www.vnmath.com ************** Sáng tạo nhiều cách giải hay từ những bi toán khó ***************** I- Đặt vấn đề: Toán học l môn học đòi hỏi sự sáng tạo không ngừng. Khám phá kho tng bí ẩn của toán học từ lâu đã kích thích tính tò mò, chinh phục kiến thức của ngời học. Tuy rằng đây l môn học khó, song không ít ngời say mê nó. Cng học toán, cng yêu toán, cng lm cho ngời học say mê sáng tạo, tìm tòi v t duy không chút mệt mỏi. Ngy nay ngời học toán có nhiều cơ hội để học tốt cả về thời gian v sự đầu t kiến thức, các ti liệu sách vở phục vụ cho học tập nhiều hơn, phong phú v đa dạng hơn. Nhng bên cạnh đó việc học lệ thuộc vo ti liệu còn khá phổ biến, trong đó đối tợng ngời học l học sinh ngy cng hạn chế đi tính tự học tự bồi dỡng, chủ yếu cách giải bi toán do học nhiều m có, lệ thuộc sách giải, cha phát huy hết tính t duy sáng tạo trong giải toán. Bên cạnh đó các sách ti liệu còn nặng về lời giải chứ cha nhiều đi sâu vo phân tích phơng pháp tìm lời giải trên nhiều khía cạnh, có những bi toán nếu chúng ta chịu khó đầu t nghiên cứu, đa ra những dự đoán v phân tích các khả năng thì có nhiều cách giải hay v gọn hơn cách giải đã đa ra. Để lm đợc việc đó đòi hỏi sự dy công nghiên cứu của ngời dạy, l sự xâu chuổi kiến thức để tìm ra lời giải hay, mới lạ v độc đáo. Đây chính l lý do tôi viết nên đề ti: Sáng tạo nhiều cách giải hay từ những bi toán khó. II- Giải quyết vấn đề: 1- Cơ sở lý luận: Trong công tác giảng dạy, nhất l công tác bồi dỡng học sinh giỏi nếu GV dạy cho học sinh cách định hớng v cách phân tích tìm tòi lời giải cùng với kích thích sự sáng tạo của học sinh thì có rất nhiều bi toán tởng nh hạn chế về cách giải thì lại có nhiều cách giải hay v độc đáo. Để lm đợc điều ny học sinh cũng cần đợc trang bị một hnh trang kiến thức đầy đủ, vững chắc cùng với sự say mê v sáng tạo trong giải toán thì mới đem lại hiệu quả cao. Sự say mê trong tìm tòi, sáng tạo trong t duy v sự nhẫn nại trong giải toán l đức tính cần thiết để ngời học không ngừng khám phá đợc cái hay, cái đẹp của toán học. 2- Cơ sở thực tiễn: Trong dạy toán nếu giáo viên chỉ hớng dẫn học sinh cách giải toán với bi mẫu có sẵn thì việc học toán rất khô khan, ngời học dễ nhm chán, sự sáng tạo của ngời học bị hạn chế. Vì thế trớc một bi toán giáo viên không nên giới hạn sự suy nghĩ của học sinh m cần kích thích tính tìm tòi, dự đoán v chú trọng www.vnmath.com ************** Sáng tạo nhiều cách giải hay từ những bi toán khó ***************** nhiều đến các hớng suy nghĩ khác nhau của học sinh, trên cơ sở đó phân tích định hớng để có thể tìm ra nhiều lời giải độc đáo. Nh vậy học sinh không bị gò bó m tích cực chủ động trong suy nghĩ, tự do sáng tạo, từ đó mới có thể phát minh nhiều điều mới lạ. Đây l cơ sở đã tạo nên đề ti m qua nhiều năm giảng dạy với công tác bồi dỡng tôi đã đúc rút đợc. 3- Hiệu quả của SKKN: Trớc khi cha áp dụng đề ti ny vo giảng dạy thì số học sinh có tính tích cực sáng tạo trong giải toán còn hạn chế. Phân tích nguyên nhân tôi thấy rằng: + Do học sinh còn phụ thuộc nhiều vo lời giải sẵn có trong sách, ti liệu; + Do cha có thói quen tìm các cách giải khác khi đã có một cách giải để tìm ra cái hay của những cách giải đó; + Cha đợc trang bị đầy đủ cách phân tích đa chiều 1 bi toán, m từ đó học sinh có định hớng đúng, nhằm tìm ra nhiều cách giải khác nhau. Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vo công tác bồi dỡng HSG lớp 9, tôi thấy học sinh say mê học toán, hăng say sáng tạo nhiều hơn. Trong các kì thi cùng một bi toán nhng nhiều em đã có nhiều cách giải khác nhau v rất sáng tạo không theo đáp án sẵn có. Chính vì thế m các kì thi HSG các cấp thì học sinh của tôi bồi dỡng đã đạt nhiều kết quả cao nh HSG cấp Tĩnh môn Toán 9 (giải nhất v nhì năm 2009-2010). Đề ti còn l sự trao đổi cách học lẫn nhau giữa thầy v trò, qua đó đã có nhiều điều bất ngờ tôi cũng học đợc từ học sinh của tôi đó các bạn ạ! Kết quả cụ thể: Số HS phụ thuộc lời giải sẵn Số HS say mê sáng tạo nhiều cách giải Trớc khi áp dụng đề ti 80% 20% Sau khi áp dụng đề ti 15% 85% 4- Phạm vi v đối tợng áp dụng đề ti: Toán nâng cao lớp 8 v 9 gồm cả hình v đại số, đề toán thờng gặp nhiều trong các kì thi, có thể dùng trong công tác bồi dỡng HSG lớp 9 v ôn thi vo các trờng chuyên THPT. 5- Nội dung cụ thể của đề ti: Đề ti đợc sắp xếp hình học trớc, đại số sau. Các cách giải theo sự tiến triễn của lôgic kiến thức, cách giải sau ngắn gọn v sáng tạo hơn cách giải trớc. Mỗi bi toán đều có lời bình, đó chính l định hớng cách phân tích để tìm ra các cách giải khác nhau cho một bi toán. www.vnmath.com ************** S¸ng t¹o nhiÒu c¸ch gi¶i hay tõ nh÷ng bμi to¸n khã ***************** Sau ®©y t«i xin ®−îc tr×nh bμy phÇn néi dung cña ®Ò tμi mang tªn: “S¸ng t¹o nhiÒu c¸ch gi¶i hay tõ nh÷ng bμi to¸n khã”. www.vnmath.com ************** Sáng tạo nhiều cách giải hay từ những bi toán khó ***************** Chúng ta sẽ lm quen với một số bi toán hình học! Bi toán1: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, đờng kính AC. Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = 3AB. Đờng thẳng Dy vuông góc với DC tại D cắt tiếp tuyến Ax của đờng tròn ( O) tại E. Chứng minh: B D E cân * Đây l một bi toán khá l khó, song nếu ta biết vẽ thêm yếu tố phụ thích hợp thì việc c/m sẽ đơn giản hơn. Sau đây tôi xin đợc giới thiệu năm cách giải hay v phù hợp chuẩn KT- KN: Sử dụng kiến thức hình bình hnh ta có cách c/m sau: Cách 1 : Gọi F = DC (O) ; H = BC AF Lấy I l trung điểm của BD ; K = EH BI Xét ADC có 2 đờng cao BC v AF cắt nhau tại H => H l trực tâm của tam giác ACD => DH AC => DH // AE ( vì cùng AC) M ED // AH ( vì cùng DC) EDHA l hình bình hnh K l trung điểm của AD v EH Nên EK= KH (1) v AK = KD Từ AK = KD ; AB = ID => AK AB = KD ID hay BK = KI (2) Từ (1) v (2) => K l trung điểm của đoạn EH v BI => EIHB l hình bình hnh (dấu hiệu nhận biết của hình bình hnh) => BH // EI , vì BH AD nên EI AD hay EI BD Xét EBD có EI l đờng trung tuyến vừa l đờng cao nên EBD cân tại E. Sử dụng t/c hình thang v t/c đờng kính vuông góc với dây cung ta có cách c/m sau: Cách 2: Vẽ EI AD ( I AD) ; vì điểm B thuộc đờng tròn (O) nên ABC = 90 0 Ta có EAC = EDC = 90 0 => A,D đờng tròn đờng kính EC hay A,D,C,E đờng tròn tâm K l trung điểm của EC F D E B I O H C A K y x www.vnmath.com ************** Sáng tạo nhiều cách giải hay từ những bi toán khó ***************** Vẽ KM AD ( M AD) . Trong đờng tròn (K) có dây cung AD, MK AD => MA = MD (1) Mặt khác EI // BC ( vì cùng AD) Nên EICB l hình thang Ta có KE = KC ; KM BI => MI = MB (2) Từ (1) v ( 2) => AB = DI m AD = 3AB => BI = ID => I l trung điểm của BD Xét EBD có EI l đờng cao vừa l đờng trung tuyến nên EBD cân tại E. Sử dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông ta có cách sau: Cách 3 : Gọi P = BC DE ; M = AE PC Gọi N l trung điểm của BD ; K l trung điểm của BN => K l trung điểm của AD => 4 1 BD BK (1) áp dụng hệ thức lợng vo tam giác MAC vuông ở A v tam giác PDC vuông ở D Ta có: AB 2 = MB. BC BD 2 = PB. BC => PB MB B D AB 2 2 . Vì 2 1 BD AB nên 4 1 PB MB (2) Từ (1) v (2) suy ra: PB MB BD BK Do đó MK // DP Xét ADE có MK // ED ; AK = KD => MA = ME MB l đờng trung bình của AEN MB // EN m MB AD => EN AD A E D B C N y O P M K y D E A B I M K C O x x www.vnmath.com ************** Sáng tạo nhiều cách giải hay từ những bi toán khó ***************** Xét EBD có EN l đờng trung tuyến vừa l đờng cao nên EBD cân tại E. Sử dụng kiến thúc tam giác đồng dạng v tứ giác nội tiếp ta có cách sau: Cách 4: Lấy I l trung điểm của BD => DI = IB = BA Ta có: EDC = EAC =90 0 => A,D thuộc đờng tròn đờng kính EC hay AEDC l tứ giác nội tiếp đờng tròn đờng kính EC => AEC = ADC (vì 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC) => EAC DBC (g.g) Do đó B C AC B D EA (*) Xét ACI có CB l đờng cao vừa l đờng trung tuyến => CI = CA v C 1 = C 2 . M BD = DI +IB = AB + IB = IA Thay vo (*) ta đợc BC IC IA EA (1) Vì AE l tiếp tuyến của đờng tròn (O) => A 1 = C 2 = C 1 (2) Từ (1) v (2) suy ra EIA ABC (c.g.c) => EIA = 90 0 => EI BD Xét EBD có EI l đờng trung tuyến vừa l đờng cao nên EBD cân tại E. Chỉ sử dụng phơng pháp tam giác đồng dạng ta có cách ngắn gọn hơn nữa: Cách 5 : Vẽ EI AD, B đờng tròn (O) đờng kính AC => ABC = 90 0 Xét IDE v BCD có: DIE = CBD = 90 0 EDI = BCD ( cùng phụ với BDC) => IDE BCD (g.g) => BD IE BC ID (1) Tơng tự IDE BCD (g.g) => IE AB IA BC (2) Nhân vế với vế của (1) v (2) ta có: A E D B C I y O A E D B C I y O 1 1 2 x www.vnmath.com ************** Sáng tạo nhiều cách giải hay từ những bi toán khó ***************** 2 1 BD AB IA ID => 2ID = IA => ID = 3 1 AD M AB = 3 1 AD (gt) => AB = BI = ID => I l trung điểm của BD Xét EBD có EI l đờng cao vừa l đờng trung tuyến nên EBD cân tại E. * Phân tích các cách giải bi toán 1: Cách 1: Chỉ sử dụng kiến thức l tính chất v dấu hiệu nhận biết của hình bình hnh. Cách ny phù hợp đối với học sinh lớp 8. Cách 2 ; 3 v cách 4: Kiến thức phù hợp với học sinh sau khi học chơng trình lớp 9. Cách 5: Cách ny ngắn gọn nhất về lời giải củng nh hình vẽ (chỉ vẽ thêm 1 đờng phụ l đoạn EI), kiến thức khá đơn giản v phơng pháp thờng gặp trong ứng dụng sự đồng dạng của hai tam giác để chứng minh trung điểm của đoạn thẳng. Cách ny phù hợp v hay nhất trong các cách giải trên. Vì vậy trong khi dạy GV nên định hớng cho HS giải bi toán theo cách ny. Bi toán 2 : Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2CD. Trên cạnh BC lấy điểm E, tia AE cắt đờng thẳng CD tại F. Chứng minh: 222 4 111 A F A E AB Đây l một bi toán quen thuộc thờng gặp nhiều trong các đề thi của các kì thi song cách giải thờng gặp cha thật phong phú. Sau đây tôi xin đợc giới thiệu 4 cách giải hay: Cách 1 : Sử dụng hệ thức giữa đờng cao v các cạnh góc vuông trong tam giác vuông. Kẻ AK AE (K DC. áp dụng hệ thức giữa đờng cao v các cạnh góc vuông Bình luận: Từ giả thiết cho AD = 3AB => AD = 2BD v c/m tam giác EBD cân gợi ý cho ta chia đoạn BD thnh hai phần bằng nhau nên ta cần vẽ thêm hình phụ l đờng cao EI của tam giác, cần c/m EI l đờng trung tuyến hoặc ngợc lại . Từ đó m ta có các cách c/m trên. Các bạn còn có cách khác hay nữa không ? x www.vnmath.com ************** Sáng tạo nhiều cách giải hay từ những bi toán khó ***************** trong tam giác KAF vuông ở A. Ta có: 222 111 A D A F A K M AD = BC = 2 1 AB => 22 41 ABAD => 222 411 ABA F A K (*) Ta lại có: KAD = BAE ( cùng phụ với DAE) => KAD EAB (g.g) => 2 1 AB AD AE AK => AK = 2 AE Thay vo (*) ta có 222 414 ABA F A E => 222 1 4 11 ABA F A E Các bạn nghĩ sao nếu không cần vẽ thêm hình phụ! Ta còn có các cách sau: Cách 2: Sử dụng định lý Talet v định lý pitago trong tam giác vuông Vì EC // AB => EF EC AF AD AF EF AD EC 22 EF EC AF AD => 2 2 2 2 EF EC AF AB => 2 2 2 2 4 EF EC AF AB (1). Vì CF // AB => AE AB EF CF AB CF AE EF => 22 AE AB EF CF => 2 2 2 2 A E AB EF CF (2) A K B E F D C 1 2 *Bình luận: Từ điều phải chứng minh: 222 4 111 AFA E AB v AB = 2AD gợi ý cho ta sử dụng đến hệ thức giữa đờng cao v các cạnh góc vuông trong tam giác vuông. Do vậy ta cần tạo ra tam giác vuông có AD l đờng cao bằng cách vẽ hình phụ trên. A B E D F C www.vnmath.com ************** Sáng tạo nhiều cách giải hay từ những bi toán khó ***************** Từ (1) v (2) ta có: 2 2 2 2 4AF AB A E AB 1 2 2 2 2 2 2 EF EF EF CF EF EC Chia 2 vế cho AB 2 ta đợc: 222 1 4 11 A B A F A E Cách 3: Sử dụng phơng pháp tam giác đồng dạng Ta có D = B = 90 0 : A 1 = F ( vì cùng phụ với 2 góc bằng nhau E 1 = E 2 ) => ADF EBA (g.g) => AF DF AE AB => 2 2 2 2 AF DF A E AB (1) M 2 2 2 2 2 2 2 4 AF AD AF AB AF AB (2) Từ (1) v (2) cộng vế theo vế ta có: 1 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A F AF A F AD A F DF A F AB A E AB (áp dụng định lý pitago vo tam giác vuông ADF) Chia 2 vế cho AB 2 ta đợc: 222 1 4 11 ABAFA E Cách 4 : Sử dụng hm số lợng giác sin 2 + cos 2 = 1 ta có cách thật độc đáo! Ta có 22 2 2 2 2 2 2 2 4 AF AD AE AB AF AB AE AB AF AB AE AB = sin 2 E 1 + cos 2 A 1 M DAF = E 2 ( đồng vị) ; E 1 = E 2 (đối đỉnh) => DAF = E 1 . Nên 2 2 2 2 4AF AB A E AB sin 2 E 1 + cos 2 E 1 = 1 Chia 2 vế cho AB 2 ta đợc: 222 1 4 11 ABAFA E *Bình luận: Nếu đi từ đpcm 222 4 111 AFA E AB 2 2 2 2 4AF AB A E AB 1, gợi ý cho ta sử dụng đến hm lợng giác sin 2 + cos 2 = 1. Từ đó ta có cách giải độc đáo trên. A B E D F C 1 2 1 C A B E D F 1 2 1 www.vnmath.com ************** Sáng tạo nhiều cách giải hay từ những bi toán khó ***************** * Phân tích các cách giải bi toán 2: Cách 1: Sử dụng kiến thức l hệ thức giữa đờng cao v các cạnh góc vuông trong tam giác vuông nên phù hợp với HS lớp 9. Cách 2 v 3: Sử dụng kiến thức về tam giác đồng dạng v định lý Pitago trong tam giác vuông, sáng tạo của các cách ny l biết vận dụng linh hoạt 2 kiến thức trên vo giải toán. Cách ny phù hợp với nhiều đối tợng nhất l HS lớp 8. Cách 4: Sử dụng tỉ số lợng giác của góc nhọn trong tam giác vuông v hm số lợng giác sin 2 + cos 2 = 1 (HS sẽ đợc học nhiều ở các lớp trên) . Tuy nhiên khi sử dụng cần yêu cầu HS chứng minh sin 2 + cos 2 = 1. Cách ny phù hợp với đối tợng HS giỏi. *Bây giờ chúng ta sẽ cùng nhau khám phá Phần Đại Số v lm quen với một số bi tập với nhiều cách giải hay nhé! Bi toán 3 ( Đề thi GV giỏi tỉnh năm 2004-2005) Cho x, y thỏa mãn x> y v x.y=1. Chứng minh rằng: 22 22 yx yx (1) Cách 1 : Phơng pháp sử dụng hằng đẳng thức Vì xy= 1 => 2 - 2xy = 0 Từ x > y thì (1) x 2 + y 2 - 2 2 (x-y) 0 x 2 + y 2 - 2 2 (x-y) + 2 - 2xy 0 (x - y) 2 - 2 2 (x- y) + ( 2 ) 2 0 ( x- y - 2 ) 2 0 (2) . Ta có (2) luôn đúng x,y . Vậy (1) đợc c/m Cách 2 : Biến đổi tơng đơng v dùng hằng đẳng thức 22 22 yx yx . Vì 2 vế đều dơng với x > y. [...]... thận Cách 3: Đây l cách khá sáng tạo, lời giải phù hợp với chuẩn kiến thức nên HS rất dễ hiểu Khi dạy GV cần định hớng HS vo cách giải ny * Bình luận: Mặc dù ta dự đoán đợc điểm rơi song mỗi cách giải l một sự sáng tạo, hớng giải khác nhau v thật độc đáo phải không các bạn? Chính vì thế m toán học l sự khám phá không ngừng, ngời học toán phát triển t duy qua giải toán V có rất nhiều rất nhiều bi toán. .. nghiệm trong quá trình nhiều năm dạy bồi dỡng HSG lớp 8,9 - Đề ti thể hiện một cách viết sáng tạo, mới lạ không theo các mẫu quen thuộc, thờng gặp Qua đây tôi muốn nói rằng các bạn hãy sáng tạo hơn ************** Sáng tạo nhiều cách giải hay từ những bi toán khó ***************** www.vnmath.com trong cách viết SKKN, viết phát triễn trên nhiều khía cạnh của kiến thức để từ đó có nhiều SKKN hay v hiệu quả... =z = 2 2 Cách giải trên chúng ta đã gặp nhiều trong ti liệu Song cách biến đổi còn khá phức tạp Các bạn có thể tìm thấy sự sáng tạo trong cách giải sau: Cách 2: Sử dụng BĐT Côsi cho 17 số dơng, ta có 1 1 1 1 2 1717 16 30 2 = x + 2 2 16 x 16 x 16 x x 1 1 ; ) (Chú ý điểm rơi x=y=z = => x2 = 16 x 2 2 2 Ta xét: x 2 Tơng tự: y 1 1 1717 16 30 2 y 16 y ************** Sáng tạo nhiều cách giải hay từ... đây l một số bi toán tơng đối khó nhng lại có nhiều cách giải hay v độc đáo nữa! Bi toán 6: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 1 ************** Sáng tạo nhiều cách giải hay từ những bi toán khó ***************** www.vnmath.com Tìm GTNN của P = x y z 2 2 1 x 1 y 1 z2 Các bạn sẽ giải bi ny nh thế no? Ta chú ý điểm rơi x = y = z = 1 3 Vì x,y,z > 0 v x2 + y2 + z2 = 1 => x,y,z 0;1 Cách 1: áp dụng... * Phân tích các cách giải bi toán 4: Cách 1 v 2: Sử dụng phơng pháp biến đổi thông thờng Chú ý điểm rơi để từ đó tách thnh các nhóm phù hợp nhằm sử dụng BĐT Côsi Tuy nhiên 2 cách giải trên cha thật tối u Cách 3: Cũng l tạo nhóm thích hợp v sử dụng BĐT Côsi song ngắn gọn v hợp lý hơn Chính vì thế khi dạy GV cần định hớng ch HS theo cách ny Cho ba số dơng a,b,c thỏa mãn: a+ b+c = 1 Bi toán 5: 1 1 16... các cách giải bi toán 5: Cách 1: Đa bi toán về còn 2 biến a,b Sử dụng phép biến đổi tơng đơng đa về BĐT mơí v áp dụng BĐT Côsi để chứng minh BĐT mới đúng với mọi giá trị dơng của biến a,b Cách 2 v3: Cả hai cách đều ngắn gọn v phù hợp với mức độ khả năng t duy của HS Song sẽ hay hơn khi ta định hớng cho HS cách giải 3 Tuy nhiên không phải bi no cũng có thể biến đổi đợc dễ dng nh thế Có những bi toán. .. Vận dụng BĐT Côsi liên tiếp 2 lần song cha chú ý đến ************** Sáng tạo nhiều cách giải hay từ những bi toán khó ***************** www.vnmath.com x y 4 2( x y ) tính đồng thời của dấu bằng ở đây điểm rơi của dấu bằng l x y xy 1; x, y 0 thì x v y không cùng đợc thõa mãn điều kiện đó Từ đó ta có các cách giải đúng sau: Cách 1: áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dơng x v y ta có: x+y 2 xy = 2 (... ngừng sáng tạo sáng tạo nữa ta sẽ có cách ngắn gọn v hay hơn sau! Cách 3: 9 4 Đặt t = (x+y+z)2 0 < t 1 1 1 Vì (x+y+z) x y z 2 1 1 1 81 9 => x y z x y z 2 81 t Khi đó áp dụng BĐT (*) ta có A t Ta cần chứng minh A 9 4 3 17 2 t t 81 3 17 2 t 81 153 t 4 (t > 0) 1 153 153 9 t 81 t t 36 = t2 t 4 4 4 Ta xét hiệu: t Vì t 9 9 t 0; t 36 0 4 4 ************** Sáng tạo nhiều. .. tạo nhiều cách giải hay từ những bi toán khó ***************** www.vnmath.com 9 4 => t t 36 0 => t Do đó A t 81 153 t 4 81 3 17 2 t Dấu = xảy ra x=y=z = 1 2 *Phân tích các cách giải bi toán 7: Cách 1: Tách tổng a+b thnh các nhóm nhằm sử dụng đợc tích ab =81 v a 36 v tính đồng thời xãy ra dấu bằng của x,y,z Cách 2: Chỉ sử dụng BĐT Côsi nên phù hợp với đại tr HS song sử dụng với nhiều số... toán 5: 1 1 16 CMR: ac bc Chú ý: Với dự đoán điểm rơi a= b = Với a,b,c > 0 Để chứng minh 1 1 ;c= 4 2 1 1 16 a+b 16 abc ac bc Từ đó ta có các cách giải sau: ************** Sáng tạo nhiều cách giải hay từ những bi toán khó ***************** www.vnmath.com Cách 1: Phép biến đổi tơng đơng v sử dụng BĐT Côsi Ta có: a+b 16 abc a+b 16 ab(1-a-b) a+b 16 ab - 16ab(a+b) a+b + 16 ab(a+b) 16ab (a+b)(1+16ab) . học sinh cách định hớng v cách phân tích tìm tòi lời giải cùng với kích thích sự sáng tạo của học sinh thì có rất nhiều bi toán tởng nh hạn chế về cách giải thì lại có nhiều cách giải hay v. cần định hớng HS vo cách giải ny V có rất nhiều rất nhiều bi toán m ta có thể sáng tạo ra nhiều cách giải hay. Sau đây l một số bi tập ít nhất có từ 2 cách giải trở lên, các bạn. Các cách giải theo sự tiến triễn của lôgic kiến thức, cách giải sau ngắn gọn v sáng tạo hơn cách giải trớc. Mỗi bi toán đều có lời bình, đó chính l định hớng cách phân tích để tìm ra các cách