Không gian mêtric mờ làm đầy được

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Việt Duy Kha KHÔNG GIAN MÊTRIC MỜ LÀM ĐẦY ĐƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Việt Duy Kha KHÔNG GIAN MÊTRIC MỜ LÀM ĐẦY ĐƯỢC Chuyên ngành : Hình học tơpơ Mã số LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu, trích dẫn nêu luận văn xác trung thực Phạm Việt Duy Kha LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành lời luận văn để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hà Thanh, người tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ động viên suốt q trình thực luận văn Tơi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, thầy tham gia giảng dạy lớp Cao học khóa 27 cho tơi kiến thức tốn học Đại số, Giải tích Hình học tơpơ Xin kính chúc q thầy thật nhiều sức khỏe thành công! Tôi xin chân thành cảm ơn Phịng Sau đại học, Khoa Tốn – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện học tập tốt cho Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Hội đồng góp ý quý báu để tơi hồn thiện luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến bạn, anh chị lớp Hình học tơpơ khoa Tốn khóa 27 sẻ chia giúp đỡ thời gian học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn quan tâm động viên giúp tơi hồn thành thật tốt khóa học Phạm Việt Duy Kha MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa tính chất khơng gian 1.2 Các tiên đề tách 1.3 Không gian mêtric 1.4 Phần trong, bao đóng, biên, đường kính 1.5 Khơng gian khả ly 1.6 Ánh xạ liên tục Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN MÊTRIC MỜ 2.1 Định nghĩa t-chuẩn 2.2 Ví dụ t-chuẩn 2.3 Định nghĩa Khơng gian mêtric mờ 2.4 Tính chất không giảm ánh xạ tập mờ 2.5 Định nghĩa Mêtric mờ ổn định 2.6 Định nghĩa Mêtric mờ mạnh 2.7 Định nghĩa Tôpô mờ tập mờ mở 2.8 Quả cầu mở 2.9 Hệ 2.10 Định lý không gian mêtric mờ khôn 2.11 Mêtric mờ chuẩn 2.12 Định nghĩa tập F- bị chặn 2.13 Định lý tập compact không 2.14 Định lý dãy hội tụ 2.15 Định nghĩa dãy Cauchy không g Chương GIỚI THIỆU KHÔNG GIAN MÊTRIC PHÂN TẦNG – TÍNH ĐẦY ĐỦ CỦA KHƠNG GIAN MÊTRIC MỜ 23 3.1 Không gian mêtric mờ đầy đủ .23 3.2 Không gian mêtric mờ phân tầng 29 3.3 Một số ví dụ phản ví dụ không gian mêtric mờ phân tầng 30 3.4 Các định lý không gian mêtric mờ phân tầng tính làm đầy 34 3.5 Ví dụ minh họa cho ý nghĩa điều kiện định lý 3.4.4 40 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Những ghi nhận ban đầu Khi nghiên cứu khơng gian mới, ngồi việc tìm hiểu tương đồng với khơng gian biết, vấn đề khiến nhà Toán học đặc biệt quan tâm tìm hiểu khác biệt với lí thuyết cổ điển Việc nghiên cứu khơng gian mêtric mờ khơng nằm ngồi định hướng Ngay từ khái niệm hình thành, hai chủ đề vừa nêu thu hút mạnh mẽ ý nhà Toán học khắp giới Trong số người tiên phong tìm hiểu lí thuyết khơng gian mêtric mờ, Geogre Veermani tên bật với việc xây dựng khái niệm tảng ban đầu tương đồng định với khơng gian biết Ví dụ họ chứng minh mêtric mờ M tập X cảm sinh tôpô τM X, điều tương tự lí thuyết cổ điển Kế thừa kết này, sau V Gregori S Romaguera chứng minh tôpô cảm sinh khơng gian mêtric mờ đầy đủ khả mêtric đầy đủ [12] Chính nhờ vào chứng minh mà kết không gian mêtric lí thuyết cổ điển thác triển phát biểu cấu trúc mêtric mờ tính đầy đủ, tính khả li, tính compact [12] Ngồi vấn đề tương đồng nói trên, để làm rõ khác biệt với lí thuyết cổ điển khơng gian mêtric, nhiều nhà Tốn học V Gregori, J.J Minana , S.Morillas, S Romaguera, A Sapena, … [6, 8, 9, 13, 14, 15] khơng ngừng tìm hiểu tính đầy đủ khơng gian mêtric mờ Trong đó, ta đặc biệt ý đến kết Gregori Romaguera việc chứng minh tồn không gian mêtric mờ làm đầy [13], để từ đây, cặp tác giả tìm hiểu đưa dấu hiệu nhận biết không gian mêtric mờ làm đầy Kết tiếp tục phát triển hoàn thiện V Gregori, J.J Minana , A Sapena góp phần tạo nhiều ứng dụng sau [15] 1.2 Thực tiễn đề tài Các dấu hiệu nhận biết không gian mêtric mờ làm đầy hai tác giả Gregori Romaguera phát biểu sau [14]: Một không gian mêtric mờ  X với cặp dãy Cauchy {an }, {b n , M ,*) gọi làm đầy } X điều kiện sau thỏa mãn: (i) Phép gán tương ứng (0, +∞) , xét theo tôpô thông thường (ii) Mỗi cặp dãy Cauchy tương đương điểm tương đương, nghĩa lim M n (iii) lim M (an , bn , t ) > với t > n Với đời nhóm dấu hiệu này, việc tìm kiếm lớp không gian mêtric mờ làm đầy trở thành câu hỏi thú vị dành cho nhà toán học Và đặc biệt nữa, ba điều kiện vừa nêu chứng minh xem hệ tiên đề hoàn toàn độc lập [8] Và thực tế, dựa vào “hệ tiên đề” này, Gregori số nhà toán học khác nhiều trường hợp không gian mêtric mờ khơng làm đầy thỏa mãn hai số ba điều kiện nêu Để có điều kiện (iii) thỏa mãn không gian mêtric mờ ( * phải t-chuẩn dương Giả thiết vậy, mêtric mờ mạnh (phi Archimedes) làm đầy điều kiện (ii) thỏa mãn [8] hệ suy trực tiếp từ việc điều kiện (i) thỏa mãn không mêtric mờ mạnh [9] Và suốt thời gian, nhà Tốn học chưa tìm hướng tiếp cận cho điều kiện (ii) cơng trình V Gregori, J.J Minana , A Sapena vào năm 2017 [15] Khung lí thuyết tham chiếu Dựa kiến thức tảng Tôpô đại cương, Tôpô mờ đặc biệt hệ thống khái niệm nghiên cứu tính chất Tơpơ mờ tính đầy đủ không gian tôpô mờ Mục tiêu câu hỏi nghiên cứu 3.1 Mục tiêu nghiên cứu Từ dấu hiệu nhận biết không gian mêtric mờ làm đầy nêu Định lí 1, luận văn tiếp tục tìm hiểu việc xác định lớp khơng gian mêtric mờ thỏa mãn điều kiện (ii) để có hướng tiếp cận tiện lợi cơng tìm kiếm khơng gian mêtric mờ làm đầy được, cụ thể là:  Chỉ lớp không gian mêtric mờ phân tầng chứa nhiều không gian mêtric mờ quen thuộc  Cung cấp ví dụ không gian mêtric mờ không phân tầng  Chỉ hướng tiếp cận khác việc tìm kiếm khơng gian mêtric mờ phân tầng 3.2 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: phân tích, tổng hợp số cơng trình có làm sở lý luận sử dụng kết nghiên cứu có để chứng minh số định lý tính chất Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết thúc ba chương Mở đầu 40 Vì M mạnh nên điều kiện (i) định lý 3.1.14 thỏa mãn Theo bổ đề 3.4.2, ta có lim M (a ,b ,t ) > điều kiện (iii) định n→∞ n n lý 3.1.14 thỏa mãn Cuối cùng, dựa theo định lý 3.4.1, ta có kết điều kiện (ii) định lý 3.1.14 thỏa mãn Và ta kết luận (X , M ,*) làm đầy  Với định lý 3.4.4, từ ta mạnh dạn áp dụng 3.1.14 dấu hiệu nhận biết không gian mêtric mờ làm đầy lớp mêtric mờ mạnh phân tầng kèm theo điều kiện * dương Tuy nhiên cần đặc biệt lưu ý chiều ngược lại định lý khơng Thật vậy, phản ví dụ 3.3.4 cho không gian mêtric mờ mạnh làm đầy Tuy nhiên ra, không gian không phân tầng, chiều đảo định lý 3.4.4 lúc xảy 3.4.5 Hệ tính làm đầy Lấy (M , ∧) siêu mêtric mờ phân tầng X Với giả thiết siêu mêtric mờ mêtric hiển nhiên mạnh thỏa mãn (i) Khi (X , M , ∧) làm đầy Hệ suy trực tiếp từ định lý 3.4.4 Tuy nhiên cần lưu ý trường hợp tổng qt siêu mêtric mờ khơng phải lúc làm đầy Điều minh họa qua số ví dụ mục 3.5 3.5 Ví dụ minh họa cho ý nghĩa điều kiện định lý 3.4.4 Trong mục này, luận văn tập trung giới thiệu ví dụ để minh họa kết có 3.4 Đặc biệt, tơi trọng nhấn mạnh tất điều kiện định lý 3.4.4 cần thỏa mãn đầy đủ dùng làm dấu hiệu nhận biết khơng gian mêtric mờ làm đầy 41 3.5.1 Ví dụ 1: Không gian mêtric mờ phân tầng không làm đầy dù có t-chuẩn dương (thiếu điều kiện mạnh) Lấy d mêtric thông thường giới hạn mêtric mờ chuẩn M d cảm sinh d Định nghĩa ánh xạ: X = (0,1) xét Khi ((0,1], M ,⋅) khơng gian mêtric mờ (xem Mệnh đề 9, [6]) Trong tài liệu [6], tác giả chứng minh (M ,⋅) vừa không làm đầy vừa mêtric mờ mạnh X (xem Lưu ý 13, 14, [6]) Ngồi ta có t-chuẩn Kế tiếp ta chứng minh (M ,⋅) Cần ý d (x, y ) = d (x ', y ') Giả sử M (x, y , t0 ) = M (x ', y ', t0 ), t0 > Ta chứng minh M (x, y , t ) = M (x ', y ', t ), t > Xét trường hợp sau: 1) Nếu < t0 ≤ d (x, y) < t0 ≤ d (x ', y ') thì: M (x , y , t ) = d (x, y ) = d (x ', y ') Từ ta rút kết luận M (x, y , t ) = M (x ', y ', t ), t > t0 ) 42 M (x , y , t 3) Giả sử d (x, y ) < t0 ≤1 (x, y ,  Mt ) = ( M (x 2) Nếu t d ( x, y ) = d (x ', y ') Tương tự x ', y ', t ), t > '0 , y Hiển nhiên Khơng tính tổng qt, giả sử Khi M d (x, y , t ) > M d (x ', y ', t ), t > Hơn ' , t M (x , y , t =M l ) d t r i g i ả + M d (x , y ,2t0 )⋅  + M d (x , y , t0 ) >M d +Md =Md (x ', y ', 2t )⋅ t h i ế t V ậ y M y   ')  43 4) Cuối cùng, xét trường hợp d (x, y ) < t < t0 ≤ d (x ', y ') Ta chứng minh trường hợp xảy Với d (x, y ) < d (x ', y '), dựa vào giả sử ban đầu, ta có: M (x ', y ',t 2t = +d 2t M (x , y , t ) Rõ ràng M (x , y , t0 ) vậy: y) t M (x , y , t d ( x ', y ') y ',t0 ) Điều hiển nhiên vơ lí 3.5.2 Ví dụ 2: Khơng gian mêtric mờ mạnh phân tầng không làm đầy (thiếu t-chuẩn dương) Lấy ∗ t-chuẩn khơng dương nêu Ví dụ 2.2: với a, b∈[0,1] Lấy {xn } Đặt A = { xn } Đặt X=A∪B M (x ,x n M (xn , y m ,t ) = M ( y m , xn ,t ) = + n m với n, m ≥ n ≥3 m 44 Trong tài liệu [13], Ví dụ 2, tác giả chứng minh (X , M ,∗) không gian mêtric mờ không làm đầy Theo cách định nghĩa hàm giá trị thực trên, ta nhận thấy hàm lấy giá trị không phụ thuộc vào xn , ym hay nói cách khác (M ,∗) mêtric mờ ổn định Trong phần trước, ta nêu rõ mêtric mờ ổn định mạnh phân tầng (xem 3.3.1), (M ,∗) mêtric mờ mạnh phân tầng Vậy ta nêu trường hợp t-chuẩn ∗ khơng dương khơng xảy tính chất làm đầy 3.5.3 Ví dụ 3: Khơng gian mêtric mờ mạnh không làm đầy với t-chuẩn dương (thiếu điều kiện phân tầng) Xét không gian mêtric mờ (X , M , ∧) cho 3.3.5 Ta có ∧ dương suy trực tiếp từ Ví dụ 2.2, a ∧ b = {a, b} 0 a = b = Ta chứng minh (M , ∧) mạnh Đầu tiên nhắc lại cách xây dựng M , ∧)  3.3.5 với trường hợp sau: M (xn , ym ,t ) = M (ym , xn ,t ) = xn ∧ ym , n, m ∈ ,t ≥1 M (xn , ym ,t ) = M (ym , xn ,t ) = xn ∧ ym ∧ t , n, m ∈ ,0 < t ? n→∞ 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt Trần Tráng (2004) “Tôpô đại cương”, Nxb Đại học Sư phạm TP HCM Đậu Thế Cấp (2005) “Tôpô đại cương”, NXB Giáo dục Tài liệu nước D Mihet (2007), “On fuzzy contractive mappings in fuzzy metric spaces”, Fuzzy Sets and Systems 158, 915-921 George, P Veeramani (1994), “On some results in fuzzy metric spaces”, Fuzzy Sets and Systems 64, 395-399 George, P Veeramani (1997), “On some results of analysis for fuzzy metric spaces”, Fuzzy Sets and Systems 90, 365-368 V Gregori, J.J Minana , S Morillas (2015), “On completable fuzzy metric spaces”, Fuzzy Sets and Systems 267, 133-139 V Gregori, J.J Minana , S Morillas (2012), “Some questions metric spaces”, Fuzzy Sets and Systems 204, 71-85 V Gregori, J.J Minana , S Morillas, A Sapena (2016), “Charact class of completable fuzzy metric spaces”, Topology and its Appl 3-11 V Gregori, S Morillas, A Sapena (2010), “On a class of comple fuzzy metric spaces”, Fuzzy Sets and Systems 161, 2193-2205 10 V Gregori, S Morillas, A Sapena (2011), “Examples of fuzzy me applications”, Fuzzy, Sets and Systems (170), 95–111 11 V Gregori, J.J Minana , S Morillas, A Sapena (2016), “Cauchy convergence in fuzzy metric spaces”, RACSAM, Volume 111, Iss 37 12 V Gregori, S Romaguera (2000), “Some properties of fuzzy spaces”, Fuzzy Sets and Systems 115, 485-489 49 13 V Gregori, S Romaguera, “On completion of fuzzy metric spaces”, Fuzzy Sets and Systems 130 (2002) 399-404 14 V Gregori, S Romaguera (2004), “Characterizing completable fuzzy metric spaces”, Fuzzy Sets and Systems 144, 411-420 15 V Gregori, J.J Minana , A Sapena (2017), “Completable fuzzy metric spaces”, Topology and its application, Volume 225, 103-111 ... khơng gian mêtric mờ đầy đủ Cho không gian mêtric mờ X hội tụ theo Khi X gọi không gian mêtric mờ đầy đủ Trong trường hợp này, M gọi đầy đủ Như ta thấy khái niệm đầy đủ không gian mêtric mờ tương... Cái làm đầy mêtric mờ (X , M ,*) không gian mêtric mờ đầy đủ (Y , N,•) cho (X , M ,*) đẳng cự với không gian trù mật Y 3.1.11 Định nghĩa không gian làm đầy Lấy (X , M ,*) không gian mêtric mờ X... hai không gian mêtric mờ khả li Mọi không gian mêtric mờ khả li đếm thứ hai Chứng minh Lấy (X , M ,*) không gian mêtric mờ khả li Theo định lý 3.1.3, không gian tôpô cảm sinh gian mêtric mờ khả