toán học tổ hợp , chương 1 đại cương về đồ thị

Chương ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ LVL @2020 Nội dung Giới thiệu Các khái niệm Biểu diễn đồ thị Đẳng cấu đồ thị Đường đi, chu trình Giới thiệu Bài tốn Thành phố Kưnigsberg, Phổ (nay Kaliningrad, Nga) có hai hịn đảo lớn nối với với đất liền bảy cầu Bài toán đặt theo tuyến đường mà qua cầu lần quay lại điểm xuất phát hay không? Năm 1736, nhà tốn học Leonhard Euler chứng minh điều khơng thể Bài tốn Có thể vẽ hình phong bì thư nét bút hay khơng? Nếu có nét vẽ 5 Bài toán Một đoàn kiểm tra chất lượng đường Để tiết kiệm thời gian, đoàn kiểm tra muốn qua đường lần Kiểm tra xem có cách không? 6 Bài toán Một sinh viên muốn từ nhà đến trường phải nào? Cách ngắn nhất? Các khái niệm Định nghĩa Một đồ thị vô hướng (undirected graph) G=(V, E) định nghĩa bởi: • Tập hợp V   gọi tập đỉnh (vertex) số phần tử V gọi cấp đồ thị; • Tập hợp E tập cạnh (edge) đồ thị; Mỗi cạnh eE liên kết với cặp đỉnh {i, j}, không phân biệt thứ tự Đỉnh kề Định nghĩa Trên đồ thị vô hướng, xét cạnh e liên kết với cặp đỉnh {i, j}: ▪ Cạnh e kề với đỉnh i đỉnh j (hay đỉnh i đỉnh j kề với cạnh e); viết tắt e=ij ▪ Đỉnh i đỉnh j gọi đỉnh kề ▪ Hai cạnh nối cặp đỉnh gọi hai cạnh song song ▪ Cạnh có hai đỉnh trùng gọi khuyên Một số loại đồ thị vô hướng Định nghĩa Cho G đồ thị vơ hướng Khi G gọi là: a) đơn đồ thị (hay đồ thị đơn) G khơng có khun khơng có cạnh song song b) đa đồ thị G khơng có khun, cho phép có cạnh song song c) giả đồ thị G cho phép có cạnh song song có khuyên 10 Compute A2: Nhận thấy a22 = số đường có độ dài v2 tới v2 Định lý Cho G đồ thị với đỉnh v1, v2, …, A ma trận kề G Khi với k ta có phần tử thứ ij ma trận Ak số đường có chiều dài k từ vi tới vj 57 57 Ví dụ Tìm số đường có chiều dài a tới c 58 Liên thông Định nghĩa Cho G = (V,E) đồ thị vô hướng Trên V ta định nghĩa quan hệ tương đương sau: u~v  u = v hay có đường từ u đến v a) Nếu u~v ta nói hai đỉnh u v liên thông với b) Đồ thị tối đại tạo đỉnh lớp tương đương gọi thành phần liên thơng G c) Nếu G có thành phần liên thơng G gọi liên thơng 59 Liên thơng Ví dụ Đồ thị sau liên thông? a b a b e e d d c c G2 G1 b a a b e d e c d c G3 f G4 60 Liên thông Ví dụ Cho đồ thị đơn vơ hướng G có đỉnh có đỉnh bậc Hỏi G có liên thơng khơng? Giải Đỉnh bậc nối với đỉnh cịn lại Do hai đỉnh có đường qua đỉnh bậc Suy G liên thơng Ví dụ Cho đồ thị vơ hướng G liên thơng mà đỉnh có bậc 10 Chứng minh xoá cạnh đồ thị thu cịn liên thơng 61 Liên thơng Giải Giả sử ta xóa cạnh uv Ta cần chứng minh có đường từ u đến v Ta dùng phản chứng Giả sử khơng có đường từ u đến v Khi ta có thành phần liên thơng G’ chứa u mà khơng chứa v Trong G’, u có bậc 9, đỉnh khác có bậc 10 Tổng bậc G’ số lẻ Vô lý 62 Liên thông Ví dụ Xét đồ thị đơn vơ hướng G với đỉnh, có đỉnh bậc đỉnh bậc Chứng minh G liên thông Giải Giả sử G không liên thông Gọi G1, G2, …,Gk thành phần liên thông G (k 2) Vì G khơng có đỉnh lập nên thành phần liên thơng phải có hai đỉnh Như thành phần liên thông phải có đỉnh bậc Suy thành phần liên thơng phải có đỉnh Vậy G phải có 4k  đỉnh Trái giả thiết 63 Liên thông Định nghĩa Cho G = (V,E) đồ thị vô hướng liên thông a) Đỉnh v gọi đỉnh khớp G – v không liên thông (G – v đồ thị G có cách xố v cạnh kề với v) b) Cạnh e gọi cầu G – e không liên thông (G – e đồ thị G có cách xố cạnh e) 64 Ví dụ Tìm đỉnh khớp cầu đồ thị sau Đáp án: Đỉnh khớp: w,s,v Cầu : ws, xv 65 Định nghĩa Cho G = (V,E) vô hướng liên thông, Kn, n>2 a) Số liên thông cạnh G, ký hiệu e(G) số cạnh mà xố G khơng cịn liên thơng b) Số liên thơng đỉnh G, ký hiệu v(G) số đỉnh mà xố G khơng cịn liên thơng 66 Ví dụ Tìm số liên thơng cạnh liên thông đỉnh đồ thị sau 67 Liên thông mạnh Định nghĩa Cho G =(V,E) đồ thị có hướng hai đỉnh u v Khi a) Đường có chiều dài k nối hai đỉnh u,v dãy đỉnh cạnh liên tiếp v0e1v1e2….vk-1ekvk cho: v0 = u, vk = v ei = vi-1vi , i = 1,2,,…,k b) Đường khơng có cạnh xuất lần gọi đường đơn 68 c) Đường khơng có đỉnh xuất lần gọi đường sơ cấp d) Đường gọi mạch (chu trình) bắt đầu kết thúc đỉnh Ví dụ Đường có độ dài từ đỉnh tới đỉnh : (1,2,3,4,2) 69 Liên thơng mạnh Định nghĩa Cho đồ thị có hướng G = (V,E) Trên tập đỉnh V ta định nghĩa quan hệ tương đương sau: u~v  u = v hay có đường từ u đến v đường từ v đến u a) Nếu u~v ta nói hai đỉnh u v liên thơng mạnh với b) Đồ thị liên thông mạnh tối đại tạo đỉnh lớp tương đương gọi thành phần liên thông mạnh G c) Nếu G có thành phần liên thơng mạnh G gọi liên thơng mạnh 70 Ví dụ Đồ thị sau có liên thơng mạnh không? Nếu không xác định thành phần liên thông mạnh 71 ... rỗng ▪ Đồ thị đủ: đồ thị vô hướng, đơn, hai đỉnh có cạnh B A ▪ Đồ thị đủ n đỉnh ký hiệu Kn