Bài giảng Toán tài chính - Bài 5: Chuỗi niên kim (Annuities) được biên soạn với mục đích cung cấp các kiến thức cho người học về khái niệm niên kim và chuỗi niên kim; chuỗi niên kim cố định; chuỗi niên kim biến đổi.
BÀI CHUỖI NIÊN KIM (Annuities) ThS Nguyễn Thành Trung Trường đại học kinh tế quốc dân v1.0015110212 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Ngân hàng VPBank (Việt Nam thịnh vượng) triển khai gói vay tín chấp cho khách hàng cá nhân với thời hạn vay tối đa năm, trả nợ hàng tháng Theo gói tín dụng này, số tiền phải trả tháng lần trả tháng sau ngày giải ngân, đến tháng cuối hết nợ Một người kí hợp đồng vay 40 triệu đồng, trả nợ vòng 24 tháng với lãi suất hàng năm 30% Hình thức trả nợ tuân theo nguyên tắc nào? Tính số tiền mà người phải trả hàng tháng Nếu cho vay với thời hạn dài (5,10 năm), điều cần lưu ý để người cho vay bảo đảm quyền lợi v1.0015110212 MỤC TIÊU Có thể nói, chuỗi niên kim khơng q xa lạ với người làm việc lĩnh vực tài Khái niệm giữ vai trị quan trọng phân tích tài hầu hết định tài (cho vay, tiết kiệm, đầu tư, ) hay quản lý tài sản có liên quan đến thời giá tiền tệ Cụ thể, giá trị tích luỹ giá trị hoá khoản tiền đầu tư hay cho vay hai thời điểm khác so sánh với quy đổi chúng thời điểm gọi thời điểm so sánh Mục tiêu học giới thiệu hướng dẫn sinh viên làm quen với khái niệm liên quan tới niên kim ứng dụng thực tiễn Tiếp theo, sinh viên hướng dẫn xây dựng cơng thức tính giá trị chuỗi niên kim từ áp dụng thành thạo cơng thức để tính tốn giá trị chuỗi niên kim thời điểm Kết thúc bài, sinh viên cần nắm chất chuỗi niên kim vận dụng để giải vấn đề thực tiễn có liên quan v1.0015110212 NỘI DUNG Khái niệm niên kim chuỗi niên kim Chuỗi niên kim cố định Chuỗi niên kim biến đổi v1.0015110212 5.1 KHÁI NIỆM NIÊN KIM VÀ CHUỖI NIÊN KIM • Niên kim khoản tiền xuất sau khoảng thời gian (tháng, quý, năm…) • Chuỗi niên kim tập hợp niên kim xuất cách • Các yếu tố chuỗi niên kim: Số lượng niên kim chuỗi; Khoảng cách niên kim; Giá trị niên kim; Thời điểm xuất niên kim đầu tiên; Lãi suất áp dụng v1.0015110212 5.1 KHÁI NIỆM NIÊN KIM VÀ CHUỖI NIÊN KIM (tiếp theo) Tiết kiệm tiêu dùng Sự ổn định hạn chế thu nhập Vấn đề khoản, xử lý nợ Chuỗi niên kim v1.0015110212 5.1 KHÁI NIỆM NIÊN KIM VÀ CHUỖI NIÊN KIM (tiếp) • Chuỗi niên kim cố định chuỗi niên kim gồm niên kim có giá trị • Chuỗi niên kim biến đổi (khơng cố định) chuỗi niên kim gồm niên kim có giá trị khác Gồm: Chuỗi niên kim biến động theo cấp số cộng chuỗi niên kim giá trị niên kim thay đổi theo cấp số cộng Chuỗi niên kim biến động theo cấp số nhân chuỗi niên kim giá trị niên kim thay đổi theo cấp số nhân Chuỗi niên kim mà giá trị niên kim có độ lớn tùy ý ( khơng theo quy luật) v1.0015110212 5.1 KHÁI NIỆM NIÊN KIM VÀ CHUỖI NIÊN KIM (tiếp) Cơ sở để tính tốn giá trị chuỗi niên kim Nguyên tắc giá trị thời gian tiền Tiền tệ biến đổi theo thời gian tác động lãi suất Vốn hóa hóa Vốn hóa to Cn = Co(1+i)n Giá trị tn Giá trị tương lai Cn C0 Hiện hóa to Co = Cn(1+i)-n tn Giá trị Giá trị tương lai C0 Cn v1.0015110212 5.2 CHUỖI NIÊN KIM CỐ ĐỊNH 2.1 Số tiền thu cuối chuỗi niên kim cố định 2.2 Giá trị chuỗi niên kim cố định 2.3 Giá trị chuỗi niên kim cố định thời điểm v1.0015110212 5.2.1 SỐ TIỀN THU ĐƯỢC CUỐI CÙNG CỦA CHUỖI NIÊN KIM CỐ ĐỊNH (Vn) Bài toán: Một khách hàng đến ngân hàng gửi tiền hưởng lãi gộp với số tiền gửi lần a (đơn vị tiền tệ), gửi tất n (lần) lần gửi tiền cách thời kỳ, lãi suất tiền gửi i (%/thời kỳ) Hỏi sau lần gửi tiền cuối khách hàng có tiền ngân hàng? v1.0015110212 10 5.3.1 CHUỖI NIÊN KIM BIẾN ĐỘNG THEO CẤP SỐ CỘNG 3.1.1 Số tiền thu cuối chuỗi niên kim biến động theo cấp số cộng {(a)Vn} 3.1.2 Giá trị chuỗi niên kim biến động theo cấp số cộng {(a)Vo} v1.0015110212 21 5.3.1.1 SỐ TIỀN THU ĐƯỢC CUỐI CÙNG CỦA CHUỖI NIÊN KIM BIẾN ĐỘNG THEO CẤP SỐ CỘNG {(a)Vn} Bài toán: Một khách hàng đến ngân hàng gửi tiền hưởng lãi gộp với số tiền gửi lần a (đơn vị tiền tệ), số tiền lần gửi sau số tiền lần gửi trước cộng r (đơn vị tiền tệ r không đổi), gửi tất n (lần) lần gửi tiền cách thời kỳ, lãi suất tiền gửi i (%/thời kỳ) Hỏi sau lần gửi tiền cuối khách hàng có tiền ngân hàng? v1.0015110212 22 5.3.1.1 SỐ TIỀN THU ĐƯỢC CUỐI CÙNG CỦA CHUỖI NIÊN KIM BIẾN ĐỘNG THEO CẤP SỐ CỘNG {(a)Vn} (tiếp theo) Công thức: (a)Vn = a(1+i)n–1 + (a+r) (1+i)n–2 + (a+2r) (1+i)n–3 + … + {a + (n–2)r} (1+i)1 + {a+(n–1)r} (1+i)0 Hay (1+i)n–1 (a)Vn = (a+ i v1.0015110212 r )– i nr i 23 5.3.1.2 GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA CHUỖI NIÊN KIM BIẾN ĐỘNG THEO CẤP SỐ CỘNG {(a)Vo} Bài toán: Một khách hàng đến ngân hàng vay tiền với cam kết trả nợ sau: trả làm n lần hết nợ, lần trả cách thời kỳ, số tiền trả nợ lần thứ a (đơn vị tiền tệ), số tiền lần trả sau số tiền lần trả trước cộng r (đơn vị tiền tệ, r không đổi), lãi suất tiền vay i (%/thời kỳ) Hỏi số tiền ngân hàng cho khách hàng vay biết thời điểm trả khoản nợ cách lúc vay thời kỳ? v1.0015110212 24 5.3.1.2 GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA CHUỖI NIÊN KIM BIẾN ĐỘNG THEO CẤP SỐ CỘNG {(a)Vo} (tiếp theo) Công thức: (a)V0 = a(1+i)–1+(a+r) (1+i)–2+(a+2r) (1+i)–3 + … + {a+(n–2)r} (1+i)–(n–1) + {a+(n–1)r} (1+i)–n Hay: (a)V0 = Và: (a)V0 = v1.0015110212 – (1+i)–n i – (1+i)–n i (a+ (a + r i )– r i ri i + nr) – (1+i)–n ri i 25 5.3.1.2 GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA CHUỖI NIÊN KIM BIẾN ĐỘNG THEO CẤP SỐ CỘNG {(a)Vo} Bài toán: Một khách hàng đến ngân hàng vay tiền với cam kết trả nợ sau: trả làm n lần hết nợ, lần trả cách thời kỳ, số tiền trả nợ lần thứ a (đơn vị tiền tệ), số tiền lần trả sau số tiền lần trả trước cộng r (đơn vị tiền tệ, r không đổi), lãi suất tiền vay i (%/thời kỳ) Hỏi số tiền ngân hàng cho khách hàng vay biết thời điểm trả khoản nợ cách lúc vay thời kỳ? v1.0015110212 26 5.3.1.2 GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA CHUỖI NIÊN KIM BIẾN ĐỘNG THEO CẤP SỐ CỘNG {(a)Vo} (tiếp theo) Công thức: (a)V0 = a(1+i)–1+(a+r) (1+i)–2+(a+2r) (1+i)–3 + … + {a+(n–2)r} (1+i)–(n–1) + {a+(n–1)r} (1+i)–n Hay: (a)V0 = Và: (a)V0 = v1.0015110212 – (1+i)–n i – (1+i)–n i (a+ (a + r i )– r i ri i + nr) – (1+i)–n ri i 27 5.3.2 CHUỖI NIÊN KIM BIẾN ĐỘNG THEO CẤP SỐ NHÂN Số tiền thu cuối chuỗi niên kim biến động theo cấp số nhân {(g)Vn} Bài toán: Một khách hàng đến ngân hàng gửi tiền hưởng lãi gộp với số tiền gửi lần a (đơn vị tiền tệ), số tiền lần gửi sau số tiền lần gửi trước nhân với q (đợ vị tiền tệ q không đổi), gửi tất n (lần) lần gửi tiền cách thời kỳ, lãi suất tiền gửi i (%/thời kỳ) Hỏi sau lần gửi tiền cuối khách hàng có tiền ngân hàng? v1.0015110212 28 5.3.2 CHUỖI NIÊN KIM BIẾN ĐỘNG THEO CẤP SỐ NHÂN (tiếp theo) Công thức: (g)Vn = a(1+i)n–1+aq(1+i)n–2+aq2(1+i)n–3+ … + aqn–2(1+i)1+aqn–1(1+i)0 Hay: (g)Vn = a v1.0015110212 qn – (1+i)n q – (1+i) 29 5.3.2 CHUỖI NIÊN KIM BIẾN ĐỘNG THEO CẤP SỐ NHÂN (tiếp theo) Trường hợp đặc biệt q = + i Thay vào cơng thức V(n) ban đầu ta có: Vn = a(1+i)n–1 + a(1+i)n–1 + ….+ a(1+i)n–1 Vn = n a (1+i)n–1 v1.0015110212 30 BÀI TẬP TÌNH HUỐNG Bài 5: Một người vay ngân hàng 990 triệu đồng, lãi suất 10%/năm Trả 20 lần vào cuối năm hết nợ Thời điểm trả khoản cách thời điểm vay năm lần đầu trả số tiền a Từ lần trả thứ 10, số tiền trả lần lần trước cộng triệu đồng Tính số tiền trả nợ lần đầu Bài giải: Bài tập đòi hỏi ta phải tách niên kim thành hai chuỗi: chuỗi cố định chuỗi biến đổi theo cấp số cộng Chuỗi đầu gồm niên kim cố định Chuỗi sau gồm 11 niên kim biến đổi theo cấp số cộng, với niên kim a Theo nguyên tắc cân mặt giá trị: 990(1+10%)20 = a[(1+10%)8 – 1]/10% ( 1+10%)11 + (a +1/10%)[(1+10%)11 -1]/10% 11/10% Giải ta a = (SV tự bấm máy để kết quả) v1.0015110212 31 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG Lãi suất tháng áp dụng là: 30%/12 = 2,5% Số tiền phải trả hàng tháng : 40 2,5%.(1+2,5%)24 = a[(1+2,5%)24 – 1] a = 2,23 Như số tiền phải toán vào khoảng 2,23 triệu đồng tháng Các khoản vay thời gian dài thường thả lãi suất yếu tố thị trường khơng thể dự báo xác Lãi suất thực mà người vay phải gánh chịu cao kì hạn dài v1.0015110212 32 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Tính chất quan trọng chuỗi niên kim là: A lãi suất ổn định B quy luật biến động số tiền niên kim C thực niên kim cách mặt thời gian D Ý kiến khác Trả lời: Đáp án là: C thực niên kim cách mặt thời gian v1.0015110212 33 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Trong thực tế gửi tiền, ta thường gặp chuỗi niên kim nào? A Chuỗi niên kim biến đổi theo cấp số cộng B Chuỗi niên kim biến đổi theo cấp số nhân C Chuỗi niên kim cố định D Chuỗi niên kim khơng theo quy luật Trả lời: • Đáp án là: C Chuỗi niên kim cố định • Giải thích: Đây cách thức toán nợ phổ biến khoản vay tiêu dùng ngắn hạn Tiết kiệm cá nhân ngắn hạn thường tuân theo cách thức v1.0015110212 34 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Một vấn đề mà xem xét nhiều q trình nghiên cứu tốn tài so sánh giá trị khoản đầu tư cụ thể thời điểm với giá trị thời điểm tương lai Trên thực tế, việc tính tốn so sánh giá trị có ý nghĩa quan trọng nhà đầu tư cá nhân, tổ chức việc lập kế hoạch tài chính, đưa định tín dụng hay áp dụng chiến lược quản lý tài sản Việc nắm vững kiến thức chuỗi niên kim giúp học viên dễ dàng việc giải vấn đề liên quan đến ngân hàng thương mại nói riêng thị trường tài nói chung v1.0015110212 35 ... vào ngày 25/ 11/1984 biết số tiền niên kim 11 .50 0, niên kim thực vào ngày 25/ 11/19 85, niên kim cuối thực vào ngày 25/ 11/1996 Lãi suất không đổi 11 ,5% /năm Bài giải: Từ 25/ 11/19 85 đến ngày 25/ 11/1996... 10 ,5% năm; năm cuối lãi suất tăng lên 12 ,5% năm Hãy xác định số tiền người có sau lần gửi cuối Bài giải: 10 i = 12 ,5% Số tiền người có được: 10[(1+10 ,5% )8 -1 ]/10 ,5% x (1+12 ,5% )2 + 10[(1+12 ,5% )2... đến lần gửi tiền cuối cùng): 5[ (1+7%)9 – 1)]/7% = 59 ,9 Số tiền khách hàng rút ra: 59 ,9(1+7%) 15 = 1 65, 5 v1.00 151 10212 18 TÁCH CHUỖI NIÊN KIM VÀ XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CHUỖI Bài 4: Một khách hàng vào ngày