m 2 1 F'(t) + 0 - /// F(t) /// Max F(t) = t ≤ 1 F( m 2 ) = + 2 m8 8 Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 10 [...]... i u ki n -4 a = -1 0 nên ch p nh n c Tóm l i các giá tr c n tìm c a tham s a là: a = -1 và a = 1+ 3 3 Ph ng pháp mi n giá tr hàm s Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t Trang 13 Chuyên Luy n thi T t nghi p THPT và Tuy n sinh i h c, Cao ng 2009 Xét bài toán tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s f(x) …? M t mi n D cho…? G i yo là m t giá tr tùy ý c a f(x) trên D, thì h sau ây (c a x) f... ng c a hàm s , v i vi c so sánh các giá tr h n) Xét các thí d minh h a sau: o hàm kh o sát tính ng bi n và ngh ch bi n c bi t c a hàm s (các i m c c tr , các i m t i Thí d 1 Tìm D giá tr nh ( x, y, z) : x 0, y 0, z 0, x y z nh t c a P x y z 1 x 1 y 1 z trên mi n 3 2 Bài gi i: Theo b t ng th c CoSi, ta có: Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t Trang 17 Chuyên Luy n thi T t nghi p THPT và Tuy... Maxf(x) khi x 2k , k Z (Xét t ng t cho Min(fx) t Thí d 2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t Trang 14 c Chuyên Luy n thi T t nghi p THPT và Tuy n sinh i h c, Cao ng 2009 2 x 2 7 x 23 ,x x 2 2 x 10 Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s : f ( x) R Bài gi i: G i yo là m t giá tr tùy ý c a hàm s , thì ph 2 x 2 7 x 23 (1) có x 2 2 x 10 ng trình sau (c a x) y0 nghi m ( y0 2) x 2 (2 y0 7) x 10 y0 23... ng chung c a h c trò Vi t Trang 19 Chuyên Luy n thi T t nghi p THPT và Tuy n sinh i h c, Cao ng 2009 T m giá tr l n nh t và nh nh t c a P 32 x 3 y , khi ( x, y ) D x 0, y V y Max f ( x) 4; Min f ( x) 1 x 1 1 x 1 III C NG C 4 9 KI N TH C Bài 1 0, x y 1 Bài gi i: x 3 , thì 1 t tt Xét hàm s Ta có f '(t ) t ây 0 x 1 , và P 32 x 31 y 1 x, Khi ( x, y ) D f (t ) x 1 ), và P 3 (do 0 t3 3 v i1 t t 2t 3 3 t2... 0 áp s : Max P = 2 2 2 ; Min P = - 2 2 2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t Trang 24 Chuyên Luy n thi T t nghi p THPT và Tuy n sinh Bài 6: Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a: P áp s : Max P = i h c, Cao ng 2009 x 2y 1 ; x, y x2 y2 7 R 1 5 ; Min P = 2 14 Bài 7: Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s : f ( x) 3 x 6 x 18 3x x 2 trên mi n D áp s : Max f(x) = 3 ; Min f(x) = x D x D x: 3 áp s... 33 9 4 Bài 2 Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s : f ( x) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t R Trang 20 Chuyên Luy n thi T t nghi p THPT và Tuy n sinh i h c, Cao ng 2009 Max f 2 ( x); Min f ( x) x R Min f 2 ( x)(1) x R Do f ( x) 0, x R nên ta có Max f ( x) x R x R Ta th y f 2 ( x) 2 (s inx+cosx)+2 1+(sinx+cosx)+sinxcosx t t s inx+cosx( - 2 t t 2 -1 sinxcosx= 2 2) Xét hàm s : F (t ) 2... f ( x) x D x D y0 D (1) (2) có nghi m ng ng Trong nhi u tr ng (3) Vì yo là m t giá tr b t Nh v y khi s d ng ph ng pháp này tìm giá tr l n nh t c a m t hàm s , th c ch t ta ã qui v vi c tìm i u ki n ph ng trình (th ng làm có thêm i u ki n ph ) có nghi m m t Xét các thí d sau: Thí d 1 Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s f ( x) 2sin x cosx+1 , v?i x R s inx-2cosx+3 Bài gi i: ý r ng do 3 5 s inx-2cosx+3... u b ng trong (*)! 2 Thí d 2 Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a P x y y 1 x 1 v i ( x, y ) D x, y 0, x y 1 Bài gi i: a P v d ng P x2 x y 2 y xy x y 1 ( x y)2 2 xy ( x y) ( x y) 1 xy Do x + y + 1, nên v i ( x, y ) D , ta có : P 2 2 xy 2 xy Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t ó (1) Trang 18 Chuyên Luy n thi T t nghi p THPT và Tuy n sinh t t = xy, khi ó 0 xy Xét hàm s 6 (2 t ) 2 1 4 , nên có b... tr ng chung c a h c trò Vi t ng th c Bunhiacopsky: Trang 23 Chuyên x2 8 Luy n thi T t nghi p THPT và Tuy n sinh 4 x2 f (2 ) x 2 (12 12 ) 4 x2 x i h c, Cao ng 2009 2 f ( x) 2 2 L i có: f ( 2) 2 2 max f (x)=2 2 IV BÀI T P V NHÀ Bài giá 1:Tìm mi n D tr l n nh t c a hàm s 4 f ( x) 1 x2 4 1 x 4 trên 1 x x: 1 x 1 áp s : Max f ( x ) 3 x D Bài 2: Tìm giá tr bé nh t c a bi n thiên: P ( xyz 1) 1 x 1 y 1 z x y... chung c a h c trò Vi t 0 (4) Trang 15 Chuyên Luy n thi T t nghi p THPT và Tuy n sinh i h c, Cao 3 (4) (c a x) có nghi m ta c n có t02 3t0 1 0 V i i u ki n có: 4 x 2 4 y 2 (5) G i là x 4 y2 4t0 3 5 t0 2 nghi m t02 3t0 1 4 y 2 4t0 ng 2009 c a (4), 5 2 và (5) thay vào ( x, y ) : x 2 xy (3) ta t02 t0 1(*) (*) ch c ch n có nghi m vì t02 t0 1 >0 V y (5) là i u ki n c n và Min P 3 5 2 ( x, y ) D h (3), (4) . CHUYÊN : GIÁ TR LN NHT VÀ GIÁ TR NH NHT CA HÀM S I. MC ÍCH CHUYÊN  - Chuyên đ này s trình bày cho các bn các phng pháp tìm giá tr ln nht ca hàm s nh: dung đo hàm. Trang 3 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009 -  tìm Giá tr ln nht và giá tr nh nht ca mt hàm s F(x) trên min D ta có th s dng đo hàm và kt. nht và giá tr nh nht ca mt hàm s) hoc là giá tr ca hàm s ti các đim mà không tn ti đo hàm. - Lc đ chung ca phng pháp s dng đo hàm đ tìm Giá tr ln nht và giá tr