SKKN toán sáng tạo nhiều cách hay trong giải bài toán khó

Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Tốn học mơn khoa học coi chủ lực, trước hết Tốn học hình thành cho em tính xác, tính hệ thống, tính khoa học tính logic,… chất lượng dạy học toán nâng cao có nghĩa tiếp cận với kinh tế tri thức khoa học đại, giàu tính nhân văn nhân loại Cùng với đổi chương trình sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi phương pháp dạy học nói chung đổi phương pháp dạy học toán nói riêng trường THCS tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện hình thành kĩ vận dụng kiến thức cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn Tốn học cịn mơn học địi hỏi sáng tạo khơng ngừng Khám phá kho tàng “Bí ẩn” tốn học từ lâu kích thích tính tị mị, chinh phục kiến thức người học Tuy môn học khó, song khơng người say mê Càng học toán, yêu toán, làm cho người học say mê sáng tạo, tìm tịi tư khơng chút mệt mỏi Ngày người học tốn có nhiều hội để học tốt thời gian đầu tư kiến thức, tài liệu sách phục vụ cho học tập nhiều hơn, phong phú đa dạng Nhưng bên cạnh việc học lệ thuộc vào tài liệu cịn phổ biến, đối tượng người học học sinh ngày hạn chế tính tự học tự bồi dưỡng, chủ yếu cách giải tốn nhiều học sinh mà có, lệ thuộc sách giải, chưa phát huy hết tính tư sáng tạo giải tốn Bên cạnh sách tài liệu nặng nề lời giải chưa nhiều sâu vào phân tích phương pháp tìm lời giải nhiều khía cạnh, có tốn chịu khó đầu tư nghiên cứa, đưa dự đốn phân tích khả có nhiều cách giải hay gọn cách giải đưa Để làm việc địi hỏi dày công nghiên cứa người dạy, xâu chuỗi kiến thức để tìm lời giải hay, lạ độc đáo Đây lí viết đề tài: “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” 2.Cơ sở lý luận Trước phát triển mạnh mẽ kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin nay, xã hội thơng tin hình thành phát triển thời kỳ đổi nước ta đặt giáo dục đào tạo trước thời thách thức Để hòa nhập tiến độ phát triển giáo dục đào tạo ln đảm nhận vai trị quan trọng việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đề ra, “đổi giáo dục phổ thơng theo Nghị số 40/2000/QH10 Quốc hội” Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, mơn tốn mơn học đáp ứng đầy đủ u cầu Người thực hiện: Nguyễn Hơng Qn - Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” Trong cơng tác giảng dạy, công tác bồi dưỡng học sinh giỏi giáo viên bồi dưỡng cho học sinh cách định hướng cách phân tích tìm tịi lời giải với kích thích sáng tạo học sinh có nhiều tốn tưởng hạn chế cách giải lại có nhiều cách giải hay độc đáo Để làm điều học sinh cần trang bị hành trang kiến thức đầy đủ, vững với say mê sáng tạo giải tốn đem lại hiệu cao Sự say mê tìm tịi, sáng tạo tư nhẫn nại giải toán đức tính cần thiết để người học khơng ngừng khám phá hay, đẹp toán học 3.Cơ sở thực tiễn Trong giải toán GV hướng dẫn học sinh cách giải tốn với mẫu có sẵn việc học tốn khơ khan, người học dễ nhàm chán, sáng tạo người học bị hạn chế Vì trước tốn giáo viên khơng nên giới hạn suy nghĩ học sinh mà cần kích thích tính tìm tịi, dự đốn trọng nhiều đến hướng suy nghĩ khác học sinh, sở phân tích định hướng để tìm nhiều cách giải độc đáo Như học sinh khơng bị gị bó mà tích cực chủ động suy nghĩ, tự sáng tạo, từ “phát minh” nhiều lạ Đây sở để tạo nên đề tài mà qua nhiều năm giảng dạy công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đúc rút 4.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trước chưa áp dụng đề tài vào giảng dạy số học sinh có tính tích cực sáng tạo giải tốn cịn hạn chế Phân tích ngun nhân chúng tơi thấy rằng: - Do học sinh phụ thuộc nhiều vào lời giải có sẵn sách, tài liệu - Do chưa có thói quen tìm cách giải khác có cách giải để tìm hay cách giải - Chưa trang bị đầy đủ cách phân tích đa chiều tốn, mà từ học sinh có định hướng đúng, nhằm tìm nhiều cách giải hay khác Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9, tơi thấy học sinh có say mê học toán, hăng say sáng tạo nhiều Chính năm học gần chất lượng học sinh giỏi huyện mơn tốn cải thiện rỏ rệt, với kết kết trường xem thành công bước đầu, trường thuộc xã có kinh tế cịn nhiều khó khăn nên việc đầu tư cho học tập hạn chế Phạm vi đối tượng áp dụng đề tài: Toán nâng cao lớp gồm hình đại số, đề tốn thường gặp nhiều kì thi, dùng cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp ôn thi vào trường chuyên THPT B NỘI DUNG ĐỀ TÀI Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” Đề tài xếp đại số trước, hình học sau Các cách giải theo tiến triển logic kiến thức, cách giải sau ngắn gọn sáng tạo cách giải trước Mỗi tốn có lời bình, định hướng cách phân tích để tìm cách giải khác cho toán Sau tơi xin trình bày phần nội dung đề tài: “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” Phần 1: Đại số Bài tốn 1: Cho x , y thỏa mãn x > y x.y= x  y2 �2 Chứng minh rằng: (1) xy Cách : Phương pháp sử dụng đẳng thức Vì x.y = � 2- 2xy= Từ x > y (1) � x  y  2  x  y  �0 � x  y  2  x  y    2xy �0 �  x  y  2  x  y   � xy    2 �0 �0 (2) Ta có (2) ln x, y Vậy (1) chứng minh Cách : Biến đổi tương đương dùng đẳng thức x  y2 �2 (1) Vì vế dương với x > y Từ xy �x  y � 2 2 Bình phương vế ta được: � ��8 �  x  y    x  y  �0 �x  y � �  x  y    x  y  �0 2 �  x  y    x  y   �0 �  x  y    x  y   16 �0 �  x  y   �0 (3) Ta có ( ) ln x, y Vậy (1) c/m Cách : Sử dụng bất đẳng thức Cô-Si x  y x  y  2xy  2xy  x  y   2.1 Ta có:   xy xy xy xy xy (vì x.y = x > y) Áp dụng bất đẳng thức Cơ- si cho số dương, ta có: Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” xy �2 xy  x  y 2 xy x  y2 �2 với x > y x.y = Vậy, xy Cách : Đổi biến sử dụng bất đẳng thức Cô-Si Đặt x – y = t >0, (vì x > y ) � x  y  t  , ( x.y = ) x  y2 t  2  t Ta có: xy t t Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho số dương, ta có: t  2 �2 t  2 t t x  y2 �2 với x > y x.y = Vậy xy Phân tích cách giải tốn 1: Cách : Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức cuối với x,y từ suy bất đẳng thức cần chứng minh Cách đơn giản phù hợp với đại trà học sinh Cách : Sử dụng kiến thức bất đẳng thức Cô-Si cách giải ngắn gọn ,đối với học sinh giỏi 2 Bài tốn 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A=  x+ y+ 1  x + y  + , với x+ y x,y >0 thỏa mãn x.y = Chú ý : điểm rơi x = y =  Sai lầm thường gặp : 4 � x  y  1  2xy    2 x  y    x  y  1  x  y2   xy xy xy �2  2  x  y   Vậy Min A =  2      1 2 xy   Phân tích sai lầm : Vận dụng BĐT Cô- Si liên tiếp lần song chưa ý đến tính đồng thời dấu �x  y � � 2 x  y  Ở điểm rơi dấu xảy � x,y khơng xy � � �x.y  1; x, y  thỏa mãn điều kiện Từ ta có cách giải sau: Cách : Áp dụng BĐT Cô-si cho số dương x y ta có : Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ toán khó” Ta có : x  y �2 xy  x.y =1 Đặt x + y = t t �2; x  y   x  y   2xy  t  2 A =  t  1  t    4 � 4�  t  t  3t   t     t  1  t  3  �t  � t t � t� �  1  22  3  t      , (vì t �2 � t   t+1> 0) t Cách 2: Ta biến đổi 2 A   x  y  1  x  y   xy  x3  xy2  x2y  y3  x2  y2   x3  y  x  y3  x2  y2  x y � 4 �   x3  y3    x2  y2   � x y x y x y� � � �2 x3y3  x2y2   x  y     8, (v�x.y=1) x y �x  y3 �2 x  y2 � � Dấu “ = “ xảy �  x  y  � xy � � �x.y  1; x, y  Vậy Min A = x = y = Cách 3: Áp dụng BĐT Cô-si cho số dương x y ta có : Ta có : x  y �2xy  x.y =1 4 A   x  y  1  x  y   � x  y  1  xy xy � 4 �  2 x  y     x  y  �  x  y  � xy x  y � � 2 242 8 xy Vậy Min A = x = y = Nhận xét : toán cho với vai trò x y nên ta cần ý điểm rơi x = y = Từ ta có nhiều cách biến đổi để áp dụng BĐT Cơsi kết hợp x.y=1 Phân tích cách giải toán: �2 xy   x  y Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” Cách :Sử dụng phương pháp biến đổi thông thường Chú ý điểm rơi để từ tách thành nhóm phù hợp nhằm dụng BĐT Côsi Tuy nhiên hai cách giải chư a thật tối ưu Cách 3: Cũng tạo nhóm thích hợp sử dụng BĐT Cơsi ngắn gọn hợp lý hơn.Chính dạy GV cần định hướng cho học sinh theo cách Bài Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 1  �16 ac bc 1 * Chú ý: với dự đoán điểm rơi a  b  ; c  1  �16 � a  b �16abc Với a, b,c >0 Để chứng minh : ac bc Ta có cách giải sau : Cách 1: Phép biến đổi tương đương sử dụng BĐT Cơ-si Ta có : a  b �16abc � a  b �16ab   a  b  � a  b �16ab  16ab  a  b  �  a  b   16ab  a  b  �16ab �  a  b    16ab  �16ab Ta chứng minh (*) sau : Áp dụng BĐT Cơ-si.Ta có: 2 2  a  b  �4ab;   16ab  �4.16ab � � �a  b    16ab  � �� 16ab  �  a  b    16ab  �16ab Vậy (*) chứng minh Cách 2: sử dụng phép biến đổi tương đương Ta có : a + b �16abc � a  b �16ab   a  b  � a  b �16ab  16a 2b  16ab � a  b  16ab+16a 2b  16ab �0 � a  16b  8b  1  b  16a  8a+1 �0 � a  4b  1  b  4a  1 �0 với a,b dương Vậy, BĐT chứng minh Cách 3:Áp dụng BĐT Cô- si giả thiết a, b, c >0; a + b + c = 2 Ta có : a  b   a  b  �  a  b  c�  a  b   c� � �� a  b  � � � 4c  a  b   �4c ab  2  4c.4ab=16abc Vậy : a+b �16.abc Phân tích cách giải tốn: Cách 1: Đưa tốn cịn hai biến a,b Sử dụng phép biến đổi tương đương đư BĐT áp dụng BĐT Côsi để chứng minh BĐT với giá trị dương biến a,b Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” Cách 3: Cả hai cách ngắn gọn phù hợp với mức độ khả tư HS Xong hay ta định hướng cho HS giải cách Tuy nhiên biến đổi dễ dàng Có tốn xác định điểm rơi việc biến đổi địi hỏi dày công nghiên cứu Sau tốn tương đối khó lại có nhiều cách giải hay độc đáo ! Bài cho x , y , z > thoả mãn x  y  z  Tìm GTNN biểu x y z   thức P   x  y  z2 Các em giải nào? Ta ý điểm rơi x = y = z = Cách 1: Vì x , y , z >0 x  y  z  � x, y,z � 0;1 Áp dụng BĐT Cơsi cho số dương Ta có : )   3x �3 1.1.3 3.x  3x (Dấu “=” xảy � x   � 3�3x 3 3x 2 3x  x   2x 3x  x  (vì x>0) 3 x (1) y 3 z 3 � y (2) Tương tự: � z (3) 1 y  z2 3 3 Từ (1),(2),(3)  P x y2 z   2 3 �xyz Dấu “=” xảy � x  y  z  Vậy Pmin= 3 2 2 2 Cách : Từ giả thiết �  x , y ,z  �  x  0;1  y  0;1  z  Áp dụng BĐT Côsi cho số dương Ta có: 2x    x     x  2 3 2x  �2  x  2x  x  3 2  ��� 2x2 � 1x  x2 1 x2  x 1 x2  3x  27 27  x2 3 x x 3 (1) ( nhân vế với số dương )  x  x2 y 3 z 3 � y Tương tự (2) � z (3) 2 1 y 1 z 3 3 3 � Pmin  �xyz Từ (1),(2),(3)  P x y2 z   2 ۳     x  x2 Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” ta dạng Nhận xét: với giả thiết x  y  z  ý điểm rơi x  y  z  nghĩ đến phải cần biến đổi biểu thức P 3 3 3 3 P� x  y  z  x  y  z  , từ mà ta cócác cách sáng  2 2 tạo ba số duỏngịi áp dụng BĐT Cơsi để nhằm sử dụng giả thiết tính đồng thời xảy dấu “=” x,y Khi dạy giáo viên cần định hướng cho học sinh thấy dượcđiều Chú ý: Bài tốn nhiều cịn cho dạng khác như: Cho x , y , z > thoả mãn x  y  z  Chứng minh rằng: x y z 3   � y2  z2 x  z y2  x 2 Không ngừng sáng tạo ,các bạn thử sức với toán cao sau ! Bài 5: Cho x , y , z > thoả mãn x  y  z � Chứng minh rằng: 1 A  x   y   z  � 17 x y z (Hoặc tìm GTNN biểu thức A ) Để giải toán ta cần ý đến BĐT thức phụ sau: P a12  a 22  b12  b22  c12  c22 �  a1  b1  c1    a  b  c2  Dấu “=” xảy a1  a  b1  b  c1  c Đồng thời ý điểm rơi toán x  y  z  �1 1 � Cách1: Sử dụng BĐT  x  y  z  �   ��9 �x y z � �1 1 � �6 Từ x + y + z � � �   �� �x y z � x  y  z 2 (*)  �1 1 � Đặt  a  � a 36 b   x  y  z  � �x y z � Ta có : ab �92  81 Ta biến đổi : � � 2� 2 � b � �2 �3 ��a �3 ��a �3 � ab �2 �3 ��a ab��  �  � �� �2 � �  �  � �� 2 �2 ��6 �3 �� � �2 ��6 �2 � � �2 ��6 � � �� � �2 �� 2 2 3� �3 � �3 � �3 � �  � �  � �  � �(vì ab = 81 a �36 ),Vậy a  b �6  � � �2 � �2 � �2 � �2 � Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” Khi áp dụng BĐT (*) ta có : �1 1 � 1 A  x   y2   z2  �  x  y  z   �   � a  b x y z �x y z � 2 �3 � �  � � 17 �2 � Vậy A � 17 Dấu “=” xảy x  y  z  2 Cách giải gặp nhiều tài liệu.Song cách biến đổi phức tạp.Các bạn tìm thấy sáng tạo cách giải sau: Cách 2: Sử dụng BĐT Côsi cho 17 số dương ,ta có : 1 1 Ta xét : x   x    �1717 16 30 2 x 16x 16x 16 x 1 ; (Chú ý điểm rơi x  y  z  � x  16x 1 1 Tương tự : y  �1717 16 30 z  �1717 16 30 y 16 y z 16 z Do : A �3 17 17 1648  xyz  z 3 xyz Do x  y� 3 xyz  30 17 102 30 23 1614  xyz  xyz Thay vào A ta được: 17 A� 2 102 30 �1 � 16 � � �8 � 14  17 102 17 102 34 17 3 90 2 17 �1 �   �� 2 2 �2 � 56 Tuy nhiên với cách giải ta thấy chưa thật lòng không ngừng sáng tạo ,sáng tạo ta có cách ngắn gọn hay sau 9 Cách 3: Đặt t   x  y  z  � , với  t � 4 �1 1 � Vì  x  y  z  �   ��9 �x y z � Dấu “=” xảy x  y  z  �1 1 � 81 � �   �� �x y z �  x  y  z  Khi áp dụng BĐT (*) ta có: A � t  81 t Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” 81 81 153 Ta cần chứng minh: A � 17 � t  � 17 � t  � , (t>0) t t 153 153 � 9� t  t  81  �t  �  t  36  Ta xét hiệu : t   t 4 � 4� � 9 �t  �0 Vì t � � � 4 � �t  36  81 153 � 9� � �t  �  t  36  �0 � t  � t � 4� 81 Do : A � t  � 17 t Phân tích cách giải: Cách 1: Tách tổng a + b thành nhóm nhằm sử dụng tích ab= 81 a �36 tính đồng thời xảy dấu x, y, z Cách 2: Chỉ sử dụng BĐT Côsi nên phù hợp với đại trà học sinh song sử dụng với nhiều số hạng nên bậc lớn ,việc đòi hỏi trình biến đổi học sinh phải cận thận Cách 3: Đây cách sáng tạo ,lời giải phù hợp với chuẩn kiến thức nên học sinh dễ hiểu.Khi dạy GV cần định hướng cho học sinh cách giải Nhận xét: Mặc dù ta dự đoán điểm rơi song cách giải sáng tạo, hướng giải khác thật độc đáo Chính tốn học khám phá khơng ngừng, người học toán phát triển tư qua giải tốn Phần 2: Hình học Bài tốn 1: cho  ABC nội tiếp đường trịn (O), đường kính AC Trên tia AB lấy điểm D cho AD = 3AB Đường thẳng Dy vng góc với DC D cắt tiếp tuyến Ax đường tròn (O) E Chứng minh rằng:  ABC cân Đây toán khó, song ta biết vẽ thêm yếu tố phụ thích hợp việc chứng minh đơn giản Sau xin giới thiệu năm cách giải hay phù hợp với chuẩn KT-KN Cách 1: Sử dụng kiến thức hình bình hành Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - 10 Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ toán khó” Gọi F = DC � (O); H = BC � AF Lấy I trung điểm BD, K=EH � BI Xét  ADC có hai đường cao BC AF cắt H � H trực tâm  ADC � DH  AC � DH//AE (vì  AC) Mà ED//AH (  DC) � EDHA hình bình hành � K trung điểm AD EH Nên EK= KH (1) AK = KD Từ AK = KD ; AB = ID � AK – AB= KD – ID Hay BK = KI (2) Từ (1) (2) � K trung điểm đoạn EH BI � EIHB hình bình hành (dấu hiệu nhận biết ) � BH//EI,vì BH  AD nên EI  AD hay EI  BD Xét  EBD có EI đường trung tuyến vừa đường cao nên  EBD cân E Cách 2: Sử dụng tính chất hình thang đường kính vng góc với dây cung Vẽ EI  AD (I�AD) ; B�(O) nên � ABC= 900 � � Ta có: EAC= EDC= 900 � A,D thuộc đường trịn đường kính EC hay A, D, C, E thuộc đường tròn tâm K trung điểm EC Vẽ KM  AD, (M�AD) Trong đường trịn (K) có dây AD, MK  AD � MA = MD (1) Mặt khác EI //BC (  AD) Nên EICB hình thang Ta có KE = KC; KM  BI � MI = MB (2) � Từ (1) (2) AB = DI mà AD = 3AB � BI = ID � I trung điểm BD Xét  EBD có EI đường cao vừa đường trung tuyến nên  EBD cân E Cách 3: sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - 11 Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” Gọi P = BC �DE; M = AE �PC Gọi N trung điểm BD; K trung điểm BN � K trung điểm BK  AD � (1) BD Áp dụng hệ thức lượng vào  MAC vuông A  PAC vng D Ta có: AB2  MB.BC BD  PB.BC AB nên � AB  MB  BD BD PB MB  (2) PD BK MB � MK // DP  Từ (1) (2) suy : BD PB Xét  ADE có MK//DE ; AK = KD � MA = ME � MB đường trung bình  AEN � MB // EN mà MB  AD � EN  AD Xét  EBD có EN vừa đường trung tuyến vừa đường cao nên  EBD cân E Cách 4: sử dụng tam giác đồng dạng tứ giác nội tiếp Lấy I trung điểm BD � DI=IB=BA � � Ta có : EDC= 900 EAC= � A, D thuộc đường trịn đường kính EC hay AEDC tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính EC (vì hai góc nội tiếp � � � AEC= ADC chắn cung AC ) � EAC : DBC (g.g) EA AC  Do : (*) BD BC Xét ACI có CB đường cao vừa �1 = đường trung tuyến � CI=CA C �2 C Mà BD = DI + IB = AB + IB= IA EA IC  Thay vào (*) ta được: (1) IA BC �1 = C � (2) � =C Vì AE tiếp tuyến đường tròn (O) � A �  900 � EI  BD Từ (1) (2) suy : EIA : ABC (c.g.c) � EIA Xét  EBD có EI đường trung tuyến vừa đường cao nên  EBD cân E Cách 5: sử dụng phương pháp tam giác đồng dạng Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - 12 Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” Vẽ EI  AD, B thuộc đường trịn (O) �  900 đường kính AC � ABC �  Xét  IDE  BCD có : DIE �  900 , EDI � �  BCD (cùng phụ CBD � ) với BCD � IDE : BCD (g.g) � ID IE  (1) BC BD Tương tự : IDE : BCD (g.g) � BC AB  (2) IA IE Nhân vế với vế (1) (2) ta có : ID AB 1 = = � 2ID=IA � ID= AD IA BD Mà AB= AD (gt) � AB = BI = ID � I trung điểm BD Xét  EBD có EI đường cao vừa đường trung tuyến nên  EBD cân E Bình luận: Từ giả thiết cho AD = 3AB � AD = 2BD c/m  EBD cân gợi ý cho ta chia đoạn thẳng BD thành hai phần nên ta cần vẽ thêm đường phụ đường cao EI tam giác, cần chứng minh EI đường trung tuyến ngược lại Từ dó mà ta có cách chứng minh Các bạn cịn có cách khác hay khơng ? Phân tích cách giải : Cách 1: Chỉ sử dụng kiến thức tính chất dấu hiệu nhận biết hình bình hành Cách phù hợp với học sinh lớp Cách ; 4: kiến thức phù hợp với học sinh sau học chương trình lớp Cách 5: Cách ngắn gọn lời giải hình vẽ( vẽ thêm đường phụ đoạn IE),kiến thức đơn giản phương pháp thường gặp ứng dụng đồng dạng hai tam giác để c/m trung điểm đoạn thẳng Cách phù hợp hay cách giải trên.Vì dạy GV nên định hướng cho HS giải theo cách Bài tốn 2: Cho hình chữ nhật ABCD , AB= 2AD Trên cạnh BC lấy điểm E, tia AE cắt 1   đường thẳng CD F Chứng minh: 2 AB AE 4AF2 Đây toán quen thuộc thường gặp nhiều đề thi kỳ thi song cách giải thường gặp chưa thật phong phú Sau xin xin giới thiệu cách giải hay: Cách 1: sử dụng hệ thức đường cao cạnh góc vng tam giác vuông Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - 13 Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” Kẻ AK  AE ( K� DC) Áp dụng hệ thức đường cao cạnh góc vng  KAF vng A 1   Ta có : AK AF2 AD 1 1 �    mà AD=BC= AB � (*) AD AB2 AK AF2 AB2 �  BAE � (cùng phụ với DAE � ) Ta lại có : KAD AK AD AE �  KAD =  EAB �   � AK  AE AB 2 4 1   �   Thay vào (*) ta có : 2 2 AE AF AB AE 4AF AB2 1   Nhận xét : từ điều phải chứng minh: AB = 2AD 2 AB AE 4AF2 gợi ý cho ta sử dụng đến hệ thức đường cao cạnh góc vng tam giác vuông.Do ta cần tạo tam giác vng có AD đường cao cách vẽ hình phụ Nếu khơng vẽ hình phụ , ta cịn có cách sau Cách 2: Sử dụng định lý Talet định lý Pytago tam giác vuông EC EF AD EC  �  Vì EC // AB � AD AF AF EF AB � � 2 �AD � �EC � � � EC � � � � �� � � �AF � �EF � �AF � EF � � 2 AB EC (1) �  4AF EF2 EF CF CF AB  �  Vì CF//AB � AE AB EF AE 2 2 �CF � �AB � CF AB (2) � � � � ��  AE �EF � �AE � EF AB2 AB2 EC2 CF2 EF2 Từ (1) (2) ta có :     1 AE 4AF2 EF2 EF2 EF2 1   Chia hai vế cho AB2 ta : AE 4AF AB2 Cách : Sử dụng phương pháp tam giác đồng dạng Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - 14 Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” � 900 ; � B= Ta có : D= � ADF : EBA � = F$ A (g.g) AB DF AB DF2 � = � = (1) AE AF AE AF2 �AB � � Mà AB2 � � AD (2) � = = 4AE AF2 AF2 AB2 AB2 DF2 AD AF2 Từ (1) (2) cộng vế theo vế ta có : + = + = =1 AE 4AF2 AF2 AF2 AF2 ( áp dụng định lý pytago vào tam giác vuông ADF) 1   Chia hai vế cho AB2 ta : AE 4AF AB2 Cách 4: Sử dụng hàm số lượng giác sin   cos 2  ta có cách thật độc đáo: �AB � AB2 AB2 �AB � � � - Ta c� :   � � � � AE2 4AF2 �AE � �AF � � � 2 �AB � �AD �  � � � � Sin2E1  Cos2A �AE � �AF � �  E� (đối đỉnh) � � (đồng vị ); E Mà DAE= E 2 AB2 AB2 � � � DAE  E1 � + = Sin 2E1 + Cos 2E1 =1 2 AE 4AF 1   Chia hai vế cho AB2 ta : AE 4AF AB2 Nhận xét:Nếu từ điều phải chứng minh 1 AB AB2   �   , gợi ý cho ta sử dụng đến hàm lượng AB2 AE 4AF AE 4AF2 giác sin   cos 2  Từ ta có cách giải độc đáo Phân tích cách giải : Cách 1: Sử dụng kiến thức hệ thức đường cao cạnh góc vng tam giác vng nên phù hợp với học sinh lớp Cách : Sử dung kiến thức tam giác đồng dạng định lý pytago tam giác vuông , sáng tạo cách biết vận dụng linh hoạt hai kiến thức vào giải toán Cách phù hợp với nhiều đối tượng học sinh lớp Cách 4: Sử dụng tỉ số lượng giác góc nhọn tam giác vuông hệ thức sin   cos 2  Cách phù hợp với học sinh giỏi Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - 15 Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” III KẾT LUẬN - Đề tài tâm huyết thân trình tự học, tự bồi dưỡng trải nghiệm trình nhiều năm bồi dưỡng HSG lớp 8,9 - Đề tài cịn dày cơng nghiên cứu , tìm tịi đa dạng cách giải hay từ tốn khó, song q trình viết khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý chân thành cấp thẩm định bạn bè đồng nghiệp để đề tài ngày hoàn thiện phát huy tác dụng nhằm đưa lại hiệu cao công tác dạy học Người thực dề tài : Nguyễn Hồng Quân Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - 16 ... Quân - Đề tài SKKN : ? ?Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó? ?? Đề tài xếp đại số trước, hình học sau Các cách giải theo tiến triển logic kiến thức, cách giải sau ngắn gọn sáng tạo cách giải trước... Đề tài SKKN : ? ?Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó? ?? Cách 3: Cả hai cách ngắn gọn phù hợp với mức độ khả tư HS Xong hay ta định hướng cho HS giải cách Tuy nhiên biến đổi dễ dàng Có toán xác... thích sáng tạo học sinh có nhiều toán tưởng hạn chế cách giải lại có nhiều cách giải hay độc đáo Để làm điều học sinh cần trang bị hành trang kiến thức đầy đủ, vững với say mê sáng tạo giải tốn