Về sự tồn tại của trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình trong c2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM HOÀNG LONG VỀ SỰ TỒN TẠI CỦA TRƯỜNG VECTƠ TIẾP XÚC CHỈNH HÌNH TRONG C2 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM HOÀNG LONG VỀ SỰ TỒN TẠI CỦA TRƯỜNG VECTƠ TIẾP XÚC CHỈNH HÌNH TRONG C2 Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Ninh Văn Thu H Ni Nm 2014 LIC MèN Trữợc tiản tổi xin ữổc b y tọ lặng bit ỡn chƠn th nh v sƠu sc nhĐt tợi thy giĂo hữợng dÔn l TS Ninh Vôn Thu, ngữới  tn tnh ch¿ b£o gióp ï v t⁄o i•u ki»n v• nhi•u m°t ” tæi câ th” ho n th nh lu“n v«n thíi gian vła qua Ti‚p theo tỉi xin ữổc gòi lới cÊm ỡn n cĂc thy cổ, ỗng nghi»p ¢ v ang cỉng t¡c t⁄i khoa To¡n - Cì - Tin håc tr÷íng ⁄i håc Khoa håc Tü nhiản H Ni, nhng ngữới  giÊng dy v cung cĐp nhng kin thức khoa hồc quỵ bĂu sut nhng nôm hồc va qua tổi cõ nãn tÊng ki‚n thøc ” thüc hi»n lu“n v«n n y CuŁi xin cÊm ỡn gia nh, ỗng nghiằp v bn b  giúp ù, c vụ ng viản v õng gõp cho tổi nhiãu ỵ kin quỵ bĂu cuc sŁng, cỉng vi»c v håc t“p nâi chung cơng nh÷ õng gõp cĂc ỵ kin cho lun vôn ng y c ng ho n thi»n hìn M°c dị r§t cŁ g›ng t…m tỈi v åc hi”u c¡c t i liằu liản quan n lun vôn nhiản kin thøc l væ t“n â khæng tr¡nh khäi nhœng hn ch v thiu sõt RĐt mong ữổc nhng õng gâp v sü ch¿ b£o cıa c¡c thƒy, cæ gi¡o ” lu“n v«n câ gi¡ trà khoa håc cao hìn Håc vi¶n: Ph⁄m Ho ng Long Mưc lưc L˝IC MÌN DANH MƯC C C KÞ HI U Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 Mºt sŁ kh¡i ni»m gi£i t‰ch phøc 1.2 Mºt sŁ k‚t qu£ bŒ træ Tr÷íng vector ch¿nh h…nh ti‚p xúc C 2.1 Sỹ tỗn ti ca trữớng vector chnh hnh t 2.2 Hồ siảu mt tỗn ti trữớng vector chnh h 2.3 Sỹ khổng tỗn ti trữớng vector chnh h mÂn iãu kiằn (I) 2.3.1 C¡c bŒ • kÿ thu“t 2.3.2 Chứng minh nh lỵ 2.3.1 T ILI UTHAMKH O DANH MƯC C C KÞ HI U Pz(z): ⁄o h m theo bi‚n z cıa h m P 0(f): Kỵ hiằu cĐp ca h m f triằt tiảu ti dũng nh nghắa loi im vổ hn D Angelo Kỵ hiằu kt hổp vợi kỵ hiằu v &: Dũng cho kỵ hiằu bĐt flng thøc sai kh¡c mºt h‹ng sŁ d÷ìng C -trìn: Dũng ch h m khÊ vi liản tửc cĐp vổ cịng M— U n Gi£ sß (M; p) l mºt mƒm si¶u m°t khỉng thuºc phflng Levi CR C cho p l i”m ki”u væ h⁄n theo ngh¾a D’ Angelo (gåi t›t l ki”u vỉ h⁄n) B i toĂn t vã viằc mổ tÊ cĂc trữớng vector tip xúc vợi M v triằt tiảu ti p Ch‰nh x¡c hìn nœa chóng ta câ th” mi¶u tÊ mt trữớng vector chnh hnh tip xúc vợi mt mm (M; p) siảu mt trỡn lợp C ki”u væ h⁄n t⁄i gŁc tåa º = (0; 0) C v tri»t ti¶u t⁄i Mưc ‰ch cıa lu“n v«n l tr…nh b y l⁄i c¡c k‚t quÊ tiãn Đn ph'm "On the existence of tangential holomorphic vector fields vanishing at an infinite type point" cıa TS Ninh V«n Thu ([5]) BŁ cưc cıa lu“n v«n gỗm hai chữỡng: Chữỡng I: Nhng kin thức chu'n b Nºi dung cıa ch÷ìng n y l tr…nh b y mºt sŁ ki‚n thøc cì b£n cıa gi£i t‰ch phøc nh÷ kh¡i ni»m tr÷íng vector ch¿nh h…nh ti‚p xóc, kh¡i ni»m i”m ki”u vỉ h⁄n theo ngh¾a D’ Angelo, kh¡i niằm h m thọa mÂn iãu kiằn (I) v trnh b y cĂc b ã s ữổc sò dửng c¡c chøng minh ð ch÷ìng II Ch÷ìng II: Sü tỗn ti ca trữớng vector tip xúc chnh hnh C Trong ch÷ìng n y, chóng ta s‡ chøng minh sỹ tỗn ti mt trữớng vector chnh h nh C tri»t ti¶u t⁄i gŁc tåa º v tip xúc vợi siảu mt kiu vổ hn Ni dung ch yu l chứng minh cĂc nh lỵ 2.2.1 v 2.3.1 Ch÷ìng Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 Mºt sŁ kh¡i ni»m gi£i t‰ch phøc ành ngh¾a 1.1.1 Ta nâi r‹ng mºt h m thüc trìn f x¡c ành mºt l¥n c“n U cıa gŁc tåa º v f(0) = C thọa mÂn iãu kiằn (I) n‚u (I.1) lim sup ~3 ! k f (z)) jRe(bz )j = +1; U z f(z) (I.2) lim supU~3z!0 j vỵi måi k = 1; 2; ::: v vỵi måi b V‰ dư 1.1.1 H m sŁ P (z) = e hỉp cỈn l⁄i, â C; > 0, thọa mÂn hằ iãu kiằn (I) Hỡn th nœa b‹ng c¡c ph†p t‰nh to¡n chóng ta câ th” thĐy ữổc P (z) = P (z) vợi mồi z C vỵi Re (z) 6= Do â, iãu kiằn (I.2) ữổc thọa mÂn BƠy giớ chứng minh P thọa mÂn hằ iãu kiằn (I.1) Tht vy, vợi k l mt s nguyản dữỡng tũy ỵ Vỵi zl := v = måi l N M°t kh¡c, vỵi mØi b C n‚u k = 1, vỵi måi l jRe (bzl k D„ d ng ta th§y k lim jRe (bzl P 0(zl) )j = +1: P (zl) l!1 Nh÷ v“y h m P thọa mÂn hằ iãu kiằn (I) nh nghắa 1.1.2 Mºt tr÷íng vector ch¿nh h…nh C n ÷ỉc cho bði to¡n tß: n X k H =h (z) k @zk =1 Trong â h1; h2; :::; hn l c¡c h m ch¿nh h…nh theo bi‚n z = (z 1; z2; :::; zn) Mºt mƒm n cıa si¶u m°t thüc trìn M ( Łi chi•u thüc b‹ng 1) t⁄i p C ữổc nh nghắa bi h m s v ÷ỉc gåi l , cho M ÷ỉc mỉ t£ bði bi”u thøc (z) = Mºt tr÷íng vector H ữổc gồi l tip xúc tợi M nu phn thỹc ca ca H tip xúc vợi M cõ nghắa l H thäa m¢n bi”u thøc Re H = nh nghắa 1.1.3 GiÊ sò f l mt h m bin thỹc trỡn xĂc nh trản mt lƠn cn ca C K hiằu 0(f) l cĐp triằt tiảu cıa f t⁄i v nâ ÷ỉc quy ành bði cĐp ca s hng u tiản khổng b triằt tiảu khai tri”n Taylor cıa h m f t⁄i Trong k tr÷íng hỉp f l ¡nh x⁄ R (k > 1), xem xt cĐp triằt tiảu cıa t§t c£ c¡c th nh phƒn v gi¡ trà nhọ nhĐt chúng gồi l cĐp triằt tiảu ca f, kỵ hiằu l 0(f) Kỵ hiằu 4r = fz C : jzj < rg vỵi r > v kỵ hiằu := Hỡn th na, gŁc tåa º ÷ỉc gåi l i”m ki”u vỉ h⁄n theo nghắa D Angelo nu vợi mồi s dữỡng > v nu tỗn ti Ănh x chnh h…nh h : ! C vỵi h(0) = (0; 0) cho 1.2 Mºt sŁ k‚t qu£ bŒ træ Trong mưc n y, chóng ta s‡ chøng minh mºt v i b ã v hằ quÊ ữổc sò dửng chứng minh cĂc nh lỵ chnh ca lun vôn B ã 1.2.1 GiÊ sò a1(z2) = tiảu ( Chøng minh Khflng ành Ta s‡ chøng minh khflng ành b‹ng ph÷ìng ph¡p quy n⁄p theo m Vỵi m = 2, tł c¡c Khflng ành v ta câ a2(z2) Q1(0)a1(z2) v 26 b1(z2) i•u n y chøng minh Khflng ành cho tr÷íng hỉp m = Gi£ sß r‹ng a 2(z2) Q1(0)a1(z2); : : : ; a m(z2) 2m m! m 1 (0)a1(z2), Q ch¿ r‹ng bm(z2) and am+1(z2) (m m +1)! m Q b1(z2) bm 1(z2) vỵi m Ta s‡ 1(0)a1(z2) Th“t v“y, tł (2.8) ta câ n Re tr¶n L°p l⁄i l“p lu“n nh÷ chøng minh Khflng ành 3, ta k‚t lu“n r‹ng bm(z2) V… th‚, ta nh“n ÷ỉc n m Re ( 1) (m + 1) tr¶n H» qu£ l bm(z2) n¶n tł (2.20) ta câ 3Q2(z2) Re n 2i + tr¶n i•u n y suy r‹ng Re(am+1(0)) = 0, cịng vợi Re(iam+1(0)) = nhữ  chứng minh trản ta ph£i câ am+1(0) = Q (z + Hìn nœa, Q1(z2) Q1(0) + Q0 (z2) (2.23) r‹ng am+1(z2) nh÷ khflng Khflng ành ành Ta câ: 27 (a) z ;t vỵi måi ( (b) 2 z vỵi måi vỵi måi z2 2 Chøng minh Khflng ành Tł Khflng ành ta d„ d ng ki”m tra ÷ỉc h1(z1; z2) = z1a1(z2) n‚u Q1(0) = h1 n‚u Q1(0) 6= v h2(z1; z2) = i z2: B¥y gií, ta s‡ chia chøng minh cıa khflng ành n y th nh hai trữớng hổp sau Ơy: Trữớng hổp A Q1(0) = 0: Tł ph÷ìng tr…nh (2.4) chóng ta câ: Re + P (z2) + tQ0z2 (z2) + t Q1z2 (z2) +i z2 = vỵi måi z2 C v vỵi måi t R vỵi jz2j < v d ng ta thĐy ữổc: 28 trản Do â, theo BŒ • 1.2.1 h m sŁ P ( Tł Khflng ành 4, ta câ Q1 t = 0, ta câ: 0, v l§y ⁄o h m c§p hai Re iãu õ cõ nghắa l Q2 LĐy o h trản ti t = 0, vợi m = 3; :::; v b‹ng quy n⁄p theo m ta câ Qm vỵi måi m 1: Do â, tł (2.25) v (2.26) ta câ: Re 2i z Q tr¶n 0 (z ) + ia(z ) + Q (z ) 0z2 2 V vy, theo B ã 1.2.1 phữỡng trnh trản cho ta nghi»m Q0(z2) = tan(R(z2)) vỵi måi z2 , âRl h m sŁ ÷ỉc ÷a khflng f(z2; t) = Q0(z2)t = tan(R(z2))t vỵi måi (z2; t) ( ; ), nh÷ khflng Tr÷íng hỉp B Q0(0) 6= Trong tr÷íng hỉp n y, tł (2.3) ta câ: Re ành v â ành + + P (z2) + fz2 (z2; t) i z2 = vỵi måi z2 f(z2; t) = cõ cĂc phữỡng trnh sau Ơy: P i + ft(z2; t) exp (i) (ii) Re (iii) Re vợi mồi (z2; t) ữổc ( > : 29 vỵi måi (z2; t) ( 0; 0)) Chúng ta ỵ rng: 2Re i z2Rz2 (z2) = Re(ia1(z2)) vỵi måi z2 : Do â, theo h» qu£ 1.2.4 ph÷ìng tr…nh (ii) tü ºng ữổc thọa mÂn Cui cũng, t (iii) v B ã 1.2.2 vỵi = 2Q 1(0), h m sŁ P (z2) ÷æc x¡c ành nh÷ khflng ành Nh÷ v“y, khflng nh ữổc chứng minh BƠy giớ, chứng minh ca nh lỵ 2.2.1 d d ng ữổc suy t cĂc Khflng nh n 2.3 Sỹ khổng tỗn ti trữớng vector chnh hnh tip xúc vợi siảu mt thọa mÂn iãu kiằn (I) Trong mửc n y, chúng tổi s‡ chøng minh k‚t qu£ ch‰nh thø hai cıa lu“n vôn Cử th, chúng tổi chứng minh nh lỵ sau Ơy nh lỵ 2.3.1 Nu mt mm (M; 0) cĂc siảu mt C -trỡn xĂc nh bi phữỡng trnh (z) := (z1; z2) = Re z1 + P (z2) + (Im z1)Q(z2; Im z1) = 0, thäa m¢n c¡c iãu kiằn sau: (1) P 60,P(0)=0; (2) P thọa mÂn hằ iãu kiằn (I); (3) P triằt tiảu tợi cĐp vổ hn ti z2 = 0, th bĐt ký trữớng vector ch¿nh h…nh tri»t ti¶u t⁄i gŁc tåa º v tip xúc tợi (M; 0) l ỗng nhĐt vợi khổng Gi£ sß M = f(z1; z2) C : Re z1 + P (z2) + (Im z1)Q(z2; Im z1) = l mƒm c¡c si¶u m°t gi£i t‰ch thüc ti thọa mÂn cĂc iãu kiằn ca nh lỵ 2.3.1 Chúng ta s ch ữổc rng khổng tỗn t⁄i mºt tr÷íng vector ch¿nh h…nh khỉng tƒm th÷íng tri»t tiảu ti gc tồa v tip xúc vợi M Trong mửc n y ta dũng kỵ hiằu 30 ~ r := fz2 r : P (z2) =6 0g 2.3.1 C¡c bŒ • kÿ thu“t Do h m P thọa mÂn iãu kiằn (I) nản ta d d ng chứng minh ữổc hai b ã sau: B ã 2.3.2 N‚u a; b l c¡c sŁ phøc v n‚u g1; g2 l c¡c h m sŁ trìn x¡c ành trản ắa vợi bĂn knh nhọ > thäa m¢n: (i) g1(z1) = O(jzj l+1 m ) v g2(z) = o(jzj ); m (ii) Re az + vợi mồi z Chứng minh B ã d d ng ữổc suy t iãu kiằn (I.1) B ã 2.3.3 Gi£ sß P l h m sŁ x¡c ành trản GiÊ sò B C v m N Khi õ, tỗn ti s iãu kiằn (I) R cho: m lim sup jRe B(i ( > 0) thäa m¢n 1) P (z2)=P (z) j = ~ 3!0z0 ~ fg Chøng minh Do h m P thọa mÂn iãu kiằn (I.2) nản tỗn ti dÂy s z k hi tử tợi cho limk!1 P (zk)=P (zk) = Chóng ta câ th” vi‚t: BP (zk)=P (zk) = ak + ibk; k = 1; 2; :::; (i m 1) = a( ) + ib( ): Chú ỵ rng jakj + jbkj ! +1 k ! Do â, tr‰ch d¢y n‚u cƒn ta ch¿ cƒn x†t hai trữớng hổp sau Ơy: Trữớng hổp limk!1 ak = v n¶n n‚u ı nhä th… Re B(i m 1) P (zk)=P (zk) = a( )ak b( )bk Tr÷íng hỉp limk!1 bk = v 31 Khi â, ta câ: Re B(i m 1) P (zk)=P (zk) = a( )ak b( )bk = ak k ! Nhữ vy, b 2.3.2 ã ữổc chứng minh Chứng minh nh lỵ 2.3.1 Chứng minh nh lỵ 2.3.1 GiÊ sò mm siảu mt(M; 0) C ÷ỉc x¡c ành bði ph÷ìng tr…nh (z1; z2) = Re z1 + P (z2) + (Im z1)Q(z2; Im z1) = 0; â P; Q l c¡c h m C -trỡn thọa mÂn ba iãu kiằn giÊ thit @ Ta x†t tr÷íng vector ch¿nh h…nh H = h1(z1; z2)@z @ + h2(z1; z2)@z nh lỵ 2.3.1 xĂc nh trản mt lƠn cn ca gc tồa Hìn nœa, ta ch¿ xem x†t tr÷íng hỉp tr÷íng vector H tip xúc vợi M iãu õ cõ nghắa l (Re H) (z) = 0; 8z M Möc ‰ch cıa ta l ch¿ r‹ng H Th“t v“y, giÊ sò mƠu thuÔn rng H Khi õ, nu h2 th t (2.27) ta thĐy ữổc h1 Do â, ta câ th” gi£ sß r‹ng h1 v h2 Khai tri”n h1 v h2 th nh chuØi Taylor t⁄i gŁc tåa º ta câ: 1 X X j k ajkz1 z2 h1(z1; z2) = j v h2(z1; z2) = j;k=0 k bjkz1 z2 ; j;k=0 â ajk; bjk C Chó þ r‹ng a00 = b00 = bði v… h1(0; 0) = h2(0; 0) = 0: Ti‚p theo, gåi j0 l nguyản nhọ nhĐt cho a j0k 6= vợi s nguyản k n o õ v gồi k0 l nguyản nhọ nhĐt cho a j0k0 6= Tữỡng tỹ nhữ vy, ta gồi m l nguyản nhọ nhĐt cho bm0n 6= vợi s nguyản n n o â v gåi n l nguy¶n nhọ nhĐt cho bm0n0 6= Chú ỵ rng j0 n‚u k0 = v m0 n‚u n0 = 32 L“p lu“n nh÷ chøng minh ca Re nh lỵ 2.2.1, ta cõ: vợi mồi jz2j < j k P (z2) + P (z2)Qz2 (z2; P (z2)) = o(P (z2) jz2j ) v vợi mồi R nhọ Ta ỵ r‹ng tr÷íng hỉp k = v Re(aj00) j = 0, ÷ỉc chån cho Re((i 1) aj00) 6= Do õ, phữỡng trnh trản suy j0 > m0 B¥y gií, ta chia l“p lu“n th nh hai trữớng hổp sau Ơy: Trữớng hổp n0 Trong trữớng hổp n y, phữỡng trnh (2.29) mƠu thuÔn vợi B ã 2.3.2 Trữớng hổp n0 = Do h m P thọa mÂn hằ iãu kiằn (I) v m nản theo B ã 2.3.3 ta câ th” chån ÷ỉc sŁ thüc cho lim sup jRe bm0(i ~ m 1) P (z2)=P (z2) j = +1; ! z2 vỵi > nhọ Do õ, (2.29) l mƠu thuÔn V vy, h trản lƠn cn ca (0; 0) C Do h1 n¶n tł phữỡng trnh (2.4) vợi t = ta cõ: Re vợi mồi z2 thọa mÂn jz2j < Bi v P thọa mÂn iãu kiằn (I:1) nản bmn = vỵi måi m 0; n Hìn nœa, ta s‡ ch¿ r‹ng b m0 = vỵi måi m N Tht vy, giÊ sò ngữổc li Khi â, ta câ th” gåi m l sŁ nguy¶n nhä nhĐt cho b m0 6= T phữỡng trnh (2.6) chứng minh ca nh lỵ 2.2.1, ta cõ n y khổng th xÊy Nhữ vy, nh lỵ 2.3.1 ÷ỉc chøng minh 33 T i li»u tham kh£o [1] A Garijo, A Gasull, X Jarque, Local and global phase portrait of equation z = f(z), Discrete Contin Dyn Syst 17 (2)( 2007), 309 329 [2] Kang-Tae Kim and Ninh Van Thu, On the tangential holomorphic vector fields vanishing at an infinite type point, Trans Amer Math Soc., to appear [3] S Kobayashi, Hyperbolic complex spaces, Grundlehren der Mathematischen Wis-senschaften, vol 318, Spinger- Verlag, Berlin, 1998 [4] S Lang, Introduction to complex hyperbolic spaces, Spinger- Verlag, New York, 1987 [5] Ninh V«n Thu, On the existence of tangential holomorphic vector fields vanishing at an infinite type point, http://arxiv.org/abs/1303.6156 34 ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM HOÀNG LONG VỀ SỰ TỒN TẠI CỦA TRƯỜNG VECTƠ TIẾP XÚC CHỈNH HÌNH TRONG C2 Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số:... II: Sü tỗn ti ca trữớng vector tip xúc chnh hnh C Trong ch÷ìng n y, chóng ta s‡ chøng minh sỹ tỗn ti mt trữớng vector chnh h nh C tri»t ti¶u t⁄i gŁc tåa º v tip xúc vợi siảu mt kiu vổ hn Ni dung... i toĂn t vã viằc mổ tÊ cĂc trữớng vector tip xúc vợi M v triằt tiảu ti p Ch‰nh x¡c hìn nœa chóng ta câ th” mi¶u tÊ mt trữớng vector chnh hnh tip xúc vợi mt mm (M; p) siảu mt trỡn lợp C ki”u