Bài giảng Sức bền vật liệu – Chương 11: Ổn định của thanh thẳng chịu nén đúng tâm tìm hiểu các kiến thức về khái niệm về sự ổn định của trạng thái cân bằng; khảo sát ổn định trong miền đàn hồi; ứng suất tạm thời; giới hạn áp dụng công thức Euler; ổn định ngoài miền đàn hồi; phương pháp thực hành tính ổn định thanh chịu nén...
GV: Lê đức Thanh Chương 11 ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM 11.1 KHÁI NIỆM VỀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA TRẠNG THÁI CÂN BẰNG Để đáp ứng yêu cầu chịu lực bình thường, phải thỏa mãn điều kiện bền cứng, trình bày chương trước Tuy nhiên, nhiều trường hợp, phải thỏa mãn thêm điều kiện ổn định Đó khả trì hình thức biến dạng ban đầu bị nhiễu Trong thực tế, nhiễu yếu tố sai lệch so với sơ đồ tính độ cong ban đầu, nghiêng lệch tâm lực tác dụng Khái niệm ổn định minh họa cách xét cân cầu mặt lõm, lồi phẳng H.11.1 H.11.1 Sự cân vị trí cầu Nếu cho cầu chuyển dịch nhỏ (gọi nhiễu) từ vị trí ban đầu sang vị trí lân cận bỏ nhiễu thì: - Trên mặt lõm, cầu quay vị trí ban đầu: cân vị trí ban đầu ổn định - Trên mặt lồi, cầu chuyển động xa vị trí ban đầu: cân vị trí ban đầu không ổn định - Trên mặt phẳng, cầu giữ nguyên vị trí mới: cân vị trí ban đầu phiếm định Hiện tượng tương tự xảy cân trạng thái biến dạng hệ đàn hồi Chẳng hạn với chịu nén H.11.2 Trong điều kiện lý tưởng (thanh thẳng tuyệt đối, lực P hoàn toàn tâm ) giữ hình dạng thẳng, co ngắn chịu nén tâm Nếu cho điểm đặt lực P chuyển vị bé δ lực ngang gây ra, sau bỏ lực xảy trường hợp biến dạng sau: Chương 11: n định thẳng chịu nén tâhttp://www.ebook.edu.vn m GV: Lê đức Thanh + Nếu lực P nhỏ giá trị Pth đó, gọi lực tới hạn, tức P < Pth, phục hồi lại trạng thái biến dạng thẳng Ta nói làm việc trạng thái ổn định + Nếu P > Pth chuyển vị δ tăng bị cong thêm Sự cân trạng P< Pth P= Pth δ P> Pth thái thẳng (δ = 0) không ổn định Ta nói trạng c) b) thái ổn định Trong thực a) TT mấ t n định TT tới hạ n tế có chuyển vị δ TT n định chuyển sang hình thức biến H 11.2 Sự cân TT biế n dạng dạng bị uốn cong, khác trước tính chất, bất lợi điều kiện chịu lực + Ứng với P = Pth giữ nguyên chuyển vị δ trạng thái biến dạng cong Sự cân trạng thái thẳng phiếm định Ta nói trạng thái tới hạn H.11.3 giới thiệu thêm vài kết cấu bị ổn định dầm chịu uốn, vành tròn chịu nén đều… Khi xảy ổn định dù dẫn tới sụp đổ toàn kết cấu Tính chất phá hoại ổn định đột ngột P > Pth nguy hiểm Trong lịch sử ngành xây dựng xảy thảm họa sập cầu ổn định q > qth H 11.3 Các dạng ổn định dàn chịu nén cầu Mekhelstein Thụy Só (1891), cầu Lavrentia Mỹ (1907) Vì thiết kế cần phải đảm bảo điều kiện ổn định, điều kiện bền điều kiện cứng nêu trước Điều kiện ổn định: P ≤ [P ]ôđ = Pth kôđ Hay : N z ≤ [P ]ôđ = Pth kôđ (11.1) (11.2) kôđ : Hệ số an toàn mặt ổn định, quy định, thường lớn hệ số an toàn độ bền n P ( hay Nz ) : Lực nén ( nội lực nén ) Chương 11: n định thẳng chịu nén tâhttp://www.ebook.edu.vn m GV: Lê đức Thanh 11.2 KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH TRONG MIỀN ĐÀN HỒI 1- Tính lực tới hạn Pth có kết khớp hai đầu ( Bài toán Euler) Xét thẳng liên kết khớp hai đầu, Pth chịu nén lực tới hạn Pth Khi bị nhiễu, bị uốn cong y Pth cân hình dạng H.11.4a Đặt hệ trục toạ độ (x,y,z) H.11.4a l y(z) y Xét mặt cắt có hoành độ z ; Pth Độ võng mặt cắt nầy y Ta có phương trình vi phân đường đàn hồi: y '' = − M EJ (b) vaøo (a) ⇒ y '' = − Đặt: α = Pth ⇒ EJ z (a) Với: mômen uốn M = Pth y Pth y EJ M b) H 11.4 (b) (từ điều kiện cân H.11.4b) hay y '' + Pth y=0 EJ (c) y '' + α y = Nghiệm tổng quát (c) là: y = A sin(α z ) + B cos(α z ) (d) Các số xác định từ điều kiện biên y(0) = y(L) = Với: y(0) = ⇒ B=0 A sin(α L) = y(L) = ⇒ để toán có nghóa y( z) ≠ ⇒ A ≠ , ⇒ sin(α L) = phương trình có nghiệm α L = nπ , với n = 1, 2, 3, ⇒ Pth = n 2π EJ L2 (e) Thực tế, lực nén đạt đến giá trị tới hạn nhỏ theo (e) ứng với n = bị cong Vì vậy, giá trị ứng với n > ý nghóa Ngoài ra, cong mặt phẳng có độ cứng uốn nhỏ Do đó, công thức tính lực tới hạn thẳng hai đầu liên kết khớp là: Pth = π EJ L2 (11.3) Đường đàn hồi tương ứng có dạng nửa sóng hình sine: y = A sin( πz L ) (11.4) với: A số bé, thể độ võng nhịp Chương 11: n định thẳng chịu nén tâhttp://www.ebook.edu.vn m GV: Lê đức Thanh 2- Tính Pth có liên kết khác đàu Áp dụng phương pháp cho có liên kết khác hai đầu, ta công thức tính lực tới hạn có dạng chung: Pth = m 2π EJ L2 (11.5) với: m - số nửa sóng hình sine đường đàn hồi ổn định Đặt μ = , gọi hệ số quy đổi, (11.5) thành m π EJ Pth = ( μL) (11.6) (11.6) gọi chung công thức Euler Dạng ổn định hệ số μ có liên kết hai đầu khác thể H.11.5 m=1/2 μ= m= μ= m= 1,43 μ= 0,7 m= μ= 1/2 m= μ= m=1/2 μ= H 11.5 Dạng ổn định hệ số μ 3- Ứng suất tới hạn Ứng suất thẳng chịu nén tâm lực Pth gọi ứng suất tới hạn xác định theo công thức: σ th = Pth π EJ π Eimin π 2E = = = 2 F ( μ L) F ( μ L) ⎛ μ L ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ imin ⎠ (11.7) J laø bán kính quán tính nhỏ tiết diện F μL : độ mảnh (11.8) Đặt λ = imin vớiù: imin = (11.7) thành: σ th = π2 E λ2 (11.9) Độ mảnh λ thứ nguyên, phụ thuộc vào chiều dài thanh, điều kiện liên kết đăïc trưng hình học tiết diện; có độ mảnh lớn dễ ổn định Chương 11: n định thẳng chịu nén tâhttp://www.ebook.edu.vn m GV: Lê đức Thanh 4- Giới hạn áp dụng công thức Euler Công thức Euler xây dựng sở phương trình vi phân đường đàn hồi, áp dụng vật liệu làm việc giai đoạn đàn hồi, tức ứng suất nhỏ giới hạn tỷ lệ: σ th = hay: λ ≥ Nếu đặt: π2 E ≤ σ tl λ2 π2 E σ tl λo = (f) π2 E σ tl (11.10) điều kiện áp dụng công thức Euler là: λ ≥ λo (11.11) đó: λo - gọi độ mảnh giới hạn số loại vật liệu Thí dụ: Thép xây dựng thông thường λo = 100, goã λo = 75; gang λo = 80 Nếu λ ≥ λo gọi độ mảnh lớn Như vậy, công thức Euler áp dụng cho có độ mảnh lớn Chương 11: n định thẳng chịu nén tâhttp://www.ebook.edu.vn m GV: Lê đức Thanh 11.3 ỔN ĐỊNH NGOÀI MIỀN ĐÀN HỒI 1- Ý nghóa Công thức Euler áp dụng vật liệu đàn hồi Đồ thị phương trình (11.6) hyperbola H.11.6, σ th ≤ σ tl Khi σ th f σ tl ⇔ vật liệu làm việc miền στh σ0 στl Iasinski Hyperbola Euler λ1 λ0 λ H 11.6 Ứng suất tới hạn đàn hồi, cần thiết phải có công thức khác để tính Pth 2- Công thức thực nghiệm Iasinski Công thức Iasinski đề xuất dựa nhiều số liệu thực nghiệm, phụ thuộc vào độ mảnh - Thanh có độ mảnh vừa λ1 ≤ λ p λo : (11.12) σ th = a − λb với: a b số phụ thuộc vật liệu, xác định thực nghiệm: • Thép xây dựng: a = 33,6 kN/cm2; b = 0,147 kN/cm2 • Gỗ: a = 2,93 kN/cm2; b = 0,0194 kN/cm2 độ mảnh λ1 xác định từ công thức: λ1 = a − σ tl b thực nghiệm cho thấy phạm vi giá trị (11.13) λ1 = 30 ÷ 40 - Thanh có độ mảnh bé λ p λ1 : Khi không ổn định mà đạt đến trạng thái phá hoại vật liệu Vì vậy, ta coi: σ th = σ = σ b vật liệu dòn σ th = σ = σ ch vật liệu dẻo (11.14) Lực tới hạn : Pth = σ th F (11.15) Chương 11: n định thẳng chịu nén tâhttp://www.ebook.edu.vn m GV: Lê đức Thanh Thí dụ 11.1 Tính Pthï σth cột làm thép số có mặt cắt ngang hình chữ Ι số 22 Cột có liên kết khớp hai đầu Xét hai trường hợp: a Chiều cao cột 3,0 m b Chiều cao cột 2,25 m Biết: E = 2,1.104 kN/cm2;σtl = 21 kN/cm2 ; λo = 100 Các số công thức Iasinski : a= 33,6 kN/cm2, b=0,147 kN/cm2 Giải Tra bảng thép định hình (phụ lục ) ta có số liệu thép Ι No22: imin = i y = 2,27 cm; F = 30,6 cm ; theo liên kết ta có μ = + Trường hợp a) Độ mảnh : λ= μl imin = 1.300 = 132 > λo = 100 2,27 Thanh có độ mảnh lớn, áp dụng công thức Euler σ th = π E π 2,1.104 = = 11,88 kN / cm 2 λ 132 Pth = σ th F = 11,88.30,6 = 363,62 kN ⇒ + Trường hợp b) Độ maûnh : λ= μl imin = λ1 = 1.225 = 99,11 < λ0 2,27 a − σ tl 33,6 − 21 = = 85,7 b 0,147 → λ1 < λ < λ Thanh có độ mảnh vừa, dùng công thức Iasinski: σ th = a − bλ = 33,6 − 0,147.90 = 20,37 kN / cm Pth = σ th F = 20,37.30,6 = 623,32 kN Chuù ý: - Nếu liên kết hai mặt phẳng quán tính giống công thức có dụng Jmin imin - Nếu liên kết hai mặt phẳng quán tính khác ổn định cong mặt phẳng có độ mảnh lớn đại lượng J , i lấy mặt phẳng Chương 11: n định thẳng chịu nén tâhttp://www.ebook.edu.vn m GV: Lê đức Thanh 11.4 PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN 1- Phương pháp tính: Thanh chịu nén cần phải thỏa : ♦ Điều kiện bền: σ = P σ ≤ [σ ]n ; với: [σ]n = o n Fth (11.16) đó: n - hệ số an toàn độ bền Fth - diện tích tiết diện giảm yếu (bị khoét lỗ); không khoét lỗ Fth = F tiết diện nguyên ♦ Điều kiện ổn định: σ = P σ ≤ [σ ]ôđ ; với: [σ ]ôđ = th kôđ F (11.17) đó: kôđ ( hay k)- hệ số an toàn ổn định Vì giảm yếu cục số tiết diện có ảnh hưởng không đáng kể đến ổn định chung Do tính chất nguy hiểm tượng ổn định xét đến yếu tố không tránh độ cong ban đầu, độ lệch tâm lực nén … nên chọn kôđ > n, k thay đổi phụ thuộc vào độ mảnh Thép xây dựng có kôđ = 1,8 ÷ 3,5 minh họa H.11.7; gang kôđ = ÷ 5,5; gỗ kôđ = 2,8 ÷ 3,2 σ,kG/cm2 Để thuận tiện cho tính toán 2400 2000 Euler Hyperbola 2400 1400 1000 k = 3,5 k k k =1,7 Đường giới hạn ứng suất 50 100 150 200 250 λ Hình.11.7 Hệ số an toàn kôđ cho thép thực hành, người ta đưa vào khái niệm hệ số uốn dọc hệ số giảm ứng suất cho phép ϕ định nghóa sau: ϕ= [σ]ôđ σ n = th [σ]n σo k ϕ < 1, hai tỉ số: σ th