Sự tồn tại nghiệm của mô hình động lực rừng điều chỉnh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TỐN CƠ - TIN HỌC HỒNG HẢI MINH SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MƠ HÌNH ĐỘNG HỌC RỪNG ĐIỀU CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ Ngành: Toán Giải tích Mã số: 60460102 Người hướng dẫn: TS Lê Huy Chuẩn Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lê Huy Chuẩn người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Hà Nội, ngày 07 tháng 11 năm 2015 Học viên Hoảng Hải Minh Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian kết liên quan 1.2 Toán tử quạt 1.2.1 Toán tử quạt 1.2.2 Xấp xỉ Yosida 1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng gian Banach 10 1.4 Phương trình tiến hóa tuyến tính 10 1.5 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 20 Chương Sự tồn nghiệm mơ hình động học rừng điều chỉnh 33 2.1 Nghiệm địa phương 34 2.1.1 Sự tồn nghiệm địa phương 35 2.1.2 Nghiệm địa phương không âm 36 2.2 Hệ động lực 38 2.2.1 Nghiệm toàn cục 38 2.2.2 Hàm Lyapunov 43 LỜI MỞ ĐẦU Bảo tồn nguồn tài nguyên rừng chủ đề môi trường quan tâm Những vấn đề nghiên cứu bảo tồn nguồn tài nguyên rừng biết tới như: quy luật phát triển cá thể cây, khu vực rừng, rừng hệ thống phức tạp bao gồm hệ thống rừng hệ thống khác đất, nước, thời tiết với tương tác hệ thống nêu trên, Nhiều nhà khoa học giới nghiên cứu vấn đề đạt kết quan trọng Vào năm 1972, D B Botkin [2] đưa mơ hình tốn học sở phát triển rừng Trong đó, Botkin 3 nghiên cứu khu vực khoảng (100m tới 300m ) rừng đưa phương trình phát triển cho với tương tác khu vực Tiếp theo vào năm 1983, hai tác giả M.Ya Antonovsky M D Korzukhin [1] đưa mơ hình tốn học rừng quan tâm tới mối quan hệ phụ thuộc tuổi Mơ hình sau vào năm 1994 tác giả Yu A Kuznetsov, M Ya Antonovsky, V N Biktashev A Aponina [4] phát triển thành mơ hình mơ tả phát triển rừng thông qua mối quan hệ phụ thuộc tuổi trình tái sinh Cụ thể là, miền hai chiều bị chặn W, ta xét hệ rừng đơn loài giả sử chia thành hai lớp tuổi non trưởng thành Có ba yếu tố cấu thành hệ rừng: non, trưởng thành hạt giống khơng khí Chúng tạo thành mơ hình động học thể trình phát triển hệ rừng sau: > > ¶u = b d w g(v)u W (0; Ơ); fu > ảt > > > > ảv W (0; Ơ); W (0; ¥); > W; > > > > > : u(x; 0) = u0(x); v(x; 0) = v0(x); w(x; 0) = w0(x) W khu vực rừng phát triển (W (0.1) R miền hai chiều bị chặn) Các hàm u(x;t) v(x;t) mật độ non mật độ trưởng thành, vị trí x W thời điểm t [0; ¥) Hàm w(x;t) mật độ hạt khơng khí x W t [0; ¥) Phương trình thứ thứ hai mô tả phát triển non trưởng thành Phương trình thứ ba thể động lực hạt khơng khí; d > số khuếch tán hạt, a > b > tỉ lệ hạt tạo số hạt rơi xuống đất Trong đó, < d tỉ lệ hạt nảy mầm, g(v) > tỉ lệ chết non, phụ thuộc vào tỉ lệ trưởng thành v, f > tỉ lệ non phát triển thành trưởng thành, h > tỉ lệ chết trưởng thành Hàm g(v) xác định g(v) = a(v b) + c, với a > 0, b > c > Với w, số điều kiện biên đặt biên ¶ W Các hàm giá trị ban đầu không âm u0(x) 0, v0 w0 lấy W Mơ hình (0.1) số tác giả nghiên cứu Với điều kiện biên Neuman Dirichlet đặt lên w, tác giả L H Chuan, A Yagi T Shirai [3] [5] chứng minh tồn nghiệm toàn cục, xây dựng hệ động lực tồn hàm Lyapunove cho hệ (0.1) Tuy nhiên, mơ hình chưa đầy đủ Các nghiệm dừng u, v tốn (0.1) có giá hoàn toàn W Tuy nhiên rừng tự nhiên khuếch tán, mật độ hạt bên biên tự nhiên dương Một số kết tính toán số nghiệm dừng hệ (0.1) có mật độ miền bên ngồi biên rừng dương Hai tác giả A Yagi M Primicerio vào năm 2014 [7] đưa hình động học rừng điều chỉnh sau: > > > > ¶u ¶t = b d (w w) + W (0; ¥); g(v)u f u W (0; ¥); > > > ảv R (0; Ơ); W R : > > > > : u(x; 0) = u0(x); v(x; 0) = v0(x); w(x; 0) = w0(x) (0.2) Ở đây, w > số cho trước ký hiệu (w + phần dương w với w w , (w w )+ = w w) w, w với w < w , (w w )+ = Vì thế, w mật độ tối thiểu hạt mặt đất, mật độ tối thiểu cần thiết để mọc lên Giờ hàm w mật độ hạt khơng khí, xác định tồn R Và v˜ ký hiệu hàm mở rộng v từ L¥(W) tới L¥(R ), v˜(x) = v(x) với x W v˜(x) = với x R nW Mơ hình động học rừng điều chỉnh (0.2) cải thiện hai khía cạnh Khía cạnh đầu tiên, mở rộng miền xác định w thành tồn khơng gian R w biểu thị mật độ hạt khơng khí hạt phân tán xa so với biên W Một cách tự nhiên, ta khơng cịn cần phải quan tâm tới điều kiện biên w Khía cạnh thứ hai, ta có ngưỡng w Nếu w w khơng có non mọc, tất nhiên khơng có trưởng thành Điều khiến cho giá nghiệm dừng u, v compact Nội dung luận văn trình bày lại số kết nghiên cứu mơ hình động học rừng điều chỉnh (0.2) Bố cục luận văn bao gồm chương: Chương luận văn trình bày tóm tắt số kết biết khơng gian hàm, tốn tử quạt, phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng gian Banach, phương trình tiến hóa tuyến tính, phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, định lý kết liên quan tới luận văn Chương trình bày dựa tài liệu [6] Chương luận văn trước tiên trình bày tồn nghiệm địa phương (0.2), sau tồn nghiệm toàn cục (0.2) Cuối chương phần trình bày hàm Lyapunov hệ động lực sinh (0.2) Chương trình bày dựa tài liệu [7] Do thời gian thực luận văn khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 07 tháng 11 năm 2015 Học viên Hoàng Hải Minh Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta xây dựng sở lý thuyết nhằm tiếp cận toán mơ hình động học rừng điều chỉnh (0.2) Cụ thể, ta hệ thống lại kiến thức số khơng gian hàm, tốn tử quạt, đồng thời nhắc lại kết phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng gian Banach, phương trình tiến hóa tuyến tính Phần cuối chương ta chứng minh tồn nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục đánh giá nghiệm phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 1.1 Một số không gian kết liên quan Cho X không gian Banach với chuẩn k:k, [a; b] R, với hai số mũ < s < b 1, ta định nghĩa không gian hàm Holder liên tục có trọng F b ;s ((a; b]; X); 0 cho C1C3 b4 Nhân (2.8) với C3 ta Z C3 d C3 dt g(v)u dx: W (2.10) Cộng vế 2.9 (2.10) ta C3 Z C3 g(v)u dx: W (2.11) Tiếp theo, ta nhân phương trình thứ hai (2.1) với v sau lấy tích phân W ta 1d dt Z W Lấy C4 > cho C4h 2C2 sau nhân đẳng thức với C4 ta có C d 39 dt Cộng vế bất đẳng thức với vế bất đẳng thức (2.11) C3 d dt Vì v(x) = v(x); x C3 d u dx + e dt Chú ý C4 f uv C3g(v)u = Nhận xét thấy Do đó, Vì nên dt Z W d C3u dx +C4v Suy C ku(t)k +C kv(t)k L2 +kw(t)k Ce L2 L2 rt C ku k +C kv k 0L2 + kw k +C: 0L2 0L2 u(t) + L k k k (2.12) 40 Bước Đánh giá kw(t)kH2h Sử dụng kết nửa nhóm, ta có h L w(t) = e e tL với e tb Từ suy h kw(t)kH2h CkL w(t)kL2 Ce Hơn nữa, từ (2.12) ta có bt Z kw0kH2h +C kv(t)kL2 Do t Z (t t) h e ku0kL¥ + kv0kL¥ + kw0kH2h : Lấy < r < t (t t) Z0 h e Từ suy kw(t)kL¥ Ckw(t)kH2h Ce rt Bước 3: Đánh giá ku(t)kL¥ ; kv(t)kL¥ Từ (2.5), ta có R 0t tL u(t) = e 41 Vì nên Zt ku(t)kL¥ = e ft ku0kL¥ +C e f (t t) kw(t)kL¥ dt: Từ (2.13) ta có Zt Zt e f (t t) kw(t)kL¥ dt C f (t t) e Z +C t e dt f (t t) e rt ku0kL¥ + kv0kL¥ + kw0kH2h dt: Lấy < r < f f ; rg Zt e f (t t) Zt kw(t)kL¥ dt C f (t t) e +Ce r t Zt dt e(f 0 r )(t t)e (r r )t dt ku0kL¥ + kv0kL¥ + kw0kH2h Như u(t) k k Tương tự, từ (2.6) (2.14) ta có L¥ rt kv(t)kL¥ C e Liên kết (2.12), (2.13), (2.14) (2.15) ta có h C e rt ku0kL¥ + kv0kL¥ + Hệ trực tiếp Mệnh đề (2.1), ta chứng minh tồn nghiệm toàn cục (2.1) Định lý 2.2 ([7], p.112) Cho u0; v0 L¥(W) w0 L2(R ) với u0 0; v0 w0 Khi đó, (2.1) có nghiệm toàn cục cho ( u; v C([0; ¥); L¥(W)) \C ((0; ¥); L¥(W)) 2 2 w C [0; ¥); L2(R ) \C (0; ¥); L2(R ) \C (0; ¥); H (R ) : 42 Nghiệm toàn cục thỏa mãn ước lượng ku(t)kL¥ + kv(t)kL¥ + kw(t)kL2 Ce rt h i ku0kL¥ + kv0kL¥ + kw0kL2 + ; t < ¥: (2.16) Ta chứng minh Định lý 2.2 tương tự chứng minh Bổ đề 1.1 Theo Định lý 2.1, tốn (2.1) ln có nghiệm địa phương U [0; T0] Theo Định lý 2.1, ta có U (T0) xác định U0 Do nghiệm U thác triển thành nghiệm địa phương [0; T + t] với t > xác định U (T0) , tức phụ thuộc vào U Tiếp tục q trình thác triển ta thu nghiệm tồn cục tốn Hơn nữa, từ ta xây dựng hệ động lực sinh toán (2.1) Đặt K= t (u; v; w) X; u0 0; v0 w0 không gian giá trị ban đầu Như Định lí 2.2, với U0 K, (2.1) t tồn nghiệm toàn cục U (t;U 0) = (u(t); v(t); w(t)) Vì thế, ta xác định nửa nhóm phi tuyến fS(t)g t tác động K S(t)U0 = U(t;U0) Ta thấy, S(t) liên tục với chuẩn X Vậy, (S(t); K; X) xác định hệ dộng lực không gian X, K không gian pha (S(t); K; X) gọi hệ động lực sinh (2.1) Giống trường hợp mơ hình (0.1), ta xây dựng hàm Lyapunov cho hệ động lực (S(t); K; X) 2.2.2 Đặt j = f u ¶j ¶t ¶u =f = f b d (w w )+ g(v)u f u = f b d (w w ) = f b d (w w )+ [g(v) + f + Nhân hai vế đẳng thức với j ta (lưu ý: j = ¶j ¶t 43 suy d j = f b d (w dt w )+ = f b d (w w )+ Rv Đặt G(v) = [g(v) + f ]dv lấy tích phân W ta 1d dt d x ¶v ¶t Bên cạnh đó, nhân hai vế phương trình thứ ba (2.1) với lấy tích phân R ta Z R2 Vì nên dd dt Z R Nhân (2.17) với a (2.18) với f b d cộng kết lại ta đư dt Z h W d j2 dfbd Z + R2 Z = a W [g(v) + f + h] 44 y(U) = + ZW Z R2 xác định với U D(A ) trở thành hàm Lyapunov (S(t); K; X) Nhận xét: Sau xây dựng hàm Lyapunov cho hệ, ta chứng minh tồn tập hút toàn cục 45 KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày lại số kết nghiên cứu mơ hình động học rừng điều chỉnh (0.2) mơ tả phát triển rừng thông qua mối quan hệ phụ thuộc tuổi trình tái sinh Nội dung luận văn bao gồm: Trình bày số kiến thức khơng gian hàm có trọng, khơng gian Sobolev, kết số định lý liên quan tới phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng gian Banach, phương trình tiến hóa tuyến tính phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Chứng minh tồn nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục mơ hình động học rừng điều chỉnh Xây dựng hàm Lyapunov hệ động lực sinh (0.2) Tuy nhiên thời gian thực luận văn không nhiều cịn có sai sót em mong nhận góp ý q thầy bạn đọc 46 Tài liệu tham khảo [1] M Ya Antonovsky, M D Korzukhin, Mathematical modeling of economic and process ecological-economic, Proc International Symp "Intergrated Global Monitoring of Environmental Pollution", Tbilisi 1981, Leningrad: Hy-dromet, 1983, 353-358 [2] D B Botkin, J F Janak, Some ecological consequences of a computer model of forest growth, J Ecol 60 (1972), 849-872 [3] L H Chuan, A Yagi, Dynamical system for forest kinetic model, Adv Math Sci Appl 16 (2006), 393-409 [4] Yu A Kuznetsov, M Ya Antonovsky, V N Biktashev and A Aponina, A cross-diffusion model of forest boundary dynamics, J.Math Biol 32 (1994), 219-232 [5] T Shirai, L H Chuan, A Yagi, Dynamical system for forest kinematic model under Dirichlet conditions, Sci Math Jpn, 66 (2007), 289-301 [6] A Yagi, Abtract Parabolic Evolution Equations and their Applications, Springer, (2010) [7] A Yagi, M Primicerio, A modified forest kinematic model, Vietnam journal of Math Appl 12 (2014), 107-118 47 ... 20 Chương Sự tồn nghiệm mơ hình động học rừng điều chỉnh 33 2.1 Nghiệm địa phương 34 2.1.1 Sự tồn nghiệm địa phương ... [5] chứng minh tồn nghiệm toàn cục, xây dựng hệ động lực tồn hàm Lyapunove cho hệ (0.1) Tuy nhiên, mơ hình chưa đầy đủ Các nghiệm dừng u, v tốn (0.1) có giá hồn tồn W Tuy nhiên rừng tự nhiên khuếch... LỜI MỞ ĐẦU Bảo tồn nguồn tài nguyên rừng chủ đề môi trường quan tâm Những vấn đề nghiên cứu bảo tồn nguồn tài nguyên rừng biết tới như: quy luật phát triển cá thể cây, khu vực rừng, rừng hệ thống