Cái và cách trong dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông

Bài viết đề cập đến cách hiểu “cái” và “cách” (theo quan điểm của Hồ Ngọc Đại) trong môn Toán. Tác giả tập trung phân tích mối quan hệ giữa “cái” và “cách” và khai thác sự chuyển hóa sư phạm giữa chúng để nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở Trường Trung học phổ thông (THPT).

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE 2012, Vol 57, No 10, pp 33-39 CÁI VÀ CÁCH TRONG DẠY HỌC MƠN TỐN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG La Đức Minh Trường Dự bị Đại học Dân tộc Sầm Sơn Email: minhld.dbdhss@moet.edu.vn Tóm tắt Bài viết đề cập đến cách hiểu “cái” “cách” (theo quan điểm Hồ Ngọc Đại) mơn Tốn Tác giả tập trung phân tích mối quan hệ “cái” “cách” khai thác chuyển hóa sư phạm chúng để nâng cao hiệu dạy học mơn Tốn Trường Trung học phổ thơng (THPT) Từ khóa: Cái cách, tri thức vật, tri thức phương pháp Mở đầu Theo Hồ Ngọc Đại [1], “cái” dụng cụ sinh hoạt cơng cụ thủ cơng “Cái cách” có quan hệ mật thiết với nhau, “cái” thông qua cách dùng Trong dạy học Tốn Nếu hiểu rõ “cái” “cách” học sinh hứng thú học tập, góp phần nâng cao chất lượng dạy học Tốn Chính giáo viên ln phải hướng tới việc trang bị cho học sinh “cái” “cách” Nội dung nghiên cứu 2.1 "Cái" dạy học Toán Trường THPT Theo Hồ Ngọc Đại, “cái” thể thao tác hay cách dùng theo nghĩa thực tế, “cái” dùng vào nhiều việc khác Điều nói lên hình thức tồn “cái” tự chưa cho ta biết thân Triết học vật biện chứng gọi trạng thái “cái” trừu tượng Trong đó, trừu tượng hình thái tồn “phiến diện” cụ thể, trừu tượng cô đọng cụ thể Cái trừu tượng cụ thể phạm trù có tính tương đối, mà quan hệ đó, xuất trừu tượng, lại tồn cụ thể quan hệ khác Tuy nhiên, quan hệ định, chúng luôn tồn thể thống Khơng có trừu tượng ngồi cụ thể ngược lại, khơng có cụ thể nằm ngồi trừu tượng Nó phản ánh mặt chất mối liên hệ vật tượng Trong mơn Tốn “cái” thường khái niệm (ví dụ khái niệm vectơ), định lý(chẳng hạn định lý hàm số sin), mệnh đề, có yếu tố lịch sử, ứng dụng Toán học, Theo [3] tri thức vật 33 La Đức Minh Cần ý “cái” mà ta nói tri thức cụ thể dạy học Toán Các khái niệm, định nghĩa, định lý trình bày sách giáo khoa phải truyền thụ cho học sinh (HS) thơng qua q trình hoạt động (HĐ) dạy học Tốn Dạy Tốn dạy HĐ Tốn học, HS cần thiết biết trình hình thành khái niệm, định lý, biết vận dụng kiến thức, có niềm tin vào khả Tốn học Đặc trưng tri thức Toán học trừu tượng hoá cao độ lơgic chặt chẽ Vì HĐ dạy học, ngồi suy diễn lơgic, cần thiết phải coi trọng nguyên tắc trực quan, quy nạp, trực giác toán học Dạy học Toán cần phải cân đối quan hệ trực quan trừu tượng, ước lượng, dự đốn suy luận có lý 2.2 Cách dạy học Tốn Trường THPT Theo K.Marx “cách” có hai nghĩa, “cách” dùng “cái”, “cách” làm “cái” Các thời đại kinh tế khác kông phải chỗ chúng sản xuất “cái” gì, mà chỗ chúng sản xuất cách nào, với tư liệu Mỗi “cách” cột mốc đánh dấu trình độ đạt thời đại cụ thể đường phát triển tự nhiên lịch sử thực Theo nghĩa rộng nhất, “cách” làm hiểu cung cách làm ăn Đối với người “cách” đặc trưng “cách tư duy” Theo Engels: “Lịch sử đâu trình tư đó” Có nghĩa người xuất đồng thời xuất qua trình tư Cách tư hay cịn gọi phương pháp tư Theo Hegel, toàn triết học thâu tóm thành phương pháp Phương pháp sức mạnh tuyệt đối nhất, nhất, tối cao, vô tận, không vật cưỡng lại Như vậy, phương pháp tạo “cái”; phương pháp tạo “cái”mới theo nguyên lý Trong dạy học tốn Trường THPT “cách” hiểu cách thức, đường phương pháp “Cách” định hướng trực tiếp cho HĐ ảnh hưởng trực tiếp đến việc rèn luyện kĩ Dạy học khơng hình thành cho HS “cái”, tri thức đối tượng nghiên cứu mơn học mà cịn hình thành phát triển hệ thống “cách” cho HS Các “cách” hình thành lại trở nên điều kiện thuận lợi để HS lĩnh hội, kiến tạo tri thức - Những “cách” thực HĐ tương ứng với nội dung toán học cụ thể như: tính đạo hàm, giải tính đồng biến, nghịch biến, qui tắc tìm cực trị, giải toán khảo sát hàm số - Những “cách” thực HĐ toán học phức hợp định nghĩa, chứng minh - Những “cách” thực HĐ trí tuệ phổ biến mơn Tốn hoạt động tư hàm, phân chia trường hợp - Những thực hoạt động trí tuệ chung so sánh, khái quát hoá, trừu tượng hoá - Những “cách” thực HĐ ngôn ngữ logic thiết lập mệnh đề đảo mệnh đề cho trước, liên kết hai mệnh đề thành hội hay tuyển chúng “Cách” dạy học mơn Tốn Trường THPT đóng vai trị sở định hướng trực tiếp cho HĐ; Theo lý luận dạy học tri thức phương pháp 34 Cái cách dạy học mơn Tốn trường Trung học phổ thông 2.3 Mối liên hệ cách dạy học Toán Trường THPT Có thể hiểu “cách” phương pháp đạt mục đích Bản thân “cách” hình thành từ hiểu biết, từ “cái” Mỗi “cái” hình thành tự khơng trở thành “cách” Tuy nhiên phản ánh chất đối tượng nhận thức, phản ánh quy luật vận động vật, tượng Nắm quy luật vận dụng quy luật để suy tượng, kiên đường nhận thức khoa học Trong trường hợp “cái” chuyển hóa thành “cách” Sự chuyển hóa thực trình quan sát, vận dụng “cái” tình khác Chính tần suất lặp lại vận dụng “cái” nhân tố định hình thành nên “cách” Một “cái” vận dụng vào nhiều tình đa dạng làm cho chuyển hóa thành “cách” nhanh chóng Trong trường hợp hiệu lực “cách” đánh giá cao Cũng có trường hợp, phối hợp nhiều “cái” làm nảy sinh “cách” Có thể nói cách khái qt, q trình chuyển hóa “cái” thành “cách” thực theo quy luật: từ thay đổi lượng dẫn đến thay đổi chất Ví dụ 1: Cho hai cặp số thực (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) Khi ta có: (a21 + a22 + + a2n )(b21 + b22 + + b2n ) ≥ (a1 b1 + + an bn )2 , a1 a2 an dấu xảy khi: = = = b1 b2 bn Cách 1: Xét tam thức bậc hai: f (x) = (a21 + a22 + + a2n )X − 2(a1 b1 + a2 b2 + + an bn )X + (b21 + b22 + + b2n ) Ta có: f (x) = (a1 X − b1 )2 + (a2 X − b2 )2 + + (an X − bn )2 ≥ ∀X Với a21 + a22 + + a2n = ⇒ a1 = a2 = = an = Thì bất đẳng thức Với a21 + a22 + + a2n > 0, f (x) ≥ 0∀X nên theo định lý dấu tam thức bậc hai ta suy ra: ∆′ = (a1 b1 + + an bn )2 − (a21 + a22 + + a2n )(b21 + b22 + + b2n ) ≤ ⇒ (a21 + a22 + + a2n )(b21 + b22 + + b2n ) ≥ (a1 b1 + + an bn )2 Dấu xảy khi hệ sau có nghiệm: a1 X − b1 =    a1 a2 an a2 X − b2 = tức = = =  b1 b2 bn   an X − bn = Cách 2: (a21 + a22 + + a2n )(b21 + b22 + + b2n ) ≥ (a1 b1 + + an bn )2 ⇔ |a1 b1 + + an bn | ≤ ⇔ a21 + + a2n |a1 b1 + + an bn | a21 + + a2n b21 + + b2n ≤1 b21 + + b2n (2.1) Với a21 + a22 + + a2n = b21 + b22 + + b2n = bất đẳng thức hiển nhiên Với a21 + a22 + + a2n > b21 + b22 + + b2n > ta có: 35 La Đức Minh a21 |a1 b1 + + an bn | + + b21 a2n + + b2n ≤ a21 + |a1 b1 | + + a2n a21 b21 + + b2n |an bn | + + a2n + + (2.2) b21 + + b2n Theo bất đẳng thức Cơsi thì: b21 a21 + |a1 b1 | a2 + + a2n b21 + + b2n ≤ a21 + + a2n b21 + + b2n b2n a2n + |an bn | a21 + + a2n b21 + + b2n ≤ a21 + + a2n b21 + + b2n Cộng vế n bất đẳng thức (*) ta có: |a1 b1 | a21 + + a2n b21 + + b2n Từ (2.2) (2.3) suy ra: + + |an bn | a21 + + a2n b21 + + b2n |a1 b1 + + an bn | (*) ≤1 (2.3) ≤ đpcm a21 + + a2n b21 + + b2n Ở “cái” định lý dấu tam thức bậc hai bất đẳng thức Cơsi, “cách” bất đẳng thức Bunhiacopski Nhưng hiểu “cái” bất đẳng thức Bunhiacopski, cịn “cách” chứng minh: f (x) = (a21 + a22 + + a2n )X − 2(a1 b1 + a2 b2 + + an bn )X + (b21 + b22 + + b2n ) ≥ 0∀X Việc sử dụng “cách” để giúp khắc sâu quy trình thao tác vận dụng “cái” Đây cách phổ biến hữu hiệu giúp cho học sinh nắm yếu tố then chốt quy trình vận dụng “cái” vào giải loại tình Trong trình hướng dẫn học sinh vận dụng “cái”, giáo viên cần giúp học sinh nhận diện tri thức biết tình cụ thể, rõ quy trình thực thao tác trình vận dụng Việc làm theo quan điểm Lí thuyết phát sinh nhận thức J Piaget có nghĩa tạo tình để học sinh thực đồng hóa tri thức Q trình giúp nắm vững “cái”, rèn luyện kĩ năng, mở rộng phạm vi áp dụng kiến thức hình thành thói quen thao tác chuẩn, “cách” hình thành Sử dụng “cái” làm cơng cụ, làm phương tiện giải vấn đề đặt tình Đây cách giúp học sinh nhận giống khác tình vận “cái" Chính việc nhận giống làm cho học sinh thấy giá trị, ý nghĩa tiện ích “cái” mang lại Với cách gặp nhiệm vụ cần giải tình cụ thể tương tự học sinh biết cách huy động kiến thức học vào giải “Cái” chuyển hóa thành cơng cụ, phương tiện thao tác học sinh “Cái” trở thành “cách” 36 Cái cách dạy học mơn Tốn trường Trung học phổ thơng Tuy nhiên tổ chức cho học sinh hoạt động giải nhiệm vụ nhận thức cần làm rõ phối hợp suy luận có lí q trình huy động, vận dụng nhóm kiến thức Việc làm có tác dụng hình thành cho học sinh “cách” mang tính chất tìm đốn “Cách” lúc có vai trò định hướng hoạt động giải vấn đề khám phá, sáng tạo tri thức mới, sáng tạo phương pháp giải tốn Thơng qua “cái” ta luyện tập, bồi dưỡng cho học sinh cách huy động kiến thức theo hướng khác nhau, chuyển đổi “cái” theo ngơn ngữ khác nhau, nhìn nhận “cái” theo nhiều cách khác từ dẫn đến “cách” khác Việc làm có tác dụng rèn luyện tư linh hoạt, phá vỡ sức ỳ tư Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A1 B1 C1 D1 có cạnh a Gọi I, J trung điểm cạnh AD BB1 a Chứng minh rằng: IJ⊥A1 C b Tính góc tạo hai đường thẳng IJ AC1 Đối với tốn hình lập phương u cầu tốn liên quan đến vấn đề vng góc góc hai đường thẳng nên ta nghĩ đến việc sử dụng hình học tổng hợp, nghĩ đến sử dụng phương pháp véc tơ phương pháp toạ độ Để giúp học sinh huy động kiến thức giải toán này, người giáo viên đặt câu hỏi kiểu như: "Để chứng minh hai đoạn thẳng vng góc ta có cách nào?", "Để tính góc hai đoạn thẳng ta có cách nào?" Cách 1: (Dùng phương pháp tổng hợp) a Gọi O trung điểm điểm BC1 ; Do DI OJ song song nên tứ giác IDOJ hình bình hành Suy IJ//DO (hình vẽ) Từ suy IJ// mp(BDC1 ) (1) Mặt khác, BD⊥(AA1 C1 C) Nên BD⊥A1 C ⊃ (AA1 C1 C) (*); Do A1 C⊥AC1 nên A1 C⊥BC1 (**); Từ (*) (**) ⇒ A1 C⊥ mp(BDC1) (2) Từ (1) (2) ta có IJ⊥A1 C b Xác định góc tạo IJ AC1 Gọi K điểm đối xứng với B1 qua C1 Vì AD, KC1 song song nên tứ giác ADKC1 hình bình hành Suy DK//AC1 Do IJ//DO DK//AC1 nên góc IJ AC1 góc ODK Áp dụng định lí hàm số cosin cho tam giác OKC1 ta có: OK = C1 K + OC12 − 2C1 K.OC1 cos OC1 K 37 La Đức Minh √ √ a 5a2 a a +2 cos 450 = =a + 2 Áp dụng định lí cosin cho tam giác OKD, ta có: OK = DK + DO − 2DK.DO cos OKD √ √ √ √ a 5a2 a = a + cos KDO = − 2a 2 √ − → − − → − → − → a 2 (trong đó: DO = IJ = IJ = (IA + AB + BJ)2 = IA2 + AB + BJ = ( ); √ DK = (a 3)2 ) √ Từ hệ thức suy cosKDO = Cách 2: (Phương pháp véc tơ) → −−→ − a Để chứng minh IJ⊥A1 C, ta cần chứng minh IJ.A1 C = → − − → −→ −→ −−→ −−→ −→ −−→ Thật ta có: IJ = IA + AB + BJ; A1 C = A1 A + AB + BC Do đó: → −−→ − − → −→ −→ −−→ −→ −−→ IJ.A1 C = (IA + AB + BJ).(A1 A + AB + BC) −→−−→ −−→ −→ −−→ = IA.BC + AB + BJ.A1 A = −IA.BC + AB − BN.AA1 a2 a2 = − + a2 − =0 2 ⇒ IJ⊥A1 C b Gọi ϕ hai đường thẳng IJ A1 C, ta có: → −−→ − − → −→ −→ −→ −−→ −−→ IJ.AC1 = IJ.AC1 cos ϕ = (IA + AB + BJ).(AB + BC + CC1 ) a2 −→−−→ −−→ −−→−−→ a2 = IA.BC + AB + BJ.CC1 = − + a2 + = a2 2 Như vậy: IJ.AC1 cos ϕ = a2 (2.4) √ √ − →2 −−→ −→ −→ a a 2 2 Mặt khác: IJ = IJ = (IA+ AB + BJ) = IA +AB +BJ = ( ) ⇒ IJ = 2 √ Ta lại có: AC1 = a √ √ a Thay vào (2.4) ta có: a2 = a cos ϕ √ Do đó: cosϕ = Cách 3: (Dùng phương pháp toạ độ) Chọn hệ trục toạ độ Đề Oxyz cho A1 (0; 0; 0) ≡ O; B1 (1; 0; 0); A(0; 0; 1), với giả thiết cạnh hình lập phương 38 Cái cách dạy học môn Tốn trường Trung học phổ thơng −−→ 1 → − 1 a Ta có: A1 C = (1; 1; 1); I(0; ; 1); J(1; 0; ) ⇒ IJ = (1; − ; − ) 2 2 Theo biểu thức toạ độ tích vơ hướng ta có: → −−→ − 1 IJ.A1 C = 1.1 + 1.(− ) + 1.(− ) = ⇔ IJ⊥A1 C 2 −−→ b Ta có: A(0; 0; 1); C1 (1; 1; 0) suy AC1 = (1; 1; −1) Gọi ϕ hai đường thẳng IJ AC1 , ta có: 1 √ 1− + 2 = cosϕ = 2 1 + − 12 + 12 + (−1)2 12 + − 2 Kết luận Trên đề cập đến cách; mối liên hệ chúng chuyển hóa từ “cái” thành “cách” q trình dạy học mơn tốn Sự chuyển hóa phải thơng qua q trình phải coi trọng việc hiểu “cái” luyện tập củng cố hình thành “cách” Thơng qua việc dạy học mơn Tốn, người giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động tìm tịi khám phá, chủ động, tích cực hoạt động nhận thức sở để đạt mục đích dạy học TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hồ Ngọc Đại, 2010 Cái cách Nxb Giáo dục, Hà Nội [2] Edgarmorin, 2006 Tri thức tri thức (Lê Diên dịch) Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Bá Kim, 2006 Phương pháp dạy học mơn Tốn Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội [4] Bùi Văn Nghị, 2009 Vận dụng lý luận vào thực tiễn dạy học mơn Tốn trường phổ thông Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội [5] Đào Tam, Trần Trung, 2010 Tổ chức hoạt động nhận thức dạy học mơn Tốn trường Trung học phổ thông Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội ABSTRACT ‘What’ and ‘How’ in teaching mathematics in high school The article refers to an understanding of ‘what’ and ‘how’ in mathematics according to Ho Ngoc Dai The author focused on analyzing the relationship between ‘what’ and ‘how’ and developed a transformation pedagogy between them in order to improve the efficiency of teaching mathematics in high school 39 ... sinh biết cách huy động kiến thức học vào giải ? ?Cái? ?? chuyển hóa thành cơng cụ, phương tiện thao tác học sinh ? ?Cái? ?? trở thành ? ?cách? ?? 36 Cái cách dạy học mơn Tốn trường Trung học phổ thông Tuy... tuyển chúng ? ?Cách? ?? dạy học mơn Tốn Trường THPT đóng vai trị sở định hướng trực tiếp cho HĐ; Theo lý luận dạy học tri thức phương pháp 34 Cái cách dạy học mơn Tốn trường Trung học phổ thông 2.3 Mối... luận vào thực tiễn dạy học mơn Tốn trường phổ thơng Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội [5] Đào Tam, Trần Trung, 2010 Tổ chức hoạt động nhận thức dạy học mơn Tốn trường Trung học phổ thơng Nxb Đại học