Qui trình vận dụng khái niệm toán học theo quan điểm kiến tạo cho học sinh giỏi cấp trung học cơ sở

Các tác giả đặt ra và giải quyết vấn đề vận dụng lí thuyết kiến tạo trong dạy học khái niệm toán học ở Trung học Cơ sở (THCS) (thể hiện qua một số khái niệm hình học), thực hiện đổi mới phương pháp dạy học môn Toán theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập, góp phần nâng cao chất lượng dạy Toán cho đối tượng học sinh giỏi.

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci 2012, Vol 57, No 4, pp 3-10 QUI TRÌNH VẬN DỤNG KHÁI NIỆM TOÁN HỌC THEO QUAN ĐIỂM KIẾN TẠO CHO HỌC SINH GIỎI CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ Nguyễn Anh Tuấn∗ Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Phí Thị Thùy Vân Phòng Giáo dục, thành phố Hải Dương ∗ E-mail: tuandhsphn@gmail.com Tóm tắt Các tác giả đặt giải vấn đề vận dụng lí thuyết kiến tạo dạy học khái niệm toán học Trung học Cơ sở (THCS) (thể qua số khái niệm hình học), thực đổi phương pháp dạy học mơn Tốn theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập, góp phần nâng cao chất lượng dạy Toán cho đối tượng học sinh giỏi Từ khóa: Lí thuyết kiến tạo, Tốn học, Hình học, tích cực hóa hoạt động Mở đầu Trong mơn Tốn, khái niệm giữ vai trị đặc biệt quan trọng, làm “nền móng” cho nhận thức tốn học học sinh (HS) Có thể nói dạy học khái niệm hình học tình tương đối khó mơn Tốn phổ thơng, đặc biệt bậc học THCS, mà HS bước đầu tiếp cận Hình học theo quan điểm tiên đề, mang tính lí thuyết tổng quát chặt chẽ Làm để HS THCS học khái niệm hình học cách hứng thú, hiệu quả, qua phát triển tư duy, bồi dưỡng cho em niềm say mê khoa học, ham hiểu biết sáng tạo học tập? Trong viết này, đặt vấn đề vận dụng lí thuyết kiến tạo vào dạy học khái niệm toán học THCS (thể qua số khái niệm hình học) với mong muốn góp phần trả lời câu hỏi 2.1 Nội dung nghiên cứu Quy trình kiến tạo dạy học khái niệm toán học cho học sinh giỏi Theo Brandt (1997, [2]) “lí thuyết kiến tạo (constructivism) lí thuyết dạy học dựa sở nghiên cứu trình học tập người, với quan điểm cho cá nhân tự xây dựng nên tri thức riêng mình, khơng đơn tiếp nhận tri thức từ người khác” Nguyễn Anh Tuấn Phí Thị Thùy Vân Trên sở vận dụng phối hợp ba đường hình thành khái niệm quy nạp, suy diễn, kiến thiết [1] vào chu trình nhận thức HS theo quan điểm kiến tạo: Tri thức có → Dự đốn → Kiểm nghiệm →(Thất bại) → Thích nghi → Tri thức vận dụng, chúng tơi xây dựng qui trình dạy học khái niệm toán học theo quan điểm kiến tạo cho HS giỏi sau: Bước Giáo viên (GV) tiến hành gợi động để học sinh tiếp cận khái niệm GV sử dụng cách gợi động cơ, đặc biệt triệt để khai thác phương tiện trực quan mơn Tốn, để HS tiếp cận với đối tượng, tình chứa đựng khái niệm Bước GV tổ chức học sinh dự đốn thuộc tính đặc trưng cho khái niệm Dưới tổ chức gợi ý hướng dẫn GV, HS (dựa vào vốn kiến thức kinh nghiệm mình) tiến hành quan sát, phân tích, so sánh đặc biệt khái quát hóa để rút dự đốn thuộc tính đặc trưng cho nhóm đối tượng (thuộc khái niệm mới) Bước Kiểm tra tính đắn trường hợp cụ thể (kiểm nghiệm thích nghi) GV hướng dẫn HS kiểm tra lại nhận xét dự đốn cách xem xét đối tượng cụ thể, đối chiếu với nhóm thuộc tính chọn, kiểm nghiệm sai phán đoán em thuộc tính đặc trưng cho nhóm đối tượng (thuộc khái niệm mới) Thực chất thao tác cụ thể hóa, nên trường hợp có HS nhầm lẫn sai sót bước 2, em nhận sai lầm (thất bại) điều chỉnh dự đốn (điều ứng) cho thích hợp (thích nghi) Bước Định nghĩa khái niệm (tri thức mới) GV tổ chức HS phát biểu định nghĩa khái niệm: dựa dự đoán kiểm nghiệm trên, ngơn ngữ mơ tả cách khái quát loại đối tượng GV với HS xác hóa lại định nghĩa khái niệm phát biểu theo vài cách diễn đạt (bằng lời, ngơn ngữ ký hiệu tốn học) Bước Củng cố, vận dụng khái niệm Cấp độ 1: Nhận dạng thể trực tiếp Dựa vào định nghĩa khái niệm, GV đề nghị HS nhận dạng thể khái niệm tình đơn giản: + Trước hết kiểm nghiệm lại với đối tượng xét bước số đối tượng khác GV đưa (bao gồm đối tượng không thuộc khái niệm mới) + Yêu cầu HS tự đưa ví dụ đối tượng thỏa mãn định nghĩa (hoặc phản ví dụ) Cấp độ 2: Vận dụng khái niệm chứng minh định lí, giải tốn (nhận dạng thể tình tổng hợp) Cấp độ 3: Vận dụng sáng tạo (với đối tượng HS giỏi) GV tổ chức HS vận dụng khái niệm tình khó (chứng minh định lý, giải tốn phức tạp, tốn có nội dung thực tiễn): thực chất đồng thời nhận Qui trình vận dụng khái niệm tốn học dạng thể khái niệm mối liên kết với vốn tri thức, kỹ có, địi hỏi HS phải tư sáng tạo Bước Mở rộng hệ thống hóa khái niệm + GV hướng dẫn HS tìm mối quan hệ khái niệm với khái niệm (gần gũi) có, xếp khái niệm vào hệ thống khái niệm, biểu diễn dạng sơ đồ + Khai thác khái niệm có để mở rộng sang khái niệm mới, có phạm vi rộng 2.2 Ví dụ minh họa Dạy học số khái niệm “Bài Đối xứng trục” (Hình học 8) 2.2.1 Bước GV gợi động cho học sinh tiếp cận với đối tượng trực quan “hình ảnh” Hướng dẫn HS quan sát đồ vật xung quanh rút nhận xét: + Cửa vào lớp học nhận xét vị trí hai cánh cửa so với đường khe hai cánh cửa + Hai bóng đèn ghép đơi nhận xét vị trí hai bóng với đường khe bóng đèn + Mặt đồng hồ treo tường nhận xét vị trí cặp số (1 11), (2 10), (3 9), (4 8) , (5 7) so với “trục” thẳng đứng qua vạch 12 + GV đưa số hình vẽ (dùng bảng phụ trình chiếu) cho HS quan sát nhận xét: - Đặc điểm, mối quan hệ cặp điểm (A; A′ ), (B; B ′ ), (C; C ′ ) so với đường thẳng d (Hình 1) - Rút đặc điểm, mối liên hệ hai hình (H) (H ′ ) so với đường thẳng d (Hình 2) Nhận xét: Các đối tượng xét có đặc điểm “ở hai phía đường thẳng cách đường thẳng đó” Ở “đường thẳng” qua khe cửa; qua khe bóng đèn đơi; qua vạch 12 mặt đồng hồ; đường thẳng d (ở hình 2) Nguyễn Anh Tuấn Phí Thị Thùy Vân Trong thực tế, người ta gọi tượng tính đối xứng qua đường thẳng (trục) Vậy đối xứng hai điểm, hai đường thẳng, hai hình qua đường thẳng? 2.2.2 Bước Khái qt hóa dự đốn nhóm thuộc tính đặc trưng Dựa vào ví dụ nêu bước 1, GV tổ chức HS phân tích, so sánh dự đoán: + Câu hỏi 1: Thế hai điểm đối xứng với qua đường thẳng? - Trong hình 1, điểm A A′ (tương tự B B ′ ; C C ′ ) hai điểm đối xứng với qua đường thẳng d ta thấy đường thẳng nối điểm vng góc với d, khoảng cách chúng đến d - Các em nhận xét đường thẳng d có quan hệ đoạn thẳng AA′ , BB ′ , CC ′ ? - Sau HS phát d đường trung trực đoạn thẳng nối điểm ′ A, A ; em rút đoán: Hai điểm đối xứng với qua đường thẳng d mà đoạn thẳng nối chúng nhận d đường trung trực + Câu hỏi 2: Thế hai đoạn thẳng đối xứng với qua đường thẳng? Tương tự (và mức độ khái quát hơn): - Quan sát hình 1, HS tiến hành tương tự cặp đoạn thẳng (AB, A′ B ′ ); (AC, A′C ′ ); rút đoán: Hai đoạn thẳng đối xứng với qua đường thẳng d cặp điểm đầu (cuối) chúng cặp điểm đối xứng với d - Ở hình 1, cho biết: Có phải AC A′ C ′ đối xứng với qua d, điểm D ∈ AC, có điểm D ′ ∈ A′ C ′ điểm đối xứng với D qua d? Và ngược lại điểm A′ C ′ ? + Câu hỏi 3: Thế hai tam giác đối xứng với qua đường thẳng? Tương tự (và mức độ khái quát cao hơn): - Quan sát hình 1, HS xét hai ∆ABC ∆A′ B ′ C ′ , rút đoán: Hai tam giác đối xứng với qua đường thẳng d cặp đỉnh tương ứng chúng (A A′ , B B ′ , C C ′ ) đối xứng với qua đường thẳng + Câu hỏi 4: Thế hai hình đối xứng với qua đường thẳng? Cho HS quan sát hình 2, HS sử dụng thao tác so sánh xét tương tự, nhiên em khó khăn dự đốn mức độ yêu cầu tổng quát cao Để trợ giúp HS đốn thuộc tính để hai hình đối xứng với qua đường thẳng, đến GV đưa tình sau để HS kiểm nghiệm lại hai điểm, hai đoạn thẳng, hai tam giác đối xứng với qua đường thẳng 2.2.3 Bước Kiểm nghiệm Bằng cách sử dụng phần mềm G.Sketchpad (hoặc G Cabri), GV tổ chức cho HS kiểm nghiệm tính đắn phán đốn em thuộc tính đặc trưng cho khái niệm + Trên sở hình 1, dùng chức “phép đối xứng trục” phần mềm để: - Dựng điểm A, B, C điểm A′ , B ′ , C ′ đối xứng với chúng qua d Qui trình vận dụng khái niệm toán học - Dựng đoạn thẳng AB, BC, CA đoạn thẳng A′ B ′ , B ′ C ′ , C ′A′ đối xứng qua d - Dựng điểm D ∈ AC, điểm đối xứng D ′ đối xứng với qua d + Dùng chức đo khoảng cách góc: - Kiểm tra AI IA′ , tính vng góc d AA′ , để thấy rõ đặc trưng cặp điểm đối xứng qua d Đồng thời tiến hành tương tự điểm D để thấy rõ đặc trưng cặp đoạn thẳng đối xứng - Kiểm tra tương tự điểm A, B, C để thấy rõ đặc trưng hai tam giác đối xứng với qua d + Trên sở hình 2, dùng chức chuyển động điểm: - Cho điểm D chuyển động AC, HS quan sát vị trí chuyển động điểm D ′ ; sau lại cho điểm D ′ chuyển động A′ C ′ em quan sát vị trí điểm D - Tiến hành tương tự điểm M, N, P hình (H), đặc biệt cho điểm M chuyển động khắp hình (H), quan sát điểm M ′ , kiểm tra vài thuộc tính để thấy rõ “khi M chạy khắp hình (H) điểm đối xứng với M ′ chạy khắp hình (H ′ ), ngược lại, cho M ′ chạy (H ′ )” Tức là: điểm thuộc hình đối xứng với điểm tương ứng thuộc hình qua d, ngược lại Từ đó, HS chỉnh sửa cách hiểu chưa xác để đến dự đốn hai hình đối xứng với qua đường thẳng d điểm thuộc hình đối xứng với điểm tương ứng thuộc hình qua d, ngược lại 2.2.4 Bước Định nghĩa khái niệm “Hai hình đối xứng qua đường thẳng” - GV yêu cầu HS sử dụng ngôn ngữ để làm rõ “Thế hai hình đối xứng với qua đường thẳng d?” - GV tổ chức cho HS tham gia phát biểu theo cách diễn đạt mình, đối chiếu với sách giáo khoa để xác hóa định nghĩa: “Hai hình gọi đối xứng với qua đường thẳng d điểm thuộc hình đối xứng với điểm thuộc hình qua đường thẳng d ngược lại”; đường thẳng d gọi trục đối xứng hai hình 2.2.5 Bước Vận dụng khái niệm Nhận dạng thể khái niệm trực tiếp + GV cho HS kiểm nghiệm lại với đối tượng xét bước 1: - Hai cánh cửa lớp học, hai cánh cửa tủ, so với đường khe cửa - Hai bóng tuýp so với đường khe hai bóng + Yêu cầu HS tự đưa (thể hiện) cặp hình đối xứng (hoặc khơng đối xứng) với qua đường thẳng Chẳng hạn: - Trên mặt đồng hồ, ta kẻ đường thẳng d qua vạch giờ, tìm cặp số đối xứng với qua d? + Tìm thực tế hình ảnh hai hình đối xứng với qua trục: - Hai mọc đối xứng với qua cành Nguyễn Anh Tuấn Phí Thị Thùy Vân - Tìm cặp hình đối xứng trục đối xứng mặt sàn lát gạch hoa, Bài toán 1: Giải tập 35 (Sách giáo khoa Tốn 8, tập 1) Trong hình vẽ sau, vẽ hình đối xứng với hình cho qua trục d hợp Vận dụng khái niệm chứng minh tính chất, giải tốn Thực chất là: Tổ chức HS nhận dạng thể tình vận dụng tổng Bài toán 2: Bài 60 (Sách tập Tốn 8) Cho tam giác ABC có A = 700 , điểm M thuộc cạnh BC Vẽ điểm D đối xứng với M qua AB, vẽ điếm E đối xứng với M qua AC a) Chứng minh rằng: AD = AE b) Tính số đo góc DAE Bài toán 3: Bài 65 (Sách tập Toán 8) Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA (hình cánh diều) Chứng minh điểm A đối xứng với điểm C qua đường thẳng BD Từ ví dụ trên, GV hướng dẫn HS rút số tính chất chứng minh dạng tập: Bài tốn 4: (Tính chất 1) Nếu điểm A A′ , B B ′ đối xứng với qua đường thẳng d hai đoạn thẳng AB A′ B ′ Từ suy hai tam giác (góc) đối xứng với qua đường thẳng chúng Bài tốn 5: (Tính chất 2) Nếu điểm A A′ , B B ′ , C C ′ đối xứng với qua đường thẳng d C nằm A B C ′ nằm A′ B ′ Từ suy ra: a) Nếu hai đoạn thẳng AB A′ B ′ có A đối xứng với A′ , B đối xứng với B ′ qua đường thẳng d hai đoạn thẳng AB A′ B ′ đối xứng với qua đường thẳng d b) Nếu hai tam giác ABC A′ B ′ C ′ có A đối xứng với A′ , B đối xứng với B ′ C đối xứng với C ′ qua đường thẳng d ∆ABC ∆A′ B ′ C ′ đối xứng với qua đường thẳng d Vận dụng linh hoạt, sáng tạo giải tốn khó, tốn có nội dung thực tiễn Bài toán 6: a) Cho hai điểm A, B thuộc nửa mặt phẳng có bờ đường Qui trình vận dụng khái niệm tốn học thẳng d, AB khơng vng góc với d (hình 6) Gọi A′ điểm đối xứng với A qua xy, C giao điểm A′ B xy Gọi M điểm khác C thuộc xy Chứng minh rằng: AC + CB < AM + MB b) Bạn Tú vị trí A, cần đến bờ sông d lấy nước đến B Con đường ngắn Tú nên đường nào? c) Hai địa điểm dân cư A B phía sơng (hình 7) Cần đặt cầu vị trí để tổng khoảng cách từ cầu đến A B nhỏ d) Hai công trường A B phía đường thẳng Cần đặt trạm biến vị trí đường để tổng độ dài đường dây từ trạm biến đến A đến B nhỏ Gợi ý: GV hướng dẫn HS vẽ hình vận dụng linh hoạt khái niệm đối xứng trục Bài toán 7: Cho góc nhọn xOy điểm A cố định nằm góc Hãy tìm điểm B, C cạnh Ox, Oy cho chu vi tam giác ABC nhỏ Bài toán 8: Chứng minh rằng: Trong tất tam giác có diện tích có chung cạnh, tam giác cân có chu vi nhỏ 2.2.6 Bước Mở rộng khái niệm hệ thống hoá khái niệm GV hướng dẫn HS mở rộng số khái niệm: hai điểm đối xứng qua đường thẳng d mở rộng thành hai đoạn thẳng đối xứng qua d; tiếp tục mở rộng thành hai đường thẳng đối xứng qua d; hai tam giác đối xứng qua d; hai tứ giác (hai đa giác) đối xứng qua d; tiếp tục mở rộng thành hai hình (bất kì) đối xứng qua d GV giới thiệu cho HS thấy: + Hai hình đối xứng qua trục kết phép đối xứng trục Đây “phép biến hình” (một khái niệm học THPT) Ngồi phép đối xứng trục, em học số phép biến hình lí thú khác mơn Tốn Chẳng hạn, người ta thay đường thẳng d điểm O, ta có phép biến hình gần gũi với đối xứng trục, phép đối xứng tâm + GV hướng dẫn học sinh vẽ sơ đồ hệ thống khái niệm: Vận dụng lí thuyết kiến tạo, chúng tơi xây dựng quy trình dạy học khái niệm tốn Nguyễn Anh Tuấn Phí Thị Thùy Vân học cho học sinh giỏi THCS vận dụng vào dạy học số khái niệm hình học cụ thể THCS Các kết thu bước đầu cho thấy quy trình phát huy tác dụng hiệu tốt với đối tượng học sinh giỏi, em hứng thú học tập, nắm vững khái niệm vận dụng cách sáng tạo giải tốn hình học TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Bá Kim, 2009 Phương pháp dạy học mơn Tốn Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội [2] Tôn Thân tác giả, 2006 Sách giáo khoa Toán 8, tập Nxb Giáo dục, Hà Nội [3] Tơn Thân tác giả, 2008 Bài tập Tốn 8, tập Nxb Giáo dục, Hà Nội [4] Tôn Thân tác giả, 2004 Sách giáo viên Toán 8, tập Nxb Giáo dục, Hà Nội [5] www.thirteen.org, “Constructivism is basically a theory - based on observation and scientific study - about how people learn” ABSTRACT Applying constructivism theory to teach math concepts in secondary school The authors set and solve a problem applying constructivism theory to teach math concepts in secondary school (also including geometry concepts), providing an innovative method of teaching math with active learning orientation, the result being improved math teaching to students 10 ... Tri thức vận dụng, xây dựng qui trình dạy học khái niệm tốn học theo quan điểm kiến tạo cho HS giỏi sau: Bước Giáo viên (GV) tiến hành gợi động để học sinh tiếp cận khái niệm GV sử dụng cách... học khái niệm tốn Nguyễn Anh Tuấn Phí Thị Thùy Vân học cho học sinh giỏi THCS vận dụng vào dạy học số khái niệm hình học cụ thể THCS Các kết thu bước đầu cho thấy quy trình phát huy tác dụng. .. đặc trưng cho khái niệm + Trên sở hình 1, dùng chức “phép đối xứng trục” phần mềm để: - Dựng điểm A, B, C điểm A′ , B ′ , C ′ đối xứng với chúng qua d Qui trình vận dụng khái niệm toán học - Dựng