Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Bài 1: Đại cương về đồ thị

Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Bài 1: Đại cương về đồ thị trình bày định nghĩa đồ thị, các mô hình đồ thị, một số thuật ngữ cơ bản của đồ thị, một số đơn đồ thị đặc biệt, khái niệm Đường đi – Chu trình – Sự liên thông. Mời các bạn cùng tham khảo.

Bài Đại cương đồ thị 1.1 Định nghĩa đồ thị Một số toán dẫn đến khái niệm đồ thị  Bài tốn 1: Có thể vẽ hình phong bì thư nét bút hay khơng Nếu có nét vẽ Một số toán dẫn đến khái niệm đồ thị (tt)  Bài toán 2: Một đoàn kiểm tra chất lượng đường Để tiết kiệm thời gian, đoàn kiểm tra muốn qua đường lần Kiểm tra xem có cách không? Đồ thị gì?  Đồ thị cấu trúc rời rạc gồm đỉnh cạnh (vơ hướng có hướng) nối đỉnh Người ta phân loại đồ thị tùy theo đặc tính số cạnh nối cặp đỉnh đồ thị Định nghĩa đồ thị Định nghĩa Một đơn đồ thị vô hướng G=, đó: V tập hợp hữu hạn gồm đỉnh đồ thị  E tập hợp cặp khơng có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh VD: a Đơn đồ thị vô hướng b.    Khơng  phải  đơn  đồ  thị  vơ  hướng  do  có các cặp cạnh nối  cùng một cặp đỉnh c.    Không  phải  đơn  đồ  thị  vô  hướng  do  có  cạnh  nối  một  đỉnh với chính nó Định nghĩa đồ thị (tt) Định nghĩa Một đa đồ thị vô hướng G=, đó: V tập hợp hữu hạn gồm đỉnh đồ thị  E danh sách cặp khơng có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh Chú ý:  Các cạnh nối cặp đỉnh gọi cạnh song song  Nếu đồ thị có cạnh nối từ đỉnh với (cạnh gọi khun) đồ thị gọi giả đồ thị vô hướng Định nghĩa đồ thị (tt) VD: e2 e1 e a.  Đa  đồ  thị  vô  hướng.  e1  và  e2  là  các cạnh song song b.  Giả  đồ  thị  vô  hướng. e là khuyên Chú ý: Trong số tài liệu có nhập khái niệm đa đồ thị giả đồ thị, đó, có tên gọi chung đa đồ thị cho hai loại Định nghĩa đồ thị (tt) Định nghĩa Một đơn đồ thị có hướng G=, đó: V tập hợp hữu hạn gồm đỉnh đồ thị  E tập hợp cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cung VD: Định nghĩa đồ thị (tt) Định nghĩa Một đa đồ thị có hướng G=, đó: V tập hợp hữu hạn gồm đỉnh đồ thị  E danh sách cặp khơng có thứ tự gồm hai phần tử V gọi cung Chú ý:  Các cung nối cặp đỉnh gọi cung song song (parallel arcs)  Nếu đồ thị có cung nối từ đỉnh với (cung gọi khun) đồ thị gọi giả đồ thị có hướng 10 1.4 Một số đơn đồ thị đặc biệt Đồ thị đầy đủ - Kn  Đặc điểm: Đồ thị vô hướng  Hai đỉnh kề   Tính chất n đỉnh  Các đỉnh có bậc n –   Số cạnh: n(n − 1) 26 Chu trình vịng - Cn  Đặc điểm: Đồ thị vô hướng  Các đỉnh nối với theo vịng trịn   Tính chất n đỉnh  Các đỉnh có bậc  Số cạnh: n  27 Đồ thị bánh xe - Wn  Đặc điểm: Đồ thị vô hướng  Hai đỉnh ln kề   Tính chất: n+1 đỉnh  n đỉnh bậc 3, đỉnh bậc n  Số cạnh: 2n  28 Đồ thị lập phương - Wn  Đặc điểm: Đồ thị vô hướng  Các đỉnh biểu diễn cho dãy n bit   Tính chất: 2n đỉnh  Các đỉnh có bậc n  Số cạnh: (n-1).2n-1  29 Đồ thị Bù  Ví dụ: Tìm đồ thị bù đồ thị sau: G1 G2 G3 30 Đồ thị Nghịch đảo  Đồ thị Nghịch đảo: Cho Đơn đồ thị G=(V,E) Đồ thị Nghịch đảo G đồ thị G c (V , F ) Có số đỉnh G  (u, v) F (v, u)  E 31 1.4 Khái niệm Đường – Chu trình – Sự liên thơng Đường Định nghĩa Xét đồ thị G = Một đường độ dài n từ u tới v, n số nguyên dương, đồ thị dãy: u = x0 x x … x n = v cho i {0,…,n-1}, (xi, xi+1) E VD: Các đường từ đến 5: Độ dài d1: Độ dài d2: Độ dài d3: 9 33 Chu trình Định nghĩa Xét đồ thị G = Một chu trình độ dài n (n số nguyên dương) đường có độ dài n với đỉnh đầu đỉnh cuối trùng VD: Các chu trình đồ thị: Độ dài C1: Độ dài C2: 9 Độ dài C3: 9 34 Đường – Chu trình Một đường (chu trình) gọi đường đơn (chu trình đơn) khơng lặp lại cạnh  Một đường (chu trình) gọi đường sơ cấp (chu trình sơ cấp) khơng lặp lại đỉnh VD:  Đường sơ cấp (hiển nhiên đơn) d1: Đường đơn (không sơ cấp) d2: Đường không đơn (không sơ cấp) d3: 9 Chu trình sơ cấp (hiển nhiên đơn) C1: Chu trình đơn (không sơ cấp) C2: 9 Chu trình khơng đơn (khơng sơ cấp) C3: 9 35 Sự liên thông Định nghĩa Xét đồ thị vô hướng G = G gọi đồ thị liên thông tồn đường hai đỉnh G VD: Đồ thị vô hướng liên thông Đồ thị vô hướng không liên thông 36 Sự liên thông (tt)  Một đồ thị không liên thông hợp nhiều đồ thị liên thông rời Mỗi đồ thị gọi thành phần liên thông đồ thị ban đầu Đồ thị có thành phần liên thơng 37 Sự liên thơng (tt)  Định nghĩa Xét đồ thị vô hướng, liên thông G = Đỉnh v gọi đỉnh cắt (hay điểm khớp) việc loại bỏ (cùng với cạnh liên thuộc) khỏi đồ thị làm đồ thị tính liên thơng  Cạnh e gọi cạnh cắt (hay cầu) việc loại bỏ khỏi đồ thị làm đồ thị tính liên thơng  VD: Đỉnh cắt: e, x, y Cạnh cắt: (e,x), (y,w) 38 Sự liên thông (tt) Định nghĩa Xét đồ thị có hướng G = G gọi đồ thị liên thông mạnh tồn đường hai đỉnh G  G gọi đồ thị liên thông yếu đồ thị vô hướng tương ứng với (biến cung chiều thành cạnh chiều) đồ thị liên thông  VD: Đồ thị thị có có hướng hướng khơng liên thơng Đồ liên mạnh (hiển nhiên cũnglàlàliên liên thông mạnh (nhưng Lý thuyết đồ thịthơng thơng yếu) yếu) Đồ thị có hướng không liên thông yếu (hiển nhiên không liên thông mạnh) 39 ... bậc n  Số cạnh: (n-1).2n-1  29 Đồ thị Bù  Ví dụ: Tìm đồ thị bù đồ thị sau: G1 G2 G3 30 Đồ thị Nghịch đảo  Đồ thị Nghịch đảo: Cho Đơn đồ thị G=(V,E) Đồ thị Nghịch đảo G đồ thị G c (V , F ) Có... =| E | v V 22 Đồ thị Định nghĩa Xét đồ thị G = Đồ thị H = đồ thị G đỉnh H đỉnh G cạnh/cung H cạnh/cung G (W V, F E) VD:  1 Đồ thị G 5 Đồ thị G Không đồ thị G 23 Đồ thị (tt)  Đặc... H gọi đồ thị phận hay đồ thị khung (spanning subgraph) G  Định nghĩa Hợp đồ thị: Hợp đồ thị G 1=(V1, E1) G2=(V2, E2) đồ thị G=(V, E) với:  V = V1 V2  E = E1 E2 24 1.4 Một số đơn đồ thị đặc