Vai trò của thực nghiệm toán học trong các phần mềm hình học động

Bài viết này sẽ nêu ra những vai trò của phần mềm hình học động trong việc tạo ra các thực nghiệm toán học có ý nghĩa. Những biểu diễn hình học động thật sự giúp học sinh thực nghiệm các ý tưởng toán học, từ đó khám phá tri thức mới. Mời các bạn cùng tham khảo.

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Vol 56, No 5, pp 101-108 VAI TRỊ CỦA THỰC NGHIỆM TỐN HỌC TRONG CÁC PHẦN MỀM HÌNH HỌC ĐỘNG Nguyễn Đăng Minh Phúc Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế E-mail: phucsp@gmail.com Tóm tắt Máy tính dần thay đổi cách số thực nghiệm toán học Các phần mềm hình học động tạo nên mơi trường hỗ trợ tương tác giúp học sinh thấu hiểu nội dung toán học Bài viết nêu vai trị phần mềm hình học động việc tạo thực nghiệm tốn học có ý nghĩa Những biểu diễn hình học động thật giúp học sinh thực nghiệm ý tưởng tốn học, từ khám phá tri thức Mở đầu Ngày với cơng nghệ khoa học máy tính phát triển, việc vận dụng sản phẩm công nghệ phần mềm dạy học hướng dạy học nói chung mơn Tốn nói riêng Trong nghiên cứu tốn học thực nghiệm coi hoạt động thao tác thực điều kiện xác định để phát hiện, xác minh minh họa lí thuyết, giả thuyết kiện Theo Borba Villarreal [1], thực nghiệm nhằm để phát kết chưa biết trước, để kiểm chứng thật giả thuyết, để chấp nhận bác bỏ để tạo nên ví dụ minh họa cho kết Trong khuôn khổ báo này, tác giả đề cập đến vai trị thực nghiệm tốn học phần mềm hình học động, đặc biệt phần mềm The Geometer’s Sketchpad" 2.1 Nội dung nghiên cứu Thực nghiệm Toán học Thực nghiệm trước hết kiểm tra thực phép thử Thật khó chấp nhận kết toán “được chứng minh Mathematica” “được thiết lập Maple” Tuy nhiên, nhiều nhà tốn học sử dụng phần mềm công cụ cần thiết công việc nghiên cứu hàng ngày Theo Borwein & Bailey [2], sử dụng cơng nghệ tính tốn nghiên cứu tốn học tiếp cận 101 Nguyễn Đăng Minh Phúc mới, gọi tốn học thực nghiệm Máy tính cung cấp cho nhà tốn học “phịng thí nghiệm”, họ tiến hành thực nghiệm: phân tích ví dụ, kiểm tra ý tưởng tìm kiếm qui luật Khơng giống phần mềm Mathematica Maple, nơi mà đối tượng toán học chủ yếu điều khiển gián tiếp thông qua dịng lệnh mang tính cú pháp, phần mềm hình học động cho phép thực tương tác trực tiếp lên đối tượng: kéo rê đối tượng, thay đổi đối tượng, tạo biểu diễn khác trang hình [6] Những tương tác địi hỏi kĩ điều khiển cơng nghệ Thay vào đó, học sinh tập trung vào nội dung toán học biểu diễn, khám phá chúng, làm việc với chúng 2.2 Vai trò thực nghiệm tốn học phần mềm hình học động Các phần mềm hình học động hỗ trợ tốt việc thể biểu diễn bội [6] Chúng thể trình trung gian chuyển động biến đổi Mặc khác, cấu trúc toán học xác định trước đối tượng bảo tồn Một cách xác, thực nghiệm tốn phổ thơng phương pháp luận việc làm tốn mà bao gồm việc sử dụng thao tác điện tử phần mềm hình học động a Biểu diễn trực quan Ý nghĩa biểu diễn kí hiệu trừu tượng cần thể dạng khác biểu diễn trực quan Việc hiểu khái niệm toán tốt học sinh “thấy” khái niệm thơng qua nhiều bối cảnh biểu khác b Phát kiện, qui luật mối quan hệ Phần mềm hình học động giữ nguyên mối quan hệ chất đối tượng tiến hành tương tác lên đối tượng Những tương tác hỗ trợ cho học sinh hội phát kiện, qui luật mối quan hệ c Đồ thị hóa để thể kiện, cấu trúc qui tắc Các kiện đồ thị hóa giúp học sinh dễ dàng việc phát cấu trúc, qui luật chúng Không thế, đồ thị dựng phần mềm hình học động cịn có tính cập nhật tức thời: học sinh thay đổi kiện, hình dáng đồ thị thay đổi theo tương ứng Với mơ hình vật thể khơng gian chiều, phần mềm cho phép học sinh quan sát nhiều góc độ khác nhau, chí cho phép tương tác trực tiếp lên mơ hình d Kiểm tra tính chặt chẽ, khẳng định bác bỏ giả thuyết Từ kết đúng, học sinh thay giảm bớt điều kiện đầu để hình thành 102 Vai trị thực nghiệm tốn học phần mềm hình học động giả thuyết Phần mềm hình học động hỗ trợ học sinh tiến hành thực nghiệm để tăng độ tin cậy giả thuyết bác bỏ qua trường hợp riêng e Đề xuất tiếp cận cho chứng minh suy diễn Trong trình tìm kiếm chứng minh suy diễn, học sinh tiến hành thực nghiệm máy tính trước làm việc với biểu diễn kí hiệu Những thực nghiệm đề xuất đường khác để đến chứng minh logic f Giảm tính tốn rườm rà tay Phần mềm động hỗ trợ công cụ tính tốn để giảm bớt bước tính rườm rà, phức tạp phải thực tay Tất nhiên giá trị cuối phép tính thay đổi tương ứng giá trị tạo thay đổi g Kiểm chứng kết Phần mềm động hỗ trợ thực nghiệm để kiểm chứng kết Đó bước chứng minh hình thức, ví dụ trường hợp riêng Những hoạt động trên, hầu hết phần, giống với vai trò thực nghiệm ngành khoa học khác vật lí hóa học Một lợi ích đáng giá tiếp cận thực nghiệm dựa máy tính tốn học đại loại bỏ giả thuyết sai Một ví dụ tính tốn đơn giản tiết kiệm hàng nỗ lực người để chứng minh sai [3] 2.3 Một số mơ hình giúp học sinh thực nghiệm tốn học máy tính u cầu mơ hình hỗ trợ tốt cho việc tiến hành thực nghiệm toán: - Các tham số, điều kiện đầu thay đổi - Các đối tượng mơ hình có mối quan hệ tốn học chặt chẽ với - Thể trình trung gian chuyển động biến đổi - Kết thực nghiệm xuất sau tiến hành thực nghiệm - Kết thực nghiệm quan sát phân tích dễ dàng Theo [4], Villiers đưa số mơ hình thực nghiệm giúp kiểm chứng giả thuyết, bác bỏ giả thuyết sai (mục d) việc hiểu kí hiệu, khái niệm chứng minh (mục a) Các mơ hình sau thiết kế phần mềm The Geometer’s Sketchpad (GSP5) chủ đề giải tích THPT 2.3.1 Mơ hình điểm cố định đồ thị hàm số chứa tham số Trên GSP5 cho hàm số chứa tham số f (x) = mx2 + (n − 3m)x + 2m − n + Khảo sát tính chất chung hàm số khi: 103 Nguyễn Đăng Minh Phúc m thay đổi n thay đổi m n thay đổi Trong mơ hình này, học sinh tiến hành hoạt động thực nghiệm: Thay đổi tham số m, n riêng biệt lúc tới giá trị khác nhau; tạo xóa vết đồ thị; khảo sát hình dáng đồ thị; thực phép tính tốn; dựng đối tượng Hình m thay đổi, n = Hình n thay đổi, m = Mơ hình minh họa tốt cho vai trị mục b, c e 2.3.2 Mơ hình đồ thị hàm số đạo hàm Trên GSP5, sử dụng công cụ đánh dấu (Marker Tool) để phác thảo đường cong có dạng hàm số khả vi khoảng K Áp dụng Number\Define Function from Drawing để định nghĩa đường cong biểu diễn đồ thị hàm số f (x) Lấy điểm xM K đo hồnh độ nó, tính giá trị hàm số f xM f (xM ) vẽ điểm M(xM ; f (xM )) Ta biết với điểm N khác đồ thị cát tuyến MN trở thành tiếp tuyến điểm M N tiến dần đến M Do ta dựng MN xN chênh lệch xM dx Giá trị dx có từ việc dựng trượt tham số (xem Hình 3) Chọn MN, áp dụng Measure\Slope để đo độ dốc MN (hệ số góc đường thẳng MN) Có xM giá trị độ dốc, ta dựng điểm M ′ có hồnh độ xM tung độ giá trị độ dốc vừa tính M ′ xấp xỉ điểm nằm đồ thị hàm số f ′ (x) có hoành độ xM Xấp xỉ tốt dx dần Chọn điểm xM M ′ , áp dụng Construct\Locus Đường cong quỹ tích vừa xuất xấp xỉ đồ thị hàm số f ′ (x) Tương tự trên, dx dần 0, ta có xấp xỉ tốt đồ thị f ′ (x) Việc thực nghiệm mơ hình giúp học sinh hiểu mối quan hệ hàm số với đạo hàm, ý nghĩa đạo hàm, biến thiên hàm số, cực trị Nếu thay đồ thị hàm f biểu diễn thực tế, hình dáng đồi núi chẳng hạn, mơ hình mang nhiều ý nghĩa ứng dụng Tất nhiên, thay f hàm số 104 Vai trị thực nghiệm tốn học phần mềm hình học động cho biểu thức theo biến x Mơ hình minh họa tốt cho vai trò a, b, c g Hình Dựng xấp xỉ đồ thị hàm số đạo hàm 2.3.3 Mơ hình đồ thị hàm số ngun hàm Mơ hình đưa tốn ngược với mơ hình mục 2.3.2 Chúng ta có đồ thị hàm số f ′ (x) cần tìm đồ thị hàm số f (x) Tương tự mơ hình 2.3.2., sử dụng công cụ đánh dấu (Marker Tool) để phác thảo đường cong có dạng hàm số liên tục khoảng K Áp dụng Number\Define Function from Drawing để định nghĩa đường cong biểu diễn đồ thị hàm số f ′ (x) Lấy điểm M nằm mặt phẳng cho xM thuộc K Tiến hành đo tung độ M Giá trị f ′ (xM ) lúc hệ số góc tiếp tuyến điểm M Tiếp tuyến đồ thị f (x) điểm M mà ta tìm cách dựng xấp xỉ Tiếp tuyến dựng có hệ số góc điểm qua Áp dụng Number\New Function để tạo hàm số g(x) = f ′ (xM )(x − xM ) + yM Ta biết với điểm N khác M tiếp tuyến có phương trình g(x) đoạn thẳng MN xấp xỉ tốt cho phần đồ thị f (x) qua điểm M N đủ gần với M Do ta dựng đoạn thẳng MN xN chênh lệch xM dx dương nhỏ tùy ý Giá trị dx có từ việc dựng trượt tham số (xem Hình 4) Tọa độ N (xM + dx; g(xM + dx)) Để phác thảo đồ thị f (x), ta tạo vết cho đoạn thẳng MN Chọn đoạn thẳng MN áp dụng Display\Trace Segment Thay di chuyển điểm M tay theo hướng điểm N, phần mềm cho phép tạo chuyển động: chọn M N, áp dụng 105 Nguyễn Đăng Minh Phúc Edit\Action Button\Movement để tạo nút hoạt động di chuyển điểm M đến N Tất nhiên M chuyển động N chuyển động theo, cách dựng điểm N Khi đó, vết đoạn thẳng MN cho ta xấp xỉ đồ thị hàm số f (x) Xấp xỉ tốt dx dần giá trị Hình Dựng xấp xỉ đồ thị hàm số nguyên hàm Nếu thay đổi vị trí ban đầu M tạo chuyển động, ta họ đồ thị hàm số xấp xỉ f (x) với đạo hàm f ′ (x) có đồ thị dựng ban đầu Hoạt động thực nghiệm mơ hình giúp tìm kiếm đồ thị hàm số f (x) biết đồ thị hàm số đạo hàm Việc tìm kiếm nói theo cách đại minh họa tập nghiệm phương trình vi phân Nếu áp dụng Graph\Snap Point di chuyển điểm M, vết đoạn thẳng MN cho ta biểu diễn trực quan trường độ dốc minh họa xấp xỉ cho hàm số có đạo hàm f ′ (x) Học sinh tiến hành thực nghiệm mơ hình thơng qua thao tác động để phát mối quan hệ hàm số nguyên hàm nó, tìm ngun hàm thỏa mãn điều kiện đầu cho trước, thực tính tốn Có thể thay hàm số f ′ (x) ban đầu hàm số biểu diễn qua biểu thức theo biến x mà ta tính ngun hàm thơng qua biến đổi biểu diễn kí hiệu Phần mềm cho phép dựng trực tiếp đồ thị hàm số ngun hàm (vì biết cơng thức) để kiểm chứng cách dựng xấp xỉ vừa Mơ hình minh họa tốt cho vai trị a, b, g mục trước 106 Vai trò thực nghiệm tốn học phần mềm hình học động 2.4 Thảo luận Thực nghiệm toán học nên hiểu theo nghĩa rộng hơn, thực với máy tính, giấy bút, với kĩ thuật thực nghiệm khác việc xây dựng mơ hình vật lí Thật vậy, thực nghiệm tốn khơng sử dụng máy tính nhiều nhà toán học tiến hành lịch sử phát triển toán học Như thế, toán học diễn tả giới khách quan giống vật lí, chẳng có lí phương pháp qui nạp lại khơng áp dụng tốn có vật lí [1, 3] Khi dạy tốn học có hỗ trợ phần mềm động cho thực nghiệm, người giáo viên có hội nắm bắt hiểu biết toán riêng học sinh Giáo viên quan sát thao tác, biểu học sinh, đưa tư vấn phù hợp để giúp em giải vấn đề phát triển tư Để tiến hành thực nghiệm mà không gặp phải rắc rối mặt điều khiển công nghệ, học sinh cần thành thạo thao tác động lên mơ hình [5] Các phần mềm động, từ đó, nên đưa vào dạy học toán bậc học phận cốt yếu Các thực nghiệm toán học hỗ trợ tốt cho việc phát triển suy luận ngoại suy thơng qua thao tác mơ hình [7] Những suy luận giúp tạo nên chứng đáng tin cậy, đưa giải thích có lí cho tượng kiện quan sát để hình thành nên giả thuyết Kết luận Toán học, dựa hệ tiên đề chặt chẽ, khoa học suy diễn hệ thống Nhưng xét khía cạnh phát khám phá, toán học khoa học sử dụng nhiều phép ngoại suy, qui nạp thực nghiệm Sự phát triển phần mềm hình học động cho phép người giáo viên thay đổi hoạt động dạy học: học sinh hình thành tri thức từ thực nghiệm, khảo sát, khám phá cách chủ động mô hình tốn Cơng nghệ có vai trị to lớn liên quan đến việc sử dụng thực nghiệm toán học giáo dục toán học Thực nghiệm tốn học phổ thơng phận đáng quan tâm giáo dục toán liên quan đến thực nghiệm phần mềm toán học chuyên dụng Với tối ưu cho tương tác phần mềm hình học động, học sinh nên khuyến khích tiến hành thực nghiệm mơ hình toán nhằm đạt đến hiểu biết toán sâu sắc Lời cảm ơn: Bài báo tài trợ phần Quỹ Phát triển Khoa học Công nghệ Quốc gia Việt Nam - NAFOSTED với đề tài mã số: VI2.2-2010.11 107 Nguyễn Đăng Minh Phúc TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Marcelo C Borba & Monica E Villarreal, 2005 Humans-with-Media and the Reorganization of Mathematical Thinking Springer, USA [2] Jonathan Borwein, David Bailey, 2004 Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century A K Peters, Natick, Massachusetts [3] David Bailey, 2006 Experimental Mathematics in Action A K Peters, Natick, Massachusetts [4] Michael de Villiers, 2009 Experimentation and Proof in Mathematics In Gila Hanna et al (ed.), Explanation and Proof in Mathematics Springer, USA [5] Nguyễn Đăng Minh Phúc, 2010 Những phản hồi có ý nghĩa học sinh mơi trường học tập tốn điện tử Tạp chí Giáo dục, Bộ Giáo dục Đào tạo, số 239 (kì 1), tr 42-44 [6] Nguyễn Đăng Minh Phúc, 2010 Thiết kế thiết bị dạy học sử dụng biểu diễn bội hỗ trợ học sinh khám phá kiến thức đạo hàm Tạp chí Thiết bị giáo dục, Bộ Giáo dục Đào tạo, số 59, tr 21-22 & 41 [7] Nguyễn Đăng Minh Phúc, 2010 Phát triển suy luận ngoại suy thơng qua mơ hình thao tác động điện tử Tạp chí Khoa học, Đại học Vinh, tập 39, 2A ABSTRACT The role of Mathematical Experiments in dynamic geometry software Computers are gradually changing the nature of the mathematics experience Dynamic geometry software creates environments supporting interactions to help students understand the mathematics contents learned This article will point out the role of dynamic geometry software in the creation of meaningful mathematical experiments Dynamic geometry representations actually help students experimenting with mathematics ideas, so as to explore new knowledge 108 ... có vai trị to lớn liên quan đến việc sử dụng thực nghiệm toán học giáo dục toán học Thực nghiệm toán học phổ thơng phận đáng quan tâm giáo dục toán liên quan đến thực nghiệm phần mềm toán học. .. nạp thực nghiệm Sự phát triển phần mềm hình học động cho phép người giáo viên thay đổi hoạt động dạy học: học sinh hình thành tri thức từ thực nghiệm, khảo sát, khám phá cách chủ động mơ hình tốn... hàm số 104 Vai trò thực nghiệm tốn học phần mềm hình học động cho biểu thức theo biến x Mơ hình minh họa tốt cho vai trị a, b, c g Hình Dựng xấp xỉ đồ thị hàm số đạo hàm 2.3.3 Mơ hình đồ thị