Đang tải... (xem toàn văn)
Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nhận véc-tơ nào dưới đây làm một véc-tơ chỉ phương?. A (1; 1; 0)..[r]
(1)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
DẠNG 35. TÌM VÉC-TƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG
THẲNG
1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (xA; yA; zA), B (xB; yB; zB) C (xC; yC; zC) Ta có
1) AB = (x# » B − xA; yB− yA; zB − zA)
2) Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB
xI =
xA+ xB
2 yI =
yA+ yB
2 zI = zA+ zB
2
3) Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC
xG =
xA+ xB + xC
3 yG = yA+ yB + yC
3 zG=
zA+ zB+ zC
3
4) #»u = (x; y; z) ⇔ #»u = x#»i + y#»j + z#»k
5) #»u = (x1; y1; z1) phương với #»v = (x2; y2; z2) #»v 6= #»0 #»u = k #»v ⇔
x1 = kx2
y1= ky2
z1 = kz2
6) Đường thẳng ∆ qua hai điểm A B ∆ có véc-tơ phương AB# » BA# » 7) Nếu #»u véc-tơ phương ∆ k #»u (k 6= 0) véc-tơ phương ∆,
đó đường thẳng có vơ số véc-tơ phương
8) Nếu hai đường thẳng song song với véc-tơ phương đường thẳng véc-tơ phương đường thẳng
9) Nếu đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng (α) véc-tơ phương #»u∆ đường thẳng
∆ véc-tơ pháp tuyến n# »α mặt phẳng (α), tức #»u∆= # »nα
10) Đường thẳng ∆ qua điểmM (x0; y0; z0) có véc-tơ phương #»u = (a; b; c)có phương
trình tham số ∆ :
x = x0+ at
y = y0+ bt
z = z0+ ct
và phương trình tắc ∆ : x − x0
a =
y − y0
b =
z − z0
(2)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
11) Điểm M thuộc đường thẳng ∆ có PTTS ∆ :
x = x0+ at
y = y0+ bt
z = z0+ ct
thì M (x0+ at; y0+ bt; z0+ ct)
12) Cho hai mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = (α) : Ax + By + Cz + D =
01) Với điều kiện A : B : C 6= A : B : C Điều kiện chứng tỏ hai mặt phẳng cắt Gọid đường thẳng giao tuyến chúng Đường thẳngd gồm điểm M (x; y; z) vừa thuộc (α) vừa thuộc (α), nên tọa độ M nghiệm hệ
®
Ax + By + Cz + D = Ax + By + Cz + D = 02) #»ud = [ #»n , #»n ] với #»n = (A, B, C) #»n = (A, B, C) véc-tơ phương đường thẳng
d
13) Một véc-tơ phương đường thẳng song song chứa trục Ox #»i = (1; 0; 0) 14) Một véc-tơ phương đường thẳng song song chứa trục Oy #»j = (0; 1; 0) 15) Một véc-tơ phương đường thẳng song song chứa trục Oz #»k = (0; 0; 1)
2 BÀI TẬP MẪU
Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, véc-tơ véc-tơ phương đường thẳng qua hai điểm M (2; 3; −1) N (4; 5; 3)
A #»u4 = (1; 1; 1) B #»u3 = (1; 1; 2) C #»u1= (3; 4; 1) D #»u2 = (3; 4; 2)
Lời giải
Phân tích hướng dẫn giải
1) DẠNG TỐN: Đây dạng tìm tọa độ véc-tơ phương đường thẳng qua hai điểm không gian
2) HƯỚNG GIẢI: Đường thẳng qua hai điểm M N nhận véc-tơ M N# » N M# » làm véc-tơ phương
LỜI GIẢI CHI TIẾT Ta có M N = (2; 2; 4) ⇒# » M N = #»# » u với #»u = (1; 1; 2)
Ta chọn #»u = (1; 1; 2) véc-tơ phương đường thẳng qua hai điểm M (2; 3; −1) N (4; 5; 3)
(3)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu Trong không gian Oxyz, véc-tơ phương đường thẳng qua hai điểm A(1; 2; 3) B(3; −2; −1) có tọa độ
A (−1; 2; 2) B (1; 2; 2) C (2; 4; 4) D (2; 0; 1)
Lời giải
Ta có AB = (2; −4; −4) ⇒# » AB = −2 #»# » u với #»u = (−1; 2; 2)
Ta chọn #»u = (−1; 2; 2) véc-tơ phương đường thẳng qua hai điểm A(1; 2; 3) B(3; −2; −1)
Chọn phương án A
Câu Trong không gianOxyz, cho ba điểmA(−3; 2; 2), B(0; −1; 2), C(1; 1; 3) Một véc-tơ phương đường thẳng ∆ qua C song song với AB có tọa độ
A (−3; 3; 3) B (1; −1; 0) C (1; −1; 1) D −3
2; 2;
Lời giải
Vì ∆ song song với AB, nên AB# » véc-tơ phương ∆ Ta có AB = (3; −3; 0) ⇒# » AB = #»# » u với #»u = (1; −1; 0)
Ta chọn #»u = (1; −1; 0) véc-tơ phương đường thẳng ∆ Chọn phương án B
Câu Trong không gian Oxyz, véc-tơ phương đường thẳng∆đi qua điểm A(1; 3; −5) vuông góc với mặt phẳng (α) : x − 2y + 3z − = có tọa độ
A (−5; 3; 1) B (1; 3; −4) C (1; −2; 3) D (−2; 3; −4)
Lời giải
Mặt phẳng (α) có véc-tơ pháp tuyến n# »α = (1; −2; 3)
Vì ∆ ⊥ (α) nên ∆ có véc-tơ phương #»u∆= # »nα = (1; −2; 3)
Chọn phương án C
Câu Trong không gianOxyz, cho đường thẳng∆ :
x = y = t z = − t
Một véc-tơ phương đường
thẳng ∆ có tọa độ
A (1; 0; −1) B (0; 1; 1) C (0; 1; 2) D (0; 2; −2)
Lời giải
Dựa vào phương trình tham số đường thẳng ∆, ta thấy ∆ có véc-tơ phương #»u∆ =
(0; 1; −1) Chọn #»u = #»u∆= (0; 2; −2) véc-tơ phương khác ∆
Chọn phương án D
Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng∆ : x −
2 =
y +
−3 = z − Một véc-tơ phương đường thẳng ∆ có tọa độ
A (1; −3; 3) B (−1; 3; −3) C (2; −3; 0) D (2; −3; 1)
(4)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
Ta có x −
2 =
y +
−3 = z − ⇔ x −
2 =
y + −3 =
z −
1 Dựa vào phương trình tắc đường thẳng, ta thấy ∆có véc-tơ phương #»u∆= (2; −3; 1)
Chọn phương án D
Câu Trong không gian Oxyz, véc-tơ phương đường thẳng chứa trục Oy có tọa độ
A (0; 1; 2020) B (1; 1; 1) C (0; 2020; 0) D (1; 0; 0)
Lời giải
Ta có, véc-tơ phương đường thẳng chứa trục Oy #»j = (0; 1; 0)
Chọn #»u = 2020#»j = (0; 2020; 0) làm véc-tơ phương đường thẳng chứa trục Oy Chọn phương án C
Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ :
x = t y = − 2t z = − 3t
Một véc-tơ phương
đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ có tọa độ
A (0; 1; 2) B (1; −2; −3) C (−1; −2; 3) D (1; 1; 2)
Lời giải
Đường thẳng ∆ có véc-tơ phương #»u∆= (1; −2; −3)
Vì d song song với ∆ nên véc-tơ phương d #»ud = #»u∆= (1; −2; −3)
Chọn phương án B
Câu Trong không gian Oxyz, véc-tơ phương #»u đường thẳng ∆ phương với véc-tơ #»a = 3#»i − 5#»j + 4#»k có tọa độ
A (−3; −5; 4) B (4; −5; 3) C (3; 0; 4) D (3; −5; 4)
Lời giải
Ta có #»a = 3#»i − 5#»j + 4#»k ⇔ #»a = (3; −5; 4)
Vì #»u phương với #»a, nên ta chọn véc-tơ phương ∆ #»u = #»a = (3; −5; 4) Chọn phương án D
Câu Trong không gian Oxyz, cho tam giácABC với A(1; 1; 1), B(−1; 1; 0), C(1; 3; 2) Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác ABC nhận véc-tơ làm véc-tơ phương?
A (1; 1; 0) B (0; 2; 1) C (−2; 1; 0) D (2020; −2020; 0)
Lời giải
Gọi M trung điểm BC M (xM; yM; zM) với
xM =
−1 + = yM =
1 + = zM =
0 + 2 =
⇒ M (0; 2; 1) ⇒ AM =# »
(−1; 1; 0)
(5)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 0; −2), B(2; −3; −4), C(3; 0; −3) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Véc-tơ sau véc-tơ phương đường thẳng OG?
A (2; 1; 3) B (3; −2; 1) C (−2; 1; 3) D (−1; −3; 2)
Lời giải
Vì G trọng tam tam giác ABC nênG(xG; yG; zG) với
xG =
1 + +
3 =
yG=
0 − +
3 = −1
zG=
−2 − −
3 = −3
Vậy G(2; −1; −3)
Ta có OG = (2; −1; −3)# »
Ta có đường thẳng OG nhận #»u = −OG = (−2; 1; 3)# » làm véc-tơ phương Chọn phương án C
Câu 11 Trong không gian Oxyz, gọi P1, P2 hình chiếu vng góc điểm P(6; 7; 8)
lên trục Oy mặt phẳng (Oxz) Véc-tơ véc-tơ phương đường thẳng P1P2 ?
A (6; −8; 7) B (6; −7; 8) C (6; 7; 8) D (−6; −7; 8)
Lời giải
Ta có
P1 hình chiếu vng góc điểm P(6; 7; 8) lên trục Oy ⇒ P1(0; 7; 0)
P2 hình chiếu vng góc điểm P(6; 7; 8) lên mặt phẳng (Oxz) ⇒ P2(6; 0; 8)
Chọn véc-tơ phương đường thẳng P1P2 P# »1P2= (6; −7; 8)
Chọn phương án B
Câu 12 Trong không gian Oxyz, gọi T1, T2 hình chiếu vng góc điểm T (4; 5; 6)
lên trục Oy trục Oz Véc-tơ véc-tơ phương đường thẳng T1T2
?
A (0; −5; 6) B (0; −6; 5) C (4; −5; −6) D (0; 5; 6)
Lời giải
Ta có
T1 hình chiếu vng góc điểm T (4; 5; 6) lên trục Oy ⇒ T1(0; 5; 0)
T2 hình chiếu vng góc điểm T (4; 5; 6) lên trục Oz ⇒ T2(0; 0; 6)
Chọn véc-tơ phương đường thẳng T1T2 T# »1T2= (0; −5; 6)
Chọn phương án A
Câu 13 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 3; 2), B(2; −1; 5), C(3; 2; −1) Đường thẳng ∆ qua A vuông góc với mặt phẳng qua ba điểm A, B, C có phương trình
A x + 15 =
y +
9 =
z −
7 B
x − 15 =
y − −9 =
z − C x −
−15 = y +
9 =
z −
7 D
x − 15 =
y −
9 =
z −
(6)50 D ẠNG TO ÁN PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A LẦN
Ta có AB = (1; −4; 3),# » AC = (2; −1; −3) ⇒# » ỵAB,# » AC# »ó= (15; 9; 7)
Vì đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng qua ba điểm A, B, C, nên ta chọn môt véc-tơ phương #»u∆ = (15; 9; 7)
Vậy đường thẳng ∆ qua A(1; 3; 2) nhận #»u∆= (15; 9; 7) làm véc-tơ phương có phương
trình tắc x − 15 =
y −
9 =
z − Chọn phương án D
Câu 14 Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ qua A(0; 2; 5) đồng thời vng góc với hai
đường thẳng d1:
x − −1 =
y −
1 =
z +
−2 d2:
x = t
y = −2 − 2t z =
có phương trình
A ∆ :
x = −t y = − t z = + 2t
B ∆ :
x = −t y = + 2t z =
C ∆ :
x = −4t y = − 2t z = + t
D ∆ :
x = −4 y = −2 + 2t z = + 5t
Lời giải
d1 có véc-tơ phương u#»1 = (−1; 1; −2)
d2 có véc-tơ phương u#»2 = (1; −2; 0) Ta có [ #»u1, #»u2] = (−4; −2; 1)
Vì đường thẳng ∆ vng góc với hai đường thẳng d1 d2 nên ta chọn môt véc-tơ phương
#»
u∆= [ #»u1, #»u2] = (−4; −2; 1)
Vậy đường thẳng∆đi quaA(0; 2; 5)và nhận #»u∆ = (−4; −2; 1)làm véc-tơ phương có phương
trình tham số ∆ :
x = −4t y = − 2t z = + t
Chọn phương án C
Câu 15 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng(α) : 2x + y − z + = và(β) : x + y + z − = Đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng (α) (β)có phương trình tắc
A
x = 2t y = −1 − 3t z = + t
B x
2 = y +
−3 = z −
1
C x −
1 =
y + −1 =
z −
2 D
x =
y − −3 =
z + 1
Lời giải
(α) có véc-tơ pháp tuyến n# »α = (2; 1; −1)
(β) có véc-tơ pháp tuyến n# »β = (1; 1; 1) Ta có n# »α, # »nβ= (2; −3; 1)
Vì đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng (α) (β) nên ∆ có véc-tơ phương #»
u∆=
# » nα, # »nβ
= (2; −3; 1) Gọi M giao điểm hai mặt phẳng (α) (β), M ∈ ∆ tọa độ
M nghiệm hệ phương trình: ®
2x + y − z + = x + y + z − =
, chox = ta hệ sau:
x =
y − z + = y + z − =
(7)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
x = y = −1 z =
Vậy M (0; −1; 2) Đường thẳng ∆ qua M (0; −1; 2) nhận #»u∆ = (2; −3; 1) làm véc-tơ
phương có phương trình tắc ∆ : x =
y + −3 =
z − Chọn phương án B
Câu 16 Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆đi qua điểmM (1; 2; 2), song song với mặt phẳng (P ) : x − y + z + = đồng thời cắt đường thẳng d : x −
1 =
y −
1 =
z −
1 có phương trình
A
x = − t y = − t z =
B
x = − t y = + t z =
C
x = −1 + t y = −1 + 2t z = 2t
D
x = y = − t z = − t
Lời giải
Đường thẳng d có phương trình tham số d :
x = + t y = + t z = + t Mặt phẳng (P ) có véc-tơ pháp tuyến n# »α= (1; −1; 1)
Giả sử ∆ cắt d A ⇒ A (1 + t; + t; + t) M A = (t; t; + t)# »
Vì đường thẳng ∆ song song với (P ) nên M A ⊥ #»# » n ⇔M A · #»# » n = ⇔ t − t + + t = ⇔ t = −1 Suy M A = (−1; −1; 0)# » M A# » véc-tơ phương ∆
Đường thẳng ∆ qua M (1; 2; 2) nhận #»u∆ = (−1; −1; 0) làm véc-tơ phương có phương
trình tham số
x = − t y = − t z =
Chọn phương án A
Câu 17 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác góc Alàd : x
1 = y −
−4 = z −
−3 Biết điểmM (0; 5; 3)thuộc đường thẳngAB điểmN (1; 1; 0)thuộc đường thẳng AC Một véc-tơ phương #»u đường thẳng AC có tọa độ
A #»u = (0; 1; −3) B #»u = (0; 1; 3) C #»u = (1; 2; 3) D #»u = (0; −2; 6)
(8)50 D ẠNG TO ÁN PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A LẦN
d có phương trình tham số
x = t y = − 4t z = − 3t
Gọi D điểm đối xứng với M qua (d) Khi D ∈ AC đường thẳng AC có véc-tơ phương N D# »
* Tìm tọa độ điểm D
Gọi K giao điểm M D với d Ta có K (t; − 4t; − 3t) , M K = (t; − 4t; − 3t)# »
Vì M K ⊥ #»# » ud, với #»ud = (1; −4; −3) nên t − 4(1 − 4t) − 3(3 − 3t) =
0 ⇔ t = d M N D B C K E A
Suy K 1
2; 4;
Mà K trung điểm M D nên
xD = 2xK − xM
yD = 2yK − yM
zD = 2zK− zM
⇔
xD =
yD =
zD =
hayD(1; 3; 6)
Một véc-tơ phương AC N D = (0; 2; 6) = 2(0; 1; 3) = #»# » u, với #»u = (0; 1; 3) Chọn phương án B
Câu 18 Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ qua A(0; 1; 1), vng góc với đường thẳng
d1:
x − −2 =
y −
2 =
z −
1 cắt đường thẳng d2:
x = t y = −t z =
có phương trình
A ∆ :
x = −t y = + 3t z = − 4t
B ∆ :
x = t y = + 3t z = − 4t
C ∆ :
x = t y = − 3t z = − 4t
D ∆ :
x = y = + t z = −4 + t
Lời giải
d1 có véc-tơ phương u#»1 = (−2; 2; 1)
Giả sử ∆ cắt d2 B ⇒ B(t; −t; 2) AB = (t; −t − 1; 1)# »
Vì đường thẳng ∆ vng góc với đường thẳng d2 nên AB ⊥ #»# » u1 ⇔AB · #»# » u1 = ⇔ −2t − 2t − + =
0 ⇔ t = −1 Suy AB =# »
−1
4; − 4;
= −1
4(1; 3; −4) = −
#»u, với #»u = (1; 3; −4).
Vậy đường thẳng ∆ qua A(0; 1; 1) nhận #»u = (1; 3; −4) làm véc-tơ phương có phương
trình tham số
x = t y = + 3t z = − 4t
Chọn phương án B
Câu 19 Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng (P ) : 7x + y − 4z = 0,
cắt hai đường thẳngd1:
x =
y − −1 =
z +
1 d2:
x = −1 + 2t y = + t z =
(9)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
A ∆ : x − −7 =
y −1 =
z +
4 B ∆ :
x = − 7t y = −t z = −1 + 4t
C ∆ : x + −7 =
y − −1 =
z +
4 D ∆ :
x + −5 =
y + −1 =
z −
Lời giải
Mặt phẳng (P ) có véc-tơ pháp tuyến #»n = (7; 1; 4)
d1 có phương trình tham số: d1:
x = 2m y = − m z = −2 + m Giả sử ∆ cắt d1 A ⇒ A (2m; − m; −2 + m)
Giả sử ∆ cắt d2 B ⇒ B (−1 + 2t; + t; 3)
Suy AB = (2t − − 2m; t + m; − m)# »
#» nP
d1
d2
P M
A B
∆
Vì đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng (P ) nên AB# » phương với #»n
Tức 2t − − 2m
7 =
t + m
1 =
5 − m
−4 = k ⇔
2t − − 2m = 7k t + m = k
5 − m = −4k
⇔
t = −2 m = k = −1
Suy A(2; 0; −1), B(−5; −1; 3) ⇒AB = (−7; −1; 4)# »
Vậy đường thẳng ∆đi qua A(2; 0; −1) nhận #»u =AB = (−7; −1; 4)# » làm véc-tơ phương có phương trình tắc ∆ : x −
−7 = y −1 =
z + Chọn phương án A
Câu 20 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x − y + z − 10 = 0, điểm A(1; 3; 2)và đường
thẳng d :
x = −2 + 2t y = + t z = − t
Đường thẳng ∆ cắt (P ) d hai điểm M N cho A
trung điểm M N có phương trình tắc
A ∆ : x + −7 =
y +
4 =
z −
−1 B ∆ :
x = −6 − 7t y = −1 − 4t z = + t
C ∆ : x −
7 =
y −
4 =
z +
−1 D ∆ :
x + −7 =
y + −4 =
z −
(10)50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1
Ta có ∆ cắt d N ⇒ N (−2 + 2t; + t; − t)
VìAlà trung điểm củaM N nênM :
xM = 2xA − xN = − 2t
yM = 2yA− yN = − t
zM = 2zA− zN = t + hay M (4 − 2t; − t; t + 3)
Vì∆cắt(P )tạiM ⇒ M ∈ (P ) ⇒ 2(4−2t)−(5−t)+(3+t)−10 = ⇔ t = −2
Do N (−6; −1; 3)và AN = (−7; −4; 1)# »
d
P M
N
A
∆
Vậy đường thẳng ∆ qua N (−6; −1; 3) nhận #»u =AN = (−7; −4; 1)# » làm véc-tơ phương có phương trình tắc ∆ : x +
−7 = y +
−4 = z −
(11)Nhóm:
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
BẢNG ĐÁP ÁN
1 A B C D D C B D D 10 C
h Geogebra Pro