Bộ đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6

phương của tất cả các số đó.. Mỗi hộp chỉ đựng một loại bút. Sau khi bán một hộp bút chì thì số bút bi gấp bốn lần số bút chì còn lại.. Tính độ dài đoạn thẳng EF. Qua hai điểm ta kẻ đượ[r]

(1)

Tailieumontoan.com



Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

TUYỂN TẬP

ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP

(2)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI

TRƯỜNG THCS TRẦN PHÚ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2018-2019 Bài (3 điểm)

Hãy viết số lớn cách dùng chữ số 1; 2;3với điều kiện chữ số dùng lần

và lần

Bài (4 điểm) Tìm x x( ∈  )

x

a) =125

2x

b) =81

2x 2

c) − −2.5 =5

Bài (4 điểm) Cho 2017 2018

M= +2 +2 +2 + 2+ +2

a) Tính M

b) Chứng tỏ M chia hết cho

Bài 4.(3 điểm) Tìm số tự nhiên có chữ số tận chữ số Biết chuyển

chữ số lên đầu cịn chữ số khác giữ nguyên ta số gấp lần số cũ

Bài (6 điểm)

a) Cho 40 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi vẽ đường thẳng ?

b) Cho 40 điểm có 10 điểm thẳng hàng, ngồi khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi vẽ đường thẳng

c) Cho n điểm (n∈  Trong khơng có ba điểm thẳng hàng, qua hai điểm ta ) được đường thẳng Biết có tất 105 đường thẳng Tìm n ?

ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI GIA LAI 2018-2019 Bài

Trường hợp không dùng lũy thừa, số lớn viết 321 *Trường hợp dùng lũy thừa: (Ta bỏ qua lũy thừa có số số mũ 1) - Xét lũy thừa mà số mũ có chữ số: 2 3

13 ;31 ;12 ; 21

So sánh

21 31 ta có

21 >31 (vì 213 =9261; 312 =961) -Xét lũy thừa mà số mũ có hai chữ số: 13 31 12 21

2 ; ;3 ;3 So sánh 21

3 với 231ta có

( )10

21 20 10

3 =3.3 =3 =3.9

( )10

31 30 10

2 =2.2 =2 =2.8

Từ suy 21 31

3 >2 So sánh 321với 213ta có : 321>39 =( )33 =273 >213 Vậy số lớn : 21

3

Bài

x x

a) =125⇒5 =5 ⇒ =x

2x 2x

b) =81⇒3 =3 ⇒2x= ⇒ =4 x

2x 2 2x 2

c) − −2.5 =5 3⇒5 − =5 2.5+

(3)

2x 3

5 − 2x 3 x ⇒ = ⇒ − = ⇒ =

Bài

a)Ta có 2018 2019

2M=2 +2 +2 + 2+ +2

Lấy 2019

2M−M=2 −2 Vậy M=22019−2 b)

( 2) ( 4) ( 6) ( 2017 2018)

M= 2+2 + +2 + +2 + + +2

( ) 3( ) 2017( )

M=2 2+ +2 2+ +2 (1 2) 2+ + + 2+

( 2017)

M=3 2+2 +2 + 2+

Vậy M 3

Bài

Gọi số cần tìm abcde4 , ta có: abcde4.4 4abcde= Đặt abcde= ⇒x abcde4=x4

Ta có:

( )

x4.4=400 000+ ⇒x 10x+4 4=400 000+x

40x 16 400 000 x 39x 399984 x 10256 ⇒ + = + ⇒ = ⇒ =

Vậy số cần tìm 10256

Bài

a)Kẻ từ điểm với điểm lại : 39 đường thẳng Làm với 40 điểm ta 39.40 1560= (đường thẳng) Nhưng đường thẳng tính hai lần

Do số đường thẳng thực : 1560 : 780= (đường thẳng)

b) Nếu 40 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng vẽ 780 đường thẳng *Với 10 điểm, ba điểm thẳng hàng vẽ được:

10.9 : 2=45(đường thẳng)

Số đường thẳng cần tìm : 780 44 736− = (đường thẳng) c) Ta có:

( )

n n : 105− = ⇒n(n 1)− =210⇒n(n 1) 15.14− = Vậy n=15

(4)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TRỰC NINH

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018

MƠN TỐN LỚP Thi ngày 04 tháng năm 2018

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Bài (5,0 điểm) Tính hợp lý

2

a) A=2018 −2017.2018

( ) ( ) ( ) ( )2 ( ) ( )99 100

b) B= −1 −1 −1 −1 −1 −1

1 88

88

6 93

c)C

1 1

12 14 16 186

− − − − −

=

− − − − −

Bài (5,0 điểm)

a)Tìm x, y∈ biết (2y x+ )( −4)=10

b)Cho x, y∈  thỏa mãn (3x 5y+ )(x+4y 7) Chứng tỏ (3x 5y+ )(x+4y 49) c)Tìm số tự nhiên n khoảng 290 đến 360 để phân số 5n (n )

2n + ∈

+  rút gọn

Bài (4,0 điểm)

a)Tìm số nguyên dương n nhỏ cho n 1; 2n 1;5n 1+ + + số phương?

b)Cho 18

A=2017+2017 +2017 + 2017+

Chứng tỏ A 2018 Tìm chữ số tận A

Bài (4,0 điểm)

a)Cho đoạn thẳng AB có độ dài cm Lấy điểm C thuộc đường thẳng AB cho

BC=5 cm.Tính độ dài đoạn thẳng AC

b)Cho 

xOy 160= Vẽ tia phân giác Ox1của xOy Tính số đo góc xOx1

Giả sử Ox2là tia phân giác xOx1, Ox3là tia phân giác xOx2,……Ox42là tia phân

giác xOx41 Tính số đo góc xOx42

Bài (2,0 điểm)

a)Chứng minh với số nguyên n ta có

n − n

b)Viết số 1234

4321 dạng tổng số số nguyên dương Gọi T tổng lập

phương tất số Tìm số dư Ttrong phép chia cho

hết -

(5)

ĐÁP ÁN HSG TRỰC NINH_2017-2018 Bài

( )

a) A=2018 2018 2017− =2018.1=2018

b) B= −( ) ( )1 −1 ( )−1 (Có 50 thừa số −1) nên B=

1 88

1 1

6 93

c) C

1 1

12 14 16 186

 −  + −  + − + + − 

       

       

=

− − − −

1 1

5 5 5.

6 93

C

1 1 1 1 1

12 14 16 186 93

 + + + +  + + + +     = =   − − − − −  + + + +   

C= −10

Bài

a) 2xy+ −x 8y=14⇒x(2y 1) 8y+ − − =4 14 4−

( ) ( )( )

x 2y 4(2y 1) 10 2y x 10

⇒ + − + = ⇒ + − =

Vì x, y∈nên 2y 1+ ∈, x− ∈4 , suy 2y 1, x+ −4 ước nguyên 10 2y 1+ lẻ

Lập bảng

2y 1+ - -5

x−4 10 -10 -2 x 14 -6 y -1 -3

Vậy x 14; x 6; x 6; x

y y y y

= = − = =

   

 =  = −  =  = −

   

b) Phải chứng minh 3x 5y 7+  ⇔ +x 4y 7

Đặt A=3x+5y, B= +x 4y Xét tổng A 4B 7x 21 7+ = + 

Nếu A 7 ⇒4B 7, mà ( )4, = ⇒  B

Nếu B 7 ⇒4B 7 ⇒A 7. Chứng tỏ 3x 5y 7+  ⇔ +x 4y 7 Vì (3x 5y)(x 4y 7) 3x 5y

x 4y

+  + + ⇒  +    

Nếu (3x 5y 7+ ) ⇒(x+4y 7) ⇒(3x 5y+ )(x+4y 49) Nếu (x+4y 7) ⇒(3x 5y 7+ ) ⇒(3x 5y+ )(x+4y 49) c) Gọi d ước nguyên tố chung 5n 2+ 2n 7+ Ta có: 5n d 5n( d) (10n 35) (10n d)

2n d 5.(2n 7) d +  +  ⇒ ⇒ + − +  +  +        

Vì d nguyên tố nên d 31=

Khi 5n 31 5n 62 31 5n 60 31 5(n 12) 31

2n 31 2n 31 31 2n 24 31 2(n 12) 31

+ + − − −     ⇒ ⇒ ⇒  +  + −  −  −            

Mà (5, 31)=1; 2;31( )=1 suy n 12 31−  ⇒ =n 31k 12 k+ ( ∈ )

Do 290 n 360≤ ≤ ⇒290≤31k 12+ ≤360⇒ ≤ ≤9 k 11, mà k số tự nhiên nên k∈{9;10;11}

(6)

Từ tìm n∈{291;322;353}

Bài

a)Do n 1+ số phương nên chia cho dư

Nếu n 3+  n chia cho dư 2n 1⇒ + chia cho dư 2, vơ lý Do n 1+ chia cho dư 1⇒  n

Do 2n 1+ số phương lẻ nên 2n 1+ chia cho dư 1, suy 2n 8 , từ n 4

Do n 1+ số phương lẻ nên n 1+ chia cho dư 1, suy n 8

Ta thấy n 3,n 8  mà ( )3,8 =1 nên n 24 mà n số nguyên dương Với n=24thì n 1+ =25=5 ; 2n 12 + =49=7 ; 5n 121 112 + = =

Vậy n=24là số nguyên dương nhỏ thỏa mãn đề

b)Ta có 2018

A=2017+2017 +2017 + 2017+ (tổng A có 2018 số hạng, 2018 2)

( 2) ( 4) ( 2017 2018)

A= 2017+2017 + 2017 +2017 + + 2017 +2017

3 2017

A=2017.(1 2017)+ +2017 (1 2017) 2017+ + (1 2017)+

( 2017)

A=2018 2017+2017 + 2017+ 2018

( ) ( )

2 2015 2016 2017 2018

A=2017+2017 + 2017 +2017 +2017 +2017 + + 2017 +2017 +2017 +2017

( ) 3( ) 2015( ) ( )

A= +2017 + + 2017 =

Bài

a)Trường hợp điểm C thuộc tia đối tia BA

Điểm C thuộc tia đối tia BA nên hai tia BA BC đối nhau, suy điểm B nằm

hai điểm A C

Ta có: AB BC AC+ = thay số tính AC=7 cm

Trường hợp điểm C thuộc tia BA

Trên tia BA, BA<BC cm( <5cm)nên điểm A nằm hai điểm B C

Ta có: AB AC BC+ = Thay số tính AC=3cm

A B C

C A B

(7)

b)

Tia Ox1là tia phân giác xOynên  

0

xOy 160 xOx 80

2 = = =

Tia Ox2là tia phân giác xOx1nên  

0

2

xOx 160 xOx

2 = =

Tương tự trên, tia Ox42 tia phân giác xOx41 nên  

0 41

42 42

xOx 160 xOx

2 = =

Bài

a)Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

n −n =n n − =1 n n − + − =n n n n n 1 − + n 1− =n n n 1− +

Với số nguyên dương n (n n n 1− ) ( + ) tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho mà ( )2, =1 nên n n n 6( − )( +  )

b) Ta có

1234

1 n

3 3

1 n

4321 a a a a

T a a a a

= + + + +

Xét hiệu 1234 ( 3 3) ( )

1 n n

T−4321 = a +a +a + a+ − a +a +a + a+

( ) ( ) ( ) ( )

1234 3 3

1 2 3 n n

T−4321 = a −a + a −a + a −a + + a −a

Theo câu a ta có 3 3

1 2 3 n n

a −a 6, a −a 6, a −a 6, a −a 6, nên 1234

T−4321 6

Suy T 1234

4321 dư chia cho

Mặt khác 4321 chi dư nên 1234

4321 chia cho dư Vậy T chia dư

y

x1

x2

x3

x

O

(8)

PHÒNG GD&ĐT NGA SƠN TRƯỜNG THCS NGA THẮNG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018

Mơn thi: TỐN – Lớp

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: -3-2018

(Đề thi gồm trang)

Câu (4,0 điểm) Thực phép tính cách hợp lý:

( )

a) 2013 2014 1007.26

1313 10 130 1515

b)

1414 160 140 1616

− +

 +  − − 

   

   

Câu (6,0 điểm)

a)Tìm x, y, zbiết x− =y 2011 ; y− = −z 2012; z+ =x 2013

b)Tìm hai số tự nhiên a b biết BCNN (a, b)=180 ; UCLN (a, b)=12

c)Tìm n∈để phân số A 4n 2n − =

+ có giá trị nguyên

Câu (4,0 điểm

Một hiệu sách có năm hộp bít bi bút chì Mỗi hộp đựng loại bút Hộp 1: 78 chiếc; Hộp 2: 80 chiếc; Hộp 3: 82 chiếc; Hộp 4: 114 chiếc; Hộp 5: 128 Sau bán hộp bút chì số bút bi gấp bốn lần số bút chì lại Hãy cho biết lúc đầu hộp đựng bút bi, hộp đựng bút chì ?

Câu (4,0 điểm) Trên tia Ox cho điểmA B C D, , , Biết A nằm B C B;

nằm C vàD ; OA=7 cm; OD=3cm; BC cm= AC 3BD=

a)Tính độ dài AC

b)Chứng tỏ rằng: Điểm B trung điểm đoạn thẳng AD

Câu (2,0 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ cho sau viết tiếp số sau số

2014 ta số chia hết cho 101

hết -

(9)

ĐÁP ÁN Câu

( ) ( )

a) −2013 2014 1007.26+ = −2013 2014 2014.13+

( ) ( )

2014 2013 13 2014 2000 4028000

= − + = − = −

1313 10 130 1515 13 13 15 b)

1414 160 140 1616 14 16 14 16  +  − −  = +  − −                 

13 13 15 1 14 14 16 16     = −  + + =

   

Câu

a)Từ đề ta có:

(x−y) (+ y− + +z) (z x)=2011+ −( 2012)+2013

2x 2012 x 1006

⇒ = ⇒ =

Vì x− =y 2011⇒ = −y x 2011 1006 2011= − = −1005

Vì x z 2013+ = ⇒ =z 2013 x− =2013 1006 1007− = Vậy x=1006 ; y= −1005 ; z=1007

b)Ta có ab 180.12 2160= =

Giả sử a b.≤ Vì UCLN (a, b)=12nên a=12m, b=12n với (m, n)=1và m n≤ Suy 12m.12n 2160= ⇒mn=15 Ta có bảng sau:

m n a b

1 15 12 180

3 36 60

c)A 4n 2n( 3) 7

2n 2n 2n 2n

+ −

= = − = −

+ + + +

A có giá trị nguyên ⇔2n 3+ ∈U 7( ) {= ± ±1; 7} Ta có bảng sau

2n 3+ -1 -7

n -1 -2 -5

Câu

Tổng số bút bi bút chì lúc đầu là: 78 80 82 114 128 482+ + + + = (chiếc)

Vì số bút bi cịn lại gấp bốn lần số bút chì cịn lại nên tổng số bút bi số bút chì cịn lại số chia hết cho 5, mà 482 chia cho dư nên hộp bút chì bán có số lượng chia cho dư

Trong số 78; 80; 82; 114; 128 có 82 chia cho dư Vậy hộp bút chì bán hộp 3: 82

Số bút bi bút chì cịn lại : 482 82 400− = (chiếc) Số bút chìn cịn lại : 400 :5 80= (chiếc)

Vậy , hộp đựng bút chì là: hộp 2, hộp Các hộp đựng bút bi là: hộp 1, hộp 4, hộp

Câu

(10)

a)Đặt BD=x (cm)⇒AC=3x (cm)

Vì D nằm O A (DoOD OA< ) nên : OD DA OA+ = ⇒DA=4

DB BA hay x BA (1) ⇒ + = + =

Vì A nằm B C nên : BA AC BC+ = hay 3x+BA=8 (2)

Từ (1) (2) ta có (3x+BA) (− x+BA)= − ⇒8 2x= ⇒ =4 x 2⇒AC=3.2=6 (cm)

b)Theo (1) ta có: x+BA=4mà x 2= ⇒BA=2

Mà BD= = ⇒x BD=BA( 2)= ⇒Blà trung điểm đoạn thẳng AD

Câu

Giả sử n có k chữ số (k≥1) Ta có : 2014 19.101 95= + , đó:

k k k

2014n=2014.10 + =n 19.101.10 +95.10 +n Suy 2014n 101 k

95.10 + n 101

Với k=1thì 95.10k+ =n 950 n+ =101.9 (41 n) 101+ +  41 n 101+  n có chữ số nên 41 n 41 101+ ≤ + < , nên khơng có số n thỏa mãn đầu

Với k=2thì 95.10k+ =n 9500 n+ =101.94+ + (6 n 101) suy n 101+  , số n nhỏ xác định n 101 n 95+ = ⇒ =

Vậy n=95thỏa mãn đề

O D B A C

(11)

UBND HUYỆN KINH MƠN

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018 MƠN: TỐN – LỚP

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu (2,0 điểm)

1)Rút gọn biểu thức A 1 1 1 1 15 2499         = +   +   +   +         

2)Tính nhanh

1 1 4

1

3 27 49 343

B :

2 2 1

2

3 27 49 343

+ + + + + −

=

+ + + + + −

Câu (2,0 điểm)

1)Tìm x , biết 1 x 23

1.2 2.3 3.4 8.9 45  + + + +  =

 

 

2)So sánh: E 201810099

2018

− =

−

98

99

2018

F

2018

− =

−

Câu 3: (2,0 điểm)

1)Tìm số tự nhiên x, ybiết 5x+11y =26

2)Tìm số nguyên tố ab(a> >b 0) biết ab ba− số phương

Câu 4: (3,0 điểm)

1)Trên tia Ox lấy điểm A B, cho OA=6 cm, OB 10 cm.= Gọi E F, trung

điểm củaOA AB, Tính độ dài đoạn thẳngEF

2)Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ hai tia Oy OZ, cho xOy=50 ; xOz0 =1000 Vẽ tia Oy’ tia đối tiaOy Tính số đo y 'Oz

3)Cho 2018 điểm phân biệt có điểm thẳng hàng Qua hai điểm ta kẻ đường thẳng Tính số đường thẳng kẻ

Câu (1,0 điểm)

Cho abc số tự nhiên có ba chữ số Tìm giá trị lớn A abc 1918

a b c

= +

+ + hết -

(12)

ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI TỐN KINH MƠN 2017-2018 Câu

1 1 1) A

3 15 2499         = +   +   +   +          16 2500 2.2 3.3 4.4 50.50 A

3 15 2499 1.3 2.4 3.5 49.51

= =

2.3.4 50 2.3.4 50 50 100

1.2.3 49 3.4.5 51 51 51

= = =

Vậy A 100

51 =

1 1 4

1

3 27 49 343

2) B :

2 2 1

2

3 27 49 343

+ + + + + −

=

+ + + + + −

1 1 1

1

3 27 49 343

B :

1 1 1

2 1

3 27 49 343

 + + +   + + −          =  + + +   + + −          1 B :

2 = =

Vậy B

8 =

Câu

1 1 23 1) x

1.2 2.3 3.4 8.9 45  + + + +  =

 

 

1 1 1 1 23 x 2 3 45  − + − + − + + −  =

 

 

1 23 x 45  −  =    

8 23 23 23 x x :

9 = 45⇒ = 45 =40

Vậy x 23

40 =

2)Ta có: E 201810099 2018E 20181001002018 2018.E 2017100

2018 2018 2018

− −

= ⇒ = ⇒ = −

− − −

98 99

99 99 99

2018 2018 2018 2017

F 2018.F 2018.F

2018 2018 2018

− −

= ⇒ = ⇒ = −

− − −

Vì 2017100 201799 2017100 201799

2018 −1<2018 −1⇒ −2018 −1> −2018 −1

Hay 2018E 2018F> ⇒ >E F Vậy E > F

Bài

1)+Với y=2, ta có 112 =121>26⇒ =y khơng thỏa mãn Do y số tự nhiên nên y∈{ }0;1

(13)

+) Với y = 1, ta có: x x

5 +11=26⇒5 =15vì x số tự nhiên ⇒ khơng có giá trị x thỏa

mãn x

5 =15⇒ =y không thỏa mãn

+)Với y=0 ta có 5x + =1 26⇒5x =25=52nên x=2 (thỏa mãn)

Vậy x=2; y=0

2)Ta có: ab ba− =9 a( −b)

Do a, b chữ số, ab số nguyên tố, nên 3≤ ⇒b a( −b)là số phương { }

a− ∈b 1;

+) Với a b 1− = mà ab số nguyên tố ⇒ ta số ab 43= +)Với a b 4− = mà ab số nguyên tố ⇒ ta số ab 73= Vậy ab={43; 73}

Bài

Câu

Vì hai điểm A B, nằm tia Ox mà OA < OB (6 cm 10 cm< ) nên điểm A nằm

giữa hai điểm O B OA AB OB⇒ + =

Thay số 6+AB 10= ⇒AB=4 cm Vậy AB 4cm=

Vì E trung điểm OA nên EA OA

= , thay số EA=6 : 2=3cm

F trung điểm ABnên AF AB =

Thay số: AF=4 : 2=2 cm

Do A nằm O vàB Mà E trung điểm OA F, trung điểm AB nên điểm A nằm hai điểm E F

EF EA AF (cm)

⇒ = + = + = Vậy EF=5 cm

Câu

O E A F B

y'

y

x z

O

(14)

Vì hai tia Oz, Oycùng nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , mà  xOy<xOz nên tia Oy nằm hai tia Ox Oz

  

xOy yOz xOz

⇒ + = Thay số  

50 +yOz=100 ⇒yOz=50 Do tia Oy 'là tia đối tia Oy⇒ y 'Oz, yOz hai góc kề bù

 

y 'Oz yOz 180

⇒ + = Thay số :  0 

y 'Oz 50+ =180 ⇒y 'Oz=130

Vậy 

y 'Oz=130 Câu

Giả sử 2018 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng

Từ điểm ta nối với 2017 điểm lại ta 2017 đường thẳng Làm với 2018 điểm ta 2018.2017=4 070 306đường thẳng

Vì đường thẳng tính hai lần, số đường thẳng kẻ :

2 035153đường thẳng

Số đường thẳng qua điểm không thẳng hàng 3; Số đường thẳng qua điểm phân biệt thẳng hàng 1; Khi thay điểm phân biệt không thẳng hàng thành điểm phân biệt thẳng hàng số đường thẳng giảm : 2− =

Do 2018 điểm phân biệt có ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng thực tế kẻ : 035153 2− =2 035151

Vậy ta kẻ tất 035 151 đường thẳng

Câu

abc 100a 10b c

A 1918 1918

a b c a b c

+ +

= + = +

+ + + +

+)Nếu b c 0= = A 100 1918 2018= + =

+)Nếu b c khác

100a 100b 100c

A 1918 100 1918 2018 a b c

+ +

< + = + = + +

Nên A 2018≤

Giá trị lớn A 2018 a∈{1; 2; ;9 ; b} = =c

(15)

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

BÁ THƯỚC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học 2018-2019 Mơn : Tốn lớp

Câu (3 điểm) Tính

( ) 5

2

5

1 a)4.5 24 b)7 c)

2 +  

− − + − 

−  

Câu (3 điểm) Tìm xbiết:

( ) ( ) 1 5

a) x 15 : 22 24 b) x 15 c) x : 7  

− + = + = − −  −  + =  

Câu (5 điểm)

1)Cho A 99 100= − + − + + − a)Tính A

b)A có chia hết cho 2, cho 3, cho khơng ?

c)Acó ước tự nhiên ? Bao nhiêu ước nguyên ?

2)Thay a, bbằng chữ số thích hợp cho 24a68b 45

3)Cho a số nguyên có dạng a=3b b+ ( ∈ Hỏi a nhận giá trị ) giá trị sau:

a=11; a=2002; a=2003; a=11570; a=22789; a=29563; a=299537

a)Tìm số tự nhiên nhỏ biết số chia cho dư 5, chia cho dư chia cho dư

b)Cho 71 72

A= +1 2012+2012 +2012 +2012 + 2012+ +2012 B=201273−1.So sánh A

và B

Cho góc bẹt xOy,trên tia Oxlấy điểm A cho OA=2cm,trên tia Oylấy hai điểm M

và B cho OM =1cm OB, =4cm.

a)Chứng tỏ: Điểm M nằm hai điểm O B; Điểm M trung điểm đoạn thẳng

AB

b)Từ O kẻ hai tia Ot Oz, cho tOy =130 ,0 zOy =30 0 Tính số đo tOz

(16)

( ) ( )

5

2 1

17 8 4

)55 ) )

2 2 25 3 22 11

a b c + = =

−

Câu

12 7

) 25 ) )

26 2

x

a x b c x

x

= 

=  = − =



Câu

1)a) A= −50

b) A2cho5,Akhông chia hết cho

c) A có ước tự nhiên có 12 ước nguyên 2) Ta có: 45=9.5mà ( )5,9 =1

Do 24 68 45a b suy 24 68 5 0 5

b a b

b

=  ⇒  = 

Th1: b=0ta có số 24 680a

Để 24 680 9a  (2+ + + + +4 a 6 8 0 9) ⇒ +a 20 9 ⇒ =a 7 Th2: b=5ta có số 24 685a

Để 24 685 9a  (2+ + + + + 4 a 6 9) hay a+25 9 ⇒ =a 2

Vậy 7, 0

2, 5

a b

= =



 = =



3) Số nguyên có dạng a=3b+7(b∈)hay a số chia dư

Vậy a nhận giá trị a=2002;a=22789;a=29563

Câu

a)Gọi số cần tìm a

Ta có achia cho dư 5⇒ =a 9k +5(k∈)⇒2a=9k1+ ⇒1 (2a−1 9) Ta có achia cho dư 4⇒ =a 7m+4(m∈)⇒2a=7m1+ ⇒1 (2a−1 7) Ta có achia cho dư 3⇒ = +a 5t 3(t∈)⇒2a=5t1+ ⇒1 (2a−1 5)

(2a 1 9,7,5)

⇒ −  , mà (9;7;5)=1và a số tự nhiên nhỏ 2a 1 BCNN(9,7,5) 315

⇒ − = = Vậy a=158

b)Ta có: 72 73

2012A=2012+2012 +2012 +2012 + 2012+ +2012

Lấy 73

2012A− =A 2012 −1, Vậy

73

2012 1

2011

A= − < =B −

Câu

(17)

a)Trên tia Oyta có: OM =1cm<OB=4cm⇒Mlà điểm nằm O B

Do M nằm O Bta có:

( )

4 3

OM +MB=OB⇒MB=OB−OM = − = cm

Do A thuộc tiaOx , M thuộc tia Oy nên M nằm hai điểm A M suy ra:

2 3( )

OM +OA=MA= + = cm

Mặt khác A, Bnằm hai tia đối , M lại nằm O Bnên suy M nằm

giữa A, B Vậy M trung điểm AB.

b)TH1: Tia Ot Oz, nửa mặt phẳng

Do  

130 , 30

yOt = yOz = ⇒tia Oz nằm hai tia Ot Oy, .

Ta có:    0

130 30 100

tOz =tOy− yOz= − =

TH2: Tia Ot tia Oz không nằm nửa mặt phẳng bờ xy

Suy tia Oy nằm tia Ot Oz,

Ta có:    0

130 30 160

tOz =tOy+ yOz = + =

x y

t

z

z'

O B

M

A

(18)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Năm học 2019-2020

a)Tìm xbiết:

2 1 x  −  − =    

b)Tìm x, y∈  biết 2x+624=5y

a)So sánh : 22

45

− và 51 103 −

b)So sánh : 20092010

2009 A 2009 + = + 2010 2011 2009 B 2009 − = −

Tìm số tự nhiên có chữ số, biết chia số cho số 25; 28;35thì số dư

lần lượt 5;8;15

Ba máy bơm bơm vào bể lớn, dùng máy máy hai sau 20 phút đầy bể, dùng máy hai máy ba sau 30 phút đầy bể dùng máy máy ba đầy bể sau 24 phút Hỏi máy bơm dùng bể đầy sau ?

Bài (2 điểm) Cho góc tù xOy.Bên góc xOy,vẽ tia Om cho góc xOm 900và

vẽ tia On cho góc yOnbằng 900

a)Chứng minh  xOn=yOm

b)Gọi Ot tia phân giác xOy Chứng minh Ot tia phân giác mOn

ĐÁP ÁN Bài

a)Từ giả thiết ta có:

2

1

x x

1

x

1 1

3

x x

3

 − =  =    −  = ⇒ ⇒   −    − = −  =    

b)Nếu x 0= y

5 =2 +624=625=5 ⇒ =y

Nếu x 0≠ vế trái số chẵn, vế phải số lẻ với x, y∈ : vô lý

Vậy x=0, y=4

Bài

22 22 51 51 22 51 22 51 a)

45 44 102 101 45 101 45 101 − − < = = < ⇒ < ⇒ >

2010 2011 2009 b)B 2009 − = < −

2010 2010 2010

2011 2011 2011

2009 2009 2011 2009 2009

B

2009 2009 2011 2009 2009

− − + +

⇒ = < =

− − + + ( ) ( ) 2009 2009 2010 2010

2009 2009 2009 1

A

2009

2009 2009

+ +

= = =

+ +

(19)

Vậy A>B

Bài

Gọi số tự nhiên phải tìm x

Từ giả thiết suy (x+20 25) (x+20 28) (x+20 35)

( )

x 20 BC 25; 28;35

⇒ + ∈

Tìm BCNN 25; 28;35( )=700⇒ +x 20=700.k k( ∈  )

Vì x∈  x có ba chữ số suy x 999* ≤ ⇒ +x 20 1019≤ ⇒ =k

x 20 700 x 680

⇒ + = ⇒ =

Bài

Máy máy bơm 20 phút hay

3giờ đầy bể nên máy hai bơm

được

4bể

2giờ đầy bể nên máy hai ba bơm

3bể

Máy máy ba bơm 24 phút hay 12

5 đầy bể nên máy máy

bơm

12bể

⇒Một ba máy bơm được: : 11

4 12 12  + +  =  

  (bể)

Một giờ:

Máy bơm 11

12− =4 6bể ⇒ Máy ba bơm đầy bể

Máy bơm 11

12− =3 4bể⇒ Máy bơm đầy bể

Máy bơm 11

12−12 =2bể⇒Máy bơm đầy bể

Bài

a)Lập luận được:   xOm mOy+ =xOyhay 900+mOy =xOy   

yOn+nOx=xOyhay 900+nOx =xOy⇒xOn =yOm

b)Lập luận được:  xOt=tOy⇒xOt  =xOn+nOt⇒tOy  =yOm mOt+ ⇒nOt =mOt

y

x O

m

n t

(20)

Ot

⇒ tia phân giác mOn

UBND HUYỆN BA VÌ PHỊNG GD&ĐT BA VÌ

KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2017-2018

Mơn Tốn lớp

Ngày thi : 25/4/2018

Câu (6 điểm) Tính:

( ) ( ) 5

a)1152 374 1152 374 65 b)

12 12 − + + − + + − −

( )

22 15

2 2 2

14

11.3 15 899

c) d)

2 30

2.3 −

a)Tìm xbiết: 2 x 221

11.13 13.15 19.21 231  + + + − + =

 

 

b)Tìm số nguyên xbiết: x

3+35< 210< + +7

Tìm số tự nhiên a nhỏ cho a chia cho 3, cho 5, cho số dư thứ tự 2; 4;

a)Cho 

xOy 100= xOz=60 Tính số đo xOm,biết Om tia phân giác yOz

b)Cho tam giác ABCvà đường thẳng dkhông qua đỉnh tam giác

và cắt cạnh BCcủa tam giác Hãy chứng tỏ đường thẳng dcắt

hai cạnh ABvà ACcủa tam giác ABC

Cho 1 1 1 1 1

31 32 33 59 60

A= + + + + +

Chứng tỏ rằng: 4

5

A<

ĐÁP ÁN

Bài

( ) ( )

)1152 374 1152 374 65 1152 374 1152 374 65

a − + + − = − − + −

(1152 1152) (374 374) ( 65) 65

= − + − + − = −

7 5 1 3 5 7 5 5 1 3

)

12 6 4 7 12 12 12 6 4 7

b + + − − = − + + −

1 5 1 3 1 3 5 3 23

1

6 6 4 7 4 7 4 7 28

= + + − = + − = − =

(21)

( ) ( )

29

22 15 29 30 29 2 28 28 28 14

3 11 3

11.3 3 9 11.3 3 3 2

) 6

2 3 2 3 2 3

2.3

c − = − = − = =

2 2

3 15 899 1.3 2.4 3.5 29.31

) . . . .

2 4 30 2.2 3.3 4.4 30.30

d =

1.2.3 29 3.4.5 31 1 31 31

. .

2.3.4 30 2.3.4 30 30 2 60

= = =

Bài

2 2 2 221 4

)

11.13 13.15 19.21 231 3

a  + + + − +x =

 

1 1 1 1 1 1 221 4

11 13 13 15 19 21 x 231 3

 

⇔ − + − + + − − + =

 

1 1 221 4 10 221 4

11 21 x 231 3 231 231 x 3

 

⇔ − − + = ⇔ + − =

 

4 1

1

3 3

x x

⇔ − = ⇒ = −

1 3 44 88

)

3 35 105 210

b + = =

4 3 1 158 316

7+ + =5 3 105= 210

88 316

210 210 210

x

< <

88 x 316

⇔ < < , mà x∈⇒ ∈x {89;90; ;315}

Bài

achia cho dư 2⇒ =a 3k + ⇒ + ∈2 a 1 B( )3

achia cho dư 4⇒ =a 5p+ ⇒ + ∈4 a 1 B( )5

achia cho dư 6⇒ =a 7q+ ⇒ + ∈6 a 1 B( )7

( )

1 3;5;7 ,

a BC

⇒ + ∈ mà anhỏ nên a+1là

(3,5,7) 105 1 105 104

BCNN = ⇒ + =a ⇒ =a

Bài

*Học sinh vẽ hình trường hợp cho 0,5 điểm

a) Trường hợp 1: Tia Oy,tia Ozcùng nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox

(22)

+)  ( 0)

60 100

xOz <xOy < ⇒Tia Oznằm hai tia Ox Oy,

    

60 100 40

xOz zOy xOy zOy yOz

⇒ + = ⇔ + = ⇒ =

+)Tia Omlà tia phân giác    

0

40

20

2 2

yOz

yOz⇒ yOm=mOz = = =

+) ( 0)

20 100

yOm< yOx < ⇒Tia Omnằm hai tia Oy Ox,

    

20 100 80

yOm mOx xOy mOx mOx

⇒ + = ⇔ + = ⇔ =

-Trường hợp 2: Tia Oz Oy, nằm hai nửa mặt phẳng đối bờ chứa tia Ox

+Ta có :   0

160 180

xOy+xOz = < nên tia Oxnằm hai tia Oy Oz,

x m

z y

O

m

x

z y

O

(23)

   0

100 60 160

yOz zOx xOy

⇒ = + = + =

Tia Omlà tia phân giác yOznên 

0

160 80 2

yOm= =

 ( 0)

80 100

yOm yOx

+ < < nên tia Omnằm hai tia Oy Ox,

    

80 100 20

yOm mOx yOx mOx mOx

⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

b) Đường thẳng dcắt cạnh BCvà B C, ∉dnên Bvà Cnằm hai nửa mặt phẳng đối

nhau bờ đường thẳng d

TH1: Nếu Athuộc nửa mặt phẳng chứa điểm B dcắt cạnh ACmà không cắt cạnh AB

Th2: Nếu Athuộc nửa mặt phẳng chứa C dcắt cạnh ABmà khơng cắt cạnh AC

Bài

1 1 1 1 1 1 1 1

31 32 40 41 42 50 51 60

A= + + +   + + + +   + + + 

     

1 1 1 1 1 1 10 10 10

30 30 40 40 50 50 30 40 50

     

< + +  + + +  + + + = + +

     

1 1 1 47 48 4

3 4 5 60 60 5

= + + = < =

d A

B C

d

A

B C

(24)

PHỊNG GD&ĐT LÝ NHÂN

ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN

Năm học 2018-2019

(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể giao đề)

Bài (4,0 điểm)

a)Tính:

7

2012

M

5

9 2012

+ − =

− −

b)So sánh Avà Bbiết: A 2010 2011 2012 2011 2012 2010

= + + B 1 1 17 = + + + +

Bài (4,0 điểm)

a)Tìm xbiết 25 2, 75 x 0, 65 : 0, 07 200

 + −  − = + + 

   

   

b)Tìm số tự nhiên x, ysao cho ( )x, y =1và x2 y2

x y 25

+ =

+

Bài (4,0 điểm)

a)Tìm chữ số tận số 1414 99 34

P=14 +9 +2

b)Tìm ba số nguyên dương biết tổng ba số nửa tích chúng

Bài 4.(2,0 điểm)

Cho số nguyên dương a, b, c, dthỏa mãn ab cd.= Chứng minh A=an +bn+cn +dn

là hợp số với số tự nhiên n

Bài 5.(6,0 điểm)

Cho đoạn thẳng AB,điểm O thuộc tia đối tia AB.Gọi M, Nthứ tự trung điểm OA, OB

q)Chứng tỏ OA OB<

b)Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O

c)Lấy điểm Pnằm đường thẳng AB.Cho Hlà điểm nằm tam giác ONP Chứng

tỏ tia OH cắt đoạn thẳng NP điểm Enằm N P

7

.2012.9.2

7.9.2 7.2012.2 1006.9

2012

a)N

5 5.2012.2 3.9.2 2012.9

.2012.9.2

9 2012

 + − 

  + −

 

= =

− −

 − − 

 

 

7.2021 503.9 9620 5.2012 3.9 1006.9 979

−

= =

− −

b)

1 A 1

2011 2012 2010       = −  + −  + +       

1 1 A

2010 2011 2010 2012     = + −  + −     

(25)

A ⇒ >

1 1 1 B

3 10 17       = +  + + +  + + +        1

B B

< + + ⇒ <

Từ suy A>B

Bài 2.a)

5 437 437 100 x : x − =200 100 ⇒8 − =200

5 437 535 x x 14 14 ⇒ = + ⇒ =

535 x : x 61

14 ⇒ = ⇒ =

b) Vai trị x, ybình đẳng.Giả sử x y,≥ ta có:

( 2) ( )

2

x y

7 x y 25 x y

x y 25

+ = ⇒ + = +

+

2

7x −25x=25y 7y−

( ) ( )

x 7x−25 =y 25 7y−

Suy 7x 25− 25 7y− dấu x, ylà số tự nhiên

a) Nếu 7x 25 0− < 25 7y− < ⇒ <0 x 4, y>4(trái với điều giả sử)

b) Nếu 7x 25 0− > 25 7y− >0, Vậy x≥4, y<4

Thử số tự nhiên ytừ 0,1, 2, 3ta x=4

Cặp số ( ) ( )x, y = 4, ; vai trò x, ynhư nên ( ) ( )x, y = 3,

Bài

a) 1414 99 34

P=14 +9 +2

Chữ số tận 14

14

14 Chữ số tận 99

9 Chữ số tận 34

2

Chữ số tận Plà chữ số tận tổng (6 2+ + )là b)Gọi số nguyên dương cần tìm a, b, c

Ta có: a b c abc + + =

Giả sử a b c≤ ≤ a b c 3c+ + ≤ , đó: abc 3c ab ≤ ⇒ ≤

Có trường hợp sau: *)ab= ⇒ =6 c 3, 5(loại)

*)ab= ⇒ =5 a 1, b=5, c=4(ktm)

*)ab a 1, b 4, c 5(tm)

a 2, b 2, c 4(tm)

= = =



= ⇒  = = =

 *)ab=2(ktm)

*)ab= ⇒ =3 a 1, b=3, c=8(tm) *)ab= ⇒1 (ktm)

(26)

Vậy ba số cần tìm 1, 4, 5hoặc 2, 2, 4boặc1, 3,8

Bài

Giả sử t=( )a, c Đặt a=a t; c1 =c t1 với (a , c1 1)=1

1 1

ab=cd⇒a bt=c dt⇒a b=c d

Mà (a , c1 1)= ⇒  đặt b c ,1 b=c k1 , đó: d=a k1 Ta có:

( )( )

n n n n n n n n

1 1

n n n n

1

A a t c k c t a k

A a c k t

= + + +

= + +

Vì a , c , t , k1 1 nguyên dương nên Alà hợp số

Bài

a)Hai tia AO ABlà hai tia đối

Suy điểm Anằm điểm O điểm B

Vậy OA OB<

b)Vì M, Nlần lượt trung điểm OA, OB

Suy OM = OM MN ON+ = ⇒MN=ON OM−

( )

1 1 MN OB OA OB OA AB

2 2 = − = − =

ABcó độ dài khơng đổi nên MN khơng đổi

c)Điểm Hnằm tam giác ONP suy Hnằm góc O

Suy tia OH nằm hai tia ON OP

P, Nlà điểm không trùng O thuộc tia ON, OP

Suy tia OH cắt đoạn NP điểm E nằm N vàP E

M N

O B

P

H

A

(27)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN HƯƠNG SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018-2019 MƠN THI: TỐN

Câu (4,5 điểm)

1)Tính giá tri biểu thức sau:

( )

a)2 6 −24 : 4+2014

1 b) :

3 12  + −   + −         

2)Tìm x,biết: x x x

6  

− − = −  

Câu (4,5 điểm)

1)Tìm x∈,biết: x−{x−x− − +( x 1)}=1 2)Tìm chữ số x, ysao cho 2014xy 42

3)Tìm số nguyên a, b biết rằng: a 1 7− =2 b 1+

Câu (4,0 điểm)

1)Tìm số tự nhiên nđể (n+3)(n+1)là số nguyên tố

2)Cho n=7 4.a + a Biết a− =b 6và n chia hết cho Tìm a b, 3)Tìm phân số tối giản a

blớn (a b, ∈*)sao cho chia phân số

4 6

;

75 165cho

a

bta kết số tự nhiên

Câu (5,0 điểm)

1)Trên tia Ox lấy hai điểm M N, cho OM =3cm ON, =7cm

2)Tính độ dài đoạn thẳng MN.

a)Lấy điểm P tia Ox , cho MP=2cm.Tính độ dài đoạn thẳngOP

b)Trong trường hợp M nằm O vàP Chứng tỏ P trung điểm đoạn

thẳng MN.

3)Cho 2014 điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng Có tam giác mà đỉnh 2014 đỉnh

Câu (2,0 điểm)

1)Cho tổng gồm 2014 số hạng, 1 22 33 44 20142014 .

4 4 4 4 4

S = + + + + + Chứng minh 1

2

S <

2)Tìm tất số tự nhiên n , biết n+S n( )=2014,trong S n( )là tổng chữ

số n

(28)

( ) ( )

1) )2 6a  −24 : 4+2014=2 36 −24 : 4+2014=2020

1 1 7 1 1 1 7 1

) 2 3 : 3 4 : 1

3 4 12 2 3 4 12 2

b  + −    + −   = −    − =

       

5 2 5 2

2)

6 3 6 3

x− −x= − ⇔ − + − =x x x x −

 

5 2 1

6 3 6

x

⇔ = − =

Câu

( )

{ } { [ ]}

1)x− x−x− − +x 1  = ⇔ −1 x x− + −x x 1 =1

{ 2 1} 1 2 1 1 2 2 1

x x x x x x x x

⇔ − − + = ⇔ − + − = ⇒ = ⇒ =

2)2014xy=201400+xy=42.4795 10+ +xy42⇒10+xy42

Do 0≤xy<100⇒xy∈{32;74} Vậy ( ) ( ) ( )x y; = 3;2 ; 7;4

( )( )

1 1 2 7 1

3) 2 7 1 14

7 2 1 14 1

a a

a b

b b

−

− = ⇒ = ⇒ − + =

+ +

Do a b, ∈ ⇒ 2a− ∈7 U(14)= ± ± ± ±{ 1; 2; 7; 14} Vì 2a−7lẻ nên 2a− ∈ − −7 { 7; 1;1;7}⇒ ∈a {0;3;4;7} Từ tính ( ) (a b, ={ 0; ; 3; 15 ; 4;13 ; 7;1− ) ( − ) ( ) ( )}

Câu

1)Để (n+3)(n+1)là số nguyên tố hai thừa số n+3;n+1phải Mà n+ > + ≥ ⇒ + = ⇔ =3 n 1 1 n 1 1 n 0 Khi n+ =3 3là số nguyên tố

Vậy n=0thì (n+3)(n+1)là số nguyên tố

2)Ta có: n=7 9a + b  ⇔ + + + + +7 a 5 8 b 4 9 { }

24 a b 9 a b 3;12

⇔ + +  ⇒ + ∈ (vì a+ <b 19)

Mà a− = ⇒ + > ⇒ + =b 6 a b 3 a b 12

Kết hợp với a− = ⇒ =b 6 a 9,b=3

3)Ta có: 14: 14 14 , 75

75 75

a b

a b b = a∈ ⇒  

Tương tự : 16 : 16 16

175

165 165

a

a b

b

b a



= ∈ ⇒ 

  



Để a

blà số lớn a=UCLN(14,16)=2;b=BCNN(75;165)=825

Vậy 2

825

a b =

Câu

(29)

1)

a)Do M N, cùng thuộc tia Ox mà OM <ONnên M nằm hai điểm O N

3 7 4

OM MN ON MN MN cm

⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

b)Th1: Nếu P nằm M N, M nằm O P

3 2 5

OP OM MP cm

⇒ = + = + =

Th2: Nếu P nằm O M ⇒OM =OP+PM ⇒OP=OM −PM = − =3 1cm

c) M nằm O ⇒OP=5cm<ON =7cmnên P nằm O N

Suy : OP+PN =ON ⇒ +5 PN = ⇒7 PN =2cm

Do MP=PN,mà P nằm M N, nên Plà trung điểm MN

2)Với n điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng Nối điểm với cho ta

( 1) 2

n n−

đoạn thẳng

Chọn đoạn thẳng ( 1)

2

n n−

đoạn thẳng n−2điểm lại, ta

2

n− tam giác Có ( 1)

2

n n−

đoạn thẳng nên có ( 1) ( ) ( )( ). 2 1 2

2 2

n n n n n

n

− − −

− = tam

giác Tuy nhiên tam giác tính lần (ABC ACB BAC, , )

Do số tam giác tạo thành là: ( 1)( 2): 3 ( 1)( 2)

2 6

n n− n− n n− n−

=

Áp dụng với n=2014ta số tam giác tạo thành: 2014.2013.2012 1359502364

2 =

Câu

1) Ta có: 4 1 2 32 43 20142013 .

4 4 4 4

S = + + + + +

2 2013 2014

1 1 1 1 2014

3 4 1

4 4 4 4 4

S S S

⇒ = − = + + + + + −

2 2013 2013

1 1 1 1 1 1 1 1

3 1 . 1 .

4 4 4 4 4 4 4 4

S Dat M

⇒ < + + + + + = + + + + +

2 2012

1 1 1 1

4 4 1

4 4 4 4

M

⇒ = + + + + + +

Ta có: 3 4 4 20131 4 4

4 3

M = M −M = − < ⇒M <

Do 3 4 4 4 1

3 9 8 2

S < ⇒ < < =S

2)Nếu n số có chữ số n≤999và S n( )≤27

O M P N x

P

(30)

Suy n+S n( )≤999+27 1026= <2014(ktm)

Mặt khác n≤ +n S n( )=2014nên n số có chữ số Vậy n số có chữ số, suy

( ) 9.4 36.

S n ≤ = Do n≥2014 36 1978− =

Vì 1978 2014 19

20

n ab

n

n cd

 =

≤ ≤ ⇒ 

= 

*Nếu n=19ab.Ta có: 19ab+ + + +(1 9 a b)=2014

1910 11a 2b 2014 11a 2b 104 a 2

⇔ + + = ⇔ + = ⇒ 

và 11a=104−2b≥104−2.9=86⇒ ≤8 10<a a, 2⇒ = ⇒ = ⇒ =a 8 b 8 n 1988(tm)

*Nếu n=20cd ⇒20cd +(2+ + +0 c d)=2014

2002 11c 2d 2014 11c 2d 12 c 2

⇒ + + = ⇒ + = ⇒ 

Và 11 12 0 6, 2006( )

1 2 1( )

c d n tm

c

c d ktm

= ⇒ = =



≤ ⇒  = ⇒ =



Vậy n∈{1988;2006}

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẠCH THƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019

MƠN THI: TỐN – LỚP

Câu (4,0 điểm)

a)Thực phép tính

( ) ( )

A=540 : 23, 19, 7− +42 132 75 36+ − −7317

10 10

8

2 13 65 B

2 104 + =

b)Chứng minh tổng số tự nhiên chẵn liên tiếp chia hết cho 10, cịn tổng số tự nhiên lẻ liên tiếp chia cho 10 dư

Câu (4,0 điểm)

a) Tổng hai số nguyên tố 2015 hay khơng ? Vì ? b) Tìm tất số nguyên tố p cho p 11+ số nguyên tố

Câu (4,0 điểm)

a)Tìm xbiết: (x 1+ +) (x 3+ +) (x 5+ + +) (x 99+ )=0 b)Tìm n∈biết: (3n 8+ ) ( n 1+ )

Câu (4,0 điểm)

a)Tìm tích 1 1 1 1

2 100  −  −  −   −             

b)So sánh Avà Bbiết: A 2013.2014 2013.2014

−

= B 2014.2015 2014.2015

− =

Câu (4,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB;điểm O thuộc tia đối tia AB.Gọi M, Nthứ tự

trung điểm OA, OB

(31)

a)Chứng tỏ OA OB<

b)Trong ba điểm O, M, Nđiểm nằm hai điểm lại

c)Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia OB )

( )

a)A= 540 : +42.171 7317−

A=135 7182 7317+ − =0

( )

10

10 10 10

8 8

2 13

2 13 65 13.6

B

2 104 8.13 2 13 +

+

= = = =

b) Gọi số chẵn liên tiếp là:2n; 2n+2; 2n+4; 2n+6; 2n+8

Tính tổng ta được: 10n 20 10+ 

Gọi số lẻ liên tiếp là: 2n 1; 2n+ +3; 2n+5; 2n+7; 2n+9

Tính tổng được: 10n+25 10 n= ( + +2) 5chia cho 10 dư

Câu

a)Tổng hai số nguyên tố 2015 số lẻ, nên hai số nguyên tố phải Khi số 2013, số hợp số

Vậy không tồn hai số nguyên tố có tổng 2015

b)Nếu plẻ⇒ +p 11là số chẵn lớn 11 nên không số nguyên tố

Suy pchẵn ⇒ =p

Câu

a)Ta có:

(x 1) (x 3) (x 5) (x 99) (x 1) (x 99 50)

+ + +

 

 

+ + + + + + + + = ⇒ =

(x 50 50) x 50 x 50

⇒ + = ⇒ + = ⇒ = −

b)Ta có: 3n 8+ =3n 5+ + =3 n 1( + +)

Suy : (3n 8+ ) ( n 1+ )khi (n 1+ ∈) U(5)= ± ±{ 1; 5} Tìm được: n∈ − −{ 6; 2; 0; 4}

Câu

a)Ta có:

(1.2.3.4 99)

1 1 1 99

1 1

2 100 100 2.3.4 100 100

−

− − − − −

 −  −  −   − = = =

     

     

b)Ta có:

2013.2014 1

A

2013.2014 2013.2014 −

= = − 2014.2015 1

B

2014.2015 2014.2015 −

= = −

Vì 1

2013.2014 >2014.2015nên A<B

Câu

(32)

a)Hai tia OA, OBđối nên điểm Anằm hai điểm O vàB ,

suy OA OB<

b)Ta có Mvà N thứ tự trung điểm OA, OBnên OM OA; ON OB 2 = =

Vì OA OB< ⇒OM<ON

Hai điểm Mvà N thuộc tiaOBmà OM ON< nên điểm M nằm hai điểm O N

c)Ta có: OM MN ON+ = ⇒MN=ON OM− Hay MN OB OA AB

2 −

= =

Vì ABcó độ dài khơng đổi nên MN có độ dài khơng đổi

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚC THỌ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN NĂM HỌC 2018-2019 Bài Thực phép tính (tính nhanh có thể)

5 10 10 a)M : :

7 11 11 − − − −         = +    + +           

2 99 100 100

1 1 1 b)P

2 2 2 = + + + + + +

Bài Tìm ybiết: a) 2y

2 3  +  =    

1 2 b)y : y : 255

3 9+ 7=

Bài Xe máy thứ từ A đến B giờ, xe thứ hai từ B đến A Nếu

hai xe khởi hành lúc từ A B 1,5 hai xe cịn cách 15km (hai xe chưa gặp nhau) Tính quãng đường AB

Bài Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox,vẽ hai tia Oy, Ozsao cho

 

xOy 100 , xOz= =20

a)Trong tia Ox, Oy, Oztia nằm hai tia cịn lại ? Vì ?

b)Vẽ Om tia phân giác yOz.Tính góc xOm?

Bài

a)Cho 2011 2012

A= − +1 3 − +3 3− +3 Chứng minh (4A 1− )là lũy thừa b)Chứng minh rằng:

n n

11 1222 2  tích hai số tự nhiên liên tiếp

M N

O A B

(33)

5 10 10 a)M : :

7 11 11 − − − −         = +    + +            5

7 11 10 11 10

− −

    = +  + + 

− −

   

( )

3 5

1 10 11 11 10

−

 

=  + + − + = − + = −   −

99 100 100 99 99

1 1 1 b)P 2P P 2

2 2 2      

= − = +  − +  = + − =      

Bài

3 a)y

4 − =

1 2 b)y : y : 255 y y 255

3 9+ = ⇒ 2+ = 7

y y 255 y 255 y.5 255 y 255 : 51 2 2

 

+ = ⇒  + = ⇒ = ⇒ = =  

Vậy y=51

Bài

Mỗi xe thứ được: 1: 4

= (quãng đường AB)

Mỗi xe thứ hai được: 1: 3

= (quãng đường AB)

Sau 1, 5giờ hai xe 1 1,  +  =  

  (quãng đường AB)

Phân số 15km là: 8

− = (quãng đường AB)

Quãng đường AB là: 15 :1 120(km) 8=

Bài

y

x z m

20

O

(34)

a) Oz tia nằm hai tia Ox, Oy(vì nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox ta thấy

 ( 0)

xOz<xOy 20 <80

b)Tính : 

zOy=80 ,tính zOm=400

Tính được:  0

xOm=40 +20 =60

Bài

2 2011 2012

a)A= − + − +1 3 3− +3

2 2011 2012 2013

4A 1− =3A+ − = − + − +A 3 3 3+ −3 +3 +1

2 2011 2012 2013

3 3 3 = − + − + − + − =

n n n n n n n

b)111 1.222 111 1.0000.00 222 111 1000.00 2= + =  + 

 

      

 

n n

n n n n

111 11.10 111 11.3.33 33 3.333 34

= = = 

Vậy số tích hai số tự nhiên liên tiếp

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Năm học 2019-2020

a)Tìm xbiết:

2

1 x

3  −  − =    

b)Tìm x, y∈  biết 2x+624=5y

a)So sánh : 22

45

− và 51 103 −

b)So sánh : A 200920092010

2009

+ =

+

2010

2011

2009

B

2009

− =

−

Ba máy bơm bơm vào bể lớn, dùng máy máy hai sau 20 phút đầy bể, dùng máy hai máy ba sau 30 phút đầy bể dùng máy máy ba đầy bể sau 24 phút Hỏi máy bơm dùng bể đầy sau ?

Bài (2 điểm) Cho góc tù xOy.Bên góc xOy,vẽ tia Om cho góc xOm 900và

vẽ tia On cho góc yOnbằng

90

a)Chứng minh  xOn=yOm

b)Gọi Ot tia phân giác xOy Chứng minh Ot tia phân giác mOn

(35)

a)Từ giả thiết ta có:

2

1

x x

1

x

1 1

3

x x

3

 − =  =

 

 −  = ⇒ ⇒

  −

   − = −  =

 

 

b)Nếu x 0= y

5 =2 +624=625=5 ⇒ =y

Nếu x 0≠ vế trái số chẵn, vế phải số lẻ với x, y∈ : vô lý

Vậy x=0, y=4

Bài

22 22 51 51 22 51 22 51 a)

45 44 102 101 45 101 45 101 − − < = = < ⇒ < ⇒ >

2010 2010 2010 2010

2011 2011 2011 2011

2009 2009 2009 2011 2009 2009

b)B B

2009 2009 2009 2011 2009 2009

− − − + +

= < ⇒ = < =

− − − + +

( )

2009 2009

2010 2010

2009 2009 2009 1

A

2009

2009 2009

+ +

= = =

+ +

Vậy A>B

Bài

Từ giả thiết suy (x+20 25) (x+20 28) (x+20 35)

( )

x 20 BC 25; 28;35

⇒ + ∈

Tìm BCNN 25; 28;35( )=700⇒ +x 20=700.k k( ∈  )

Vì x∈  x có ba chữ số suy x 999* ≤ ⇒ +x 20 1019≤ ⇒ =k

x 20 700 x 680

⇒ + = ⇒ =

Bài

3giờ đầy bể nên máy hai bơm

được

4bể

2giờ đầy bể nên máy hai ba bơm

3bể

Máy máy ba bơm 24 phút hay 12

5 đầy bể nên máy máy

bơm

12bể

⇒Một ba máy bơm được: : 11

4 12 12  + +  =  

  (bể)

Một giờ:

Máy bơm 11

12− =4 6bể ⇒Máy ba bơm đầy bể

(36)

Máy bơm 11

12− =3 4bể⇒ Máy bơm đầy bể

Máy bơm 11

12−12 =2bể⇒ Máy bơm đầy bể

Bài

a)Lập luận được:   xOm mOy+ =xOyhay 900+mOy =xOy   

yOn+nOx=xOyhay    

90 +nOx=xOy⇒xOn=yOm

b)Lập luận được:  xOt=tOy⇒xOt  =xOn+nOt⇒tOy  =yOm mOt+ ⇒nOt =mOt Ot

⇒ tia phân giác mOn

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019

Mơn: Tốn Câu (2,0 điểm)

Cho 20

A= +2 +2 +2 + 2+ Tìm chữ số tận A

Câu (1,5 điểm)

Chứng minh rằng: n n 2n 3n 4n 1( + )( + )( + )( + )chia hết cho với số tự nhiên n

Câu (1,0 điểm)

Tìm tất số nguyên tố pvà q cho số 7p+qvà pq 11+ số nguyên tố

Câu (1,5 điểm)

a)Tìm UCLN(7n 3,8n 1) n+ − ( ∈  Tìm điều kiện n để hai số nguyên tố * ) b)Tìm hai số tự nhiên biết: Hiệu chúng 84, UCLN chúng 28 số khoảng từ 300 đến 400

Câu (1,0 điểm)Tìm số nguyên x, ysao cho : xy−2x− = −y

Câu (2,0 điểm)

Cho xAy, tia Axlấy điểm B cho AB 5cm.= Trên tia đối tia Axlấy điểm D

cho AD=3cm, Clà điểm tia Ay

a)Tính BD

b)Biết  

BCD=85 , BCA=50 Tính ACD c)Biết AK=1cm K( ∈BD ) Tính BK

y

x O

m

n t

(37)

( 20) 21 21 21

A.2= 2+2 +2 +2 + 2+ 2=2 +2 + 2+ ⇒2A− =A − ⇒ =2 A −2

Ta có: 21 4.5 1 ( )4 5

2 =2 + = 2 16 2=

5

16 có tận nên 16 25 có tận nên A=221−2có tận

Câu

Với số tự nhiên nta có trường hợp sau:

Th1: n 5 tích chia hết cho Th2:nchia cho dư n 5k 1= +

4n 20k

⇒ + = + chia hết cho ⇒ tích chia hết cho Th3: n chia cho dư n 5k 2= +

2n 10k

⇒ + = + chia hết cho 5⇒ tích chia hết cho

Th4: n chia cho dư n 5k 3= + 3n 15k 10

⇒ + = + chia hết cho ⇒ tích chia hết cho Th5: n chia cho dư n 5k 4= +

n 5k

⇒ + = + chia hết cho 5⇒ tích chia hết cho

Vậy n n 2n 3n 4n 1( + )( + )( + )( + )chia hết cho với số tự nhiên n

Câu Nếu pq 11+ số ngun tố phải số lẻ (vì pq 11+ >2)

pq

⇒ số chẵn ⇒ số phải chẵn, tức +giả sử p=2.Khi 7p+ =q 14 q; pq 11+ + =2q 11+

Thử q=2(ktm), q=3(tm), q>3có số hợp số⇒ =p 2, q=3

+Giả sử q=2, cmtt⇒ =p

Vậy p 2, q

p 3, q

= =



 = =



Câu

a)Gọi UCLN(7n+3,8n 1)− =dvới n∈  * Ta có: 7n d,8n d+  − 

( ) ( ) { }

8 7n 8n d 31 d d 1;31

⇒ + − −  ⇔  ⇔ ∈

Để hai số nguyên tố d 31≠ Mà 7n 31+  ⇔7n 31 31+ −  ⇔7 n( −4 31)

n 31

⇔ −  (vì 31 nguyên tố nhau)⇔ =n 31k+4 k( ∈  ) Do d 31≠ ⇔ ≠n 31k+4

Vậy hai số 7n+3,8n 1− nguyên tố n≠31k+4 k( ∈  ) b)Gọi hai số phải tìm a, b a, b( ∈*, a>b)

Ta có: UCLN(a, b) 28 a 28k(k, q *, k, q( ) 1)

b 28q

= 

= ⇒ = ∈ =

 

Ta có: a− =b 84⇒ − =k q

Theo : 300≤ < ≤b a 440⇒10< < <q k 16

Chỉ có số 11, 14 nguyên tố có hiệu 3⇒ =q 11, k=14

(38)

a 28.11 308

b 28.14 392

= =



⇒  = =

 Vậy hai số phải tìm 308, 392

Câu

( )( )

xy x− − = − ⇔y x y 2− − = −4(x, y∈ )

x 1− −1 −2 −4

y−2 −4 −2 −1

x −1 −3

y −2

Câu

a)Vì B∈Ax, D∈tia đối tia Ax ⇒Anằm D B

BD BA AD 8cm

⇒ = + = + =

b)Vì A nằm D B nên tia CA nằm hai tia CB, CD

      0

ACD ACB BCD ACD BCD ACB 85 50 35

⇒ + = ⇒ = − = − =

c)*Trường hợp 1: K thuộc tia Ax

Chứng minh B nằm A B

AK KB AB KB AB AK 4(cm) ⇒ + = ⇒ = − = − =

*Trường hợp 2: B thuộc tia đối tia Ax

-Lập luận A nằm K B

Suy : KB KA AB= + ⇒KB= + =5 6cm

Vậy KB 4cm= KB 6cm=

y C

D A B

x B

D A K

x B

D K A

(39)

HUYỆN HOẰNG HÓA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN

Bài Tính giá trị biểu thức sau:

( )2

2 a)A :

3 18 = + − −

( )

{ }

b)B=3 5 +2 :11−16 +2015

1 1 c)C 1

1.3 2.4 3.5 2014.2016       = +  +  +   +       

Bài

a)Tìm số tự nhiên xbiết: 8.6+288 : x( −3)2 =50

b)Tìm chữ số x, yđể A=x183ychia cho 2;5 dư

c)Chứng tỏ plà số nguyên tố lớn p2−1chia hết cho

Bài

a)Cho biểu thức : B (n , n 3) n

= ∈ ≠ − 

Tìm tất giá trị nguyên n để B nguyên b)Tìm số nguyên tố x, ysao cho x2+117=y2 c)Số 100

2 viết hệ thập phân có chữ số

Bài

Cho góc 

xBy=55 Trên tia Bx, Bylần lượt lấy điểm A, C A( ≠B; C≠B) Trên đoạn thẳng AC lấy diểm D cho ABD=300

a)Tính độ dài AC , biết: AD=4cm, CD=3cm

b)Tính số đo DBC

c)Từ B vẽ tia Bz cho DBz=90 Tính số đo ABz

Bài

a)Tìm chữ số a, b, ckhác thỏa mãn abbc ab ac 7= × ×

b)Cho 1( 20122015 9294)

A

= − Chứng A số tự nhiên chia hết cho

( )2

2 1 a)A :

3 18 = + − − = + − =

( )

{ } { [ ] }

b)B=3 5 +2 :11−16 +2015=3 33 :11 −16 +2015=2012

1 1 c)C 1

1.3 2.4 3.5 2014.2016       = +  +  +   +       

( ) ( )

2 2 2.3.4 2015 2.3.4 2015

2 2015 2015

1.3 2.4 2014.2016 1.2.3 2014 3.4.5 2016 1008

= = =

Bài

a)Biến đổi được:( )2 2 ( )2 x 12 x 15(tm)

x 144 12 12

x 12 x 9(ktm)

− = =

 

− = = = − ⇒ ⇒

− = − = −

 

(40)

b)Do A x1831= chia cho dư 1⇒(x 1 9+ + + + − ) ⇒ =x Vậy x=6; y=1

c)Xét số nguyên tố p chia cho Ta có: p=3k 1+ p=3k+2 k( ∈  *)

Nếu 2 ( )2 2

p=3k 1+ ⇒p − =1 3k 1+ − =1 9k +6k 3

Nếu p=3k+2thì p2− =1 (3k+2)2− =1 9k2 +12k+ 3

Vậy

p − 

Bài

a)Để B nhận giá trị nguyên n 3− ∈U(5)= ± ± ⇒ ∈ −{ 1; 3} n { 2; 2; 4;8}

b)Với 2

x= ⇒2 +117=121⇔y =121⇒ =y 11(là số nguyên tố) Với x>2, xlà số nguyên tố nên x lẻ ⇒y2 =x2+117là số chẵn Nên y chẵn, kết hợp với y nguyên tố nên y=2(ktm)

Vậy x=2; y=11

c)Ta có: 30 10

10 =1000 2100=102410⇒1030 <2100(1)

Lại có 100 31 63 31

2 =2 2 =2 512 64và 1031=2 531 28 3=2 625 12531

Nên 100 31 ( )

2 <10

Từ (1) (2) suy số 100

2 viết hệ thập phân có 31 chữ số

Bài

a)Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm A C, ⇒AC=AD CD+ = + =4 7cm b)Chứng minh tia BD nằm hai tia BA BC, nên ta có:

      0

ABC=ABD+DBC⇒DBC=ABC ABD− =55 −30 =25 a)Xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: Tia Bz BDnằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BA nằm tia Bz, BD

Tính được:   0

ABz=90 −ABD=90 −30 =60

- Trường hợp 2: Tia Bz, BDnằm cùn nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BD nằm

giữa hai tia Bz, BA

Tính được:   0

ABz=90 +ABD=90 +30 =120

x

y z'

z

B

A

C D

(41)

Bài

a)Ta có: abbc=ab.ac.7 (1)

( )

100ab bc 7.ab.ac ab 7ac 100 bc

⇔ + = ⇔ − =

bc bc

7.ac 100 Do 10 7.ac 100 10 ab ab

⇔ − = < < ⇒ < − < 100 110

100 7.ac 110 14 ac 16 ac 15 7

⇔ < < ⇔ < < < < ⇒ =

Thay vào (1) được: 1bb5 1b.15.7= ⇔1005 110b 1050 105b+ = + ⇒ =b Vậy a=1, b=9, c=5

b)Vì 2012, 92 bội nên 2015

2012 9294cũng bội

( )

2015

2012 4m(m *);92 4n n *

⇒ = ∈ = ∈

Khi 20122015 9294 4m 4n ( ) ( )

7 −3 =7 −3 = − =0

A có tận nên chia hết cho 10 nên 1( 20122015 9294)

A

= − 

TRƯỜNG THCS LÝ NHÂN

TP BUÔN MÊ THUỘC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 2018-2019 MƠN TỐN

Câu (1,5 điểm) Thực phép tính

3 3

3

24.47 23 7 11 1001 13

a)A

9 9

24 47 23 9

1001 13 11

+ − + −

− =

+ − − + − +

2 2012

2014

1 2

b)M

2

+ + + + +

=

−

Câu (2,5 điểm)

a)Cho 2012

S= +5 + +5 + +5 + 5+ Chứng tỏ S chia hết cho 65

b)Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho 11 dư 6, chia cho dư chia cho 19 dư 11

c)Chứng tỏ: n

A=10 +18n 1− chia hết cho 27 (với nlà số tự nhiên)

a)Tìm x, ynguyên biết: 2x 3y 2( − +) (3y 2− )= −55 b)Chứng minh rằng:

( )2

2 2

1 1 1

4 +6 +8 + + 2n <4

Câu (2,5 điểm) Cho nửa mặt phẳng bờ ABchứa hai tia đối OA OB

a)Vẽ tia OC tạo với tia OA góc

a ,vẽ tia OD tạo với tia OC góc

( )0

a 10+ với tia OB góc (a+20)0 Tính a

b)Tính góc xOy, biết AOx=220và BOy=480

c)Gọi OE tia đối tia OD,tính số đo góc kề bù với góc xOD AOCbằng

a

Câu (1,5 điểm) Cho 2012 2011 2010 2009

A=10 +10 +10 +10 +8

a)Chứng minh Achia hết cho 24

(42)

b)Chứng minh Akhơng phải số phương

a)Đặt A B.C=

24.47 23 1105 B

24 47 23 48 −

= = + −

1 1

3

1

7 11 1001 13

C

1 1

9

1001 13 11

 + − + − 

 

 

= =

 − + − + 

 

 

1105 A

144 ⇒ =

b)Đặt 2012 2013

A= + +1 2 +2 + 2+ ⇒ =A −1

Đặt 2014 ( 2013 )

B=2 − =2 2 −1 M ⇒ =

Câu

2 2012

a)S= + + +5 5 5+

( 4) 2009 2010 2011 2012

5 5 5 5 = + + + + + + + +

( 4) 2009( 4)

5 5 5 5 = + + + + + + + +

Vì ( 4)

5 5+ + +5 =780 65

Vậy S chia hết cho 65

b) Goi số cần tìm a ta có: (a−6 11; a 4; a 11 19) ( − ) ( − )

(a− +6 33 11; a 28 4; a 11 38 19) ( − + ) ( − + ) ⇒(a+27 11, a) ( +27 4, a) ( +27 19) Do a số tự nhiên nhỏ nên a 27+ nhỏ suy ra:

( )

a+27=BCNN 4,11,19 ⇒ =a 809

n n

n so9 n so1

c)A=10 +18n 10− = − −1 9n+27n=999 9n− +27=9 11 11 n − +27n

 

 

Ta biết số n số có tổng chữ số n có số dư chia cho

n

111 n 9−  nên

n so1

9 11111 n − 

  nên n

9 111 n −  27

  Vậy A 27

Câu a)

( ) ( ) ( )( ) 55

2x 3y 3y 55 3y 2x 55 2x (1)

3y −

− + − = − ⇒ − + = − ⇒ + =

− Để xnguyên 3y 2− ∈U(55)= ± ±{ 1; 11; 55; 5± ± }

7 )3y y x 28 )3y 3y y (ktm)

3 + − = ⇒ = ⇒ = + − = ⇒ = ⇒ =

13

)3y 11 y (ktm) )3y 55 y 19 x

+ − = ⇒ = + − = ⇒ = ⇒ = −

(43)

1

)3y y (ktm) )3y 11 y x

+ − = − ⇒ = + − = − ⇒ = − ⇒ = 53

)3y 55 y (ktm)

− + − = − ⇒ =

Vậy ta có cặp số x y, nguyên thỏa mãn là:

( ) (x, y ={ 28;1 ;) (−1;19 ; 5; ; 2; 3) ( − ) ( − )} b)Ta có:

c)

( )2

2 2

1 1 A

4 2n = + + + +

( ) ( ) ( )2 2 ( )2

1 1 A

2.2 2.3 2.4 2.n = + + + +

( )

2 2

1 1 1 1 1 A

4 n 1.2 2.3 n n

 

=  + + + + <  + + +  −

   

1 1 1 1 A

4 2 n n

 

<  − + − + + −  −

 

1 1

A (dfcm) n

  <  − <

 

Câu

Học sinh tự vẽ hình

a)Do OC, ODnằm nửa mặt phẳng bờ AB  COD>COA(a 10+ >a)nên tia

OC nằm hai tia OA OD

    0 ( ) (0 )0 0 0 0 0

AOC COD DOB AOB a a 10 a 20 180 3a 30 180 a 50 ⇒ + + = ⇒ + + + + = ⇒ + = ⇒ =

b)Ta có:   0 

AOy 180= −BOy 180= −48 =132 ⇒AOx=22 Nên tia Ox nằm hai tia OA Oy

    

AOx xOy AOy 22 xOy 132 xOy 110

⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

c)Vì tia OC nằm hai tia OA, OD nên:

    ( )0 0 0

AOC COD+ =AOD⇒AOD=a + +a 10 =2a 10+ =2.50 +10 =110

Vì  ( 0)

AOx<AOD 22 <110 nên tia Ox nằm hai tia OA, OD

     0

AOx xOD AOD 22 xOD 110 xOD 110 22 88

⇒ + = ⇒ + = ⇒ = − =

Vậy số đo góc kề bù với góc xODcó số đo là: 1800−880 =920

Câu

a)Ta có:

( ) ( )

3 2009 2008 2007 2006 2009 2008 2007 2006

A=10 10 +10 +10 +10 + =8 8.125 10 +10 +10 +10 +8

( 2009 2008 2007 2006) ( )

8 125 10 10 10 10 1

=  + + + + 

Ta lại có số: 2012 2011 2010 2009

10 ;10 ;10 ;10 có tổng chữ số 1, nên số

2012 2011 2010 2009

10 ;10 ;10 ;10 chia cho có số dư 1, chia dư Vậy Achia hết cho (2)

Và ( )3,8 =1 (3) Từ ( ) ( ) ( )1 , , ⇒  A 24

(44)

b)Ta có số 2012 2011 2010 2009

10 ;10 ;10 ;10 có chữ số tận ùng nên

2012 2011 2010 2009

A=10 +10 +10 +10 +8có chữ số tận

Vậy A khơng phải số phương số phương số có tận

0;1; 4;5; 6;9

QUỲNH LƯU ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN NĂM 2018-2019 Mơn Tốn lớp

a)Tính nhanh: 16+(27 7.6− ) (− 94.7 27.99− )

b)Tính tổng: A 2

1.4 4.7 7.10 97.100 = + + + +

Cho biểu thức : 80

M= +5 + +5 5+ Chứng tỏ rằng:

a)M chia hết cho

b)Mkhông phải số phương

a)Chứng tỏ rằng: 2n 5(n ) n

+ ∈

+  phân số tối giản

b)Tìm giá trị nguyên n để phân số B 2n n

+ =

+ có giá trị số nguyên

Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia số cho dư 1, chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho dư chia hết cho 11

Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ tia Oy, Oz, Otsao cho

  

xOy=30 , xOz=70 , xOt=110 a)Tính  yOz, zOt

b)Trong tia Oy, Oz, Ottia nằm hai tia cịn lại ? Vì ?

c)Chứng minh: Oz tia phân giác yOt

Câu (1 điểm) Chứng minh rằng: 12 12 12 12 +3 +4 + +100 <

( ) ( )

a)16+ 27 7.6− − 94.7 27.99− =16 27 7.6 94.7 27.99+ − − +

16 27 27.99 7.6 94.7 16 27.100 7.100

= + + − − = + −

( )

16 100 27 16 100.20 2000 16 2016

= + − = + = + =

2 2 b)A

1.4 4.7 7.10 97.100 = + + + +

2 1 1 1 1 1 33

3 4 7 10 97 100 100 50

   

=  − + − + − + + − =  − =

   

(45)

Câu

( ) ( ) ( )

2 80 79 80

a)M= +5 + +5 5+ = 5+ + +5 + + +5

( 2) ( 2) 78 ( 2) ( 78)

5 5 5 5 30 30 = + + + + + + = + + + 

b) Ta thấy : 80

M= +5 + +5 5+ chia hết cho (1)

Mặt khác, 80

5 + +5 5+ chia hết cho

5

2 80

M 5

⇒ = + + + + không chia hết cho 25 (2)

Từ (1) (2) suy Mkhơng số phương

Câu

a)Gọi d ước chung n 3+ 2n 5+ với d ∈

n d

⇒ +  2n d+ 

( ) ( ) ( )

2 n 2n d d d UC n 3, 2n

⇒ + − +  ⇔  ⇒ = ⇒ + + =

( )

2n UCLN(n 3, 2n 5) n

n + ⇒ + + = ⇒ ∈

+  phân số tối giản

b)Ta có: 2n n( 3)

n n n

+ −

+ = = −

+ + +

Để Bcó giá trị ngun

n+3ngun ⇒1 n 3( + ⇒ + ∈) n U(1)= ± ⇒ ∈ − −{ }1 n { 4; 2}

Câu

Goi số phải tìm x

Theo ta có: x+2chia hết cho 3, 4, 5, 6⇒ +x 2là bội chung 3, 4, 5,

Mà BCNN(3, 4, 5, 6)=60⇒ + =x 60n

Do z=60n−2 n( =1; 2;3; )

Mặt khác x 11 nên cho n=1; 2;3; Ta thấy n 7= ⇒ =x 418 11 Vậy số nhỏ phải tìm 418

Câu

a)  ( 0)

xOy<xOz 30 <70 ⇒Tia Oy nằm hai tia Ox Oz, ⇒yOz=700−300 =400

 ( 0)

xOz<xOt 70 <110 ⇒Oznằm hai tia Ox Ot, ⇒zOt =1100−700 =400

30

O x

y z

t

(46)

b)  ( 0)

xOy<xOt 30 <110 ⇒Tia Oy nằm hai tia Ox, Ot⇒yOt=1100−300 =800

Theo trên,   ( 0)

yOz=40 ⇒yOz<yOt 40 <80 ⇒Oznằm hai tia Oy Ot,

c)Theo trên, tia Oz nằm hai tia Oy, Otvà yOz=40 , zOt0  =400 ⇒Ozlà tia phân giác 

yOt

Câu

Ta có:

2 2

1 1 1 1

2 +3 +4 + +100 <1.2+2.3+ +99.100= 1 1 1

1 2 99 100 100 = − + − + + − = − <

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH ĐỒNG THÁP KIỂM TRA KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI Năm học 2018-2019 Mơn Tốn

Câu (4,0 điểm) Thực phép tính: ( 2 2) ( )9 2 ( )2 14 4

28 18 29 18

5 2 3

1)A

5.2 7.2 − =

−

12 12 12 5

12

158158158

7 289 85 13 169 91

2)B 81 :

4 4 6 711711711

4

7 289 85 13 169 91

 − − − + + + 

 

=  

 − − − + + + 

 

Câu (4,0 điểm)

1)So sánh Pvà Q

Biết : P 2010 2011 2012

2011 2012 2013

= + + Q 2010 2011 2012 2011 2012 2013

+ + =

+ +

2)Tìm hai số tự nhiên a, b biết: BCNN(a, b)=420; UCLN(a, b)=21và a 21 b+ =

Câu (4,0 điểm)

1)Chứng minh rằng: Nếu 7x 4y 37+  13x 18y 37+ 

2)Cho

2 2012

1 3 3 A

2 2 2         = + +  +  +  + + 

       

2013

3

B : 2

  =   

Tính B A−

Câu (6,0 điểm)

Cho xAy, tia Axlấy điểm B cho AB 6cm.= Trên tia đối tia Axlấy điểm D

cho AD 4cm= 1)Tính BD

2)Lấy C điểm tiaAy Biết BCD=80 , BCA0  =45 Tính ACD 3)Biết AK=2cm K( ∈BD) Tính BK

Câu (2,0 điểm)

1)Tìm số tự nhiên x, ysao cho: x

9− =y 18

(47)

2)Tìm số tự nhiên nđể phân số B 10n 4n 10 − =

− đạt GTLN Tìm giá trị lớn

( 2 2) ( )9 2 ( )2 14 4

18 12 28 14

28 18 29 18 28 18 29 18

5 2 3 5.2.3 2 2.2 3

a)A

5.2 7.2 5.2 7.2

− − = = − − ( ) ( ) 29 18

30 18 29 18

28 18 28 18

2 5.2

5.2 3 2.9

2

2 (5 7.2) 14

− −

= = = = −

− − −

1 1 1

12

158.1001001

7 289 85 13 169 91

b)B 81 :

1 1 1 711.1001001

4

7 289 85 13 169 91

  − − −   + + +             =      − − − + + +            

12 158 18 324 81 : 81

4 711  

=   = =  

Câu

a)Ta có:

2010 2011 2012 2010 2011 2012 Q

2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 + +

= = + +

+ + + + + + + +

Lần lượt so sánh phân số P Q với tử : 2011, 2010, 2012 ta thấy

P>Q

b)Vì UCLN(a, b) 21 a 21m, m, n( )

b 21n

= 

= ⇒ = =



Vì BCNN(a, b)=420⇒BCNN(21m, 21n)=420=21.20⇒BCNN(m, n)=20

Vì a 21 b+ = ⇒21m 21+ =21n⇒ + =m n(*) Trong trường hợp cần xét có m 4, n

m 2, n

= =



 = =

 thỏa (*)

Vậy với m 4, n

m 2, n

= =



 = =



a 21.4 84

b 21.5 105

= =  ⇒  = =  Câu a)Ta có ( ) ( ) ( )

5 13x 18y+ −4 7x+4y =65x 90y 28x 16y+ − − =37x+74y=37 x+2y 37 Hay 13x 18y( + ) (−4 7x+4y 37(*))

Vì 7x 4y 37+  mà (4, 37)= ⇒1 7x( +4y 37)

Do đó, từ (*) suy ra: 13x 18y 37( + ) mà (5, 37)=1nên:13x 18y 37+  b)Ta có:

2 2012

1 3 3

A (1) 2 2 2

        = + +  +  +  + +         

( )

2 2012 2013

3 3 3 3

A

2 2 2           ⇒ = +  +  +  + +  +           

Lấy (2) – (1) ta được:

(48)

2013 2013

2012

3 3 3

A A A

2 2 2  

− =  + − − ⇒ = +  

Vậy B A 320132014 320132012

2 2

− = − +

Câu

a)Vì B thuộc tia Ax D, thuộc tia đối tia Ax ⇒Anằm D B, BD BA AD 10(cm)

⇒ = + = + =

a) Vì A nằm D B nên tia CA nằm hai tia CB, CD

  

ACD ACB BCD

⇒ + =    0

ACD BCD ACB 80 45 35

⇒ = − = − =

b)Trường hợp 1: K thuộc tia đối tia Ax

Lập luận K nằm A B

Suy AK+KB=AB⇒KB=AB AK− = − =6 4(cm)

Trường hợp 2: K thuộc tia Ax

-Lập luận A nằm Kvà B

Suy : KB KA AB 8cm= + = + =

Vậy KB=4cm KB=8cm

Câu

a)Từ x x 2x (2x y) 54 1.54 2.27 3.18 6.9

9 y 18 18 y 18 y

−

− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ − = = = = =

Vì xlà số tự nhiên nên 2x 1− ước số lẻ 54

x y

C

D A B

D A K B x

D K A B x

(49)

2x 1− 27

x 14

y 54 18

Vậy ( ) (x; y = 1;54 ; 2;18 ; 5; ; 14; 2) ( ) ( ) ( ) b)B 10n 2, 22

4n 10 4n 10 −

= = + − −

Vì n ∈ nên B 2, 22 4n 10 = +

− đạt GTLN

22

4n 10− đạt GTLN

Mà 22

4n 10− đạt GTLN 4n 10− số nguyên dương nhỏ 11

*)4n 10 n (ktm) − = ⇒ = *)4n 10− = ⇒ =2 n

Vậy GTLN B 13,5 n 3=

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TƯ NGHĨA

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2018-2019

Mơn thi:Tốn

Câu (3,0 điểm) Cho A 12n 2n

+ =

+ Tìm giá trị nđể:

a)A phân số b)A số nguyên

Câu (4,0 điểm)

a)Không quy đồng tính tổng sau:

1 1 1 A

20 30 42 56 72 90 − − − − − − = + + + + +

b)So sánh Pvà Q biết: 2010 2011 2012 P

2011 2012 2013

= + + Q 2010 2011 2012 2011 2012 2013

+ + =

+ +

Câu (3,0 điểm) Tìm x,biết:

( )3

a) 7x 11− =2 +200

b)3 x 16 13, 25 + 4= −

Câu (3,0 điểm) Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I 3

7số cịn lại Cuối năm có thêm

4 học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi

3số cịn lại Tính số học sinh lớp 6A

Câu (2,0 điểm) Cho ababablà số có chữ số, chứng tỏ số ababablà bội

Câu (5,0 điểm) Cho xAy,trên tia Axlấy điểm B cho AB 5cm.= Trên tia đối tia

Axlấy điểm D cho AD=3cm, C điểm tia Ay

a)Tính BD

b)Biết  

BCD=85 , BCA=50 Tính ACD

(50)

c)Biết AK=1cm K( ∈BD ) Tính BK

ĐÁP ÁN Câu a) A 12n

2n + =

+ phân số

n

12n , 2n , 2n

n 1,

∈ 

+ ∈ + ∈ + ≠ ⇔ 

≠ − 



 

b) A 12n 17 2n 2n

+ = = −

+ +

Alà số nguyên 2n 3+ ∈U(17)⇔2n 3+ ∈ ± ±{ 1; 17}⇔ ∈ −n { 10; 2; 1; 7− − }

Câu

1 1 1 1 1 1 a)A

20 30 42 56 72 90 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 − − − − − −   = + + + + + = − + + + + + 

 

1 1 1 1 1

4 5 6 10 10 20

   

= − − + − + − + + − = − − = −

   

2010 2011 2012 2010 2011 2012 b)Q

2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 + +

= = + +

+ + + + + + + +

Ta có: 2010 2010

2011 2012 2013+ + < 2011

2011 2011 2012 2012 ;

2011 2012 2013+ + < 2012 2011 2012 2013+ + < 2013 P Q

⇒ >

Câu

( )3 5 2 ( )3

a) 7x 11− =2 +200⇒ 7x 11− =800+200

( )3

7x 11 1000 10 7x 11 10 x ⇒ − = = ⇒ − = ⇒ =

1 10 67 53 b)3 x 16 13, 25 x

3 4 − + = − ⇒ + = 10 53 67

x 30 x 4

−

⇒ = − = − ⇒ = −

Câu

Số học sinh giỏi kỳ I

10số học sinh lớp

Số học sinh giỏi cuối năm

5số học sinh lớp

4 học sinh :

5−10 =10(số học sinh lớp)

Số học sinh 6A : : 40

10= (học sinh)

Câu

ababab=ab.10101 3 ⇒ababablà bội

Câu

(51)

a)Vì B∈Ax, D∈tia đối tia Ax⇒Anằm D B, BD BA AD 8cm⇒ = + = + =

b) Vì A nằm D B, nên tia CA nằm hai tia CB, CD

      0

⇒ + = ⇒ = − = − =

c)*Trường hợp 1: K thuộc tia Ax

Chứng minh K nằm A B

AK KB AB KB AB AK 4(cm) ⇒ + = ⇒ = − = − =

*Trường hợp 2: Kthuộc tia đối tia Ax

-Lập luận A nằm K B

Suy : KB KA AB= + ⇒KB= + =5 6cm

Vậy KB 4cm= KB 6cm=

UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GD VÀ ĐT

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THCS Mơn: Tốn

Năm học 2017-2018

Bài (4,0 điểm) Thực phép tính:

a)A=1.2.3 1.2.3 1.2.3 8.8− −

( 16)2

13 11

3.4.2 b)B

11.2 16

=

−

131313 131313 131313 c)C 70

565656 727272 909090

 

=  + + 

 

y C

D A B

x B

D A K

x B

D K A

(52)

d) Thực phép tính:B 1 4.9 9.14 14.19 64.69 = + + + +

Bài (4,0 điểm) Tìm xbiết:

a) 2x

2− + =3

( )

b) 3x−54 : 4 =18

( ) (5 )3

c) 2x 15− = 2x 15−

( ) ( ) ( )

d)x+ x 1+ + x+ +2 + x+2013 =2035147

Bài (4,0 điểm)

a)Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết số chia cho 3, cho 4, cho 5, cho dư 2, cịn chia cho dư

b)Tìm x, ynguyên biết: x+ +y xy=40

c)Khi chia số tự nhiên a cho ta số dư chia a ta số dư Tìm số dư phép chia a cho 36

Bài (6,0 điểm) Cho 

xBy=55 Trên tia Bx, Bylần lượt lấy điểm A, Csao cho A≠B, C≠B.Trên đoạn thẳng AC lấy điểm Dsao cho ABD=300

a)Tính độ dài AC , biết AD=4cm, CD=3cm

b)Tính số đo DBC

c)Từ Bvẽ tia Bzsao cho DBz=900 Tính số đo ABz

Bài (2,0 điểm)

Cho tổng T 21 32 43 20162015 20172016 2 2 = + + + + +

So sánh Tvới

( )

a)A=1.2.3 1.2.3 1.2.3 8.8 1.2.3 8− − = − − =0

( ) ( )

( )

2

16 16 36 36 36

13 11 13 22 36 35 36 35 35

3.4.2 3.2 9.2 9.2 9.2

b)B

11.2 16 11.2 2 11.2 2 11 2

= = = = = =

− − − −

131313 131313 131313 13 13 13 c)C 70 70

565656 727272 909090 56 72 90

   

=  + + =  + + 

   

1 1 1 70.13 70.13 39

7.8 8.9 9.10 10     =  + + =  − =

    1 1

d)B

4.9 9.14 14.19 64.69 = + + + +

1 1 1 1 1 1 13

5 9 14 14 19 64 69 69 276

   

=  − + − + − + − =  − =

   

Bài

1 2 10 a) 2x 2x 2x

2− + = ⇒ −3 = − ⇒ −3 =

(53)

1 10 17 17

2x 2x x

2 12

1 10 23 23

2x 2x x

2 12

− −

 − = ⇒ = ⇒ =

 ⇒ 

 − = − ⇒ = ⇒ = 

( ) ( )

b) 3x−54 : 4 =18⇒ 3x−54 8=72⇒3x−54= ⇒9 3x=63⇒ =x 21

( ) (5 )3 ( ) (5 )3 ( ) (3 )2

c) 2x 15− = 2x 15− ⇒ 2x 15− − 2x 15− = ⇒0 2x 15 2x 15−  − − =1

( )

( ) ( )

3

2 2

2x 15 2x 15 x 7,

2x 15 x

2x 15 2x 15

2x 15 x

 − = ⇒ − = ⇒ =



⇒  − = ⇒ =

− − = ⇒ − = ⇒

  − = − ⇒ =

 

Vậy x∈{7; 7, 5;8}

( ) ( ) ( ) ( )

d)x+ x 1+ + x+ +2 + x+2013 =2035147⇒2014x+ + + +1 2013+ =2035147

2014x 2027091 2035147 2014x 8056 x

⇒ + = ⇒ = ⇒ =

Bài

a)Gọi a số tự nhiên cần tìm

Vì a chia cho 3,4,5,6 dư nên a 2− chia hết cho 3,4 ,5,6 (a 2) BC 3; 4;5; 6( )

⇒ − ∈ , BCNN(3, 4, 5, 6)=60

{ } { }

a 0; 60;120;180 a 2; 62;122;182;

⇒ − ∈ ⇒ ∈

Mà a số nhỏ chia cho dư a 122⇒ =

( ) ( )( )

b)x+ +y xy=40⇒ y x+ + + =y 41⇒ x y 1+ + =41 Mà x, ynguyên nên x 1, y 1+ + ước 41

Tính ( ) (x, y ∈{ 40, ; 0; 40 ;) ( ) (− −2; 42 ;) (−42; 2− )} c) Theo đề ta có: a=4p 3+ =9q+3(p, q∈)

( )

a 13 4p 13 p (1)

⇒ + = + + = +

( ) ( )

a 13+ =9q 13+ + =9 q+2

Từ (1) (2) ta nhận thấy a 13+ bội mà ( )4, = ⇒ +1 a 13là bội 4.9 36= Ta có a 13+ =36k k( ∈)⇒ =a 36k 13− =36 k 1( − +) 23

Vậy a chia cho 36 dư 23

Bài

C

B

D

A x y

z

(54)

a)Vì D thuộc đoạn AC nên Dnằm A C

AC AD CD 7(cm) AC 7cm ⇒ = + = + = ⇒ =

b)Chứng minh tia BD nằm hai tia BA, BC

Ta có đẳng thức :   ABC=ABD+DBC

   0

DBC ABC ABD 55 30 25

⇒ = − = − =

c)Xét hai trường hợp (học sinh vẽ hình trường hợp)

- Trường hơp 1:Tia Bz BA nằm nửa mặt phẳng có bờ BD

Lập luận tia BA nằm hai tia Bz BD

Tính được:    0

ABz=DBz−ABD=90 −30 =60

- Trường hợp 2: Tia Bzvà BA nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ BD

Lập luận tia BD nằm hai tia Bz BA

Tính được:    0

ABz=DBz+ABD=90 +30 =120

Bài

1 2015 2016

2 2016 2017 T

2 2 2 = + + + + +

1 2014 2015

3 2016 2017 2T

2 2 = + + + + +

1 2 2014 2014 2015 2015 2016

3 2016 2015 2017 2016 2017 2T T

2 2 2 2 2 − = + − + − + + − + − −

1 2015 2016

1 1 2017 T

2 2 = + + + + −

1 2015 2014

1 1 1 N 2N

2 2 2 = + + + ⇒ = + + + +

2015

1

2N N N

− = − ⇒ <

Nên T 20172016 20172016 T 2

< + − = − ⇒ <

KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TOÁN NĂM HỌC 2019-2020

Câu

a)Tính giá trị biểu thức: 2010( 10 2010 2010)

2010 : −3.2 −2 :

b)So sánh hai số: 210

3 2350

Câu

Cho tổng S 2009 2011= + + + + + a)Tính S

b)Chứng tỏ S số phương c)Tìm ước nguyên tố khác S

Câu

a)Tìm giá trị nlà số tự nhiên để n 7+ chia hết cho n+2

b)Tìm xlà số chia phép chia 235 cho xđược số dư 14

Câu

(55)

a)Tìm số tự nhiên xcó ba chữ số cho xchia cho 7;8;9đều dư

b)Cho nlà số tự nhiên

Chứng minh (n+3)và (2n 5+ )là hai số nguyên tố

Câu

Trong mặt phẳng cho điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng a)Vẽ đoạn thẳng qua điểm cho

b)Vẽ tam giác có đỉnh điểm cho

( ) ( )

2010 10 2010 2010 2010

a)2010 : −3.2 −2 : =2010 49 3.16 1− − =0

( )70 ( )70

210 3.70 70 350 5.70 70

b)3 =3 = =27 ; =2 = =32

Vì 70 70

27 <32 nên suy 3210<2350

Câu

2

2011 2011

a)S 2009 2011 1006 1012036 2

+ −    

= + + + + + =   + = =    

b) 2

S=2 503 =1006 số phương

c) S có hai ước nguyên tố là: 2và 503

Câu

( ) ( ) ( ) ( ) { } { }

a) x+7  x+2 ⇔5 x +2 ⇔ x+ ∈2 U(5)= ± ± ⇒ ∈ − − −1; x 3; 1; 7;3

b)235 : xdư 14⇒235 14 x x−  ( >14)⇒221 x x ( >14)⇒ ∈x {17; 221}

Câu

a)Tìm x :

xchia cho 7;8;9dư xcó ba chữ số ⇒(x− 2 7;8;9) xcó ba chữ số

( )

x BC 7;8;9

⇒ − ∈ xcó ba chữ số ⇒ =x 504 2+ =506

b)Gọi d=(n 3, 2n 5+ + )

( )

n d; 2n d n d, 2n d

⇒ +  +  ⇒ +  + 

(2n 6) (2n d) d d

⇒ + − +  ⇒  ⇒ =

Vậy n 3+ 2n 5+ hai số nguyên tố

Câu

a)Số đoạn thẳng vẽ là: ( )6.5 : 15= (đoạn thẳng) b)Số tam giác vẽ là: (15.4 : 3) =20(tam giác)

(56)

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

DUY XUYÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2019-2020 Mơn Tốn

Câu

a)Tìm số tự nhiên x, ysao cho (2x y 5+ )( − =) 12 b)Tìm số tự nhiên nsao cho 4n 5− chia hết cho 2n 1−

c)Tìm tất số B=62xy427, biết B chia hết cho 99

Câu Tìmx

x 2x 2x 2

a)5 =125 b)3 =81 c)5 − −2.5 =5

Câu

a)Chứng tỏ rằng: 12n

30n +

+ phân số tối giản

b)Chứng minh rằng: 12 12 12 +3 + +100 <

Câu

So sánh phân số:

23 23232323 2323 232323 ; ; ;

99 99999999 9999 999999

Câu

Hai lớp 6A, 6Bcùng thu nhặt số giấy vụn Lớp 6A có bạn thu

được 24kg lại bạn thu 11kg;Lớp 6B có bạn thu 23kgcịn lại bạn

thu 10kg.Tính số học sinh lớp biết số giấy lớp thu khoảng 200kg

đến 300kg

a)Ta có: 2x 1; y 5+ − ∈U(12)=1.12=2.5=3.4

Do 2x 1+ lẻ 2x 1 x 0; y 17

2x x 1; y

+ = ⇒ = =



⇒  + = ⇒ = =



Vậy ( ) (x; y = 0,17 ; 1, 9) ( ) b)Ta có: 4n 5− =2 2n 1( − −)

Để 4n 2n 1−  − ⇒3 2n 1 − ⇒(2n 1− ∈) U(3)={ }1;3 ⇒ ∈n { }1; a)Ta có 99 9.11=

B 99 ⇒B 11; B 9 

( ) ( ) x y

B x y 21 x y

x y 15

+ = 

⇒ + + + + + + ⇔ + + ⇒ 

+ = 

  

( ) ( )

B 11 ⇒ x+ + + − − −6 2 y 11 ⇔ 13 x+ −y 11

x− =y 9(ktm) vs y− =x

y x 2; x y x 2; y y x 2; x y 15(ktm)

− = + = ⇒ = = − = + =

Vậy B 6224427=

Câu

(57)

x

a)5 =125=5 ⇒ =x

2x

b)3 =81 3= ⇒2x= ⇒ =4 x

2x 2 2x 2

c)5 − −2.5 =5 3⇔5 − =5 2+ =5

2x 3 2x x

⇒ − = ⇒ = ⇒ =

Câu

a)Gọi d ước chung 12n 1;30n+ +2ta có:

( ) ( )

5 12n 1+ −2 30n+2 =1 d ⇒ =d 1nên 12n 1;30n+ +2nguyên tố

Do 12n

30n +

b)Ta có:

2 2

1 1 1 1 1 1

2 +3 + +100 <1.2+2.3+ +99.100= − + − +2 +99−100

2 2

1 1 99 1 100 100 100 ⇒ + + + < − = <

Câu

23 23.101 2323 23 23.10101 232323 ;

99=99.101=9999 99= 99.10101=999999

23 23.1010101 23232323 23 2323 232323 23232323 99=99.1010101=99999999⇒99=9999 =999999=99999999

Câu

Gọi số giấy lớp thu x(kg)thì (x−24 11; x) ( −23 10) (x 13 10,11)

⇒ − 

Do (x 13− )∈BC 10;11( ) {= 0;110; 220;330; }

Mà số kg giấy nằm khoảng 200 đến 300 ⇒ − =x 13 220⇒ =x 233 Số học sinh lớp 6A: (233 24 :11 1− ) + =20(học sinh)

Số học sinh lớp 6B : 233 23 :10 1( − ) + =22học sinh

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM THAO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn Tốn Năm học 2018-2019

I PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu Có số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng chục lớn chữ số hàng

đơn vị

A 30 B.40 C 45 D 55

Câu Tổng hai số tự nhiên 102 Nếu thêm chữ số vào bên phải số bé cộng với

số lớn ta tổng 417 Khi số lớn là:

A 43 B 54 C 60 D 67

Câu Kết phép tính 99 100− + − + − + + − là:

A 50 B 50− C 100− D

Câu Tập hợp số nguyên nđể (n 3+ ) ( n 1+ )là

A {0;1; 2; 3− − } B { }0;1 C {− −2; 3} D {± ±1; 2}

Câu Cho ô liên tiếp sau

(58)

13

− a −27

Biết tổng ba ô ln Khi giá trị a :

A −13 B 27− C 13 D 27

Câu Cho A 7.31 7.41 10.41 10.57

= + + + B 11 19.31 19.43 23.43 23.57 = + + +

Tỷ số A

Blà:

A

4 B

2 C

2 D 11

4

Câu Trung bình cộng tử số mẫu số phân số 68 Cộng thêm vào tử số

của phân số đơn vị ta phân số phân số

2 Phân số lúc đầu là:

A 84

52 B 76

60 C 75

61 D 80 56

Câu Trên đường thẳng a lấy ba điểm M, N, Psao cho MN=2cm, NP=5cm.Khi độ dài

đoạn thẳng MPbằng:

A 3cm B 7cm C 3cm 7cm D 3, 5cm

Câu Cho 100 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm vẽ

đường thẳng Số đường thẳng vẽ là:

A 200 B 4950 C 5680 D 9900

Câu 10 Cho 

xOy=80 ,tia Oz nằm hai tia Ox, Oy cho xOz=300 Số đo yOzlà

A

50 B 1100 C 500hoặc 1100 D 80

Câu 11 Cho 

xOy=80 ,Oz tia phân giác góc xOy, Ot tia phân giác xOz Số đo yOtlà:

A

20 B 400 C 500 D 600

Câu 12 Có miếng bánh chưng cần ráng vàng hai mặt Thời gian ráng mặt cần

phút Nếu dùng chảo lần ráng nhiều miếng cần thời gian để ráng xong miếng bánh chưng

A phút B 12 phút C 18 phút D 27 phút

II PHẦN TỰ LUẬN Câu (4 điểm)

a)Cho biết a 4b+ chia hết cho 13 (a, b∈  Chứng minh 10 b 13) +  b)Tìm số nguyên tố ab a( > >b 0)sao cho ab ba− số phương

a)Cho M= − + − + − + −( a b) (b c a) (c a ) Trong b, c∈cịn a số nguyên âm Chứng

minh biểu thức M ln dương

b)Tìm tất cặp số ngun cho tổng chúng tích chúng

Câu (4 điểm) Cho đoạn thẳngAB ; điểm O thuộc tia đối tia AB, Gọi M N, thứ tự

là trung điểm OA, OB

a)Chứng tỏ OA OB<

b)Trong ba điểm O, M, Nđiểm nằm hai điểm lại

(59)

c)Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB)

Tính giá trị biểu thức sau:

1 2017 1 1 B 2017 :

4 2020 20 25 30 35 10100

   

= − − − − − −   + + + + + 

   

ĐÁP ÁN I.trắc nghiệm

1C 2D 3B 4A 5B 6C 7D 8C 9B 10A 11D 12A

II tự luận Câu

a)4b 13 ⇒10a+40b 13 ⇔10a+ +b 39b 13 Do 39b 13 ⇒10a+b 13

{ }

b)ab∈ 43; 73

Câu

a) M= −amà a số nguyên âm nên M dương b)x=0, y=0hoặc x=2, y=2

Câu

a)Lập luận chứng tỏ OA OB<

b)Lập luận chứng tỏ OM ON< nên M nằm hai điểm O N

c)MN AB

2

= Vì AB có độ dài khơng đổi nên MN có độ dài khơng đổi

Câu B 15=

(60)

THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC LỚP NĂM HỌC 2017-2018

Câu (6,0 điểm)

a) Tính tổng : S 27.4500 135.550.2 18

+ =

+ + + +

b) Chứng minh rằng: 28

10 +8chia hết cho 72

c) Khi chia số tự nhiên a cho ta số dư Còn chia a cho ta số dư Hãy tìm số dư phép chia a cho 36

Câu (4,0 điểm)

1) Tìm số tự nhiên x, ysao cho : 7x+12y =50

2) Tìm tất số tự nhiên nđể phân số 18n 21n +

+ rút gọn

Câu (2,0 điểm)

Tìm số nguyên tố x, ysao cho: x2+45=y2

Câu (6,0 điểm)

Cho xOyvà yOzlà hai góc kề bù Om tia phân giác xOy; On tia phân giác 

yOz

a) Tính mOn

b) Kẻ tia Om' tia đối tia Om Nếu 

zOm '=30 m 'Oycó số đo độ

c) Vẽ đường thẳng d không qua O Trên đường thẳng d lấy 2015 điểm phân biệt Tính số góc có đỉnh O cạnh qua điểm đường thẳng d

Câu (2,0 điểm)

Tìm số tự nhiên a, bthỏa mãn điều kiện: 11 a 23

17 < <b 29và 8b 9a 31− =

(61)

a)Xét tử : 27.4500 135.550.2 270.450 270.550 27000+ = + =

Xét mẫu: ( )

co9sohang

2 18

2 18 90

2 +

+ + + + + = =



Suy S 270000 :90 3000= = b)Vì 28

10 +8có tổng chữ số nên chia hết (1028+  8) Lại có 28

10 +8có ba chữ số tận 008 chia hết (1028+  8) mà ( )8, =1nên 28

c)Đặt a=4q+ =3 9p 5+ (p, q thương hai phép chia)

( ) ( )

a 13 q p

⇒ + = + = +

a 13

⇒ + bội , mà ( )4, = ⇒ + ∈1 a 13 BC 36( )⇒ +a 13=36k k( ∈  *)

( )

a 36k 13 36 k 23

⇒ = − = − +

Vậy a chia 36dư 23

Câu

1.Ta có:

12 =144>50và y∈ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ∈ y y { }0;1

3

7 >50và x∈ ⇒ ≤ ≤ x

Với x x

y= ⇒1 +12 =50⇒7 =38(ktm)

Với x x

y= ⇒0 +12 =50⇒7 =49⇒ =x

Vậy x=2, y=0

2.Giả sử 18n 3+ 21n 7+ chia hết cho số nguyên tố d

( ) ( )

{ }

18n d, 21n d 21n 7 18n d 21 d d U(21) 3;

⇒ + + ⇒ + − + ⇒ ⇒ ∈ =

  



Mà 21n 7+ không chia hết d 3≠ Ta lại có 21n 7 18n 18n 21 7+  ⇒ +  ⇒ + − 

( )

18 n

⇒ −  mà (18, 7)= ⇒ −1 n 7 ⇒ =n 7k k+ ( ∈ )

Vậy để phân số 18n

21n +

+ rút gọn n=7k k+ ( ∈  )

Câu

(62)

2 2

x +45=y ⇒y >45,do ylà số nguyên tố lẻ

Suy xlà số nguyên tố chẵn nên x 2.= từ ta có:

2

y = +4 45=49⇒ =y

Câu

a) Om tia phân giác  2 

1 xOy O xOy

2

⇒ = ; On tia phân giác  3 

1 yOz O yOz

2 ⇒ =

   ( ) 0

2

1 180

mOn O O xOy yOz 90

2

⇒ = + = + = =

b)Om Om’ hai tia đối 

mOm ' 180

⇒ =

+)  m 'Oz<mOm '⇒Oznằm Om Om '⇒m 'Oz +zOm 180= (1)

Mặt khác  

xOm mOz+ =180 (2)

Từ (1) (2) ⇒m 'Oz =xOm

+)  

m 'Oy+yOm 180=

Mà  

yOm=xOm=30 (vì Om tia phân giác xOy)

4 3

2 1

z x

y

O m'

m n

(63)

  0

m 'Oy 180 yOm 180 30 150

⇒ = − = − =

c)Cứ điểm đường thẳng d nối với điểm O góc đỉnh O

⇒có đoạn thẳng đường thẳng d có nhiêu góc đỉnh O

⇒Số góc đỉnh O qua điểm đường thẳng d là:

2015.2014

4058210

2 = (góc) Vậy có 4058210 góc

Câu

( )

31 9a 32 8a a

8b 9a 31 b a 8

+ − + +

− = ⇒ = = ∈ ⇒ − 

( )

a 8q q

⇒ = + ∈ 

( )

31 8q 11 8q 23

b 9q

8 17 9q 29

+ + +

= = + ⇒ < <

+

( ) ( )

11 9q 5+ <17 8q 1+ ⇒37q>38⇒ >q

( ) ( ) { }

29 8q 1+ <23 9q 5+ ⇒25q<86⇒ < ⇒ ∈q q 2;3

a 17 a 25 q q

b 23 b 32 = ⇒ = = ⇒ =

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2019-2020

Mơn: TỐN

101 100 99 98 a)A

101 100 99 98 423134.846267 423133

b)B

423133.846267 423134 + + + + + + + =

− + − + + − + −

=

+

a) Chứng minh rằng: 28

b) Cho 2001 2002 2003

A= + +1 2 +2 + 2+ +2 ; B=2

So sánh A B

c) Tìm số nguyên tố p để p+6; p 8; p 12; p 14+ + + số nguyên tố

(64)

Người ta chia số học sinh lớp 6A thành tổ, tổ em thừa em, cịn tổ 10 em thiếu em

Hỏi có tổ, học sinh

Cho ABC∆ có BC=5, 5cm.Điểm M thuộc tia đối tia CBsao cho CM 3cm=

a) Tính độ dài đoạn thẳng BM

b) Biết  

BAM=80 , BAC=60 Tính CAM

c) Tính độ dài đoạn thẳng BKthuộc đoạn BM biết CK 1cm=

Chứng minh rằng: 12 12 12 12 +3 +4 + +100 <

101.51 a)A 101

51 = =

423133.846267 846267 423133

b)

423133.846267 423134 + − =

+

Câu

a) Vì 28

10 +8có tổng chữ số chia hết tổng chia hết cho

Lại có 28

10 +8có chữ số tận 008 nên chia hết cho

Vậy 28

b) Có 2002 2003 2003

2A= +2 +2 + 2+ +2 ⇒2A− =A −1

A B A B

⇒ = − ⇒ <

c) Xét phép chia p cho ta thấy p có dạng sau

p=5k, p=5k 1, p+ =5k+2, p=5k+3, p=5k+4

+Nếu p=5kthì p nguyên tố nên k= ⇒ =1 p

+Nếu p=5k 1+ ⇒ +p 14=5 k 5( +  ) p>5nên hợp số (loại)

+Nếu p=5k+ ⇒ + =2 p k( +2 5, p) >5 nên hợp số (loại)

+Nếu p=5k 3+ ⇒ +p 12=5 k 5, p( + ) >5 nên hợp số (loại)

+nếu p=5k+ ⇒ + =4 p k( +2 5, p) >5 nên hợp số (loại)

(65)

Thử lại với p=5thỏa mãn

Câu Giả sử có thêm học sinh chia tổ 10 em cịn thừa em

khi chia tổ em Vậy cách chia sau cách chia trước học sinh Mỗi tổ 10 học sinh tổ học sinh là: 10 1− = (học sinh)

Do số tổ là: :1 4= (tổ)

Số học sinh là: 4.10 37− = (học sinh)

Câu

a) C nằm B M

BC CM BM

⇒ + =

( )

BM 5, 8, cm

⇒ = + =

b) C nằm B M AC⇒ tia nằm hai tia AB, AM

  

BAC CAM BAM

⇒ + =

  

CAM BAM BAC

⇒ = −

 0

CAM 80 60 20

⇒ = − =

c) Xét trường hợp:

+nếu K nằm C M tính được: BK=BC CM+ =5, 1+ =6, 5cm

+nếu K nằm C B tính được: BK=4, 5cm

Câu

Ta có:

K A

B K' C M

(66)

2

2 2 2

2

1 1

2

1 1

3

1 1 1 1 99

1

4 4 100 100 100

1 1

100 99 100

 < − 



 < − 

 < − ⇒ + + + + < − = <

   

 < −

 

TRƯỜNG THCS

QUẢNG TIẾN ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN – LỚP NĂM HỌC 2019-2020

Câu

a) Cho a b P+ = (p nguyên tố) Chứng minh a b nguyên tố b) Tìm số nguyên tố Psao cho: P 10+ P 14+ số nguyên tố

Câu

a) Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho dư chia cho dư

b) Một số chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho 167 dư 130 Hỏi số chia cho 2004 số dư ?

Câu

a) Tìm hai số tự nhiên a b, biết a>b; a+ =b 16và ƯCLN( )a, b =4

b) Tìm số có chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên phải số tăng thêm 1112đơn vị

Câu Tìm xbiết:

a)x+ − =3

x x x x

b)2 +2 + +2 + +2 + =480

Câu

a) Cho đoạn thẳng AB 8cm= C trung điểm nó, lấy điểm D trung điểm CB, E trung điểm CD Tính độ dài đoạn thẳng EB

(67)

b) Cho đường thẳng đơi cắt Hỏi đường thẳng cắt điểm, nhiều điểm

a) Giả sử a b không nguyên tố Suy a b có ước chung d 1>

( )

a d, b d a b d P d, d

⇒   ⇒ +  ⇒  > điều vơ lý P ngun tố⇒( )a, b =1

b) P= ⇒ +2 P 10; P 14+ không nguyên tố

P= ⇒ +3 P 10=13; P 14+ =17nguyên tố (thỏa mãn)

P> ⇒ =3 P 3k 1+ P 3k 2= + (do P nguyên tố)

Khi ta thấy P 10,+ P 14+ không nguyên tố

Vậy có P 3= thỏa mãn

Bài

a) Gọi số tự nhiên a ta có:

( )

a a

a + 



+  ⇒ + 

+   + 

   

chia hết cho 3,4,5,6

Mà a nhỏ ⇒ + =a BCNN 3, 4, 5, 6( )=60⇒ =a 59

b) Gọi số A ta có:

( )

A=3k+ ⇒ +2 A 37=3k+ +2 37=3 k 13 3+ 

( )

A=4q 3+ ⇒ +A 37=4q+ =4 q 10 4+ 

( )

A=167r 130+ ⇒ +A 37 167r 167 167 r 167= + = + 

A 37 3.4.167 2004 A 37 2004n

⇒ +  = ⇒ + =

( ) ( )

A 2004n 37 2004 n 2004 37 2004 n 1967

⇒ = − = − + − = − +

Vậy Achia cho 2004 có số dư 1967

Bài

a) UCLN a, b( )= ⇒ =4 a 4k, b=4m, k, m∈  *

( )

a b k m 16 k m

⇒ + = + = ⇒ + =

(68)

Và a b> nên k>mvà k; m∉ *,do k=3, m=1

Vậy a=12, b=4

b) Gọi số phải tìm abc Khi viết thêm chữ số vào bên phải ta số abc5 , theo ta có:

abc5=abc 1112+ ⇒10abc 5+ =abc 1112+

10abc abc 1112

⇔ − = −

9abc 1107 abc 123

⇒ = ⇒ =

Vậy số phải tìm 123

Bài

a) Ta có: 3− = nên x+ − = ⇒ = −3 x

x x x x

b)2 +2 + +2 + +2 + =480

( )

x

2 2 480 ⇔ + + + =

x x

2 15 480 32 ⇔ = ⇒ = =

x

⇒ =

Bài

a) Hình vẽ:

C trung điểm AB nên : CB 1AB 1.8 4(cm) 2

= = =

D trung điểm CB nên: DB 1CB 1.4 2(cm) 2

= = =

E trung điểm CDnên: ED 1CD 1.2 1(cm) 2

= = = EB=ED+DB 2= + =3(cm)

b) đường thẳng đề cho cắt điểm (nếu đường thẳng đồng quy)

Nếu khơng có đường thẳng đồng quy đường thẳng cắt đường thẳng cịn lại thành giao điểm

E D C

A B

(69)

Có đường thẳng nên có 6.5 30= giao điểm

Nhưng giao điểm lại tính lần, nên có 6.5 15

2 = giao điểm

HUYỆN KHOÁI CHÂU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN

I.TRẮC NGHIỆM

Câu Tập hợp A={1;5;9;13; ; 2017}có phần tử

A 504 B 505 C 2016 D 2017

đơn vị

A 90 B.110 C 45 D 55

số lớn ta tổng 335 Số lớn là:

A 43 B 54 C 60 D 84

Câu Cho 300 200

a=2 , b=3 Kết luận sau ?

A a<b B.a=b C a b> D a b≥

Câu Tìm x,biết: 2x −15 17=

A x=1 B x 5= C x 16= D x 30=

Câu Chữ số tận lũy thừa 2018

2017 là:

A B C D

Câu Tập hợp A={x∈ / x 12; x 21; x 28,167  < <x 300}có phần tử

A B C D

Câu Số 2016 có ước ?

A B 10 C 18 D 36

Câu Tìm tất số nguyên n để (n+4) ( n 1+ )

A n∈ − −{ 3; 1;1;3} B n∈ − −{ 4; 2; 0; 2}C.n∈{ }1;3 D n∈{ }0;

Câu 10 Cho vào hộp bắt đầu viên bi xanh, đỏ, tím vàng lại xanh, đỏ, tím

vàng Cứ hết 2020 viên bi Hỏi viên bi thứ 2017 màu ?

A Xanh B đỏ C tím D vàng

(70)

Câu 11 Kết phép tính 99 100− + − + − + + − bằng:

A 50 B 50− C 100− D

Câu 12 Tìm y,biết: x− = −y 2015; y− = −z 2016; z+ =x 2017

A y= −1007 B y=1007 C y= −1008 D y=1008

Câu 13.Cho x, y∈.Tìm y, biết: xy 5x+ −3y=15

A y= −3 B y=3 C y= −5 D y=5

Câu 14 Tìm x,biết: x 5− − = −2

A x∈{ }2 B x∈{ }4 C x∈ −{ 2; 4} D x ∈∅

Câu 15 Cho x, ylà hai số thỏa mãn : (x+2)2+ − =y 0.Tổng hai số x y+ bằng:

A −5 B C D −1

Câu 16 Tìm x,biết: (x 1)

4 x

− + −

= +

A x∈{ }5 B x∈ −{ }7 C x∈{5; 7− } D x ∈∅

Câu 17 Tính tỉ số A, B biết:

1 1 1 1 1

A ; B

3.8 8.13 13.18 18.21 3.7 7.11 11.15 15.19 19.23 = + + + = + + + +

A A

B =4 B A

1

B = C A

B =5 D A

20 B =

Câu 18.Tìm x,biết: 3 2x 4.3+4.11+7.11+7.23 = 69

A x=5 B x 10= C x 20= D x 40=

Câu 19 Cho 200 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm vẽ

một đường thẳng Số đường thẳng vẽ ?

A 1990 B 19900 C 39800 D 40000

Câu 20 Trên đường thẳng a lấy điểm M, N, P cho MN=2cm, NP=5cm Khi độ

dài đoạn thẳng MP

A 3cm B 3cm 7cm C 7cm D 3,5cm

II Phần tự luận Bài Tính hợp lý

100 50 100 50

a)53.81 47.14 81.47 14.53− + − b) 2− +5 −2 −11 5−

(71)

( )

36 40 34

2016 2017 2016

2017 2017 2016 30 5

6 50.5 10.5

20162016 2017 2016 2016 2017

c) d)

20172017 2017 2017 2017 2016 30 10 100.15 4.3

−

   

+ − −

    −

   

Bài

Cho biểu thức A 5.420172 42018 12016

1 4

− −

=

+ + + + Chứng tỏ biểu thức A có giá trị số nguyên

Bài

a) Tìm x,biết: x x x x x 20

10 15 21 28 36 − − − − −

+ + + + =

b) Tìm tất cặp số nguyên ( )x, y cho : xy+7x−3y−27=0

Bài

Vẽ hai góc kề bù  xOy, zOy.Vẽ tia Om On theo thứ tự tia phân giác góc  

xOy, zOy Vẽ tia Om' tia đối tia Om

a) Tính số đo mOn

b) Tính số đo góc kề bù với yOn, biết zOm '=250

c) Trên nửa mặt chứa tia Oy, có bờ chứa tia Ox Cần vẽ thêm tia phân biệt gốc O không trùng với tia vẽ hình để tạo thành 630 góc đỉnh O (chỉ tính góc thuộc nửa mặt phẳng nói trên)

ĐÁP ÁN I.TRẮC NGHIỆM

1B 2C 3D 4A 5B 6C 7B 8D 9B 10A 11B 12D

13C 14C 15C 16C 17C 18C 19B 20B

II TỰ LUẬN Bài

( ) ( )

a)=81 53 47+ −14 47 53+

81.100 14.100

= −

( )

100 81 14

= −

100.67 6700

= =

100 50 100 50

b)=2 − +1 −2 −5 + =11 10

(72)

2016 2016 2016

c)

2017 2017 2017 2017 = + − + =

( )

( ) ( ) (( ) )

36 36 35 40 34 36 36 35

30 4 2 5 34 30 34

2 2.5 2.5.5 2.5 d)

2 2.3.5 5

− −

= =

− −

( ) ( )

37 36 35

36 35 34

2

2.3.5 30

−

= = =

−

Bài

Trước hết tính 2016

M= + +1 4 + 4+

2 2016 2017 2017

4M= +4 +4 + 4+ +4 =M 4− +

2017

3M ⇒ = −

( ) 2017 2018 2018 2017 2018 2017

2 2016

4 4 4 4

A

1 4 M M + − − + − − −

= = = =

+ + + +

Bài

x x x x x

a) 20

10 15 21 28 36 − + − + − + − + − = x x x x x

10 20 30 42 56 72

− − − − − ⇔ + + + + =

x x x x x 20 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9

− − − − − ⇔ + + + + =

( ) 1 1

x 20

 

⇔ −  − + + − =

 

( ) 1

x 20   ⇔ −  − =

 

( )

5

x 20 36

⇔ − =

x 72 x 74

⇔ − = ⇒ =

( ) ( ) ( )( )

b)xy 7x 3y 27+ − − = ⇔0 x y 7+ −3 y 7+ = ⇔6 x y 7− + =6 Ta có bảng sau:

x - -6 -3 -2 -1

y + -1 -2 -3 -6

x -3

y -8 -9 -10 -13 -1 -4 -6

Bài

(73)



   

0

0 0

a)mOn 90

1

b)xOy 2.25 50 yOz 130 yOn yOz 65

=

= = ⇒ = ⇒ = =

Vậy góc kề bù với yOncó số đo bằng: 1800−650 =1150

c) Với ntia chung gốc O vẽ được: n n 1( )

2 −

góc đỉnh O ta phải có: n n 1( − =) 1260=36.35⇒ =n 36

Vậy phải vẽ thêm : 36 31− = tia gốc O yêu cầu đề

Tìm chữ số tận số sau: 2011

a)57 b)931999

a) Khơng quy đồng tính tổng sau:

1 1 1 A

20 30 42 56 72 90 − − − − − − = + + + + +

b) So sánh N 20057 200615 10 10

− −

= + M 200515 20067 10 10

− − = +

Câu (4,5 điểm)

a) Cho ababablà số có sáu chữ số, chứng tỏ số ababablà bội

b) Chứng tỏ 12n

30n +

O

x z

m

m'

y n

UBND HUYỆN TÂN UYÊN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC : 2018-2019

Mơn: Tốn

(74)

c) Chứng tỏ : 15

S 16= +2 chia hết cho 33

Câu (3,5 điểm)

Số học sinh khối trường chưa đến 400 bạn, biết xếp hàng 10; hàng 12; 15 dư xếp hàng 11 khơng dư Tính số học sinh khối trường

Cho 2010 đường thẳng đường thẳng cắt Khơng có đường thẳng đồng quy Tính số giao điểm chúng

Cho góc xOyvà góc yOzlà hai góc kề bù Góc yOzbằng 300

a) Vẽ tia Om nằm góc xOysao cho xOm=75 ;0 tia On nằm góc yOzsao cho



yOn =15

b) Hình vẽ có góc?

c) Nếu có ntia chung gốc tạo nên góc ?

a) Tìm chữ số tận số 2011

57

Xét 2011

7 , ta có: 72011=( )74 502.73 =2401 343502 , suy chữ số tận

Vậy số 2011

57 có chữ số tận

b) Tìm chữ số tận số 1999

93

Xét 1999

3 ,ta có: 31999=( )34 499.33 =81 27499

Suy chữ số tận Vậy số 1999

93 có chữ số tận

Câu

1 1 1 a)A

20 30 42 56 72 90 − − − − − − = + + + + +

1 1 1 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10

 

= − + + + + + 

 

(75)

1 1 1 1 1 1 5 6 7 8 9 10

 

= − − + − + − + − + − + − 

 

1 10 20 −   = − − =

 

b) So sánh:

Xét: N 20057 152006 20057 20068 20067 10 10 10 10 10

− − − − − = + = + +

Và M 152005 20067 20057 20058 20067 10 10 10 10 10

− − − − − = + = + +

Ta có: 20068 20058

10 10 − > −

Vậy N M>

Câu

a) ababab ab.10000 ab.100 ab 10101.ab= + + =

Do 10101chia hết cho 3nên abababchia hết cho hay ababablà bội

b) Chứng tỏ 12n

30n +

Gọi d ước chung 12n 1+ 30n 2+ ta có:

( ) ( )

5 12n 1+ −2 30n+2 =1chia hết cho d

Vậy d 1= nên 12n 1+ 30n 2+ nguyên tố

Do đó: 12n

30n +

c) Chứng minh 15

S 16= +2 chia hết cho 33

Có 5 15 ( )4 15 20 15 15( 5 ) 15

S 16= +2 = +2 =2 +2 =2 + =1 33

Nên S chia hết cho 33

Câu

Gọi số học sinh a (a∈+)

Ta có: a 3− ∈BC 10;12;15( )⇒ − =a 60k k( ∈*)⇒ =a 60k 3+

k

a 63 123 183 243 303 363 423

Ta xem với giá trị kthì a 400< a 11

(76)

Trong giá trị trên, có a 363 400= < a 11 Vậy số học sinh cần tìm 363học sinh

Câu

Mỗi đường thẳng cắt 2009 đường thẳng lại tạo nên 2009 giao điểm Mà có 2010 đường thẳng ⇒ có: 2009.2010 giao điểm

Nhưng giao điểm tính lần⇒ Số giao điểm thực tế là: (2009.2010 : 2) =2019045(giao điểm)

Câu

a) Vẽ góc xOyvà góc yOzkề bù yOz=300 Vẽ tia Om thỏa mãn điều kiện

Vẽ tia On thỏa mãn điều kiện

b) Hình vẽ có 10 góc

c) Lập luận : từ hình vẽ ta có tia với tia cịn lại tạo thành góc Xét tia, tia

với tia cịn lại tạo thành góc Làm với tia ta 5.4góc Nhưng góc tính lần, có tất

5.4 10 = góc

Từ suy tổng quát: với ntia chung gốc có n n

−    

 (góc)

z y

n m

x O

(77)

HUYỆN THẠCH THÀNH ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018-2019

Câu Tính giá trị biểu thức sau:

a)A=68.74+27.68 68−

( )

{ }

3

b)B=2 −3 539−639 : 7− +2017 

9

10

151515 17 1500 1616

c)C

161616 17 1600 1717

   

= +  − − 

 

2 2

1 1 d)D 1

2 100       = −  −  −   −       

Câu Tìm số nguyên x,biết:

( )

a)2016 : 25 − 3x+2 =3

x x x x x x x x x x 220 b)

6+10+15+21+28+36+45+55+66+78= 39

Câu

a) Cho 90

A= +3 + +3 + 3+ Chứng minh A chia hết cho 11 13

b) Tìm tất cặp số nguyên x, ysao cho xy−2x+ + =y

Câu

a) Tìm số tự nhiên lớn có chữ số, cho chia cho dư chia cho 31 dư 28

b) Tìm số nguyên nđể phân số 4n 2n +

− có giá trị số nguyên

Câu

Vẽ hai góc kề bù  xOy, zOy.Vẽ tia Om, Ontheo thứ tự tia phân giác xOy, zOy Vẽ tia Om 'là tia đối tia Om

a) Tính số đo mOn

b) Tính số đo góc kề bù với yOm, biết: m 'Oz=300

c) Cần vẽ thêm tia phân biệt chung gốc O không trùng với tia vẽ hình để tạo thành tất 300góc

Câu

(78)

a) Tìm số tự nhiên a, b thỏa mãn: (100a+3b 2+ )( a+10a+b)=225

b) Cho A 1 1

1 3 5 7 2017 = + + + +

+ + + + + + + + + + +

Chứng minh A

4 <

( )

a)A=68.74 27.68 68+ − =68 74 27 1+ − =68.100=6800

( )

{ }

3

b)B=2 −3 539−639 : 7− +2017 

( )

{ }

8.125 539 639 

= − − − + 

[ ]

{ }

1000 539 639 8.50 = − − +

1000 3.300 1000 900 100

= − = − =

9

10

151515 17 1500 1616 15 15 16

c)C

161616 17 1600 1717 16 17 16 17

       

= +  − −  = +  − − 

     

 

15 15 16

0 1 16 16 17 17

   

= −  + + = + =    

2 2 2 2

1 1 1 1000 d)D 1

2 100 100 − − −            = −  −  −   − =                

2 2

3 15 9999 1.3 2.4 3.5 99.1010

2 100 2.3 3.3 4.4 100.100 − − − −

= = −

( ) ( )

(2.3.4 100 2.3.4 1001.2.3 99 3.4.5 101) ( ) 101200 = − = −

Câu

( ) ( )

a)2016 : 25 − 3x+2 =3 7⇔2016 : 25 − 3x+2 =63

( ) ( )

25 3x 2016 : 63 25 3x 32

⇔ − + = ⇒ − + =

3x 3x x

⇔ + = − ⇔ = − ⇔ = −

x x x x x x x x x x 220 b)

6+10+15+21+28+36+45+55+66+78= 39 1 1 1 1 1 220 x

6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39

 

⇔  + + + + + + + + + =

 

(79)

1 1 1 1 1 220 2x

12 20 30 42 56 72 90 110 132 156 39

 

⇔  + + + + + + + + + =

 

1 1 1 1 1 220 2x

3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 10.11 11.12 12.13 39

 

⇔  + + + + + + + + + =

 

1 1 1 220 2x

3 4 12 13 39

 

⇔  − + − + + − =

 

1 220

2x x 11 13 39

 

⇔  − = ⇒ =  

Câu

a) A có 90 số hạng mà 90 5 nên 90

A= +3 + +3 + 3+

( 5) ( 10) ( 86 87 88 89 90)

A= + + + +3 3 3 + + + + +3 3 + + +3 +3 +3 +3

( 4) 6( 4) 86( 4)

3 3 3 3 3 3 3 = + + + + + + + + + + + + + + +

6 86

121.(3 3 ) 11 A 11

= + + +  ⇒ 

A có 90 số hạng mà 90 3 nên:

( 3) ( 6) ( 88 89 90)

A= + +3 3 + + +3 + + +3 +3

( 2) 4( 2) 88( 2)

3 3 3 3 = + + + + + + + + +

( 88)

13 3 13 A 13 = + + +  ⇒ 

( ) ( )

b)xy 2x− + + = ⇔y x y 2− + y 2−

( )( ) ( ) ( )

3 x y 3

= − ⇔ + − = − = − = −

Từ suy ( ) (x; y ∈{ 0; ;− ) (−4;3)}

Câu

a) Gọi số cần tìm a (a∈,100≤ ≤a 999)

Vì a chia cho dư chia cho 31 dư 28 nên ta có:

a a 8 a a 64 a 65

a 28 31 a 28 31 a a 62 31 a 65 31

− − + + + + +

    

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

 −  − +  +  + +  +

    

    

Vì (8, 31)=1nên a+ 65 8.31( )hay a+65 248 ⇔ =a 248k 65 k− ( ∈ *)

Vì a số có chữ số lớn nên k 4= ⇒ =a 927

b) Ta có: 4n 4n n

2n 2n 2n + = − + = + − − −

(80)

Vì n∈nên để 4n 2n +

− nguyên (2n 1− ∈) U(7)= ± ± ⇒ ∈ −{ 1; 7} n { 3; 0;1; 4}

Câu

a)Vì xOykề bù với zOynên:  xOy zOy 180+ =

Vì tia Om tia phân giác xOynên:mOy 1xOy =

Vì tia On tia phân giác zOynên: nOy 1zOy =

Vì xOykề bù với zOynên tia Oynằm hai tia Ox, Ozmà tia Om tia phân giác



xOyvà tia On tia phân giác zOynên tia Oynằm hai tia Om, On, đó:    1 1 

mOy yOn mOn xOy zOy mOn 2

+ = ⇔ + =  

( )   0

1

xOy zOy mOn mOn 180 90

2

⇔ + = ⇔ = =

b)Vì hai tia Om, Om 'đối nhau, m 'Ozkề bù với zOm

  0  

m 'Oz zOm 180 30 zOm 180 zOm 150

⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

Vì hai tia Ox, Ozđối nhau, zOmkề bù với mOx

  0  

zOm mOx 180 150 mOx 180 mOx 30

⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

Vì tia Om tia phân giác xOynên:  mOy=mOx=300

Vì hai tia Om, Om 'đối nhau, yOmkề bù với yOm '

  0  

yOm yOm ' 180 30 yOm ' 180 yOm ' 150

⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

O

z x

m'

m

n y

(81)

c)Giả sử cần vẽ thêm ntia phân biệt chung gốc O không trùng với tia vẽ

hình để tạo thành tất 300 góc Khi tổng số tia gốc O hình n 6+

Cứ tia gốc O tạo với n 5+ tia gốc O cịn lại thành n 5+ góc, mà có n 6+ tia nên tạo thành: (n n+ )( +6)góc

Vì tia tạo với tia ngược lại nên góc tính lần, suy số góc tạo thành: (n n)( 6)

2

+ +

góc Vì có 300 góc nên ta có:

(n n)( 6) ( )( )

300 n n 600 24.25 n 19

2

+ +

= ⇒ + + = = ⇒ =

Câu

a)Ta có: ( )( a )

100a+3b 2+ +10a+b =225 (1)

Vì 225 lẻ nên 100aa 3b

2 10a b

+ +

 

+ +

 lẻ (2)

*) Với a :=

( ) ( )( ) ( )( ) 2

1 ⇔ 100.0 3b 2+ + +10.0 b+ =225⇒ 3b 1 b+ + =225=3

Vì 3b 1+ chia cho dư 3b 1 b+ > + nên (3b 1 b)( ) 25.9 3b 25 b

1 b

+ = 

+ + = ⇒ + = ⇔ =



*)Với a số tự nhiên khác 0: Khi 100a chẵn, từ ( )2 ⇒3b 1+ lẻ⇒bchẵn

a

2 10a b

⇒ + + chẵn, trái với (2) nên b∈∅ Vậy a=0; b=8

b)Ta có: A 1 1

1 3 5 7 2017 = + + + +

+ + + + + + + + + + +

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

A

1 2017 1009

2 2

= + + + +

+ + + +

2 2 1 1

2.4 3.6 4.8 1009.2018 2.2 3.3 4.4 1009.1009 = + + + + = + + + +

1 1 A

2.2 2.3 3.4 1008.1009

 

< + + + + 

 

1 1 1 1 A

4 3 1008 1009

 

< + − + − + + − 

 

1 1 1

A A A (dfcm) 1009 4

 

< + − ⇒ < + ⇒ <  

(82)

TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

NGUYỄN KHUYẾN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Mơn Tốn

a) Tìm xbiết:

2

1 x

3  −  − =    

b) Tìm x, y∈ biết: 2x +624=5y

a) So sánh : 22

45

− và 51 103 −

b) Tính: 92 92 : 1

9 10 11 100 45 50 55 500  − − − − −   + + + + 

   

   

Ba máy bơm bơm vào bể lớn, dùng máy máy hai sau 20 phút bể đầy, dùng máy hai máy ba sau 30 phút bể đầy dùng máy máy ba bể đầy sau 2giờ 24 phút Hỏi máy bơm dùng

mình bể đầy sau ?

Cho góc tù xOy Bên góc xOy,vẽ tia Om cho xOm=900và vẽ tia On cho



yOn =90

a) Chứng minh  xOn=yOm

b) Gọi Ot tia phân giác xOy.Chứng minh Ot tia phân giác góc mOn

(83)

a) Từ giả thiết ta có:

2

1

x x

1 1

x

1 1

3

x x

3

 − =  =

 

 −  = = ±  ⇒ ⇒

   

     − = −  = −

 

 

b) Nếu x 0= y ( )

5 =2 +624=625=5 ⇒ =y y∈ 

Nếu x 0≠ vế trái số chẵn, vế phải số lẻ nên vô lý Vậy x=0, y=4

Bài

22 22 51 51 22 51 22 51 a)

45 44 102 101 45 101 45 101 − − < = = < ⇒ < ⇒ >

1 92 1 1 b)B 92 :

9 10 11 100 45 50 55 500

   

= − − − − −   + + + + 

   

1 92 8 8 8

1

9 10 100 9 10 100

B : 40

1 1 1 1

45 50 55 500 10 100

 −  + − + + − 

+ + +

     

     

= = = =

 

+ + + +  + + + 

 

Bài

Từ giả thiết suy (x+20 25, x) ( +20 28, x) ( +20 35) ⇒ +x 20∈BC 25, 28, 35( )

( )

BCNN(25; 28;35)=700⇒ +x 20=k.700 k∈ 

Vì xlà số tự nhiên có ba chữ số ⇒ ≤x 999⇒ +x 20 1019≤ ⇒ =k

x 20 700 x 680

⇒ + = ⇒ =

Bài

3giờ đầy bể nên máy bơm 4bể

2giờ đầy bể nên máy bơm 3bể

Máy máy bơm 24 phút hay 12

5 đầy bể nên máy bơm 12

bể

(84)

⇒Một ba máy bơm : 11 12 12  + +  =  

  (bể)

Một giờ:

Máy bơm được: 11

12− =4 6bể nên máy bơm đầy bể

Máy bơm :11

12− =3 bể nên máy bơm đầy bể

Máy bơm 11

12−12 =2 bể nên máy bơm đầy bể

Bài

a)Lập luận   xOm mOy+ =xOyhay 900+mOy =xOy   

yOn+nOx=xOyhay 900+nOx =xOy

 

xOn yOm

⇒ =

b)Lập luận     xOt=tOy; xOt=xOn+nOt⇒  tOy=yOm mOt+  

nOt mOt Ot

⇒ = ⇒ tia phân giác mOn

y

O x

n

m t

(85)

VIỆT YÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 MƠN THI TỐN

Câu (4 điểm) Thực phép tính

a) ( ) ( ) ( )

9 14

2 2

28 18 29 18

5 2 3

A

5.2 7.2 − =

−

b)

12 12 12 5

12

158158158

7 289 85 13 169 91

B 81 :

4 4 6 711711711

4

7 289 85 13 169 91

 − − − + + + 

 

=  

 − − − + + + 

 

a) So sánh P Q

Biết: P 2010 2011 2012

2011 2012 2013

= + + Q 2010 2011 2012 2011 2012 2013

+ + =

+ +

b) Tìm hai số tự nhiên a b biết: BCNN(a, b)=420; UCLN(a, b)=21 a 21 b+ =

a) Chứng minh rằng: Nếu 7x 4y 37+  13x 18y 37+ 

b) Cho

2 2012

1 3 3 A

2 2 2         = + +  +  +  + + 

       

2013

3

B : 2

 

=    Tính B – A

Cho góc xAy, tia Ax lấy điểm B cho AB 6cm.= Trên tia đối tia Ax lấy

điểm D cho AD 4cm.=

a) Tính BD

b) Lấy C điểm tia Ay Biết BCD=80 , BCA0 =450 Tính góc ACD c) Biết AK 2cm= (K thuộc BD) Tính BK

Tìm hai số nguyên tố x y cho: x2−2x 1+ =6y2−2x+2

(86)

a) Ta có:

( 2 2) ( )9 2 ( )2 14 4

28 18 29 18

5 2 3

A

5.2 7.2 − =

−

( )

18 18 12 28 14 30 18 29 18

28 18 29 18 28 18

5.2 2.2 3 5.2 3 5.2 7.2 3 7.2

− −

= =

− −

( )

29 18

28 18

2 5.2 2.9

2 14

−

= = = −

− −

b) Ta có:

12 12 12 5

12

158158158

7 289 85 13 169 91

B 81 :

4 4 6 711711711

4

7 289 85 13 169 91

 − − − + + + 

 

=  

 − − − + + + 

 

1 1 1

12

158.1001001

7 289 85 13 169 91

81 :

1 1 1 711.1001001

4

7 289 85 13 169 91

  − − −   + + + 

   

    

 

=

   

 − − − + + + 

   

    

 

12 158 18 324

81 : 81 64,8 711

 

=   = = =  

Câu

a) Ta có:

2010 2011 2012 2010 2011 2012 Q

2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 + +

= = + +

+ + + + + + + + Lần

lượt so sánh phân số P Q với tử là:2010; 2011; 2012 thấy phân

thức P lớn phân thức Q Vậy P>Q

b) Từ liệu đề cho, ta có:

Vì UCLN(a, b)=21 nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: a=21m; b=21n (1) UCLN(m, n)=1 (2)

Vì BCNN(a, b)=420 nên theo ta suy ra:

BCNN(21m; 21n) 420 21.20 BCNN(m, n) 20 (3) ⇒ = = ⇒ =

(87)

Vì a 21 b+ = nên theo ta suy ra:21m 21+ =21n⇒21 m 1( + = ⇒ + =) n m n (4)

Trong trường hợp thỏa mãn điều kiện (2) (3), có trường hợp: m=4, n=5

hoặc m=2, n=3 thỏa mãn điều kiện (4)

Vậy với m=4, n=5 m=2, n=3 ta số phải tìm là: a=21.4=84; b=21.5 105=

Câu

a) Ta có: 13x 18y( + ) (−4 7x+4y)=65x 90y 28x 16y+ − − =37x+74=37 x( +2y 37)

Hay 13x 18y( + ) (−4 7x+4y 37 *) ( )

Vì 7x 4y 37+  mà (4;37)=1 nên 7x( +4y 37)

Do đó, từ (*) suy : 13x 18y 37,( + ) mà (5, 37)=1 nên 13x 18y 37.+ 

b) Ta có:

2 2012

1 3 3

A (1) 2 2 2

        = + +  +  +  + + 

       

2 2013

3 3 3

A (2) 2 2

        ⇒ = +  +  +  + +         

Lấy (2) trừ (1) ta được:

2013

3 3 A A

2 2  

− =  + − −  

2013 2013

2012

1

A A

2 2  

=  − ⇒ = +  

Vậy 20132014 20132012

3

B A

2 2

− = − +

Câu

(88)

a) Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối tia Ax⇒A nằm D B

BD BA AD 10(cm) ⇒ = + = + =

b) Vì A nằm D B ⇒ tia CA nằm hai tia CB, CD

      0

⇒ + = ⇒ = − = − =

Trường hợp 1: K thuộc tia Ax

Lập luận K nằm A B

Suy AK+KB=AB⇒KB=AB AK− = − =6 4(cm)

Trường hợp 2: K thuộc tia đối tia Ax

Lập luận A nằm K B

Suy KB=KA+AB⇒KB= + =6 8(cm)

Kết luận : Vậy KB 4cm= KB 8cm.=

Ta có: 2

x −2x 1+ =6y −2x+2

( )( )

2 2

x 6y 6y x x 2,

⇒ − = ⇒ = − + 

6y 2

Mặt khác x x 1− + + =2x 2 ⇒(x 1− ) (x 1+ ) chẵn lẻ

Vậy (x 1− ) (x 1+ ) chẵn⇒(x 1− ) (x 1+ ) hai số chẵn liên tiếp

x y

A

C

D B

x

D A K B

x

D K A B

(89)

( )( ) 2

x x 6y 3y y y

⇒ − +  ⇒  ⇒  ⇒  ⇒ 

y

⇒ = (y số nguyên tố), tìm được: x 5=

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học 2018-2019

Mơn thi: TỐN Câu 1.Tính giá trị biểu thức sau:

( ) ( ) ( ) ( )2 ( )2010 ( )2011

a)A= −1 −1 −1 −1 −1 −1 131313 131313 131313

b)B 70

565656 727272 909090

 

=  + + 

 

2a 3b 4c 5d c)C

3b 4c 5d 2a

= + + + biết2a 3b 4c 5d

3b= 4c =5d= 2a

Câu Tìm xlà số tự nhiên, biết: x

a)

2 x + =

+

2

0,

1 9 11

b)x :

8

2

1,

9 11

+ −

 − =

 

  + −

Câu

a) Tìm tất cặp số tự nhiên ( )x, y cho 34x5ychia hết cho 36

b) Không quy đồng mẫu số so sánh:

2010 2011 2011 2010

9 19 19 A ; B

10 10 10 10 − − − − = + = +

Câu Cho A n n − =

+

a) Tìm nnguyên để Alà phân số

b) Tìm nnguyên để Alà số nguyên

Câu

Cho tam giác ABC có 

ABC=55 ,trên cạnh AC lấy điểm D(Dkhông trùng với A C)

a) Tính độ dài AC,biếtAD=4cm, CD=3cm

b) Tính số đo DBCbiết ABD=300

(90)

c) Từ B dựng tia Bxsao cho DBx=90 Tính số đo ABx

d) Trên cạnh ABlấy điểm E(E không trùng với Avà B) Chứng minh 2đoạn thẳng

BD CE cắt

( ) ( ) ( ) a) 1.1.− −1 −1 − = −1

13 13 13 1 b)B 70 70.13

56 72 90 7.8 8.9 9.10

   

=  + + =  + + 

   

1 70.13 39

7 10   =  − =

 

c) Đặt 2a 3b 4c 5d k

3b= 4c =5d= 2a =

Ta có: 2a 3b 4c 5d 4

k k k C 3b 4c 5d 2a = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ = ±

Câu

( )2 ( )2

x

a) x 16 x

+

= ⇒ + = = ± +

)x x + + = ⇒ =

)x x 5(ktm) + + = − ⇒ = −

Vậy x 3=

2 2

0, 0,

1 9 11 19 9 11

b)x : x :

8 2

2 2

1, 0,

9 11 11

+ − + −

 − = ⇔  − =

     

  + −   + −

 

 

x

⇔ = ⇒ =

Câu

a) Ta có: 36 9.4= mà ƯC(4, 9)=1

Vậy để 34x5ychia hết cho 36 34x5ychia hết cho 34x5ychia hết cho x y 9+ + + +  ⇒12 x+ +y 1 ( )

34x5ychia hết cho 5y 4 ⇒ =y 2, y=6

Với y=2thay vào (1) 14 x 9⇒ +  ⇒ =x

(91)

Với y=6thay vào (1) 18 x x

x

= 

⇒ + ⇒ 

=  

Vậy cặp ( )x, y cần tìm : ( ) ( ) ( )4, ; 0, ; 9,

b) Ta có:

2010 2011 2010 2011 2011

9 19 10 A

10 10 10 10 10 − − − − − = + = + +

2011 2010 2011 2010 2010

9 19 10 B

10 10 10 10 10 − − − − − = + = + +

Ta thấy 102011 102010 A B 10 10

− > − ⇒ >

Câu

a) A n

n − =

+ phân số n 0+ ≠ ⇒ ≠ −n

b) A n n 5

n n n − + −

= = = − + + +

Với nnguyên, A nhận giá trị nguyên ⇔5 n + ⇒4 (n+ ∈4) U 5( ) {= ± ±1; 5} Lập luận tìm n= − − −9; 5; 3;1

Câu

a) D nằm A C⇒AC=AD CD+ = + =4 7cm

b) Tia BD nằm hai tia BA BC nên   ABC=ABD+DBC

A

B C

D E

(92)

   0

⇒ = − = − =

c) Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Tia Bxvà BD nằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ AB

Tính được:  

ABx=90 −ABD

Mặt khác tia BD nằm hai tia BA, BCnên 00 <ABD<550

 

0 0 0

90 55 ABx 90 35 ABx 90

⇒ − < < − ⇔ < <

Trường hợp 2: Tia Bx, BDnằm nửa mặt phẳng có bờ AB

ABx=90 +ABD

Lập luận tương tự trường hợp được: 

90 <ABx<145

Vậy 350 <ABx<145 , ABx0 ≠900

d) Xét đường thẳng BD

Do BD cắt AC nên đường thẳng BDchia mặt phẳng làm hai nửa: nửa mặt phẳng có bờ BDchứa điểm C nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A

⇒tia BAthuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A

E thuộc đoạn AB⇒Ethuộc nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A

E, C

⇒ hai nửa mặt phẳng bờ BD

⇒đường thẳng BD cắt đoạn EC Xét đường thẳng CE

Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD Vậy đoạn thẳng EC, BDcắt

BẮC NINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017 Mơn Tốn

Bài

a) Thực tính A cách hợp lý nhất:

2010.2011 1005 A

2010.2010 1005 − =

+

(93)

b) Thực phép tính: B 33 2 99      =  −  −   −      

Bài Cho 20

M= +2 +2 + 2+

a) Chứng tỏ M 5

b) Tìm chữ số tận M

Bài

a) Tìm tất số nguyên n cho: n n 2+  − b) Tìm số tự nhiên x, ysao cho: (2x y 3+ )( − =) 10

Bài

a) Cho đoạn thẳng AB=a;điểm C nằm hai điểm A B, điểm M trung điểm AC,điểm N trung điểm CB.Hãy chứng tỏ MN a

2 =

b) Hình thang vng ABCD có góc A D vuông Đường chéo AC cắt đường cao BH I.So sánh diện tích tam giác IDC diện tích tam giác BHC

Bài Cho ( )( )( )( 16 )

A=3 +1 +1 +1 +1

Không làm phép tính, rút gọn biểu thức tìm số tận A

( )

2010 2010 1005

2010.2011 1005 2010.2010 2010 1005

a)A

2010.2010 1005 2010.2010 1005 2010.2010 1005

+ −

− + −

= = =

+ + +

2010.2010 1005 2010.2010 1005

+

= =

+

2 2 97 1 b)B 33 1 33 33

3 99 99 99     

=  −  −   − = = =     

Bài

2 20

a)M= +2 +2 + 2+

( 4) ( 17 18 19 20)

2 2 2 2 = + + + + + + + +

( 3) 17 ( 3)

2 2 2 2 = + + + + + + +

( 17) ( 17)

15 5.3 = + + = + + 

(94)

b) Dễ thấy M 2;M 5  ⇒M 10 ⇒Mtận chữ số

Bài

( )

a)n 5+ = n− +2

{ } { }

n n+  − ⇒2 n − ⇒ − ∈2 n U(7)= ± ± ⇒ ∈1; n 3;1;9; 5−

b) Ta có x, y∈ nên (2x & y 3+ ) ( − )là ước 10 Hơn 2x 0+ > lẻ nên 10 1.10 2.5= =

2x 1 x y 10 y 13 2x x y y  + =  =

⇒    − = =

  

⇒  + =  =  ⇒

− = =   

Bài

a) M trung điểm AC nên: AM MC 1AC = =

N trung điểm CB nên: CN NB 1CB

2

= = MC CN 1(AC CB)

⇒ + = +

C nằm A B nên C nằm M N C nằm M N ⇒MC CN+ =MN C nằm A B⇒AC CB+ =AB=a

Do MN a

2 =

b) Nối BD.Ta có: SBDC =SADC(cùng đáy DC chiều cao BH = AD)

BDH DBA ABHD DBA IAD

1

S S S ;S S

 

= =  =

  (cùng đáy AD chiều cao nhau)

Do đó:

BHC BDC BDH BDC DBA ADC IAD IDC

S =S −S =S −S =S −S =S

Vậy SBHC =SIDC

Bài

( )( )( )( 16 )

A=3 +1 +1 +1 +1

( )( )( )( )( 16 )

2 2 2 = − + + + +

( )( )( 16 )

2 2 = − + +

(95)

( 16 )( 16 ) 32

2 2 = − + = −

Vì 32

2 tận nên A=232 −1tận

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

LẬP THẠCH ĐỀ CHỌN HSG TOÁN LỚP Năm học 2018-2019

1 1 a)4 12

7 −   +  −   

( ) ( )

b) 2014+ + + + + − + + + +3 2011+

1 1 1 c) 1 1

3 10 15 780  −  −  −  −   −               

a) Tìm số nguyên a,biết: −13 a 1− − = −4 44 2( 4−15)+ −( 2011)0

b) Cho biểu thức 2009 2010

A=2010+2010 +2010 + 2010+ +2010

Chứng minh A chia hết cho 2011

c) Cho

B=80 −79.80 1601+

Chứng minh B bình phương số tự nhiên

a) So sánh S với 3, biết S 2011 2012 2013 2012 2013 2011 = + +

b) Với nsố tự nhiên thỏa mãn 6n 1+ 7n 1− hai số tự nhiên khơng ngun tố

nhau ước chung lớn 6n 1+ 7n 1− ?

Cho điểm O nằm đường thẳng xy.Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa đường

thẳng xy,kẻ tia Oz, Otsao cho zOt=130 , yOt0  =1000 a) Tia Oz có phân giác yOtkhơng ? Tại ?

b) Gọi Om phân giác zOt, Onlà tia đối tia Ot.Tính số đo mOn

(96)

c) Lấy thêm 19 điểm phân biệt đường thẳng xy(các điểm không trùng với điểm

O) điểm A nằm đường thẳng xy Hỏi vẽ tam giác nhận

trong điểm làm đỉnh

1 1 1 1 1 36 a)4 12 12

7 7 6 7 −   − −

+  − = + − = − + =  

( ) ( )

b) 2014+ + + + + − + + + +3 2011+

Nhận xét: (2 2014+ + + + + )có 1007 số hạng (3 2011+ + + + + )có 1005 số hạng

(2 3) (4 5) (6 7) (2010 2011) (2012 2014)

= − + − + − + − + + có 1006 nhóm

( ) ( ) ( )1 1 ( )1 4026

= − + − + − + + − + có 1005số hạng −1

1005 4026 3021

= − + =

1 1 1 14 779 c)

3 10 15 780 10 15 780  −   −   −   −   − =

                    10 18 28 1558 1.4 2.5 3.6 38.41

12 20 30 1560 2.3 3.4 4.5 39.40

= =

1.2.3 38 4.5.6 41 41 41

2.3.4 39 3.4.5.6 40 39 117

= = =

Bài

( 4 ) ( )0 ( 4 ) ( ) a) 13 a 1− − − = −4 44 −15 + −2011 = −44 −15 + −2011

13 a 44.1 13 a 39

− − − = − + ⇒ − − = −

a a (tm)

a

a a (tm)

− = ⇒ = 

⇒ − = ⇒  − = − ⇒ = −



2 2009 2010

b)A=2010 2010+ +2010 +2010 + 2010+ +2010

( ) 3( ) 2009( )

A=2010 2010+ +2010 2010+ + 2010+ 2010+

( 2009)

A=2011 2010+2010 + 2010+ 2011⇒A 2011

( )

2

c)B=80 −79.80 1601 80 80 79+ = − +1601 80.1 1601 1681= + = =41

Vậy B bình phương số tự nhiên 41

(97)

Bài

2011 2012 2013 1 1

a)S 1

2012 2013 2011 2012 2013 2011 2011       = + + = −  + −  + + +        1 1

3

2011 2012 2011 2013     = + −  + −     

1 1 Do ;

2011>2012 2011>2013

Nên: 1 0, 1 1 1

2011 2012 2011 2013 2011 2012 2011 2013     − > − > ⇒ + −  + − >

   

Vậy S>3

b) Gọi d UCLN 6n 1+ 7n d− ( ∈  *)

ta có:

( )

( ) ( ) ( )

7 6n d

6n d

7 6n 7n d 42n 42n d

7n d 7n d

+ ∈ 

+ ∈

 ⇒ ⇒ + − − ∈ ⇒ + − + ∈

 − ∈ 

− ∈

 

{ }

d 1;13

⇒ ∈ Mà 6n 1, 7n 1+ − hai số tự nhiên không nguyên tố

Nên d d 13≠ ⇒ =

Vậy ước chung lớn 6n 1, 7n+ −3là 13

Bài

a) Vì điểm O nằm đường thẳng xynên hai tia Ox, Oylà hai tia đối

Nên  xOy, yOzlà hai góc kề bù ⇒xOy +yOz=1800⇒yOz =500

Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oycó:  xOy<yOz 50( <1000)nên tia Oz nằm

giữa tia Oy, Ot (1)    

zOy tOz yOt zOy 50

⇒ + = ⇒ = (2)

y x

O m

t

n z

(98)

Từ (1) (2) suy Oz phân giác yOt

b) Vì Om phân giác    0

zOt zOm tOm 50 25

⇒ + = =

Vì On tia đối tia Ot.Nên  nOm & tOmlà hai góc kề bù

   0

nOm tOm 180 nOm 180 25 155

⇒ + = ⇒ = − =

c) Xét 20 điểm đường thẳng xy

Chọn điểm nối điểm với 19 điểm lại ta vẽ 19 đoạn thẳng Làm với 20 điểm ta 19.20 đường thẳng

Như đường thẳng tính lần, có 19.20 : 2đoạn thẳng Vì qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ tam giác

Nên nối hai điểm đầu đoạn thẳng nằm đường thẳng xyvới điểm A nằm

ngoài đường thẳng xyta vẽ tam giác

Vậy số tam giác vẽ số đoạn thẳng nằm đường thẳng xy

Như ta có 190 tam giác

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Năm học : 2019-2020

Bài (5 điểm)Thực phép tính sau cách hợp lý: ( 2 2) ( 2)

a) 10 +11 +12 : 13 +14

2

b)1.2.3 1.2.3 1.2.3 7.8− −

( 16)2

13 11

3.4.2 c)

11.2 −16

( ) ( )

d)1152− 374 1152+ + − +65 374

e)13 12 11 10 1− + + − + − − + − + + −

Bài (4 điểm) Tìm x,biết:

( 2) ( )2 2

a) 19x+2.5 :14= 13 8− −4

( ) ( ) ( )

b)x+ x 1+ + x+ + +2 x 30+ =1240

( )

c)11− − +53 x =97

(99)

( )

d)− x 84+ +213= −16

Bài 3.(2 điểm) Tìm hai số tự nhiên a b,biết: BCNN a, b( )=300; UCLN a, b( )=15 a 15+ =b

Bài (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB,điểm O thuộc tia đối tia AB.Gọi M, Nthứ tự

a) Chứng tỏ OA OB<

b) Trong ba điểm O, M, Nđiểm nằm hai điểm lại ?

c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O(O thuộc

tia đối tia AB)

( 2 2) ( 2) ( ) ( )

a) 10 +11 +12 : 13 +14 = 100 121 144 : 169 196+ + + =365 : 365 1=

2

b)1.2.3 1.2.3 7.8 1.2.3 7.8− −

( )

1.2.3 7.8 1.2.3 7.8 0

= − − = × =

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

16 16 18

11

13 11 13 2 4 13 22 36

3.4.2 3.2

c)

11.2 −16 =11.2 2 − 2 =11.2 −2

( )

2 36 36

35 36 35

3 3 2 11.2 2 11 = = = =

− −

( ) ( )

d)1152− 374 1152+ + − +65 374

1152 374 1152 65 374

= − − + − +

(1152 1152) (374 374) 65 65

= − + − − = −

e)13 12 11 10 1− + + − + − − + − + + −

( ) ( ) ( )

13 12 11 10 13

= − − − + + − − + − − − − =

Bài

( 2) ( )2 2

a) 19x+2.5 :14= 13 8− −4

( )

{ 2 2}

x 14 13 8  2.5 :19 ⇒ =  − − − =

(100)

( ) ( ) ( )

b)x+ x 1+ + x+ + +2 x 30+ =1240

( ) ( )

31 so hang x

x x x x 30 1240

⇒ + + + + + + + + =



31x 1240 31.15

⇒ = −

775 x 25

31 ⇒ = =

( )

c)11− − +53 x =97

( )

x 11 97 53 33

⇒ = − − − = −

( )

d)− x 84+ +213= −16

(x 84) 16 213

⇒ − + = − −

(x 84) 229

⇒ − + = −

x 84 229

⇒ + =

x 229 84 145

⇒ = − =

Bài

Từ liệu đề cho, ta có :

Vì UCLN (a,b)=15 nên tồn số tự nhiên mvà nkhác 0, cho: a=15m; b=15n (1) UCLN m, n( )=1 (2)

Vì BCNN a, b( )=300,nên theo trên, ta suy

( )

BCNN 15m,15n 300 15.20 BCNN m, n 20 (3)

⇒ = =

⇒ =

Vì a 15+ =b,nên theo ta suy ra:

( )

15m 15 15n 15 m 15n m n (4)

⇒ + = ⇒ + = ⇒ + =

Trong trường hợp thỏa mãn điều kiện ( )2 ( )3 ,thì có trường hợp m=4; n=5

là thỏa mãn điều kiện ( )4

Vậy với m=4, n=5ta số phải tìm là: a=15.4=60; b=15.5=75

Bài

(101)

a) Hai tia AO, ABđối nhau, nên điểm Anằm hai điểm O B, suy ra:

OA OB

⇒ <

b) Ta có: M, Nthứ tự trung điểm OA, OBnên OM OA; ON OB 2 ⇒ = =

Vì OA OB< nên OM ON<

Hai điểm M, Nthuộc tia OB,mà OM ON< nên điểm Mnằm hai điểm O N

c) Vì điểm Mnằm hai điểm O N, nên ta có:

OB OA AB OM MN ON MN ON OM MN

2 −

⇒ + = ⇒ = − ⇒ = =

Vì AB có độ dài khơng đổi nên MN có độ dài khơng đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN

khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O (Othuộc tia đối tia AB)

LÂM THAO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn Tốn Năm học 2018-2019

I PHẦN TRẮC NGHIỆM

đơn vị

A 30 B.40 C 45 D 55

số lớn ta tổng 417 Khi số lớn là:

A 43 B 54 C 60 D 67

Câu Kết phép tính 99 100− + − + − + + − là:

A 50 B 50− C 100− D

Câu Tập hợp số nguyên nđể (n 3+ ) ( n 1+ )là

A {0;1; 2; 3− − } B { }0;1 C {− −2; 3} D {± ±1; 2}

Câu Cho ô liên tiếp sau

A

M N B

(102)

13

− a −27

Biết tổng ba ô Khi giá trị a :

A −13 B 27− C 13 D 27

Câu Cho A 7.31 7.41 10.41 10.57

= + + + B 11 19.31 19.43 23.43 23.57 = + + +

Tỷ số A

Blà:

A

4 B

2 C

2 D 11

4

Câu Trung bình cộng tử số mẫu số phân số 68 Cộng thêm vào tử số

của phân số đơn vị ta phân số phân số

2 Phân số lúc đầu là:

A 84

52 B 76

60 C 75

61 D 80 56

Câu Trên đường thẳng a lấy ba điểm M, N, Psao cho MN=2cm, NP=5cm.Khi độ dài

đoạn thẳng MPbằng:

A 3cm B 7cm C 3cm 7cm D 3, 5cm

Câu Cho 100 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm vẽ

đường thẳng Số đường thẳng vẽ là:

A 200 B 4950 C 5680 D 9900

Câu 10 Cho 

xOy=80 ,tia Oz nằm hai tia Ox, Oy cho 

xOz=30 Số đo yOzlà

A

50 B 1100 C 500hoặc 1100 D 80

Câu 11 Cho 

xOy=80 ,Oz tia phân giác góc xOy, Ot tia phân giác xOz Số đo

của yOtlà:

A

20 B

40 C

50 D

60

Câu 12 Có miếng bánh chưng cần ráng vàng hai mặt Thời gian ráng mặt cần

phút Nếu dùng chảo lần ráng nhiều miếng cần thời gian để ráng xong miếng bánh chưng

A phút B 12 phút C 18 phút D 27 phút

I PHẦN TỰ LUẬN

(103)

a) Cho biết a 4b+ chia hết cho 13 (a, b∈  Chứng minh 10 b 13) + 

b) Tìm số nguyên tố ab a( > >b 0)sao cho ab ba− số phương

a) Cho M= − + − + − + −( a b) (b c a) (c a ) Trong b, c∈cịn a số nguyên âm

Chứng minh biểu thức M ln dương

b) Tìm tất cặp số nguyên cho tổng chúng tích chúng

Câu (4 điểm) Cho đoạn thẳng AB; điểm O thuộc tia đối tia AB, Gọi M, N thứ tự

b) Trong ba điểm O, M, Nđiểm nằm hai điểm lại

c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB)

1 2017 1 1 B 2017 :

4 2020 20 25 30 35 10100

   

= − − − − − −   + + + + + 

   

ĐÁP ÁN I.Trắc nghiệm

1C 2D 3B 4A 5B 6C 7D 8C 9B 10A 11D 12A

II Tự luận Câu

a)a+4b 13 ⇒10a+40b 13 ⇔10a+ +b 39b 13

Do 39b 13 ⇒10a+b 13

{ }

b)ab∈ 43; 73

Câu

a) M= −amà a số nguyên âm nên M dương b) x=0, y=0hoặc x=2, y=2

(104)

Câu

a) Lập luận chứng tỏ OA OB<

b) Lập luận chứng tỏ OM ON< nên M nằm hai điểm O N

c)MN AB

2

= Vì AB có độ dài khơng đổi nên MN có độ dài không đổi

Câu

1 2017 1 1 B 2017 :

4 2020 20 25 30 35 10100

   

= − − − − − −   + + + + + 

   

1 2017 1 1 B (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) :

4 2020 20 25 30 35 10100

   

= − + − + − + ⋅⋅⋅ + −   + + + + + 

   

3 3 1 1 B : ( )

4 2020 5 2020

   

= + + + ⋅⋅⋅ +   ⋅ + + + + 

   

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018-2019

Mơn Tốn Bài

a) Tính nhanh: 32 32 32 32 1.4+4.7+7.10+ +97.100

b) B= −( 528) (+ −12) (+ −211)+540 2225+

c) 20043 2012

1 3 3

M

3

+ + + + +

=

−

d) D 2 2 2

20 30 42 56 72 90 = + + + + +

e) So sánh: N 52005 112006 10 10

= + M 112005 52006 10 10 = +

Bài

Cho 98 99

S 3= − + − +3 3+ −3

a) Chứng minh S bội 20− b) Tính S, từ suy 100

3 chia cho dư

Bài

(105)

a) Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 504và UCLN chúng 42 b) Tìm a ∈ để a 1+ bội a 1−

c) Cho 28

K=10 +8 Chứng minh Kchia hết cho 72

Bài Trên đường thẳng AM lấy điểm O (O nằm A M) Trên nửa

mặt phẳng bờ AM vẽ tia OB, OCsao cho MOC 115 , BOC=  =70 Trên nửa mặt phẳng đôi diện dựng tia OD(Dkhông nằm nửa mặt phẳng với B, Cqua bờ AM)sao

cho 

AOD=45

a) Tia OB nằm hai tia OM, OCkhơng ? Vì ?

b) Tính  MOB, AOC

c) Chứng tỏ điểm D, O, Bthẳng hàng

Bài Trong thi có 50 câu hỏi Mỗi câu trả lời 20 điểm, trả lời sai

bị trừ 15 điểm Một học sinh tất 650 điểm Hỏi bạn trả lời đưọc câu

2 2

3 3 3 3

a)A

1.4 4.7 7.10 97.100 1.4 4.7 7.10 97.100

 

= + + + + =  + + + + 

 

1 1 1 99 297

1 4 97 100 100 100

 

=  − + − + + − = =

 

( ) ( ) ( )

b)B= −528 + −12 + −211 +540 2225+

( 528) ( 12) 540 ( 211 211) 2014 2014

= − + − + + − + + =

2 2 2 d)D

20 30 42 56 72 90 = + + + + +

2 2 2 D

4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 = + + + + +

1 1 1 1 1 1 D

4 5 6 7 8 9 10

 

= ⋅ − + − + − + − + − + − 

 

1 D

4 10   = ⋅ −   

D 10 =

(106)

2005 2006 2005 2006 2006

5 11 e)N

10 10 10 10 10 = + = + +

Và M 112005 52006 52005 62005 52006 10 10 10 10 10 = + = + +

Ta có: 62006 62005

10 <10

Vậy N M<

Bài

a) Tổng S có 100 số hạng chia thành 25 nhóm, nhóm số hạng

2 98 99

S 3= − + − +3 3+ −3

( 3) ( 7) ( 96 97 98 99)

1 3 3 3 3 3 = + + − + − + − + + − + −

( ) 4( ) 96 ( )

20 20 20 S 20

= − + − + + − ⇒ −

2 98 99

b)S 3= − + − +3 3+ −3

2 99 100

3S= − + − +3 3 3+ −3

100

3S S 4S ⇒ + = = −

100 100

3

⇒ −  ⇒ chia cho dư

Bài

a) Gọi a, blà hai số cần tìm, a, b∈*, a>b, a =42a ', b=42b ' a ', b '( )=14 Vì a b> ⇒ >a ' b '

a+ =b 504⇒ + =a ' b ' 12có cặp thỏa mãn ( ) ( )11;1 ; 7;5

( ) (a, b { 462; 42 ; 294; 210) ( )}

⇒ ∈

b) Để a 1+ bội a 1− nên a 1 a a

+ = +

− − số nguyên

{ } { }

a U(2)− ∈ = −1;1; ⇒ =a 0; 2;3

c) Lập luận K chia hết cho tổng chữ số chia hết cho ba chữ số tận 008.Vậy K chia hết ccho 72

Bài

(107)

a) Nếu OB nằm hai tia OA, OC   

MOC COB+ =MOB 185= (vô lý)

Vậy OB nằm hai tia OM, OC

b) Do tia OB nằm hai tia OM, OC nên:   MOB BOC+ =MOC

   0

MOB MOC BOC 115 70 45

⇒ = − = − =

Hai góc  AOC,COMlà hai góc kề bù nên  AOC COM+ =1800

  0

AOC 180 COM 180 115 65

⇒ = − = − =

c) Hai góc  AOB, BOMlà hai góc kề bù  

AOB BOM 180

⇒ + =

 0

AOB 180 45 135

⇒ = − =

Hai góc  DOA, AOBlà góc có cạnh chung OA Cịn cạnh OD, OBnằm nửa mặt phẳng

đối bờ AMnên:

  0

DOA+AOB=45 +135 =180 ⇒OD, OBlà hai tia đối

D, O, B

⇒ thẳng hàng

Bài

Nếu bạn trả lời 50 câu tổng số điểm 50.20 1000= (điểm)

Nhưng bạn 650 điểm thiếu 1000 650 350− = (điểm) Thiếu 350 điểm số 50 câu bạn trả lời sai số câu Giữa câu trả lời trả lời sai chênh lệch

20 15+ =35(điểm) Do câu trả lời sai bạn là: 350 :35 10= câu

Vậy số câu bạn trả lời 50 10 40− = (câu)

O

A M

B C

(108)

UBND HUYỆN VŨ TH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÊ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn Tốn Năm học 2018-2019

Bài Tính giá trị biểu thức sau:

1) 2013 2014 2015 2016 1 1 1 2)B : : : : : : :

2 98 99 100 − − + + − − + + − − − + +

              = −   −   −   −   −   −   −               

Bài

1) Cho 2014 2015 2016

C= +4 +4 + 4+ +4 +4

Chứng minh C chia hết cho 21 105

2) Chứng minh với số tự nhiên khác 0, có số lượng ước tự nhiên số lẻ số tự nhiên số phương

Bài

1) Tìm số dư phép chia chia số tự nhiên cho 91 Biết lấy số tự nhiên chia cho dư chia cho 13 dư

2)Tìm cặp số nguyên ( )x; y biết:x 1 5+ = y 1−

Bài Cho E 1 1.101 2.102 3.103 10.110 = + + + +

Và F 1 1.11 2.12 3.13 100.110

= + + + + Tính tỉ số E

F

Bài Cho tam giác ABC có 

BAC 120 = Điểm E nằm B C cho BAE=30 Trên

mặt phẳng có bờ AC chứa điểm B kẻ tia Axsao cho CAx=30 ,0 tia Axcắt BC F

a) Chứng minh F nằm E C Tính số đo EAF

b) Gọi AIlà tia phân giác BAC.Chứng minh AIcũng tia phân giác EAF

Bài Cho biểu thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2! 2! 2! 2! 2!

D

1 2015

= + + + + +

So sánh Dvới Biết n! 1.2.3 n n= ( ∈  )

(109)

1)A= − − + + − − + + − −1 10 2013 2014+ − − +2015 2016+

( 4) ( 8) ( 10 11 12) ( 2013 2014 2015 2016)

= − − + + + − − + + + − − + + + + − − + +

Ta có tổng A có 2016 số hạng nên có 2016 : 504= nhóm

A= + + +4 4 4+ (tổng có 504 số 4)

A=4.504=2016

1 1 1 1 2)B : : : : : : :

2 98 99 100               = −   −   −   −   −   −   −               

1 98 99 B : : : : :

2 99 100 − −           = −  −  −               

1 99 100 B

2 98 99 −

        = −  −    −         

Ta thấy tích B có 99 thừa số âm nên mang dấu âm

1.3.4.5.6 98.99.100 100

B 25

2.2.3.4.5 97.98.99 2.2 −

= − = = −

Bài

1) Ta có:

2 2014 2015 2016

C= +4 +4 +4 + 4+ +4 +4

( 3) ( 6) ( 2014 2015 2016)

4 4 4 4 = + + + + + + + + +

( 2) ( 2) 2014( 2)

4 4 4 4 = + + + + + + + + +

( 2014)

21 4 21 = + + 

2 2014 2015 2016

C= +4 +4 +4 + 4+ +4 +4

( 2) ( 4) ( 2015 2016)

4 4 4 = + + + + + +

( ) 3( ) 2015( )

4 4

= + + + + + +

( 2015)

5 4 = + + + 

Ta có C 5,C 21  mà (5; 21)= ⇒ 1 C 105

2

Gọi số tự nhiên P(P≠0)

(110)

Nếu

P= ⇒ = ⇒1 1 Plà số phương

Nếu P>1 Phân tích P thừa số ngun tố ta có: P=a b cx y z(với a, b, c…là số

nguyên tố)

Khi số lượng ước P: (x y z 1+ )( + ) ( + )

Theo (x y z 1+ )( + ) ( + )là số lẻ

x 1; y 1; ; z

⇒ + + + số lẻ

x, y, , z

⇒ số chẵn

Do x=2m, y=2n, z=2t

Nên 2m 2n 2t ( m n t)2

P=a b c = a b c

Vậy P số phương

Bài

1) Gọi số tự nhiên a

Theo ta có: a=7p 5; a+ =13q+4 p, q( ∈  )

Suy : a 9+ =7p 14+ =7 p 7( +  )

( )

a+ =9 13q 13 13 q 13+ = + 

Ta có : a+9 7; a +9 13; 7,13 ( )=1

Do a+9 91 ⇒ + =a 91k⇒ =a 91k 9− =91k 91 82− + =91 k 1( − +) 82

Nên a chia cho 91 có dư 82

2) Ta có: x 1 x (x 5)(y 1) 5.1

5 y y

+

+ = ⇔ = ⇔ + − =

− −

(x y 1)( ) 5.1 1.5 5.( 1) ( 1).( 5)

⇔ + − = = = − − = − −

Thay hết tất trường hợp ta có: ( ) ( ) (x; y ={ 0; ; −4; ;) (−10; ;) (− −6; 4)}

Bài

Ta có:

1 1 E

1.101 2.102 10.110 = + + +

(111)

1 100 100 100 E

100 1.10 2.102 10.110

 

=  + + + 

 

1 1 1

100 101 102 10 110

 

=  − + − + + − 

 

1 1 1 1

100 10 101 102 110

   

=  + + + +  − + + + 

   

 

1 1 F

1.11 2.12 100.110 = + + +

1 10 10 10 F

10 1.11 2.12 100.110

 

=  + + + 

 

1 1 1 F

10 11 12 100 110

 

=  − + − + + − 

 

1 1 1 1

F

10 100 11 12 13 110

   

=  + + + +  − + + + + 

   

 

1 1 1 1

F

10 10 101 102 110

   

=  + + + +  − + + + 

   

 

1

E 100

1

F 10

10

⇒ = =

Bài

a) Theo ta có: E nằm hai điểm B C

F

E C

A B

x

I

(112)

Nên tia AE nằm hai tia AB, AC

Ta có:   BAE+EAC=BAC

Hay   0

30 +EAC 120= ⇒EAC 120= −30 =90

Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B

Ta có:    ( 0)

CAF=30 , CAE=90 ⇒CAF<CAE 30 <90 , tia AFnằm hai tia AC, AE, điểm F nằm hai điểm C E

    

CAF FAE CAE 30 FAE 90 FAE 60

⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

b) Ta có AI tia phân giác BAC

Nên   BAC 1200

BAI CAI 60 2 = = = =

*)Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B

 ( 0)

CAF<CAI 30 <60 suy AFnằm hai tia AC, AI

  

 

0 0

CAF FAI CAI

30 FAI 60 FAI 30

⇒ + =

⇒ + = ⇒ =

*)Xét nửa mặt phẳng bờ AFcó chứa điểm B

Ta có:  ( 0)

FAI<FAE 30 <60 ⇒Tia AI nằm hai tia AF, AE

Hơn nữa, FAI 1FAE AI

= ⇒ phân giác FAE

Bài

Ta có:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 ( )2

2 2 2

2! 2! 2! 2! 2!

D

1 2015

= + + + + +

2 2 2

D

1 2015

= + + + + +

2 2

2 2 D

3 2015

 

= +  + + + + 

 

2 2 D

1.3 3.5 5.7 2013.2015

 

< +  + + + + 

 

1 1 1 1

1 3 5 2013 2015

 

= +  − + − + − + + − 

 

(113)

1 4

2015 2015  

= +  − = + − <  

D

⇒ <

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GD & ĐT

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2015-2016

Mơn thi: Tốn

Bài (1,0 điểm) Thực phép tính (tính hợp lý có thể)

a)1968 :16 5136 :16 704 :16+ −

( )

{ }

3 3

b)2 −3 400−673 : 7− +7 

Bài (1,0 điểm) M có số phương khơng , nếu:

( )

M= + + +1 + 2n 1− (với n∈, n≠0)

Bài (1,5 điểm) Chứng tỏ rằng;

a) ( 100 990)

3 +19 2

b) Tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho

Bài (1,0 điểm) So sánh Avà B biết:

18 17

19 18

17 17

A , B

17 17

+ +

= =

+ +

Bài (2,0 điểm) Tìm tất số nguyên nđể:

a) Phân số n

n +

b) Phân số 12n

30n +

Bài (2,5 điểm)

Cho góc

xBy=55 Trên tia Bx, Bylần lượt lấy điểm A, C(A≠B, B≠C) Trên đoạn

thẳng AC lấy điểm D cho 

ABD=30

a) Tính độ dài AC, biếtAD=4cm, CD=3cm

b) Tính số đo góc DBC

c) Từ B vẽ tia Bzsao cho DBz=90 Tính số đo ABz

(114)

Bài (1,0 điểm) Tìm cặp số tự nhiên x, ysao cho (2x y 5+ )( − =) 12

( )

a) 16 123 321 44 :16= + − =400

[ ]

{ }

b)=8.125 400− − 673 8.50−

{ }

1000 400 273

= − −

619 =

Bài

( )( )

M= + + + +1 2n n− ∈, n≠0

Tính số số hạng: (2n 1 : 1− − ) + =n

Tính tổng: ( ) 2

2n 1 n : 2n : n

= − + = =

Vậy M số phương

Bài

a) Ta có lẻ nên 100

3 lẻ, 19 lẻ nên 19990lẻ nên (3100+19990)2

b) Gọi số tự nhiên liên tiếp a; a ; a( + ) ( +2 ; a) ( +3 a)( ∈  )

Ta có : a+ + + + + + =(a 1) (a 2) (a 3) 4a+6

Vì 4a 4;6 không chia hết 4a 6+ không chia hết cho

Bài

Vì ( )

( )

17

18 18 18 17

19 19 19 18 18

17 17

17 17 17 16 17

A A B

17 17 17 16 17 17 17

+

+ + + + +

= < ⇒ = < = = =

+ + + + + +

Bài

a) n

n +

+ số nguyên (n 1+ ) ( n+2)

Ta có: n 1+ =(n− +2) 3, (n 1+ ) ( n−2)khi n( −2) (n− ∈2) U(3)= − −{ 3; 1;1;3}⇒ ∈ −n { 1;1;3;5}

b) Gọi d ƯC 12n 1+ 30n+2 d( ∈*)⇒12n d, 30n+  +2 d

( ) ( ) ( )

5 12n 1+ −2 30n+2 d⇔ 60n+ −5 60n−4 d⇔1 d

 

    mà d∈*⇒ =d

(115)

Vậy phân số cho tối giản

Bài TH1:

Th2:

a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm Avà C

AC=AD CD+ = + =4 7cm

b) Chứng minh tia BDnằm hai tia BA BC

Ta có đẳng thức:      

ABC=ABD+DBC⇒DBC=ABC ABD− =25

Trường hợp 1: Tia Bzvà tia BDnằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ ABnên tia BA

nằm hai tia Bzvà BD

Tính   0

ABz=90 −ABD=90 −30 =60

x

y

z B

A

C D

z

x

y C

B

A

D

(116)

Trường hợp 2: Tia Bz tia BDnằm nửa mặt phẳng có bờ ABnên tia BDnằm

giữa hai tia Bzvà BA

Tính   0

ABz=90 +ABD=90 +30 =120

Bài

(2x ; y 5+ ) ( − )là ước 12

( ) { }

U 12 = 1; 2;3; 4; 6;12

Vì 2x 1+ lẻ nên 2x 1 x 0, y 17

2x x 1, y

+ = ⇒ = =



 + = ⇒ = =



PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 MƠN TỐN

Bài (4,0 điểm)

1) Tính giá trị biểu thức A 19 21 23 25 39

+ + + + =

+ + + +

2) Tìm số tự nhiên x, biết: x x x 18

18 chu so

5 5+ + = 1000 :

Bài (4,0 điểm)

1) Chứng minh với số tự nhiên n UCLN 21n( +4;14n 3+ =)

2) Chứng minh rằng: Nếu p số nguyên tố lớn 2p 1+ số nguyên tố 4p 1+ hợp số

Bài (4,0 điểm)

1) Chứng minh số viết 27 chữ số giống chia hết cho 27

2) Tìm số tự nhiên n có chữ số biết n số phương n bội 147

Bài (6,0 điểm)

1) Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ tia OB, OC cho

0

AOB 120 , AOC= =80 Gọi OM tia phân giác BOC

a) Tính 𝐴𝑂𝑀�

b) Vẽ tia ON tia đối tia OM Chứng minh OA tia phân giác góc CON

(117)

2) Trên nửa mặt phẳng bờ tia Ox, vẽ tia Ox , Ox , Ox , , Ox1 n cho góc

2 n

xOx =2xOx ; xOx =3xOx; xOx =4xOx ; ; xOx =nxOx Tìm số n nhỏ để

tia vẽ có tia tia phân giác chung 2017 góc

Bài (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n nhỏ để phân số sau tối giản 100

; ; ; ;

n+9 n 10 n 11+ + n 102+

1) Ta có:

( ) ( ) ( )

1 19+ + + + = +1 19 + +3 17 + + +9 11 =20 20 20 100+ + + =

( ) ( ) ( )

21 23 25 39+ + + + = 21 39+ + 23 27+ + + 29 31+ =60 60 60+ + + =300

100 A

300 ⇒ = =

b) Ta có:

x x x 18

18 chu so

5 5+ + = 1 000 : 2

x x x 18 18 3x 18

5 + + + + =10 : ⇒5 + =5

3x 18 x

⇒ + = ⇒ =

Vậy x 5=

Bài

a) Gọi d UCLN (21n+4;14n 3+ ) 21n d⇒ +  14n d+ 

( )

2 21n d

⇒ +  14n d+ 

( )

2 21n d

⇒ +  3 14n d( +  )

( ) ( )

3 14n 21n d d d

⇒ + − +  ⇒  ⇒ =

Vậy UCLN 21n( +4;14n 3+ =)

b) Vì p số nguyên tố, p>3⇒4p khơng chia hết cho

Ta có 4p 2+ =2 2p 1( + )

(118)

Theo p> ⇒3 2p 1+ >7 số nguyên tố ⇒2p 1+ không chia hết cho Suy 4p+2 không chia hết cho

Mà 4p; 4p 1; 4p+ +2 ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn số chia hết cho 3, 4p 1+ chia hết cho

Vì 4p 13+ > nên 4p 1+ số tự nhiên lớn có nhiều ước

Suy 4p 1+ hợp số

Bài a) Trước hết ta chứng minh số gồm 27 chữ số chia hết cho 27

Thật vậy: 

9 c/so

27 chu so c/so c/s

111 11 =11 1000 01000 01× 

Mà 

9 c/so

11 9

8 c/so c/so 27 c/so

1000 01000 01 3  ⇒111 27

Từ suy số viết 27 chữ số a số

27 c/so

a.111 1 nên số chia hết

cho 27

b) Vì n số tự nhiên có chữ số nên 1000 n 9999≤ ≤

Theo n bội 147 nên n=147k=7 3k2

Do n số phương nên phân tích thừa số ngun tố lũy thừa thừa số

nguyên tố phải có số mũ chẵn 2

k k 3m n m 441m ⇒  ⇒ = ⇒ = =

1000 441m 9999 m 22

⇒ ≤ ≤ ⇒ < <

Để n số phương m số phương ⇒m=4;9;16

Suy số tự nhiên cần tìm : 1764;3969; 7056

Bài

O

B M C

A

N

(119)

1)

a) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có   0

AOC<AOB(80 <120 )

⇒ Tia OC nằm hai tia OA OB

    

AOC BOC AOB 80 BOC 120 BOC 40

⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

Vì OM tia phân giác    BOC 400

BOC BOM COM 20 2

⇒ = = = =

Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OB có  ( 0)

BOM<BOA 20 <120 nên tia OM

nằm hai tia OA OB   

BOM MOA AOB

⇒ + = hay  

20 +MOA=120 ⇒MOA=100

b) Vì OM, ON hai tia đối nên hai góc AOM AON hai góc kề bù

  0  

AOM AON 180 100 AON 180 AON 80

⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

Suy  ( 0)

AOC=AON =80 (1)

Vì hai tia OM ON nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ tia OA nên tia OA nằm hai tia OM ON (2)

Từ (1) (2) suy tia OA tia phân giác CON

2) Trên nửa mặt phẳng bờ tia Ox, vẽ tia Ox , Ox , Ox , , Ox1 n cho

2 n

xOx =2xOx ; xOx =3xOx ; xOx =4xOx ; ; xOx =nxOx

1 2 n n

xOx x Ox x Ox x −Ox

⇒ = = = =

Vậy n nhỏ n 2017.2 4034= = lúc Ox2017 tia phân giác chung 2017

góc: xOx4034 =x Ox1 4033 =x Ox2 4032 = =x2016Ox2018

Bài

Các phân số cho có dạng

(a )

a+ n+2 , phân số tối giản nên n+2 a phải hai số nguyên tố

Như n+2 phải số nguyên tố với số 7;8;9; ;100 n+2

phải số nhỏ

Nên n+2 số nguyên tố nhỏ lớn 100

n 101 n 99

⇒ + = ⇒ =

(120)

THANH CHƯƠNG ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN Năm học 2019-2020

Môn thi: Toán

Câu

a) So sánh : 2013

2 1344

3

b) Tính: A 1

4.9 9.14 14.19 64.69 = + + + +

Câu

a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết số chia cho 3, cho 4, cho 5, cho dư 2, chia cho dư

b) Tìm hai số tự nhiên biết tổng UCLN BCNN 23 c) Tìm số tự nhiên x; ybiết 32x1ychia hết cho 45

Câu

a) Tìm x ∈ biết: 2x 156+ + + + =

b) Tìm số nguyên nđể P n n − + =

− số nguyên

c) Tìm số tự nhiên nđể phân số M 6n 4n − =

− đạt giá trị lớn Tìm GTLN

Câu

Cho đường thẳng xy.Trên xy,lấy ba điểm A, B, Csao cho AB=a (cm), AC=b (cm)(b>a ) Gọi I trung điểm AB

a) Tính IC

b) Lấy điểm M, N, P, Q nằm đường thẳng xy.Chứng tỏ đường thẳng xy

không cắt cất ba, cắt bốn đoạn thẳng câc đoạn thẳng sau:

MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ

(121)

( )671 ( )672

2013 671 1344 672

a)2 = =8 ;3 = =9

671 672 2013 1344

Do 8<9, 671 672< ⇒8 <9 ⇒2 <3

1 1 1 1 1 1 b)A

4.9 9.14 14.19 64.69 9 14 64 69

 

= + + + + =  − + − + + − 

 

1 1 13

5 69 4.69  

=  − =  

Câu

a) Gọi số tự nhiên a

Ta có: a=BC(3; 4;5; 6) 2+ ⇒ ∈a {62;122;182; 242 }

Mặt khác a số tự nhiên nhỏ chia dư nên a 122= b) Gọi hai số tự nhiên a, b a, b( ∈  Gọi ) d=UCLN(a, b)

Ta có: a=a '.d; b=b '.d (a ', b ')=1

Khi BCNN(a; b) ab a '.b '.d2 a '.b '.d

UCLN(a; b) d

= = =

Theo ta có:

UCLN(a; b)+BCNN(a; b)=23nên d+ +a.b '.d '=23=d a '.b '( + )=23

d 1;1 a ' b ' 23 a ' b ' 22

⇒ = + = ⇒ = mà (a ', b ') a ' 1; b ' 22

a ' 11; b '

= =



= ⇒  = =

 c) Vì 32x1ychia hết cho 45 5.9=

( )

y 32x10 x x

y 32x15 x x

 = ⇒ ⇔ + + + + ⇒ =

⇒ 

= ⇒ ⇔ + + + + ⇒ =



 

Vậy hai số cần tìm 32310;32715

Câu

( )

a)2 2x+ + + + =156⇔2 x+ + + =156

( )

x x

2 156 x(x 1) 156 12.13

2 +

⇒ = ⇒ + = =

x 12

⇒ =

(122)

n n 1

b)P

n n n − + − + +

= = = − + − − −

( ) ( ) { } { }

P∈ ⇒ n 1− ∈ ⇔ n 1− ∈U(1)= ± ⇒ ∈1 n 0;

( )

( ) ( )

3 2n

6n 3 c)M

4n 2n 2 2n − +

−

= = = +

− − −

3 *)n M

2 ≤ ⇒ <

3 *)n M

2 > ⇒ >

Khi để M đạt giá trị lớn 2n 3( − )đạt giá trị dương nhỏ , n=2

Max M n 2

= + = ⇔ =

Câu

a) TH1: B, C nằm phía với so với A

Học sinh tính được: IC b a = −

Th2: B, C nằm khác phía so với điểm A

Học sinh tính IC b a = +

b) TH1: Nếu điểm thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xythì đường

thẳng xykhông cắt đoạn thẳng: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ

*Th2: Nếu có điểm (giả sử M, N, P)cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xy

cịn điểm Q nằm khác phía bờ đường thẳng xy đường thẳng xycắt đoạn thẳng

sau: MQ, NQ, PQ

*Th3: Nếu có điểm (giả sử M, N)cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng

2 điểm (P; Q)nằm khác phía bờ đường thẳng xythì đườn thẳng xycắt đoạn sau: MP, MQ, NP, NQ

A I B C

C A I B

(123)

HUYỆN HOẰNG HÓA ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2017-2018 MƠN: TỐN

a) Thực phép tính

12 12 12 5

12

158158158

7 289 85 13 169 91

A 81 :

4 4 6 711711711

4

7 289 85 13 169 91

 − − − + + + 

 

=  

 − − − + + + 

 

b) Tìm xbiết: 1) x 1(2x 1)

 

−  − = −

 

x x

1 1 2) 2 2

5

+

+ = +

Thực phép tính: ( ) ( ) ( )

9 14

2 2

28 18 29 18

5 2 3

A

5.2 7.2 − =

−

a) Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho 11 dư 6, chia cho dư chia cho 19 dư 11

b) Tìm số có tổng 210, biết

7số thứ

11số thứ

11số thứ hai

bằng

3số thứ ba

1 a) Cho đoạn thẳng AB 7cm.= Trên tia AB lấy điểm I cho AI 4cm.= Trên tia BA lấy điểm K cho BK 2cm= Hãy chứng tỏ I nằm A K Tính IK

b) Trên tia Ox cho điểm A, B, C, D.biết A nằm B C, B nằm C D;

OA=5cm, OD=2cm, BC=4cmvà độ dài AC gấp đơi độ dài BD Tính độ dài đoạn BD,

AC

2 Trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ Ox vẽ hai tia Oy, Oz cho 

xOy=70



yOz=30

a) Xác định số đo xOz

(124)

b) Trên tia Ox lấy hai điểm A B (Điểm A không trùng với điểm O độ dài OB lớn độ dài OA) Gọi M trung điểm OA Hãy so sánh độ dài MB với trung bình cộng độ dài OB AB

a) Chứng minh 101

3 + + +3 3+ chia hết cho 120

b) Cho hai số a b thỏa mãn: a b a( b) a b − = + =

Chứng minh a= −3b,Tính a

b Tìm a, b

c) Tìm x, y, zbiết (x−y2+z)2+(y 2− ) (2+ +z 3)2 =0

1 1 1

12

158.1001001

7 289 85 13 169 91

a)A 81 :

1 1 1 711.1001001

4

7 289 85 13 169 91

  − − −   + + + 

   

    

 

=

   

 − − − + + + 

   

    

 

12 158 18 324 81 : 81

4 711  

=   = =  

( ) ( ) ( )

b) x 1+ + x+ +2 + x 100+ =5750

x x x 100 5750

⇒ + + + + + + =

( ) ( )

101.50 100x

1 100 x x x x 5750

⇒ + + + + + + + + + =

 

100x 5050 5750

⇒ + =

100x=700⇒ =x

Câu

( 2 2) ( )9 2 ( )2 14 4

18 12 28 14

28 18 29 18 28 18 29 18

5 2 3 5.2.3 2 2.2 3

a)A

5.2 7.2 5.2 7.2

− −

= =

− −

( )

29 18

30 18 29 18

28 18 28 18

2 5.2

5.2 3 2.9

2

2 (5 7.2) 14

− −

= = = = −

− − −

0 2015

b)S=3 + + +3 3+

1 2015 2016

3S= +3 + 3+ +3

(125)

2016

2S S

2 −

⇒ = − ⇒ =

Câu

a) Gọi số cần tìm a ta có: (a−6 11; a 4, a 11 19) ( − ) ( − ) (a− +6 33 11; a 28 4; a 11 38 19) ( − + ) ( − + )

(a 27 11, 4,19)

⇒ + 

Do a số tự nhiên nhỏ nên a+27 nhỏ Suy a+27=BCNN(4;11;19)⇒ =a 809

b) Số thứ bằng: :6 21

11 7= 22(số thứ hai)

Số thứ ba bằng: :2 27

11 =22(số thứ hai)

Tổng số 21 27

22+22+ (số thứ hai) 70 22

= (số thứ hai) Số thứ hai là: 210 :70 66

22=

Số thứ là: 21.66 63 22 =

Số thứ ba: 27.66 81 22 =

Câu

a) Trên tia BA ta có BK=2cm, BA=7cm nên BK<BAdo điểm K nằm A B Suy

: AK KB AB+ = ⇒AK= − =7 5cm

Trên tia AB có điểm I K mà AI<AK 4( <5)nên điểm I nằm A K

b) Do I nằm A K nên AI+IK=AK⇒ +4 IK= ⇒5 IK=1(cm)

2 Vì A nằm B C nên BA+AC=BC⇒BA+AC=4 (1)

Lập luận ⇒Bnằm A D

Theo giả thiết OD OA< ⇒Dnằm O A Mà OD DA OA+ = ⇒ +2 DA= ⇒5 DA=3cm

(126)

Ta có DB BA+ =DA⇒DB BA+ =3(2)

Lấy ( ) ( )1 − : AC DB 1− = (3)

Theo đề : AC 2BD= thay vào (3)

Ta có: 2BD−BD= ⇒1 BD=1(cm)⇒AC=2BD=2(cm)

Câu

a)Ta có:

2 101

3 + + +3 3+

( 5) ( 9) ( 98 99 100 101)

3 3 3 3 3 3 = + + + + + + + + + + + +

( 4) (5 4) 97( 4)

3 3 3 3 3 3 3 = + + + + + + + + + + + +

( 97)

120 3 120(dfcm) = + + + 

( ) a

b)a b a b b − = ⋅ + =

a b 2.a 2b

⇒ − = +

a a 3b

b − ⇒ = − ⇒ =

Từ tính a 9, b 4 −

= =

( 2 )2 ( ) (2 )2

c) x−y +z + y 2− + +z =0

( )

2

x y z

x y z x

y y y

z z

z

 − + =  − + =  =



 

⇒ − = ⇒ − = ⇒ =

  + =  = −



+ = 



(127)

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN ANH SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019

Mơn:Tốn – Lớp

Bài (2,5 điểm) Thực phép tính

a) 32.56 32.25 32.19− − −

( )2

4

b)2 5−131− 13 4− 

3

2

9 25 c)

18 125

Bài (2,0 điểm) Tìm xbiết:

( )

a)4 x 1− + =2

2x 2

b)5 − −3.5 =5

Bài (2,0 điểm) Cho phân số A n 1(n ) n

+ = ∈

− 

a) Tìm nđể Alà phân số

b) Tìm nđể Alà phân số tối giản

c) Tìm nđể Acó giá trị lớn

Bài (2,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB.Điểm C thuộc tia đối tia BA.M trung điểm

đoạn thẳng AB

a) Chứng tỏ rằng: CM CA CB

2 + =

b) Gọi O điểm nằm đường thẳng AB.Biết  

AOC 120 , BOC= =30 , 

AOM=60

Hỏi OB có phải tia phân giác MOCkhơng ? Vì ?

Bài (1,5 điểm)

a) Có 68 người tham quan hai loại xe:loại 12 chỗ ngồi loại chỗ ngồi Biết số người vừa đủ với số ghế ngồi Hỏi loại có xe

b) Chứng minh với số tự nhiên n,ta có n2+ +n 2khơng chia hết cho

(128)

( )

a) 32.56 32.25 32.19− − − = −32 56 25 19+ +

( )2

4

b)2 5−131− 13 4− =16.5−131 9− 

3 6

2 2

9 25

c)

18 125 =2 =2 =

Bài

( )

a)4 x 1− + = ⇒ −2 2x− = ⇒ =2 x

2x 2 2x 2

b)5 − −3.5 =5 2⇒5 − =5 3.5+

2x 3

5 − =5 ⇒2x− = ⇒ =3 x

Bài

a) A phân số n 0− ≠ ⇒ ≠n

b) Để A phân số tối giản UCLN (n 1, n+ − =3)

Hay UCLN((n 3− +) 4; n 3− =)

Vì 2 (2 ước nguyên tố)

Nên để UCLN((n 3− +) 4; n 3− =) 1thì n 3− khơng chia hết cho

Suy n 2k 1− = + (k số nguyên) Hay nlà số chẵn

a) Ta có: A n n 4

n n n + − +

= = = + − − −

Với n 3>

n 3− > , Với n 3<

0 n 3− <

Để A có giá trị lớn n 3− ngun dương có giá trị nhỏ hay n n 4− = ⇒ =

Bài

a)

Do Mlà trung điểm AB, C điểm thuộc tia đối tia BA nên M nằm A C

Ta có: CA=MA+MC (1)

M

A B C

(129)

Ta có B nằm M C nên CB=CM−MB (2)

Từ (1) (2) ta có: CA CB MA MC CM MB+ = + + −

CA CB CA CB 2CM(Do MA MB) MC

2 + ⇒ + = = ⇒ =

b)

Theo câu a điểm M nằm A C nên ta có:

   0

MOC=AOC AOM− =120 −60 =60

Ta thấy điểm B nằm M C BOC 1MOC

= nên OB tia phân giác MOC

Bài

a) Gọi xlà số xe 12 chỗ ngồi, y số xe chỗ ngồi (x, y∈  *) Theo ta có: 12x+7y=68

Vì 12x 4, 68 4  ⇒7y 4, 7, 4 ( )= ⇒1 y 4

Hơn x∈  nên * y≤ ⇒ =8 y 4, y=8

Với y 12x 7.4 68 x 10(ktm) = ⇒ + = ⇒ =

Với y= ⇒ =8 x 1(tm)

Vậy có xe loại 12 chỗ ngồi, xe loại chỗ ngồi

b) Ta có: ( )

n + + =n n n 1+ +2

Do n n 1( + )là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho

( )

n n

⇒ + có tận 0, 2,

M

A C

O

B

(130)

( )

n n

⇒ + + có tận 2, 4,8khơng chia hết cho

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH CHƯƠNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2018-2019

Môn Toán Câu a) Cho A 2 ; B 11 1

11.15 15.19 19.23 51.55 3     = + + + + = −   +     

Tính tích A.B

b) Chứng tỏ số tự nhiên dạng abcabc chia hết cho số nguyên tố

Câu Khơng tính giá trị biểu thức Hãy so sánh:

a) 1717

8585và 1313

5151 b)

8 16

9 1920

Câu

a) Tìm xbiết: x 2x 4− = +

b) Tìm số nguyên nđể phân số M 2n n

− =

− có giá tri số nguyên

c) Tìm số tự nhiên a nhỏ cho: a chia cho dư 3, a chia cho dư

Câu

Cho góc bẹt xOy, tia Ox lấy điểm A cho OA=2cm;trên tia Oy lấy hai điểm Mvà Bsao cho OM=1cm, OB=4cm

a) Chứng tỏ điểm M nằm hai điểm O B Điểm M trung điểm đoạn thẳng AB

b) Từ O kẻ hai tia Ot, Ozsao cho tOy 130 , zOy= =300 Tính số đo tOz

2 2 a)A

11.15 15.19 19.23 51.55 = + + + +

1 1 1 1

2 11 15 51 55 11 55 55     =  − + + − =  − =

    11 11 55.2 B

3 3 −      

= −   + = −   =      

2 55.2 A.B

55 9 − −   ⇒ =  =

 

b) abcabc 1001abc 7.11.13abc= = Vậy chia hết cho số ngun tố : 7;11;13

(131)

Câu

1717 17 13 13 1313 1717 1313 a)

8585=85= =5 65<51=5151⇒8585<5151

8 16 16 16 16 16 20 16 20

b)9 =3 =15 <19 <19 ⇒9 <19

Câu

( )

x 2x x x 7(ktm)

a) x 2x 1

3 x 2x x x (tm)

3

− = + ≥ ⇒ = −

 

− = + ⇒ −

 − = + < ⇒ =



{ }

2n 2n 10 3

b)M n U(3) 1; n n n

− − +

= = = + ∈ ⇒ − ∈ = ± ±

− − −  ⇒ ∈n {2; 4; 6;8}

c) Ta có: a=5q+3; a=7p+4

Xét a 17+ =5q+20=7p+21⇒ +a 17chia hết cho 7⇒ + ∈a 17 BC 5; 7( ) Vì a số tự nhiên nhỏ nên a 17+ =BCNN 5, 7( )=35⇒ =a 18

Câu

a) Trên tia Oy có OM<OB(1cm<4cm)nên M nằm O B

( )

MO MB OB MB OB MO 3cm

⇒ + = ⇒ = − =

Vì Ox, Oy đối , A∈Ox, M∈Oynên O nằm A M AM AO OM 3cm (2)

⇒ = − =

Từ (1) (2) suy MB MA 3cm= = ⇔Mlà trung điểm AB b) Ta có trường hợp

Ot, Oz

+ nằm nửa mặt phẳng bờ 

xy : tOz 100=

Ot, Oz

+ không nằm nửa mặt phẳng bờ 

xy : tOz=160

x

y t

z

O

A M B

(132)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN

NĂM HỌC 2019-2020 Câu (2đ)

Thay (*) số thích hợp: a) 510*; 61*16chia hết cho

b) 261*chia hết cho chia dư

Câu (1,5 điểm)

Tính tổng S =1.2 2.3 3.4 99.100+ + + +

Câu (3,5 điểm)

Trên đường qua địa điểm A B C B, , ( nằm A C), có hai người xe máy

Hùng Dũng Hùng xuất phát từ A, Dũng xuất phát từ B Họ khởi hành lúc để đến C vào lúc 11 ngày Ninh xe đạp từ C phía A, gặp Dũng lúc gặp Hùng lúc 24 phút Biết quãng đường AB dài 30km, vận tốc Ninh

1

4vận tốc Hùng Tính quãng đường BC

Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác đặt tên theo thứ tự từ A đến B

1, 2, 3, , 2004

A A A A Từ điểm M không nằm đoạn thẳng AB ta nối M với điểm

1, 2, 3, , 2004

A A A A ; B Tính số tam giác tạo thành

Tích hai phân số

15 Thêm đơn vị vào phân số thứ tích 56

15 Tìm hai

phân số

ĐÁP ÁN

Câu

a) Để 510*; 61*16chia hết cho *+ + chia hết cho 3, từ tìm *=0, 3, 6,

b) Để 261*chia hết cho chia cho dư *chẵn *+ + + chia dư 1, từ tìm

được *=4

Câu

1.2 2.3 3.4 99.100

S= + + + +

( )

3S = 1.2 2.3 3.4 99.100 3+ + + +

1.2.3 2.3.3 3.4.3 99.100.3

= + + + +

( ) ( ) ( )

1.2.3 2.3 3.4 99.100 101 98

= + − + − + + −

1.2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 98.99.100 99.100.101

= − + − + − − +

Vậy S=99.11.101: 3=33.100.10

Câu

(133)

Thời gian từ A đến C Hùng là: 11 3− = (giờ) Thời gian từ B đến C Dũng là: 11 3− = (giờ)

Quãng đường AB 30km khoảng cách Hùng Dũng bớt 10km Vì lúc Hùng cách Dũng 20km, lúc Ninh gặp Dũng nên Ninh cách Hùng 20km

Đến 24 phút, Ninh gặp Hùng tổng vận tốc Ninh Hùng là:

( )

24

20 : 50 / 60 = km h

Do vận tốc Ninh

4vận tốc Hùng nên vận tốc Hùng là:

( ) ( )

50 : 4+ 4=40 km h/  

 

Từ suy quãng đường BC là: 40.3 30− =90(km)

Câu

Trên đoạn thẳng AB có điểm A;A A A1, 2, 3, ,A2004; B đó, tổng số điểm AB

2006 điểm suy có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến điểm

Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) kết hợp với 2005 đoạn thẳng lại đoạn thẳng tương ứng AB để tạo thành 2005 tam giác

Do 2006 đoạn thẳng tạo thành 2005.2006 4022030= tam giác(nhưng lưu ý MA kết hợp với MA1để tam giác MA1cũng kết hợp với MA tam giác hai tam

giác 1)

Do số tam giác thực có là: 4022030 : 2011015=

Câu

Tích hai phân số

15 Thêm đơn vị vào phân số thứ tích 56 48

15−15=15đây lần phân số thứ hai Suy phân số thứ hai là:

48 12 :

15 =15 =5

Từ phân số thứ là: :4 15 =3

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MƠN TỐN

NĂM HỌC 2018-2019 Bài (3 điểm)

a) Cho 1999 1997

999993 555557

A= − Chứng minh A chia hết cho

b) Chứng tỏ 1 1

41+42+43+ +79+80>12

Bài (2,5 điểm)

(134)

Tổng số trang loại 1, loại loại 1980 trang Số trang loại

3số trang loại Số tang

quyển loại số trang loại Tính số tran loại

Tìm số tự nhiên n chữ số a biết rằng: 1 n+ + + + =aaa

Bài (2,5 điểm)

a) Cho tia chung gốc Có góc hình vẽ ? Vì ? b) Vậy với n tia chung gốc.Có góc hình vẽ

a) Để chứng minh 5A ta xét chữ số tận A việc xét chữ số tận

số hạng

Ta có: 1999 ( )4 499 3 499

3 = 3 =81 27 nên 1999

3 có tận

( )499

1997 499 1997

7 = 7=2401 7⇒7 tận

Vậy A có tận nên 5A

b) Ta thấy

41đến

80có 40 phân số

Vậy 1 1 41+42+43+ +78+79+80

1 1 1 1 (1)

41 42 59 60 61 62 79 80

   

= + + + +  + + + + + 

   

Vì 1 41>42> >60và

1 1

(2) 61>62 > >80

Ta có: 1 1 1 1

60 60 60 60 80 80 80 80  + + + +  + + + + + 

   

   

20 20 1 (3)

60 80 12 = + = + =

Từ ( ) ( ) ( )1 , , 1 1

41 42 43 78 79 80 12 ⇒ + + + + + + >

Bài

Vì số trang loại

3số trang loại

Nên số trang loại số trang loại Mà số trang loại loại

Nên số trang loại số trang loại

(135)

Do số trang loại 1: 4.8: 16= (quyển loại 3) Số trang loại bằng: 9.4 :3 12= (quyển loại 3)

Vậy 1980 trang số trang 16 12 33+ + = (quyển loại 3) Suy ra:Số trang loại 3: 1980 :33 60= (trang)

Số trang loại 2: 60.4 80

3 = (trang)

Số trang loại 1: 80.3 120

2 = (trang)

Bài

Từ 1; 2;……;n có n số hạng

Suy ( 1)

2

n n n +

+ + + =

Mà theo ta có: n aaa+ + + + =

Suy ( 1) 111 3.37

2

n n

aaa a a

+

= = = ⇒n n( + =1) 2.3.37.a

Vì tích n n( +1)chia hết cho số nguyên tố 37 nên n n+1chia hết cho 37

Vì số ( 1)

n+ n

có chữ số nên 74 37

1 37

n n

n

=  + < ⇒ 

+ =  Với n=37thì 37.38 703( )

2 = ktm

Với 37 36.37 666( )

n+ = ⇒ = tm

Vậy n=36,a= ⇒ + + +6 36+ =666

Bài

a) Vì tia với tia cịn lại tạo thành góc Xét tia, tia với tia cịn lai tạo thành góc Làm với tia ta 5.6góc Nhưng góc tính lần , số góc 5.6 15

2 = (góc)

b) Từ câu a suy tổng quát Với n tia chung gốc có ( 1)

n n−

góc

NĂM HỌC 2018-2019 Bài (3 điểm)

a) Tính nhanh: 1.5.6 2.10 12 4.20.24 9.45.54

1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45

A= + + + +

+ + +

b) Chứng minh: Với k∈  ta ln có: * k k( +1)(k+ − −2) (k 1) (k k+ =1) 3k k( +1) Áp dụng tính tổng: S =1.2 2.3 3.4 + + + +n n( +1)

(136)

a) Chứng minh rằng: (ab cd+ +eg) 11 abcdeg 11

b) Cho 60

2 2

A= + + + + Chứng minh 3,7,15A

Bài (2 điểm) Chứng minh 12 12 12 12 +3 +4 + +n <

Bài (2đ)

a) Cho đoạn thẳng AB=8cm.Điểm C thuộc đường thẳng AB cho BC=4cm Tính độ

dài đoạn thẳng AC

b) Cho 101 đường thẳng hai đường thẳng cắt khơng có ba đường thẳng qua điểm Tính số giao điểm chúng

a) ( )

( )

1.5.6 2.2.2 4.4.4 9.9.9

1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54 1.5.6 1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45 1.3.5 2.2.2 4.4.4 9.9.9 1.3.5

+ + +

+ + + = = =

+ + + + + +

b) Biến đổi:

( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) ( 1)

k k+ k+ − k− k k+ =k k+  k+ − k− = k k+

Áp dụng tính: ( )

3 1.2 =1.2.3 0.1.2− ( )

3 2.3 =2.3.4 1.2.3− ( )

3 3.4 =3.4.5 2.3.4−

( ) ( )( ) ( ) ( )

3n n+ =1 n n+1 n+ − −2 n n n+1 Cộng lại ta có:

( )( ) ( 1)( 2)

3

n n n

S =n n+ n+ ⇒ =S + +

Bài

a) Tách sau :

( ) ( )

deg 10000 100 9999 99

abc = ab+ cd+eg= ab+ cd + ab cd+ +ed

Do 9999 11, 99 11  ⇒(9999ab+99cd) 11 Mà (ab cd+ +eg)11⇒abcdeg 11 b) Biến đổi:

*) ( 2) ( 4) ( 59 60)

2 2 2

A= + + + + + +

( ) 3( ) 59( )

2 2

= + + + + + +

( 59)

3 2 = + + + 

(137)

( 3) ( 6) ( 58 59 60)

2 2 2 2

A= + + + + + + + + +

( 2) 4( 2) 58 ( 2)

2 2 2 2 = + + + + + + + + +

( 58)

7 2 = + + + 

( 4) ( 8) ( 57 58 59 60)

2 2 2 2 2 2

A= + + + + + + + + + + + +

( 3) 5( 3) 57( 3)

2 2 2 2 2 = + + + + + + + + + + + +

( 57)

15 2 15 = + + + 

Bài

Ta có: ( )

1 1

1

n < n n− = n− −n

Áp dụng : 12 1 1; 2 1; ; 12 1 < −2 < −2 n <n−1−n

2 2

1 1 1 1 n n

⇒ + + + + < − <

Bài

a) Xét hai trường hợp:

C B

A

*TH1 : C thuộc tia đối tia BA

Hai tia BA, BC hai tia đối ⇒Bnằm A C

12

AC AB BC cm

⇒ = + =

*TH2: C thuộc tia BA

C B

A

C nằm A B (vì BA > BC) ⇒ AC+BC =BA⇒ AC=AB−BC=4cm

b) Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng lại nên tạo 100 giao điểm - Có 101 đường thẳng nên có: 101.100 10100= giao điểm

- Do giao điểm tính lần nên số giao điểm: 10100 : 5050= giao điểm

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN

NĂM HỌC 2019-2020 Câu Thực phép tính cách hợp lý:

1) 636363.37 373737.63

1 2017

A= −

+ + + +

(138)

2)

12 12 12 4

12

6 19 37 53 17 19 2006 124242423

1 :

1 3 5

41 237373735

3

3 37 53 17 19 2006

B  + − − + + +    =    + − − + + +   

Câu Tìm cặp số ( )a b, cho 45a b

Câu Cho 2006

3 3

A= + + + +

a) Thu gọn A

b) Tìm x để 2 3x

A+ =

Câu So sánh: 201620162017

2016

A= +

+

2015

2016

B= +

+

Câu Một học sinh đọc sách ba ngày Ngày thứ đọc 2

5số trang

sách; ngày thứ đọc

5số trang lại; ngày thứ ba đọc 80% số trang sách

lại trang cuối Hỏi sách có trang ?

1) 636363.37 373737.63 63 10101.37( ) 37 10101.63( )

1 2017 2017

A= − = − =

+ + + + + + + +

2)

12 12 12 4

12

6 19 37 53 17 19 2006 124242423

1 :

1 3 5

41 237373735

3

3 37 53 17 19 2006

B  + − − + + +    =    + − − + + +   

1 1 1

12

47 19 37 53 17 19 2006 41.3.1010101

:

1 1 1

41 47.5.1010101

3

19 37 53 17 19 2006

  + − −   + + +             =      + − − + + +            

47 41.3 41 47.3

 

=   =  

Câu

0 9

b= ⇒ +a ⇒ =a

5 14

b= ⇒ +a ⇒ =a

Câu

a) 2006 2007

3 3 3 3

A= + + + + ⇒ A= + + + +

2007

2007 3

3 3

2

A A A −

⇒ − = − ⇒ =

b) Ta có: 32007 2007 2007

2 3 3 3 3 2007

2

x x x

x

−

+ = ⇒ − + = ⇒ = ⇒ =

(139)

Câu

( )

2015

2016 2016

2017 2017 2016

2016 2016

2016 2016 2015

2016 2016 2015 2016 2016

A= + < + + = + = ⇒ <B A B

+ + + +

Câu

Gọi x số trang sách, x∈ Ngày đọc

5xtrang

Số trang lại:

5

x− x= x(trang)

Ngày đọc được: 3

5x =25x(trang)

Số trang lại là:3

5x−25x= 25xtrang

Ngày thứ ba đọc được: 80% 30 24 30

25 125

x x + = +

Hay: 24 30 625

5x+25x+125x+ = ⇒ =x x (trang)

Câu

a) Tính tổng 27 4500 135 550.2

2 14 16 18

S = + + +

+ + + + + +

b) So sánh 200620062007

2007

A= +

+

2005

2006

B= +

+

Câu

a) Chứng minh rằng: 99 100

2 2 2

C= + + + + + chia hết cho 31

b) Tính tổng C Tìm x để

2 x− − =2 C

Câu

Một số chia cho dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13 Hỏi số chia cho 1292 dư

Câu

Trong đợt thi đua, lớp 6A có 42 bạn từ đến 10 điểm trở lên, 39 bạn điểm 10 trở lên, 14 bạn từ điểm 10 trở lên,5 bạn điểm 10, khơng có điểm 10 Tính xem đợt thi đua lớp 6A điểm 10 ?

Câu

Cho 25 điểm khơng có điểm thẳng hàng Cứ qua điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi tất có đường thẳng ?

(140)

Nếu thay 25 điểm n điểm số đường thẳng ?

ĐÁP ÁN

Câu

( ) 270 450 550( )

270.450 270.550

) 3000

2 18 90

2

a S = + = + =

+

b) Ta có a a a n(n *)

b b b n

+ < ⇒ < ∈

+ 

2006 2006 2006

2007 2007 2007

2006 2006 2005 2006 2006

A= + < + + = +

+ + + +

( )

2005 2005

2006 2006

2006 2006 2006 1

2006

2006 2006 B

+ +

= = =

+ +

Vậy A<B

Câu

2 99 100

) 2 2

a C= + + + + +

( 4) 6( 4) 96( 4)

2 2 2 2 2 2 2 = + + + + + + + + + + + + + + +

( 96)

31 2 31 = + + + 

2 99 100 99 100 101

) 2 2 2 2 2

b C = + + + + + ⇒ C= + + + + +

101 101

2 2 2 x 101 51

C= C− =C − ⇒ = − ⇒ x− = ⇒ =x

Câu

Gọi số cần tìm A

1

4 17 19 13

A= q + = q + = q +

( ) ( ) ( )

25 17 19

A q q q

⇒ + = + = + = +

25 4,17,19 25 1292

A A k

⇒ +  ⇒ + =

( )

1292 25 1292 1267

A k k

⇒ = − = + +

Nên chia A cho 1292 ta dư 1267

Câu

Tổng số điểm 10 lớp 6A là:

(42 39 1− ) (+ 39 14 2− ) +(14 5.4 100− ) + = (điểm 10)

Câu

Có 24.25 300

2 = đường thẳng Với n điểm có

( 1)

2

n n−

đường thẳng

(141)

NĂM HỌC 2018 - 2019 Bài Tính giá trị biểu thức:

) 100

a A= + + + + +

1 3 4 4 4

4 4

1 53 17 19 2003

) :

1 3 5

5

3

3 53 17 19 2003

b B

 + − − 

+ + +

 

 

= −

+ − − + + +

1 1 1 )

1.2 2.3 3.4 4.5 99.100

c C= + + + + +

Bài So sánh biểu thức:

a) 200

3 2300

b) 121212 404

171717 17 1717

A= + − với 10

17

B=

Bài Cho số có chữ số *26* Điền chữ số thích hợp vào dấu (*) để số có

chữ số khác chia hết cho số 2;3;5;9

Bài Tìm số tự nhiên n cho : 1! 2! 3! + + + +n!là số phương

Bài Hai xe ô tô khởi hành từ hai địa điểm A, B ngược chiều Xe thứ khởi

hành từ A lúc Xe thứ hai khởi hành từ B lúc 10 phút Biết để quãng đường AB Xe thứ cần giờ, xe thứ hai cần Hỏi sau xe gặp lúc

Bài Cho góc xOycó số đo 120 Điểm A nằm góc xOysao cho: AOy=75

Điểm B nằm ngồi góc xOymà 

135

BOx= Hỏi ba điểm A, O, B có thẳng hàng khơng ? Vì

sao ?

a) Tổng S = + + +1 100+ có 100 số hạng (1 100) (2 99) (3 98) (50 51)

S = + + + + + + + + có 50 cặp

50.10 5050

= =

b)

1 3 4 4 4

4 4

1 53 17 19 2003

1 :

1 3 5

5 3 5

3 53 17 19 2003

A

 + − − 

+ + +

 

 

= −

+ − − + + +

1 1

4

6 17 19 2003 4

: :

1 1

5 5

5

17 19 2003

A

 + + + 

 

 

= − = − = −

 + + + 

 

 

(142)

c) 1 1 1 99 2 99 100 100

C

⇒ = − + − + + − =

Câu

a) Ta có: 200 ( )2 100 100 100 ( )3 100 300 200 300

3 = =9 >8 = =2 ⇒3 >2

b) 121212 404 12 10

171717 17 1717 17 17 17 17

A= + − = + − = ⇒ =A B

Câu

Để số có chữ số *26*, chữ số khác mà chia hết cho 2,3,5,9 tận (vì chia hết cho 5)

Để *260 9 (* 9+ + + ) ⇒ =* Do số cho 1260

Câu

Xét :

1 1!

n= ⇒ =

2 1! 2!

n= ⇒ + =

2

3 1! 2! 3!

n= ⇒ + + = =

4 1! 2! 3! 4! 33

n= ⇒ + + + =

Với n>4thì ! 1.2.3 n = nlà số chẵn Nên 1! 2! + + + =n! 33cộng với số chẵn số có chữ số tận nên khong phương

Vậy n =1, n = thỏa đề

Câu

1 xe thứ

2quãng đường AB

1 xe thứ hai

3quãng đường AB

Sau 10phút

6

= giờ:xe thứ được: 1

6 2=12quãng đường AB

Quãng đường lại: 1 11 12 12

− = (quãng đường AB)

Thời gian xe quãng đường lại: 11 5: 11

12 =10giờ =1giờ phút

Hai xe gặp lúc: 10 phút + phút 8= 16 phút

Câu

(143)

y x

O

O A

A

B

B'

Vì  

120 , 75 ,

xOy= AOy= điểm A nằm góc xOynên tia OA nằm hai tia Ox Oy,

Ta có:    0

120 75 45

xOA=xOy−AOy= − =

Điểm B vị trí: B B’

+Tại B tia OB nằm ngồi hai tia Ox OA, nên  BOx+xOA=1350+450 =180 Do

  

180

BOA=BOx+xOA= ⇒3 điểm A, O, B thẳng hàng

+Cịn B’ thì:  0    0

' 135 180 ' ' 135 45 90

xOB = < ⇒AOB =xOB −xOA= − = Nên ba điểm A, O,

'

B không thẳng hàng

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TỐN

Bài (5 điểm) Tìm x :

2 2

)5x 125 )3 x 81 )5 x 2.5

a = b = c − − =

Bài (1,5 đ) Cho a số nguyên Chứng minh rằng:

5 5

a < ⇔ − < <a

Bài (1,5đ) Cho a số nguyên Chứng minh rằng:

a) Nếu a dương số liền sau a dương b) Nếu a âm số liền trước a âm

c) Có thể kết luận số liền trước số dương số liền sau số âm ?

Bài (2đ) Cho 31 số nguyên tổng số số dương Chứng minh

rằng tổng 31 số dương

Bài (2đ) Cho số tự nhiên từ đến 11 viết theo thứ tự tùy ý sau đem cộng với số với số thứ tự ta tổng Chứng minh tổng nhận được, tìm hai tổng mà hiệu chúng số chia hết cho 10

Bài (1,5 đ)

(144)

Cho tia OxTrên hai nửa mặt phẳng đối có bờ Ox Vẽ hai tia Oy Oz, cho

 ,

xOy xOzbằng

120 Chứng minh rằng:

a)   xOy=xOz=yOz

b) Tia đối tia Ox Oy Oz, , phân số góc hợp hai tia cịn lại

a)

5x 125 5x

x

= ⇒ = ⇒ =

b) 2

3 x =81⇒3 x=3 ⇒2x= ⇒ =4 x

c) 2 2

5 x− −2.5 =5 3⇒5 x− =5 2.5+

2 3

5 x− 2x 3 x ⇒ = ⇒ − = ⇒ =

Bài

Vì a số tự nhiên với a ∈ nên từ a <5ta ⇒ a ={0,1, 2, 3, 4}

Nghĩa a={0;1; 1; 2; 2;3; 3; 4; 4− − − − } Biểu diễn trục số số lớn -5 nhỏ 5− < <a

Bài

a) Nếu a dương a>0số liền sau a lớn a nên lớn nên số dương b) Nếu a âm a < số liền trước a nhỏ a nên nhỏ nên số âm

Bài

Trong số cho có số dương trái lại tất số âm tổng số chúng số âm trái với giả thiết

Tách riêng số dương cịn 30 số chia nhóm Theo đề tổng số nhóm số dương nên tổng nhóm số dương tổng 31 số cho số dương

Bài

Vì có 11 tổng mà có 10 chữ số tận số từ 0,1, 9nên ln tìm

được hai tổng có chữ số tận giống nên hiệu chúng số nguyên có tận số chia hết cho 10

Bài

Ta có  

' 60 , ' 60

x Oy= x Oz= tia Ox’ nằm hai tia Oy Oz, nên   yOz= yOx'+x Oz' =1200 Vậy   xOy= yOz=zOx

Do tia Ox'nằm hai tia Oy Oz,  x Oy' =x Oz' nên Ox'là tia phân giác góc hợp hai tia Oy Oz,

Tương tự tia Oy'(tia đối tia Oy)và tia Oz'(tia đối tia Oz) phân giác  xOz xOy,

(145)

PHỊNG GD ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS BÍCH HỊA

Đề thức

ĐỀ THI OLYMPIC MƠN TỐN Năm học 2018-2019 Bài

a) Chứng tỏ 4x+3ychia hết cho 2x+5ychia hết cho

b) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số cho chia cho 130,cho 150được số dư

lần lượt 88 108

Bài

a) Tính 7777 77 7777 77 123498766

8585 85 16362 162 987661234

A= − + − 

 

b) Tìm phân số lớn nhất, chia phân số 24 18;

7 11cho ta thương số

nguyên

Bài

Cho biết 1

101 102 130

S= + + + Chứng minh 91

4< <S 330

Bài

Tổng bình phương ba số tự nhiên 2596.Biết tỉ số số thứ số thứ hai 2;

3 số thứ hai số thứ ba

6 Tìm ba số

Bài

Cho tia Oz nằm góc vng xOy.Vẽ tia Ot cho Ox tia phân giác .tOz Vẽ tia Omsao cho tia Oylà phân giác zOm

a) Chứng minh tia Om tia Ot hai tia đối b) Gọi Ox'là tia đối tia Ox,biết x Om' =30 Tính tOz

c) Vẽ thêm 2014 tia phân biệt gốc O (không trùng với tia Ox Oz Oy Om Ox, , , , 'và Ot).Hỏi

trong hình vẽ có tất góc ?

a) Ta có:

( )

4x+3y7⇒4 4x+3y 7⇒16x+12y7⇒14x+7y+2x+5y Mà: 14x+7y7⇒2x+5y

Vậy 4x+  73y x+ y

b) Gọi số phải tìm a

Ta có: a+42chia hết cho 130;150⇒(a+42)∈BC(130;150) {1908;3858;5808; 7758;9708}

a

⇒ ∈

Bài

(146)

a) Ta có:

7777 7777 :101 77 8585 =8585 :101=85

7777 7777 :101 77 16362=16362 :101=162

75 75 77 77 123498766 85 85 162 162 987661234

A  

⇒ = − + −  =

 

b) Từ 3 1( , )

9 18 18 18

x x x

x y

y y

−

− = ⇒ = − = ∈ 

Suy : y(2x− =1) 54⇒ ∈y U(54)={1; 2;3; 6;9;18; 27;54} Vì 54là số chẵn mà 1x− số lẻ nên ylà ước chẵn 54

Vậy y∈{2; 6;18;54}

Lập bảng suy ( ) (x y; ∈{14; ; 5; ; 2;18 ; 1;54) ( ) ( ) ( )}

Bài

*Chứng minh 91

330

S <

1 1 1 1 101 102 110 111 120 121 130

S = + + +   + + +   + + + 

     

1 1 1 1 100 100 100 110 110 120 120

S< + + +   + + +   + + + 

     

1 1 1 181 182 91 10 10 10

100 110 120 10 11 12 660 660 330

S< + + = + + = < <

91

(1) 330

S

⇒ <

*Chứng minh

4<S

1 1 1 110 110 120 120 130 130

S > + +   + + +   + + + 

      1 1 1

.10 10 10

110 120 130 11 12 13

S > + + = + +

431 429

(2) 1716 1716

S > > ⇒ >S

Từ (1) (2) 91

4 S 330 ⇒ < <

Bài

Gọi a b c, , ba số tự nhiên phải tìm

Theo đề ta có: 2; ( )1

a b

b = c =

2 2

2596

a +b +c = (2)

Từ (1) suy : ;

3

a= b c= b, thay vào (2) ta có:

(147)

2 2

4 36

2596 900 9b +b +25b = ⇒b =

30; 20; 36

b a c

⇒ = = =

Vậy số phải tìm 30; 20;36

Bài

m

x'

t

x z y

O

a)Tia Oz nằm góc xOynên:   xOz+zOy=xOy=900 Theo giả thiết ta có tia phân giác nên  

2

xOz= tOz; 1

2

zOy= zOm

Từ suy : 1 1  

90 180 2tOz+2zOm= ⇔tOz+zOm=

⇒  tOz zOm; hai góc kề

b) Chứng minh  

' 30

tOz=mOx = (cùng kề bù với )mOx

  

30 60

tOx xOz tOz

⇒ = = ⇒ =

c) Giả sử vẽ thêm n tia phân biệt gốc O không trùng với tia Ox Oy Oz Ot, , , Om Ox, '.Tất

trong hình vẽ có n+6tia phân biệt

Cứ tia n+6tia tạo với n+5thi cịn lai thành n+5góc

Có n+6tia tạo thành (n+5)(n+6)góc, góc tính lần

Vậy có tất ( 5)( 6)

n+ n+

góc

Thay 2014= ta số góc là: (2014 2014 : 2+ )( + ) =2 039190(góc)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN

NĂM HỌC 2018-2019

Bài Thực so sánh:

a) 20132013

20142014

A= với 131313

141414

B=

b) 10

2013 2013

C= + với D=201410

(148)

Bài

a) Cho 99 100

1 4 ;

A= + + + + + B= Chứng minh

3

B A<

b) Tìm số nguyên x y, cho (x+1)(xy− =1)

c) Tìm số tự nhiên có chữ số, biết chia số cho số 15;18; 25thì

số dư 5;8;15

Bài Thực tính:

a) 1(1 2) (1 3) 2013( ) 2013

A= + + + + + + + + + +

b) 2011 2013 2012 2014 2013.2014 1.3 2.4 3.5 4.6 2011.2013 2012.2014 2013.2014

B= − + − + − + − + + − + − −

Bài

Một xe tải khởi hành từ A lúc 7h đến B lúc 12h Một xe khởi hành từ B lúc rưỡi đến A lúc 11 rưỡi

a) Hỏi hai xe gặp lúc

b) Biết vận tốc xe xe tải 10km h/ Tính quãng đường AB

Bài

Cho đoạn thẳng AB.Điểm O thuộc tia đối tia AB.Gọi M N, theo thứ tự trung điểm

của OA OB,

a) Trong điểm O M N, , điểm nằm hai điểm cịn lại ? Vì ?

b) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O

Bài Cho 2011 2012 2013 2014

32 10 10 10 10

M = + + + +

a) Chứng minh rằng: M b) Tìm số dư chia M cho 24

2013.10001 2013 13.10101 13 ;

2014.10001 2014 14.10101 14

A= = B= =

2013 13 1 ;1

2014 2014 14 14

A B

− = − = − = − =

Do 1− < − ⇒ >A B A B

b) ( )

2013 2013 2013 2014

C= + =

2014 2014

D=

Vì 2013 2014< ⇒ <C D

Bài

a)1 ( 1)

2

n n

n +

+ + + + =

(149)

1 2.3 3.4 2013.2014 2014

2 2013 2 2

A

⇒ = + + + + = + + + +

( )

1 2014

2014 2 2 2

A+ = + + + + = + + + +

( )

1

2014 1014552

2

A= + + + + − =

b) 1 1 1 1.3 3.5 2011.2013 2.4 4.6 2012.2014 2013 2014

B= −  + + + + + + + − −

 

1 1 1 1 1 1

; ; ;

1.3 3.5 2011.2013 2011 2013

:

1 1 1 1 1 1

; ; ;

2.4 2 4.6 2012.2014 2012 2014

Thay

 =  −  =  −  =  − 

     

      



     

 =  −  =  −  =  − 

      



1 1 1 1 1 1

3 2011 2013 2012 2014 2013 2014

B  

⇒ = − − + − + + − + − + + − − −

 

3

B

⇒ = −

Bài

a) Chọn quãng đường AB làm đơn vị quy ước

Thời gian xe tải từ A đến B 5h, xe từ B đến A 4h Trong 1h hai xe gần được: 1 ( )

5+ =4 20 AB

Xe khởi hành sau xe tải: 30 30

2

h ph− h= ph= h

Khi xe khởi hành hai xe cách nhau: 1 10

− = (AB)

Hai xe gặp sau: : 10 20 = h

Hai xe gặp lúc: 30h ph+2h=9 30h ph

b) 10km là: 1 ( ) 4− =5 20 AB

Vậy quãng đường AB dài: 10 : 200( ) 20 = km

Bài

N

M A B

O

a) O thuộc tia đối tia AB O⇒ nằm hai điểm A B OA OB⇒ <

,

M Ntheo thứ tự trung điểm OA OB, nên ;

2

OA OB OM = ON =

CóOA OB< ⇒OM <ON⇒Mnằm hai điểm O N

(150)

b) Từ (a)

2 2

OB OA AB MO+MN =ON⇒MN =ON−OM ⇒MN = − =

Độ dài đoạn thẳng AB cố định nên MN cố định không phụ thuộc vào O

Bài

( )

2011 2011

32 10 10 10 10 32 10 1111

M = + + + + = +

Có 2011 2011

10 8 ⇒10 8⇒32 10+ 1111 8

1111000 0032

A= có tổng chữ số nên chia hết cho

Do ( )3,8 =1 Vậy Mchia 24 dư

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN

Câu

a) Tính: 1 1 1

10 40 88 154 238 340

A= + + + + +

b) So sánh 10

2004 +2004 10

2005

Câu

a) Tìm số nguyên x cho 4x−3x−2

a) Tìm số tự nhiên a b, thỏa mãn 29 28

a b a b

+ =

+ ( )a b, =1

Câu

Số học sinh trường học xếp hàng, hàng có 20 người 25 người 30 người thừa 15 người Nếu xếp hàng 41 người vừa đủ Tính số học sinh trường đó, biết số học sinh trường chưa đến 1000

Câu

Cho góc xOy xOz, , Om tia phân giác yOz Tính xOmtrong trường hợp sau:

a) Góc  

100 ; 60

xOy= xOz=

b) xOy=α;xOz=β α β( > )

Câu

Chứng minh A=10n+18n−1chia hết cho 27 (n số tự nhiên)

a) 3 3 2.5 5.8 8.11 17.20

A= + + + +

1 1 1

2 5 17 20 = − + − + + −

1 20 20 A 20 = − = ⇒ =

b) 10 9 ( )

2004 +2004 =2004 2004 1+ =2004 2005

(151)

10

2005 =2005 2005

9 10 10

2004 2005 2005 2005 2004 2004 2005

Do < ⇒ + <

Câu

a) Ta có: 4x− =3 4x− + =8 4(x− +2) Vì 4(x−2)x− ⇒2 4x−3x− ⇔2 5x−2

{ } { }

2 (5) 1; 1; 3;3;

x U x

⇒ − ∈ = ± ± ⇒ ∈ −

b) 140 196a+ b=174a+145b⇒2a=3b( )* Vì ( )a b, =1; 2, 3( )=1nên (*) xảy 3a

Và b chia hết cho 2, ⇒ =a ,p b=2q p q( , ∈  ) Thay vào (*) ta có: 6p=6q⇒ =p q

Vì ( )a b, = ⇒1 (3 ; 2p q)= ⇒ = ⇒ = =1 p q p q Vậy a=3;b=2

Câu

Gọi số học sinh trường x

Theo đề ta suy x−15chia hết cho 20; 25;30⇒ − ∈x 15 BC(20, 25, 30)

(20, 25, 30) 300

BCNN = x<1000⇒ ∈x {315; 615;915}

Vì 41x ⇒ =x 615 Vậy số học sinh trường 615 em

Câu

y

O m

z

x y

O

z m

x

a) Xét trường hợp:

- Nếu hai tia Oy, Oz thuộc nửa mặt phẳng có bờ Ox thì:

 0  

100 60 40 20 , 80

yOz= − = ⇒zOm= xOm=

- Nếu hai tia Oy Oz, thuộc hai nửa mặt phẳng đối có bờ Ox thì:

 0  

100 60 160 80 , 20

yOz= + = ⇒zOm= xOm=

b) Xét trường hợp

- Nếu hai tia Oy Oz, thuộc nửa mặt phẳng có bờ Ox ta tính được: 

2

xOm=α β+

- Nếu hai tia Oy Oz, thuộc hai nửa mặt phẳng đối có bờ Ox thì:

(152)



xOm=α β− α β+ ≤1800



180

xOm= −α β− α β+ >1800

Câu

9

10n 27 9999 9 27 1111 111 27

n chu so n chu so

A= − − n+ n= − n+ n=  −n+ n

 

 

Vì n tổng chữ số

1

111

n chu so

 nên

1

1111 11

n chu so

n

 

−

 

 chia hết cho Vậy 27A

NĂM HỌC 2016-2017

Câu Cho 2006

5 5

S = + + + +

a) Tính S

b) Chứng minh S chia hết cho 126

Câu Tìm số tự nhiên nhỏ cho số chia cho dư 1, chia cho dư 2, chia cho

dư 3, chia cho dư chia hết cho 11

Câu Tìm giá trị nguyên n để phân số

1

n A

n

+ =

Câu Cho số 18, 24, 72

a) Tìm tập hợp tất ước chung số b) Tìm BCNN số

Câu Trên tia Ox cho điểm A B C D, , , Biết A nằm B C; B nằm C D; , ,

OA= cm OD= cm BC= cmvà độ dài AC gấp đôi độ dài BD Tìm độ dài đoạn BD AC,

(153)

a) Ta có:

2 2007

5S =5 + +5 5+

2007

2007 5

5 5

4

S S S −

⇒ − = − ⇒ =

b) ( 4) ( 5) ( 6) ( 2003 2006)

5 5 5 5

S= + + + + + + + +

Biến đổi được: ( 2003)

126 5 126

S = + + + + 

Câu Gọi số phải tìm x

Theo ta có: x+2chia hết cho 3,4, 5,6⇒ +x 2là BC(3; 4;5; 6) (3, 4, 5, 6) 60 60 60

BCNN = ⇒ + =x n⇒ =x n−

Mặt khác 11,x cho n=1, 2, 3, ⇒ =n 7(tm)⇒ =x 418

Vậy số nhỏ phải tìm 418

Câu

Ta có: 3 5

1 1

n n A

n n n

+ − +

= = = + − − −

Để A có giá trị nguyên ( 1) (5) { 1; 5} {2; 0; 6; 4}

1 n U n

n

⇔ ∈ ⇒ − ∈ = ± ± ⇒ ∈ − − 

Câu

a) Tìm Ư(18); Ư(24); Ư(72)

{ }

(18, 24, 72) 1; 2;3;

UC

⇒ =

b) Ta có: 72∈B(18); 72∈B(24)⇒BCNN(18; 24; 72)=72

Câu

x

B C

D A

O

Vì A nằm B C nên BA+AC=BC⇒BA+AC=4 (1)

Lập luận ⇒Bnằm A D

Theo giả thiết OD OA< ⇒Dnằm O A

Mà OD+DA=OA⇒ +2 DA= ⇒5 DA=3cm

Ta có: DB+BA=DA⇒DB+BA=3 (2)

( ) ( )1 − :AC−DB=1(3)

Theo đề AC =2BDthay vào (3) 2⇒ BD−BD= ⇒1 BD=1cm⇒ AC=2BD=2cm

(154)

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO VIỆT YÊN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019-2020

MƠN THI: Tốn

a) A= + − − + + − − + +1 2013 2014 2015 2016+ + − − b) 2.4.10 4.6.8 14.16.20

3.6.15 6.9.12 21.24.30

B= + +

+ +

a) So sánh 20142015

10 2016

A= +

+

2015

2016

10 2016

B= +

+

b) Tìm x biết: 1 119

1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10 x 720  + + + +  =

 

 

c) Chứng minh rằng: pvà p2+2là số nguyên tố p3+2cũng số nguyên tố

a) Tìm số tự nhiên n để phân số 2

2

n n

+

+ phân số rút gọn

b) Trong đợt tổng kết năm học trường THCS,tổng số học sinh giỏi ba lớp , , 6A B Clà 90 em Biết

5số học sinh giỏi lớp 6A

3số học sinh giỏi lớp

6B

2số học sinh giỏi lớp 6C Tính số học sinh giỏi lớp

Cho tam giác ABC có 

60 ,

ACB= AB= cm Trên cạnh AB lấy điểm D(D khác A B sao, ), cho

2

AD= cm

a) Tính độ dài đoạn thẳng BD

b) Tính số đo DCBbiết ACD=200

c) Dựng tia Cx cho 

90

DCx= Tính ACx

d) Trên cạnh AC lấy điểm E(E khác A C, ) Chứng minh hai đoạn thẳng CD BE cắt

nhau

Câu (2 điểm) Tìm ba số nguyên dương a b c, , cho 1

a+ + =b c

a) A= + − − + + − − + + +1 2013 2014 2015 2016+ − − Tính số số hạng A là: (2016 :1 1− ) + =2016(số hạng) Nhóm số hạng liên tiếp vào nhóm:

(1 4) (5 8) (2013 2014 2015 2016)

A= + − − + + − − + + + − −

(155)

( ) ( )

504

4 4.504 2016

co so

= − + − + + − = − = − 

Vậy A= −2016

( )

8 1.2.5 2.3.4 7.8.10 2.4.10 4.6.8 14.16.20 )

3.6.5 6.9.12 21.24.30 27 1.2.5 2.3.4 7.8.10 27

b B= + + = + + =

+ + + +

Vậy

27

B=

Câu

a) Ta có: ( ) ( )

( ) ( )

2014 2016

2014

2015 2015 2016

10 2016 10 2016

10 2016

10 2016 10 2016 10 2016

A= + = + +

+ + +

( ( ) ( ) ) ( ) ( )

4030 2014 2016 4030 2014 2

2015 2016 2015 2016

10 2016 10 10 2016 10 2016.10 .101 2016

(1)

10 2016 10 2016 10 2016 10 2016

+ + + + +

= =

+ + + +

Lại có ( ) ( )

( ) ( )

2015 2015

2015

2016 2016 2015

10 2016 10 2016

10 2016

10 2016 10 2016 10 2016

B= + = + +

+ + +

( )( ) ( )( )

4030 2015 4030 2014

2015 2016 2015 2016

10 2.2016.10 2016 10 20.2016.10 2016

(2)

10 2016 10 2016 10 2016 10 2016

+ + + +

= =

+ + + +

Từ (1) (2) ⇒ >A B

b)Ta có:

1 1

1.2.3.4+2.3.4.5+3.4.5.6+ +7.8.9.10

1 1 1 1

3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 7.8.9 8.9.10

 

=  − + − + + − 

 

1 1 119 720 720

  =  − =

 

Nên từ đề suy : 119 119 3 720 x=720⇒ =x

Vậy x=3

c)Ta nhận xét với số nguyên tố lớn chia cho có dạng p=3k+1

hoặc p=3k+2(k∈  *)

Với p=3k+1thì p2+ =2 9k2+6k+3chia hết cho Với p=3k+2thì p2+ =2 9k2−6k+6chia hết cho

Vì p nguyên tố nên p≥2, trường hợp p2+2đền lớn chia hết cho Tức

2

p + hợp số

2

p

⇒ + số nguyên tố p=3(khi p2+ =2 11là số nguyên tố)

3

2 27 29

p

⇒ + = + = số nguyên tố

Vậy p

2

p + số nguyên tố p3+2cũng số nguyên tố

Câu

(156)

a) Gọi d UCLN(2n+1,n+2)(d∈  *)

Ta có: 2n+1d n, +2d ⇒(2n+4) (− 2n+1)d⇒3d

Vì d∈  nên * d∈{ }1;3 Để phân số

2

n n

+

+ rút gọn d=3

( )

2 3 *

n k n k k

⇒ + = ⇒ = − ∈ 

Vậy với n=3k−2(k∈  phân số *)

2

n n

+

+ phân số rút gọn

b) Số học sinh giỏi lớp 6B bằng:2 1:

5 3=5(số học sinh giỏi 6A)

Số học sinh giỏi lớp 6C bằng:2 1:

5 2=5(số học sinh giỏi lớp 6A)

Số học sinh giỏi lớp bằng: 5

+ + = (số học sinh giỏi lớp 6A) Vậy số HSG lớp 6A: 90 :3 30= (học sinh)

Của lớp 6B 36 học sinh, 6C 24 học sinh

Câu

x

A

C B

D E

x A

C B

D E

Trường hợp Trường hợp

a) D nằm A B suy AD+BD= AB⇒BD= − =6 2 4cm

b) Tia CD nằm hai tia    

, 40

CA CB⇒ ACD+DCB= ACB⇒DCB=

- Trường hợp 1: Hai tia CDvà Cxnằm phía so với đường thẳng CB

Tính góc  

90 70

ACx= − ACD=

- Trường hợp 2: Hai tia CD Cx, nằm hai phía so với đường thẳng CB

Tính :  

90 110

ACx= + ACD=

Xét đường thẳng CD

(157)

Do CD cắt AB nên đường thẳng CD chia mặt phẳng làm hai nửa: nửa mặt phẳng có bờ CD chứa điểm B nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A⇒tia CAthuộc nửa mặt phẳng

chứa điểm A

E thuộc đoạn AC⇒Ethuộc nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A E

⇒ B hai nửa mặt phẳng bờ CD⇒đường thẳng CD cắt đoạn EB Xét đường thẳng BE

Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EBcắt đoạn CD

Vậy đoạn thẳng EB CD cắt

Câu

Khơng làm tính tổng qt, ta giả sử a≤ ≤b c, ta có:3 4 15

5 a 4

a ≥ ⇒ ≤

Nếu a=1thì khơng thể ,do a=2hoặc a =3

Nếu a=2thì 1 1 3

10

b+ =c , suy

2 3 20

10 b 3

b ≥ ⇒ ≤

Suy b=4hoặc b=5hoặc b=6vì 3 1 10 < 3

Suy số a b c, , thỏa mãn (a=2,b=4,c=20)và(a=2,b=5,c =10) Nếu a=3thì 1 1 7

15

b+ =c

Từ 2 7 30

15 b 7

b ≥ ⇒ ≤ suy

3 4

b

=   =

 Khơng có trường hợp thỏa mãn

Vậy có 12 số thỏa mãn hoán vị hai ba số (2, 4, 20)và (2,5,10)

UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ PHÒNG GD&ĐT

KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI Năm học 2018-2019

Mơn Tốn

Bài Tính hợp lý:

17 11 :

20 15 20

A= − +

19 19

20

3 101

7 7

7

13 19 101

B

+ +

=

+ + +

1 1 1 1 1 12 20 30 42 56 72 90 110

C= + + + + + + + +

Bài

Cho 20

2 2

D= + + + + +

(158)

a) Chứng minh D chia hết cho b) Tìm chữ số tận D

Bài

Tìm số tự nhiên k để 3k+4chia hết cho k−1

Bài

Có hai vịi nước chảy vào bể khơng chứa nước, vịi chảy sau 48 phút đầy bể, mở vịi thứ sau đầy bể Trong vịi thứ chảy vịi thứ hai 50 lít nước Tính thể tích bể chứa đầy nước

Bài

Cho tia chung gốc O Oa Ob Oc: , , cho aOb=140 ;0 và tia Oc nằm hai tia Oa Ob, Vẽ

Oxlà tia phân giác ;aOc Oylà phân giác ;cOb Omlà phân giác aOb

a) Tính số đo xOy

b) Chứng minh:  aOx=mOy

a) 217 111 : 217 111 111 20− 15+ 20 = 20− 15+ 20 = − 15= 15

b)

1 1

19 19 19 19 19 19 1

19 19

19

13 19 101

13 101 19 13 101

7 7 7 1

7 7

13 19 101 13 19 101 13 19 101

B

 + + + 

+ + + + + +  

= = = =

 

+ + + + + +  + + + 

 

c) 1 1 1 1

6 12 20 30 42 56 72 90 110

C= + + + + + + + +

1 1

2.3 3.4 9.10 10.11 = + + + +

1 1 1 1

2 3 10 10 11 = − + − + + − + −

1 11 22 = − =

Bài

( 3) (5 3) 17( 3)

) 2 2 2 2 2 2

a D= + + + + + + + + + + + +

( 3)( 17)

1 2 2 = + + + + + +

( 17) ( 17)

15 2 5.3 2 D = + + + = + + +  ⇒ 

b) D chia hết D tổng số chia hết cho D chia hêt cho (chứng minh câu a)

Nên D chia hết cho 5, D có chữ số tận

(159)

Bài

3k+4chia hết cho k−1hay (3k− +3 7)k−1

Do 3k− =3 3(k−1)k− ⇒1 7k− ⇒ − ∈1 k U(7)={ }7;1 ⇒ ∈k { }8;

Bài

Trong phút:

Hai vòi chảy :

48bể

Vòi thứ chảy được:

120bể

Vòi thứ hai chảy được: 1

48−120=80bể

Vòi thứ hai chảy vòi thứ nhất: 1

80−120= 240bể

Thể tích bể: 50 : 12000 240 = lít

Bài

a

O

x c

m y

b

   1( )  0

) 140 70 2

a xOy=xOc+cOy= aOc+cOb = aOb= =

b) Om phân giác aOb:  1

2

aOm= aOb(1)

Oxlà phân giác  : 1

2

aOc xOc= aOc

Oy phân giác  : 1

2

cOb cOy= cOb

Do    1( ) 1 (2)

2

xOy=xOc+cOy= aOc+cOb = aOb

Từ (1) (2) suy ra:

(160)

         

aOm xOy aOx xOm aOm mOy xOm xOy

aOx mOy

= ⇒ + = ⇒ + =

⇒ =

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MƠN TỐN –TRƯỜNG THCS NGHI LỘC

NĂM HỌC 2019-2020

Bài (5 điểm)Thực phép tính sau cách hợp lý:

a) ( 2 2) ( 2)

10 +11 +12 : 13 +14

b)

1.2.3 1.2.3 1.2.3 7.8− −

c) ( )

2 16

13 11

3.4.2

11.2 −16

d) 1152−(374 1152+ ) (+ − +65 374)

e) 13 12 11 10 1− + + − + − − + − + + −

a) ( 2) ( )2

19x+2.5 :14= 13 8− −4

b) x+ + + + + + +(x 1) (x 2) (x 30)=1240 c) 11− − +( 53 x)=97

d)− +(x 84)+213= −16

Bài 3.(2 điểm) Tìm hai số tự nhiên a b,biết: BCNN a b( ), =300;UCLN a b( ), =15 15

a+ =b

Bài (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB,điểm O thuộc tia đối tia AB.Gọi M N, thứ tự

trung điểm OA OB,

a) Chứng tỏ OA OB<

b) Trong ba điểm O M N, , điểm nằm hai điểm lại ?

b)Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc

tia đối tia AB)

(161)

a)( 2 2) ( 2) ( ) ( )

10 +11 +12 : 13 +14 = 100 121 144 : 169 196+ + + =365 : 365 1=

2

)1.2.3 1.2.3 7.8 1.2.3 7.8

b − −

( )

1.2.3 7.8 1.2.3 7.8 0

= − − = × =

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

16 16 18

11

13 11 13 2 4 13 22 36

3.4.2 3.2

)

11.2 16 11.2 2 2 11.2 2

c = =

− − −

( )

2 36 36

35 36 35

3 3 2 11.2 2 11 = = = =

− −

( ) ( )

)1152 374 1152 65 374

d − + + − +

1152 374 1152 65 374

= − − + − +

(1152 1152) (374 374) 65 65

= − + − − = −

)13 12 11 10

e − + + − + − − + − + + −

( ) ( ) ( )

13 12 11 10 13

= − − − + + − − + − − − − =

Bài

( 2) ( )2 2

) 19 2.5 :14 13

a x+ = − −

( )

{ 2 2}

14 13 2.5 :19

x  

⇒ =  − − − =

( ) ( ) ( )

) 30 1240

b x+ + + + + + +x x x =

( ) ( )

31

30 1240

so hang x

x x x x

⇒ + + + + + + + + =



31x 1240 31.15

⇒ = − 775 25 31 x ⇒ = = ( )

)11 53 97

c − − +x =

( )

11 97 53 33

x

⇒ = − − − = −

( )

) 84 213 16

d − +x + = −

(x 84) 16 213

⇒ − + = − −

(x 84) 229

⇒ − + = −

84 229

x

⇒ + =

229 84 145

x

⇒ = − =

Bài

Vì UCLN (a,b)=15 nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho:

15 ; 15

a= m b= n (1) UCLN m n( , )=1 (2)

Vì BCNN a b( ), =300,nên theo trên, ta suy

( )

15 ,15 300 15.20 , 20 (3)

BCNN m n BCNN m n

⇒ = =

⇒ =

Vì a+15=b,nên theo ta suy ra:

( )

15m 15 15n 15 m 15n m n (4)

⇒ + = ⇒ + = ⇒ + =

(162)

Trong trường hợp thỏa mãn điều kiện ( )2 ( )3 ,thì có trường hợp m=4;n=5

Vậy với m=4,n=5ta số phải tìm là: a=15.4=60;b=15.5=75

Bài

A

M N B

a) Hai tia AO AB, đối nhau, nên điểm Anằm hai điểm O B, suy ra: OA OB<

b) Ta có: M N, thứ tự trung điểm OA OB, nên ;

2

OA OB OM ON

⇒ = =

Vì OA OB< nên OM ON<

Hai điểm M N, thuộc tia OB,mà OM ON< nên điểm M nằm hai điểm O N

c) Vì điểm M nằm hai điểm O N, nên ta có:

2

OB OA AB OM +MN=ON⇒MN =ON−OM ⇒MN = − =

Vì AB có độ dài khơng đổi nên MN có độ dài khơng đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN

không phụ thuộc vào vị trí điểm O (Othuộc tia đối tia AB)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN

NĂM HỌC 2018- 2019

1) Tìm số tự nhiên n cho 4n−5 2 n−1

2) Cho 2011 2013 2015

3 3 3

S = + + + + + + Chứng tỏ

a) S không chia hết cho b) S chia hết cho 70

a) Tìm x biết: (x+ + + +1) (x 2) + +(x 100)=5750 b) Tìm số nguyên x y, biết: x y2 − +x xy=6

c) Cho A= − + − + − +1 13 17 21 Biết A=2013.Hỏi A có số hạng? Giá trị số hạng cuối ?

Tìm giá trị nhỏ phân số ab

a b+ ( ab số có chữ số)

(163)

Trong buổi tham quan, số nữ đăng ký tham gia

4số nam Nhưng sau

bạn nữ xin nghỉ, bạn nam xin thêm nên số nữ tham quan

5số nam Tính số

học sinh nữ học sinh nam tham quan

Cho   1

120 ,

xOy= xOz= xOyKẻ tia Om tia phân giác .xOy Tính số đo mOz

1) 4n− =5 4n− − =2 2( n− −1) 2 n−1

Vì 2( n−1 2) n− ⇒1 2( n− ⇒1) 2n− ∈1 U(3)= ± ±{ 1; 3} Nên n∈{0;1; 2}

2)

a) Vì khơng chia hết cho

Các hạng tử lại chia hết S khơng chia hết cho b) Tính số số hạng tổng S 1008 số hạng

( 5) ( 11) ( 2011 2013 2015)

3 3 3 3

S = + + + + + + + + +

7 2011

3.91 91 91 91

S = + + + 

Kêt luận 7S

( 3) ( 7) ( 2013 2015)

3 3 3

S = + + + + + +

5 2013

3.10 10 10 10 = + + + 

10

S

⇒ 

Vì (10; 7)= ⇒  S 70

Câu

a) (x+ + + +1) (x 2) + +(x 100)=5750 Tính 100 101.100 : 5750x+ =

Kết luận x=7

b) ( )( ) ( ) ( )

6 1 1.5

x y− +x xy= ⇔ xy− x+ = = = − −

Xét trường hợp kết luận ⇒( ) (x y, = −2; ;) (−4; 0) c) Số số hạng A (2013 : 1007− )  + = (số hạng)

Số hạng cuối là: (1007 1− ) + =4025

Câu

(164)

Đặt 10 9

ab a b a

A

b

a b a b a b

a

+

= = = + = +

+ + + +

A có GTNN b

a

⇔ + có GTLN b

a

⇔ có GTLN

1

b a

= 

⇔  =

 Khi số ab=19 GTNN A 1,

Câu

Tổng số học sinh nam nữ dự định tham quan tham quan nên ta lấy làm đơn vị

Số học sinh nữ đăng ký tham quan

4số nam nên

5tổng số

Số học sinh nữ tham quan

5số nam tham quan nên

6tổng số

Số nữ dự định nhiều số nữ là: 1

5− =6 30tổng số hay học sinh

Tổng số học sinh là: 1: 30

30= (học sinh)

Số học sinh nữ tham quan: 30.1

6 = (học sinh)

Số học sinh nam tham quan: 30 25 5− = (học sinh)

Câu

Tính 

40

xOz=

2 trường hợp:

a) Trường hợp 1: tia Oy, Oz thuộc nửa mặt phẳng có bờ Ox

y

O x

z m

Lý luận để tính 

60

xOm=

Chứng minh tia Oz nằm Ox Oy

Tính 

20

zOm=

a) Trường hợp 2: tia Oy Oz, thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ Ox

(165)

y

O

z x m

Chỉ Ox nằm Om Oz

Tính 

100

zOm=

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG THCS DUY TIÊN MƠN TỐN

NĂM HỌC 2019-2020

Câu

a) Tìm số tự nhiên x y, cho (2x+1)(y− =5) 12 b) Tìm số tự nhiên n cho 4n−5chia hết cho 1n−

c) Tìm tất số B=62xy427, biết B chia hết cho 99

Câu Tìm x

2 2

)5x 125 )3 x 81 )5 x 2.5

a = b = c − − =

Câu

a) Chứng tỏ rằng: 12

30

n n

+

b) Chứng minh rằng: 12 12 12 +3 + +100 <

Câu

So sánh phân số:

23 23232323 2323 232323 ; ; ;

99 99999999 9999 999999

Câu

Hai lớp , 6A Bcùng thu nhặt số giấy vụn Lớp 6A có bạn thu 24kg

cịn lại bạn thu 11kg;Lớp 6B có bạn thu 23kgcịn lại bạn thu 10kg

Tính số học sinh lớp biết số giấy lớp thu khoảng 200kgđến 300kg

(166)

a)Ta có: 2x+1;y− ∈5 U(12)=1.12=2.5=3.4

Do 1x+ lẻ 1 0; 17

2 1;

x x y

+ = ⇒ = =



⇒  + = ⇒ = =



Vậy ( ) (x y; = 0,17 ; 1, 9) ( ) b) Ta có: 4n− =5 2( n− −1)

Để 4n−5 2 n− ⇒1 2 n− ⇒1 (2n− ∈1) U(3)={ }1;3 ⇒ ∈n { }1; c) Ta có 99 9.11=

99 11;

B ⇒B B

( ) ( )

9 21

15

x y

B x y x y

x y

+ = 

⇒ + + + + + + ⇔ + + ⇒ 

+ = 

  

( ) ( )

11 2 11 13 11

B ⇒ + + + − − −x y  ⇔ + −x y 

9( )

x− =y ktm vs y− =x

2 & 2;

y− =x x+ = ⇒ =y x y=

2 & 15( )

y− =x x+ =y ktm

Vậy B=6224427

Câu

a)

5x =125=5 ⇒ =x

b)

3 x =81=3 ⇒2x= ⇒ =4 x

c) 2

5 x− −2.5 =5

2 2

5 x− 5 ⇔ = + =

2x 3 2x x

⇒ − = ⇒ = ⇒ =

Câu

a) Gọi d ước chung 12n+1;30n+2ta có:

( ) ( )

5 12n+ −1 30n+2 =1d⇒ =d 1nên 12n+1;30n+2nguyên tố

Do 12

30

n n

+

b) Ta có:

2 2

1 1 1 1 1 1

2 100 1.2 2.3 99.100 2 99 100 1 1 99

1 100 100 100

+ + + < + + + = − + − + + − ⇒ + + + < − = <

Câu

(167)

23 23.101 2323

99 99.101 9999

23 23.10101 232323

99 99.10101 999999

23 23.1010101 23232323

99 99.1010101 99999999

23 2323 232323 23232323

99 9999 999999 99999999

= =

⇒ = = =

Câu

Gọi số giấy lớp thu x kg( )thì (x−24 11;) ( x−23 10) (x 13 10,11)

⇒ − 

Do (x−13)∈BC(10;11) {= 0;110; 220;330; }

Mà số kg giấy nằm khoảng 200 đến 300 ⇒ − =x 13 220⇒ =x 233 Số học sinh lớp 6A: (233 24 :11 1− ) + =20(học sinh)

Số học sinh lớp : 233 23 :10 1B ( − ) + =22học sinh

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS NGHI PHÚ MƠN TỐN

NĂM HỌC 2019-2020

Câu

a) Rút gọn phân số sau: 7.83 34 33 3.2 14

b) Tính 14 : 25 14 .1 12

B=  − +

 

Câu Tìm x biết:

a) ( )

3 2+ x− =24−4 − −1 

 

b) (x+ + + + + +1) (x 2) (x 3) + +(x 100)=205550 c) x− =5 18 2.+ ( )−8

d) ( 4)

0

1 2.7

2009

x− =

Câu Tìm số tự nhiên x y, cho: (2x+1)(y− =5) 12

Câu

a) Tính tổng: 2

1.2 2.3 3.4 99.100

S = + + + +

b) Chứng minh rằng: ( 100)

3 3+ + + +3 3+ 40

Câu Cho biểu thức

2

A n

− =

−

(168)

a) Tìm số nguyên n để biểu thức A phân số b) Tìm số tự nhiên n để biểu thức Alà số nguyên

Câu

Cho góc AMC =

60 Tia Mx tia đối tia MA My, phân giác ,CMx Mtlà tia phân

giác xMy

a) Tính AMy

b) Chứng minh MC Mt⊥

ĐÁP ÁN Câu a) 18 b) 1114

15

Câu

( )

1 2

)3 2x 24

a + − = − − − 

1

3 2+ x− =24 4− +3

1

2x− = =4

1

x x

⇒ − = ⇒ =

( ) ( ) ( ) ( )

) 100 205550

b x+ + + + + + + +x x x =

100 205550

x+ + + + + + + + +x x x =

100x+5050=205550 100x=200500

2005

x=

c) 7;

3

x x

=   =  d) x=30

Câu

Ta có 2x+1;y−5là ước 12 mà 12 1.12 2.6 3.4= = =

Do 1x+ lẻ 1 0; 17

2 1;

x x y

+ = ⇒ = =



⇒  + = ⇒ = =



Vậy ( ) (x y; = 0;17 ; 1;9) ( )

Câu

2 2 2

1.2 2.3 3.4 98.99 99.100

S = + + + + +

1 1 1

1.2 2.3 3.4 98.99 99.100

 

=  + + + + + 

 

1 1 1

2 99 100

 

=  − + − + + − 

 

1 99 99 2

100 100 50  

=  − = =  

Câu

a) n∈,n≠2

(169)

b) ( ) { }

1

2 (5) 1;

3

n n

n U

n n

= ∈ 

 = ∈ 

− ∈ = ± ± ⇒

 = − ∉  = ∈ 

   

Câu

x A

y

M t

C

a) Tia Mx tia đối tia MA , AMxlà góc bẹt⇒MCnằm MA Mx

Nên     

60 180 120

AMC+CMx=AMx hay +CMx= ⇒CMx=

My tia phân giác CMxnên : Mynằm hai tia MC Mx,   1 0

.120 60 2

xMy= yMC= xMC= =

Tia Mx tia đối tia MA góc AMx góc bẹt nên My nằm MA, Mx Nên   AMy+yMx= AMxhay 600+yMx=1800⇒yMx=1800−600 =1200

b)Do My tia phân giác góc CMx nên Mx MC nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ tia My.Mt phân giác yMxnên Mt nằm nửa mặt phẳng

chứa tia My Vậy Mt MC nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa tia My hay My nằm MC Mt nên   CMy+yMt=CMt (*)

Lại có tia Mt phân giác xMynên:   1 1.600 300 2

xMt=tMy= xMy= = ,

Thay vào (*)  0

60 30 90

CMt MC Mt

⇒ = + = ⇒ ⊥

NĂM HỌC 2019-2020

Bài (5 điểm)Thực phép tính sau cách hợp lý:

a) ( 2 2) ( 2)

10 +11 +12 : 13 +14

b)

1.2.3 1.2.3 1.2.3 7.8− −

c) ( )

2 16

13 11

3.4.2

11.2 −16

d)1152−(374 1152+ ) (+ − +65 374)

(170)

e) 13 12 11 10 1− + + − + − − + − + + −

a) ( 2) ( )2

19x+2.5 :14= 13 8− −4

b)x+ + + + + + +(x 1) (x 2) (x 30)=1240 c)11− − +( 53 x)=97

d)− +(x 84)+213= −16

Bài 3.(2 điểm) Tìm hai số tự nhiên a b,biết: BCNN a b( ), =300;UCLN a b( ), =15 15

a+ =b

Bài (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB,điểm O thuộc tia đối tia AB.Gọi M N, thứ tự

trung điểm OA OB,

a) Chứng tỏ OA OB<

b) Trong ba điểm O M N, , điểm nằm hai điểm lại ?

c)Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc

tia đối tia AB)

( 2 2) ( 2) ( ) ( )

) 10 11 12 : 13 14 100 121 144 : 169 196 365 : 365

a + + + = + + + = =

2

)1.2.3 1.2.3 7.8 1.2.3 7.8

b − −

( )

1.2.3 7.8 1.2.3 7.8 0

= − − = × =

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

16 16 18

11

13 11 13 2 4 13 22 36

3.4.2 3.2

)

11.2 16 11.2 2 2 11.2 2

c = =

− − −

( )

2 36 36

35 36 35

3 3 2 11.2 2 11 = = = =

− −

( ) ( )

)1152 374 1152 65 374

d − + + − +

1152 374 1152 65 374

= − − + − +

(1152 1152) (374 374) 65 65

= − + − − = −

)13 12 11 10

e − + + − + − − + − + + −

( ) ( ) ( )

13 12 11 10 13

= − − − + + − − + − − − − =

Bài

( 2) ( )2 2

) 19 2.5 :14 13

a x+ = − −

( )

{ 2 2}

14 13 2.5 :19

x  

⇒ =  − − − =

( ) ( ) ( )

) 30 1240

b x+ + + + + + +x x x =

( )

)11 53 97

c − − +x =

( )

11 97 53 33

x

⇒ = − − − = −

( )

) 84 213 16

d − +x + = −

(171)

( ) ( )

31

30 1240

so hang x

x x x x

⇒ + + + + + + + + =



31x 1240 31.15

⇒ = −

775 25 31

x

⇒ = =

(x 84) 16 213

⇒ − + = − −

(x 84) 229

⇒ − + = −

84 229

x

⇒ + =

229 84 145

x

⇒ = − =

Bài

Vì UCLN (a,b)=15 nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho:

15 ; 15

a= m b= n (1) UCLN m n( , )=1 (2)

Vì BCNN a b( ), =300,nên theo trên, ta suy (15 ,15 ) 300 15.20

BCNN m n

⇒ = =

( , ) 20 (3)

BCNN m n

⇒ =

Vì a+15=b,nên theo ta suy ra:

( )

15m 15 15n 15 m 15n m n (4)

⇒ + = ⇒ + = ⇒ + =

Trong trường hợp thỏa mãn điều kiện ( )2 ( )3 ,thì có trường hợp m=4;n=5

Vậy với m=4,n=5ta số phải tìm là: a=15.4=60;b=15.5=75

Bài

A

M N B

a) Hai tia AO AB, đối nhau, nên điểm Anằm hai điểm O B, suy ra:

OA OB

⇒ <

b) Ta có: M N, thứ tự trung điểm OA OB, nên ;

2

OA OB OM ON

⇒ = =

Vì OA OB< nên OM ON<

Hai điểm M N, thuộc tia OB,mà OM ON< nên điểm M nằm hai điểm O N

c) Vì điểm M nằm hai điểm O N, nên ta có:

2

OB OA AB OM MN ON MN ON OM MN −

⇒ + = ⇒ = − ⇒ = =

Vì AB có độ dài khơng đổi nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN

khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O (Othuộc tia đối tia AB)

(172)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN THANH CHƯƠNG MÔN TOÁN

NĂM HỌC 2019-2020

Câu

a) Thực phép tính: 2 2 2181.729 243.81.27

3 234 18.54.162.9 723.729 +

+ +

b) So sánh : 201220122013

2012

A= +

+

2011

2012

B= +

+

Câu

a) Tìm số tự nhiên n lớn có ba chữ số, cho chia cho 3,cho 4, cho 5, cho 6, cho ta số dư theo thứ tự là: 1; 2;3; 4;5

b) Tìm số nguyên a để 1a+ chia hết cho a−5

Câu

a) Tìm x biết: 3− = −x x

b) Tìm số nguyên x y; cho 1 3

y x

− =

c) Tìm số tự nhiên a b biết: a b− =5và ( )

[ ],, 16

a b a b =

Câu

Cho 

110

xOy= Trên tia Ox lấy điểm A cho OA=a cm;điểm B nằm O A, M

trung điểm OB, N trung điểm BA a) Tính MN

b) Vẽ 

50

xOz= Tính yOz

Câu

Chứng minh rằng: 1 1 1 1

3+30+32+35+45+47+50<2

2

2181.729 243.3.81.9 )

3 234 2.6.162 723.729

a +

+ +

2

2181.729 729

729.234 729.1944 723.729 +

=

+ +

( )

729 2181 729 729.2910 970 729 234 1944 723 729.2901 967

+

= = =

+ +

b) Vì 2012 2013 2012

2013

2012

2012 2012 1

2012

+

+ < + ⇒ <

+

(173)

2012 2012

2013 2013

2012 2012 2011

+ + + ⇒ < + + + ( ) ( ) 2011 2012 2011

2013 2012 2012

2012 2012

2012 2012 2012

2012 2012 2012 2012 2012 B

+ + + = = = = + + + A B ⇒ < Câu

a)Vì n chia 3; 4;5; 6; 7lần lượt dư 1; 2;3; 4;5nên n+ 2 3, 4, 5, 6, 7nghĩa n+2là (3, 4, 5, 6, 7)

BC

Mà BCNN(3; 4;5; 6; 7)=420⇒ + =n 840⇒ =n 838

(Do n số tự nhiên lớn có chữ số)

b) Ta có: 2( 5) 11 11

5 5

a a

a a a

− +

+ = = +

− − −

Để 2a+1a− ⇒ − ∈5 a U(11)= ± ±{ 1; 11}⇒ ∈a {6; 4;12; 6− }

Câu

a) Nếu x≥3thì 3− = − ⇔ − = − ⇒x x x x 0x=2(ktm) Nếu x< ⇒ − = − ⇔ − = − ⇒ =3 x x x x x 4(ktm)

b) Ta có: 1 1 1 ( 1)

3 3 3

y y y

y x

x x x

−

− = ⇒ − = ⇒ = ⇒ − = Ta có bảng sau

3 1 3

x y y − − − − − −

c) ( )

[ ],, 16 [ ], 6.( ),

a b

a b a b

a b = ⇒ = ,ọi d =( )a b, ⇒ =a d a b ', =d b '

Ta có: ab=[ ]a b, ( )a b, nên d a d b ' '=6( ) ( )a b, a b,

Hay 2 ' 3; '

' ' ' '

' 6; '

a b

d a b d a b

a b = =  = ⇒ = ⇒  = =  Mặt khác a b− = ⇒5 da'−db'= ⇒5

TH1: ' 3, ' ( ' ') 5 15

10

a

a b d a b d

b =  = = ⇒ − = ⇒ = ⇒  =  TH2: a'=6, ' 1b = ⇒d a( '−b')= ⇒5 d.4=5(ktm) Vậy a=15,b=10

Câu

(174)

y

O M B N A x

a) Vì M nằm O A nên OB BA OA+ = M trung điểm OB nên

2

OB MB=MO=

N trung điểm BA nên

2

BA NB=NA=

Vì M trung điểm OB, N trung điểm BA nên B nằm M N nên

2 2 2

OB BA OA BA OA a MN =MB+BN = + = + = =

b) *Nếu Oz nằm phía với Oy bờ Ox ta tính được:  0

110 50 60

yOz= − =

*Nếu Oz nằm khác phía với Oy bờ Ox ta tính được: yOz=1100+500 =1600

50 50

y

O

z

x

y

O

z x

Câu

1 1 1 1 30+32+35<30+30+30=10

1 1 1 1 45+47+50< 45+45+45=15

1 1 1 1 1 1 30 32 35 45 47 50 10 15 ⇒ + + + + + + < + + =

(175)

NĂM HỌC 2019-2020

Câu (1,5 điểm) Thực phép tính

a)

3 3

3

24.47 23 7 11 1001 13

9 9

24 47 23

9

1001 13 11

A

+ − + −

− =

+ − − + − +

b) 20143 2012

1 2

2

M = + + + + +

−

Câu

a) Cho 2012

5 5 5

S = + + + + + + + Chứng tỏ S chia hết cho 65

b) Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho 11 dư 6, chia cho dư chia cho 19 dư 11

c) Chứng tỏ: A=10n+18n−1chia hết cho 27 (với n số tự nhiên)

a) Tìm x y, nguyên biết: 2x(3y− +2) (3y−2)= −55 b) Chứng minh rằng:

( )2

2 2

1 1 1

4 +6 +8 + + 2n <

Câu (2,5 điểm) Cho nửa mặt phẳng bờ ABchứa hai tia đối OA OB

a) Vẽ tia OC tạo với tia OAmột góc

,

a vẽ tia OD tạo với tia OC góc

( )0

10

a+ với tia OB góc (a+20)0 Tính a

b) Tính góc xOy, biết AOx=220và BOy=480

c) Gọi OE tia đối tia OD,tính số đo góc kề bù với góc xOD AOCbằng

a

Câu (1,5 điểm) Cho 2012 2011 2010 2009

10 10 10 10

A= + + + +

a) Chứng minh Achia hết cho 24

b) Chứng minh Akhông phải số phương

a) Đặt A=B C

24.47 23 1105 24 47 23 48

B= − =

+ −

1 1

3

1

7 11 1001 13

1 1

9

1001 13 11

C

 + − + − 

 

 

= =

 − + − + 

 

 

(176)

1105 144

A

⇒ =

b) Đặt 2012 2013

1 2 2

A= + + + + + ⇒ =A −

Đặt 2014 ( 2013 )

2 2

B= − = −

2

M

⇒ =

Câu

2 2012

) 5 5

a S = + + + +

( 4) 2009 2010 2011 2012

5 5 5 5 = + + + + + + + +

( 4) 2009( 4)

5 5 5 5 = + + + + + + + +

Vì ( 4)

5 5+ + +5 =780 65

Vậy S chia hết cho 65

b) Goi số cần tìm a ta có: (a−6 11;) ( a−1 4;) ( a−11 19) (a− +6 33 11;) ( a− +1 28 4;) ( a− +11 38 19)

(a 27 11,) (a 27 4,) (a 27 19)

⇒ +  +  + 

Do a số tự nhiên nhỏ nên a+27nhỏ suy ra:

( )

27 4,11,19 809

a+ =BCNN ⇒ =a

) 10n 18 10n 27

c A= + n− = − − n+ n

9

999 9 27

n so

n

=− +

1

9 11 11 27

n so

n n

 

=  − +

 

Ta biết số n số có tổng chữ số n có số dư chia cho

111

n

− 

 nên

1

9 11111

n so n   −    

  nên 111 1n 27

n

 

−

 

  Vậy 27A

Câu

a)Để x nguyên 3y− ∈2 U(55)= ± ±{ 1; 11; 55; 5± ± }

)3y y x 28 + − = ⇒ = ⇒ =

7 )3 ( )

3

y y y ktm

+ − = ⇒ = ⇒ = 13 )3 11 ( )

3

y y ktm

+ − = ⇒ =

)3y 55 y 19 x + − = ⇒ = ⇒ = −

1 )3 ( )

3

y y ktm

+ − = − ⇒ =

)3y 11 y x

+ − = − ⇒ = − ⇒ = )3 55 53( )

y y − ktm

+ − = − ⇒ =

Vậy ta có cặp số x, y nguyên thỏa mãn là:

(177)

( ) (x y, ={ 28;1 ;) (−1;19 ; 5; ; 2; 3) ( − ) ( − )}

b)Ta có:

( )2

2 2

1 1 2

A

n

= + + + +

( ) ( ) ( )2 2 ( )2

1 1 2.2 2.3 2.4

A

n

= + + + +

( )

2 2

1 1 1 1 1

4 4 1.2 2.3

A

n n n

 

=  + + + + <  + + +  −

   

1 1 1 1

4 2

A

n n

 

<  − + − + + −  −

 

1 1

4

A

n

  <  − <

  ( Đpcm)

Câu

a)Do OC OD, nằm nửa mặt phẳng bờ AB  (COD>COA a+10>a)nên tia OC nằm hai tia OA OD

   AOC COD DOB AOB

⇒ + + =

( ) (0 )0

0

10 20 180

a a a

⇒ + + + + =

0 0

3a 30 180 a 50 ⇒ + = ⇒ =

b) Ta có: AOy=1800−BOy=1800−480 =1320⇒ AOx=220

Nên tia Ox nằm hai tia OAvà Oy

  AOx xOy AOy 220 xOy 1320 xOy 1100

⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

c) Vì tia OC nằm hai tia OA OD, nên:

    ( )0 0 0

10 10 2.50 10 110

AOC+COD= AOD⇒ AOD=a + a+ = a+ = + =

Vì  ( 0)

22 110

AOx<AOD < nên tia Ox nằm hai tia OA OD,

     0

22 110 110 22 88

AOx xOD AOD xOD xOD

⇒ + = ⇒ + = ⇒ = − =

Vậy số đo góc kề bù với góc xODcó số đo là: 0

180 −88 =92

Câu

a) Ta có:

( )

3 2009 2008 2007 2006

10 10 10 10 10

A= + + + +

( 2009 2008 2007 2006)

8.125 10 10 10 10 = + + + +

( 2009 2008 2007 2006) ( )

8 125 10 10 10 10 1

=  + + + + 

Ta lại có số: 2012 2011 2010 2009

10 ;10 ;10 ;10 có tổng chữ số 1, nên số

2012 2011 2010 2009

10 ;10 ;10 ;10 chia cho có số dư 1, chia dư

(178)

Vậy Achia hết cho (2)

Và ( )3,8 =1 (3) Từ ( ) ( ) ( )1 , , ⇒  A 24

b) Ta có số 2012 2011 2010 2009

10 ;10 ;10 ;10 có chữ số tận ùng nên có chữ số tận

Vậy A khơng phải số phương số phương số có tận

0;1; 4;5; 6;9

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ỨNG HỊA

KỲ THI OLYMPIC CÁC MƠN VĂN HĨA

NĂM HỌC 2018-2019 Mơn Tốn

Câu

a) Thực phép tính cách hợp lý

( 11 12) ( 9 3)

5.3 4.3 :

P= + −

( ) ( )

14.29 14.71 99 199199.198 198198.199

Q= + + + + + + −

b) Chứng minh 1.3.5 2013.2015 2.4.6 2014.2016+ chia hết cho 9911

Câu Tìm x y, ∈ biết:

a) x+ + + + + + +(x 1) (x 2) (x 3) + +(x 30)=1240

b)

2 x−1 − =3

c) (2x+1)(y− =5) 12

Câu

a) Chứng minh n+2và 2n+5là hai số nguyên tố

b) Tìm số tự nhiên x , biết ba số 12; 20; xcó tích hai số chia hết

cho số lại

Câu

Một đồn cơng tác gồm 80 người có 32 nữ Cần phân chia đồn thành tổ cơng tác có số người Số nam, nữ tổ Hỏi có cách phân chia dồn thành tổ để tổ khơng có q 10 người

Câu

Cho đoạn thẳng CD,điểm O thuộc tia đối tia DC.Gọi I, K trung điểm

,

OD OC

a) Chứng tỏ OD OC<

b) Trong ba điểm I O K, , điểm nằm hai điểm lại

c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng IKkhơng phụ thuộc vào vị trí điểm O

(179)

a) ( 11 12) ( 9 3)

5.3 4.3 :

P= + −

( ) ( )

11

3 4.3 : = + −

11

3 17 : 17 = =

( ) ( )

14.29 14.71 99 199199.198 198198.109

Q= + + + + + + −

( ) ( )

14 29 71 99

= + + + + + +

1400 =

b) Do 9911 11.17.53= Trong tích có thừa số ngun tố Tích số lẻ có chứa 11, 17, 53

Tích số chẵn có 22,34,106 nên Tích số chẵn chia hết cho 11, 17, 53

Nên tổng hai tích chia hết cho 9911 (do 11, 17, 53 nguyên tố nhau)

Câu

) ( 1) ( 2) ( 30) 1240

a x+ + + + +x x + +x =

(x x x x) (1 30) 1240

⇒ + + + + + + + + + =

( )

30 31

31 1240

2

x+ + =

31x 1240 31.15 x 25

⇒ = − ⇒ =

2

)2

b x− − = ⇒ − = ⇒ =x x

( )( ) ( )

) 12 1.12 3.4

c x+ y− = = = do x+ lẻ nên (y – 5) chẵn

Ta có bảng giá trị:

2 1 12 17

x y x y

+ −

Câu

a) Đặt (n+2; 2n+ =5) d Ta có: n+2d, 2n+5 d

( )

2n n d d d

⇒ + − +  ⇒  ⇒ = , Kết luận

b) Theo đề ta có: 20 12x ⇒5x3⇒x 3 12x20⇒3 5x ⇒x5⇒ =x 15k

Mà 12.20 15 k⇒16k ⇒ ∈k {1; 2; 4;8;16}⇒ ∈x {15;30; 60;120; 240}

Câu

Số nam đoàn 80 32 48− = người

Gọi số tổ cần chia n Để số lượng nam, nữ ta phải có 48 ,32n  n

Nghĩa n UC∈ (32, 48)=U(16)

Mỗi ước chung phải ươc 16

(180)

Suy số lượng tổ chia 2,4,8 16 tổ

Để số lượng người tổ khơng vượt q 10 ta chia đồn thành tổ (mỗi tỏ nam, nữ) 16 tổ (mỗi tổ nam , nữ)

Câu

C K D I O

a) Vì điểm C O nằm tia đối gốc D nên D nằm C O

OD DC OC OD OC

⇒ + = ⇒ <

b) Vì I trung điểm OD nên

2

OI = OD

Vì K trung điểm OC nên

2

OK = OC

Mà OD OC< ⇒OI<OK

Hai điểm I, K nằm tia OC mà OI OK< ⇒I nằm O K

c) Vì I nằm O K nên OI IK OK+ =

( )

1 1 2 2

IK OK OI OC OD OC OD CD

⇒ = − = − = − =

IK

⇒ có giá trị khơng đỏi

2CD

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HĨA

ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018-2019

MƠN THI: TỐN

Bài (4,5 điểm) Tính giá trị biểu thức sau:

( )2

2 ) :

3 18

a A= + − −

( )

{ }

) 5 :11 16 2015

b B=  + − +

1 1 ) 1 1

1.3 2.4 3.5 2014.2016

c C= +  +  +    + 

     

Bài (4,0 điểm)

a) Tìm số tự nhiên x biết: ( )2

8.6+288 : x−3 =50

b) Tìm chữ số x y, để A=x183ychia cho 2;5;9đều dư

c) Chứng tỏ plà số nguyên tố lớn p2−1chia hết cho

Bài (4,5 điểm)

a) Cho biểu thức :

3

B n

= −

(181)

Tìm tất ca giá trị nguyên n để B số nguyên b) Tìm số nguyên tố x y, cho x2+117= y2

c) Số 100

2 viết hệ thập phân có chữ số

Bài (5,0 điểm)

Cho xBy=55 0 Trên tia

,

Bx Bylần lượt lấy điểm A C A, ( ≠B C, ≠B).Trên đoạn thẳng

AC lấy điểm D cho 

30

ABD=

a) Tính độ dài AC,biết AD=4cm CD, =3cm

b) Tính số đo DBC

c) Từ B vẽ tia Bzsao cho DBz=90 Tính số đo ABz

Bài (2,0 điểm)

a) Tìm chữ số a b c, , khác thỏa mãn: abbc=ab ac .7 b) Cho 1( 20122015 9294)

7

A= − Chứng minh Alà số tự nhiên chia hết cho

a) ( )2 1 2.2 1.3

:

3 18 6

A= + − − = + − = + − = =

b) { ( 3) } { [ ] }

3 5 :11 16 2015 33 :11 16 2015

B=  + − + = − +

{ }

3 15 16 2015 2015 2012

= − + = − + =

c) 1 1 1 1 1.3 2.4 3.5 2014.2016

C= +  +  +   + 

     

( ) ( )

2 2

2.3.4 2015 2.3.4 2015

2 2015 2015.2 2015

1.3 2.4 3.5 2014.2016 1.2.3 2014 3.4.5 2016 2016 1008

= = = =

Bài

a) Biến đổi được: ( )2 ( )2 12 15

3 144 12 12 15

3 12 9( )

x x

x x ktm

− = =

 

− = = = − ⇔ ⇔ ⇒ =

− = − = −

 

b) Do A=x183ychia cho dư 1⇒ =y

Vì A=x1831chia cho dư 1⇒x1831 9−  ⇒x1830 9 ⇒ =x Vậy x=6,y=1

c)Xét số nguyên tố p chia cho Ta có: p=3k+1hoặc p=3k+2(k∈  *)

Nếu 2 ( )2 2

3 1 1

p= k+ ⇒ p − = k+ − = k + k

Nếu ( )2

3 12 3

p= k+ ⇒ p − = k+ − = k + k+ 

Vậy

1

p − 

Bài

(182)

a)Để B nhận giá trị nguyên n− ∈3 U(5)⇒ − ∈ ± ± ⇒ ∈ −n { 1; 3} n { 2; 2; 4;8} b) Với x=2,ta có: 22+117=y2 ⇔ y2 =121⇒ =y 11(là số nguyên tố)

Với x>2mà x số nguyên tố nên x lẻ ⇒ y2 =x2+117là số chẵn nên y chẵn Kết hợp với y số nguyên tố ⇒ =y 2(ktm)

Vậy x=2;y=11

c) Ta có: 30 10

10 =1000 2100 =102410 ⇒1030 <2100 (1) Lại có : 100 31 63 31

2 =2 2 =2 512 64và 31 31 28 31

10 =2 5 =2 625 125

Nên 100 31

2 <10 (2)

Từ (1) (2) suy số 100

2 viết hệ thập phân có 31 chữ số

Bài

z

z'

x

y B

A

C D

a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm A C

4

AC AD CD cm

⇒ = + = + =

b) Chứng minh tia BD nằm hai tia BA BC ta có đẳng thức   

ABC= ABD+DBC⇒DBC  =ABC−ABD=550−300 =600 c) Xét hai trường hợp:

- Trường hơp 1: Tia Bz BD nằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ ABnên tia BA nằm

giữa hai tia Bz BD,

- Tính được:   0

90 90 30 120

ABz= +ABD= + =

Bài

a) Ta có:

.7 (1)

abbc=ab ac

( )

100.ab bc 7.ab ac ab 7.ac 100 bc

⇔ + = ⇔ − =

7.ac 100 bc

ab

⇔ − = Vì bc 10

ab

< < nên 7.< ac−100 10<

(183)

100 110 100 110 14 16

7

ac ac

⇔ < < ⇔ < < < < Vậy ac=15

Thay vào (1) 15.7bb = b ⇔1005 110+ b=1050 105+ b⇔5b=45⇒ =b Vậy a=1,b=9,c=5

b) Vì 2012;92 bội nên 2015

2012 9294cũng bội

( ) ( )

2015 96

2012 4.m m * ;92 4n n *

⇒ = ∈ = ∈

Khi 20122015 9294 4 4 ( ) ( )4 4 ( ) ( )

7 −3 =7 m−3 n = m− n = − =

( )

2015 94 2015 94

2012 92 2012 92

7 10

A

⇒ −  ⇒ = − 

(184)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019

Câu

a) Rút gọn biểu thức :

2 2

7 17 193

A

3 3

7 17 193

+ + −

=

+ + +

b) Tính nhanh: 7+ − − + + −9 11 397 399− −

Câu

a) Cho A 12 12 12 12 100

= + + + + Chứng minh A

4 <

b) So sánh 20

17 3115

Câu

a) Tìm số x, y∈ biết: (x 1+ +) (2y 1− =) 12

b) Tìm xbiết: (x 1+ +) (x+ +2) (x 3+ +) +(x 100+ )=5750

Câu

Tìm số nguyên nsao cho 2n n

+

− số nguyên

Câu

Tìm tất số nguyên tố psao cho p2+2pcũng số nguyên tố

Câu

Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho dư 3, chia cho dư

Câu

Số sách ngăn A

3số sách ngăn B Nếu chuyển từ ngăn A sang ngăn B

số sách ngăn A

7số sách ngăn B Tìm số sách ngăn

Câu

Cho 

xOy 150 ,= kẻ tia Oz cho xOz=40 Tính số đo yOz ?

Câu

Cho 100 điểm có điểm thẳng hàng, qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi có tất đường thẳng

1 1

2

7 17 293

a)A

1 1

3

7 17 293

 + + − 

 

 

= =

 + + − 

 

 

(185)

b)1 11 397 399+ − − + + − − −

( ) ( )

1 395 397 399 401 401

= + − − + + + − − + −

1 401 401 = + + + − = −

Câu

2 2 2

1 1 1 1 a)A

2 100 2.3 3.4 99.100 = + + + + < + + + +

2

1 1 1 1 A

2 3 99 100 ⇔ < + − + − + + −

2

1 1

A A

2 100 ⇔ < + − ⇔ <

( )20

20 20 80

b)17 >16 = =2

15 15 15 75

31 <32 =25 =2

15 75 80 20 15 20

31 <2 <2 <17 ⇒31 <17

Câu

(x 1)(2y 1)+ − =12=1.12=2.6=3.4=12.1=6.2=4.3

Mà 2y 1− số lẻ 2y 1 y 1; x 11

2y y 2; x

− = ⇒ = =



⇒  − = ⇒ = =



Câu

2n 2n 10 11 11

B

n n n + − +

= = = + − − −

( ) ( ) { } { }

B∈ ⇔ 11 n 5 − ⇒ n 5− ∈U 11 = ± ±1; 11 ⇒ ∈n 6; 4;16; 6−

Câu

2 p

p +2 với p số ngun tố

Với p=2ta có:p2+2p =22+22 =8khơng số nguyên tố Với p=3ta có: 32+23 = + =9 17là số nguyên tố

Với p>3ta có: p2+2p =(p2− +1) (2p+1)

Ta có: ( )( )

p − =1 p p 1− + tích số chẵn liên tiếp nên chia hết cho

( )

p

2 + =1 M+ chia hết cho

Nên p

p +2 chia hết p2+2pkhơng số ngun tố Vậy với p=3thì p2+2plà số nguyên tố

Câu

Gọi a số chia cho dư 3, chia cho dư ta có:

a 17+ chia hết cho 5, chia hết cho

Mà a 17+ số nhỏ ⇒17+alà BCNN(5, 7)=35 a 17 35 a 18

⇒ + = ⇒ =

Vậy, với a=18thì thỏa đề

Câu

(186)

Số sách ngăn A

3số sách ngăn B số sách ngăn A

2

2 3+ =5số sách

ngăn

Sau chuyển từ ngăn A sang ngăn B số sách ngăn A

7số sách ngăn

B hay 3

3 7+ =10số sách hai ngăn

Vì số sách ngăn A ban đầu số sách ngăn A sau chuyển Nên ta có phân số là:

5−10=10

Số sách hai ngăn là: : 30

10= (quyển)

Số sách ngăn A là: 30.2 12

5 = (quyển)

Số sách ngăn B là: 30 12− =18(quyển)

Câu

Trường hợp 1: Oznằm xOy 

  

0

xOz 40

xOz xOy Oz

xOy 150



=  ⇒

< ⇒



=  nằm hai tia Ox, Oy⇒xOz  +zOy=xOy

Hay  

40 +zOy 150= ⇒zOy 110=

Trường hợp 2:Oz nằm  xOy, xOykề với góc xOz

  0

xOz xOy 40 150 180

⇒ + = + >

 ( )

yOz 360 xOz xOy 170

⇒ = − + =

Câu

Chia 100 điểm thành tập hợp A gồm điểm thẳng hàng, tập hợp B gồm 97 điểm lại Số đường thẳng tập hợp A

Số đường thẳng tập hợp B 97.96 4656 =

Số đường thẳng qua điểm thuộc tập hợp A điểm thuộc tập hợp B 3.97=291

Vậy số đường thẳng tạo thành là: 4656+ +291=4948đường thẳng

(187)

Phòng GD ĐT Hòa An ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học 2018-2019

Bài

a) Cho ababablà số có chữ số.Chứng tỏ số ababablà bội

b) Cho S = +5 52 + +53 54 + 5+ 2004 Chứng minh Schia hết cho 126và chi hết cho 65.

Bài Tìm số tự nhiên x,biết:

a) x+(x+ +1) (x+2)+ +(x+2010)=2029099 b) 2+ + + +4 6 2+ x=210

Bài

a) Tìm tất số nguyên tố p cho p+11cũng số nguyên tố b) Tìm tất số nguyên tố p để p+8,p+10cũng số nguyên tố

Bài Một phép chia có thương số dư 12 Nếu lấy số bị chia chia cho tổng số

chia số dư ta thương số dư 18 Tìm số bị chia

Bài Trên đoạn thẳng AB=3cm, lấy điểm M Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho

AM=AN

a) Tính độ dài đoạn thẳng BN BM =1cm

b) Hãy xác định vị trí M (trên đoạn thẳng AB) để BN lớn

a) Ta có: ababab=ab.10000+ab.100+ab=10101ab3(do 10101 3)

b) Có ( 3) 2( 3) (3 3)

5+5 +5 +5 +5 +5 =5 5+ +5 5+ +5 5+

2

5.126 5 126 5 126

= + +

2

5 5 5 5 5 5

⇒ + + + + + chia hết cho 126

( ) ( )

( )

2 6 1998

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

5 5 5 5 5 5 5

S = + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + +

Tổng có 2004 : 6=334số hạng chia hết cho 126 nên chia hết cho 126

Có: ( 3)

5 5+ +5 +5 = +5 5 +5 5+ =130+5.130

2

5 5 5 5

⇒ + + + chia hết cho 130

( ) ( )

2 4 2000

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

S = + + + + + + + + + + + +

Tổng có 2004 : 4=501số hạng chia hết cho 130 nên chia hết cho 130

Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65

(188)

Bài

) 2011 1 2010 2029099

a ⇒ x+ + + + =

2010.2011

2011 2029099

2

x

⇒ + =

2010.2011

2011 2029099

2

x

⇒ = −

2010.2011

2029099 : 2011 4

2

x  

⇒ = −  =

 

( ) ( 1)

) 2 2 3 210 2. 210

2

x x

b ⇒ + + + + x = ⇒ + =

( 1) 210 14.15

x x

⇒ + = =

14

x

⇒ =

Bài

a) Nếu p lẻ ⇒ +p 11là số chẵn lớn 11 nên không số nguyên tố Suy pchẵn nên p=2

b) Nếu p chia dư p+8 số lớn chia hết không số nguyên tố

Nếu p chia dư p+10 số lớn chia hết không số nguyên tố Suy p3⇒ =p 3

Bài Gọi số bị chia a, số chia b (b≠0)

Phép chia có thương số dư 12 ⇒ =a 5b+12

Số bị chia chia cho tổng số chia số dư thương số dư 18

( 12 18) 3 54

5 12 3 54 21 117

a b b

b b b a

⇒ = + + = +

⇒ + = + ⇒ = ⇒ =

Vậy số bị chia 117

Bài

M nằm hai điểm A, B nên MA= AB−MB= − =3 2(cm)

2

AN = AM = cm

A nằm N, B nên BN = AN +AB= + =2 3 5cm

,

BN = AN +AB ABkhông đổi nên BN lớn AN nhỏ

AN lớn AM lớn AM lớn AM = AB Lúc M trùng B BN =6cm

N A M B

(189)

UBND HUYỆN THỦY NGHUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN

Năm học 2017-2018 Bài Tính giá trị biểu thức (hợp lý có thể)

a)53.39+47.39 53.21 47.21− − 13 b)

2.1 1.11 11.2+ + +2.15+15.4

Bài

1 Tìm x,biết: a)31 x 13

5− = 5+10 ( )

2012

b) x− = −2

2 Tìm x, yđể 56x3y 90

Bài So sánh :

2008

2009

a)A

2009

+ =

+ với

2009

2010

2009

B

2009

+ =

+ b) 11

31 1714

Bài

a) Cho 2004 2006

A= + + + +1 3 3+ +3 Chứng minh Achia 13 dư 10

b) Chứng tỏ 2n 1+ 2n n+ ( ∈  hai số nguyên tố )

Bài Cho AOBvà BOClà hai góc kề bù Biết BOC=5.AOB a) Tính số đo  AOB, BOC

b) Gọi OD tia phân giác BOC.Tính số đo AOD

c) Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AC chứa tia OB, OD,vẽ thêm n tia phân

biệt (không trùng với tia OA, OB, OC, OD) Trên hình vẽ có tất góc

Bài

Tính tổng 2 2

S 1= +2 + +3 100+

( ) ( ) ( )

a)53 39 21− +47 39 21− =18 53 47+ =18.100 1800=

5 13 b)

2.7 7.11 11.14 14.15 15.28

 

=  + + + + 

 

1 1 1 1 1

7

2 7 11 11 14 14 15 15 28

 

=  − + − + − + − + − 

 

1 13

2 28   =  − =

 

Bài

(190)

1 1)a)x

5 10 10 = − − =

x x

b) x

x x

− = ⇒ = 

− = ⇒  − = − ⇒ =



( )

56x3y x x

2)56x3y 90

56x3y 10 y

 ⇔ + + + + ⇒ =

 ⇔ 

⇒ = 

 



 Vậy x=4, y=0

Bài

a) Thực quy đồng mẫu số:

( )( )

( )( ) ( )( )

2008 2010 4018 2010 2008

2009 2010 2009 2010

2009 2009 2009 2009 2009 1

A

2009 2009 2009 2009

+ + + + +

= =

+ + + +

( )( )

( )( ) ( )( )

2009 2009 4018 2010 2008

2010 2009 2010 2009

2009 2009 2009 2009 2009 1

B

2009 2009 2009 2009

+ + + + +

= =

+ + + +

( )

2010 2008 2008

2009 +2009 =2009 2009 +1

( )

2009 2009 2008

2009 +2009 =2009 2009 2009+

( ) ( )

Do 2009 + >1 2009+2009 ⇒ >A B

( )11 ( )14

11 11 55 56 14 14

b)31 <32 = =2 <2 = =16 <17

11 14

31 17 ⇒ <

Bài

a) A có (2006 : 1004− ) + = (số hạng) mà 1004chia dư

( 2) ( 6) ( 10 12 14) ( 2002 2004 2006)

A= +1 + + +3 + +3 +3 + + +3 +3

( ) ( ) ( )

4 10 2002

A=10 3+ + +3 +3 3+ +3 + 3+ 3+ +3

( 10 2002)

A=10 91 3+ +3 + 3+

4 10 2002

A=10 91 91 3+ + + + 91

Do 91 13

A : 91

⇒ dư 10

b) Gọi d=UCLN(2n 1, 2n+ +3)

Ta có: d số lẻ 2n 1, 2n+ +3lẻ

Và d∈U(2n 1)+ d∈U(2n+3)mà (2n 3+ −) (2n 1+ =) Do d∈U(2); dlẻ nên d 1=

Vậy 2n 1; 2n+ +3là hai số nguyên tố

Bài

(191)

a) Ta có:  

AOB BOC 180+ = (hai góc kề bù) mà BOC=5AOB

  

6AOB 180 AOB 30 ; BOC 150

⇒ = ⇒ = =

b) Ta có:   1

BOD DOC BOC 75

= = = (tính chất tia phân

giác)

Mà  

AOD+DOC 180= (tính chất kề bù)

  0

AOD 180 DOC 180 75 105

⇒ = − = − =

c) Tất có n+4tia phân biệt Cứ tia n+4tia

tạo với n n 3+ − = + lại tạo thành n 3+ góc Có n+4

tia tạo nên thành (n+4 n 3)( + )góc, góc tính lần

Vậy có tất (n n)( 3)

+ +

góc

Bài

( ) ( ) ( ) ( )

S 1= + + +3 1+ +4 1+ + + 100 99 1+

1 1.2 2.3 3.4 99.100 100

= + + + + + + + +

(1.2 2.3 99.100) (1 100)

= + + + + + + + +

Đặt M 1.2 2.3 3.4 99.100= + + + +

( ) ( ) ( )

3M=1.2.3 2.3 1+ − +3.4 2− + 99.100 101 98+ −

3M=99.100.101⇒M=333300

A 333300 5050 33835

⇒ = + =

PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH NĂNG KHIẾU Mơn Tốn

Bài Thực phép tính:

a)S 1.2= +2.3 3.4 99.100+ + +

( ) ( )

b) 528 : 19, 15, 3 − +42 128 75 32+ − −7314

Bài Tìm số nguyên xbiết:

( 2) ( )2 2

a) 19x+2.5 :14= 13 8− −4

( ) ( )3

b) 7x 11− = −3 15 208+

( ) c) 2x 7− =20 5.+ −3

Bài Tìm hai số tự nhiên a, b biết:

BCNN(a, b)=300; UCLN(a, b)=15và a 15 b+ =

C D

B

O A

(192)

Bài

a) Một số tự nhiên chia cho dư 5, chia cho 13 dư Nếu đem số chia cho 91thì dư ?

b)So sánh hai phân số:

2012

2013

10 10

B

10 10

− =

−

2011

2012

10 10

A

10 10

+ =

+

Bài

Cho đoạn thẳng AB,điểm O thuộc tia đối tia AB.Gọi M, Nthứ tự trung điểm

của OA, OB

b) Trong ba điểm O, M, Nđiểm nằm hai điểm lại ?

c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O(O thuộc tia đối tia AB)

a)S 1.2= +2.3 3.4 99.100+ + +

( ) ( ) ( )

3S 1.2.3 2.3 1= + − +3.4 2− + 99.100 101 98+ −

1.2.3 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 99.100.101 98.99.100

= + − + − + + −

S 99.100.101: 333300

⇒ = =

( ) ( )

b) 528 : 19, 15, 3 − +42 128 75 32+ − −7314

(528 : 4) 42.171 7314

= + −

121 7182 7314

= + − =

Bài

( 2) ( )2 2

a) 19x+2.5 :14= 13 8− −4

( )

{ 2 2}

x 14 13 8  2.5 :19 ⇒ =  − − − =

( ) ( )3 ( )3

b) 7x 11− = −3 15 208+ ⇒ 7x 11− =9.15 208+

( )3 18

7x 11 343 7x 11 x (ktm) − = = ⇒ − = ⇔ =

( )

c) 2x 7− =20 5.+ − ⇔3 2x 7− =5

2x x

− = ⇒ = 

⇔  − = − ⇒ =



Bài

Từ liệu đề cho, ta có:

+Vì UCLN (a,b)=15 nên tồn số tự nhiên m, n≠0, cho: a=15m, b=15n (1) UCLN(m, n)=1(2)

(193)

Vì BCNN a, b( )=300nên theo ta suy

( )

BCNN 15m,15n 300 15.20 BCNN(m, n) 20 (3)

⇒ = = ⇒ =

Vì a 15+ = ⇒b 15m 15 15n+ = ⇒ + =m n (4)

Trong trường hợp thỏa mãn điều kiện ( ) ( )2 , có trường hợp m=4, n=5thỏa

mãn điều kiện (4)

Vậy với m=4, n=5thì ta số phải tìm:

a=15.4=60 b 15.5= =75

Bài

a) Gọi số a

Vì a chia cho dư 5, chia cho 13 dư a 7; a 13

⇒ +  +  mà (7,13)= ⇒ + 1 a 7.13( )

( ) ( )

a 91k a 91k 91k 91 82 91 k 82 k

⇒ + = ⇒ = − = − + = − + ∈ 

Vậy a chia cho 91 dư 82 b) Vì B 1< nên

( )

2011

2012 2012 2011

2013 2013 2012 2012

10 10 10

10 10 110 10 100 10 10

B A

10 10 110 10 100 10 10 10 10 10

+

− + + +

< = = = =

− + + + +

Bài

a) Hai tia AO, ABđối nên điểm A nằm hai điểm O B, suy OA OB<

b) Ta có M N thứ tự trung điểm OA, OBnên: OA OB

OM ; ON 2 ⇒ = =

Vì OA OB< ⇒OM<ON

Hai điểm M N thuộc tia OB,mà OM<ON,nên điểm M nằm hai điểm O N

b) Vì điểm M nằm hai điểm O N, nên ta có:

OB OA AB OM MN ON MN ON OM MN

2 −

⇒ + = ⇒ = − ⇒ = =

Vì AB có độ dài khơng đổi nên MN có độ dài khơng đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia OB)

M A N B

O

(194)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học : 2019-2020

Mơn: Tốn Bài (2,0 điểm)

a) Rút gọn phân số: ( )

3 3 3

3

2 7.8 3.5 42 −

b) So sánh không qua quy đồng: A 20057 152006; B 152005 20067 10 10 10 10

− − − − = + = +

Bài (2,0 điểm)

Khơng quy đồng tính hợp lý tổng sau:

1 1 1 a)A

20 30 42 56 72 90 − − − − − − = + + + + +

5 13 b)B

2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 = + + + +

Bài (2,0 điểm)

Một người bán năm giỏ xoài cam Mỗi giỏ đựng loại với số lượng là:

65kg, 71kg, 58kg, 72kg, 93kg.Sau bán giỏ cam số lượng xồi cịn lại gấp ba lần số

lượng cam lại Hãy cho biết giỏ đựng cam, giỏ đựng xoài

Bài (3,0 điểm)

Cho góc AOB góc BOC hai góc kề bù Biết góc BOC lần góc AOB a) Tính số đo góc

b) Gọi OD tia phân giác góc BOC Tính số đo góc AOD

c) Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AC chứa tia OB, OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với tia OA, OB, OC, ODđã cho) có tất góc ?

Bài (1,0 điểm)

Cho p, p+4là số nguyên tố (p>3) Chứng minh p 8+ hợp số

a) ( )

3 3

3

2 7.8 3.5 42 −

=( )2 7.232 43 3 ( 2).3 3.5 2.3.7

−

= − = −

b) A 20057 152006 20057 20068 20067 10 10 10 10 10

− − − − − = + = + +

2005 2006 2005 2005 2006

15 7 B

10 10 10 10 10 − − − − − = + = + +

Vì: 20068 20058 A B 10 10

− > − ⇒ >

Bài

(195)

1 1 1 1 A

20 30 42 90 4.5 5.6 6.7 9.10 − − − −   = + + + + = − + + + + 

 

1 1 1

4 10 10 20 −     = − − + + − = − − =

   

b) B 13 13

2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 2.7 7.11 11.14 14.15 15.28

 

= + + + + =  + + + + 

 

1 1 1 1 1 1 1

7

2 7 11 11 14 14 15 15 28 28

   

=  − + − + − + − + − =  − =

   

Bài

Tổng số xoài cam lúc đầu: 65 71 58 72 93+ + + + =359(kg)

Vì số xồi cịn lại gấp ba lần số cam lại nên tổng số xồi cam cịn lại chia hết cho 4, mà 359 chia cho dư nên giỏ cam bán có khối lượng chia cho dư

Trong số 65; 71;58; 72;93chỉ có 71 chia cho dư

Vậy gỉ cam bán giỏ 71kg

Số xồi cam cịn lại: 359 71− =288(kg)

Số cam lại: 288 : 4=72(kg)

Vậy giỏ đựng cam: 71kg, 72kg Các giỏ đựng xoài: 65kg, 58kg, 93kg

Bài

a) Vì góc AOB BOC hai góc kề bù nên:  

AOB BOC 180+ = mà BOC=5AOB nên

  

6.AOB 180= ⇒AOB=30 , BOC 150=

b) Vì OD tia phân giác BOCnên BOD DOC 1BOC 750

= = =

Vì góc AOD góc DOC hai góc kề bù nên:  AOD+DOC 180=

Do đó:   0

AOD=180 −DOC 180= −75 =105

c) Tất có 2010 tia phân biệt Cứ tia 2010 tia tạo với 2009 tia cịn lại thành 2009 góc Có 2010 tia tạo thành 2010.2009 góc, góc tính lần Vậy có tất

2010.2009

2019045 = góc

Bài

P có dạng 3k 1, 3k+ +2 k( ∈  )

C D

B

O A

(196)

Dạng p=3k+ ⇒ +2 p 4là hợp số trái với đề

p 3k p 3k p

⇒ = + ⇒ + = +  ⇒ + hợp số

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học : 2019-2020

Mơn: Tốn Bài (2,0 điểm)

a) Rút gọn phân số: ( )

3 3

3

2 7.8 3.5 42 −

b) So sánh không qua quy đồng: A 20057 152006; B 152005 20067 10 10 10 10

− − − − = + = +

Bài (2,0 điểm)

Không quy đồng tính hợp lý tổng sau:

a) A 1 1 1

20 30 42 56 72 90 − − − − − − = + + + + +

b) B 13

2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 = + + + +

Bài (2,0 điểm)

Một người bán năm giỏ xoài cam Mỗi giỏ đựng loại với số lượng là:

65kg, 71kg, 58kg, 72kg, 93kg.Sau bán giỏ cam số lượng xồi cịn lại gấp ba lần số

lượng cam lại Hãy cho biết giỏ đựng cam, giỏ đựng xoài

Bài (3,0 điểm)

Cho góc AOB góc BOC hai góc kề bù Biết góc BOC lần góc AOB a) Tính số đo góc

b) Gọi OD tia phân giác góc BOC Tính số đo góc AOD

c) Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AC chứa tia OB, OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với tia OA, OB, OC, ODđã cho) có tất góc ?

Bài (1,0 điểm)

Cho p, p+4là số nguyên tố (p>3) Chứng minh p 8+ hợp số

a) ( )

3 3 3

3

2 7.8 3.5 42 −

=( )2 7.232 43 3 ( 2).3 3.5 2.3.7

−

= − = −

b) A 20057 152006 20057 20068 20067 10 10 10 10 10

− − − − − = + = + +

2005 2006 2005 2005 2006

15 7 B

10 10 10 10 10 − − − − − = + = + +

(197)

2006 2005

8

A B 10 10

− > − ⇒ >

Bài

a) A 1 1 1 1

20 30 42 90 4.5 5.6 6.7 9.10 − − − −   = + + + + = − + + + + 

 

1 1 1

4 10 10 20 −     = − − + + − = − − =

   

b) B 13 13

2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 2.7 7.11 11.14 14.15 15.28

 

= + + + + =  + + + + 

 

1 1 1 1 1 1 1

7

2 7 11 11 14 14 15 15 28 28

   

=  − + − + − + − + − =  − =

   

Bài

Tổng số xoài cam lúc đầu: 65 71 58 72 93+ + + + =359(kg)

Vì số xồi lại gấp ba lần số cam lại nên tổng số xồi cam cịn lại chia hết cho 4, mà 359 chia cho dư nên giỏ cam bán có khối lượng chia cho dư

Trong số 65; 71;58; 72;93chỉ có 71 chia cho dư

Vậy gỉ cam bán giỏ 71kg

Số xồi cam cịn lại: 359 71− =288(kg)

Số cam lại: 288 : 4=72(kg)

Vậy giỏ đựng cam: 71kg, 72kg Các giỏ đựng xoài: 65kg, 58kg, 93kg

Bài

a) Vì góc AOB BOC hai góc kề bù nên:  

AOB BOC 180+ = mà BOC=5AOBnên

  

6.AOB 180= ⇒AOB=30 , BOC 150=

b) Vì OD tia phân giác BOCnên   1

BOD DOC BOC 75

= = =

Vì góc AOD góc DOC hai góc kề bù nên:  

AOD+DOC 180=

Do đó:   0

AOD=180 −DOC 180= −75 =105

c) Tất có 2010 tia phân biệt Cứ tia 2010 tia tạo với 2009 tia cịn lại thành 2009 góc Có 2010 tia tạo thành 2010.2009 góc, góc tính lần Vậy có tất

2010.2009

2019045 = góc

C D

B

O A

(198)

Bài

P có dạng 3k 1, 3k+ +2 k( ∈  )

Dạng p=3k+ ⇒ +2 p 4là hợp số trái với đề

p 3k p 3k p

⇒ = + ⇒ + = +  ⇒ + hợp số

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học 2018-2019

Mơn thi: TỐN

Câu 1.Tính giá trị biểu thức sau:

( ) ( ) ( ) ( )2 ( )2010 ( )2011

A= −1 −1 −1 −1 −1 −1 131313 131313 131313

B 70

565656 727272 909090

 

=  + + 

 

2a 3b 4c 5d C

3b 4c 5d 2a

= + + + biết2a 3b 4c 5d

3b =4c =5d =2a

Câu Tìm xlà số tự nhiên, biết:

a) x

2 x + =

+

b)

2

0,

1 9 11

x :

8

2

1,

9 11

+ −

 − =

 

  + −

Câu

a) Tìm tất cặp số tự nhiên ( )x, y cho 34x5ychia hết cho 36

b) Không quy đồng mẫu số so sánh:

2010 2011 2011 2010

9 19 19 A ; B

10 10 10 10 − − − − = + = +

Câu

Cho A n

n − =

+

a) Tìm nnguyên để Alà phân số

b) Tìm nnguyên để Alà số nguyên

Câu

Cho tam giác ABC có 

ABC=55 ,trên cạnh AC lấy điểm D(Dkhông trùng với A

và C)

a) Tính độ dài AC,biếtAD=4cm, CD=3cm

b) số đo DBCbiết ABD=300

c) Từ B dựng tia Bxsao cho DBx=90 Tính số đo ABx

(199)

d) Trên cạnh ABlấy điểm E(E không trùng với Avà B) Chứng minh 2đoạn thẳng

BD CE cắt

( ) ( ) ( ) A= −1.1 −1 −1 − = −1

13 13 13 1 B 70 70.13

56 72 90 7.8 8.9 9.10

   

=  + + =  + + 

   

1 70.13 39

7 10   =  − =

  2a 3b 4c 5d C

3b 4c 5d 2a

= + + + biết2a 3b 4c 5d

3b =4c =5d =2a

Đặt 2a 3b 4c 5d k

3b = 4c=5d =2a =

Ta có: 2a 3b 4c 5d 4

k k k C 3b 4c 5d 2a = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ = ±

Câu

a) x ( )2 ( )2

x 16 x

+ = ⇒ + = = ± +

) x x + + = ⇒ =

) x x 5(ktm) + + = − ⇒ = −

Vậy x 3=

b)

2

0,

1 9 11

x :

8

2

1,

9 11

+ −

 − =

 

  + −

2

0,

19 9 11

x :

2

4 0,

9 11

+ −

 

⇔  − =

 

  + −

 

 

x

⇔ = ⇒ =

Câu

a) Ta có: 36 9.4= mà ƯC(4, 9)=1

Vậy để 34x5ychia hết cho 36 34x5ychia hết cho 34x5ychia hết cho x y 9+ + + +  ⇒12 x+ +y 1 ( )

34x5ychia hết cho 5y 4 ⇒ =y 2, y=6

Với y=2thay vào (1) 14 x 9⇒ +  ⇒ =x

(200)

Với y=6thay vào (1) 18 x x

x

= 

⇒ + ⇒ 

=  

Vậy cặp ( )x, y cần tìm : ( ) ( ) ( )4, ; 0, ; 9, b) Ta có:

2010 2011 2010 2011 2011

9 19 10 A

10 10 10 10 10 − − − − − = + = + +

2011 2010 2011 2010 2010

9 19 10 B

10 10 10 10 10 − − − − − = + = + +

Ta thấy 102011 102010 A B 10 10

− −

> ⇒ >

Câu

a) A n

n − =

+ phân số n 0+ ≠ ⇒ ≠ −n

b)A n n 5

n n n − + −

= = = − + + +

Với nnguyên, A nhận giá trị nguyên ⇔5 n + ⇒4 (n+ ∈4) U 5( ) {= ± ±1; 5} Lập luận tìm n= − − −9; 5; 3;1

Câu

a) D nằm A C⇒AC=AD CD+ = + =4 7cm

b) Tia BD nằm hai tia BA BC nên   ABC=ABD+DBC

   0

⇒ = − = − =

*Trường hợp 1: Tia Bxvà BD nằm hai phía nửa mặt phẳng

có bờ AB

ABx=90 −ABD

Mặt khác tia BD nằm hai tia BA, BCnên 00 <ABD<550

 

0 0 0

90 55 ABx 90 35 ABx 90

⇒ − < < − ⇔ < <

*Trường hợp 2: Tia Bx, BDnằm nửa mặt phẳng có bờ AB

ABx=90 +ABD

Lập luận tương tự trường hợp được: 

90 <ABx<145 Vậy 350 <ABx<145 , ABx0 ≠900

d) Xét đường thẳng BD

Do BD cắt AC nên đường thẳng BDchia mặt phẳng làm hai nửa: nửa mặt phẳng có bờ BDchứa điểm C nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A

⇒tia BAthuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A

300 ?

?

A

B C

D E

Định dạng
Số trang	296
Dung lượng	3,04 MB